coord polares

Ing. Soraya Solís-Capítulo de Coordenadas Polares Página 1 de 13

Unidad 2: Coordenadas Polares Objetivos del Capítulo: • Conocer el sistema de representación polar y graficar las curvas más importantes de

este sistema: rectas, cónicas, caracoles, rosas, lemniscatas y espirales. • Conocer el sistema de representación paramétrico y graficar las curvas más

importantes de este sistema. G E N E R A L I D A D E S Y C O N V E N C I O N E S El sistema polar es una alternativa de los sistemas de graficación plana que permite representar de una manera más sencilla algunas relaciones que en el sistema rectangular poseen estructuras algebraicas complejas, sea por la cantidad de operaciones que deben realizarse o por la dificultada de obtener patrones de graficación. En este sistema intervienen dos variables: La variable que se denomina ángulo polar, cuya medida generalmente es denotada por la letra griega θ y la otra que se la conoce como radio polar denotada por r. Elementos del plano polar Polo.- Es el origen polar desde donde se miden los radios polares. Su equivalente en el sistema XY es el origen cartesiano. Rayo Polar.- Es la semirrecta que tiene como extremo el polo sobre la cual se miden todos los ángulos polares. Su equivalente en el sistema XY es el eje X positivo.

Los ángulos se miden en sentido anti-horario y se los considera positivos en este sentido. Un ángulo negativo se interpreta como si se midiera en sentido horario.

Definición de las variables Radio Polar.- Es la distancia del punto P al Polo. Por definición r ≥0. Angulo Polar.- Es el ángulo que el radio polar forma con el rayo polar. Por definición su medida θ ∈ [0,2π].


Como el radio polar es la distancia del POLO al punto P que se desea representar y por definición siempre es positiva o igual a cero, en el caso que r fuere negativo, se deberá medir en la dirección opuesta al ángulo determinado

por el punto y utilizar su valor absoluto: ( ) ( ), ,r rθ θ π= ± ; r < 0.

Similarmente, si θ está fuera del intervalo [0, 2π], su valor puede reducirse sumándole ±2nπ; n∈ . En ninguno de estos casos se afecta la posición del punto. Gráficamente, un punto P en el sistema polar se interpreta como la intersección de una circunferencia centrada en el polo con radio r y una semirrecta con extremo en el polo y dirección θ respecto al rayo polar.

Ejercicio: Grafique los siguientes puntos en el sistema polar:

a) ( )4,2 π

b) ( )51, 6π−

c) ( )21, 3π−

d) ( )67,3 π−−

e) ( )95, 2π−

P


Relación entre las coordenadas rectangulares y las polares Se requiere que ( ) ( )yxr ,, yθ representen al mismo punto P en el plano. Para ellos se emplean las siguientes ecuaciones de conversión fundamentadas en la definición de las variables del sistema polar: De rectangulares a polares De polares a rectangulares

2 2r x y= + x = r Cos θ yarctanx

θ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

; x ≠ 0 ; y = r Sen θ

32 2π πθ θ= ∨ = ; x = 0 ; y ≠ 0

En general, las coordenadas ( ), 2r nθ π+ , n∈ representan el mismo punto

( ),r θ . Por lo tanto un punto P tendría un número ilimitado de representaciones

en pares ordenados polares si se admite que θ ∈ . Asimismo, si r=0 la variable θ puede tomar cualquier valor y representaría el origen o polo. Debido a esto y para garantizar que exista una biyección entre el sistema rectangular y el polar, se define que el polo (r=0) sea representado por (0,0) en el sistema cartesiano, y para r > 0, θ ∈ [θ0, θ0+2π) se emplean las ecuaciones de conversión anteriores. Dado que generalmente se define θ0=0, esto permite construir una función biyectiva f entre los dos sistemas de graficación: f: (0,+∞)x[0, 2π) ∪ (0,0) 2 / (r, θ) (rcosθ, rsenθ); r > 0, θ∈[0, 2π); (0,0) (0,0) Su inversa es: f − 1 : 2 (0,+∞)x[0, 2π) ∪ (0,0) / (x, y) (r, θ); (x, y)≠(0,0); (0,0) (0,0) ; (x, y)=(0,0) Ej1) Hallar las coordenadas rectangulares del punto ( )4

7,6 π− .

Ej2) Dada la ecuación polar r2 = 4cos(2θ), escriba su ecuación rectangular. Ej3) Escriba las coordenadas polares de ( )1,3 −− Ej4) Convierta la ecuación cartesiana 0422 =−+ xyx a la forma polar.


GRAFICAS DE ECUACIONES POLARES

• Lugares especiales • Otras gráficas: rectas, cónicas, caracoles, rosas, lemniscatas,

espirales, etc. Lugares especiales

a) Cuando θ es una constante se obtiene una semirrecta. Ej) Graficar θ 4

π=

b) Cuando r es una constante se obtiene una circunferencia

centrada en el polo con longitud de radio igual a la constante. Ej) Graficar r = 4

c) La expresión r cos θ igual a una constante, ¿qué representa?.

d) La expresión r sen θ igual a una constante, ¿qué representa?.

