TRABAJO COLABORATIVO No. 2

PEDRO FARIAS Cód.83478168

Grupo 129

Tutor

RENÉ ALEJANDRO TAFUR

Control Digital 299006

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

TECNOLOGÍA DE TELECOMUNICACIONES

26 de Abril 2014

CONTROL DIGITAL

TRABAJO COLABORATIVO 2

INTRODUCCIÓN

A finales del siglo XIX H. Poincaré, con su trabajo pionero sobre los Nuevos Métodos de la

Mecánica Celeste, intuyó la significación profunda de formular una teoría general de los

sistemas dinámicos en función de conjuntos de ecuaciones diferenciales de primer orden, e

introdujo la ahora familiar idea de considerar el conjunto relevante de variables del sistema

como la trayectoria de un punto en un espacio n-dimensional.

El enfoque de Poincaré al estudio de problemas dinámicos rápidamente se popularizó y se

vino a conocer como método del espacio de estado. Así, el concepto de estado se hace

dominante en el estudio de los sistemas dinámicos. Lo que es fundamental es que su conducta

actual está influenciada por su historia previa y que su comportamiento no puede por lo tanto

especificarse simplemente como una relación instantánea Z entre conjuntos de variables de

entrada y salida. Se necesita un conjunto extra de variables cuyo objetivo es tomar en cuenta

la historia pasada del sistema; estas variables son las variables de estado. Las variables de

estado representan pues la mínima cantidad de información que nos resume todo el pasado

dinámico del sistema y es todo lo que necesitamos conocer para poder predecir su evolución

futura frente a cualquier señal de entrada que le apliquemos. La utilización del tratamiento del

espacio de estados condujo rápidamente a una compensación más profunda de los problemas

científicos y matemáticos del Control Automático y se puede considerar que su introducción

marca la emergencia de éste como una disciplina científicamente madura.

Hacia mediados de los años 50 los trabajos de Pontryagin y Bellman, entre otros, dejaron

claro la gran utilidad del concepto de estado en la formulación y solución de muchos

problemas de decisión y control.

La importancia creciente de los métodos del espacio de estados lleva a R.E. Kalman a

investigar la relación entre las representaciones en el espacio de estado (representación

interna) y la función de transferencia (representación externa) lo que motivó la introducción

de dos conceptos estructurales fundamentales para la compensación de los sistemas

dinámicos: controlabilidad y observabilidad. La incorporación de todos estos métodos del

dominio temporal tuvo un efecto profundo sobre el problema del control y dio lugar a

contribuciones importantes para resolver los problemas de guiado del programa espacial que

se había iniciado a comienzo de los años 60.

EJERCICIOS

1. Actividad Teórica: La primera actividad está compuesta de una serie de ejercicios que

deberán ser desarrollados de forma analítica por cada uno de los estudiantes del grupo

colaborativo.

Ejercicio 1:

El sistema que se muestra a continuación ilustra el control por computador de un robot

que pulveriza pintura en automóviles.

El diagrama de bloques del sistema es mostrado a continuación:

Donde:

K Gp (s )= 20

s( s2+1)

Obtenga el compensador D ( z ) requerido para obtener un margen de fase de 45º.

Suponga T=0.001 segundos.

Solución:

La fórmula función de transferencia lazo cerrado para el sistema descrito:

Y s

R s=

G (s )1+G ( s) H (s )

=G ( s )

1+G (s )

Si remplazamos por las variables mencionadas obtendríamos:

Gc (s )=D ( z ) ∙ GZOH (s ) ∙ K Gp (s )

1+D ( z ) ∙GZOH ( s ) ∙ K G p (s )

Ahora, se despeja D ( z ):

Gc (s )+Gc ( s) [ D (z ) ∙GZOH (s ) ∙ K G p ( s ) ]=D (z ) ∙GZOH (s ) ∙ K G p ( s)

Gc (s )=D ( z ) ∙ GZOH (s ) ∙ K Gp ( s )−Gc ( s ) [ D ( z ) ∙ GZOH (s ) ∙ K Gp (s ) ]

Gc (s )=D ( z ) ∙ {GZOH ( s) ∙K Gp (s )−Gc (s ) [GZOH (s ) ∙ K G p ( s ) ] }

G c (s )

{GZOH ( s ) ∙ K G p (s )−Gc (s ) [GZOH (s ) ∙ K Gp ( s) ] }=D (z )

D ( z )=Gc ( s)

GZOH (s ) ∙ K G p ( s ) ∙ [1−Gc ( s ) ]

Se conocen los siguientes valores:

K G p (s )= 20

s( s2+1); GZOH ( s )=1−e−sT / sT

La función de transferencia del compensador solicitado

Gc (s )=K c α Ts+1αTs+1

En esta ecuación se remplazan los valores de las variables que conocemos:

