CONTROL PID UN ENFOQUE DESCRIPTIVO

Ing. Walter J. D. Cova

Universidad Tecnolgica Nacional

Facultad Regional La Rioja Departamento de Electrnica

Diciembre de 2005.

1

CONTROL PID UN ENFOQUE DESCRIPTIVO

Ex umbra in solem.

Puesto ante la tarea de escribir, me complazco en imaginar que algn amigo, con los poderes de un Supermn y las dotes lingsticas de un Gngora, prologa mi obra alabando la habilidad de mi pluma (falaz mentira), festejando la frescura de mi ingenio (deplorable ditirambo), ensalzando mi genialidad (algo de razn tendra en este aspecto, pero uno no puede dejar de ser humildito por formacin), y corroborando mi proficiencia en el rea de conocimientos abordada (para esto ltimo hace falta Supermn, para todo lo dems con Gngora alcanza) declarara que lo que sigue es la papa (argentinismo intraducible: vanse E. S. Discpolo y Carlos De La Pa). Haciendo de la carencia virtud y ejerciendo ante el derecho de pedir la opcin de no dar, prosigo y retomo o ms bien arranco...

Prlogo, Prefacio y Proemio.

Al dar inicio a la redaccin de estas pginas lo hice con el espritu festivo de quien va a visitar a un viejo, querido y confiable amigo. Debo confesar que al principio les puse por ttulo Otra vez PID... Otra vez PID... Otra vez PID... Otra vez PID... y no es un tango! exteriorizando as esa familiaridad jocosa con que tratamos a los amigos de verdad. Rindindome ante las exigencias de la seriedad bajo cuyo manto se cobijan las manifestaciones de la literatura acadmica, he cambiado ese ttulo por el ms convencional (y cannico) que exhibe, sin que por ello el contenido se haya vuelto ms solemne ya que, personalmente, sostengo que las cosas ms ridas pueden expresarse con buen humor, sin que ello vaya en desmedro del imprescindible rigor conceptual.

Cuando entre controlistas surge la charla sobre PID, el tema aparece envuelto en un aroma como de rancio y ms de un interlocutor en especial si es joven preferira hablar de algo ms nuevo, puesto que se encuentra difundido el convencimiento que sobre PID ya se lo ha dicho todo. Y sin embargo, con solo echar una mirada sobre la cantidad y calidad de la literatura cientfico-tcnica que internacionalmente se contina produciendo alrededor del control proporcional + integrador + derivativo, llegamos a la conclusin de que an queda mucho por decir al respecto.

Resulta entonces de inters realizar una breve incursin sobre los conceptos relacionados con el diseo y ajuste de controladores PID, tanto para sistemas continuos como discretos, a fin de contar con una visin abarcativa de los diferentes aspectos de esta rea de la Automatizacin y Control.

Cuando alguien escribe sobre estos temas, lo hace con toda una multiplicidad autoral espiando por sobre sus espaldas. Por ello es que el autor cita a cada paso las fuentes de su discurso, los orgenes de su informacin y los precedentes que justifican sus conclusiones, con el objeto de evitar as el desarrollo ab ovo de todas y cada una de sus divagaciones, obrando entonces con un mix que incluye honestidad intelectual y hedonismo en proporciones equivalentes.

2

No puedo cerrar estas palabras introductorias sin manifestar mi reconocimiento a los colegas amigos que leyeron la versin preliminar de estas notas y brindaron sus sugerencias, comentarios y correcciones. Por orden alfabtico y de a uno en fondo, agradezco la colaboracin de E. Ambroggio, J. Jazni, H. Marinelli, J. Naguil, J. Ortega, J. Pedroni y J. Picco. Observando las iniciales del listado precedente, constato la preponderancia de los j-amigos, que no obstante ello pertenecen al indiscutible dominio de los afectos reales.

Dicho sto, vamos a ello.

Walter J. D. Cova

La Rioja, Diciembre de 2005. Toda la realimentacin que pudiera generarse, ruego dirigirla a: walter_cova@hotmail.com y ser bienvenida.

Non est ad astra mollis e terris via.

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CONTENIDO Introduccin

Caractersticas PID Bsicas Consideraciones de Robustez

Controladores con Dos Grados de Libertad Atenuacin de Perturbaciones Variaciones del Proceso Ruidos de Medicin y Saturacin

Diseo con Dos Grados de Libertad aplicando Filtrado de Ruidos Filtrado Asignacin de Peso al Punto de Ajuste

Efecto de Windup Limitacin del Punto de Ajuste Algoritmos Incrementales Clculo Retrgrado y Seguimiento Controladores con Modo de Seguimiento

Ajuste de Parmetros (Tuning) Mtodo de Ziegler-Nichols en base a la Respuesta al Escaln Mtodo de Ziegler-Nichols en base a la Respuesta en Frecuencia Discusin de los Mtodos Presentados AMIGO un Mtodo Mejorado de Ajuste por Respuesta al Escaln

Implementacin en Computadora Digital Problemas derivados del Muestreo Dispositivos de Retencin Discretizacin de la Ley de Control Aspectos Operativos Pseudocdigo de Computadora

Conceptos sobre Ajuste Automtico de Parmetros (Autotuning)

Referencias Bibliogrficas.

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Introduccin.

Transcurridos ms de 65 aos desde su patentamiento los controladores de accin proporcional + integradora + derivativa continan manteniendo plena vigencia en la automatizacin industrial. La pgina Internet perteneciente a la International Federation of Automatic Control (IFAC) www.ifac-control.org en la seccin correspondiente a Professional Briefs (destinada a los profesionales del Control Automtico en los mbitos industrial y acadmico), exhibe dos publicaciones (sobre un total de cinco) en las que el control PID juega un papel protagnico refs. [1] y [2]. Para completar el muestrario, citaremos el paper de strm y Hgglund: Revisiting the Ziegler-Nichols step response method for PID control, aparecido en el Journal of Process Control de enero de 2004 [3]. Por su parte el relevamiento efectuado por Desbourough y Miller [4] en 2002 sobre ms de 11.000 controladores en refineras, industrias qumicas y papeleras, arroj como resultado que el 97% de dichos controladores posean estructura PID, reafirmndose as su difusin y vigencia [5] pese a todos los avances tericos y tecnolgicos. Los controladores integrados en disposi-tivos [6] e instrumentos [7] constituyen un rea de creciente penetracin del control PID en la industria. Estas notas de extensin, constituyen una breve incursin sobre los conceptos relacionados con el diseo y ajuste de controladores PID, tanto para sistemas continuos como discretos, a fin de contar con una visin abarcativa de los diferentes aspectos de esta rea de la Automatizacin y Control. Por lo que atae a los contenidos especficos, en primer lugar se pasa resea a las caractersticas bsicas PID y se discuten los problemas asociados con el diseo robusto del sistema a lazo cerrado. Los problemas especficos del windup y las reglas prcticas para el ajuste de parmetros (tuning) son considerados junto con sus correspondientes soluciones. Captulo aparte merece la implementacin del controlador en computadora digital, donde se discuten los problemas de muestreo y aliasing, discretizacin de la ley de control y aspectos operativos prcticos que condicionan el funcionamiento del controlador. Las notas se cierran con algunos conceptos sobre la automatizacin del ajuste de parmetros (autotuning) empleada en dispositivos modernos. Caractersticas PID Bsicas.

Comenzaremos con una sntesis de las caractersticas del controlador PID, para lo cual consideraremos el algoritmo terico elemental:

0

1 ( )( ) ( ) ( )

t

d

i

de tu t K e t e d T

T dt

= + +

(1)

cuyas variables se explicitan en el lazo de control de la Fig.1.

El controlador PID fue patentado en 1939 por Albert Callender y Allan Stevenson de la firma Imperial Chemicals Limited (Northwich, Inglaterra). El controlador PID represent un enorme avance sobre los mtodos de control automticos previos.

5

La seal de control resulta entonces igual a la suma de tres trminos: el trmino P (que es proporcional al error), el trmino I (proporcional a la integral del error) y el trmino D (que es proporcional a la derivada del error). Los parmetros del controlador son la ganancia proporcional K, el tiempo de integracin Ti y el tiempo de derivacin Td.

PID

Proceso r(t) + e(t) u(t) y(t)

r(t) variable de referencia u(t) seal de control y(t) variable controlada e(t)=r(t)-y(t) error actuante

Fig.1. Lazo de control realimentado. Los efectos de las acciones proporcional, integradora y derivadora se ilustran en las Figs.2, 3 y 4 respectivamente, en las que se muestran para un proceso de tercer orden, las respuestas temporales de y(t) para una variacin en escaln unitario de la variable de referencia o punto de ajuste (en ingls: set-point).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

t (s)

y(t

)

K=1

K=3

K=5

Ti=

Td=0

Fig.2. Simulacin de un sistema a lazo cerrado con control proporcional.

La funcin de transferencia del proceso es P(s)=1/(s+1)3. Con control puramente proporcional, el error en estado de rgimen disminuye cuando K aumenta, pero el sistema se hace ms oscilatorio.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

y(t

)

t (s)

Ti=1

Ti=2

Ti=5

Ti=

K=1T

d=0

Fig.3. Simulacin de un sistema a lazo cerrado con control proporcional-integrador (PI).

La funcin de transferencia del proceso es P(s)=1/(s+1)3 y la ganancia del controlador es K=1.

6

Al agregar la componente integradora comprobamos que su efecto se incrementa a medida que Ti disminuye. En la Fig. 3 observamos que el error de rgimen desaparece. La tendencia a la oscilacin crece a medida que Ti se va haciendo ms pequeo.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.5

1

1.5

t (s)

y(t

)

Td=0.1

Td=0.7

Td=4.5

K=3T

i=2

Fig. 4. Simulacin de un sistema a lazo cerrado con controlador PID.La funcin de transferencia

del proceso es P(s)=1/(s+1)3 y los restantes coeficientes se indican.

La Fig.4 muestra el efecto derivador. Los parmetros K y Ti elegidos hacen oscilatorio (con Td nulo) al sistema de lazo cerrado (con un perodo de aproximadamente 6 segundos) . A medida que crece Td aumenta el amortiguamiento, pero ste vuelve a decrecer si Td se hace demasiado grande. Teniendo en cuenta que la accin derivadora puede interpretarse como una prediccin basada en una extrapolacin lineal durante el tiempo Td, vemos que esa prediccin resulta intil si Td se hace grande respecto del perodo de oscilacin no amortiguado. La relacin de Td con la dinmica del sistema se explicita en la Fig. 5.

e(t) predic.

