P=(x,y,z)

k

j

i

r

kzjyixr

Coordenadas cartesianas

O ponto P ϵ R3 pode ser representado como pares ordenados (x,y,z) Ou pode ser identificado pelo raio vetor

r

Plano R2

Equação 1 (Reta)

x = 3, y ϵ R

(3,0)

(3,y)

Equação 2 (semi-reta)

y = -2, x ≥ 0

(x,-2)

(0,-2)

Curvas (unidimensional)

Equação 4 (segmento de reta)

y = -2, 1 < x ≤ 5

(x,-2)

(1,-2)

(5,-2)

Plano R2

Equação 3

Curvas (unidimensional)

(x,y)

(-2,4)

52

xy

2x

𝞠

Tan(𝞠)=1/2

Regiões espaciais planas 2D

Superfícies: bidimensional

-3 ≤ x ≤ 5 0 ≤ y ≤ 5

(-3,0) (5,0)

(0,5)

retângulo (x,y)

Uma superfície plana precisa de duas coordenadas livres, pra ser definida.

Regiões espaciais planas 2D

Superfícies: bidimensional

-3 < x ≤ 5 0 ≤ y < 5

(-3,0) (5,0)

(0,5)

retângulo (x,y)

Regiões espaciais planas 2D

Superfícies: bidimensional

0< y ≤ - x+4 0 ≤ x < 4

Triangulo retângulo

Observe que as duas variáveis tem um intervalo de valores, então as duas inequações representam uma região bidimensional.

(4,0)

(0,4) y

x x

y

Regiões espaciais planas 2D

Superfícies: bidimensional

0< y ≤ 4 0 ≤ x ≤ 4-y

Triangulo retângulo

Observe que as duas variáveis tem um intervalo de valores, então as duas inequações representam uma região bidimensional.

(4,0)

(0,4) y

x x

y

Exemplo. Determine o intervalo de valores para as coordenadas x e y que defina o seguinte triangulo.

O paralelepípedo esta definido assim : 0≤ x ≤ a 0≤ y ≤ b 0≤ z ≤ c

X b

c

a

Z

Y X

Y Z

y = 0 z = 0 0 ≤ x ≤ a

a

X

Y

Z

z = 0 0 ≤ x ≤ a 0 ≤ y ≤ b

b

a

y

x

eixo polar

r

P=(r,𝞠)

Coordenadas polares

(x,y) ---------> (r,𝞠)

Sistema de coordenadas polares

- 𝞠 é medido sempre desde o eixo polar, em sentido anti-horário. - r é sempre positiva, 0≤ r

um plano quadriculado em coordenadas cartesianas

Um plano “quadriculado” em Coordenadas polares

Coordenadas polares

Coord. polares

20

0

r

exemplos

y

x

eixo polar

r

P

r=r(𝞠)

Curvas planas em coordenadas polares: r=r(𝞠)

Curvas planas em coordenadas polares: r=r(𝞠)

y

x

eixo polar

r

P

r=r(𝞠) er e𝞠

j

i

Curvas planas em coordenadas polares: r=r(𝞠)

jie

jier

)cos()sin(ˆ

)sin()cos(ˆ

,ˆˆ

,ˆˆ

r

r

edr

ed

ed

ed

Provar que :

y

x

eixo polar

r

P

r=r(𝞠) er

e𝞠 j

i

ree ˆˆ

Vetores unitários ortogonais em qualquer ponto da curva

𝞠

𝞠

Coordenadas polares

Elemento de linha:

rerr ˆ

|| rdds

Vetor posição em coordenadas polares

Vetores unitários em coordenas polares

re Vetor unitário ao longo do crescimento da variável r

e Vetor unitário ao longo do crescimento da variável ϴ

Coordenadas polares

rerr ˆ Vetor posição em coordenadas polares

Vetores unitários em coordenas polares

Produto escalar dos vetores unitários polares : eles são ortogonais

1ˆ .ˆ 1ˆˆ θθrr

ee, e.e

0ˆ .ˆ

eer

Norma unitária

ortogonalidade

eredrrd

rˆ d ˆ

Diferenciando os vetores unitários polares em relação à 𝞠, temos, r

e ,

e

Comprimento de arco em coordenadas polares.

Seja r=r(θ), uma função que define uma curva em coordenadas polares. Logo :

2

1

22)(

dd

drrL

PQ

222d .|| rdrrdrdrd

(módulo do elemento de linha)

y

x 1

r1

P r=r(𝞠)

2

r2 L

Q

Exemplos de gráficos en coordenadas polares

> with(plots): polarplot(1, theta=0..2*Pi, axis[radial]=[color=“Gold"]);

Representa uma circunferência centrada na origem de coordenadas Em coordenadas cartesianas.