α=45°

T=0,001 s

Gc (s )=K cs+1000

s+20

Volvemos a la ecuación hallada anteriormente y remplazamos por los valores que ya

se determinaron:

D ( z )=Gc ( s)

GZOH (s ) ∙ K G p ( s ) ∙ [1−Gc ( s ) ]

D ( z )=K c

s+1000s+20

20

s( s2+1)

∙ (1−e−sT / sT )∙ [1−K cs+1000

s+20 ]

Se simplifica esta función y se calcula la transformada z:

D ( z )=Z { K c T (1+z ) ( z−1000−z−2 )39920 (1−z−1 ) [ (1−z−1000)−(1−z−20 ) ] }

El compensador solicitado tendría polos en

Z=1

Ejercicio 2:

La función de transferencia del sistema pulso de un sistema es:

G ( z )=K { ( z−E ) [T−τ ( z−1 ) ]+τ ( z−1 )2 }

( z−1 ) ( z−E )

Con T=0.01 segundos y τ=0.008 segundos.

(a) Encuentre K de tal manera que el sobreimpulso sea menor que 40%.

(b) Determine el error en estado estacionario en respuesta a una entrada unitaria.

(c) Determine K para minimizar la integral del cuadrado de error.

Solución:

(a) .

Mp=G ( z2 )−G ( z1 )

G ( z1 )

K ∙ {(2−0 , 1 ) [0,01−0,008 (2−1 ) ]+0,008 (2−1 )2 }(2−1 ) (2−0 ,1 )

<0,4

K ∙ (0,0038+0,008 )1,9

<0,4

K<64,4

(b) .

G (k )=0 si k<0k si k ≥ 0

K=65 {(2−E ) [0,01−0,008 (2−1 ) ]+0,008 (2−1 ) }

(2−1 ) (2−E )

E=0,268−2k0,13−k

(c) .

0=0,268−2k0,13−k

0=0,268−2k

2 k=0,268

k=0,134

Ejercicio 3:

La ecuación característica de un sistema muestreado es

z2+ ( K−4 ) z+0.8=0

Encuentre el rango de estabilidad para K .

Solución:

Para que este polinomio [(bauticémoslo p(z )] tenga todas sus raíces en el círculo

unitario, y por tanto el sistema realimentado sea estable, por ser de segundo orden,

estas condiciones se convierten en:

p (1 )=1+( K−4 )+0,8>0

p (−1 )=1+( 4−K )+0,8>0

0,8=|a0|<a2=1

estas condiciones equivalen a:

K>2,2

K<5,8

2,2<K<5,8

Ejercicio 4:

Un sistema con realimentación unitaria, como el que se muestra a continuación

Tiene una planta

G p (s )= Ks (s+3 )

Con T=0.5. Determine si el sistema es estable cuando K=5. Determine el máximo de

K para mantener la estabilidad.

Solución:

La fórmula función de transferencia lazo cerrado para el sistema descrito:

y ( t )r (t )

=Go (s )G p ( s)

1+Go ( s ) Gp (s )

Si remplazamos Go (s )=1−e−sTsT ; Gp (s )= 5

s (s+3 ) ; K=5

G (s )=

(1−e−sTsT )[ 5

s (s+3 ) ]1+(1−e

− sTsT )[ 5

s (s+3 ) ]Ahora se simplifica

G (s )= 5 (1−e−sT )T ( s+3 )+5 (1−e−sT )

Ahora se remplaza T por el valor dado

G (s )= 5 (1−e−0,5s )0,5 (s+3 )+5 (1−e−0,5 s )

Por el criterio de estabilidad, la ecuación característica debe ser mayor que cero:

[0,5 ( s+3 )+5 (1−e−0,5s ) ]>0

0,5 s+1,5+5−5 e−0,5s>0

0,5 s−5 e−0,5 s+6,5>0

Ahora se aplica la transformada z a la ecuación característica para analizar su

estabilidad

z [0,5 s−5 e−0,5s+6,5 ]=−3 z+4,5

−3 z+4,5>0

Con el criterio de estabilidad

−3 4,5

−13,5 .

Se puede apreciar que el sistema no es estable para K=5

El máximo valor de K para mantener la estabilidad es:

−3 z−0,5+K>0.

−3 −0,5 K

1,5 −0,5 k

−7,5 k.

Se obtienen 3 valores diferentes:

K>3,5

K>3

K>0

K>3,5

2. Actividad Práctica: La segunda actividad está compuesta de una serie de ejercicios que

deberán ser desarrollados utilizando una herramienta de software como SCILAB o MATLAB.