( )d

de te T

dt =

verdadero ( ) ( )de e t T e t = + t

Td

Td

1

2

Fig. 5. Se compara el efecto predictivo de la accin derivadora y su relacin con la dinmica del sistema. La prediccin (1) es aceptable, mientras que la (2) no lo es, debido al empleo de un valor excesivamente

prolongado para Td.

Existen mltiples detalles en los controladores PID que no son revelados por la expresin (1). Para lograr un buen controlador PID se deber tener en cuenta tambin: Filtrado de ruidos y respuesta en alta frecuencia; Diseo de 2 grados de libertad con asignacin de peso al punto de ajuste; Efecto windup debido a la saturacin del actuador; Ajuste (tuning) de los parmetros; Implementacin computacional.

7

Consideraciones de Robustez.

Con la finalidad de incorporar las definiciones necesarias para nuestro estudio, picotearemos algunas migajas conceptuales en los terrenos del Control Robusto. Para ello, expandiremos el lazo de control elemental de la Fig. 1 explicitando la estructura general del controlador y las perturbaciones y ruidos que inciden sobre el proceso y las variables controladas. En la Fig. 6 el proceso P se encuentra sometido a perturbaciones: la perturbacin de carga d (que representan aquellos efectos que apartan al proceso de su comportamiento deseado) y el ruido de medicin n. La variable de proceso x es la verdadera variable fsica que se desea controlar, pero el control se basa en la seal medida y que se encuentra corrompida por el ruido n. El controlador se muestra dividido en dos partes: el compensador de realimentacin C y el compensador por adelanto (feedforward) F. El proceso es influido por el controlador a travs de la variable de control u. El proceso resulta ser as un sistema de tres entradas (u, d, n) y una salida (y). En la Fig. 6 se muestra la perturbacin de carga actuando a la entrada del proceso, pero en realidad la perturbacin puede ingresar al proceso en una multitud de maneras diferentes, habindose adoptado la representacin mostrada a los efectos de evitar innecesarias complicaciones.

F

C

P

1

d n

r e u v x y

Controlador Proceso

Fig. 6. Diagrama en bloques de un sistema de control realimentado. La atenuacin de perturbaciones es a menudo el objetivo primario del control. Las perturbaciones de carga son seales que pertenecen tpicamente al rango de las bajas frecuencias. El ruido de medicin por su parte posee componentes de alta frecuencia con valor medio nulo e introduce errores en los valores de la variable controlada. Haciendo un resumen de las consideraciones generales de diseo para un controlador, podemos formular los requerimientos bsicos:

Estabilidad Capacidad de seguir seales de referencia Reduccin de los efectos de perturbaciones de carga Reduccin de los efectos del ruido de medicin Rechazo de variaciones de parmetros del proceso y/o incertezas

en el modelo empleado. Dependiendo de la aplicacin especfica, uno o ms de los requerimientos indicados prevalecer o prevalecern sobre los restantes. El sistema realimentado de la Fig. 6 posee, como dijimos, tres entradas: r, d y n que afectan a tres variables u, x e y que son de gran inters para el sistema de control. Suponiendo al sistema lineal existen entonces nueve relaciones expresables como funciones de transferencia

8

entre las variables de entrada y las de salida. Si con X, Y, U, D, N, R representamos las transformadas de Laplace de x, y, u, d, n, r, dejando de lado el argumento complejo s en beneficio de la sencillez, podemos escribir

1 1 1

1

1 1 1

1 1 1

P PC PCFX D N R

PC PC PC

P PCFY D N R

PC PC PC

PC C CFU D N R

PC PC PC

= ++ + +

= + ++ + +

= ++ + +

(2)

Observamos en (2) que varias de las funciones de transferencia son iguales y que todas las relaciones estn expresadas como combinaciones del siguiente conjunto de seis funciones, al que designaremos siguiendo a strm [8] como el Sexteto Mayor.

1 1 11

1 1 1

PCF PC P

PC PC PC

CF C

PC PC PC

+ + +

+ + +

(3)

Las funciones de transferencia de la primera columna determinan las respuestas de la variable de proceso (x) y la variable de control (u) al set-point (r) o variable de comando. La segunda columna da las mismas seales para el caso de realimentacin pura de error (F=1). La funcin

/(1 )P PC+ en la tercera columna define la reaccin de la variable de proceso (x) a una perturbacin de carga (d), mientras que /(1 )C PC+ da la respuesta de la seal de control al ruido de medicin. El sistema con F=1 se denomina control de realimentacin de error puro. En este caso el sistema queda completamente caracterizado por el Cuarteto de funciones de transferencia:

1 funcin de sensibilidad

1

funcin de sensibilidad complementaria1

funcin de sensibilidad a la perturbacion de carga1

funcin de sensibilidad al ruido 1

PC

PC

PC

P

PC

C

PC

+

+

+

+

(4)

Los nombres de las funciones integrantes del Cuarteto se deducen a partir de considerar la funcin de transferencia de lazo cerrado (T) del sistema y de la variacin que sufre si la planta (P) experimenta una pequea perturbacin alrededor del valor nominal de sus parmetros:

9

( )2; 1 1

1 1

1 1

PC CT dT dP

PC PC

dT dP dT TS

T PC P dP P PC

= =+ +

= = =+ +

(5)

La funcin de sensibilidad S permite entonces expresar la variacin relativa de la funcin de transferencia de lazo cerrado ante pequeas variaciones del proceso. De acuerdo a las (5) tenemos que 1S T+ = (6) razn por la cual a la funcin de transferencia de lazo cerrado (T) se la suele denominar tambin funcin de sensibilidad complementaria. Controladores con Dos Grados de Libertad.

Antes de adentrarnos en consideraciones de diseo, dejemos aclarado que el diagrama en bloques de la Fig. 6 que adoptamos como representacin estandarizada, es totalmente equivalente a otras configuraciones posibles. As por ejemplo, el clsico esquema de adelanto de la seal de comando de la Fig. 7 puede ser llevado a la forma de la Fig. 6 si imponemos F=A/C.

A

C

P

1

r d n

e u v x y

Controlador Proceso

Fig. 7. Realizacin alternativa.

Decimos que el controlador de la Fig. 6 posee dos grados de libertad porque el bloque C forma parte del lazo cerrado, mientras que el bloque F es exterior al mismo. Este hecho posibilita una atractiva subdivisin del problema de diseo: as C puede ser proyectado para proporcionar el debido rechazo de las perturbaciones de carga e incertezas en el proceso, mientras que F es diseado para lograr una buena respuesta a las seales de referencia. El diseo de C solamente considera el cuarteto, mientras que en el proyecto de F intervienen las dos funciones de transferencia restantes que completan el sexteto mayor. Para describir al sistema con propiedad, es entonces necesario mostrar las respuestas de las seis funciones de transferencia, cosa que hemos hecho en las figuras siguientes, donde mostramos las respuestas al escaln y las respuestas en frecuencia del sexteto.

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Las respuestas temporales de la Fig. 8 muestran que el feedforward mejora sustancialmente el tiempo de respuesta. El tiempo de respuesta es notablemente menor, 4s contra 25s, sin sobrepasamiento (comparar Fig. 8.a. con 8.b.). Esto tambin se refleja en las curvas de respuesta en frecuencia, que muestran (Fig. 9.a.) un mayor ancho de banda sin pico de resonancia para la funcin de transferencia con adelanto de seal (comparar con 9.b.). Las funciones de transferencia CF/(1+PC) y C/(1+PC) representan la transmisin de seal de la variable de referencia a la variable de control, y del ruido de medicin a la variable de control, respectivamente. La respuesta temporal de la Fig. 8.d, demuestra que la reduccin del tiempo de respuesta que se logra por adelanto de seal, requiere un esfuerzo de control substancial. El valor inicial de la variable de control se encuentra fuera de escala en 8.d. pero la respuesta en frecuencia 9.d. muestra que la ganancia de alta frecuencia para CF/(1+PC) es 16, que debe ser comparado con el valor 0.78 para C/(1+PC). La respuesta rpida requiere entonces seales de control considerablemente mayores. Independientemente del valor que tome la funcin de transferencia del bloque de adelanto de seal (feedforward), la Fig. 8.c. nos informa que el rechazo a un escaln de perturbacin de carga se completar en aproximadamente 20 a 25 segundos.

Fig. 8. Respuestas al escaln del sexteto. El proceso es P(s)=1/(s+1)4. El controlador aplicado es PI con K=0.775, Ti=2.05. El bloque F de adelanto de seal se ha diseado

para obtener la funcin de transferencia 1/(0.5s+1)4 de la entrada r a la salida y.

El hecho de que se necesitan 6 relaciones para capturar la totalidad de las propiedades de un lazo bsico de control es a menudo pasado por alto en la literatura, reducindose muchas publicaciones a mostrar tan slo la respuesta de la variable del proceso a cambios en el punto de ajuste, brindando una informacin muy parcializada del comportamiento del sistema.

11

Fig. 9. Respuestas en frecuencia del sexteto, para la misma situacin representada en la Fig. 8.

Ilustraremos lo expresado mediante un ejemplo. Sea el proceso caracterizado por la funcin de

transferencia 1

( )( 1)( 0.02)

P ss s

=+ +

que es controlado por realimentacin pura de error

empleando el compensador PI 50 1

( )50s

C ss

+= , resultando la funcin de transferencia de lazo

abierto 1

( )( 1)

L ss s

=+

.

La Fig. 10 muestra que las respuestas a un escaln de la variable de referencia son muy razonables. Basados en estas respuestas podramos ceder a la tentacin de dar el diseo por bueno. Para explorar nuestro sistema algo ms en profundidad, debemos calcular el cuarteto ya que F=1.

2 2

2 2

1 ; ;

1 1 1 ( 0.02)( 1)

( 0.02)( 1) 1 ( 1) ; ;

1 1 1 1

PC P s

PC s s PC s s s

C s s s s

PC s s PC s s

= =+ + + + + + +

+ + += =

+ + + + + +

Obsrvese que el polo del proceso ubicado en s = 0.02 es cancelado por el cero del controlador PI. Esto hace que la funcin de transferencia de lazo abierto sea de segundo orden aunque el sistema de lazo cerrado es de tercer orden, con la ecuacin caracterstica

2( 0.02)( 1) 0s s s+ + + = .