Exemplo 1 : realizar o gráfico da função 20 ,1 r

gráficos en coordenadas polares

Exemplo 2 : realizar o gráfico das seguintes funções : a) b) c) 4/ ,0 r 3/ ,30 r 3/0 ,3 r

Exemplo 3 : Identifique as regiões a seguir em coordenadas polares a) b) c) Exemplo 4 : Dada a equação da reta y=-x, encontre a equação desta em coordenadas polares Exemplo 5 : Dada a equação de uma reta em coordenadas polares , encontre a sua versão em coord. cartesianas

4/ 0 ,20 r 4/5 /2 ,21 r

0r ,4/3 /3

210r0 ,4/

Critérios para construir gráficos de curvas planas em coordenadas polares

1.- Encontrar valores do ângulo 𝞠 para os quais r=0. 2.- .- Encontrar valores do ângulo 𝞠 para os quais r é máximo. 3.- estudar as simetrias da função r=r(𝞠) (próximo slide) 4.- identifique o domínio fundamental, onde você precisa estudar o crescimento ou decrescimento da função. 5.- Desenhar o gráfico de r(𝞠) em coordenadas polares.

,...},{0)(21

r

Seja r=r(𝞠) a equação de uma curva plana em coord. polares

..},{021

d

rd

Critérios de simetria para desenhar curvas polares planas

a) (r,- ϴ) e (r, ϴ) são simétricas em relação ao eixo x

b) (r, ϴ) e (r, π-ϴ) são simétricas em relação ao eixo y

c) (r, ϴ) e (r, π+ϴ) são simétricas em relação ao origem.

y

x

r

- 𝞠

(r,𝞠)

(r,-𝞠)

r

(r,- ϴ) e (r, ϴ) são simétricas em relação ao eixo x

a)

y

x

r π- 𝞠

(r,𝞠) (r,π-𝞠)

r

(r, ϴ) e (r, π-ϴ) são simétricas em relação ao eixo y

b)

y

x

r

Π+ 𝞠

(r,𝞠)

(r,π+𝞠)

r

(r, ϴ) e (r, π+ϴ) são simétricas em relação ao origem de coordenadas

r=2 cos(2𝞠)

c)

Gráficos em coord polares

> with(plots): polarplot(2sin(theta), theta=0..2*Pi],);

A curva dada é uma circunferência em coordenadas cartesianas com radio r=1 e centrada em (x,y)=(0,1)

Exemplo 7: desenhar a curva 0 ),sin(2r

r=1+sin(𝞠)

cardioide

Exercícios

Exercício 2.- Determine o perímetro da cardioide Resposta: 8 )cos(1 r

Exercício 1.- encontre o perímetro da curva )sin(2 r

Exercício 3.- Realizar o gráfico e determine o perímetro da rosácea (deixe na forma integral, como os limites de integração bem definidos).

)3cos(2 r

Algumas figuras conhecidas em coordenas polares

Rosáceas

)sin(

)cos(

nar

nar

n par ------> 2n pétalas n impar -----> n pétalas

)5sin(2 r)4sin(2 r

cardioides

))sin(1(

))cos(1(

ar

ar ----- horizontal ------ vertical

Perímetro = 8a

a é constante numérica

limaçons

))sin(

))cos(

bar

bar

a < b

Com laço

))sin(42

))cos(42

r

r

limaçons

))sin(

))cos(

bar

bar

b < a

sem laço

))sin(24

))cos(24

r

r

Exercícios adicionais...

Exercícios: 4.- Desenhe a região do plano limitada por a) 2 ≤ r ≤ 4, e π/2 ≤ ϴ < 2π b) r=4, -π/2< θ < π/2 5.- Determine a forma polar para a seguinte equação cartesiana de uma curva plana 6.-Desenhe a curva r2= 4cos(2 ϴ), 0≤ϴ< 2π. Calcule o perímetro da curva, deixa na forma integral, juntos aos limites de integração bem definidos.

122 yxyx

Coordenadas cilíndricas : (r,θ,z)

zz

ry

rx

)sin(

)cos(

k

j

i

r

θ r

z O

C (r,θ,z)

kzerrr

B r

e

x

y

z

z

r

20

0

Transformação de coordenadas Coord. Cilíndricas -> coord. cartesianas

Equação de uma circunferência de (aro circular) raio R=4, localizada a um altura h=5, por cima do plano x y, centralizada no eixo z.