Recta que contiene al origen y = mx; m∈ : ( ) 0arctan m rθ = ∨ = Recta que no contiene al origen

y = mx + b; m, b∈ −{0}: ( ) ( ) [ ]; 0,2br I

sen mcosθ π

θ θ= ∈ ⊆

−

Se muestra la gráfica de ( ) ( ) [ ]1 3; 0,2 ,

4 4r

sen cosπ πθ π

θ θ⎧ ⎫= ∈ − ⎨ ⎬− ⎩ ⎭

≡ y=x+1; x∈


Circunferencia que contiene al origen centrada en (a, b) 2 2 2 2 0; ,x y ax by a b+ − − = ∈ : ( ) ( ) [ ]2 2 ; 0,2 0r a cos b sen rθ θ θ π= + ∈ ∨ =

Con el resultado anterior grafique: i) r = 2Cos θ − 3 Sen θ ii) r =5Cos θ iii) r = − Sen θ

Parábola 2 4 ; 0y px x= ≥ : ( ) ( ) { }2

4; 0,2

θp cos

rsen

θθ π π= ∈ −

Elipse 2 2

2 2 1;x ya b

+ = : 2 2

; ; 0 11 θ

br b ee cos

+= ∈ < <−

2

2 ; 0 21 0.49 θ

rcos

θ π= ≤ ≤−

( )2

4θ

cosr

senθ

=

2 2

17.84 4x y

+ =

2 4y x=


Hipérbola 2 2

2 2 1;x ya b

− = : 2 2

; ; 1θ 1

br b ee cos

+= ∈ >−

INVESTIGAR OTRAS ECUACIONES DE CONICAS EN COORDENADAS POLARES. (UN PUNTO EXTRA POR DEMOSTRAR EQUIVALENCIAS) GRÁFICAS CON LA AYUDA DE UNA TABLA DE PUNTOS Construya una tabla que le permita bosquejar las siguientes gráficas. Compare sus resultados con la gráfica adjunta.

θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π r r = 1 – Cos 2θ

θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π r r = 4 Cos 2θ θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π r r = θ

[ ]2

2 ; 0,29 θ 1

r Icos

θ π= ∈ ⊂−

2 2

10.5 4x y

− =


Lemniscata: ( )2 2 2θ ;r a cos= o ( )2 2 2θ ;r a sen=

Se muestra la gráfica de r 2 = 9 Sen(2θ )

Familia de caracoles o limazones La ecuación general r = a ± b Sen θ ó r = a ± b Cos θ , con a, b > 0 representa: a) Un caracol con lazo si a < b. Por ejemplo, r = 1 + 2 Senθ b) Una cardioide si a = b. Por ejemplo, r = 2 + 2 Cosθ

c) Un caracol con hendidura si (1, 2)ab∈ . Por ejemplo, r = 3 − 2 Cosθ

d) Un caracol convexo si 2≥ba . Por ejemplo, r = 3 − Senθ

Familia de rosetas La ecuación r = aCos(nθ) ó r = aSen(nθ); a ∈ , n∈ representa: a) Una roseta que tiene n folios si n es impar. Por ejemplo, r = 2 Sen (3θ ). b) Una roseta que tiene 2n folios si n es par. Por ejemplo, r = Cos ( 2θ ). Otras gráficas Espiral de Arquímedes: r = a+bθ; a, b∈ ; θ ≥ 0


Espiral logarítmica: r = a bkθ; k∈ , a, b∈ + ; θ≥0 INTERSECCIÓN DE GRAFICAS EN COORDENADAS POLARES El objetivo es determinar los puntos (r, θ) que satisfacen simultáneamente las ecuaciones polares en estudio. Gráficamente, la intersección representa los puntos donde se cortan las gráficas de dichas ecuaciones. Procedimiento Guía para obtener todas las intersecciones entre dos curvas polares: a) Realizar un bosquejo de las gráficas y verificar simetría en la distribución

de puntos.

b) Resolver el sistema de ecuaciones conformado.

c) Verificar si el POLO es solución de todas las ecuaciones del sistema.

Ej1. Determine la intersección de las curvas r = 2 – 2Cosθ ∧ r = 2Cosθ.

Ej2) Encuentre la solución de sistema de ecuaciones r = 2 Sen 2θ ∧ r = 1.