12

Fig. 10. Respuestas a un escaln de la variable de referencia.

La presencia del polo lento s = 0.02 en la funcin de transferencia P/(1+PC), da por resultado que la respuesta a una perturbacin en la carga decaiga muy lentamente, segn e -0.02t. El controlador PI no responder a la seal e -0.02t porque el cero en s = 0.02 bloquear su transmisin. Esto se ve con claridad en la Fig. 11 en la que se observa que una perturbacin de carga es rechazada en aproximadamente 200 segundos. El comportamiento ilustrado es tpico de la cancelacin de polos y ceros y corresponde a la excitacin de un modo observable pero no controlable en el sistema de lazo cerrado.

Fig. 11. Respuestas a un escaln de perturbacin de carga.

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Atenuacin de Perturbaciones.

A efectos de discutir la influencia de las perturbaciones y su atenuacin, consideraremos la operacin a lazo abierto y a lazo cerrado del sistema de la Fig. 6 considerando nula la seal de referencia (r = 0). A lazo abierto la salida del sistema vale ( ) ( ) ( )

aY P s D s N s= + (7)

mientras que, cerrando el lazo, es

[ ]( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )c a

P s D s N sY S s P s D s N s S s Y

P s C s

+= = + =

+ (8)

La atenuacin de perturbaciones puede entonces visualizarse mediante la curva de Bode de S(j). La frecuencia ms baja donde la funcin de sensibilidad tiene mdulo 1 se denomina frecuencia de cruce de la sensibilidad cs. El mdulo mximo de la sensibilidad

1

max ( ) max1 ( ) ( )s

M S jP j C j

= =+

(9)

es un parmetro importante ya que define la mxima amplificacin de las perturbaciones. Ese mximo ocurre para la frecuencia ms.

Fig. 12. Diagrama de Bode de la f.t. de sensibilidad correspondiente al sistema de la Fig. 8. Se explicitan mdulo mximo, frecuencia del mximo y frecuencia de cruce de sensibilidad.

Fig. 13. Diagrama de Nyquist de la fun- cin de transferencia de lazo abierto co- rrespondiente al sistema de la Fig. 8.

La funcin de sensibilidad puede ser escrita en la forma

1 1

( )1 ( ) ( ) 1 ( )

S sP s C s L s

= =+ +

(10)

y como solamente depende de la funcin de transferencia de lazo abierto L(s), puede ser visualizada en el diagrama de Nyquist de L(j). El nmero complejo 1+L(j) es repre-sentado por el vector trazado desde el punto 1 al punto L(j) sobre la curva de Nyquist. La sensibilidad es enton-ces menor que 1 para todos los puntos exteriores al crculo de radio unitario centrado en 1. Las perturbaciones corres-pondientes a estas frecuencias son atenuadas por la reali-mentacin (ver Fig. 13).

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Variaciones del Proceso.

Los sistemas de control se disean sobre la base de modelos simplificados de los procesos, cuya dinmica puede variar durante la operacin. La sensibilidad del sistema de lazo cerrado ante variaciones en la dinmica del proceso controlado, constituye un aspecto crucial del diseo. El riesgo de inestabilidad es el principal peligro en los sistemas realimentados, por lo que resulta de inters investigar si las variaciones del proceso pueden desencadenarla. Las funciones de sensibilidad brindan en este aspecto informaciones de suma utilidad. La Fig. 13 muestra que la mayor sensibilidad est dada por la recproca de la menor distancia entre la curva de Nyquist de la funcin de transferencia de lazo abierto y el punto crtico 1 + j0. La funcin de sensibilidad complementaria tambin resulta de utilidad para evaluar las variaciones admisibles en el proceso. Sea un sistema realimentado con un proceso P y controlador C, cuyo diagrama de Nyquist de lazo abierto se muestra en la Fig. 14. Si el proceso vara de P a P+P la funcin de lazo abierto cambia de PC a PC+CP como se ilustra en la figura. La distancia del punto crtico al punto L es |1+L|. Esto significa que la curva de Nyquist perturbada no alcanzar el punto crtico 1 en tanto se cumpla

|CP| < |1+L|. Esta condicin debe ser vlida para todos los puntos sobre el diagrama de Nyquist. La condicin de estabilidad puede ser reescrita de la manera siguiente si en la desigualdad precedente dividimos ambos miembros por | PC | :

( ) 1

( ) ( )

P j

P j T j

< (11)

Fig. 14. Diagrama de Nyquist de la funcin nominal de lazo abierto y la incerteza origi- nada en la variaciones P del proceso. -

( ) 1( )

t

P j

P j M

<

Tambin se requiere que la perturbacin P(s) sea una funcin de transferencia estable a fin de satisfacer la con-dicin de rodeos de Nyquist. La condicin (11) es conservadora ya que de la Fig. 14 se deduce que la pertur-bacin crtica es la que se produce en la direccin hacia el punto 1. Resultan entonces admisibles perturbaciones mayores en otras direcciones. La frmula (11) es una de las razones por las cuales los sistemas realimentados funcionen tan bien en la prctica. La Ec.(11) implica que el sistema a lazo cerrado ser por lo menos estable para variaciones sustanciales en la din-mica del sistema. Una estimacin conservadora de las variaciones admisibles en el proceso que no originarn inestabilidad est dada por:

15

donde Mt es el mayor valor de la sensibilidad complementaria

( ) ( )

max ( ) max1 ( ) ( )t

P j C jM T j

P j C j

= =

+ (12)

Vemos que el valor de Mt es influido por el diseo del controlador o viceversa, si se conoce el rango de variacin a que puede estar sometida la funcin de transferencia del proceso, resultar posible calcular el controlador prefijando un margen de estabilidad aceptable.

Fig. 15. Diagrama de Nyquist de la f.t. de sensibilidad complementaria T(j) correspondiente a la Fig. 9.b. Los crculos muestran las regiones de incerteza |P|=1/|T| calculadas para el controlador PI con K=0.775 y Ti =2.05 en las frecuencias angulares =0, 0.46, 0.75 y 1.

La Fig. 15 muestra el trazado de Nyquist de T(j) del sistema considerado en nuestro ejemplo, junto con los crculos que acotan las regiones de incerteza para algunas frecuencias de inters. Observamos que en nuestro caso Mt se hace mxima para = 0.46 que es donde se produce el mnimo de la variacin |P| admisible para la planta. La situacin ilustrada es tpica de muchos procesos, donde se requiere una buena aproximacin a la funcin de transferencia de la planta (es decir baja incerteza) en las cercanas de la frecuencia de cruce de lazo abierto, siendo admisibles elevados valores de incerteza a frecuencias superiores e inferiores. Una consecuencia prctica de lo dicho es que un simple modelo que describa correctamente la dinmica del proceso en las cercanas de la frecuencia de cruce, resulta suficiente para el diseo. Una excepcin a esta regla la constituyen los procesos que poseen resonancias mltiples, ya que su funcin de transferencia puede poseer ganancias elevadas tambin en altas frecuencias. Hemos podido constatar que la funcin de sensibilidad S y la funcin de sensibilidad complementaria T brindan mucha informacin acerca del comportamiento del sistema realimentado. Resulta de acuerdo a las ecuaciones (5) y (8) que es conveniente un bajo valor de la funcin de sensibilidad, y se deduce de (11) que un bajo valor de la sensibilidad complementaria vuelve admisible una incerteza elevada para el proceso. Dado que, de acuerdo a la (6) es ( ) ( ) 1S s T s+ =

16

deducimos que S y T no pueden ser simultneamente pequeas. La funcin de transferencia de lazo abierto L(s) posee tpicamente valores elevados para baja frecuencia y se aproxima a cero a medida que s tiende a infinito. En consecuencia S es tpicamente de valor reducido para s pequeo, y tiende a 1 para s elevado. Recprocamente T es 1 para s 0 y se anula cuando s . Salvo para procesos muy particulares, la funcin de sensibilidad S no puede ser hecha pequea sobre un rango extendido de frecuencias. Para sistemas de control tpicos, existen restricciones muy severas sobre la funcin de sensibilidad. Bode demostr que si la funcin de transferencia de lazo abierto posee pk polos en el semiplano derecho y tiende a cero con mayor rapidez que 1/s para altas frecuencias, la funcin de sensibilidad satisface la siguiente integral:

{ }0 0

1log ( ) log Re

1 ( ) kkS j d d p

L j

= =+

(13)

esta expresin demuestra que si se hace pequea para algunas frecuencias a la funcin de sensibilidad, sta debe incrementarse para otras frecuencias. Lo que significa que si la atenuacin de perturbaciones mejora en un cierto rango de frecuencias, necesariamente deber empeorar en otro rango (efecto cama de agua). Para funciones de lazo abierto sin polos en el semiplano derecho, la (13) se reduce a

0

log ( ) 0S j d

= (14) esta frmula posee una simple interpretacin geomtrica que se muestra en la Fig. 16: el rea por arriba del eje horizontal debe se exactamente igual al rea por debajo del eje. Para una demostracin de las integrales de Bode, se recomienda el texto [9].

Fig. 16. Interpretacin geomtrica de la integral (14).

Como cierre del presente tema, debemos comentar la importancia que han adquirido o mejor dicho: han vuelto a adquirir conceptos tan aejos como el criterio de estabilidad de Nyquist en asociacin con la problemtica de la robustez. En la publicacin [10] nos encontramos con una extensin del concepto del margen de estabilidad de Nyquist, aplicado como una medida de robustez en sistemas multivariables inciertos.

17

Ruidos de Medicin y Saturacin.

