Sistemas de control basados en lógica difusa

(Control difuso)

November 17, 2015

Introducción

Control es un concepto muy común y es ampliamente usado por muchas personasen la vida cotidiana. El término es usado habitualmente para hacer referenciaa la interacción entre el hombre y lo que lo rodea, más especí�camente a lainteracción hombre-máquina.

El control automático surge para liberar al hombre de tareas repetitivas,donde la complejidad del sistema a controlar es elevada o la operación es riesgosa,puede haber una gran cantidad de motivos por la cual se opta por el controlautomático. El control manual es llevado a cabo por personas que conocen(aunque sea de manera aproximada) el proceso a controlar y saben como debeser el resultado de su control y como lograrlo, en la industria, estas personas(operarios) cuentan con experiencia y conocimiento su�ciente para cumplir conlos objetivos de control. Este concepto de experiencia o base de conocimientoes muy importante en sistemas de control difuso [1].

1 Lógica difusa

El concepto de lógica difusa es muy común, está asociado con la manera en quelas personas perciben el medio, por ejemplo ideas relacionadas con la altura deuna persona, velocidad con la que se mueve un objeto, la temperatura dominanteen una habitación, cotidianamente se formulan de manera ambigua y dependede quien percibe el efecto físico o químico, será su enunciado acerca de talfenómeno.

Los conjuntos difusos de�nen justamente estas ambigüedades, y son unaextensión de la teoría clásica de conjuntos, donde un elemento pertenece o no aun conjunto, tal elemento tiene solo 2 posibilidades, pertenecer o no, un elementoes bi-valuado y no se de�nen ambigüedades.

Con conjuntos difusos se intenta modelar la ambigüedad con la que se percibeuna variable. Los conjuntos difusos son la base para la lógica difusa, del mismomodo que la teoría clásica de conjuntos es la base para la lógica Booleana. Conlos conjuntos difusos se realizan a�rmaciones lógicas del tipo:

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� Si-Entonces, de�niéndose estas con Lógica Difusa.

Desde que Lotfy A. Zadeh (1965) desarrolló este concepto de lógica difusa, seha trabajando en este tema, el principal centro de desarrollo es Japón, dondesus investigadores la han aplicado a muy diversos sistemas, principalmenteelectrodomésticos, sistemas más recientes están vinculados con la industria, lamedicina y la actividad espacial. Muchas publicaciones y libros se han escritode este tema, pero aún queda mucho por explorar.

La incorporación de lógica difusa a los sistemas de control da lugar a lo quellamaremos sistemas de control difuso. Nos enfocaremos en el control de pro-cesos suponiendo conocido el modelo de este. La idea es muy simple, se tratade determinar de manera lógica que se debe hacer para lograr los objetivos decontrol de mejor manera posible a partir de una base de conocimiento propor-cionada por un operador humano, sin esta base no es posible desarrollar unaaplicación y que esta funcione de manera correcta. Se utiliza el conocimientoy experiencia de un operador humano para construir un controlador que emuleel comportamiento de tal persona. Comparado con el control tradicional, elcontrol difuso tiene dos ventajas practicas:

1. El modelo matemático del proceso a controlar no es requerido

2. Se obtiene un controlador no lineal desarrollado empíricamente sin com-plicaciones matemáticas

En realidad los desarrollos matemáticos de este tema todavía están en su infan-cia. [1][2]

En el presente documento se usa de manera indistinta los siguientes términospara referirse a:

1. lógica difusa:fuzzy logic - lógica borrosa

2. Para sistemas de control:fuzzy system - control borroso - control fuzzy

3. Controladores con lógica difusa:fuzzy logic controllers (FLC) - fuzzy inference system (FIS)controladores fuzzy - controlador borroso o difuso.

Como se indicó anteriormente, cotidianamente nos movemos en un mundo conde�niciones ambiguas, si alguien dice �está por llover� nos interesa saber en quemedida esto es cierto y en cuanto tiempo sucederá. La toma de decisión a partirde información que no especí�ca, también es un procedimiento cotidiano, estoes el que se intenta emular con lógica difusa a partir de:

1. la observación del entorno,

2. la formulación de reglas lógicas y

3. la formulación de los mecanismos de toma de decisión.

2

Es necesario tener en cuenta los conceptos básicos de lógica difusa que se aplicanen control, tales como:

� Variables linguísticas, Funciones de Pertenencia, Operaciones Difusas, Basede reglas, fusi�cación, defusi�cación y los pasos para la toma de decisión.

2 Base teórica

Se empezará por algunos conceptos relacionados con el tema con el �n de teneruna idea clara de la metodología a emplear:

En lógica clasica permiten determinar si una variable pertenece o no a unconjunto (ejemplo: El conjunto de los numeros pares e impares, un numero xes par si el residuo de x

2 es igual a cero).

