La Medida en Euclides-Control de Lectura

1. Para Aristóteles las matemáticas conforman la ciencia de la cantidad: ¿qué es una cantidad y cuáles son los tipos de cantidad? R/ Para Aristóteles la cantidad es aquello que es divisible en elementos constitutivos. Además el afirma que existen dos tipos de cantidades los números y las magnitudes.

2. Respecto a la medida ¿cuáles son la directrices aristotélicas retomadas por Euclides

en sus “Elementos”’? R/ Euclides retoma las directrices Aristotélicas en sus dos aspectos fundamentales:

• Establece una separación tajante entre los números y las magnitudes.

• Sigue los derroteros de homogeneidad establecidos por Aristóteles, según los cuales, longitudes se miden con longitudes, áreas con áreas, ángulos con ángulos, etc.

3. Explique el significado de congruencia e igualdad según Aristóteles.

R/ de acuerdo a la concepción de Aristóteles

• La igualdad: se refiere a la cantidad: cosas iguales son aquellas que tienen la misma cantidad.

• La congruencia: está ligada al principio de identidad, en el sentido que decimos el mismo ser

4. Según Euclides ¿Qué es cuadrar una figura?

R/ Euclides establece la cuadratura de figuras rectilíneas, es decir Euclides nos enseña cómo encontrar un cuadrado equivalente a una figura rectilínea cualquiera, para él cuadrar una figura es la referencia adoptada en los Elementos para el cálculo de áreas. Este problema es enunciado por Euclides de la siguiente manera: Dada una figura rectilínea, encontrar un cuadrado equivalente.

5. En términos generales ¿cómo resuelve Euclides el problema de la cuadratura de figuras rectilíneas? R/ Euclides establece la cuadratura de figuras rectilíneas, es decir Euclides nos enseña cómo encontrar un cuadrado equivalente a una figura rectilínea cualquiera; para lograrlo, tiene que utilizar dos cuestiones:

• El teorema de Pitágoras: probado al final del primer libro, constituye un algoritmo que

permite obtener, de la suma de dos cuadrados, otro cuadrado.

• La llamada álgebra geométrica: equivalencias que se pueden interpretar como “factorizaciones” realizadas con figuras planas.

6. ¿Cuáles diferencias identifica usted entre la forma moderna de medir y la de Euclides? R/

Forma Euclidiana de medir Forma moderna de medir

• Euclides no posee un sistema numérico referencial, ni una teoría de ecuaciones que le permita despejar y calcular el lado del cuadrado de una manera algorítmica.

• Establecía una diferencia tajante entre número y magnitud. separación establecida en Aristóteles y suscrita por Euclides,

• Calcular el área ha consistido en

asignarle un número a la porción de superficie rectangular dada correspondiente al área pedida, representa la medida de la región rectilínea

• Hace más de veinte siglos hemos construido una teoría de la medida que reposa en el hecho de poder identificar magnitudes con números

• En la actualidad no tenemos ningún

escrúpulo teórico en identificar los números reales con los puntos de la recta y viceversa.

7. ¿Por qué para los griegos no tenía sentido afirmar que “el área de un rectángulo es base por altura”? R/ Para los griegos no tenía sentido afirmar que “el área de un rectángulo es base por altura” puesto que el producto entre magnitudes no era posible con la maquinaria euclidiana por lo que no tendría sentido la expresión “base por altura” a sabiendas que la base y la altura representan los segmentos que limitan el rectángulo.

8. ¿Qué se entiende por regla y compás en los Elementos?

R/ Euclides construye un segmento igual a otro segmento dado. Visto en términos modernos, un segmento es un representante de una clase de equivalencia de segmentos de acuerdo a la longitud. En este aspecto, Euclides sigue los cánones permitidos en matemáticas, acorde con la concepción aristotélica, según la cual los objetos matemáticos carecen de movimiento. Para ello se basa en las construcciones con regla y compás (el proceso permite ubicar segmentos iguales en diferentes posiciones.) es decir podemos, entonces establecer el siguiente resultado:

Dos segmentos AB y CD son congruentes, si y sólo si son iguales.

9. ¿Cuáles presupuestos teóricos le permiten a Euclides rotar segmentos y trasladar segmentos? ¿Cómo lo hace? R/ El ejemplo de muestra el proceso que permite no sólo rotar segmentos, sino también trasladarlos.

De esta forma, la construcción axiomática ha permitido obtener los segmentos AC, AD, AE, los cuales son iguales a AB (De acuerdo a la definición 15, por ser todos radios de la misma circunferencia), pero en distintas posiciones. Lo interesante es que el proceso permite ubicar segmentos iguales en diferentes posiciones. Pareciera como si el segmento AB rotara alrededor del punto A ocupando las posiciones AD y AE. Pero, de la misma construcción se tiene que el segmento AB encaja completamente en los segmentos AD y AE. La construcción de la figura siguiente (Figura 1.4) da cuenta de este aspecto.

10. A la manera de Euclides, haga lo siguiente: Dados dos segmentos desiguales, restar del mayor otro segmento igual al menor R/

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