Dado un sistema con realimentacin de error puro (de un solo grado de libertad), resulta intuitivamente razonable afirmar que una respuesta rpida al comando requiere de un controlador con elevada ganancia. Pero cuando el controlador tiene alta ganancia, tambin el ruido de medicin es amplificado e inyectado al sistema, lo que ocasionar variaciones en la seal de control y en la variable controlada. Es preciso que las fluctuaciones as originadas en la seal de control no sean tan grandes como para ocasionar una saturacin del actuador. Dado que el ruido de medicin es tpicamente de alta frecuencia, ste y la saturacin del actuador proporcionan una cota superior a la ganancia del controlador en alta frecuencia, limitando en consecuencia la rapidez de respuesta del sistema. Existen muchas fuentes de ruido de medicin: el ruido puede ser inherente a la naturaleza del sensor o puede ser originado por la electrnica asociada. En sistemas controlados por computadora es tambin causado por la resolucin de los convertidores A/D y D/A. Considrese un sistema controlado por computadora, con convertidores analgico-digitales y digitales-analgicos de 12 bits. Como 12 bits corresponden a 4096 niveles, se infiere que para una ganancia de alta frecuencia del controlador Mc=4096 un bit de error dar por resultado un cambio de rango completo en la seal de control. Para un sistema razonable se requiere que las fluctuaciones en la seal de control debida a los errores de medicin no superen el 5% del rango de seal. Esto significa que para nuestro ejemplo, la ganancia de alta frecuencia del controlador deber restringirse a 200. Los anlisis precedentemente efectuados sobre rechazo de perturbaciones, variaciones en el proceso controlado, ruidos de medicin y saturacin, contribuyen en conjunto a subrayar las ventajas inherentes al diseo de controladores con dos grados de libertad, donde resulta posible separar los problemas de la respuesta al comando, del rechazo a la perturbacin de carga y la sensibilidad a variaciones en los parmetros del proceso. As, teniendo en cuenta las Ecs.(4), el proceso de diseo puede ser dividido en dos pasos independientes:

En primer trmino disear el controlador de realimentacin C que reduzca los efectos de las perturbaciones de carga (PS) y la sensibilidad a variaciones del proceso, sin introducir demasiado ruido de medicin al sistema (CS).

Luego disear la funcin de transferencia de adelanto de comando que proporcione la respuesta deseada al punto de ajuste (FT).

Por cierto que si el ruido de medicin se convierte en un factor condicionante, no deber perderse de vista la alternativa de cambiar los sensores por otros de mejor calidad a fin de superar el problema. Diseo con 2 Grados de Libertad aplicando Filtrado de Ruidos. Filtrado.

Como la diferenciacin es muy sensible al ruido, la forma de la funcin de transferencia que se deduce de la expresin (1) debe ser modificada a fin de limitar la ganancia de alta frecuencia del trmino derivativo, mediante el uso de un filtro. Si se emplea un filtro de primer orden se tendr para la funcin de transferencia entre la variable medida y y la salida del controlador u (vase la Fig. 6):

18

1

( ) 11

d

i d

sTC s K

sT sT N

= + +

+ (15)

este controlador posee la ganancia de alta frecuencia lim ( ) (1 )

sC s K N

= + . (16)

Teniendo en cuenta la anterior discusin sobre robustez ante variaciones del proceso, resulta altamente deseable que la ganancia del controlador sea decreciente en alta frecuencia (es decir que presente un roll-off), lo que se puede lograr mediante un acondicionamiento de la seal de control a travs del filtro

( )

1( )

1n

f

F ssT

=+

(17)

donde Tf es la constante de tiempo y n es el orden del filtro empleado. Si la estructura del controlador es PID se elegir Tf = Td /N ; si la estructura es tan slo PI puede tomarse Tf = Ti /N Tpicamente los valores de N se encuentran en el rango de 8 a 20. El controlador tambin puede ser implementado como

( )

2

1 1( ) 1

1d

i d

C s K sTsT sT N

= + +

+ (18)

Esta estructura posee la ventaja de permitir el uso de un proceso de diseo iterativo. Primero se calcula un controlador PID ideal para el proceso P(s). El diseo proporciona el valor del parmetro Td, a partir del cual se recalcula el controlador ideal pero ahora para el proceso

2( ) (1 / )d

P s sT N+ , lo que arrojar un nuevo valor de Td, y as sucesivamente. El procedimiento descripto brinda tambin una clara visin del compromiso que existe entre performance y filtrado. Asignacin de Peso al Punto de Ajuste.

Al usar la ley de control (1), resulta claro que un cambio en escaln de la seal de referencia originar un impulso en la seal de control, situacin que no es de manera alguna deseable en la mayora de los casos. Por esta razn la accin derivativa frecuentemente no es aplicada sobre la seal de referencia. Otra posibilidad es que la accin proporcional sea aplicada tan slo sobre una fraccin de la seal de referencia. Esto se denomina asignacin de peso al punto de ajuste. Un controlador PID dado por (1) se convierte entonces en

0

1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

t

d

i

dr t dy tu t K br t y t e d T c

T dt dt

= + +

(19)

donde b y c son parmetros adicionales. El trmino integral debe depender del error a fin de proporcionar la respuesta deseada en estado de rgimen. El controlador definido por (19) posee

19

una estructura de dos grados de libertad ya que los caminos de seal de y a u y de r a u son diferentes, resultando las funciones de transferencia

( ) 1 ( ) 1

( ) ; ( ) 1( ) ( )r d y d

i i

U s U sC s K b csT C s K sT

R s sT Y s sT

= = + + = = + +

(20)

De acuerdo con la segunda de las (20), el controlador (19) reaccionar ante una perturbacin en la carga de la misma manera que lo hace un controlador de un solo grado de libertad; la respuesta a cambios en la variable de referencia se ver influida por los parmetros b y c.

Fig. 17. Respuesta a un escaln en la variable de referencia para diferentes factores de peso del punto de ajuste (b=0, 0.5, 1). Funcin de transferencia del proceso P(s)=1/(s+1)3. Los

parmetros del controlador son K=3, Ti=0.5, Td=0.5 . Obsrvese que el sobrepasamiento y el tiempo de respuesta dependen del factor de peso b. El valor de c es normalmente cero para evitar grandes transitorios en la seal de control debido a variaciones abruptas del punto de ajuste. El controlador (19), puede ser realizado bajo la forma de un controlador PI-PD como se muestra en la figura siguiente:

PI

Proceso R(s) + E(s) U(s) Y(s)

PD

PI: k + ki /s PD: 1 + kd s

Fig. 18. Diagrama de bloques de un controlador PI-PD.

20

Ntese que la ganancia proporcional del controlador PD debe ser unitaria para obtener un error de rgimen nulo. La relacin de entrada-salida para el controlador completo vale

[ ]'

' ' ' ' ' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )id i d

kU s k R s R s Y s k k k Y s k k sY s

s= + + + (21)

Operando algebraicamente sobre (21) y comparando con (19) se deducen las equivalencias

' ' ' ' ' '

' ' '' ' ' ' ' ' '

; ; ; ; 0.d i dd i i d

i d i d i

k k k k k kK k k k T T b c

k k k k k k k

+= + = = = =

+ +

Ntese que la estructura definida por (19) es ajustable de manera ms sencilla, ya que los parmetros K, Ti, Td pueden ser determinados en primer trmino para compensar perturbaciones de carga, ruido de medicin y variaciones del proceso. Una vez hecho sto, se puede ajustar la respuesta a la variable de comando, seleccionando los valores de b y c. Los parmetros del controlador aparecen de un modo extremadamente ms complicado en la estructura PI-PD. Efecto de Windup.

El windup es un efecto no lineal que se encuentra en prcticamente todos los controladores y es causado por la interaccin de la accin integradora con las saturaciones. Todos los actuadores estn sujetos a limitaciones: un motor tiene una velocidad mxima, una vlvula no puede estar ms abierta que totalmente abierta (o recprocamente, totalmente cerrada). Para un sistema de control que opere en un amplio rango de condiciones, puede ocurrir que la variable de control alcance los lmites o topes del actuador. Cuando esto ltimo ocurre, el lazo de realimentacin se interrumpe y el sistema opera a lazo abierto, porque el actuador permanece en el tope independientemente del valor de la salida del proceso. Si el controlador utilizado posee accin integradora, el error continuar siendo integrado. Esto significa que el trmino integral puede llegar a hacerse muy grande; coloquialmente diramos que se va remontando como un barrilete cada vez ms alto o, en ingls: it winds up. Posteriormente se requiere que el error posea signo contrario durante un largo perodo antes de que las cosas retornen a la normalidad. Extraemos como consecuencia que todo controlador que posea accin integradora puede originar transitorios largos cuando se satura el actuador. Para ejemplificar el efecto de windup, se muestra en la Fig. 19 el comportamiento de un proceso integrador gobernado por un controlador PI. La variacin inicial del punto de ajuste es tan grande que el actuador satura de inmediato en su lmite superior. El trmino integral crece inicialmente por ser el error positivo; alcanza su mximo para t=10, tiempo para el cual el error se anula. El actuador permanece saturado en este punto, debido al valor elevado que posee el trmino integral, y continuar en el lmite superior hasta que el error haya sido negativo durante el tiempo necesario para la parte integral disminuya hasta alcanzar un valor bajo. Se observa en la figura que la seal de control u(t) oscila repetidas veces entre sus lmites superior e inferior. El efecto neto es un gran sobrepasamiento y una oscilacin amortiguada hasta el momento en que la variable controlada y(t) se mantiene lo suficientemente cerca del punto de ajuste, el actuador deja de saturar y el sistema exhibe un comportamiento lineal. Si bien en este ejemplo

Podramos traducir windup como un efecto de carga o acumulacin en el integrador, pero preferimos no hacerlo ya que el fenmeno se conoce internacionalmente con su designacin en ingls.

21

hemos considerado el windup originado por un escaln en la variable de referencia, tambin puede ocurrir por otras circunstancias, como por ejemplo perturbaciones de carga.

Fig. 19. Ilustracin del windup de un integrador. Considrese que la variable de salida y(t) representa las variaciones del nivel de un tanque de lquido alrededor de su valor medio, siendo el caudal de entrada gobernado por una vlvula y un controlador PI.

El fenmeno de windup era bien conocido por los fabricantes de controladores analgicos y las soluciones desarrolladas muchas veces fueron protegidas como secretos industriales. El problema del windup se redescubri cuando los controladores fueron implementados digitalmente: varios mtodos para evitarlo fueron presentados en la literatura tcnica. Pasamos a analizar algunos de ellos. Limitacin del Punto de Ajuste.

Una manera de evitar el windup es introducir limitadores en las variaciones de la seal de referencia, de modo tal que el actuador nunca alcance sus lmites de saturacin. Este procedimiento resulta excesivamente conservador, con la consecuente disminucin de la performance. Por otra parte, no evita el windup causado por las perturbaciones de carga.

Algoritmos Incrementales.