P

z

𝞠

r P=(r,𝞠,z)

X

Y

Z

r=4 0 ≤ 𝞠 < 2π z=5

Em coordenadas cilíndricas

Em coordenadas cartesianas

Aro circular = {(x,y,z) 𝞊 R3 /x2+y2=16, z=5}

Coordenadas cilindricas (r,θ,z)

P = (x,y,y)

P= (r,θ,z)

.40

,20

]2,0[ ,000

z

rrr

Variando a coordenada r

Qual é a equação da superfície cilíndrica Reto (seção transversal circular) de raio 3 e altura h=3 ???

P

z

𝞠

r P=(r,𝞠,z)

X

Y

Z

Qual é a equação da superfície cônica com vértice na origem de coordenadas, base circular reto de raio R=3 e altura h=3 ???

r

𝞠

z

P=(r,𝞠.z)

X

y

Z

F G

O

exercícios

7.- Seja uma reta vertical paralela ao eixo +Z, que passa pelo ponto P=(r,φ,z)=(2,π/6,0). Determine a equação de dita reta em coordenadas cilíndricas. 8.- Determine a equação em coordenadas cilíndricas de um

plano vertical perpendicular ao plano xy, e que forma um ângulo de 450 com o eixo +x que se estende no primeiro octante.

9.- Determine a equação em coordenadas cilíndricas de uma superfície cilíndrica reto de altura H=4, e de base circular de radio R=5 centrado no eixo +z, e colocada por cima do plano xy. Determine também a equação do volume cilíndrico limitada pela superfície cilíndrica anterior.

k

j

i

r

Coordenadas esféricas : (r,𝞥, θ)

𝞥

O

C (r,θ,z)

B r

e

x

y

z

)cos(

)sin()sin(

)cos()sin(

rz

ry

rx

20

0

0

r

Transformação de coordenadas Coord. Esféricas -> coord. cartesianas

𝞠 r

𝞥 -> ângulo polar 𝞠 -> ângulo azimutal

r

𝞠

𝞥

P

r = R 0 ≤ 𝞠 ≤ π 0 ≤ 𝞥 ≤ 2π

Superfície esférica centralizada na origem de coordenadas (S2)

}/),,{(222232

RzyxRzyxS

em coordenadas esféricas

em coordenadas cartesianas

}0,20,/),,{(32

RrRrS

h R

X

Y

Z

Exemplo 1.- Qual é a equação da circunferência (em coordenadas esféricas) localizada a altura h por cima do plano xy e sobre superfície esférica de raio R?. A superfície esférica esta centralizada na origem de coordenadas.

Resposta:

)}cos(,20,/),,{(:3

R

harRrRrC

Em coordenadas cartesianas

},/),,{(:22223

hRyxhzRzyxC

Exemplo 2.- Seja a superfície esférica de raio R, centralizada na origem de coordenadas. Qual é a equação da porção da superfície esférica (S) limitada pela circunferência localizada a altura h por sobre o plano x y e o polo norte? (h<R).

Z

X

Y h

R

}20,0,/),,{(:0

3 RrRrS

)cos(0

R

har

Do exercício anterior:

Logo:

Em coordenadas cartesianas

},/),,{(:22223

RzhRzyxRzyxS

Coordenadas esféricas

Exercício 10: A equação : x2+y2+z2 = 4, representa uma superfície esférica de radio 4 centrada na origem de coordenadas. Determine a equação da superfície correspondente ao hemisfério norte em coordenadas esféricas. Exercício 11 : desenhe a região espacial limitada por r=3, 0 ≤θ ≤ π/2, 0 ≤ φ ≤ 2π; r,θ,φ, são coordenadas esféricas. Exercício 12 : seja uma circunferência de radio R=2, colocada a uma altura h=3 sobre o plano xy. Determine a equação de dita curva em coordenadas cartesianas, coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas. Exercício 13. Seja o plano do exercício 8, determine a equação deste plano em coordenadas esféricas. Exercício 14.- Considere a o planeta terra com um esfera perfeita, determine a equação da superfície esférica da terra que se estende do pólo norte ate o paralelo +π/3. Rh= radio da terra.

Exercícios

Latitude (𝞥) Longitude (𝞴)

Coordenadas geográficas

P

X

Y

Z

Q=(x,y,-R)

P=(a,b,c) 2SP

Plano T: = {(x,y,x) 𝞊 R3 /z =-R}

Projeção estereográfica

Desafio: faça uma projeção dos pontos da superfície esférica no plano horizontal T, ou seja, encontre as coordenadas x e y em função das coordenadas do ponto P da superfície esférica S2.

Superfície esférica S2, centralizada na origem de coordenadas.