REGIONES EN COORDENADAS POLARES Otra de las aplicaciones del sistema polar es que permite representar regiones en el plano mediante curvas más sencillas. Dichas curvas y sus puntos de intersección son los que más adelante definen los límites de las integrales. Por ejemplo, se requiere definir la región (conjunto de puntos) del plano limitada por dos circunferencias concéntricas de radios 1 y 3; acotada por los ejes coordenados. La región sería:

En el sistema rectangular esto implicaría dividir la región en dos sub-regiones, por que los límites cambian: En la sub-región con 0 ≤ x≤1 , los límites superior e inferior son, respectivamente, 29y x= − ; 21y x= − . En la sub-región con 1 ≤ x≤3 , los límites superior e inferior son, respectivamente, 29y x= − ; y =0. En cambio, si se emplea el sistema polar, la región puede representarse como

el conjunto de puntos tales que 1 ≤ r ≤3 ; 02πθ≤ ≤ . Es decir:

( ) 2, /1 3; 02

r r πθ θ⎧ ⎫∈ ≤ ≤ ≤ ≤⎨ ⎬⎩ ⎭

Ej. 1) Grafique la región común interna a r = 2 – 2Cosθ ; r = 2Cosθ.

Ej. 2) Grafique la región interna a r = 1 y externa a r = 2 Sen 2θ.

Ej. 3) Describa el área exterior a r = 2 – Sen θ e interior a r = 3 Senθ , ubicada en el segundo cuadrante.


ECUACIONES PARAMETRICAS Una relación r de la forma r: I⊆ → 2 dada por jir ˆ)(ˆ)()( tgtft += , t∈ I representa una curva en el plano. En este caso, x = f ( t ), y = g ( t ) se denominan las ecuaciones paramétricas de la relación mientras que a t se le conoce como el parámetro. La gráfica de la relación se la obtiene construyendo los puntos P(x, y) que se obtienen por cada valor t que se evalúe en las expresiones f y g, respectivamente. IMPORTANTE RECORDAR • No existe una única forma de parametrizar una curva, pero siempre se debe

buscar las ecuaciones paramétricas más sencillas. • Las ecuaciones paramétricas siempre deben satisfacer la ecuación

rectangular. • A partir de las ecuaciones paramétricas se puede construir (o reconstruir) la

ecuación rectangular. Ej. 1) Identifique la curva representada por ( )( ) 4 ,4t cost sent=r ; t ∈ [ ]0,2π . Se definen las ecuaciones paramétricas:

x=4cost y=4sent ; t∈[ ]0,2π

Se construye una tabla de valores con algunos valores de t:

t x y 0 4 0

2π 0 4

π −4 0 3

2π 0 −4

2π 4 0 Si se generan más puntos, se obtiene la gráfica de una circunferencia centrada en el origen con radio de 4u de longitud. A continuación se analizan las curvas paramétricas comúnmente más utilizadas.


Circunferencia En física es usual representar el movimiento circular uniforme en forma paramétrica, mediante las ecuaciones generales:

x=acost y=asent ; t∈[ ]0,2π , a >0.

Si la circunferencia está centrada en (h, k), la ecuación canónica es de la forma ( ) ( )2 2 2x h y k a− + − = y se puede definir:

x − h = acost y − k = asent ; t∈[ ]0,2π , a >0.

Con lo cual, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria circular son:

x = accost + h y = asent + k ; t∈[ ]0,2π , a >0.

Note que esto equivale a haber hecho un cambio de variable para trasladar el origen a (h, k). Elipse

Si la elipse tiene la ecuación canónica ( ) ( )2 2

2 2 1x h y k

a b− −

+ = se puede definir:

x − h = acost y − k = bsent ; t∈[ ]0,2π , a, b >0.

Con lo cual, las ecuaciones paramétricas de la trayectoria elíptica son:

x = accost + h y = bsent + k ; t∈[ ]0,2π , a, b >0.

Cicloide Es la trayectoria que describe un punto cualquiera de una circunferencia de radio a que rueda sobre una línea recta, tal que la recta y la circunferencia son coplanares. Las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:

x = a ( t − sent) y = a (1 − cost) ; t∈[ ]0,2π , a >0.


Hipocicloide Es la trayectoria que describe un punto cualquiera de una circunferencia de radio a que rueda sobre una circunferencia exterior. Las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:

x = a cos3 t y = a sen3 t ; t∈[ ]0,2π , a >0.


Ej. 2) Describir los puntos de la curva:

a) 2

:3

x tC

y t= +⎧

⎨ =⎩; t∈ .

b) 2

:x t

Cy t=⎧

⎨=⎩

; t∈ .

Parametrización de curvas Parametrizar una curva significa obtener ecuaciones para las coordenadas de los puntos que la conforman, en términos de un parámetro elemento de los reales. Algunas curvas requieren un único conjunto de ecuaciones con t∈I⊆ como las estudiadas anteriormente. Otras curvas requieren ser definidas por intervalos debido a la presencia de puntas o saltos. Con los siguientes ejemplos se ilustran estos casos. Ej. 3) Parametrizar la curva C: a) C es el contorno del cuadrado con vértices en (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0). b) C es el contorno del triángulo limitado por los ejes coordenados y la recta

x+y=4. c) C es el camino formado por un arco cúbico y un segmento de recta, desde (0,0) hasta (4, 8) tal como se muestra en la figura adjunta.

Tarea No. 1: Segunda parte Ejercicio 369 del Libro “5000 Problemas de Análisis Matemático”, B.P. Demidovich, 7ma edición.

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