En los primeros tiempos del control industrial, la accin integral era incorporada al actuador, empleando por ejemplo un motor que operaba directamente sobre una vlvula. En este caso el windup era evitado automticamente, ya que la integracin se interrumpa al detenerse la vlvula contra su tope. Cuando los controladores se implementaron utilizando tcnicas analgicas (y posteriormente computadoras), muchos fabricantes emplearon los as llamados algoritmos de velocidad que configuran anlogos del antiguo diseo mecnico. Un algoritmo de velocidad en

22

primer lugar calcula la velocidad de variacin de la seal de control que es luego empleada para controlar un integrador. Mediante este concepto resulta fcil inhibir la integracin toda vez que la salida del actuador se sature. Si la salida del actuador no es medible, puede emplearse un modelo para computar la saturacin. Clculo Retrgrado y Seguimiento.

El clculo retrgrado funciona de la siguiente manera: cuando la salida se satura, el trmino integral del controlador es recalculado de tal manera que su nuevo valor provoque una salida en el lmite de saturacin. Resulta ventajoso no resetear el integrador en forma instantnea sino dinmicamente, a travs de una constante de tiempo Tt.

K Td s

y

Modelo del

+ actuador e = r y + v u

+

+ +

+ es

K

1/s

1/Tt

ACTUADOR

K/Ti

Fig. 20. Controlador con anti-windup. La salida del actuador es estimada mediante un modelo matemtico.

El controlador de la Fig. 20, basado en clculo retrgrado, posee un lazo de realimentacin extra que se genera midiendo la salida u del actuador (en la figura del modelo del actuador) y formando la seal de error es como la diferencia entre la salida del controlador v y u. La seal es es inyectada a la entrada del integrador a travs de la ganancia 1/Tt ; si no hay saturacin es es nula y por lo tanto no afecta la operacin lineal del controlador. Cuando el actuador se satura, es es negativa y no-nula; el lazo principal de realimentacin se interrumpe, pero debido al lazo auxiliar la salida del integrador es llevada a un valor tal que anule su entrada. En condiciones de saturacin la entrada del integrador vale:

1

donde es el error actuante.s

t i

Ke e e

T T+

lim

En condiciones de regimen vale

Siendo resulta

ts

i

ts

i

KTe e

T

KTe u v v u e

T

=

= = +

donde ulim es el valor de saturacin de la variable de control. Esto significa que v se ubica en un valor ligeramente por encima del lmite de saturacin y que la seal de control puede reaccionar tan pronto como el error cambia de signo. De esta manera el integrador queda impedido de sufrir windup. La velocidad con la cual se resetea el integrador depende de la ganancia 1/Tt, pudindose interpretar Tt como la constante de tiempo que determina la rapidez

23

de reseteo y es llamada constante de tiempo de seguimiento. Y hablamos de seguimiento (o tracking), porque se obliga a la seal v a seguir de cerca las evoluciones temporales de u. Ocurre frecuentemente que la salida del actuador no puede ser sensada. Para utilizar el esquema de anti-windup que acabamos de describir, se incorpora al controlador un modelo matemtico del actuador, tal como fue ilustrado en la Fig. 20.

Fig. 21. Controlador con anti-windup aplicado al sistema de la Fig. 19.

Pasamos a analizar la aplicacin del esquema anti-windup al sistema simulado en la Fig. 19. Obsrvese en la Fig. 21 que la salida del integrador es rpidamente llevada a un valor tal que la seal del controlador se encuentra en el lmite de saturacin, y la componente integral tiene valor

Fig. 22. Respuesta al escaln del sistema de la Fig. 19, para diferentes valores de la constante de tiempo Tt.

24

negativo en la fase inicial, cuando el actuador se encuentra saturado. Este comportamiento difiere drsticamente respecto de la Fig. 19 donde la integral es positiva durante el transitorio inicial. Tambin debe destacarse la dramtica mejora de la performance comparada con el controlador PI ordinario empleado en la Fig. 19. El efecto de los cambios en la constante de tiempo de seguimiento, se muestra en la Fig. 22. De la misma podra inferirse que resulta siempre conveniente seleccionar un valor pequeo de la constante de tiempo, de modo que el integrador se resetee rpidamente. Sin embargo ha de tenerse cuidado al emplear anti-windup en sistemas con componente derivativa de control. Si se selecciona la constante de tiempo demasiado pequea, seales de error espreas pueden provocar la saturacin del actuador lo que provocar el reseteo accidental del integrador. La constante de tiempo de seguimiento Tt debe ser mayor que Td y menor que Ti. Una regla prctica que ha

sido propuesta, consiste en elegir t i dT T T= .

Controladores con Modo de Seguimiento.

Se puede interpretar que un controlador con clculo retrgrado posee dos modos de operacin: el modo normal de control cuando opera como un controlador ordinario lineal, y el modo de seguimiento al operar en presencia de saturacin del actuador. La Fig. 23 muestra un mdulo PID con seguimiento. Ntese que el cambio de modo es automtico ya que el modo de seguimiento queda inhibido cuando la seal w es igual a la salida del controlador. Es decir que no se requiere de una lgica para el control modal, lo que resulta especialmente ventajoso para la implementacin de sistemas complejos de control en cascada.

1 /d

d

sKT

sT N+

1

K

b

1s

i

K

T

1

tT

w

I v e

y

r

+

D

P

SP MV PID TR

SP set point (referencia) MV variable medida TR tracking (seguimiento)

r y w

v

Fig. 23. Diagrama en bloques y representacin simplificada de un mdulo PID con seguimiento.

25

SP MV PID TR

ACTUADOR

SP MV PID TR

ACTUADOR

Modelo del Actuador

v u

Fig. 24. Alternativas de utilizacin de un mdulo PID con seguimiento.

En la Fig. 24 hemos representado las alternativas de uso de un mdulo PID con seguimiento, cuando la salida del actuador es medible o bien cuando se emplea un modelo del funcionamiento del actuador.

Ajuste de Parmetros (Tuning).

Todos los mtodos generales de diseo pueden ser aplicados para el control PID. Una cantidad de mtodos han sido desarrollados especialmente para los controladores PID y stos son, en general, denominados mtodos de ajuste o sintona (tuning). Ampliamente conocidos son los mtodos desarrollados por Ziegler y Nichols, que han marcado su influencia sobre la prctica del control industrial por ms de medio siglo. Si bien los resultados que brindan son moderadamente buenos, su difusin se debe a su extrema simplicidad, ya que se basan en la caracterizacin del proceso mediante unos pocos parmetros y el empleo de ecuaciones de ajuste muy sencillas.

Mtodo de Ziegler-Nichols en base a la Respuesta al Escaln.

Fig. 25. Caracterizacin de la respuesta al escaln segn Ziegler-Nichols

"Optimum Settings For Automatic Controllers" es el nombre de una de las ms importantes publicaciones en la historia de la automatizacin, la instrumentacin y los sistemas de control. Escrito por J.G. Ziegler and N.B. Nichols y publicado en la edicin de Noviembre de 1942 de las Transactions of the American Society of Mechanical Engineers, este paper fue originalmente presentado en la convencin de ASME en Diciembre de 1941. Por aquellos das Ziegler y Nichols eran compaeros de trabajo en la firma Taylor Instrument Companies (Rochester, NY). Un facsmil del original puede obtenerse accediendo a www.driedger.ca/Z-N/Z-n.pdf .

26

Uno de los mtodos de ajuste de Ziegler-Nichols se basa en la informacin obtenida acerca del proceso a partir de un ensayo de respuesta al escaln en lazo abierto. La respuesta y(t) es caracterizada por tan slo dos parmetros a y L que se determinan en base a la tangente de mxima pendiente a la curva y(t), tal como se muestra en la Fig. 25.

Los parmetros para cada tipo de controlador definidos por Ziegler y Nichols en base al ensayo de lazo abierto, se muestran en la Tabla 1. En la misma tabla se muestra el valor estimado del perodo de oscilacin Tp del sistema a lazo cerrado.

Tabla 1. Parmetros de controladores segn Ziegler-Nichols en base a la respuesta al escaln.

Mtodo de Ziegler-Nichols en base a la Respuesta en Frecuencia.

Un segundo mtodo tambin desarrollado por Ziegler y Nichols se basa en una muy simple caracterizacin de la respuesta en frecuencia del proceso controlado. El diseo se funda en el conocimiento de un nico punto del lugar de Nyquist del proceso: el punto donde P(j) corta por primera vez al eje real negativo, que corresponde a la frecuencia 180 (ver Fig. 26). Los parmetros de este punto pueden ser determinados experimentalmente de la manera siguiente: conctese un controlador puramente proporcional cerrando el lazo del proceso e incremntese suavemente la ganancia hasta que el sistema comienza a oscilar. La ganancia para la cual ocurre esto es K0 y el perodo de oscilacin que se registra es T0. Los parmetros del controlador sugeridos por Ziegler y Nichols son los que se consignan en la Tabla 2, donde tambin se indica un valor aproximado del perodo Tp del modo dominante de la respuesta del sistema a lazo cerrado.

Fig. 26. Caracterizacin de la respuesta en frecuencia segn Ziegler-Nichols....

Controlador K Ti Td Tp P 1/a 4L PI 0.9/a 3L 5.7L

PID 1.2/a 2L L/2 3.4L

27

Tabla 2. Parmetros de controladores segn Ziegler-Nichols en base a la respuesta en frecuencia.

Discusin de los Mtodos Presentados.

Las reglas de ajuste de Ziegler y Nichols fueron desarrolladas para brindar una buena atenuacin de perturbaciones a lazo cerrado. Los mtodos se basaron en simulaciones extensivas, y el criterio de diseo empleado es el conocido como atenuacin de un cuarto de amplitud, es decir que la amplitud de una oscilacin ha ser reducida en un factor de cuatro luego de transcurrido un perodo de la onda. sto corresponde a un factor de amortiguamiento =0.2 para los polos dominantes de lazo cerrado, lo que brinda una performance muy franciscana en su pobreza.

Fig. 27. Comparacin de los mtodos de Ziegler-Nichols. El proceso es P(s)=e-2s/(1+s)4. La respuesta al escaln es la mostrada en la Fig. 25, y la curva de Nyquist es la de la Fig. 26. El controlador es PI. Se muestran las respuestas a un escaln en la variable de referencia para t =0 seg, seguido de una perturbacin de carga en t =100 seg.

Contemplando la Fig. 27, se nos ocurre pensar que ningn ingeniero de control de la dcada de 1950 puede haberse sentido feliz con las respuestas temporales que obtena al aplicar los mtodos de Ziegler-Nichols. La pregunta que surge es: qu razn subyaca y/o subyace a la popularidad de estos procedimientos, en vista de la tristeza que dimana de los resultados obtenidos de su aplicacin? La respuesta es elemental: la sim-pli-ci-dad. Tanto el mtodo de respuesta al escaln, como el basado en la respuesta en frecuencia, son sumamente fciles de aplicar y los resultados obtenidos constituyen un punto de partida confiable (magister Ziegler dixit!), para que el ingeniero de planta ejercite la habilidad de sus neuronas, a fin de lograr mejoras palpables en la salida del proceso.

Controlador K Ti Td Tp P 0.5 K0 T0 PI 0.4 K0 0.8 T0 1.4 T0

PID 0.6 K0 0.5 T0 0.125 T0 0.85 T0

28

Lo que acabamos de mencionar, justifica una pequea digresin: no fueron Ziegler y Nichols los nicos en incursionar por el florido prado de las frmulas sintticas que pretenden brindar una panacea al problema de la sintona de los lazos de control... Si damos una ojeada a la literatura del ltimo medio siglo en esta rea, nos encontramos con textos, como el enciclopdico de W. Oppelt, donde se describen los mtodos de: Cohen y Coon; Chien, Hrones y Reswick; Hazebroek y Van der Waerden; Oldenburg y Sartorius; Takahashi; Ziegler y Nichols; etc. (ref. [11], pgs. 467-471). Los controladores diseados mediante las reglas de Ziegler-Nichols dan origen a sistemas de lazo cerrado de muy pobre robustez. Analizando las reglas con ms atencin, comprobamos que tan solo dos parmetros no son suficientes para caracterizar la dinmica de un proceso. Recientemente se han desarrollado reglas, casi tan simples como las de Ziegler y Nichols que proporcionan controladores robustos con buen rechazo de perturbaciones, basadas en la caracterizacin del proceso mediante un conjunto de tres parmetros. AMIGO - un Mtodo Mejorado de Ajuste por Respuesta al Escaln.

El procedimiento que describiremos a continuacin, caracteriza mediante tres parmetros la respuesta al escaln del proceso. El mtodo, basado en consideraciones de robustez y presentado en [12], es aplicable a procesos esencialmente montonos, cuyas respuestas al escaln unitario se muestran en la Fig. 28. Resulta indispensable contar con una definicin clara del concepto de monotonicidad esencial para poder decidir en base a la respuesta al escaln si un proceso posee esta propiedad. Sea g(t) la respuesta impulsiva de un proceso estable. El parmetro

0

0

( )

( )

g t dt

m

g t dt

=

(22)

se denomina ndice de monotonicidad. El valor del ndice se encuentra entre 0 y 1 y vale m=1 si la respuesta al escaln es estrictamente montona. Diremos entonces que un proceso es esencialmente montono, si el ndice es mayor que un valor que un valor especificado, m=0.8 . Existe una dificultad con la definicin (22) para procesos con integracin, ya que en estos casos siempre resulta m=1. Dado que nicamente la parte inicial de la respuesta al escaln resulta relevante para el diseo del controlador, puede aplicarse la definicin (22) limitando el tiempo de integracin a un tiempo final dado, por ejemplo 10L, donde L es el tiempo muerto que se define ms adelante en la Ec.(23). Observando la Fig. 28 constatamos que los procesos A, B y D poseen respuesta estrictamente no decreciente. El proceso B posee un tiempo muerto o retardo puro. Los procesos C y E poseen ceros en el semiplano derecho, lo que origina las respuestas inicialmente decrecientes. El proceso F es moderadamente oscilatorio. Tanto D como E son procesos integrantes.

29

Fig. 28. Respuestas al escaln de procesos esencialmente montonos.

Para procesos oscilatorios del tipo F, el ndice de monotonicidad es funcin del amortigua-miento relativo . En la Fig. 29 se puede verificar que, para valores >0.57 es m >0.8 .

Fig. 29. Indice de monotonicidad como funcin de para procesos con funcin de transferencia G(s)= 1/(s2+2s+1).

El mtodo de diseo se basa en maximizar la ganancia de integracin del controlador PI, sujeto a una restriccin de robustez definida por el mdulo mximo de la funcin de sensibilidad MS. Un rango razonable es MS(1.2, 2.0) obtenindose para valores menores una mejora en la robustez, penalizada por una reduccin del rechazo de perturbaciones de carga. Adoptando MS =1.4 y aplicando el procedimiento descripto en [12] y [13] para un conjunto de funciones de transferencia con respuesta al escaln esencialmente montonas del tipo de la Fig. 28, se sistematizaron un conjunto de reglas de ajuste para controladores PI denominadas AMIGO (del ingls Approximated MS-constrained Integral Gain Optimization). Estas reglas se basan en

30

caracterizar los procesos mediante tres parmetros: ganancia esttica KP, constante de tiempo aparente T y tiempo muerto o retardo aparente L, obtenibles de la respuesta al escaln (Fig. 30).

Fig. 30. Respuesta al escaln unitario de un proceso y procedimiento empleado para determinar los parmetros KP, T, L y Kv.

Los procesos con integracin no poseen ganancia esttica. Dichos procesos son caracterizados por el tiempo muerto aparente L y la mxima pendiente de la respuesta Kv = KP/T. En definitiva, se supone que los procesos son representables mediante las funciones de transferencia elementales:

1( ) para procesos sin integracion,1sLP

KG s e

sT

=+

(23)

2 ( ) para procesos integrantes.sLv

KG s e

s

= (24)

Las reglas de ajuste para el controlador PI se expresan en funcin del retardo de tiempo relativo

L

L T =

+ (25)

Para procesos estables (no integrantes), valen las frmulas de clculo de la ganancia proporcional:

0.35 0.6 , para 6

0.25 , para 6

0.1 0.15 , para

v P

P

P P

L TK L K

TK T L T

K L

TT L

K L K

31

Para el clculo del tiempo de integracin Ti valen las expresiones

7 , para 0.11

0.8 , para 0.11

0.3 0.5 , para i

L L T

T T T L T

L T T L

32

Siendo por otra parte =0.54 >0.5, no se obtienen mejoras sensibles utilizando un controlador PID como puede verificarse con una sencilla simulacin. No podemos cerrar este apartado sin mencionar la aplicacin de tcnicas avanzadas al clculo de los parmetros PID. En la referencia [14] de realiza la aplicacin de procedimientos de algoritmos genticos para el clculo de los ajustes optimizados. Implementacin en Computadora Digital.

Un sistema controlado por computadora posee la estructura general que se muestra en la Fig. 32. Est constituido por el proceso a controlar (sistema continuo en el tiempo, cuyas seales de entrada y salida son funciones continuas del tiempo); un muestreador junto con un conversor analgico-digital discretiza en el tiempo y cuantifica la seal de salida del proceso (y), conformando los datos de entrada al algoritmo de control implementado en una computadora digital. El algoritmo calcula el valor numrico de la variable de control (u) que es transformado en un seal continua mediante un convertidor digital-analgico dotado de un dispositivo de retencin (hold).

RED DE COMUNICACIONES

CONV. D-A

CON RETENCIN

MUESTREADOR

Y CONV. A-D

PROCESO

COMPUTADORA

y(t)

yk

u(t)

uk

Fig. 32. Esquema de un sistema controlado por computadora.

Las comunicaciones entre el proceso o, expresndolo con precisin, entre los convertidores A-D y D-A y la computadora se realiza mediante un enlace de datos o una red de datos. Por cierto, todas las operaciones utilizan para su sincronizacin el reloj de la computadora y son gobernadas por medio de un sistema operativo en tiempo real. El interesado puede acceder a www.genetic-programming.com/hc/pidtuningrules.html para ms detalles.

33

Utilizando una computadora digital para implementar las leyes de control, la secuencia ideal de operaciones es la siguiente:

1. Esperar la seal de interrupcin de reloj 2. Convertir y leer la seal de entrada analgica (y) 3. Calcular la seal de control (u) 4. Actualizar la seal analgica de control 5. Actualizar las variables internas del controlador 6. Ir a 1.

Con esta implementacin se minimiza el retardo de clculo. Dependiendo del sistema operativo en tiempo real y de los tiempos de conversin A-D y D-A, el retardo de clculo o retardo computacional puede variar de muestra a muestra. Ello puede hacerse an ms pronunciado si el algoritmo de control incluye pasos iterativos u optimizaciones. Una manera de reducir la variacin en el retardo de clculo es introducir un paso entero de muestreo como retardo del controlador haciendo [ ]1( ) ( )k ku t y t = , (ver Fig. 33-B). El retardo de clculo se hace as ms determinstico, pero tambin ms prolongado, lo que en general no es bueno para la performance del sistema a lazo cerrado. En cada caso particular deber efectuarse un anlisis de la influencia del retardo de clculo y sus variaciones sobre el comportamiento del sistema.

Fig. 33. Dos maneras de sincronizar seales de entrada y salida. En (A) las seales de control son aplicadas inmediatamente luego de ser calculadas; en (B) la seales medidas en el instante tk son empleadas para calcular la seal que ser aplicada en el instante tk+1. h = tk tk-1 es el perodo de muestreo.

Problemas derivados del muestreo.

La interaccin entre seales continuas y discretas vuelven variantes en el tiempo a los sistemas muestreados. Supngase en la Fig. 32 que una perturbacin se sumara a la salida del proceso. La

34

invariancia temporal requiere que un desplazamiento en el tiempo de la excitacin de un sistema d por resultado un desplazamiento similar en su respuesta. Dado que la conversin A-D est gobernada por un reloj, el sistema reaccionar de manera diferente si la perturbacin es desplazada en el tiempo. El sistema se mantendr invariante en el supuesto que todos los cambios en las variables del sistema, entradas y perturbaciones se sincronizan con los instantes de muestreo. Recprocamente, si la frecuencia de muestreo es suficientemente elevada con respecto a las frecuencias propias de la dinmica del sistema y sus perturbaciones, el sistema muestreado podr considerarse como invariante.

Si las seales senoidales sin(1.8 t - ) y sin(0.2 t) que se grafican en la Fig. 34 son muestreadas a la frecuencia s=2 /h, con h =1; desde el punto de vista de la seal muestreada las sinusoides no pueden ser distinguidas entre s.

Fig. 34. Para un perodo de muestreo h =1, las seales de 0.1Hz (lnea de puntos) y 0.9Hz (lnea continua) poseen los mismos valores en los instantes de muestreo. Desde el punto de vista de la seal muestreada, la sinusoide de 0.9Hz produce un alias de 0.1Hz.

El muestreo es entonces una operacin no lineal y acarrea prdidas de informacin, en cuanto no est garantizada la reconstruccin de la seal continua original a partir de la seal muestreada. El ejemplo que acabamos de analizar, puede comprenderse mejor, si consideramos dos seales senoidales

1

2

( ) sin( )

( ) sin( )s

f t t

f t t n t

=

= (30)

donde s=2 /h es la frecuencia de muestreo y n un entero cualquiera. En los instantes de muestreo ( , 0,1,2,t kh k= = ) se tendrn las seales discretas en el tiempo

1

01

2

2 1

( ) sin( )

2( ) sin( ) sin( ) cos(2 ) cos( ) sin(2 )

es decir: ( ) sin( ) ( )

f kh kh

f kh kh n kh kh nk kh nkh

f kh kh f kh

=

= =

= =

(31)

En definitiva, el muestreo produce un plegado del dominio de frecuencias (frequency folding) alrededor de s. Una de los modos en que puede expresarse el teorema de Shannon o teorema del muestreo, establece que una seal continua puede ser reconstruida a partir de su versin muestreada, si la frecuencia de muestreo es como mnimo el duplo de la componente de mayor frecuencia que forma parte del espectro de la seal continua [s/2 max]. El ruido de los sensores puede dar origen a seales muestreadas espreas o alias de baja frecuencia que al confundirse con la dinmica propia del proceso, originen perturbaciones en el

35

funcionamiento a lazo cerrado. Resulta entonces necesario insertar antes del convertidor A-D un filtro analgico (filtro anti-alias) que limite convenientemente el ancho de banda de la seal y(t) por debajo de la frecuencia de Nyquist (s/2). La dinmica de este filtro deber considerarse en conjunto con la dinmica del proceso para un correcto diseo del sistema de control. Del siguiente ejemplo, puede extraerse una idea indicativa de la relacin entre el ancho de banda del prefiltro anti-alias y la frecuencia de muestreo. Supngase que la configuracin elegida para el filtro sea Butterworth de segundo orden , que el ancho de banda sea b y que se desea que el filtro atene por un factor de 16 (1/16 24db) las seales de la frecuencia de Nyquist (s/2). Se tendr as:

2

2 116 por lo tanto .

8s

b s

b

= =

(32)

En consecuencia, la frecuencia del modo dominante del sistema a lazo cerrado se encontrar bien por debajo de s/8. Generalizando, si 1/

NG es la atenuacin del filtro a la frecuencia de

Nyquist, resultar el ancho de banda 2Nb s

G = .

Dispositivos de Retencin.

La manera ms simple y comn de reconstruir un seal muestreada es hacer que la salida del dispositivo de retencin se mantenga constante hasta el advenimiento del prximo valor muestreado. Al circuito as instrumentado se lo denomina dispositivo de retencin de orden cero (zero-order hold) ya que la seal continua de salida es un polinomio de orden cero entre los instantes de muestreo. Si f(kh) representa la seal discreta muestreada con perodo h, entonces la seal reconstruida a la salida del dispositivo de retencin de orden cero ser f(t) dada por ( ) ( ) ; f t f kh kh t kh h= < + (33)

Un inconveniente del dispositivo de retencin de orden cero es que su salida es discontinua (ver Fig. 35). Estas discontinuidades pueden excitar modos dinmicos pobremente amortiguados del proceso, como as tambin provocar desgaste en los actuadores del sistema. Una manera de hacer continua la salida es utilizar un dispositivo de retencin de primer orden (first-order hold). La seal entre los instantes de muestreo es ahora una interpolacin lineal. La seal reconstruida podr expresarse

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ; t kh

f t f kh f kh h f kh kh t kh hh

= + + < + (34)

Ntese que la reconstruccin (34) no es causal dado que ( )f kh h+ debiera encontrarse disponible en el instante kh . El valor de ( )f kh h+ puede ser reemplazado por una prediccin fcilmente calculable en base a una extrapolacin.

Butterworth de segundo orden es una configuracin anti-alias muy difundida. En casos crticos pueden ser seleccionados filtros de orden superior o bien de configuraciones alternativas (Tschebyscheff, elpticos, etc.).

36

Fig. 35. Muestreo y reconstruccin de una seal senoidal empleando dispositivos de retencin de orden cero y de primer orden, para un perodo de muestreo h =1. Los instantes de muestreo se indican mediante puntos.

Si bien la Fig. 35 muestra la innegable ventaja de utilizar un dispositivo de retencin de primer orden cuando la seal de entrada es suave, no debemos perder de vista que es un resultado meramente acadmico, ya que una implementacin causal del dispositivo manifestar disconti-nuidades originadas en la extrapolacin, pues en (34) se realiza el reemplazo de ( )f kh h+ por la aproximacin

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( ) ( )

f kh f kh hf kh h f kh h

h

f kh h f kh f kh h

+ = +

+ =

con lo que la seal reconstruida es ahora

[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ; t kh

f t f kh f kh f kh h kh t kh hh

= + < + (35)

Fig. 36. Reconstruccin de una seal senoidal mediante un dispositivo de retencin de primer orden realizado con extrapolacin.

Por cierto, la reconstruccin de seales tanto con dispositivos de orden cero como con los de primer orden, alcanza mayor precisin cuanto mayor sea la frecuencia de muestreo con respecto de la frecuencia de la seal. Si llamamos fr(t) a la seal reconstruida a la salida de un dispositivo de retencin correspondiente a la seal original f(t)=sin(t), entonces la reconstruccin ser tanto ms precisa cuanto menor sea el error cuadrtico promediado en el perodo T=2 / de la seal.

37

( ) ( )2

0

1 Tr

f f dt h TT

= = (36)

En la figura se muestra el error correspondiente a los dispositivos de retencin de orden cero y de primer orden con extrapolacin calculado para un intervalo de valores de la relacin entre la frecuencia de muestreo y la frecuencia de la seal.

Fig. 37. Errores cuadrticos segn (36) para un dispositivo de orden

cero (DOC) y uno de primer orden con extrapolacin (DPO-E).

Viendo las formas de onda de las Figs. 35 y 36, no nos sorprende comprobar que para frecuencias de muestreo bajas el error sea mayor para el dispositivo de primer orden que para el de orden cero. Para relaciones de frecuencia de muestreo de 20:1 y superiores, el error para el dispositivo de primer orden es por lo menos un orden de magnitud inferior al de orden cero. Para concluir, no podemos dejar de insistir en el concepto de derivacin que se encuentra implcito en la operacin de extrapolacin: como consecuencia de ello aparece la necesidad de guardar estrictas precauciones cuando se pretenda utilizar un dispositivo de retencin de primer orden en presencia de seales ruidosas. Discretizacin de la Ley de Control.

Para implementar una ley de control tal como PID en una computadora digital, es necesario formular aproximaciones discretas de la derivada y de la integral que aparecen en la ley de control. Accin Proporcional Recordando la (19), el trmino proporcional es [ ]( ) ( ) ( )P t K br t y t=

38

Este trmino se implementa reemplazando simplemente las variables continuas por sus versiones muestreadas, [ ]( ) ( ) ( )k k kP t K br t y t= (37) donde

kt denota los instantes de muestreo, es decir los valores de tiempo para los cuales se leen

las variables analgicas. Accin Integradora El trmino integral es

0

( ) ( )t

i

KI t e d

T =

y se deduce que

i

dI Ke

dt T=

Si se aproxima la derivada con una diferencia hacia adelante se obtiene

1( ) ( )

( )k kk

i

I t I t Ke t

h T

+ =

lo que nos conduce a la siguiente expresin recursiva para el clculo del trmino integral

1( ) ( ) ( )k k ki

KhI t I t e t

T+ = + . (38)

Accin Derivadora El trmino correspondiente al derivador en la expresin (15) es

( ) ( )1

d

d

sTD s Y s

sT N=

+

es decir: dd

T dD dyD KT

N dt dt+ =

que puede ser aproximada por la siguiente ecuacin en diferencias

1 1( ) ( ) ( ) ( )

( )d k k k kk d

T D t D t y t y tD t KT

N h h

+ =

y reordenando obtenemos

[ ]1 1( ) ( ) ( ) ( )d dk k k kd d

T KT ND t D t y t y t

T Nh T Nh =

+ + (39)

La ventaja de emplear una expresin retrgada es que el valor del factor ( )d dT T Nh+ se encuentra siempre comprendido en el intervalo [0,1] lo que garantiza la estabilidad de la ecuacin en diferencias.

39

Hemos entonces determinado que el controlador PID puede ser aproximado mediante las expresiones (40). Por cierto, estas expresiones constituyen quizs la ms simple de las muchas discretizaciones posibles del algoritmo de control PID. La seleccin del mtodo de discretizacin ms adecuado constituye un problema de optimizacin en el que concurren, entre otros factores, la frecuencia de muestreo utilizada y las caractersticas dinmicas de los conversores A-D y D-A empleados.

[ ]

[ ]{ }1 1

1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

k k k

k k k

dk k k k

d

k k k k

k k k

i

P t K br t y t

e t r t y t

TD t D t KN y t y t

T Nh

u t P t I t D t

KhI t I t e t

T

+

=

=

= +

= + +

= +

(40)

Algoritmos de Velocidad. El algoritmo descripto por las (40) se denomina algoritmo posicional porque su salida es la variable de control. En algunos casos el controlador est dispuesto de manera tal que su salida es proporcionada por un integrador (p.ej. un motor). En estos casos resulta natural modificar el algoritmo de modo que proporcione la velocidad de la variable de control (con mayor propiedad diramos la derivada temporal de la variable de control). Un algoritmo de este tipo se denomina algoritmo de velocidad. La Fig. 38 muestra un diagrama de bloques analgicos de un algoritmo de velocidad. Los algoritmos de velocidad se utilizaban en controladores antiguos construidos alrededor de motores (integradores mecnicos). En muchos casos, al cambiar la tecnologa, los fabricantes retuvieron la estructura original para asegurar la compatibilidad con equipos preexistentes. Otra razn para el uso de algoritmos de velocidad es que facilitan la implementacin de muchas cuestiones prcticas, tales como la proteccin anti-windup y la transicin sin sacudidas ante cambios de parmetros. En implementaciones digitales los algoritmos de velocidad son tambin denominados algoritmos incrementales.

2

1d

d

s KT

sT N+

sK

1/s

K/Ti

du

dt

Integrador

externo

e

(br y)

y

u

Fig. 38. Diagrama en bloques correspondiente a la representacin analgica de un algoritmo de velocidad.

40

Algoritmo Incremental. La forma incremental del algoritmo PID puede ser obtenida calculando las diferencias temporales de la salida del controlador para luego sumar (integracin discreta) estos incrementos. 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k k k ku t u t u t P t I t D t = = + + (41) En muchos casos la integracin se realiza externamente. Esto resulta natural cuando se utiliza un motor paso-a-paso. Los incrementos de las partes proporcional, integradora y derivadora se calculan con facilidad a partir de las Ecs. (37) a (39):

[ ]{ }

[ ]

1 1

1

1 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )

;

k k k k k

k k

i

k d k d k k k

d dd d

d d

P t K b r t r t y t y t

KhI t e t

T

D t a D t b y t y t y t

T T KNa b

T Nh T Nh

= +

=

= +

= =+ +

(42)

Aspectos Operativos.

Prcticamente todos los controladores pueden funcionar en dos modos: manual o automtico. En el modo manual la salida del controlador es manipulada directamente por el operador, usualmente accionando botones que incrementan o decrementan la salida. Un controlador puede tambin operar en forma combinada con otros controladores (p.ej. en una conexin en cascada), o con elementos no lineales tales como multiplicadores o selectores: ello origina ms modos operativos. Los controladores poseen parmetros que pueden ser ajustados durante la operacin. Cuando se producen cambios de modos y/o de parmetros, es esencial evitar que se produzcan transitorios de conmutacin, por lo que se deber seleccionar un controlador con la estructura adecuada. Transferencia sin sacudidas entre Manual y Automtico. Dado que el controlador es un sistema dinmico, es necesario asegurar que el estado del sistema sea el correcto al conmutar el controlador de modo manual a modo automtico: es decir que la salida calculada por el algoritmo de control sea igual a la seal generada manualmente. A esto se denomina transferencia sin sacudidas (en ingls bumpless). En la Fig. 39 se muestra una implementacin que utiliza un integrador separado para sumar los cambios incrementales que produce el dispositivo manual. El diagrama contiene dos configuraciones del tipo anti-windup (recordar la Fig. 20) que aseguran el seguimiento de la salida manual por parte del controlador y viceversa.

41

K Td s

K

1/s

1/Tt

K/Ti

1/s

1/Tm

1/Tt

u v

A

M

+

+ CONTROL

MANUAL

+

y

e= r y

Fig. 39. Controlador PID que conmuta suavemente de modo manual (M) a modo automtico (A). Transferencia sin sacudidas ante Cambios de Parmetros. Una modificacin de los parmetros del controlador se reflejar como un cambio en su variable de salida. Estos cambios son en general indeseables: para un controlador PID es natural el requerimiento de que no se originen cambios drsticos en la salida, si los parmetros son modificados cuando el error es cero. Esto ser verdadero para todos los algoritmos incrementales ya que su salida es cero cuando su entrada es cero, independientemente de los valores de sus parmetros. Para un algoritmo de posicin, ello depender de la implementacin adoptada. Si al implementar el algoritmo el estado interno del controlador es elegido como

0

( )t

Ix e d =

el trmino integral resulta I

i

KI x

T= .

Todo cambio en K o en Ti dar por resultado un cambio en I. Para evitar sacudidas al modificar los parmetros, al implementar el trmino integrador, se deber elegir el estado conforme a

0

( )( )

( )

t

I

i

Kx e d

T

= . (43)

Un caso en particular requiere de especiales precauciones: es cuando se implementa la asigna-cin de peso al punto de ajuste. En este caso es necesario que la cantidad P + I sea invariante ante cambios en los parmetros. Ello conduce a que, cuando se cambian los parmetros, el estado I debe ser modificado de la manera siguiente: ( ) ( )nuevo viejo viejo viejo nuevo nuevoI I K b r y K b r y= + (44)

42

Tomando las adecuadas precauciones es entonces relativamente sencillo evitar sacudidas si los cambios en los parmetros se realizan cuando el error es nulo (operacin en rgimen). Pseudocdigo de Computadora.

A modo de ilustracin, el siguiente es el pseudocdigo para un algoritmo PID basado en las Ecs.(40) . El controlador maneja tanto el windup como la transferencia sin sacudidas.

El clculo de coeficientes debe realizarse slo cuando se modifican los parmetros del controlador. El clculo de ad, ao, bd, bi ahorra tiempo de ejecucin del programa principal. El algoritmo de control debe ser ejecutado una vez por cada perodo de muestreo. Obsrvese que el pseudocdigo incluye en la derivacin nicamente a la variable del proceso, emplea factor de peso para la variable de referencia e implementa anti-windup.

Conceptos sobre Ajuste Automtico de Parmetros (Autotuning).

Por sintona automtica o ajuste automtico de parmetros entendemos un mtodo que posibilita, a demanda del usuario, el ajuste de los parmetros de un controlador en forma automtica. El proceso se realiza por requerimiento del operador, ya sea oprimiendo un botn o enviando un comando al controlador. El autotuning queda entonces perfectamente diferenciado de las tcnicas adaptativas, por aplicacin de las cuales se realiza una modificacin permanente de los parmetros para adecuarlos a las variaciones del proceso controlado.

En la literatura [1] se puede encontrar los detalles de toda una variedad de mtodos empleados para la sintona automtica de controladores PID. En nuestro caso nos limitaremos analizar el mtodo del rel, empleado para recabar informacin sobre el proceso y brindar los datos necesarios para la sintona.

Clculo de coeficientes del controlador

bi=K*h/Ti ganancia de integracin

ad=Td/(Td+N*h) ganancia derivativa

bd=K*N*Td/(Td+N*h) ganancia derivativa

ao=h/Tt ganancia de seguimiento (tracking)

Cambio de parmetros sin sacudidas

I=I+Kviejo*(bviejo*r-y)-K*(b*r-y) invariancia de P+I

Algoritmo de control

r=adin(ch1) ingresar variable de referencia desde ch1

y=adin(ch2) ingresar variable del proceso desde ch2

P=K*(b*r-y) accin Proporcional

D=ad*D-bd*(y-yviejo) accin Derivativa

v=P+I+D salida temporal para accin antiwindup

u=sat(v,umin,umax) simula saturacin del actuador

daout(u,ch3) sacar variable de control u por ch3

I=I+bi*(r-y)+ao*(u-v) actualiza Integrador con antiwindup

yviejo=y actualiza variable de proceso vieja

43

Utilizando procesos tradicionales de respuesta en frecuencia, la funcin de transferencia de un proceso se determina midiendo las respuestas de rgimen a excitaciones senoidales. Una dificultad de este mtodo radica en la seleccin a priori de frecuencias adecuadas para la seal de entrada. Un mtodo especial en el que se genera la frecuencia apropiada de la seal de entrada en forma totalmente automtica, consiste en insertar en el lazo de control una realimentacin no lineal empleando un rel para inducir una oscilacin de ciclo lmite. Suponiendo el rel ideal, carente de histresis, la frecuencia de la seal de entrada al proceso corresponde muy aproximadamente a la frecuencia 180 de la condicin justo oscilante en el mtodo de Ziegler-Nichols.

PID

PROCESO

u r

Rel

+

y

Fig. 40. Sintonizador a rel. En el modo de sintona, el proceso es realimentado a travs del rel.

Fig. 41. Salida del rel (trazo fino) y variable del proceso, para

un sistema realimentado a travs de un rel ideal. Para interpretar el funcionamiento, supongamos que la salida del rel es expandida en serie de Fourier y que el proceso atene eficazmente las armnicas de alta frecuencia. Resulta entonces suficiente considerar tan slo la primera armnica de la entrada del proceso. La entrada y la salida se encuentran en contrafase, por lo que la frecuencia de oscilacin es 180. Si d es la amplitud del rel (ver Fig. 41), la primera armnica de la onda cuadrada que excita al proceso vale 4d/. Sea a la amplitud de oscilacin de la salida y(t). La ganancia del proceso a 180 est dada por

180 4a

Kd

= ; (45)

K180 y 180 definen un punto de la curva de respuesta en frecuencia del proceso, sobre la base del cual resultara factible realizar una presintona del controlador. Hemos visto al tratar las reglas de Ziegler-Nichols que dos parmetros son insuficientes para definir aceptablemente la dinmica de un proceso. Una manera de determinar mayor cantidad de puntos de la respuesta en frecuencia es utilizar un rel de histresis y amplitud de salida d ajustables (Fig. 42).

44

in

out

d

-d

-

Fig. 42. Caracterstica de transferencia de un rel.

Fig. 43. Determinacin de los parmetros de oscilacin en base al lugar de Nyquist del proceso P(j) y la funcin descriptiva inversa del rel con histresis.

De la Fig. 43 se observa que, variando la histresis y la amplitud d de la salida del rel se pueden determinar mltiples puntos de la respuesta en frecuencia del proceso, utilizables para calcular los parmetros del controlador PID. No entraremos aqu en los detalles del algoritmo empleado, puesto que excedera el alcance de estas notas. Solamente hemos querido explicar los fundamentos de un mtodo sencillo de sintona automtica.

Para Concluir

Tras esta breve, pero es de esperar al decir de los antiguos inspiradora, incursin por los feraces prados del PID, y habiendo lanzado una mirada a vuelo de pjaro (el lector puede elegir cul) a la variedad de temas que se asocian al diseo e implementacin de estos controladores, queda demostrada la hiptesis inexpresada pero subyacente a estas pginas: que el control PID en sus diferentes aspectos brinda un extenso campo de investigacin y desarrollo al profesional interesado. La bibliografa adjunta no es exhaustiva en modo alguno, pero no obstante brinda un punto de partida para comenzar a satisfacer las inquietudes del lector curioso.

Empleando tambin en este caso el concepto de aproximacin de primera armnica, la funcin descriptiva inversa [15] correspon-diente posee parte imaginaria no nula

2 21( ) 4 4

a jN a d d

= (46)

y tanto la frecuencia como la amplitud de oscilacin quedarn en este caso determin