En lógica difusa pertenecer a un conjunto se da a través de una función dondese pongan valores de pertenenciaentre ceros y unos (ejemplo: Un conductor nodebe exceder los 60 km/h, el objetivo para llegar más rápido es mantener los60 km/h, si se de�ne como variable un error entre la velocidad limite (vlim) yla velocidad actual (vact) como: e = vlim − vact, se puede suponer que: a) ees negativo, b) e es cercano a cero y c) e es positivo, �nalmente si la velocidadactual es 80 km/h se puede determinar una grá�ca que le de un valor a cadasituación (Ver �gura siguiente) donde un error negativo tiene un valor de 0.85,cercano a cero de 0.4 y positivo de cero)

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2.1 Variables linguísticas, universo de discurso y base de

reglas

Las variables linguísticas son etiquetas o nombres de los conjuntos de�nidos através de funciones de pertenencia, son variables cuyos valores se representanmediante términos lingüísticos.

Una variable lingüística se caracteriza mediante (v, T,X, g,m)

� v es el nombre de la variable. (Rendimiento)

� T es el conjunto de términos lingüísticos de v. (t1 =Muy bajo, t2 =bajo,t3 =alto, t4 =muy alto)

� X es el universo de discurso de la variable v. (limites o rango de la variablev [-100% ... 100%])

� g es una regla sintáctica o base de reglas para generar términos lingüísticoso acciones a realizar de la forma:Si_____Entonces________En otras palabras la base de reglas esta formada por un conjunto de reglasque relacionan las funciones de pertenencia de las variables de entrada yde salida

� m es una regla semántica que asigna a cada término lingüístico t su sig-ni�cado m(t), que es un conjunto difuso en X.

Fuente: Sistemas difusos [2]

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2.2 Controlador difuso

El controlador difuso tiene la siguiente estructura

2.3 Fusi�cación

Se encarga de evaluar la variable de entrada y asignar los valores de pertenenciaa las diferentes funciones y asociarlos con las etiquetas lingüísticas

2.4 Desfusi�cación

Se encarga de convertir etiquetas lingüisticas y valores de pertenencia en unvalor numérico

2.5 Reglas activas

Son las reglas que se deben evaluar dentro de la base de reglas y que correspon-den a los que tienen valores de pertenencia en la entrada mayores a cero.

2.6 Conjuntos difusos

Los conjuntos clásicos, tienen limitaciones, se de�ne un universo de discurso quecontiene a conjuntos cuyos bordes están bien de�nidos, un elemento puede o nopertenecer a cierto conjunto, algo es verdadero o falso, no se de�nen situacionesintermedias.

Los conjuntos difusos o borrosos son una extensión de los clásicos, dondese añade una función de pertenencia, de�nida esta como un número real entre0 y 1. Así se introduce el concepto de conjunto o subconjunto difuso y se loasocia a un determinado valor lingüístico, de�nido por una palabra o etiquetalingüística, donde esta es el nombre del conjunto o subconjunto.

Por cada conjunto se de�ne una función de pertenencia o membresía denom-inada µA(x), indica el grado en que la variable x está incluida en el conceptorepresentado por la etiqueta A (0 ≤ µA(x) ≤ 1), si esta función toma el valor 0signi�ca que tal valor de x no está incluido en A y si toma el valor 1 el corre-spondiente valor de x está absolutamente incluido en A.

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En la Figura siguiente se puede apreciar un ejemplo donde el conjunto ve-locidad (con variable x) está subdividido en 3 subconjuntos {Baja, Meda, Alta},con sus respectivas funciones de pertenencia {µBaja (x) , µMedia (x) , µAlta (x)}

Fuente: Control Difuso [2]

2.7 Funciones de pertenencia

Las funciones de membresía representan el grado de pertenencia de un elementoa un subconjunto de�nido por una etiqueta.

2.7.1 Funciones de pertenencia triagulares

� Implementación: µ (x) = max(min

(x−am−a ,

b−xb−m

), 0),

% Implementación de funciones de pertenenciax = -10:10; a = -5; m = 0; b = 5;ux = max(min((x-a)/(m-a),(b-x)/(b-m)),0);plot(x,ux); grid on

2.7.2 Funciones trapezoidales

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� Implementación: µ (x) = max(min

(x−ab−a , 1,

d−xd−c

), 0),

% Implementación de funciones de pertenenciax = -10:0.01;10; a = -5; b = -2.5; c = 2.5; d = 5;ux = max(min(min((x-a)/(b-a), (d-x)/(d-c)),1),0);plot(x,ux); grid on

2.7.3 Funnción de pertenencia gaussiana

� Implementación: µ (x) = e−12 (

x−cσ )

2

= exp(− 1

2

(x−cσ

)2),

% Implementación de funciones de pertenenciax = 0:120; c = 60; sigma = 15;u = exp(-1/2*((x-c)/sigma).^2);plot(x,u); grid on

2.7.4 Funnción de pertenencia Campana generalizada

� Implementación: µ (x) = 1

1+| x−ca |2b,

% Implementación de funciones de pertenenciax = 0:120; a = 30; b =5; c = 60;u = 1./(1+abs((x-c)/a).^(2*b));plot(x,u); grid on

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