control de posicionamiento de un cuerpo esfÉrico sobre una plataforma mÓvil

1

CONTROL DE POSICIONAMIENTO DE UN CUERPO ESFÉRICO SOBRE UNA PLATAFORMA MÓVIL

JUAN DAVID NÚÑEZ LÓPEZ

POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID FACULTAD DE INGENIERÍAS

INGENIERÍA EN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL MEDELLÍN

2015

2



Trabajo dirigido y estructurado como requisito parc ial para optar al título de Ingeniero en Instrumentación y Control

Asesor Técnico HENRY OMAR SARMIENTO MALDONADO

PhD

Asesor Metodológico ÁLVARO URDINOLA RESTREPO

Sociólogo

POLITÉCNICO COLOMBIANO JAIME ISAZA CADAVID FACULTAD DE INGENIERÍAS

INGENIERÍA EN INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL MEDELLÍN

2015

3

Medellín, Noviembre 27 de 2015

Ingeniero

MARIO LEÓN MONTOYA MEJÍA

Coordinador de Programas Tecnológicos de la Facultad de Ingeniería

Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid

Asunto: Cumplimiento requisitos Técnico – Metodológico.

Nos permitimos certificar que el trabajo de grado “CONTROL DE

POSICIONAMIENTO DE UN CUERPO ESFÉRICO SOBRE UNA PLA TAFORMA

MÓVIL” elaborado por el estudiante:


C.C. 98.711.178

Realizado bajo la modalidad de trabajo dirigido y estructurado como requisito

parcial, para optar al título de Ingeniero en Instrumentación y Control, cumple los

requisitos técnicos y metodológicos exigidos.

Se autoriza programar sustentación con jurado.

______________________________ _____________________________

JURADO ÁLVARO URDINOLA RESTREPO

ASESOR METODOLÓGICO

4

Dedico a Dios por darme la vida y brindarme la oportunidad de adelantar mis

estudios con esfuerzo y dedicación.

A mi familia, en especial a mi madre Flor Ángela López Casas, a mi padre Luis

Alfonso Núñez Ospina y a las personas que intervinieron en mi proceso de

formación personal y profesional.

A mi novia Karina R. Salazar, por su apoyo incondicional en la etapa final de mis

Estudios de Pregrado.


5

AGRADECIMIENTOS

El autor expresa su agradecimiento a:

Henry Omar Sarmiento Maldonado, Ph.D. en Ingeniería Electrónica y asesor

técnico, por los conocimientos, el tiempo y el apoyo incondicional brindado en la

elaboración y ejecución de este proyecto. Su asesoría determinó el éxito del

presente Trabajo de Grado.

A la empresa Soluciones Mecánicas Ltda., y su representante el Ingeniero Pablo

Velásquez Zapata, por darme la oportunidad de transmitir mí idea y facilitar la

implementación del módulo usado en este Trabajo de Grado.

Luis Eduardo García Jaimes, M.sc. en Educación, Coordinador de trabajo de grado

y profesor de la Asignatura de Control Avanzado, por los conocimientos y las

recomendaciones aportados al trabajo respecto al diseño de controladores y el

desarrollo metodológico.

Álvaro Urdinola Restrepo, Sociólogo y Asesor Metodológico, por el tiempo dedicado

para la elaboración del documento escrito.

6

RESUMEN

Controlar la posición de una esfera sobre una plataforma móvil es un reto desde el

punto de vista del control, ya que se trata de un sistema que además de ser no-

lineal, es también inestable, convirtiéndolo en un problema complejo. Dada esta

complejidad, la identificación del sistema mediante métodos paramétricos y no-

paramétricos no es adecuada, es por tanto que se elige encontrar su modelo

matemático mediante el análisis fenomenológico del sistema.

Una vez obtenida la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema, a partir

de esta se halla la representación del sistema tanto en Función de Trasferencia

como en Espacio de Estados, con el propósito de diseñar, desde esto, dos

controladores por el método de Asignación de Polos: un controlador PD y un

controlador por realimentación de Estados, con el fin de posicionar la esfera sobre

un punto específico de la plataforma.

Logrado el fin indicado, se procede a realizar las respectivas simulaciones del

sistema, en la plataforma de simulación ‘Simulink’ de Matlab®, con el propósito de

comprobar que las especificaciones de funcionamiento establecidas se cumplan.

Como etapa final, se procede a aplicar los controladores diseñados al sistema ya

implementado, con el fin de controlar la posición de la esfera en un punto específico,

mediante el uso de Visión Artificial como medio generador de la señal de

realimentación y de los algoritmos de control desarrollados en Labview®. Las

señales de control son llevadas a dos servomotores por un “Arduino UNO®”,

encargados de ocasionar los respectivos cambios de inclinación de la plataforma.

7

Al aplicar los algoritmos de control se muestra por qué el controlador PD fue

descartado y cuáles son los parámetros de diseño que se cumplen con el sistema

real controlado mediante el controlador por realimentación de Estados. Se muestran

sus respectivas gráficas en donde se aprecian los valores de las variables en el

tiempo y por último se cuenta con un sistema estable que obedece a las

perturbaciones y que además puede seguir una trayectoria definida por el usuario.

8

CONTENIDO

1. GENERALIDADES .......................................................................................... 21

1.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................. 21

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .............................................................. 23

1.3 OBJETIVOS ..................................................................................................... 26

1.3.1 Objetivo general ............................................................................................ 26

1.3.2 Objetivos específicos .................................................................................... 26

1.4 ALCANCES Y LIMITANTES DEL PROYECTO ............................................... 28

1.4.1 Alcance ......................................................................................................... 28

1.4.2 Limitantes ...................................................................................................... 28

1.5 ANTECEDENTES ............................................................................................ 30

1.6 METODOLOGÍA .............................................................................................. 33

2. MODELAMIENTO MATEMÁTICO DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA . 36

2.1 BASES TEÓRICAS .......................................................................................... 37

2.1.1 Segunda ley de Newton ................................................................................ 37

2.1.2 Momento de Torsión ..................................................................................... 38

2.1.3 Rodamiento sin Deslizamiento ...................................................................... 38

2.2 CÁLCULO DEL MODELO MATEMÁTICO ....................................................... 39

2.2.1 Diagrama de cuerpo libre .............................................................................. 39

2.2.2 Procedimiento ............................................................................................... 39

2.2.3 Linealización ................................................................................................. 42

2.3 REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA ...................... 43

2.3.1 Función de Transferencia ............................................................................. 43

9

2.3.2 Representación en el Espacio De Estados ................................................... 44

3. CALCULO DE LOS CONTROLADORES DEL SISTEMA PLATAFORMA-

ESFERA ................................................................................................................ 47

3.1 CONTROLADOR CONVENCIONAL ............................................................... 48

3.1.1 Controlador PD puro ..................................................................................... 48

3.1.2 Controlador PD con filtro N ........................................................................... 55

3.2 CONTROLADOR POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS ............................ 58

3.2.1 Controlabilidad y Observabilidad .................................................................. 59

3.2.2 Cálculo del vector de realimentación ............................................................ 61

3.2.3 Observador de Estado .................................................................................. 63

4. SIMULACIÓN DEL SISTEMA ......................................................................... 68

4.1 SISTEMA EN LAZO ABIERTO ........................................................................ 69

4.1.1 Representación en Función de Transferencia .............................................. 69

4.1.2 Representación en Espacio de Estados ....................................................... 70

4.2 SISTEMA EN LAZO CERRADO ...................................................................... 71

4.3 SISTEMA CONTROLADO ............................................................................... 72

4.3.1 Control PD Puro ............................................................................................ 72

4.3.2 Control PD con filtro N .................................................................................. 76

4.3.3 Control por realimentación de Estados ......................................................... 78

4.3.4 Servosistema tipo 1 ...................................................................................... 80

Obsérvese la figura 4.16, el error en estado estable es reducido a cero con el

controlador propuesto. El tiempo de establecimiento sigue siendo un poco mayor al

deseado debido a la saturación de la señal de control. ......................................... 82

4.3.5 Servosistema tipo 1 con observador de estado completo ............................. 82

4.4 COMPARATIVO .............................................................................................. 84

10

5. CONTROL DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA REAL ........................... 86

5.1 MECÁNICA ...................................................................................................... 87

5.1.1 Rótula............................................................................................................ 87

5.1.2 Ejes ............................................................................................................... 87

5.1.3 Servomotores ................................................................................................ 88

5.1.4 Diseño completo ........................................................................................... 88

5.2 ELECTRÓNICA ............................................................................................... 89

5.3 SOFTWARE ..................................................................................................... 91

5.3.1 Vision and Motion ......................................................................................... 91

5.3.2 Arduino.......................................................................................................... 93

5.3.3 Control .......................................................................................................... 94

5.3.4 Salida ............................................................................................................ 97

5.4 PUESTA EN MARCHA .................................................................................... 98

5.4.1 Ajuste ............................................................................................................ 98

5.4.2 Ejecución .................................................................................................... 101

6. RESULTADOS Y CONCLUSIONES ................................................................ 109

7. RECOMENDACIONES .................................................................................... 113

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 115

11

LISTA DE TABLAS

Tabla 5. 1 Relación entre el servomotor y la Plataforma en el eje x ...................... 99

Tabla 5. 2 Relación entre el servomotor y la Plataforma en el eje y .................... 100

Tabla 5. 3 Parámetros del Controlador ................................................................ 106

Tabla 5. 4 Parámetros del Observador ................................................................ 107

12

LISTA DE FIGURAS

Figura 2. 1 Desplazamiento de la Esfera sobre un plano inclinado ....................... 39

Figura 2. 2 Diagrama de Cuerpo Libre ................................................................... 39

Figura 2. 3 Zona lineal de la Función Seno ........................................................... 42

Figura 3. 1 Sistema Plataforma-esfera Controlado ................................................ 48

Figura 3. 2 Sistema en Lazo Cerrado .................................................................... 52

Figura 3. 3 Configuración del Sistema controlado por un PD con filtro N .............. 58

Figura 3. 4 Representación en Espacio de Estados .............................................. 58

Figura 3. 5 Sistema con el Vector de Realimentación K ........................................ 62

Figura 3. 6 Servosistema tipo 1 para planta con integrador ................................... 63

Figura 3. 7 Servosistema tipo 1 con Observador de Estado .................................. 67

Figura 4. 1 Sistema Plataforma-esfera en lazo abierto .......................................... 69

Figura 4. 2 Respuesta del sistema ante dos entradas tipo escalón ....................... 70

Figura 4. 3 Representación del sistema en el Espacio de estados ........................ 70

Figura 4. 4 Estados del sistema ............................................................................. 71

Figura 4. 5 Sistema Plataforma-esfera con controlador P de ganancia unitaria .... 71

Figura 4. 6 Respuesta del sistema con un controlador P de ganancia unitaria ..... 72

Figura 4. 7 Control PD puro sin saturación ............................................................ 73

Figura 4. 8 Respuesta del Sistema ante un PD puro sin saturación ...................... 74

Figura 4. 9 Control PD puro con saturación ........................................................... 75

Figura 4. 10 Respuesta del Sistema ante un PD puro saturado ............................ 76

Figura 4. 11 Sistema controlado por un controlador PD realizable ........................ 77

Figura 4. 12 Respuesta del sistema ante un controlador PD realizable ................. 78

Figura 4. 13 Sistema controlado por la realimentación de sus Estados ................. 79

Figura 4. 14 Respuesta del sistema ante la realimentación de sus Estados ......... 80

Figura 4. 15 Sistema de control servo tipo 1 .......................................................... 81

Figura 4. 16 Respuesta del sistema controlado por un servo tipo 1 ...................... 82

Figura 4. 17 Servosistema tipo 1 con observador .................................................. 83

13

Figura 4. 18 Respuesta del sistema ante un servo tipo 1 con observador ............. 84

Figura 4. 19 Integral del Valor Absoluto del Error .................................................. 85

Figura 5. 1 Rótula .................................................................................................. 87

Figura 5. 2 Eje ........................................................................................................ 88

Figura 5. 3 Servomotor-Soporte............................................................................. 88

Figura 5. 4 Diseño mecánico sistema-Plataforma-esfera ...................................... 89

Figura 5. 5 Arduino y Servomotores ...................................................................... 89

Figura 5. 6 Sistema mecánico con ARDUINO UNO .............................................. 90

Figura 5. 7 Código en Labview del Vision Acquisition ............................................ 92

Figura 5. 8 Sub-bloques del Vision Assistant ......................................................... 92

Figura 5. 9 Obtención de la Posición de la Esfera en x y y .................................... 93

Figura 5. 10 Configuración ARDUINO en Labview ................................................ 94

Figura 5. 11 Código controlador PD ....................................................................... 95

Figura 5. 12 Controlador por realimentación de Estados ....................................... 96

Figura 5. 13 Interfaz gráfica ................................................................................... 97

Figura 5. 14 Diagrama del código para la salida .................................................... 97

Figura 5. 15 Relación entre el Servomotor y la Plataforma en el eje x .................. 99

Figura 5. 16 Relación entre el Servomotor y la Plataforma en el eje y ................. 100

Figura 5. 17 Cambio en el algoritmo de control ................................................... 101

Figura 5. 18 Montaje real del sistema Plataforma-esfera ..................................... 101

Figura 5. 19 Respuesta del Controlador PD en tiempo real ................................. 102



Figura 5. 22 Calculo del vector K usando Labview .............................................. 104

Figura 5. 23 Calculo del vector L usando Labview ............................................... 105

Figura 5. 24 Respuesta del Controlador por Realimentación de Estados ............ 106

Figura 5. 25 Algoritmo de Control definitivo ......................................................... 107

Figura 5. 26 Respuesta definitiva del Sistema Controlado .................................. 108

14

LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS

ABREVIATURA SIGNIFICADO

EE Espacio de Estados

FT Función de Transferencia

MATLAB Matrix Laboratory

MIMO Multiple input Multiple output

PD Proporcional Derivativo

PID Proporcional Integral derivativo

SISO Simple input Simple output

SÍMBOLO SIGNIFICADO

º Grados

s Segundos

ms Milisegundo

V Voltios

m2 Metros Cuadrados

mm Milímetros

�� Vector Fuerza

% Porcentaje Σ Sumatoria

15

� Masa

�� Vector Aceleración

� Fuerza de Torsión

� Longitud

� Momento de Inercia

Aceleración Angular

�� Velocidad del Centro de Masa

�� Rapidez Angular del Centro de Masa

� Radio

� Gravedad

�� Fuerza de Fricción

�� Primera derivada de x

� Coeficiente de amortiguamiento

� Frecuencia natural

�� Logaritmo Natural

�� Ganancia Proporcional

�� Ganancia Derivativa

� Periodo

� Frecuencia

�� Centro de Masa

�� Tiempo de Establecimiento

16

�� Sobre-impulso

�� Aceleración del Centro de Masa

17

GLOSARIO

ALGORITMO: es un conjunto prescrito de instrucciones o reglas bien definidas,

ordenadas y finitas que permite realizar una actividad mediante pasos sucesivos

que no generen dudas a quien deba realizar dicha actividad.

ASIGNACIÓN DE POLOS: técnica usada para el control de sistemas que consiste

en igualar la ecuación característica del sistema controlado a una ecuación

característica deseada que se calcula a partir de la ubicación de los polos deseados.

CENTRO DE MASA: es el punto geométrico que dinámicamente se comporta como

si en él estuviera aplicada la resultante de las fuerzas externas al sistema.

DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE: es una representación gráfica utilizada a menudo

por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre.

E4CODER: es un conjunto de herramientas que se pueden utilizar para simular y

controlar los algoritmos y así generar código para microcontroladores integrados

que funcionan con o sin un sistema operativo de tiempo real.

ECUACIÓN DIOFÁNTICA: cualquier ecuación algebraica, de dos o más incógnitas,

cuyos coeficientes recorren el conjunto de los números racionales, de las que se

buscan soluciones, esto es, que pertenezcan al conjunto de los números racionales.

ESPACIO DE ESTADOS: es un modelo matemático de un sistema físico descrito

mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por

ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación

diferencial matricial de primer orden.

18

FRICCIÓN: fuerza entre dos superficies en contacto, a aquella que se opone al

movimiento relativo entre ambas superficies de contacto (fuerza de fricción

dinámica) o a la fuerza que se opone al inicio del deslizamiento (fuerza de fricción

estática).