Ejercicio 1:

Considere el sistema realimentado mostrado a continuación

Obtenga el lugar de las raíces determine el rango de estabilidad para K .

Solución:

El sistema tiene la siguiente función de transferencia:

G ( z )=

k ( z−0,2 ) (z+1 )( z−0,8 ) (z−1 )

1+k ( z−0,2 ) ( z+1 )( z−0,8 ) ( z−1 )

=

k ( z2+0,8 z−0,2 )z2−1,8 z+0,8

1+k (z2+0,8 z−0,2)

z2−1,8 z+0,8

¿

k (z¿¿2+0,8 z−0,2)z2−1,8 z+0,8

( z2−1,8 z+0,8 )+k ( z2+0,8 z−0,2 )z2−1,8 z+0,8

¿

¿k (z¿¿2+0,8 z−0,2)

( z2−1,8 z+0,8 )+k ( z2+0,8 z−0,2 )¿

¿

k ( z¿¿2+0,8 z−0,2)z2−1,8 z+0,8

(k+1 ) z2+(0,8 k−1,8 ) z−0,2 k+0,8z2−1,8 z+0,8

¿

¿k ( z2+0,8 z−0,2 )

(k+1 ) z2+(0,8 k−1,8 ) z−0,2 k+0,8

G ( z )= k ( z2+0,8 z−0,2 )(k+1 ) z2+(0,8 k−1,8 ) z−0,2 k+0,8

Según el arreglo de Jury para el polinomio: R ( z )=2 z2−z+0,6

Por ser un polinomio de segundo orden (n=2) el criterio de Jury se reduce a:

R (1 )=(k+1 )+ (0,8 k−1,8 )−0,2 k+0,8>0

R (−1 )=( k+1 )−0,8k+1,8−0,2 k+0,8>0

−0,2 k+0,8=|a0|<a2=k+1

estas condiciones equivalen a:

1,6 k>0

3,6<0

0,8 k<0,2

1,6 k<0,4

0<K<0,25

Por lo que R ( z )tiene todas sus raíces en el interior del círculo unitario, por lo que el

sistema es estable.

Y a continuación lo podemos apreciar en MATLAB.

Para este procedimiento, tomamos

G ( z )=

( z−0,2 ) ( z+1 )(z−0,8 ) ( z−1 )

1+( z−0,2 ) ( z+1 )( z−0,8 ) ( z−1 )

=

z2+0,8 z−0,2z2−1,8 z+0,8

1+ z2+0,8 z−0,2z2−1,8 z+0,8

¿

z2+0,8 z−0,2z2−1,8 z+0,8

( z2−1,8 z+0,8 )+( z2+0,8 z−0,2 )z2−1,8 z+0,8

¿

z2+0,8 z−0,2z2−1,8 z+0,82 z2−z+0,6

z2−1,8 z+0,8

=( z2+0,8 z−0,2 ) ( z2−1,8 z+0,8 )( z2−1,8 z+0,8 ) (2 z2−z+0,6 )

G ( z )= z2+0,8 z−0,22 z2−z+0,6

.

Ejercicio 2:

Un proceso industrial se representa por la función de transferencia

G p (s )= 10s (s+5 )

El objetivo es utilizar un computador digital para mejorar el rendimiento, donde la

función de transferencia del computador se representa por D ( z ). Las especificaciones

de diseño son: (1) margen de fase mayor que 45º, y (2) tiempo de establecimiento (con

criterio del 2%) menor que 1 segundo.

(a) Diseñe un controlador G p (s )= 10s (s+5 ) para alcanzar las especificaciones de

diseño

(b) Suponiendo un tiempo de muestreo T=0.02 segundos, convierta Gc (s ) a D ( z ).

(c) Simule el sistema en tiempo continuo en lazo cerrado con una entrada escalón

unitaria.

(d) Simule el sistema de datos muestreados en lazo cerrado con una entrada escalón

unitario

(e) Compare y comente los resultados de los incisos (c) y (d).

CONCLUSIONES

• Se profundizó en los conocimientos adquiridos en el módulo de Control Digital acerca de la

conversión de filtros análogos a digitales y viceversa.

• Se practicó exitosamente la simulación de la representación y el análisis de los sistemas

digitales con MATLAB.

• Se practicó exitosamente el modelado matemático de los sistemas discretos.

REFERENCIAS

CÉSPEDES M., J. J. (2008). Módulo de Control Digital. Colombia: Universidad Nacional

Abierta y a Distancia. UNAD.

SENDOYA L., D. F. (2012). Protocolo de Control Digital. Colombia: Universidad Nacional

Abierta y a Distancia. UNAD.

OGATA, K. (2012). Ingeniería de Control Moderna. United States: University of

Minnesota. PEARSON.