COORDENADAS POLARES

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede

localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las

distanicas dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente.

El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.

Otra forma de representar puntos en el plano es empleando

coordendas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (q) y una

distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida

llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.

Si queremos localizar un punto (r,q) en este sistema de coordenadas, lo

primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r,

después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último,

localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este

punto será el que queríamos localizar.

A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.

Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas

circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que

hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es

necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que

medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es

negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.

Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se

midan a partir del eje polar,

también podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el

ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo y

los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al

polo tendrán un radio negativo. Por ejemplo:

Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de

coordenadas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos.

En este tipo de funciones la variable independiente es q y la dependiente es r,

así que las funciones son del tipo r = r(q). El método para graficar estas

funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(q) en

coordenadas rectangulares y apartar de esa gráfica trazamos la

correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto

a q.

Recordemos que q es la variable independiente y va de 0 a 2p

generalmente. Por ejemplo la función r = q tiene como gráfica en rectangulares

A la izquierda vemos

que el radio depende

linealmente con el

ángulo, es decir que el

radio crecerá y tomará

los mismos valores

que el ángulo. Y a la

derecha tenemos esta

gráfica en

coordenadas polares

se ve claro esta

dependencia del radio

con el ángulo. A esta

gráfica se le llama

Espiral de Arquímedes

Mostraremos a continuación algunas gráficas en coordenadas polares.

r = sen(2q)

r = sen(3q)

r = sen(4q)

r = sen(5q)

Hasta aquí hemos visto que las funciones del tipo r = sen(aq) son rosas

o rosetas. El número de pétalos depende del valor de a, si a es par, el número

de pétalos es 2a; y si a es impar el número de pétalos es a.

Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede

hacer una tabulación sólo con algunos valores de q que casi siempre son: 0,

p/2, p, 3p/2, 2p. y ver cómo cambia el valor de r.

r = 1- sen(q)

Aquí

observamos

que el radio

siempre es

positivo y va

de 1 a 2.

Área en coordenadas polares

En polares al igual que en rectangulares y en paramétricas podemos encontrar

el área bajo la curva. En polares diremos que será el área barrida por una

variación en el ángulo θ.

Si tenemos una curva de este tipo

sabemos que el área para uno de los segmentos está definida como

entonces si tomamos una pequeña variación como la siguiente

diremos que

entonces si queremos sacar el área de esa pequeña variación obtenemos

como el área que nos interesa no es solamente el de la pequeña variación

sino que el de un pedazo entonces lo que hacemos es sumar todos los

pequeños pedazos

nos encontramos que esta es una suma de Riemann entonces

podemos conlcuir que

Ejemplo #1

Encontrar el area entre curvas de:

podemos escribirla como,

podemos escribirla como,

Para que podamos visualizar mejor el area que tenemos que

encontrar es necesario que grafiquemos, la grafica nos quedaria

de la siguiente manera:

rojo:

negro:

Como vemos en la grafica el area que ellos comparten es,

en de y de

de

Empezaremos con el area de

Ahora calculamos el area de

El area total seria la suma de las dos

areas:

Concluimos que el area en polares seria: