Universidad de Chile mircoles 04 de junio del 2008 E c o n o m a & N e g o c i o s PAUTA CONTROL 3

STA 100: Estadstica I Profesores: Samuel vila, Leonardo Besoan, Cristian Garib y Pablo Tapia

Ayudantes: Carlos Aguirre 5, PROBLEMA 1. (50 ptos.) Responda si las siguientes afirmaciones son verdaderas, falsas o inciertas, proporcionando en forma breve los argumentos de su respuesta. Parte i. Suponga que posee una variable aleatoria X continua en el intervalo , y que su funcin de distribucin de probabilidades se define como , entonces la probabilidad de que la variable aleatoria

),( ba)(xf

X tome valores mayores a c , es igual a 1 cuando el valor de es mayor estricto que , ya que de esta manera se recorren todos los valores que puede tomar la variable

cb X . Comente y recuerde ser breve. Respuesta Falso. Sabemos que la probabilidad acumulada de la variable aleatoria X , se define como

, la cual resulta ser igual a 0 para cualquier valor menor a la cota inferior del dominio, e igual a 1 cuando toma cualquier valor sobre la cota superior del dominio, entonces si es un valor mayor a la cota superior , entonces

)(xFc0=b 11)1)Pr(1)Pr( =(==> ccXcX F , que

contradice el enunciado. _______________________________________________________20 ptos._______ Parte ii. Sean X e Y dos variables aleatorias cualesquiera cuya funcin de distribucin conjunta se define por , a partir de la cual es posible encontrar la funcin de distribucin condicional a algn valor especfico de , que definiremos como , que tambin es una funcin de densidad de probabilidad, ya que al integrarla con respecto a todos los valores de Y , el resultado es igual a 1. Comente y recuerde ser breve.

),( yxfY )|( yxf

Respuesta Falso. Para demostrar que la funcin , es una funcin de distribucin de probabilidades, se debe integrar con respecto a todos los valores de la variable X, de manera que:

)|( yxf

1)(),()|( )(1

)(1

)(),( ====

yfdxyxfdxdxyxf Yyfyfyf

yxfYYY

______________________________________________________20 ptos._________ Parte iii. Toda vez que nos encontramos con dos variables aleatorias cualesquiera que son independientes entre s, podemos sealar que la probabilidad conjunta resulta ser el producto de las marginales y que al mismo tiempo la covarianza entre ellas es igual a cero. Comente y recuerde ser breve. Respuesta Verdadero. Cuando las variables son independientes, la probabilidad de que ocurran simultneamente debe ser el producto de ambas por separado, es decir, las marginales de cada variable, por lo que el valor esperado del producto de variables independientes es igual al producto de los valores esperados por separado, lo que hace que la covarianza sea igual a cero. ________________________________________________________10 ptos._______

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Universidad de Chile mircoles 04 de junio del 2008 E c o n o m a & N e g o c i o s PAUTA CONTROL 3 PROBLEMA 2. (50 ptos.) Parte i. (20 ptos.) El mineral de cobre extrado de la mina El Teniente contiene un porcentaje de cuarzo. Este porcentaje se comporta como una variable aleatoria, cuya funcin de cuanta o densidad de probabilidad est definida por:

=

casootrocualquieroxxkx

xf1000)100(

)(

Encuentre el valor de para que sea funcin de distribucin de la variable aleatoria k )(xf X . Adems, suponga que el beneficio por libra de cobre vendido (en pesos) es funcin del porcentaje de cuarzo contenido en el mineral de cobre, el cual se define por

XX =150)( Determine el valor de para el cual el beneficio esperado por libra de cobre vendido resulta ser positivo. Respuesta Primero debemos obtener el valor k, el cual se obtiene imponiendo la condicin de que la agregacin de todas las probabilidades factibles debe ser igual a 1, es decir,

( ) 1)(100)100( 61001000

3312

21 3 === kxxkdxxkx

Por lo tanto, el valor de k corresponde a 000.5003

1006

3 ==k ______________________________________________________10 ptos._____ A partir del resultado anterior e imponiendo las propiedades de valor esperado, se tiene que

( ) 50)(100)100()( 12100000.50031000

4413

31

000.5003

000.5003 4 ==== xxdxxxxXE

Por otro lado se tiene que 3050150)(150))(( == XEXE

______________________________________________________10 ptos._____ Parte ii. (30 ptos.) Un empresario desea montar una cafetera. En dicho local se vendern dos marcas de bebida cola: Coca Cola y Pepsi Cola. Para ello ha realizado un estudio sobre cul es la demanda de bebidas cola en el barrio donde va instalar la cafetera: como resultado del estudio se deduce que la demanda conjunta semanal de ambas bebidas, tiene la siguiente funcin de densidad:

Universidad de Chile mircoles 04 de junio del 2008 E c o n o m a & N e g o c i o s PAUTA CONTROL 3 Donde la variable aleatoria X representa la demanda de Coca Cola en MILES de unidades, mientras que Y la demanda de Pepsi Cola en MILES de unidades.

a.) El precio por cada unidad demandada de Coca Cola y Pepsi Cola es de $150. Si el

ingreso se define como precio por cantidad, determine el ingreso esperado por la venta de ambas bebidas en una semana cualquiera. Respuesta El ingreso en este caso corresponde a YXI += 150150 , as que el ingreso esperado corresponde a:

)(150)150150()( YXEYXEIE +=+= Dado que las variables aleatorias son continuas, el ingreso esperado se debe calcular sobre todo el domino, el cual es representado en la siguiente figura.

Figura 1. Representacin del domino o espacio factible.

La figura define los lmites de integracin, por lo que el clculo del valor esperado es:

+=+=+= 20 2 4320 2 )(150),()(150)150150()( xx xdydxyxdydxyxfyxYXEIE _________________________________________________5 ptos._____ Al integrar ordenadamente se tiene que:

[ ] [ ] +=+=+= 20 221220 222124320 2 243 )4()2(150)(150)( dxxxxxdxxyyxdydxyxxIE xx _________________________________________________5 ptos.______

( ) ( ) 3751684150150)( 83324320

4833

322

43 =+=+= xxxIE

_________________________________________________5 ptos._____ b.) La cuenta del consumo elctrico llega a la cafetera la segunda semana de cada mes.

Determine cul es la probabilidad de que, admitiendo que el valor de la cuenta es de $60.000, pueda cancelarse por la venta de botellas de Pepsi Cola de la semana anterior a la recepcin de la cuenta. Respuesta En este caso el problema se plantea como: ( )52Pr)60150Pr()60Pr( >=>=> YYPepsideIngreso _________________________________________________5 ptos.____ Por lo tanto, requeriremos de la funcin de distribucin marginal de Y, es decir, se tiene que:

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( ) 2830

221

43

043

0 43)( yxxdxxdxyf

yyyY ====

_______________________________________________5 ptos._______ De esta manera la probabilidad queda definida por:

( ) ( ) ( ) ( ) 992.01111Pr(1Pr 1251352815/20

331

83

5/2

0

283

52

52 ======> ydyyYY

Por lo que es posible sealar que existe una probabilidad del 99,2 % de que con el ingreso percibido por las ventas slo de Pepsi Cola se cubran los gastos por utilizacin de energa elctrica. _______________________________________________5 ptos._______