FUNCIÓN DE TRASFERENCIA: es un modelo matemático que a través de un

cociente relaciona la respuesta de un sistema con una señal de entrada o excitación.

INERCIA: es la propiedad que tienen los cuerpos de permanecer en su estado de

reposo o movimiento.

INTEGRADOR: en análisis numérico, la integración constituye una amplia gama de

algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida.

LABVIEW: es una plataforma y entorno de desarrollo para diseñar sistemas, con

un lenguaje de programación visual gráfico. Recomendado para sistemas hardware

y software de pruebas, control y diseño, simulado o real y embebido.

MATLAB: es una herramienta de software matemático que ofrece un entorno de

desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M).

MIMO: es el acrónimo en inglés de Multiple-input Multiple-output (Múltiple entrada

múltiple salida).

PERIODO: es el intervalo de tiempo necesario para completar un ciclo repetitivo, o

simplemente el espacio de tiempo que dura algo.

POLO: es el valor de la variable ‘S’ que anula la ecuación característica de un

sistema.

19

REALIMENTACIÓN: es un mecanismo por el cual una cierta proporción de la salida

de un sistema se redirige a la entrada, con objeto de controlar su comportamiento.

RÓTULA: es un tipo de par cinemático que permite un relativo movimiento dentro

de cierto ángulo en todos los planos que pasan por una línea.

SERIES DE TAYLOR: es una aproximación de funciones mediante una serie de

potencias o suma de potencias enteras de polinomios.

SERVOMOTOR: es un dispositivo similar a un motor de corriente continua que tiene

la capacidad de ubicarse en cualquier posición dentro de su rango de operación, y

mantenerse estable en dicha posición.

SIMULINK: es un entorno de programación visual, que funciona sobre el entorno

de programación Matlab.

SISO: es el acrónimo en inglés de Simple-input Simple-output (una entrada una

salida).

TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO: es el tiempo que se requiere para que la curva

de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por

el porcentaje absoluto del valor final y permanezca dentro de él.

TOUCH SCREEN: es una pantalla que mediante un toque directo sobre su

superficie permite la entrada de datos y órdenes al dispositivo.

VARIABLES DE ESTADO: son el subconjunto más pequeño de variables de un

sistema que pueden representar su estado dinámico completo en un determinado

instante.

20

VISIÓN ARTIFICIAL: es un subcampo de la inteligencia artificial. El propósito de la

visión artificial es programar un computador para que "entienda" una escena o las

características de una imagen.

21

1. GENERALIDADES

1.1 INTRODUCCIÓN

El control de posicionamiento de una esfera sobre una plataforma móvil se realiza

sobre un sistema llamado “Plataforma-esfera”, compuesto por una base en acrílico

donde se ubican una pieza central tipo rótula que es la encargada de ocasionar los

grados de libertad de la plataforma, y dos servomotores con dos ejes roscados para

manipular los ángulos Beta de los ejes ‘x’ y ‘y’ , sobre el plano coordenado de la

plataforma.

El propósito del presente trabajo de grado es lograr la ubicación de un cuerpo

esférico en una posición específica sobre una plataforma móvil, mediante el

desarrollo teórico de dos controladores, partiendo del modelo matemático del

sistema Plataforma-esfera. Posteriormente se efectúa la respectiva simulación en

‘Simulink’ y como etapa final se hace el control en el sistema real usando una

interfaz gráfica desarrollada en Labview®.

El sistema Plataforma-esfera resulta llamativo dada su complejidad sustentada en

la no-linealidad e inestabilidad que esta presenta, a partir de ello se debe hacer un

desarrollo cuidadoso de su análisis tanto en el modelamiento del sistema como en

el diseño e implementación de sus controladores. El sistema Plataforma-esfera

puede verse como un módulo didáctico que podrá ser de gran utilidad en el proceso

de formación académica dentro de la carrera de Ingeniería en Instrumentación y

Control, ya que durante el análisis de este se pueden entender con mayor claridad

conceptos como: estabilidad y linealidad .

22

Para el desarrollo de este trabajo se abordan cuatro capítulos, el primero

corresponde al análisis fenomenológico del movimiento de la esfera sobre la

plataforma, del cual se obtienen sus representaciones en Función de Transferencia

y en Espacio de Estados. En el segundo se desarrolla, a partir de los resultados

previos, un controlador PD por el método de Asignación de Polos, usando como

parámetros deseados el tiempo de establecimiento y el sobre-impulso del sistema.

Partiendo de la representación del sistema en el Espacio de Estados, se diseña un

controlador por realimentación de Estados hallando la una matriz de realimentación

que permita ubicar los polos del sistema en lazo cerrado en puntos deseados del

plano ‘S’. En el tercer capítulo se realizan las respectivas simulaciones en “Simulink”

con el propósito de comprobar que los parámetros deseados se cumplan.

Por último, en el capítulo cuarto, se plasma el desarrollo de los algoritmos de los

controladores previamente diseñados, escritos en la plataforma de desarrollo

Labview®, los cuales calculan las respectivas señales de control que serán

aplicadas al sistema Plataforma-esfera real.

El sistema implementado consta de una base que soporta dos servomotores, de los

cuales se desprenden dos ejes para manipular la inclinación de la plataforma. En el

centro de la base se encuentra una rotula que es la encargada de ocasionar los

grados de libertad necesarios y de sostener la plataforma. En la parte superior se

ubica una cámara web de la cual se obtendrán los datos de ubicación de la esfera

en tiempo real mediante el uso de herramientas prediseñadas de visión artificial.

23

1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Los sistemas reales, ya sean los naturales como el comportamiento de la

temperatura ambiente en un cuarto, o los cotidianos como el movimiento de un

automóvil, o aquellos observados en el sector industrial, tienen algo en común y es

que presentan, en un determinado rango de operación, un comportamiento no-lineal

e inestable. Este tipo de sistemas requieren de un análisis mucho más amplio,

comparado con el que se le realiza a un sistema lineal y estable, sobre todo a la

hora de identificarlo o modelarlo y de diseñar sus respectivos controladores.

Un caso interesante de un sistema no-lineal e inestable, es el sistema Plataforma-

esfera planteado en este trabajo, cuando uno de los ángulos de la plataforma de

este sistema es diferente de cero, la esfera se mueve con una aceleración que

depende de dos factores: la gravedad y el ángulo de inclinación de la plataforma,

este comportamiento denota de entrada que el sistema es inestable dado que al

crear una entrada tipo escalón, la esfera avanza hasta el límite de la plataforma sin

detenerse, ahora bien, al calcular la ecuación diferencial que determina la posición

de la esfera sobre la plataforma, se observa la presencia de la función ‘seno’, lo que

indica que dicha ecuación diferencial es no-lineal, como consecuencia de esto, se

puede concluir que el sistema Plataforma-esfera, aparte de ser inestable también

es no-lineal.

A la hora de identificar el sistema propuesto, los recursos se hacen limitados, es

decir, si se quiere por ejemplo aplicar un método como el de la curva de reacción,

no se tendría ningún resultado ya que este requiere de mediciones de parámetros

temporales como el tiempo de establecimiento, el sobre-impulso, la constante de

tiempo del sistema entre otros, y al tratarse de un sistema inestable estos

24

parámetros carecerían de valores finitos. Por otra parte, métodos de identificación

paramétricos necesitarían de una base de datos, lo que resultaría difícil de obtener

del sistema Plataforma-esfera debido a que el área de movimiento de la esfera es

pequeño y el desplazamiento de esta se hace tan rápido que no generaría la

cantidad de datos necesaria para ser procesada y determinar una identificación

confiable. De igual manera resultan limitadas las técnicas para el diseño del

controlador del sistema propuesto, ya que en su mayoría, estas están creadas para

aplicarlas a sistemas lineales y estables, lo que reduce entonces el campo de

soluciones para lograr el objetivo final: ubicar la esfera sobre un punto específico de

la plataforma.

Una solución al desarrollo de controladores para sistemas inestables es usar el

método de Asignación de Polos, ya que permite agregar un controlador que obligue

al sistema a tener una ecuación característica deseada, cuyos polos pueden estar

ubicados en una posición conveniente del semiplano izquierdo del plano ‘S’, y como

solución para el problema de la no-linealidad se propone encontrar un rango de

operación alrededor del punto de equilibrio del sistema con un comportamiento

lineal.

Las consideraciones anteriores sugieren las siguientes preguntas:

¿Es posible linealizar el sistema propuesto en este trabajo de grado?

¿Es el modelamiento matemático suficiente para representar el sistema en Función

de Transferencia y en el Espacio de Estados?

25

¿Son eficientes los controladores diseñados mediante el método de Asignación de

Polos para controlar el sistema propuesto?

¿Es posible controlar la posición de la esfera sobre un punto específico en un

sistema real?

¿Qué tan coherentes pueden resultar los datos obtenidos en la simulación del

sistema controlado con respecto a los resultados obtenidos en el sistema real

controlado?

26

1.3 OBJETIVOS

1.3.1 Objetivo general : controlar la posición de un cuerpo esférico sobre una

plataforma móvil, mediante el desarrollo de un controlador PD convencional y un

controlador por Realimentación de Estados, usando el método de Asignación de

Polos.

1.3.2 Objetivos específicos

• Hallar el modelo matemático del sistema Plataforma-esfera mediante su

análisis fenomenológico, usando la segunda Ley de Newton como

herramienta para encontrar la ecuación diferencial que describa el

movimiento de la esfera sobre la plataforma.

• Diseñar un controlador PD y un controlador por realimentación de Estados

usando el método de Asignación de Polos, con el propósito de obtener como

resultado la ubicación de la esfera en un punto específico de la plataforma,

en un tiempo de establecimiento deseado y con un sobre-impulso deseado.

• Simular las respuestas del sistema controlado por el controlador PD y por el

controlador por Realimentación de Estados en ‘Simulink’, con la intensión de

comprobar que se cumplan las especificaciones de funcionamiento

establecidas.

27

• Desarrollar y probar los algoritmos de los controladores previamente

diseñados para controlar la posición de la esfera en el sistema real, usando

visión artificial para vigilar en tiempo real la posición del cuerpo esférico,

generando así la realimentación del sistema.

28

1.4 ALCANCES Y LIMITANTES DEL PROYECTO

1.4.1 Alcance: en este trabajo de grado se presenta el estudio de un sistema no-

lineal e inestable, correspondiente a un cuerpo esférico que se mueve sobre una

plataforma que se inclina en función de dos ángulos. El estudio parte del análisis

fenomenológico del sistema para encontrar la ecuación diferencial que defina la

dinámica de la esfera sobre la plataforma. Posteriormente se diseñan dos

controladores usando el método de Asignación de Polos y se simula la respuesta

del sistema controlado para comprobar que los controladores diseñados cumplan

con las especificaciones establecidas. Por último se lleva todo este análisis al

sistema Plataforma-esfera real que se compone de una base en acrílico, dos

servomotores, dos ejes roscados, una rotula central y una placa en acrílico como

plataforma, una cámara ubicada en la parte superior de la plataforma para vigilar su

posición en tiempo real mediante el uso de Visión Artificial.

Al final de este trabajo se entregan, el modelo matemático del sistema, el desarrollo

de un controlador PD y de un controlador por realimentación de estados usando el

método de Asignación de Polos, las respuestas de la simulación del sistema

controlado y por último el control de la posición de la esfera en un sistema

Plataforma-esfera real.

1.4.2 Limitantes: las limitantes presentadas para la ejecución del trabajo de grado

fueron las siguientes:

• Económicas: los gastos de la implementación del sistema Plataforma-esfera

son asumidos completamente por el autor. Los servomotores, la rótula central

y el ensamble de todo el sistema son los elementos más costosos del

29

proyecto. El proyecto puede verse comprometido si algunas de sus piezas

sufren alguna avería.

Inicialmente se consideró usar una pantalla “touch screen” como plataforma

y como sensor, ya que este permite obtener los datos de posición de la esfera

por el contacto de esta con la pantalla, pero debido a que en Colombia

encontrar este elemento es difícil, la única alternativa era pedirla al

extranjero, pero los costos y el tiempo de entrega son elevados. Dado esto

se decide hacer el seguimiento de la esfera usando los bloques de visión

artificial de Labview, y una cámara ubicada por encima de la plataforma.

• Ambientales: la luz a la que se somete la imagen evaluada en el programa

de Visión Artificial es inestable, lo que genera ruido en los datos obtenidos,

provocando lecturas erróneas de la posición real de la esfera sobre la

plataforma.

• Temporales: la ejecución del trabajo de grado se realiza bajo un cronograma

previamente establecido. Para su ejecución depende del ensamble del

sistema que es realizado por una empresa, la cual debe cumplir con la

entrega de este en el tiempo estipulado.

• Espaciales: el sistema Plataforma-esfera se debe ubicar en un área plana

mínima de 0.5m2 y con una altura de 1m para ubicar la cámara que sigue la

esfera en tiempo real.

• Mecánicas: el sistema real fue implementado de manera artesanal, debido

a esto es posible que no se cuente con la precisión necesaria para obtener

un control eficiente.

30

1.5 ANTECEDENTES

A continuación se muestran algunos trabajos enfocados al análisis y control de

posición de un cuerpo esférico sobre una plataforma móvil, relacionados con el

objeto de estudio de este trabajo:

Cupic ( 2011) en su proyecto de grado “Implementacija nelinearnih algoritama

upravljanja platformom sdva stupnja slobode”, (Implementación de un algoritmo

para el control no lineal de una plataforma con dos grados de libertad), presenta el

desarrollo de un algoritmo para controlar el sistema no-lineal e inestable bola-plato,

haciendo un análisis tanto de la esfera como de la deformación de la plataforma

como elemento no rígido. El sistema se compone por una plataforma que reposa

sobre dos servomotores y por encima de la plataforma ubica una cámara aplicando

con esto visión artificial para el seguimiento de la esfera. Como resultados finales

presenta la linealización del sistema y el diseño de los controladores usando lógica

difusa.

Fabregas (2013) en la segunda parte de su Tesis Doctoral “Plataformas Interactivas

de experimentación Virtual y Remota: Aplicaciones de Control y Robótica”, describe

un sistema bola plato como medio didáctico y educativo. Parte de su modelo

matemático y de allí desarrolla dos controladores, un PD y un LQR. La adquisición

de la posición de la esfera es realizada mediante visión artificial. Entrega como

resultados finales las gráficas de control de cada ángulo de inclinación logrando con

esto el control de posición de la esfera en un punto específico.

31

Fernandez (2013) en su artículo “Diseño e implementación de sistemas de control

de tiempo real mediante herramientas de generación automática de código”,

presenta el desarrollo de sistemas de control utilizando tecnologías de generación

automática de código. Como caso práctico se ha tomado el sistema bola plato de la

marca comercial “Amazing ball”, a partir de la cual se han diseñado varios

controladores para regular el sistema o para que el sistema siga una trayectoria

sobre el plato. Como herramienta de programación se ha utilizado E4Coder, un

generador automático de código de reciente lanzamiento en el mercado.

Nokhbeh & Khashabi (2011) exponen una mirada detallada en el tratamiento no

lineal del sistema bola-plato. Hacen un procesamiento del sistema mediante

derivaciones parciales de las ecuaciones diferenciales determinadas por el

modelamiento matemático del sistema, mediante el método de LaGrange-Euler.

Posteriormente se hace linealización del sistema para diseñar un compensador y

simular la respuesta del sistema ante una entrada tipo escalón y el comportamiento

de este ante una trayectoria definida.

Keshmiri, Jahromi, Mohebbi, Amoozgar, & Xie, (2012) en su artículo “Modelling and

control of ball and beam system using model based and non-model based control

approaches” (Modelado y control del sistema bola barra usando enfoques de control

basados y no basados en modelos), modelan un sistema barra y bola considerando

los factores no lineales, linealizando este mediante el método de linealización

Jacobiana alrededor de su punto de equilibrio. Diseñan dos controladores: un

Regulador Cuadrático Lineal (LQR), y un controlador PID, con el propósito de

controlar la posición de la bola en la barra. Ajustan los parámetros de estos

mediante el uso de algoritmos genéticos. Debido al ruido del sensor en el montaje

experimental, es necesario calcular un observador de estados para obtener la

velocidad de la bola.

32

En su trabajo de grado “Desarrollo de un sistema Ball and Beam, para implementar

estrategias de control mediante Labview”, (Obando & Romero, 2010), presentan la

construcción de un sistema Ball and Beam, con el propósito de validar estrategias

básicas de control tipo P, PI y/o PID, además de una interfaz de usuario desarrollada

en Labview donde el usuario puede interactuar con el sistema y realizar la

autosintonización del controlador. Se muestra también el modelamiento matemático

del sistema, la construcción del prototipo, el desarrollo de la interfaz de usuario, el

acondicionamiento de las señales de entrada, el diseño del controlador y la

validación del mismo.

33

1.6 METODOLOGÍA

El desarrollo teórico visto durante la carrera de Ingeniería en Instrumentación y

control está basado en gran parte en sistemas estables y lineales, y a partir del

análisis de estos sistemas se diseñan los controladores. En la vida real se

encuentran a diario sistemas no lineales como el fluido que viaja a través de una

tubería, la temperatura de una resistencia, el nivel de un tanque entre otros, y la

linealidad se encuentra solo bajo ciertas condiciones y dentro de un rango de

operación limitado. Abordar este tipo de sistemas siempre es un reto, además que

trae consigo una mejor experiencia y una vista más abierta de lo que es en realidad

la naturaleza, es por eso que este trabajo está basado en controlar una variable de

un sistema que no solo es no-lineal, sino también inestable.

Controlar la posición de la esfera del sistema Plataforma-esfera, ubicándola en un

punto específico, haciendo variar los ángulos de los dos ejes (x y y) de la plataforma,

podría entenderse como un desarrollo complejo ya que se estaría hablando de un

sistema ‘MIMO’, pero no, dado que una de las ventajas de este es que cada variable

es independiente, lo que convierte al sistema en la integración de dos sistemas

‘SISO’: la posición en el eje x y la posición en el eje y, así las cosas, se puede

calcular entonces cada controlador por separado y finalmente integrarlos para lograr

la ubicación de la esfera en un punto deseado.

El tipo de investigación empleada en este trabajo de grado es la investigación

aplicada. Se requiere de conocimientos teóricos y luego llevarlos a la etapa

experimental. Si en algún momento los resultados no son los esperados, se puede

comenzar a realizar los respectivos ajustes hasta cumplir con el objetivo del

proyecto.

34

Dado que el sistema Plataforma-esfera es inestable y no-lineal, utilizar métodos de

identificación puede resultar ineficiente, por esta razón se comienza hallando su

modelo matemático mediante análisis fenomenológico del sistema. Posteriormente

se calculan y diseñan los respectivos controladores usando el método de Asignación

de Polos, una vez en esta etapa del trabajo, se procede a simular la dinámica del

sistema controlado con el fin de comprobar que se cumplan los parámetros

deseados usando la plataforma de simulación “Simulink”. Una vez verificado el

correcto funcionamiento del control en la simulación, se procede a implementar el

desarrollo del sistema real, probando cada controlador y definiendo resultados.

En el desarrollo de este trabajo se ejecutan las siguientes actividades:

• Investigación del estado del arte del sistema propuesto.

• Desarrollo de las bases teóricas para el modelamiento matemático del

sistema.

• Análisis fenomenológico para hallar la ecuación diferencial que describa la

dinámica del sistema.

• Linealización del sistema

• Representación del sistema en Función de Transferencia y en Espacio de

estados.

• Desarrollo de un controlador PD y un controlador por realimentación de

estados usando el método de Asignación de Polos.

35

• Simulación del sistema controlado.

• Implementación del control de la posición de la esfera en el sistema

Plataforma-esfera real.

• Desarrollo de resultados y conclusiones.

36

2. MODELAMIENTO MATEMÁTICO DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA

Asúmase que un cuerpo esférico se encuentra en equilibrio sobre una plataforma

que tiene una inclinación de 0° con respecto a la h orizontal, y posteriormente este

ángulo es diferente de 0°, se sabe que la esfera se mueve siguiendo la trayectoria

de una línea recta, ahora bien, supóngase entonces que esa línea recta es un eje

imaginario al que se le llama eje x, y el ángulo de inclinación asociado a ese eje se

le llama el ángulo βx, ahora bien, si se desarrolla el mismo experimento, pero esta

vez sobre una línea imaginaria perpendicular al eje x, que convenientemente es

llamado eje y, se tendría que manipular otro ángulo para hacer que la esfera avance

en la trayectoria de este eje, en ese orden de ideas entonces, ese ángulo es llamado

βy. Si se integraran los dos movimientos recién descritos, se tendría como resultado

un cuerpo esférico moviéndose por toda el área de la plataforma sobre un plano

imaginario llamado plano x, y.

La intención de la anterior descripción es demostrar experimentalmente dos cosas:

la primera, que la posición de la esfera en los puntos de los ejes x y y son

dependientes de sus respectivos ángulos e independientes entre sí, y la segunda,

que al tener un valor diferente de cero en los ángulos βx y/o βy, la esfera se desplaza

hasta el límite de la plataforma, lo que describe un sistema inestable con un

comportamiento del tipo realimentación positiva, es decir: un integrador.

A continuación se implementa todo el análisis necesario para encontrar el modelo

matemático y la representación del sistema Plataforma-esfera. Cabe aclarar que

debido a la independencia de variables, el desarrollo que se hace a continuación es

válido para los movimientos tanto en el eje x, como en el eje y.

37

2.1 BASES TEÓRICAS

Para realizar el modelo matemático del sistema plataforma-esfera, es necesario

hacer uso de la segunda ley de Newton, es por eso que a continuación se describen

las bases teóricas necesarias para completar el primer objetivo específico de este

trabajo

2.1.1 Segunda ley de Newton : “si una fuerza externa neta actúa sobre un cuerpo,

éste se acelera. La dirección de aceleración es la misma que la dirección de la

fuerza neta. El vector de fuerza neta es igual a la masa del cuerpo multiplicada por

su aceleración” (Young & Freedman, 2009, pág. 117).

" �� = �� 2.1

En la esfera que está sobre la plataforma, ejercen varias fuerzas, como la fuerza

normal, la fuerza de fricción y la producida por la aceleración de la gravedad y la

masa de la esfera, de igual manera no hay que olvidar que cuando la esfera se

traslada de un punto a otro no lo hace deslizándose sino rodando, es decir, que en

el sistema plataforma-esfera, el cuerpo esférico está sometido a dos movimientos,

uno de traslación y el otro de rotación.

Si un cuerpo tiene movimientos traslacional y rotacional al mismo tiempo, se

necesitan dos ecuaciones de movimiento independientes para el mismo cuerpo.

Una de éstas, la ecuación (2.1), que describe la traslación del centro de masa. La

otra ecuación es la que se define a continuación y describe la rotación alrededor del

eje que pasa por el centro de masa (Young & Freedman, 2009).

38

2.1.2 Momento de Torsión :

La medida cuantitativa de la tendencia de una fuerza para causar o alterar la rotación de un

cuerpo se denomina momento de torsión . El momento de torsión de una fuerza alrededor

de un punto, es el producto de la magnitud de la fuerza y su brazo de palanca. En general,

para una fuerza de magnitud F, cuya línea de acción está a una distancia perpendicular l de

un punto O, es definido como el momento de torsión. (Young & Freedman, 2009, pág. 317)

Se define mediante la ecuación (2.2).

� = �� 2.2

Así como la segunda ley de Newton dice que la fuerza total que actúa sobre una

partícula es igual a la masa de la partícula multiplicada por su aceleración, la

ecuación (2.3) dice que el momento de torsión total que actúa sobre un cuerpo rígido

es igual al momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación multiplicado

por su aceleración angular. (Young & Freedman, 2009).

" � = � 2.3

2.1.3 Rodamiento sin Deslizamiento : Un caso importante de traslación y rotación

combinadas es el de rodar sin deslizar , como el movimiento de la esfera del

sistema plataforma-esfera. La esfera es simétrica, así que su centro de masa está

en su centro geométrico. El movimiento sucede en un marco de referencia inercial,

en el cual la superficie sobre la que se rueda está en reposo. Aquí, el punto de la

esfera que toca la superficie debe estar instantáneamente en reposo para que no

resbale. Por lo tanto, la velocidad v del punto de contacto, relativa al centro de masa,

debe tener la misma magnitud pero dirección opuesta que la velocidad del centro

de masa vcm. Si el radio de la esfera es R y su rapidez angular alrededor del centro

de masa es ⍵, la magnitud de v es R⍵ (Young & Freedman, 2009). Por ello se define

que:

�� = � �� 2.4

39

2.2 CÁLCULO DEL MODELO MATEMÁTICO

2.2.1 Diagrama de cuerpo libre : se comienza ilustrando el diagrama de la esfera

sobre un plano inclinado en un punto cualquiera, y a partir de este se hace el análisis

dinámico del sistema. La figura 2.1 representa la esfera sobre el plano inclinado.

Figura 2. 1 Desplazamiento de la Esfera sobre un pl ano inclinado Fuente: Modificado de Física Universitaria (2009)

Posteriormente se hace un diagrama de cuerpo libre de la esfera, tal cual se aprecia

en la figura 2.2, allí se pueden observar las fuerzas a las que está sometida.

Figura 2. 2 Diagrama de Cuerpo Libre Fuente: Física Universitaria (2009)

2.2.2 Procedimiento: dado que el centro de masa de la esfera es su centro

geométrico, se toma este como referencia para realizar los respectivos cálculos y

40

se usan las siglas ‘cm’ para denotarlo, además se toma positivo el eje en dirección

del movimiento de la esfera.

Las fuerzas involucradas en la traslación de la esfera son 012345 6 78, donde la

primera es la componente de fuerza debido al ángulo de inclinación, y 78 es la fuerza

de fricción en el punto de contacto de la esfera con la plataforma.

De la ecuación (2.1) se tiene

��9:�; − �� = �� 2.5

La única fuerza involucrada en el movimiento rotacional de la esfera es el momento

de torsión ττττ producido por la fuerza de fricción �� y la distancia R al centro de masa

de la esfera según la ecuación (2.2)

� = �� 2.6

Ecuación (2.6) en la ecuación (2.3)

�� = �� 2.7

Donde I es el momento de inercia de una esfera de radio R, y es igual a BC ��B

(Young & Freedman, 2009, pág. 305)

Para eliminar alfa de la ecuación (2.6), es necesario derivar con respecto al tiempo

a ambos lados de la ecuación (2.4)

41

D��D� = � D ��D�

Al derivar con respecto al tiempo a ambos lados de la ecuación, se obtiene, en el

miembro izquierdo, el cambio de la velocidad del centro de masa con respecto al

tiempo, es decir la aceleración del centro de masa, y en el miembro derecho, el

cambio de la velocidad angular del centro de masa con respecto al tiempo, es decir,

la aceleración angular del centro de masa. Esto puede verse en la ecuación (2.8).

�� = �� 2.8

Tomando la ecuación (2.7) y despejando alfa de la Ecuación (2.8); y ambas en la

ecuación (2.6) se tiene entonces

�� = 25 ��B ��

�� = 25 �� 2.9

Ecuación (2.9) en la ecuación (2.5)

��9:�; − 25 �� = ��

�9:�; = �� G1 + 25I = 75 ��

�� = 57 �9:�; 2.10

42

2.2.3 Linealización: debido a que la ecuación (2.10) es no-lineal, por la presencia

de la función Senoidal, es necesario linealizarla para poder facilitar su análisis y el

diseño de sus respectivos controladores. Para ello se hace uso de las series de

Taylor mediante la expresión 2.11.

�(L) ≅ " �(�)(�)�! (� − �)�P�QR 2.11

Para su representación lineal se consideran únicamente los dos primeros términos

de la expansión, es decir con n=1, además, ya que se trata de linealizar una función

senoidal, su zona lineal esta alrededor de “a=0”, como se observa en la figura 2.3.

Figura 2. 3 Zona lineal de la Función Seno Fuente: http://www.rasmus.is/uk/t/F/Su41k06.htm

La expansión de (2.11), con n=1 y a=0 es:

�(�) ≅ �(0) + D�(�)D� |LQR(� − 0)

43

Llevando esto a la ecuación (2.10), se tiene que:

�� ≅ 57 �9:�(0) + 57 DD� �9:�; |TQR(; − 0)

�� = 57 �; ; − V12 ≤ ; ≤ V12 2.12

Cabe aclarar que la anterior función se comporta linealmente dentro del rango

definido para beta, que en este caso es [-π/12, π/12], o su equivalente en grados

[-15°, 15°].

2.3 REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA

2.3.1 Función de Transferencia : la ecuación (2.12), representa la aceleración en

función del ángulo β, pero no se debe olvidar que esta sirve tanto para el movimiento

en el eje x, como para el movimiento en el eje y, debido a la independencia de cada

variable.

��X = 57 �;L ; − V12 ≤ ; ≤ V12 2.13

��Y = 57 �;Z ; − V12 ≤ ; ≤ V12 2.14

El objetivo de este trabajo es controlar la posición de la esfera sobre la plataforma,

es por eso que a partir de la aceleración, se obtiene a continuación la ecuación que

define la posición de la esfera en función del ángulo β.

44

De la ecuación (2.12) se tiene

DB�(�)D�B = 57 �; 2.15

Con condiciones iniciales iguales a cero y aplicando transformada de Laplace, se

tiene que:

9B[(9) = 57 �;(9)

[(9);(9) = 5�79B = \(9)

Si se toma la gravedad como g=9.81m/s2

\(9) = 79B 2.16

Aplicando la Función de Transferencia para cada eje, se tiene:

\(9)L = 79B 2.17

\(9)Z = 79B 2.18

2.3.2 Representación en el Espacio De Estados : los controladores que se

calculan para lograr el objetivo final de este trabajo, se diseñan a partir de la Función

de Transferencia del sistema Plataforma-esfera y de su representación en el

Espacio de Estados, es por tal razón que a continuación se hallan las matrices que

definen esta última.

45

Partiendo de la ecuación diferencial (2.15), Se define entonces lo siguiente:

�] = �(�)

�B = �� (�)

��] = �B

��B = 57 �;

Tomando como punto de partida las ecuaciones (2.19) y (2.20) (Ogata, 2003, pág.

72).

�� = ^� + _` 2.19

a = b� + c` 2.20

Se tiene que

d��]��Be = f0 10 0g f�]�Bg + h 05�7 i `

a = j1 0k f�]�Bg + 0`

Con β como la entrada del sistema, se tiene que:

d��]��Be = f0 10 0g f�]�Bg + h 05�7 i ; 2.21

46

a = j1 0k f�]�Bg 2.22

Las ecuaciones (2.21) y (2.22) se toman entonces para el desplazamiento de las

esfera en el eje x y en el eje y.

Representación en el Espacio de Estados del desplazamiento de la esfera en el eje

x:

d��]��Be = f0 10 0g f�]�Bg + h 05�7 i ;L 2.23

aL = j1 0k f�]�Bg 2.24

− V12 ≤ ;L ≤ V12

Representación en el Espacio de Estados del desplazamiento de la esfera en el eje

y:

d��]��Be = f0 10 0g f�]�Bg + h 05�7 i ;Z 2.25

aZ = j1 0k f�]�Bg 2.26

− V12 ≤ ;Z ≤ V12

47

3. CALCULO DE LOS CONTROLADORES DEL SISTEMA PLATAFO RMA-ESFERA

A continuación se desarrolla el cálculo de dos controladores para el sistema

Plataforma-esfera. El primero de ellos es un controlador convencional PD, y el

segundo es un Controlador avanzado desarrollado mediante el método:

“Realimentación de Estados”. Ambos controladores se desarrollan con el propósito

de controlar la posición de la esfera sobre un punto específico de la plataforma.

Dicho desarrollo debe cumplir con dos criterios, el primero es el tiempo de

establecimiento y el segundo es el sobre-impulso.

Se sabe que el sistema es inestable, por esta razón las técnicas usadas para el

diseño de un controlador PD son reducidas, es decir, Ziegler-Nichols, ganancia

límite, modelo inverso entre otros similares, son técnicas no utilizables para el

cálculo de dicho controlador, por esta razón y para este caso específico se decide

entonces diseñar el controlador por el método de “Asignación de Polos”, cuyo

propósito es ubicar los polos en lazo cerrado en un lugar del plano S que hagan que

el sistema de control cumpla con parámetros previamente establecidos.

Al final del capítulo 2 se desarrolló la representación del sistema en el Espacio de

Estados, esto se hizo con el fin controlar el sistema Plataforma-esfera, mediante la

realimentación de su vector de estados multiplicado por un vector K, que

posteriormente será calculado. Dicho vector K se calcula de tal manera que los polos

del sistema en lazo cerrado se ubiquen en un lugar deseado, obligando a que el

sistema dé una respuesta que satisfaga el tiempo de establecimiento deseado y el

sobre-impulso deseado.

48

3.1 CONTROLADOR CONVENCIONAL

De la ecuación (2.16), que representa la Función de Transferencia del sistema

Plataforma-esfera, se puede observar que este tiene sus dos polos ubicados en el

origen del plano ‘S’, lo que indica que tal sistema se comporta como un integrador

de segundo orden. Por este motivo, un controlador PID hace que el sistema

permanezca inestable debido a la parte integral de dicho controlador, por esta razón

el controlador que se calcula a continuación es un PD que permita, con su parte

derivativa, eliminar el efecto integrador y así obtener una respuesta controlada.

3.1.1 Controlador PD puro : como se mencionó anteriormente, el controlador se

calcula por el método de Asignación de Polos, que consiste en igualar la ecuación

característica del sistema en lazo cerrado, con una ecuación característica deseada

derivada de la ubicación de los polos, y que a su vez cumpla con criterios de diseño.

Se parte del diagrama de bloques de la figura 3.1.

Figura 3. 1 Sistema Plataforma-esfera Controlado

Fuente: David Núñez

49

El objetivo es encontrar la Función de Transferencia X(S)/R(S).

Del diagrama de bloques se tiene que:

m(9) = �(9) − [(9) 3.1

[(9) = m(9)b(9)\(9) 3.2

Ecuación (3.1) en ecuación (3.2)

[(9) = j�(9) − [(9)kb(9)\(9)

[(9) = �(9)b(9)\(9) − [(9)b(9)\(9)

[(9) + [(9)b(9)\(9) = �(9)b(9)\(9)

[(9)j1 + b(9)\(9)k = �(9)b(9)\(9)

[(9)�(9) = b(9)\(9)1 + b(9)\(9) 3.3

De (3.3), se puede decir que la ecuación característica del sistema de control de la

figura 2.4, es:

1 + b(9)\(9) = 0 3.4

Ahora bien, si se representan C(S) y G(S) con sus respectivos polinomios, se tiene

que:

50

b(9) = n(9)�(9) 3.5

\(9) = _(9)^(9) 3.6

Ecuación (3.5) y (3.6) en (3.4)

1 + n(9)�(9) _(9)^(9) = 0

�(9)^(9) + n(9)_(9)�(9)^(9) = 0

�(9)^(9) + n(9)_(9) = 0 3.7

La ecuación (3.7) corresponde a la ecuación característica del sistema de la Grafica

3.1, representada por sus respectivos polinomios. El paso a seguir ahora es

encontrar un controlador C(S), tal que la ecuación característica del sistema sea la

deseada. Esto se logra si se conoce de antemano la forma del controlador y

posteriormente se definen, a partir de criterios de diseño, los polos deseados.

Se sabe que el controlador para el sistema Plataforma-esfera es un PD puro:

b(9) = ��9 + �� 3.8

De la ecuación (3.8) y la ecuación (2.16) se tiene:

�(9) = 1

51

^(9) = 9B

n(9) = �� + ��9

_(9) = 7

Si se lleva esto a la ecuación 3.7 se tiene que:

9B + 7(�� + ��9) = 0

9B + 7��9 + 7�� = 0 3.9

Se concluye con esto que la expresión (3.9), corresponde a la ecuación

característica del sistema Plataforma-esfera controlado por un controlador PD puro.

Para terminar el controlador, solo falta definir la ecuación característica deseada, y

esta se obtiene a partir de dos valores: el tiempo de establecimiento y el sobre

impulso.

Para el tiempo de establecimiento se usa como punto de partida el tiempo de

establecimiento de la planta en lazo abierto, pero como se trata de un sistema

inestable, este nunca se estabiliza, por esta razón se procede de la siguiente

manera:

Se cierra el lazo para el sistema Plataforma-esfera, ver figura 3.2.

52

Figura 3. 2 Sistema en Lazo Cerrado


Se sabe que la función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:

[(9)�(9) = \(9)1 + \(9)

[(9)�(9) = 79B1 + 79B

[(9)�(9) = 79B 9B + 79B

[(9)�(9) = 79B9B(9B + 7) [(9)�(9) = 79B + 7 3.10

El objetivo es encontrar el periodo de oscilación de la función de transferencia (3.10)

ante una entrada tipo escalón unitario. Para encontrar dicho valor, se procede así:

53

Se despeja X(s) y se toma R(s) como un escalón unitario:

[(9) = 79(9B + 7)

Se expresa X(S) en sus fracciones parciales:

[(9) = 19 − 99B + 7

Se aplica transformada de Laplace inversa, y por tablas se tiene que:

�(�) = 1 − bop q√7�s 3.11

De la ecuación 3.11 se saca su periodo:

2V� = √7

� = √72V

� = 2V√7 = 2.37p

Se tiene entonces que el periodo del sistema Plataforma-esfera, en lazo cerrado, es

de 2.37s, es decir que el tiempo de establecimiento deseado debe ser menor que el

periodo.

Expuesto lo anterior, se decide diseñar el controlador de manera que se obtengan

las siguientes características en su respuesta:

54

�� = 1p a ��% = 2%

Ahora bien, a partir de estos dos valores se define la ecuación característica

deseada, usando las siguientes expresiones:

� = − ��q��suj��q��skB + VB a �p = 4� �

Con los anteriores valores se tiene que:

� = 0.78 a � = 5.13

Dado que la ecuación característica (3.9), es de segundo orden, esta debe igualarse

a una ecuación característica deseada de igual orden, por esta razón se usa la

forma de una ecuación característica de segundo orden:

9B + 2� �9 + �B = 0

Y con los valores previamente calculados se tiene la siguiente ecuación

característica deseada:

9B + 89 + 26.31 = 0 3.12

Para hallar entonces los valores del controlador C(s) se igualan las ecuaciones (3.9)

y (3.12)

9B + 7��9 + 7�� = 9B + 89 + 26.31 3.13

55

Se obtiene entonces la ecuación Diofantica (3.13), e igualando término a término se

tiene que:

�� = 87 = 1.14 3.14

�� = 26.317 = 3.75 3.15

Reemplazando (3.14) y (3.15) en la ecuación (3.8), se tiene que el controlador PD

puro que permite que el sistema Plataforma-esfera se estabilice en 1 segundo y que

tenga un sobre impulso del 2% es:

b(p)vw = 1.149 + 3.75 3.16

3.1.2 Controlador PD con filtro N: debido a que el controlador C(S) expuesto en

la función de transferencia (3.16) es impropia, es decir, el orden del numerador es

mayor que el orden del denominador, indica entonces que C(s) es un controlador

no realizable, por esta razón se decide usar un controlador PD como en (3.17).

x(8) = �� + �� y99 + y 3.17

x(8) = q��y + ��s9 + ��y9 + y

Dicho controlador fue tomado del bloque de configuración del controlador PID de la

plataforma de simulación Simulink. Lo que se pretende con esta expresión es la

aparición de un nuevo polo en la FT del controlador que está en función del

parámetro N, implica que a mayor valor de N corresponde un polo nuevo menos

dominante, es decir, un polo alejado del origen.

56

Donde:

n(9)�(9) = q��y + ��s9 + ��y9 + y

Si se procede de la misma manera que el numeral anterior se tiene que:

�(9) = 9 + y

^(9) = 9B

n(9) = q��y + ��s9 + ��y

_(9) = 7

Con los valores anteriores, se procede a sacar la ecuación característica del sistema

Plataforma-esfera, controlado por un PD con filtro N.

Usando la ecuación (3.7), se tiene:

(9 + y)9B + zq��y + ��s9 + ��y{ 7 = 0

9| + y9B + (7��y + 7�v)9 + 7y�� = 0 3.18

Para una respuesta deseada de 1s en el tiempo de establecimiento y con un 2% de

sobre-elongación, se tiene una ecuación característica deseada igual a la ecuación

(3.12), pero esta debe ser de 3er orden para poder igualarla con la ecuación (3.18),

esto se logra si se multiplica dicha ecuación por un polo no dominante, así:

57

(9B + 89 + 26.31)(9 + 100) = 0

9| + 1089B + 826.599 + 2631.69 = 0 3.19

Se igualan las ecuaciones (3.18) y (3.19)

9| + y9B + (7��y + 7�v)9 + 7y�� = 9| + 1089B + 826.599 + 2631.69

Igualando término a término se tiene que:

y = 108 3.20

�� = 2631.697(108) = 3.48 3.21

�� = 826.59 − (7)3.487(108) = 1.06 3.22

Las ecuaciones (3.20), (3.21) y (3.22), corresponden a las ganancias de controlador

PD, reemplazando estas en el controlador (3.17), se tiene que:

b(p)vw}~ = 3.48 + 1.06 10899 + 108 3.23

La configuración a usar para el sistema Plataforma-esfera controlado por un

controlador P con filtro N, es la que se muestra en la figura 3.3.

58

Figura 3. 3 Configuración del Sistema controlado po r un PD con filtro N Fuente: David Núñez

3.2 CONTROLADOR POR REALIMENTACIÓN DE ESTADOS

Al final del capítulo 2, se representó el sistema Plataforma-esfera en el espacio de

estados mediante las ecuaciones (2.21) y (2.22), con el fin de diseñar el controlador

por realimentación de estados que se presenta a continuación, pero antes de ir

directamente a calcular las ganancias de realimentación, hay que demostrar primero

que el sistema Plataforma-esfera es Controlable y Observable.

El sistema representado en el espacio de estado, puede verse en su diagrama de

bloques como se muestra en la figura 3.4, donde se aprecian las ubicaciones

correspondientes de las matrices A, B y C, calculadas en el capítulo anterior.

Figura 3. 4 Representación en Espacio de Estados Fuente: David Núñez

59

3.2.1 Controlabilidad y Observabilidad

Se dice que un sistema representado en el espacio de estado es completamente controlable

en t=t0, si es posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado

inicial a cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito entre t0 y t1. Si todos los estados

son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable. En

conclusión, el sistema de la ecuación (2.19) es de estado completamente controlable si y

sólo si la matriz (3.23) de orden n x n, es de rango n. (Ogata, 2003, pág. 782)

j_ ⋮ ^_ ⋮ ⋯ ⋮ ^��]_k 3.23

Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t0) se determina a partir

de la observación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito entre t0 y t1. Por tanto, el

sistema es completamente observable si todas las transiciones del estado afectan

eventualmente a todos los elementos del vector de salida. Se concluye entonces que el

sistema es completamente observable si y sólo si la matriz (3.24) n x nm es de rango n.

(Ogata, 2003, pág. 786)

�� b⋯b⋮̂b^��]��

�� 3.24

Las anteriores matrices se denominan: matriz de controlabilidad y matriz de

observabilidad, respectivamente.

Para definir si un sistema es controlable y observable, basta con demostrar que el

determinante de las matrices de (3.23) y (3.24) son diferentes de cero, esto da a

entender que sus columnas son linealmente independientes. La condición de

controlabilidad y de observabilidad, pueden observarse en las expresiones (3.25) y

(3.26) respectivamente.

|_ ⋮ ^_ ⋮ ⋯ ⋮ ^��]_| ≠ 0 3.25

60

��b⋯b⋮̂b^��]

�� ≠ 0 3.26

De las ecuaciones (2.21) y (2.22) se sabe que:

^ = f0 10 0g

_ = f07g b = j1 0k

El sistema Plataforma-esfera es de orden 2, entonces su matriz de controlabilidad

está dada por la matriz (3.27):

j_ ⋮ ^_k 3.27

Dando como resultado:

�0 77 0� = −49 ≠ 0 m� p�p�:�� :p bo��o��:

Su matriz de observabilidad es la matriz (3.28)

h b…b^i 3.28

Dando como resultado:

61

�1 00 1� = 1 ≠ 0 m� p�p�:�� :p ��p:��:

3.2.2 Cálculo del vector de realimentación: una vez demostrado que el sistema

Plataforma-esfera cumple con las condiciones de controlabilidad y observabilidad,

se procede a calcular el vector K de ganancias de realimentación, a partir de los

parámetros deseados expuestos en el numeral 3.1.1, que da como resultado la

siguiente ecuación característica (3.29).

9B + 89 + 26.31 = 0 3.29

Para el cálculo del vector de ganancia de realimentación K, se usa la fórmula de

Ackerman definida por la expresión (3.30).

� = j0 0 ⋯ 1kj_ ^_ ^B_ … ^��]_k�]Φ(^) 3.30

Donde:

Φ(^) = ^� + ]^��] + B^��B … ��]^ + ��

Siendo α los coeficientes de la ecuación característica deseada.

Dado que el sistema Plataforma-esfera, es de segundo orden, y tomando los

coeficientes de la ecuación (3.30), se tiene que:

� = j0 1kj_ ^_k�]Φ(^)

Φ(^) = ^B + 8^ + 26.31�

j_ ^_k�] = f0 77 0g�] = f 0 0.14280.1428 0 g

62

Φ(^) = f0 00 0g + f0 80 0g + f26.31 00 26.31g = f26.31 80 26.31g

� = j0 1k f 0 0.14280.1428 0 g f26.31 80 26.31g � = j3.75 1.14k 3.31

Con el vector K, el sistema representado en la figura 3.4, queda como el mostrado

en la figura 3.5, con realimentación de los estados multiplicados por el vector (3.31).

Figura 3. 5 Sistema con el Vector de Realimentación K Fuente: David Núñez

Este controlador ubica los polos del sistema en un lugar conveniente de manera que

presente un comportamiento deseado, pero este controlador presenta error en

estado estable, para corregirlo, inicialmente se consideró el uso de una ganancia en

la entrada de la referencia del sistema, tal que el error sea cero, pero no es

adecuado este método ya que para cada punto de consigna se debe calcular una

ganancia diferente, para eliminar este inconveniente se usa la configuración

propuesta por Ogata (2003), llamado servosistema tipo 1 cuando la planta tiene un

integrador, y consiste en realimentar la salida y multiplicarla por el primer elemento

del vector K como puede verse en la figura 3.6.

63

Figura 3. 6 Servosistema tipo 1 para planta con int egrador Fuente: David Núñez

Así las cosas, el vector K de realimentación toma la forma de la expresión (3.32) y

k1 es definido por (3.33).

�� = j0 1.14k 3.32

�1 = 3.75 3.33

3.2.3 Observador de Estado: en la realidad no es posible siempre medir todos los

estados de un sistema, es por eso que a continuación se calcula el observador de

estado de orden completo para el sistema Plataforma-esfera.

En la sección 3.2.1 se demostró que el sistema es observable, partiendo de ello se

procede a calcular entonces el vector de ganancia del observador de orden

completo.

Para el cálculo del vector L del observador de orden completo se usa la fórmula de

Ackermann tal cual como se muestra en la ecuación (3.34).

64

� = Φ(^)�� b⋯b⋮̂b^��]��

��]

�� 0⋯0⋮1 ��

�� 3.34

Donde:

Φ(^) = ^� + ]^��] + B^��B … ��]^ + ��

Donde α son los coeficientes del polinomio característico del observador de orden

completo. Para el caso específico del sistema Plataforma-esfera de segundo orden,

la fórmula de Ackermann quedaría de la siguiente manera:

� = Φ(^) h b⋯b^i�] f01g 3.35

Ogata (2003) afirma que la elección de un conjunto de polos en muchos casos, no

es única. Como regla general, los polos del observador deben ser de dos a cinco

veces más rápido que los polos del controlador para asegurarse que el error de

observación tienda a cero rápidamente.

Es importante observar que si el ruido del sensor es considerable (como el caso del sistema

propuesto), se pueden seleccionar los polos de observador para que sean mas lentos que

dos veces los polos del controlador. En este caso la respuesta del sistema estará

fuertemente influenciada por los polos del observador. Si los polos del observador se

localizan a la derecha de los polos del del controlador en el semiplano izquierdo de s, la

respuesta del sistema estará dominada por los polos del observador en lugar de los polos

del controlador. (Ogata, 2003, pág. 861).

65

De acuerdo a lo expuesto, se calculan a continuación dos vectores para el

observador, uno con los polos 2 veces más rápidos que los polos del controlador, y

otro con los polos 2 veces más lentos que los polos del controlador.

�� = 0.5p a ��% = 2%

Ahora bien, a partir de estos dos valores se definen:

� = − ��q��suj��q��skB + VB a �p = 4� �

Con los anteriores valores se tiene que:

� = 0.78 a � = 10.25

Tomando como referencia la siguiente expresión como ecuación característica:

9B + 2� �9 + �B = 0

Se tiene que:

9B + 169 + 105.06 = 0 3.36

Para los polos más lentos que los del controlador, se tiene que:

�� = 2p a ��% = 2%

� = 0.78 a � = 2.56

66

9B + 49 + 6.53 = 0 3.37

Tomando las ecuaciones características (3.36) y (3.37), se procede a encontrar su

respectivo vector para el observador de orden completo:

h b⋯b^i�] = f1 00 1g�] = f1 00 1g

Se calcula ϕ(A) tomando la ecuación característica (3.36)

Φ(^) = ^B + ]^ + �� = f0 10 0gB + 16 f0 10 0g + 105.06 f1 00 1g

Φ(^) = f0 00 0g + f0 160 0 g + f105.6 00 105.6g = f105.6 160 105.6g

�] = f105.6 160 105.6g f1 00 1g f01g

�] = f 16105.6g 3.38

Ahora con ϕ(A) con los coeficientes de la ecuación característica (3.37)

Φ(^) = ^B + ]^ + �� = f0 10 0gB + 4 f0 10 0g + 6.53 f1 00 1g

Φ(^) = f0 00 0g + f0 40 0g + f6.53 00 6.53g = f6.53 40 6.53g

�B = f6.53 40 6.53g f1 00 1g f01g

67

�B = f 46.53g 3.39

Hasta aquí se cuenta entonces con un controlador por realimentación de estados

con su vector de realimentación K ya calculado, además de dos observadores: uno

con los polos ubicados a la izquierda de los polos del controlador cuyo

comportamiento es más veloz y el otro a la derecha de los polos de controlador

manteniéndose en el semiplano izquierdo del plano S con un comportamiento más

lento y dominante que los polos del controlados. La configuración de este

controlador en su diagrama de bloques puede verse en la figura3.7.

Figura 3. 7 Servosistema tipo 1 con Observador de E stado Fuente: David Núñez

68

4. SIMULACIÓN DEL SISTEMA

A continuación se hacen las respectivas simulaciones del sistema Plataforma-esfera

en sus diferentes configuraciones: lazo abierto, para observar el comportamiento

inestable del sistema, lazo cerrado para confirmar que el periodo de oscilación del

sistema es el mismo que se calculó en el anterior capítulo, y por último la simulación

del sistema controlado mediante los controladores previamente diseñados con el

propósito de comprobar que se cumplan las especificaciones de funcionamiento

establecidas mediante la observación del tiempo de establecimiento y del

porcentaje de sobre impulso de la variable controlada.

Se ha visto a lo largo del trabajo que tanto el modelamiento como el cálculo de los

controladores se han hecho de manera general, es decir, que las representaciones

del sistema y los controladores se han desarrollado solo para una variable, en este

capítulo se contempla la simulación del sistema Plataforma-esfera como una

integración del comportamiento de la variable en el eje x y de la variable en el eje y,

y donde cada controlador se aplica de manera independiente sobre el ángulo Beta

de cada eje.

Cabe mencionar que los esquemas que se muestran a continuación fueron

realizados en la plataforma de simulación Simulink de Matlab, y que para el caso de

los controladores se usaron sus componentes de manera estricta y que no se hizo

uso de los bloques dispuestos por el programa, es decir que cada controlador se

muestra de manera explícita.

69

4.1 SISTEMA EN LAZO ABIERTO

Para efectos de observación, y a partir de esta simulación, la magnitud de la entrada

tipo escalón será de 0.5 para la posición en x y 0.75 para la posición en y, cuyas

respuestas serán representadas con los colores rojo y azul, respectivamente.

4.1.1 Representación en Función de Transferencia: la figura 4.1, muestra el

diagrama de bloques del sistema plataforma-esfera tanto en x como en y, en lazo

abierto. Se estimula con una entrada tipo escalón con diferentes magnitudes para

cada eje del sistema.

Figura 4. 1 Sistema Plataforma-esfera en lazo abier to Fuente: David Núñez

La respuesta del sistema puede verse claramente en la figura 4.2, obsérvese que el

comportamiento es completamente inestable con un crecimiento del tipo función

cuadrática. Se puede ver que la respuesta de cada eje ante cada escalón mantiene

la distancia asociada a la magnitud de cada entrada.

70

Figura 4. 2 Respuesta del sistema ante dos entradas tipo escalón Fuente: David Núñez

4.1.2 Representación en Espacio de Estados: se evidencia en la figura 4.3, como

se involucran en el sistema las matrices A, B y C calculadas en el capítulo 2.

Figura 4. 3 Representación del sistema en el Espaci o de estados Fuente: David Núñez

71

Los estados del sistema Plataforma-esfera están representados en la figura 4.4,

obsérvense las dos líneas superiores, estas representan la velocidad de la esfera,

mientras que las dos subsiguientes representan la posición.

Figura 4. 4 Estados del sistema Fuente: David Núñez

4.2 SISTEMA EN LAZO CERRADO

Con el propósito de comprobar el periodo del sistema en lazo cerrado que fue

calculado en el capítulo anterior, se cierra el lazo del sistema tal cual como se

muestra en la figura 4.5, cabe aclarar que dicha figura corresponde al sistema

controlado mediante un controlador P con ganancia unitaria.

Figura 4. 5 Sistema Plataforma-esfera con controlad or P de ganancia unitaria Fuente: David Núñez

72

Evidentemente se observa en la figura 4.6 que el parámetro corresponde al

calculado, se puede ver un periodo de oscilación entre 2.3s a 2.4s, muy apropiado

para un 2.37s calculado analíticamente.

Figura 4. 6 Respuesta del sistema con un controlado r P de ganancia unitaria Fuente: David Núñez

4.3 SISTEMA CONTROLADO

4.3.1 Control PD Puro: inicialmente se considera un controlador PD

correspondiente al calculado en el numeral 3.1.1. Obsérvese que no se usó el

bloque PID ofrecido por Simulink, en su lugar se usó cada parte del controlador PD

de manera explícita, es decir, el error es llevado a un bloque derivador y la salida

de este es multiplicada por la ganancia derivativa y su resultado es sumado por el

error multiplicado por una ganancia proporcional, de acuerdo con el controlador

previamente calculado, de esa manera es definida la ley de control.

73

Figura 4. 7 Control PD puro sin saturación Fuente: David Núñez

En la figura 4.8 se pueden ver las salidas del sistema controlado en color azul y rojo,

en color negro se representan las entradas del sistema y en color verde están las

señales de control que hacen que el sistema responda adecuadamente con los

parámetros preestablecidos.

74

Figura 4. 8 Respuesta del Sistema ante un PD puro s in saturación Fuente: David Núñez

Hay algo interesante en la figura 4.8 para resaltar, por una parte está el

cumplimiento exacto de los tiempos de establecimiento y los sobre-impulsos del

sistema, establecidos en el capítulo anterior, y por otra parte, puede verse

detenidamente que las señales de control superan muy por encima los límites

establecidos por su zona lineal alrededor del punto de equilibrio. Para eliminar esto,

se ubica a la salida de la señal de control una saturación, tal cual como lo muestra

la figura 4.9, para que limite los valores de dicha señal, con esto se obliga al sistema

a permanecer dentro de su zona lineal y evitar en la implementación que este se

comporte como un sistema no-lineal.

75

Figura 4. 9 Control PD puro con saturación Fuente: David Núñez

Observese en la figura 4.10, como se acota la señal de control en el instante en el

que se estimula el sistema, esto proboca que los parametros establecidos se

muevan del lugar deseado haciendo que el sobre impulso se mantenga, pero que

el tiempo de establecimiento aumente. Cabe con esto concluir entonces que al

limitar la señal de control el sistema tarda mas tiempo en estabilizarse.

76

Figura 4. 10 Respuesta del Sistema ante un PD puro saturado Fuente: David Núñez

4.3.2 Control PD con filtro N: para que el controlador PD puro se comporte como

un controlador realizable, es necesario agregarle un polo de manera que este no

afecte su respuesta, es por eso que se hace uso del parámetro N que debe ser lo

suficientemente grande para que dicho polo agregado sea no dominante. En la

figura 4.11 puede verse la configuración del controlador PD con el parámetro N.

Obsérvese que el bloque derivador desaparece y en su lugar hay un bloque

integrador debido al polo que fue necesario ubicar, también pueden verse las

ganancias calculadas en el numeral 3.1.2.

77

Figura 4. 11 Sistema controlado por un controlador PD realizable Fuente: David Núñez

78

Las respuestas observadas en la figura 4.12 corresponden entonces al sistema

controlado por un PD con filtro N, una vez más se puede ver que el tiempo de

establecimiento es mayor que el deseado debido a la saturación en la señal de

control.

Figura 4. 12 Respuesta del sistema ante un controla dor PD realizable Fuente: David Núñez

4.3.3 Control por realimentación de Estados: para el control del sistema por

realimentación de estados es necesario realimentar estos, multiplicándolos por el

vector de realimentación K, calculado en el numeral 3.2.2, que pueden verse

claramente en la figura 4.13 como K_x y K_y.

79

Figura 4. 13 Sistema controlado por la realimentaci ón de sus Estados Fuente: David Núñez

80

La figura 4.14 muestra claramente que este controlador estabiliza el sistema, y en

el anterior capítulo se demuestra que el controlador ubica los polos en el lugar

deseado, pero tiene el problema de mantener un error en estado estable que para

este caso está muy por encima del 100% del valor final de la variable controlada.

Figura 4. 14 Respuesta del sistema ante la realimen tación de sus Estados Fuente: David Núñez

4.3.4 Servosistema tipo 1: con el propósito de eliminar el error en estado estable

observado en la figura 4.14, (Ogata, 2003) recomienda el uso de un servosistema

tipo uno con integrador aplicado a plantas que poseen un integrador, bastante

conveniente para el sistema Plataforma-esfera. El controlador sugerido, está

conformado por un vector Km correspondiente al vector K, cuyo primer elemento es

cambiado por cero, tal cual se observa en la figura 4.15, y la salida es realimentada

y multiplicada por el primer elemento del vector K.

81

Figura 4. 15 Sistema de control servo tipo 1 Fuente: David Núñez

82

Figura 4. 16 Respuesta del sistema controlado por u n servo tipo 1 Fuente: David Núñez

Obsérvese la figura 4.16, el error en estado estable es reducido a cero con el

controlador propuesto. El tiempo de establecimiento sigue siendo un poco mayor al

deseado debido a la saturación de la señal de control.

4.3.5 Servosistema tipo 1 con observador de estado completo: como se explica

al final del capítulo 3, es necesario el uso de un observador de estados de orden

completo para el control del sistema plataforma-esfera real. En la figura 4.17 se

puede observar la conformación del observador en cuestión dado por las matrices

A, B, C y L, esta última calculada en el numeral 3.2.3 del anterior capitulo.

Cabe mencionar que la representación de la planta en este caso específico está en

Función de transferencia, de la cual se toman la entrada y la salida y se llevan estas

al observador de estado. Se hizo de esta manera porque representa con mayor

83

sentido la realidad, ya que allí no se obtienen las matrices involucradas en el sistema

Plataforma-esfera en variables de estado.

Figura 4. 17 Servosistema tipo 1 con observador Fuente: David Núñez

84

Figura 4. 18 Respuesta del sistema ante un servo ti po 1 con observador Fuente: David Núñez

La respuesta del sistema controlado por realimentación de sus estados con un

observador de orden completo, es idéntica a la observada anteriormente, obsérvese

en la figura 4.18, el tiempo de establecimiento y el sobre-impulso son los mismos

que los observados en la figura 4.16.

4.4 COMPARATIVO

Para determinar cuál de los dos controladores anteriormente expuestos es el mejor,

se decide usar como parámetro de medición la integral del valor absoluto del error,

y el mejor controlador es aquel que presente menor error. Esto se logra usando el

diagrama de la figura 4.19 correspondiente al diagrama de bloques diseñado en

Simulink.

85

Figura 4. 19 Integral del Valor Absoluto del Error Fuente: David Núñez

El tiempo de simulación usado es de 2.5 segundos con el fin de permitir que el

sistema se estabilice y el error al final sea cero.

Para la fase de simulación de este proyecto, se puede decir que ambos

controladores son buenos para el sistema propuesto ya la integración del valor

absoluto del error en los dos controladores son el mismo.

86

5. CONTROL DEL SISTEMA PLATAFORMA-ESFERA REAL

Como culminación de este trabajo y con el propósito de cumplir con su último

objetivo específico, se aplican los controladores previamente calculados al sistema

Plataforma-esfera real que está compuesto por tres etapas: una etapa mecánica,

una etapa electrónica y una etapa de software.

El propósito de este capítulo es describir cada una de las etapas mencionadas, en

donde inicialmente se comienza por mostrar el diseño del sistema mecánico en 3D,

la descripción de cada una de sus partes y su función, posteriormente, en la etapa

electrónica, se menciona la función de la tarjeta “ARDUINIO UNO” y sus

componentes a usar, y por último se aborda el algoritmo de control desarrollado en

Labview, el cual está encargado de la interfaz gráfica, el procesamiento de las

señales y el cálculo de la ley de control.

En cuanto se integren estas tres etapas y antes de poner en marcha el sistema, se

deben realizar los respectivos ajustes mecánicos y determinar la relación que hay

entre los ángulos de los servomotores y los ángulos la plataforma del sistema. Estos

últimos ajustes deben de estar asociados al algoritmo de control y cabe mencionar

que a medida que se vaya poniendo en marcha el control, se deben realizar, de ser

necesarios, los ajustes requeridos en cuanto a las ganancias de los controladores

con el propósito de mejorar la respuesta del sistema controlado.

Al final se obtiene el sistema controlado, con sus respectivas graficas en tiempo real

donde se pueden observar el valor de la respuesta del sistema, los puntos de

consigna y la ley de control.

87

5.1 MECÁNICA

El sistema Plataforma-esfera está conformado por dos piezas de acrílico de 0.35 m2

cada una, la primera corresponde a la base con un grosor de 10mm, y la segunda

corresponde a la plataforma con un grosor de 3mm. Entre ellas se encuentran las

piezas que se describen a continuación.

5.1.1 Rótula: es la encargada de ocasionar los grados de libertad del sistema.

Sobre ella reposa la plataforma que cuenta con un área de 0.35m2. Está hecha en

Politetrafluoroetileno (teflón) y su pieza principal es un rodamiento tipo rotula. Su

rango de operación está entre -15° y 15°. Su diseño puede verse en la figura 5.1.

Figura 5. 1 Rótula Fuente: David Núñez

5.1.2 Ejes : están conformados por una pieza en acero inoxidable y en uno de sus

extremos se encuentra una pequeña rotula para permitir los cambios de ángulos de

la plataforma. Los ejes están debidamente roscados para proporcionar la posibilidad

de ajuste de la plataforma con respecto a los servomotores, tal cual se ve en la

figura 5.2. Estos ejes son los encargados de convertir el movimiento rotacional de

los servomotores en movimiento lineal que es llevado a la plataforma para crear los

ángulos de inclinación necesarios.

88

Figura 5. 2 Eje Fuente: David Núñez

5.1.3 Servomotores: como se puede observar en la figura 5.3, los servomotores

están fijados sobre un soporte en acrílico, de tal manera que quede a sobre-medida

en la base para ocasionar el movimiento de la plataforma en el eje correcto.

