1 Definición

Las coordenadas esféricas constituyen otra generalización de las coordenadas polares del plano, a base de girarlas alrededor de un eje. Su definición es la siguiente: La coordenada radial  : distancia al origen La coordenada polar  : ángulo que el vector de posición forma

con el eje  . La coordenada acimutal  : ángulo que la proyección sobre el

plano   forma con el eje  .

Los rangos de variación de estas coordenadas son:

El ángulo   también puede variar en el intervalo [0,2π).1.1   es siempre positivaLa coordenada radial es una distancia siempre positiva. Si, partiendo de un punto  , vamos reduciendo el valor de  , al atravesar el origen de coordenadas   vuelve a aumentar. Lo que cambian son los valores de  , que pasa a valer   (¿Por qué?) y  , que pasa a ser   (¿Por qué?).

1.2   vale   como mucho, no 

Es un error muy común el suponer que   llega hasta  , como  . Hay que recordar que ambas coordenadas tienen significados geométricos muy diferentes.   equivale a la longitud geográfica, mientras que   es el complementario de la latitud.

El valor   corresponde al Polo Norte. Si ahora aumentamos  , lo que hacemos es viajar hacia al sur. El Polo Sur es  . Y es lo máximo a lo que podemos llegar. No se puede viajar al sur del Polo Sur. Si siguiéramos recorriendo la superficie terrestre lo que estaríamos haciendo es ya volver hacia el norte, lo que supone reducir  . Eso sí, al pasar por el Polo Sur, la longitud   cambia a  .

1.3 Geografía...

El uso más evidente de las coordenadas esféricas lo constituye la geografía. Para identificar un punto de la superficie terrestre indicamos su latitud y su longitud.La latitud es la altura respecto al ecuador. Este ángulo es el complementario de la coordenada polar   (por lo cual a ésta se la llama también colatitud). La latitud, en lugar de variar de   (en el Polo Norte) a   (en el Polo Sur) lo hace desde   a  .La longitud es la distancia angular respecto a un meridiano fijo (el de Greenwich). Equivale a la coordenada acimutal  .

La coordenada radial corresponde a la distancia al centro de la Tierra. La altitud   de un punto de la superficie equivale al valor de   con   el radio de la Tierra (suponiendo ésta una esfera, lo que es solo una aproximación).

1.4 ...y astronomía

Para situar las estrellas en el firmamento también es preciso emplear coordenadas esféricas. Existen varias posibilidades, siendo la más usada la formada por la ascensión recta y la declinación.

La declinación es el equivalente de la latitud, medida en este caso respecto al ecuador celeste y la ascensión recta corresponde a la longitud, medida desde un punto de referencia conocido como punto vernal (o punto Aries).

La coordenada radial sería la distancia a la cual se encuentran las estrellas respecto de la Tierra.

1 Líneas coordenadas

Para la coordenada   obtenemos, de nuevo circunferencias horizontales, lo que en la superficie terrestre corresponde a los paralelos.

Al variar   modificamos la latitud en la superficie esférica, por lo que resultan semicircunferencias verticales (los meridianos). Son semicircunferencias y no circunferencias completas porque la colatitud solo llega hasta  .

Al alejarnos o acercarnos al origen de coordenadas, variando  , nos movemos sobre una semirrecta (no una recta) que, partiendo del origen de coordenadas, pasa por el punto  .

2 Superficies coordenadas

La superficie   la forman los puntos situados a la misma distancia del origen de coordenadas. Esto, por definición, es

una superficie esférica, de la cual toman nombre las coordenadas.

La superficie   es, como en cilíndricas, un semiplano con borde el eje  .

Para construir la superficie   podemos partir de las líneas coordenadas  , que son semirrectas que parten del origen de coordenadas y forman un ángulo fijo con el eje  . Si ahora permitimos que varíe  lo que hacemos es girar estas semirrectas en torno al eje   manteniendo constante el ángulo con este eje. El resultado es una superficie cónica de semiángulo en el vértice  .

1 Base vectorialLa coordenada   es la misma que en cilíndricas, por lo que su vector unitario es también el mismo

Para   y   construimos un nuevo triángulo rectángulo, éste sobre un plano  .

El vector   va en la dirección radial, por lo que se relaciona con la base cilíndrica como

y, sustituyendo la relación con la base cartesiana

mientras que   es tangente al meridiano de radio   y apunta hacia el sur

y, en términos de la base cartesiana,

2 Base ortonormal dextrógiraLos vectores de la base esférica forman una base ortonormal dextrógira si las coordenadas se ordenan en la forma   (en particular, ¡ojo al orden de los ángulos!). Los productos

escalares y vectoriales vienen dados por las siguientes tablas de multiplicar

·

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0

0

0

3 Factores de escalaPara la coordenada  , al tratarse de la misma que en cilíndricas, tendríamos que

pero, ¡alto!, ρ no es una coordenada esférica. Para escribir este resultado correctamente, debemos escribirlo todo en esféricas, así:

La coordenada   es una distancia, por lo que su factor de escala es

mientras que   es un ángulo, lo que hace que la distancia recorrida sea el radio por el ángulo, y