COORDENADAS POLARES

Objetivos:

Comprender el sistema de coordenadas polares. Expresar coordenadas y ecuaciones rectangulares en forma polar y

viceversa. Trazar la gráfica de una ecuación dada en forma polar. Hallar la pendiente de una recta tangente a una gráfica polar. Identificar diversos tipos de gráficas polares especiales.

COORDENADAS POLARES

Un sistema coordenado representa un punto en el plano mediante un par ordenado de números llamados coordenadas. Por lo general se usan coordenadas cartesianas, que son distancias dirigidas desde dos ejes perpendiculares. Aquí se describe el llamado sistema coordenado polar, que es más conveniente para muchos propósitos.

Se elige un punto en el plano que se llama polo u origen y se identifica con O. luego se dibuja un rayo (semirrecta) que empieza con O llamado eje polar. Este eje se traza por lo común horizontalmente a la derecha y corresponde al eje X positivo en coordenadas cartesianas.

Si P es un punto cualquiera y sea “r” la distancia de O a P y sea “Ө” el ángulo entre el eje polar y la recta OP, entonces el punto P se representa mediante otro par ordenado (r, Ө) donde r y Ө se llaman coordenadas polares de P.

Veamos esto gráficamente:

Estas definiciones de las coordenadas polares (r, Ө) se extienden cuando “r” es negativo estando de acuerdo en que los puntos (-r, Ө) y (r, Ө) están en la misma línea que pasa por O y la misma distancia igual a │r│ de O.

Veamos en la siguiente gráfica:

Ejemplos:

Localize los puntos del siguiente conjunto de coordenadas.

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

x=r cos❑y=rsin❑

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x, y), se tiene que la coordenada polar r es:

r=√x2+ y2 Esto se deduce aplicando el Teorema de Pitágoras

También: “ tanθ=yx ”.

EJEMPLO 1:

Convierta el punto (2, π/3) de coordenadas polares a cartesianas.

Solución: Puesto que r= 2 y Ө= π/3 usamos las ecuaciones anteriores.

x=r cosθ=2cos(π3)=2.(12 )=1

y=rsin θ=2sin( π3

)=2.(√32 )=√3

Por lo tanto, el punto es (1,√3) en coordenadas cartesianas.

EJEMPLO 2:

GRAFICA DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES

Curvas Polares .- La grafica de una ecuación polar r= f(Ө) consta de los puntos P que tienen al menos una representación polar (r, Ө) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

EJEMPLO 3: Describir la gráfica de cada ecuación polar. Confirmar cada descripción transformando la ecuación a ecuación rectangular.

a) r= 2 b) Ө= π/3

Solución:

a) La grafica de la ecuación polar r= 2 consta de todos los puntos que se encuentran a dos unidades del polo. En otras palabras la grafica es un círculo que tiene como centro el origen y radio 2.

Veamos la gráfica:

Esto se puede confirmar utilizando la relación: x2+ y2=r2

Entonces la ecuación rectangular es: x2+ y2=22

b) La gráfica de la ecuación polar Ө= π/3 consta de todos los puntos sobre la semirrecta que forma un ángulo de π/3 con el semieje x positivo.

Veamos la gráfica:

Para confirmar esto, se puede usar la relación tanθ=yx para obtener la

ecuación rectangular:

y= √3 .x

EJEMPLO 4:

Vamos a graficar la ROSA DE TRES PETALOS cuya ecuación es:

r = 2cos3θ

Tabulando los valores:

Esbozando la grafica se obtiene la rosa de tres petalos.

Recta tangente en curvas polares

Un elemento esencial para la representación de curvas, es la pendiente de la tangente (si es que existe dicha tangente) en un punto de la curva. Sabemos que

si la curva está dada en coordenadas cartesianas por la ecuación y = f(x), entonces la pendiente de la recta tangente en el punto (x0 , y0 ¿ de la curva es y′ (x0). El siguiente resultado establece una fórmula similar cuando r= f ( ) se considera a como un parámetro y se escriben las ecuaciones paramétricas como:

x=r cos❑ = f ( ).cos❑y=rsin❑= f ( ).sin❑

Después la pendiente de la recta tangente derivando y aplicando la regla del producto quedaría así:

mT=dydx

=

drd.sin❑+r cos❑

drd.cos❑−r sin❑

Se pueden encontrar tangentes horizontales cuando dy/d = 0, del mismo

modo para las tangentes verticales cuando dx/d = 0.Ejemplo 5:Para la cardioide r= 1+ sin❑ encuentre la pendiente de la línea tangente cuando =π /3.

Solución: utilicemos la ecuación anterior de la cual se obtiene que:

mT=dydx

=

drd.sin❑+r cos❑

drd.cos❑−r sin❑

mT=cos . sin❑+(1+sin)cos❑cos❑.cos❑−(1+sin)sin❑

= (1+2sin)cos❑(1+sin)(1−2sin❑)

Cuando =π3 la pendiente en ese punto será.

mT=(1+2sin π

3)cos π

3

(1+sin π3)(1−2sin π

3)= −1

Ejemplo 6: Halle en que puntos sobre la línea tangente es horizontal sobre la gráfica de r= 1+¿ cos .

Solución: Como ya lo habíamos mencionado anteriormente la recta tangente será horizontal cuando:

dyd

=0

dyd

=drd. sin❑+r cos❑=0

dyd

=sin❑ .sin❑+(1+cos ) cos❑=0

Resolviendo = 0 ,2π también = 2π3 , 4 π3Entonces reemplazamos en los valores en la ecuación de r y obtendremos los puntos en los cuales la recta tangente es horizontal.

RPTA: Los puntos son (0,2), (2π3 , ), (½ 4 π3, ), (½ 2π ,2 ¿.