Figura 5. 3 Servomotor-Soporte Fuente: David Núñez

5.1.4 Diseño completo: en la figura 5.4 se puede apreciar la integración de los

elementos recién descritos que conforman en su totalidad el diseño mecánico del

sistema Plataforma-esfera.

89

Figura 5. 4 Diseño mecánico sistema-Plataforma-esfe ra Fuente: David Núñez

5.2 ELECTRÓNICA

La electrónica usada para el control del sistema Plataforma-esfera es asumida en

gran parte por una tarjeta “ARDUINO UNO”, la cual es encargada de transmitir la

señal de control mediante dos de sus PWM tomados de los puertos 3 y 5, como se

aprecia en la figura 5.5.

Figura 5. 5 Arduino y Servomotores Fuente: Librería Arduino-Labview

90

La programación de esta se hace mediante una librería disponible para Labview,

que permite la comunicación entre esta plataforma y la usada originalmente para

programar el microcontrolador que reposa en el ARDUINO. Cabe mencionar que la

alimentación de 5V necesarios para alimentar la tarjeta, son tomados de la fuente

que alimenta a los servomotores, de esta manera, tanto la tierra de los servomotores

como la tierra del ARDUINO, se hacen común.

En este punto, el sistema Plataforma-esfera real se ve como lo muestra la figura 5.6

Figura 5. 6 Sistema mecánico con ARDUINO UNO Fuente: David Núñez

91

5.3 SOFTWARE

Los algoritmos de control y la interfaz de usuario son desarrollados en Labview,

aprovechando, no solo que en este se puede escribir el código necesario para el

control del sistema, sino también el uso de dos herramientas esenciales: la

mencionada anteriormente, que es la que permite enviar la señal de control a los

servomotores, y el “Vision and Motion” que es una herramienta para el

procesamiento de imágenes, con ella se puede obtener, a partir de una cámara

digital, la señal de realimentación del sistema, en donde se puede saber en tiempo

real la posición de la esfera sobre la plataforma.

El algoritmo en Labview, está conformado por cuatro partes: Vision and Motion,

Arduino, Control y Salida. A continuación se describe cada una de sus partes y su

función en el programa general.

5.3.1 Vision and Motion : es una librería desarrollada por National Instruments cuyo

propósito es desarrollar aplicaciones a partir de visión artificial. De esta librería y

para este trabajo en específico se usan dos bloques: Vision Acquisition y Vision

Assistant.

Vision Acquisition es el bloque que permite obtener, a partir de una cámara digital,

imágenes estáticas o continuas con el propósito de que sean procesadas según la

aplicación. Para este caso específico se usa una cámara “Logitech HD 720p”. En el

momento que es usado el bloque, este detecta la cámara conectada mediante el

puerto USB de manera automática. En la imagen 5.7, se puede ver el resultado

después de hacer la configuración inicial de dicho bloque.

92

Figura 5. 7 Código en Labview del Vision Acquisition Fuente: Librería Arduino-Labview

Vision Assistant, este bloque fue desarrollado para integrar muchas de las

funciones que contiene individualmente la librería Vision and Motion, con el objetivo

de brindar una interfaz de usuario más amigable y coherente. En él se puede hacer

un algoritmo secuencial de procesamiento de imágenes. Para el caso del sistema

Plataforma-esfera, se usaron cinco sub-bloques diferentes para obtener al final las

coordenadas x,y de la esfera, en pixeles.

En la figura 5.7, se pueden ver los sub-bloques usados para obtener el resultado

final, obsérvese que hay una imagen original al inicio, correspondiente a la imagen

a manipular, seguido de esta, cada sub-bloque realiza una función específica a la

imagen resultante.

Figura 5. 8 Sub-bloques del Vision Assistant Fuente: David Núñez

93

En la imagen 5.9 se puede apreciar el resultado del algoritmo que permite capturar

y procesar la imagen, que en este caso corresponde al video continuo de una

plataforma de 0.35m2 de color negro y sobre ella una esfera de 3.5cm de diámetro

color naranja. Estos dos colores fueron escogidos para dar mayor contraste y

permitir que el programa detectara sin mayor problema a la esfera.

Figura 5. 9 Obtención de la Posición de la Esfera e n x y y Fuente: David Núñez

5.3.2 Arduino: como se mencionó anteriormente, el Arduino es la tarjeta electrónica

encargada de enviar la señal de control a los servomotores, este proceso es logrado

desde Labview, usando varias herramientas proveídas por la librería que permite la

asociación entre Labview con el ARDUINO UNO.

De los puertos 3 y 5 de la tarjeta, se toman los PWM necesarios para manipular a

los servomotores, esto se logra configurando los bloques que se perciben en la

94

imagen 5.10, obsérvese que al inicio del programa, es decir, lo que está por fuera

del ciclo while, son bloques de inicialización que permiten configurar la

comunicación entre el Arduino y Labview, y los valores iniciales que deben tener los

puertos 3 y 5 para que se puedan usar como PWM. Al interior del ciclo while, pueden

verse dos bloques que son los encargados de recibir el cyle duty, que en este caso

es la señal de control, y a su vez genera la salida con un Ancho de Pulso Modulado

correspondiente para ubicar a los servomotores en la posición deseada.

Figura 5. 10 Configuración ARDUINO en Labview Fuente: David Núñez

5.3.3 Control: En esta fase se puede observar el algoritmo de control usado para

estabilizar el sistema Plataforma-esfera. En total son dos algoritmos de control: un

controlador PD con un parámetro N, y un controlador por realimentación de estados

con observador de orden completo.

Control PD, cuyo algoritmo con sus ganancias calculadas previamente, se pueden

observar en la imagen 5.11, allí se establecen una serie de sub-rutinas

representadas por dos bloques creados por el autor. El bloque que lleva el nombre

95

de PID, es un controlador que recibe como parámetros de entrada al error, las

ganancias Kp, Ki, Kd y N, y entrega la señal de control para reducir el error a cero.

Las ganancias mencionadas son calculadas por el bloque con una ‘N’ de color rojo

cuyos parámetros de entrada son el sobre-impulso deseado, en porcentaje (Mp%),

el tiempo de establecimiento deseado, en segundos (ts) y un polo no dominante que

para este caso es -100. La salida del controlador está saturada entre 0.26 y -0.26

correspondientes a los límites de la señal de control para que el sistema

permanezca en su zona lineal. Estos valores corresponden a la inclinación en

radianes que debe de tener la plataforma para ubicar la esfera en el lugar deseado,

por esa razón se ve que esta salida es multiplicada por una constante para

convertirla en grados cuyo valor es llevado a los servomotores.

Figura 5. 11 Código controlador PD Fuente: David Núñez

Cabe mencionar que el bloque que calcula las ganancias está diseñado única y

exclusivamente para el sistema Plataforma-esfera, dado que solo genera las

ganancias para un controlador PD con filtro N a partir del modelo del sistema.

Además, este ciclo while tiene un retardo de 1ms para que la velocidad del

96

controlador no supere la velocidad de la realimentación. El set point es dividido por

mil para ubicar allí el valor de la posición en milímetros.

Control por realimentación de estados con observado r de orden completo,

cuyo algoritmo puede verse en la gráfica 5.12. Puede verse que la ley de control

está en función de dos cálculos importantes, el primero corresponde a los estados

estimados por el observador en la parte derecha del diagrama, cuyos parámetros

de entrada son las matrices A, B C y L, y la entrada y salida del sistema, y a partir

de estos entrega un vector correspondientes a la posición y velocidad de la esfera.

La segunda parte importante se encuentra en la parte izquierda del diagrama donde

está el vector Km que se multiplica por los estados recién estimados y en la parte

superior el error multiplicado por K1. Estos dos valores sumados determinan el valor

de la señal que hace que el sistema se controle.

Figura 5. 12 Controlador por realimentación de Esta dos Fuente: David Núñez

97

Es importante destacar que en este caso, a diferencia del anterior, los valores de

Km, K1 y L no están siendo calculados por ninguna sub-rutina ya que demanda una

gran cantidad de recurso de máquina, lo que hace que el sistema sufra retardos tan

considerables que comprometen la estabilidad de sistema controlado.

5.3.4 Salida: corresponde a la interfaz gráfica que se puede observar en la figura

5.13 y al diagrama usado para generar las gráficas, representado en la figura 5.14.

En ambas se puede ver que las unidades escogidas para la observación de las

variables es en mm y que en ellas se pueden ver los valores del set point de la

posición de la esfera y de la señal de control.

Figura 5. 13 Interfaz gráfica Fuente: David Núñez

Figura 5. 14 Diagrama del código para la salida Fuente: David Núñez

98

5.4 PUESTA EN MARCHA

Una vez terminadas las cuatro etapas de programa general, se usan todas en el

mismo programa aprovechando que Labview ejecuta estas en forma paralela. Dicho

esto, antes de empezar a conectar el ARDUINO UNO y la cámara al PC, se realizan

algunos ajustes.

5.4.1 Ajuste: se debe garantizar que los ángulos iniciales sean aquellos que

permitan que el cuerpo esférico permanezca en reposo. Para lograr esta medición,

se cuenta con una aplicación de celular llamada “Angle Pro”, descargada de la

tienda de aplicaciones AppStore de Apple. Se usa ubicando el celular en paralelo al

eje a medir, y este muestra en el display el valor de la inclinación en grados. Una

vez se hace la medición, se ajusta la plataforma aprovechando los ejes roscados,

desplazando este según la necesidad.

Realizando el ajuste, se nota que hay una diferencia entre el ángulo de los

servomotores y el ángulo de inclinación de la plataforma, tanto en el eje x como en

el eje y. Dado esto se procede a realizar una toma de datos con el propósito de

hallar una función o ganancia tal, que determine cuantos son los grados de rotación

que debe hacer el servomotor para que la plataforma se incline acorde con el valor

arrojado por la ley de control. Se comienza dando valores al servomotor desde -45°

a 45° con intervalos de 5°, y se toma el resultado de la inclinación de la plataforma

arrojado por la aplicación “Angle Pro”. En las tabla 5.1 se pueden observar los

valores para el ángulo Beta en x y en la tabla 5.2 los valores para el ángulo de la

plataforma de Beta en y. En las figura 5.15 y 5.16, puede verse que la relación entre

estas variables es lineal, además se puede ver la ecuación lineal arrojada a la hora

de graficar estos valores y también se puede ver que el factor de correlación ‘R2’ es

muy cercano a 1, lo que indica que la aproximación lineal es confiable.

99

Tabla 5. 1 Relación entre el servomotor y la Plataforma en el eje x

Beta en x

Grados de

Rotación del

Servomotor

Grados de

Inclinación de

la Plataforma

-45 -9

-40 -8

-35 -7,5

-30 -6,5

-25 -5,7

-20 -4,5

-15 -3,5

-10 -2,5

-5 -1,3

0 0

5 1,2

10 2,1

15 2,7

20 3,4

25 4,4

30 5,4

35 6,5

40 7,5

45 8,3


Figura 5. 15 Relación entre el Servomotor y la Plat aforma en el eje x Fuente: David Núñez

y = 5,0635x + 1,8655

R² = 0,9976

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-10 -5 0 5 10

Gra

do

s P

lata

form

a

Grados Servomotor

Beta en x

100

Tabla 5. 2 Relación entre el servomotor y la Plataforma en el eje y

Beta en y

Grados de

Inclinación

de la

Plataforma

Grados de

Rotación del

Servomotor

-45 -7,3

-40 -6,4

-35 -5,7

-30 -4,5

-25 -3,8

-20 -2,8

-15 -2,3

-10 -1,5

-5 -0,4

0 0,8

5 1,8

10 3

15 4

20 5

25 6

30 7,1

35 7,9

40 8,7

45 9,5


Figura 5. 16 Relación entre el Servomotor y la Plat aforma en el eje y Fuente: David Núñez

y = 5,1965x - 5,2239

R² = 0,9976

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

-10 -5 0 5 10

Gra

do

s P

lata

form

a

Grados Servomotor

Beta en y

101

Las ecuaciones que se observan en las figuras anteriores, obligan a que se debe

agregar en el algoritmo de control las operaciones correspondientes para que se

generen buenos resultados en el control del sistema. En la figura 5.17 se pueden

observar las operaciones que se añaden al algoritmo de control.

Figura 5. 17 Cambio en el algoritmo de control Fuente: David Núñez

5.4.2 Ejecución: ya realizados los respectivos ajustes, se procede a conectar los

elementos al PC, como se ve en la figura 5.18. Posteriormente se ejecutan los

programas para observar el comportamiento del sistema y realizar los últimos

ajustes hasta dejarlo a punto. Inicialmente se ejecuta el Controlador PD.

Figura 5. 18 Montaje real del sistema Plataforma-es fera Fuente: David Núñez

102

Al poner en marcha todo el sistema controlado por el controlador PD, se observa

que hay cambios súbitos en la señal de control con variaciones en los valores del

100% a -100% en cuestión de segundos, tal cual se muestra en la figura 5.19. Una

vez observado este comportamiento, se decide disminuir las ganancias del

controlador aumentando el tiempo de establecimiento deseado, esto basado en que

la parte derivativa del controlador hace que la respuesta de este sea muy sensible

ante los cambios en la entrada del controlador.

Figura 5. 19 Respuesta del Controlador PD en tiempo real Fuente: David Núñez

Desafortunadamente los resultados no son los esperados, y se decide disminuir

considerablemente la señal de control, pero se iba al otro extremo, pasó de tener

cambios súbitos a generar una señal de casi cero, así como lo muestra la figura

5.20.

103


Se hicieron diferentes cambios en el algoritmo como, cambiar el retardo del

controlador, eliminar las sub-rutinas para evitar consumo excesivo de máquina,

disminuir el número de ciclos while para disminuir el gasto computacional, se

multiplicó el error por un factor para descartar la velocidad del controlador, pero los

resultados fueron los mismos y se nota, como lo muestra la figura 5.21, que la señal

de control es lenta, responde con cierto retardo ante la realimentación del sistema.


104

Una vez se presenta el inconveniente con el controlador PD, se decide cambiar el

tiempo de establecimiento y el porcentaje de sobre-impulso, considerados en el

numeral 3.1.1, esto fundamentado en que durante el análisis del sistema no se

tomaron en cuenta las constantes de tiempo de los servomotores, y por esta razón

se decide aumentar el tiempo de establecimiento deseado. También se decide

descartar el controlador PD, ejecutar solamente el controlador por realimentación

de estados y comenzar a variar los parámetros de diseño deseados hasta encontrar

un comportamiento estable del sistema con el mínimo error posible en estado

estable.

Como punto de partida se decide comenzar con el valor hallado en la ecuación 3.11,

correspondiente al periodo del sistema cuyo valor es de 2.37s, es decir, el cálculo

de las ganancias del sistema se comienza con un tiempo de establecimiento

deseado de 2.4s y con una sobre-impulso deseado del 2%. Para no comenzar a

hacer un cálculo por cada condición deseada, se usa un algoritmo desarrollado por

el autor que calcula de manera inmediata el vector K, a partir del tiempo de

establecimiento deseado (ts) y del porcentaje de sobre-impulso (Mp%), este código

puede verse en la figura 5.22.

Figura 5. 22 Calculo del vector K usando Labview Fuente: David Núñez

105

Obsérvese en la anterior figura que hay dos bloques subVI, (desarrollados también

por el autor), el que está a la izquierda calcula los polos deseados a partir de las

condiciones deseadas mencionadas anteriormente, y el bloque de la derecha

calcula el vector K mediante la fórmula de Ackerman, usando como parámetros de

entrada los polos deseados previamente calculados, la matriz A y el vector B.

Lo anterior es para el cálculo del vector de realimentación, pero no hay que olvidar

que este controlador usa un Observador de Estados de orden completo, y para este

se considera uno que sea más rápido que el controlador por dos motivos: el primero

es que la cámara digital que está monitoreando en todo momento la posición de la

esfera, tiene un retardo alto, se nota que el cambio de posición de la esfera no es

sensado de manera inmediata por la cámara, y la segunda razón es que según

(Ogata, 2003), el observador lento se usa para sensores que tienen demasiado

ruido y este no es el caso. Dicho esto, hay que calcular el vector L, y para esto se

usa el algoritmo de la figura 5.23. Obsérvese que es un código similar al anterior,

con la diferencia de que este toma como parámetros de entrada la transpuesta de

la matriz A, y a cambio del vector B se usa el vector C.

Figura 5. 23 Calculo del vector L usando Labview Fuente: David Núñez

106

La figura 5.24 corresponde a las respuestas del sistema con el controlador por

realimentación de estados con Observador de orden completo, con los vectores K

y L recién calculados. Se comienza a observar un sistema estabilizado

Figura 5. 24 Respuesta del Controlador por Realimen tación de Estados Fuente: David Núñez

En este punto, se comienzan a hacer ajustes finos en las condiciones deseadas

hasta encontrar las más óptimas. Después de tres cambios se nota que el sistema

responde mejor con un Observador hasta 10 veces más rápido que el controlador.

En las tablas 5.3 y 5.4 se relacionan los parámetros asociados al controlador y al

Observador con mejor respuesta, respectivamente.

Tabla 5. 3 Parámetros del Controlador

ts (s) Mp (%) Polos Ecuación Característica Km K1

2,6 0,5

0,457


-1,538 ± 0,9122i 9B + 3,076 + 3,19 = 0 j0 0,44k

107

Tabla 5. 4 Parámetros del Observador

ts (s) Mp (%) Polos Ecuación Característica L

0,24 0


Cabe resaltar que el sistema cuenta con dos controladores, uno para cada eje y

cada posición en el plano x,y, en ambos controladores se usaron las mismas

ganancias tanto para el controlador como para su respectivo observador. El

algoritmo definitivo para el controlador por realimentación de Estados con

Observador de orden completo, puede verse en la imagen 5.25.

Figura 5. 25 Algoritmo de Control definitivo Fuente: David Núñez

9B + 33,33 + 277,8 = 0 -16,67 ± 0,2219i f33.33277.8g

108

Las respuestas del sistema en las dos posiciones, como se puede observar en la

figura 5.26, son consideradas las mejores, a pesar de que en algunos puntos de

consigna se mantiene un leve error en estado estable.

Figura 5. 26 Respuesta definitiva del Sistema Contr olado Fuente: David Núñez

Se determina no realizar comparativo, ya que la integral del error absoluto del

sistema controlado mediante el controlador PD, tiende a infinito, mientras que el

controlador por realimentación de estados tiene un error en estado estable que

tiende a cero.

109

6. RESULTADOS Y CONCLUSIONES

• El modelamiento del sistema, considerando únicamente la dinámica del

cuerpo esférico sobre la plataforma, fue suficiente para el controlador por

realimentación de estados pero no para el controlador PD. Esto al momento

de controlar el sistema real.

• Según la simulación realizada en Simulink, tanto el Controlador PD como el

Controlador por realimentación de estados, son igual de eficientes, dado que

la integral del valor absoluto del error es igual durante el mismo tiempo de

simulación.

• Al linealizar el sistema alrededor del punto de equilibrio se reduce el rango

de operación de la plataforma, lo que resultó conveniente para el sistema real

ya que la rótula central solo puede tener una inclinación de ±15°, valor

adecuado para que el sistema real se mantenga en su zona lineal.

• Según la simulación, al reducirse el rango de operación del sistema, se

observa que el tiempo de establecimiento deseado considerado inicialmente

pasa de ser 1s a 1.2s, esto es lógico ya que para generar una respuesta más

rápida, se requiere de inclinar cada vez más la plataforma.

• El sistema real no responde adecuadamente con el controlador PD, a pesar

de que se hicieron muchos cambios en el algoritmo de control, como

110

disminuir las ganancias o reducir el código, no fue suficiente. Se observa una

respuesta lenta de la señal de control con respecto a la posición de la esfera

en el plano.

• El hecho de tener en cuenta los estados del sistema, que en este caso es la

posición y la velocidad, proporciona una señal de control adecuada, logrando

con esto estabilidad, una correcta respuesta ante las perturbaciones

generadas, y la ubicación de la esfera alrededor de un punto asignado.

• El sistema real controlado presenta un error en estado estable que difiere en

cada punto de consigna debido a la falta de una extrema exactitud en sus

funciones mecánicas. Se observa que al momento en el que la esfera se

desplaza por un eje, también se ve afectada la posición en el otro, ya que

hay un grado de libertad ajeno al sistema entre los ejes que van de los

servomotores a la plataforma.

• El no tomar en cuenta otras partes del sistema al momento de modelar, como

los servomotores y la cámara, provocaron que el tiempo de establecimiento

deseado considerado inicialmente, cambiara de 1s a 2,6s. Esto es claro ya

que hay retardos tanto en la respuesta mecánica de todo el sistema como

del video proveniente de la cámara digital.

• Se logró estabilizar el sistema, sin embargo la respuesta presenta un error

en estado estable de aproximadamente 5%, y en algunos puntos presenta

sobre impulso de hasta el 15%.

111

• Al momento de controlar el sistema real con las condiciones deseadas

consideradas al inicio de este trabajo, la respuesta del sistema fue un

comportamiento oscilatorio que iba desapareciendo a medida que se

aumentaba el tiempo de establecimiento deseado y disminuyendo el sobre-

impulso deseado. Una vez se logra un sistema estable y una adecuada

respuesta, se intenta aumentar el tiempo de establecimiento pero el resultado

es una señal de control muy leve y un error en estado estable de más del

70%.

• Se prueba el sistema real con el controlador por realimentación de estados

sin tener en cuenta la realimentación de la salida del sistema. Los resultados

obtenidos corresponden a un sistema estable que responde muy bien a las

perturbaciones, pero con un error en estado estable del más del 40%.

• A modo de prueba se usan dos esferas: una hueca y otra maciza. Se observa

que la esfera hueca presenta una estabilidad en mayor tiempo mientras que

la esfera maciza presenta un comportamiento oscilatorio de baja magnitud,

esto es claro de comprender debido a la inercia que presenta la esfera

maciza que es más pesada que la esfera hueca.

• La mejor respuesta del sistema real fue obtenida con un tiempo de

establecimiento de 2.6s y con un sobre-impulso del 0.5%, además de un

observador de estados de orden completo 10 veces más rápido que el

controlador. Estos valores pueden observarse en las tablas 5.3 y 5.4.

112

• El Servosistema tipo 1, es idóneo para controlar procesos que posean en su

comportamiento una dinámica del tipo integrador. Con esta configuración se

logra eliminar el error en estado estable que deja la respuesta del sistema

controlado mediante la realimentación de sus estados, sin la necesidad de

acudir a una ganancia por cada punto de consigna, además se evitan hacer

cálculos adicionales, sobre todo en los casos en los que se necesite agregar

un integrador.

113

7. RECOMENDACIONES

• Se recomienda un método de realimentación más efectivo como el uso de

una pantalla sensible al tacto para evitar los retrasos causados por la visión

artificial y las lecturas erróneas provocadas por las condiciones ambientales.

• Explorar otras tarjetas de adquisición de datos que presenten un

comportamiento más rápido con el propósito de crear una respuesta con

tiempos de establecimiento menores a los 2s.

• Mejorar las condiciones mecánicas para eliminar los grados de libertad extra

como el que se presenta en las palancas de los servomotores y en las rotulas

de los ejes roscados que van en la plataforma.

• Usar servomotores digitales ya que se obtienen respuestas en menor tiempo

y un grado mayor de exactitud a la hora de ubicar el servo una posición

específica.

• Usar un lenguaje de programación menos pesado que el Labview, ya que en

este se nota un gasto computacional más alto debido a su interfaz y a su

lenguaje de programación gráfico.

114

• En el caso de seguir usando visión artificial como medio de realimentación,

se recomienda el uso de una cámara con mayor resolución, posiblemente

superior a los 720p en HD, y tratar de que la plataforma sea de color negro y

que no emita brillo, con el propósito de evitar que la luz se refleje en este y

cause lecturas erróneas a la hora de sensar la posición de la esfera.

• Se recomienda realizar los mismos controladores aquí diseñados pero

enfocados a sistemas discretos con el fin de comparar resultados y

determinar cuál es el mejor camino para el control de este sistema.

• Se recomienda explorar otras técnicas de Control como el Difuso y el

Predictivo, con el objetivo de comparar y determinar las propiedades de cada

controlador aplicado a este sistema.

• Se recomienda modelar el sistema completo, con el propósito de tener en

cuenta no solo la dinámica del cuerpo esférico sobre la plataforma, sino

también el comportamiento de los servomotores y la señal de realimentación,

todo esto con el objetivo de diseñar un controlador más preciso y evitar caer

en el método de ensayo y error.

115

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Cupic, G. (2011). Implementacija nelinearnih algoritama upravljanja platformom

sdva stupnja slobode, (Implementación de un algoritmo para el control no

lineal de una plataforma con dos grados de libertad). Zagreb.

Fabregas, E. (2013). Plataformas Interactivas de experimentación Virtual y Remota:

Aplicaciones de Control y Robótica. Madrid.

Fernandez, A. (2013). Diseño e implementación de sistemas de control de tiempo

real mediante herramientas de generación automática de código. Final de

Carrera, 1-8.

Keshmiri, M., Jahromi, A., Mohebbi, A., Amoozgar, M., & Xie, W. F. (2012). Modeling

and control of ball and beam system using model based and non-model

based control approaches. International Journal on smart sensing and

intelligent systems, 22.

Nokhbeh, M., & Khashabi, D. (2011). Modelling and Control of Ball-Plate System

(Modelamiento y control del sistema bola-plato). Amirkabir.

Obando, O., & Romero, H. (2010). Desarrollo de un sistema Ball and Beam, para

implementar estrategias de control mediante Labview. Bucaramanga.

Ogata, K. (2003). Ingenieria de Control Moderna Cuarta Edición. Madrid: Pearson

educación.

Young, H., & Freedman, R. (2009). Física Universitaria XXII edición Vol 1. México:

Pearson Educaión.


Juan David Núñez López

Politécnico Colombiano Jaime Isaza Cadavid [email protected]

RESUMEN El Sistema Plataforma-esfera, es un módulo que logra emular la dinámica de un cuerpo esférico sobre una plataforma móvil con dos grados de libertad, manipulados por dos servomotores, los cuales ocasionan el desplazamiento de la esfera en el eje x y en el eje y, del plano de la plataforma. El Sistema propuesto es inestable y no-lineal. Inicialmente se aborda modelándolo a partir del análisis fenomenológico, y posteriormente el sistema es representado en el Espacio de Estados. A partir de su modelo se diseña un Controlador por realimentación de Estados usando el método de asignación de Polos, y con Visión Artificial se logra medir la posición bidimensional de la esfera en tiempo real, con esto se consiguen tres resultados satisfactorios: estabilización del Sistema, buena respuesta ante perturbaciones y ubicación del cuerpo esférico alrededor de un punto deseado. Palabras clave: Realimentación de Estados, Visión Artificial, Labview, ARDUINO UNO. ABSTRACT The platform-sphere system is a module that manages emulate the dynamics of a spherical body on a mobile platform with two degrees of freedom, handled by two servomotors, which cause displacement of the sphere in the x-axis and y-axis in the plane of the platform. The proposed system is unstable and non-linear. Initially it modeling it is addressed from its phenomenological analysis and then the system is represented in the State Space. From his model a controller is designed State Feedback using the method of allocating Poles, and Machine Vision is able to measure the two-dimensional position of the sphere in real time with this three satisfactory results are achieved: stabilization of the system, good response to disturbances and location of the spherical body around a desired point. Key words: state feedback, through Vision, Labview.

1. INTRODUCCIÓN El sistema Plataforma-esfera resulta llamativo dada su complejidad sustentada en la no-linealidad e inestabilidad que este presenta, a partir de ello se debe hacer un desarrollo cuidadoso de su análisis tanto en el modelamiento del sistema como en el diseño e implementación de sus controladores. El sistema Plataforma-esfera puede verse como un módulo didáctico que podrá ser de gran utilidad en el proceso de formación académica dentro de la carrera de Ingeniería en Instrumentación y Control,

ya que durante el análisis de este se pueden entender con mayor claridad conceptos como estabilidad y linealidad. Para el desarrollo de este trabajo se abordan cuatro etapas, la primera corresponde al análisis fenomenológico del movimiento de la esfera sobre la plataforma, del cual se obtiene su representación en el Espacio de Estados. En la segunda etapa se desarrolla, a partir de los resultados previos, un controlador por realimentación de e Estados

usando el método de asignación de Polos, con el tiempo de establecimiento y el porcentaje de sobre-impulso como parámetros de diseño. En la tercera etapa se realizan las respectivas simulaciones en “Simulink” con el objetivo de comprobar el cumplimiento de los parámetros deseados, y por último la implementación del sistema real controlado mediante el diseño del controlador previamente calculado. 2. MATERIALES Y MÉTODOS A continuación se describen los pasos necesarios que dieron lugar a la estabilización de un sistema no-lineal, e inestable por naturaleza, mediante el cálculo cuidadoso de un controlador por realimentación de Estados, aplicando el método de asignación de Polos a partir de parámetros de diseño que hicieron posible, no solo una buena respuesta en las simulaciones, sino que además dieron lugar a que el sistema real se mantuviera estable en presencia de perturbaciones generadas de manera intencional y como último logro poder contar con la ubicación de la esfera alrededor de un punto deseado sobre la plataforma, cuya consecuencia es un cuerpo esférico siguiendo no solo un punto sino también una trayectoria predefinida. 2.1 Modelamiento Matemático del sistema

Plataforma-esfera Al abordar el sistema Plataforma-esfera, deben tomarse en cuenta todas las fuerzas que definen su dinámica. Cabe mencionar que en el modelamiento del sistema solo se tiene en cuenta el comportamiento de la esfera sobre la plataforma. Las fuerzas que actúan sobre la esfera en una plataforma con una inclinación β, de uno de sus ejes, están definidas en el diagrama de cuerpo libre mostrado en la figura 1.

Fig. 1. Diagrama de Cuerpo Libre.

De acuerdo con esto, y aplicando la segunda ley de Newton [1], se define la siguiente ecuación �� − = �� ,(1) En donde el primer término define el componente fuerza en función de la inclinación del eje en donde se desplaza la esfera, y el segundo término corresponde a la fuerza de fricción entre la plataforma y el punto de contacto de la esfera con esta. Debido a la dinámica de la esfera, se producen dos tipos de movimientos, traslacional y rotacional, este último es provocado por la presencia del Torque, este consecuencia de la fricción y la distancia que hay entre, el punto de contacto de la esfera con la plataforma y el centro de masa de la esfera [1], Dado esto se define entonces que � = �,(2) En donde τ es el Torque, fs es la fricción y R es el radio de la esfera. Aplicando la segunda ley de Newton para el movimiento rotacional provocado por el Torque [1], se tiene que � = � ��(3) En donde la fricción multiplicada por el radio es igual a la Inercia del cuerpo esférico multiplicada por la aceleración angular del centro de masa de la esfera, donde la Inercia de una esfera está dada por � = 25��(4) Al reemplazar esto en la ecuación 1, y simplificando, se tiene la siguiente ecuación diferencial ��(�)�� = 57��(�)(5) La anterior ecuación diferencial de segundo orden, es no lineal, el desarrollo del controlador para este tipo de modelos se hace más complejo, sin embargo esta ecuación se puede linealizar alrededor del punto de equilibrio de la función Seno mostrada en la figura2.

Fig. 2. Zona Lineal de la Función Seno. Dado que para ángulos muy cercanos a cero, el Seno de un ángulo cualquiera es igual al ángulo [1], se tiene que la expresión 5 se convierte en la siguiente ecuación ��(�)�� = 57��(6) De esta manera ya se cuenta con una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, y se procede a realizar la representación del sistema en el Espacio de Estados. Partiendo de la ecuación diferencial (6) se define que �! = �(�)

�� = �" (�) �"! = �� "� = 57��

Llevando esto a su forma matricial [2], de acuerdo con las siguientes ecuaciones �" = #� + %&(7)

' = (� + )&(8) Se tiene que

+�"!�"�, = -0 10 00 -�!��0 + 1 05�7 2�(9) ' = 41 05 -�!��0(10)

Donde − 612 ≤ � ≤ 612

La anterior ecuación aplica tanto para el movimiento de la esfera en el eje x como en el eje y. 2.2 Cálculo del Controlador del Sistema

Plataforma-Esfera Antes de Comenzar a realizar los respectivos cálculos para el desarrollo del controlador, primero se debe demostrar que el sistema a controlar cumple con los criterios de Controlabilidad y Observabilidad [2], para esto basta con demostrar que |% ⋮ #% ⋮ ⋯ ⋮ #;<!%| ≠ 0(11)

>>(⋯(#⋮(#;<!>

> ≠ 0(12) En donde A, B y C, son las matrices contenidas en las ecuaciones 9 y 10. Aplicando lo anterior se tiene que ?0 77 0? = −49 ≠ 0@A(B��CBD�ED�

?1 00 1? = 1 ≠ 0@AFEA�CG�ED�

Para el desarrollo del Controlador por realimentación de Estados, se usa el método de asignación de Polos. [2] Este método se basa en ubicar los polos del sistema en un lugar deseado, manipulando la Ecuación Característica del sistema de la figura 3.

Fig. 3. Diagrama del Sistema Controlado.

El objetivo es cambiar la Ec. Característica del Sistema de la figura anterior, por una Ec. Característica deseada, esta se calcula a partir de parámetros de diseño que en este caso específico son, el tiempo de establecimiento deseado (ts) y el porcentaje de sobre-impulso deseado (Sp%), y sus valores son los que se describen a continuación �H = 1A �IH% = 2% A partir de estos dos valores se define la Ec. Característica deseada, calculando el coeficiente de Amortiguamiento y la Frecuencia Natural, así K = − L�M�INO4L�M�IN5� + 6� = 0.78(13) Q; = 4K� = 5.13(14) Usando los resultados de la expresiones 13 y 14, en la siguiente ecuación �� + 2KQ;� + Q;� = 0(15) Se tiene que la Ecuación Característica deseada es �� + 8� + 26.31 = 0(16) Para el cálculo del vector de ganancia de realimentación de los estados (K), se usa la Formula de Ackermann R = 400⋯154%#%#�%…#;<!%5<!Φ(#) Donde Φ(#) = #; + �!#;<! + ��#;<�…�;<!# + �;� Donde α1 y α2 son tomados de la Ec. (16) �! = 8'�� = 26.31 Resolviendo lo anterior y simplificando, se tiene que R = 43.751.145(17)

Ahora bien, este controlador, configurado como el sistema de la figura 3, responde con error en estado estable, para corregir esto se recomienda que, [2] para un sistema con integrador como lo es el caso del sistema Plataforma-esfera, se use la configuración de la figura 4.

Fig. 4. Servosistema tipo 1. Donde Km es una porción del vector K, y K1 es el primer elemento del vector K, así R� = 401.145(18)

R1 = 3.75(19) 2.3 Simulación del Sistema Con el objetivo de comprobar el comportamiento inestable del sistema Plataforma-esfera y del correcto funcionamiento del controlador diseñado, a continuación se realizan las respectivas simulaciones en la plataforma “Simulink” de Matlab. Inicialmente se comprueba el comportamiento del sistema en el Espacio de Estado, en lazo abierto, con el fin de observar los estados del sistema y su inestabilidad. Para ello se realiza el siguiente diagrama en Simulink

Fig. 5. Sistema en el Espacio de Estados en Simulink.

Obsérvese en la figura 5, que se toman en cuenta la posición en el eje-x y en el eje-y como la variable de salida del sistema estimulado con una entrada tipo escalón de magnitud de 0.5 y 0.75, respectivamente.

Fig. 6. Estados del Sistema. Los estados del sistema se ven claramente en la figura 6. Las líneas rectas corresponden a la velocidad de la esfera mientras que las curvas corresponden a la posición. Para el sistema controlado según la configuración de la figura 3, y el vector de realimentación definido en la ecuación 17, se tiene el diagrama en Simulink mostrado en la figura 7.

Fig. 7. Controlador por Realimentación de Estados.

Fig. 8. Respuesta Sistema Controlado. Obsérvese en la figura 8, como el sistema responde cumpliendo con los parámetros de diseño deseados, pero como se había mencionado anteriormente, hay un error que se conserva en el tiempo muy por encima del 100%. Para eliminar el error en estado estable, la señal de salida debe ser realimentada y multiplicada por el valor de la ecuación 19. Además, el vector K es cambiado por el vector de realimentación Km definido en la ecuación 18. En este punto cabe aclarar algo importante, y es que podría entenderse que es redundante realimentar el sistema con la salida, sabiendo que esta ya está siendo tomada en cuenta en el vector de estados del sistema, pero al cambiar el vector K por el vector km, el primer estado del sistema, que es la posición de la esfera, se cancela debido a que el primer elemento de este vector es cero. Esto puede verse claramente en la figura 10. En la figura 9 puede observarse claramente que el error en estado estable es cero sin necesidad de usar ganancias en la entrada del punto de consigna. Con este método se consiguen dos cosas: corregir el error en estado estable y evitar cálculos adicionales.

Fig. 9. Respuesta Sistema Controlado.

Fig. 10. Servosistema tipo 1 en Simulink Cabe mencionar que tanto en la figura 9 como en la figura 7 se pueden observar un saturador en la salida de cada controlador, esto se hace para limitar la señal de control, ya que esta no debe de salirse del rango mencionado al final del numeral 2.1, y garantizar que el sistema controlado se mantenga en su zona lineal. 2.4 Control del Sistema Plataforma-Esfera

real 1) Implementación. Antes de comenzar con la descripción del módulo implementado, es indispensable mencionar en este punto que para el controlador a usar, es necesario estimar los Estados del sistema, esta tarea se logra con el desarrollo de un Observador de Estados de orden completo. La figura 11 muestra la configuración a usar para efectuar el control del sistema Plataforma-esfera, incluyendo el Observador. Para completar todo el sistema es necesario calcular la matriz L.

Fig. 11. Sistema con Observador de Orden Completo.

La matriz L es la que define que tan rápido converge el observador [2], aprovechando esto, se calcula L de tal manera que el Observador sea más rápido que el controlador. Para el cálculo de la matriz L, se procede de la misma manera que al calcular el vector K del controlador. Se definen inicialmente los siguientes parámetros de diseño �H = 0.5A �IH% = 2% La ecuación característica se define de la misma manera que se hizo con la ecuación (16), y al realizar las respectivas operaciones, la Ecuación Característica deseada es �� + 16� + 105.06 = 0(20) Para hallar la matriz L, apoyado en la ecuación (20), se usa la fórmula de Akcermann definida por la siguiente expresión

L = Φ(#) UVVVW (⋯(#⋮(#;<!XYY

YZ<!UVVVW 0⋯0⋮1 XYY

YZ(21) Donde Φ(#) = #; + �!#;<! + ��#;<�…�;<!# + �;�

Donde α1 y α2 son tomados de la Ec. (20) �! = 8'�� = 26.31 Resolviendo lo anterior y simplificando, se tiene que L = - 16105.60(22) Ahora se cuenta con todos los elementos necesarios para implementar el control del sistema Plataforma-esfera: matriz Km, ganancia K1, Observador de Estados de orden completo y la matriz L, según la configuración mostrada en la figura 11. La figura 12 muestra una fotografía tomada al Sistema Plataforma-esfera ya implementado. Se compone de dos piezas de 0.35m2 en acrílico. Una de ellas con un espesor de 10mm que hace de base, y la otra de 2mm de espesor que hace de plataforma. Esta última reposa en una pieza central tipo rotula la cual permite los grados de libertad de la plataforma. El sistema posee dos grados de libertad en total, cada uno de ellos lo define el servomotor y un eje roscado que tiene en uno de sus extremos una pequeña rotula que permite la inclinación de la plataforma. Además de estos elementos, el sistema cuenta con una tarjeta ARDUINO UNO y una protoboard para realizar las respectivas conexiones.

Fig. 12. Sistema Plataforma-esfera real.

El sistema es controlado por un algoritmo de control desarrollado en Labview, siguiendo los lineamientos propuestos en los anteriores numerales. El algoritmo está compuesto por cuatro ciclos while, cada uno encargado de una tarea específica. El primero corresponde al proceso mediante el cual se obtiene la posición de la esfera en tiempo real. Esto es logrado gracias a una librería de Visión Artificial para Labview llamada Visión and Motion. En la figura 13 se puede observar el diagrama del algoritmo usado para el monitoreo en tiempo real de la esfera.

Fig. 13. Código usado para obtener la posición de la esfera en tiempo real. El bloque de la izquierda es el encargado de obtener la imagen mediante el uso de una cámara web conectada al puerto USB del PC. Este se debe configurar al momento de ser llamado en el programa. El segundo bloque corresponde a una interfaz diseñada para que el usuario arme, en forma secuencial, el tratamiento que se le debe dar a la imagen para obtener los datos necesarios según la aplicación. Para este caso en específico se usó la configuración que se muestra en la figura 14.

Fig. 14. Secuencia de bloques en el Vission Assistant.

Fig. 15. Ciclo while usado para la comunicación entre Labview y el ARDUINO UNO. La segunda fase del algoritmo es la encargada de enviar la señal de control a dos de los PWM del ARDUINO UNO. Esto es logrado gracias a que existe en Labview una librería que permite la comunicación entre esta plataforma y el ARDUINO UNO. En la figura 15, pueden verse claramente los bloques usados para el envío de la señal entregada por el controlador. El tercer ciclo while permite ver en tiempo real los valores de las variables del sistema mediante el diagrama de la figura 16.

Fig. 16. Salida de Variables. Estas variables pueden observarse en la interfaz gráfica mostrada en la figura 17.

Fig. 17. Interfaz gráfica.

El último ciclo while corresponde al algoritmo de control según los cálculos previos. Este algoritmo es extenso y comprende todos los cálculos realizados previamente. Mediante un Shift Register inicializado en cero, se realimentan al sistema los estados entregados por el Observador de orden completo y estos son procesados de acuerdo a la configuración usada según la figura 11. 2) Puesta en Marcha. Una vez se integra el PC, la cámara web, la tarjeta ARDUINO UNO y el módulo Plataforma-esfera, se comienza a ejecutar el programa desarrollado en Labview y se hacen los ajustes necesarios como desplazar las rotulas de los ejes roscados para dejar la plataforma lo más recta posible y ubicar la cámara a una altura adecuada de tal forma que se capture toda la plataforma. En la figura 18 puede verse la integración del sistema completo y ajustado.

Fig. 18. Sistema Plataforma-esfera completo.

La respuesta inicial del sistema, al momento de ejecutar el programa, puede apreciarse en la figura 19.

Fig. 19. Respuesta inicial del sistema. Hay un comportamiento oscilatorio del sistema, sin embargo se esperaba a que este respondiera de esta manera debido a que en el modelamiento no se tomaron en cuenta los retardos de los servomotores y la imagen capturada por la cámara web. Para lograr obtener una mejor respuesta, se deben manejar ganancias menores a las calculadas en las ecuaciones 18 y 19, para esto es necesario recalcular la matriz K, tomando como tiempo de establecimiento deseado un valor mayor al considerado inicialmente. Debido al retardo del sistema, es necesario también recalcular el Observador de Estados para que este sea más rápido. Como punto de partida se toma el Periodo del sistema observado en el comportamiento oscilatorio que corresponde a 2.4s, y para recalcular K y L se usa un bloque SubVI desarrollado por el autor que calcula las matrices mencionadas en función del tiempo de establecimiento y del porcentaje de sobre-impulso. Se comienza con los siguientes valores �H = 2.5A'�IH% = 2%(B��CBD��BC �H = 0.5A'�IH% = 2%FEA�CG��BC

Las respuestas obtenidas con estos nuevos parámetros, pueden observarse en la figura 20

Fig. 20. Respuesta del sistema luego de recalcular K y L. Una vez se observa la buena respuesta del sistema, se comienzan hacer ajustes finos en los parámetros deseados hasta obtener una mejor respuesta. Luego de varios intentos, los valores que produjeron una mejor respuesta del sistema, son los que se muestran en las tablas 1 y 2. Tabla 1. Parámetros del Controlador

ts (s) Mp (%) Km K1

2.6 0.5

0.457

Tabla 2. Parámetros del Observador

ts (s) Mp (%) L

2.6 0.5

La mejor respuesta obtenida se muestra en la figura 21.

Fig. 21. Mejor respuesta del sistema Plataforma-esfera.

40 0.445

-33.33277.80

3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN Según la simulación, al reducirse el rango de operación del sistema, se observa que el tiempo de establecimiento deseado considerado inicialmente pasa de ser 1s a 1.2s, esto es lógico ya que para generar una respuesta más rápida, se requiere de inclinar cada vez más la plataforma. La mejor respuesta Obtenida se logra después de realizar varios intentos cambiando los parámetros de diseño. Se recomienda en estudios futuros asociados a este tipo de sistema, considerar en la modelación todas las partes involucradas: Servomotores, Cámara, Plataforma-esfera y tarjeta de adquisición de datos para evitar entrar en el método de tanteo. El sistema real controlado presenta un error en estado estable que difiere en cada punto de consigna debido a la falta de una extrema exactitud en sus funciones mecánicas. Se observa que al momento en el que la esfera se desplaza por un eje, también se ve afectada la posición en el otro, ya que hay un grado de libertad ajeno al sistema entre los ejes que van de los servomotores a la plataforma. Se logró estabilizar el sistema, sin embargo la respuesta presenta un error en estado estable de aproximadamente 5%, y en algunos puntos presenta sobre impulso de hasta el 15%. Al momento de controlar el sistema real con las condiciones deseadas consideradas al inicio de este trabajo, la respuesta del sistema fue un comportamiento oscilatorio que iba desapareciendo a medida que se aumentaba el tiempo de establecimiento deseado y disminuyendo el sobre-impulso deseado. Una vez se logra un sistema estable y una adecuada respuesta, se intenta aumentar el tiempo de establecimiento pero el resultado es una señal de control muy leve y un error en estado estable de más del 70%. Se prueba el sistema real con el controlador por realimentación de estados sin tener en cuenta la realimentación de la salida del sistema. Los resultados obtenidos corresponden a un sistema estable que responde muy bien a las perturbaciones, pero con un error en estado estable del más del 40%

A modo de prueba se usan dos esferas: una hueca y otra maciza. Se observa que la esfera hueca presenta una estabilidad en mayor tiempo mientras que la esfera maciza presenta un comportamiento oscilatorio de baja magnitud, esto es claro de comprender debido a la inercia que presenta la esfera maciza que es más pesada que la esfera hueca. La mejor respuesta del sistema real fue obtenida con un tiempo de establecimiento de 2.6s y con un sobre-impulso del 0.5%, además de un observador de estados de orden completo 10 veces más rápido que el controlador. Estos valores pueden observarse en las tablas 5.3 y 5.4. 4. CONCLUSIONES Al linealizar el sistema alrededor del punto de equilibrio se reduce el rango de operación de la plataforma, lo que resultó conveniente para el sistema real ya que la rótula central solo puede tener una inclinación de ±15°, valor adecuado para que el sistema real se mantenga en su zona lineal. El hecho de tener en cuenta los estados del sistema, que en este caso es la posición y la velocidad, proporciona una señal de control adecuada, logrando con esto estabilidad, una correcta respuesta ante las perturbaciones generadas, y la ubicación de la esfera alrededor de un punto asignado. El no tomar en cuenta otras partes del sistema al momento de modelar, como los servomotores y la cámara, provocaron que el tiempo de establecimiento deseado considerado inicialmente, cambiara de 1s a 2,6s. Esto es claro ya que hay retardos tanto en la respuesta mecánica de todo el sistema como del video proveniente de la cámara digital. El Servosistema tipo 1, es idóneo para controlar procesos que posean en su comportamiento una dinámica del tipo integrador. Con esta configuración se logra eliminar el error en estado estable que deja la respuesta del sistema controlado mediante la realimentación de sus estados, sin la necesidad de acudir a una ganancia por cada punto de consigna, además se evitan hacer cálculos adicionales, sobre todo en los casos en los que se necesite agregar un integrador.

REFERENCIAS [1] H. Young and R. Freedman, “Física Universitaria”. XXII edición Vol 1, México, Pearson Educación. 2009 [2] K. Ogata, “Ingeniería de Control Moderna”. Cuarta edición, Madrid, Pearson Educación. 2003

control de posicionamiento de un cuerpo esfÉrico sobre una plataforma mÓvil

Engineering