CONTROL POR MODOS DESLIZANTES DEL MOTOR DE CORRIENTE DIRECTA SIN

ESCOBILLAS.

Fernando Holguín S.1, Rogelio E. Baray Arana2, Leonid M. Fridman G.3

Instituto Tecnológico de Chihuahua1,2División de Estudios de Posgrado e Investigación

Av. Tecnológico No. 2909, C.P. 31310

Chihuahua, Chih.3 Universidad Nacional Autónoma de México

División de Posgrado, Facultad de Ingeniería

Edificio ‘A’, Ciudad Universitaria

C.P. 70-256, México D. F.1fholguin@itchihuahua.edu.mx,

2rbaray@itchihuahua.edu.mx, 3lfridman@verona.fi-p.unam.mx

Resumen.

El control por Modos Deslizantes es una metodología moderna de control que está

despertando interés debido a sus características como son: robustez, rápida respuesta, rechazo a

perturbaciones desconocidas y fácil implementación mediante un algoritmo matemático simple,

entre otras.

Entre los algoritmos más nuevos del control por Modos Deslizantes, están los llamados

algoritmos de segundo orden. Uno de estos algoritmos es el “Twisting”, el cual, por sus propias

características y condiciones, dá una respuesta más rápida y una mejor estabilidad, disminuyendo

el efecto indeseado conocido como “chattering”. En los inicios del control por Modos Deslizantes el

chattering fue la causa principal que esta metodología de control no lograra implementarse en

forma satisfactoria. Después con el desarrollo en la tecnología de los semiconductores se lograron

fabricar dispositivos de conmutación muy veloces y por otra parte también se han desarrollado

últimamente microprocesadores de alta velocidad tales como los procesadores de señales digitales

(D.S.P.). Con éstos nuevos avances tecnológicos, actualmente se puede implementar este tipo de

control, siendo un área en la que apenas se empieza a investigar y es de vital importancia para

lograr estar a la vanguardia en cuanto a métodos de control. En el presente artículo se muestra el

algoritmo “Twisting”, aplicado al motor de corriente directa sin escobillas (M.C.D.S.E.). Se presenta

como resultado la comparación del algoritmo “Twisting” comparado con el control por Modos

Deslizantes Tradicional. En este resultado se demuestran las ventajas del algoritmo “Twisting”,

mencionadas anteriormente, en la comparación de las figuras 3 y 4 del control tradicional contra las

figuras 5 y 6 del algoritmo Twisting.

Introducción.

En este artículo se presentan las principales etapas resumidas para la investigación del

control por Modos Deslizantes, todas las etapas serían: a) obtención y comprensión del modelo

matemático del motor, b) comprensión del control por Modos Deslizantes Tradicional c) aplicación

del control por Modos Deslizantes Tradicional al motor, c) comprensión del algoritmo “Twisting” y d)

aplicación del algoritmo “Twisting” al motor. Pero ya que el objetivo principal de la investigación es

validar el funcionamiento del algoritmo “Twisting”, las etapas del control por Modos Deslizantes

Tradicional no se muestran y sólo como conclusión se dan unas figuras comparativas entre ambos

métodos de control, mostrando la superioridad del algoritmo “Twisting”.

Modelo matemático del motor.

La estructura de un sistema propulsor de un M.C.D.S.E. es mostrada en la figura 1. [2]

s

b

u

w6

s

N

R1 2

n

cR

u

w5

i

Ru

c

s s

LS

i

w2

1 2

w3

w4

o

a

1 2L

i

u

s

-u

b

o

La

b

a

c

w1 s

Figura 1

En el presente artículo se implementa el control en el marco de coordenadas del rotor,

también llamado marco (d,q). El modelo matemático en este marco es

(1)

donde id e iq son las corrientes del estator en el marco de coordenadas (d,q); ud y uq son los voltajes

del estator en el mismo marco de coordenadas; el término es la componente q de la

fuerza electromotriz inducida; Nr es el numero de polos; R es la resistencia por fase; L es la

inductancia por fase; r es la velocidad angular mecánica; J es el momento polar de inercia; o es

el encadenamiento de flujo del imán permanente; kt es la constante de par; r es la posición

angular; y l es el par de carga. [2]

Teoría del algoritmo “Twisting”.

El algoritmo de control Twisting tiene la siguiente forma [1]:

(2)

Se debe cumplir con las siguientes condiciones [1]

Este algoritmo requiere para su implementación de dos niveles de voltaje, en este caso

y . puede interpretarse como el valor del voltaje de referencia (12 V para el caso del

motor usado en el presente artículo). Para el presente artículo se considera m = Voltaje de

referencia = 12 V. En las condiciones y de (2), el control está normalizado a 1, es

decir que en lugar de 1, se puede considerar el voltaje máximo que se pueda aplicar, es decir

y . Aquí, u se interpreta como el voltaje equivalente continuo que puede

controlar el sistema, es decir que el primer renglón de (2) en el caso de motores no se aplica, ya

que es para casos que no se pueden lograr ya que tal vez no se tendría una fuente de voltaje del

valor tan alto requerido. Los renglones 2 y 3 de (2) son lo fuerte del algoritmo. En el renglón 3 se

observa que se aplica un voltaje extra al nominal, esta condición es la que hace la diferencia con el

control por Modos Deslizantes Tradicional; ya que este valor extra hace que el control tenga más

robustez contra las perturbaciones y más estabilidad, así como mayor rapidez de respuesta.

Gráficamente esto se muestra en la figura 2.

s = 0

Figura 2

Obsérvese en la figura que las regiones donde se aplica el voltaje mayor es donde el valor

de s tiende a retirarse del valor deseado, produciendo los resultados arriba mencionados, además

obsérvese como también tiende a valores más pequeños, reduciéndose el chattering.

Obsérvese que el voltaje mayor ( ) se aplica sólo cuando trata de divergir el sistema y sólo en

pequeños lapsos de tiempo.

Control de velocidad aplicando el algoritmo “Twisting”.

Para aplicar el algoritmo “Twisting” al control de velocidad se usa una técnica que

consiste en aplicar el control por Modos Deslizantes directamente al modelo del motor para

lograr los controles discontinuos u1, u2, u3 sin involucrar explícitamente un lazo de control

de corriente.

Suponemos que es la velocidad angular mecánica deseada del rotor del motor y se

diseñan dos funciones para el control de velocidad, a decir

(3)

donde c es una constante positiva que determina el desempeño en Modos Deslizantes; el

coeficiente positivo kt/J es introducido para simplificar los desarrollos; la corriente de referencia

es normalmente puesta a cero para obtener un par constante. [2]

Ahora bien, las superficies de (3) se transforman de la siguiente manera

(4)

donde es el vector que representa las funciones de conmutación

transformadas; es la pseudoinversa de la matriz D y está dada, por

(5)

A cada una de las superficies , , se le aplica el algoritmo “Twisting” dado en la

ecuación (2).

Una vez obtenidos los controles u1, u2, u3, éstos se pueden mapear en uno de los dos

inversores (la figura 1 muestra el M.C.D.S.E. con un solo inversor, pero ya que el “Twisting”

necesita dos niveles de voltaje, realmente son dos inversores), según su valor; uno maneja los

valores de +m y -m, y el otro maneja los valores de +M y -M.

Resultados.

Los parámetros del motor usado son los siguientes:

Parámetros del motor Valor

uo(referencia) 12 V

kt 0.0171 N m/A

R 0.15

L 0.31 mH

J 0.000012 kg m2

0.00285 N m/A

r 4 polos

Tabla 1

En la figura 3 se muestra la respuesta del control por Modos Deslizantes Tradicional,

usando los parámetros propios del motor dados en la tabla 1, tiempo de muestreo de 0.00001 s,

, rad/s, c = 10000, uo = 12 V, y un par de carga l = 0.19 Nm, que es el par de carga

continuo máximo que puede soportar el motor según los datos del fabricante. En la figura 4 se

muestra la gráfica de la superficie de error en la velocidad ( ) contra su derivada.

En la figura 5 se muestra la respuesta del control por medio del algoritmo “Twisting” con los

mismos parámetros del control Tradicional y los niveles de voltaje de control m = 12 V,M = 30 V.

En la figura 6 se muestra la gráfica del error en la velocidad contra su derivada (la misma superficie

usada para el algoritmo Tradicional). Esta superficie debido a que para valores grandes de c:

.

Como se observa en las figuras el algoritmo “Twisting” es más eficiente y mejora las

características distintivas del control por Modos Deslizantes. En la figura 3 se observa que el

tiempo de establecimiento del algoritmo Tradicional es de 1.9 ms, el cual es superado por el

algoritmo “Twisting” con un tiempo de establecimiento de 1.5 ms como se muestra en la figura 5.

De igual forma en las figuras 4 y 6 se observa una mejor estabilidad del algoritmo “Twisting” con

menor error y menor derivada del error.

Algoritmo Tradicional Algoritmo “Twisting”

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-3

-2

0

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s)

Vel

ocid

ad a

ngul

ar (

rad/

s)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

x 10-3

-2

0

2

4

6

8

10

12

Tiempo (s)

Vel

ocid

ad a

ngul

ar (

rad/

s)

Figura 3 Figura 5

-10 -5 0 5 10-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

4

Error en la velocidad angular (rad/s)

Der

ivad

a co

n re

spec

to a

l tie

mpo

del

err

or e

n la

vel

ocid

ad a

ngul

ar

-10 -5 0 5 10-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

4

Error en la velocidad angular (rad/s)

Der

ivad

a co

n re

spec

to a

l tie

mpo

del

err

or e

n la

vel

ocid

ad a

ngul

ar

Figura 4 Figura 6

Referencias.

[1] L. Fridman, A. Levant., “Higher Order Sliding Modes” Sliding Mode Control in Engineering, Control Engineering, Vol. 11, J.P Barbot, W.Perruguetti (Eds.), Marcel Dekker, New York, 2002, pp.53-102.

[2] Vadim Utkin, Jürgen Guldner and Jingxin Shi. “SLIDING MODE CONTROL IN

ELECTROMECHANICAL SYSTEMS”. Editorial Taylor & Francis 1999.