control capitulo iv

CAPITULO IV CAPACIDAD DEL PROCESO II: ÍNDICES DE CAPACIDAD Y ANALISIS DE TOLERANCIA

CONTENIDO

• Índices de capacidad para procesos de doble especificación• Procesos con una sola especificación• Índices de capacidad de largo plazo Pp y Ppk

• Índices de capacidad para variables de atributos• Estimación de los índices de capacidad mediante una muestra• Diseño de tolerancias

OBJETIVOS

• Identificar los índices de capacidad para variables con una y doble especificación

• Conocer la importancia del concepto de capacidad de largo plazo y sus correspondientes índices Pp y Ppk

• Explicar la función del análisis de tolerancia en el diseño y caracterización de productos

• Realizar un estudio amplio de la capacidad de un proceso 18/04/23

Capitulo III: Capacidad del proceso II: Índices de capacidad y análisis de

tolerancia1

Índices de capacidad de proceso

Proceso con una especificación

Proceso con doble especificación

Variables de atributos

Cp y Cr

Largo plazo

Estimación por intervalo

Análisis de tolerancias

Cpk y K

Estudio integral

Z

Cpm

Cpi

Cps

Ppk

Pp

Fijac. limites

Estima. limites

Monte Carlo

18/04/23Capitulo III: Capacidad del proceso II:

Índices de capacidad y análisis de tolerancia

2

3.1- ÍNDICE DE CAPACIDAD PARA PROCESOS CON DOBLE ESPECIFICACIÓN

A.- ÍNDICE DE CAPACIDAD POTENCIAL DEL PROCESO

6EIES

Cpσ = desviación estándar del proceso

realVariación

ToleradaVariaciónCp

Interpretación del índice Cp: el proceso se considera capaz de cumplir con las especificaciones, se requiere que la variación real siempre sea < que la variación tolerada

Cp >1 Proceso deseable

Cp < 1 no cumple con las especificaciones-

Compara el ancho de las especificaciones o variación tolerada para el proceso con la amplitud de la variación real (6σ)del proceso



3



4

Variación de Cp

(corto plazo)

Clase de categoría proceso

Decisión ( si el proceso esta centrado

Cp ≥ 2 Clase mundial Se tiene calidad seis sigma

Cp > 1,33 1 Adecuado

1 < Cp > 1,33 2Parcialmente adecuado, Requiere de un control

estricto

0,67 < Cp < 1 3

No adecuado para el trabajo. Un análisis del proceso es necesario. Requiere de

modificaciones serias para alcanzar una calidad

satisfactoria

Cp < 0,67 4No adecuado para el trabajo. Requiere de modificaciones

muy serias

Tabla 3.1 : Valores del Cp y sus interpretaciones

La tabla 3.1 presenta cinco categorías de procesos que dependen del valor del índice Cp, suponiendo que el proceso está centrado



5

Tabla 3.2: Los índices Cp, Cpi y Cps, en términos de la cantidad de piezas malas (corto plazo); bajo normalidad y proceso centrado - caso de doble especificación



6

Notas referentes a los índices de capacidad

1. Si el Cpk < Cp, entonces una vez que se centre el proceso se tendrá a la clase de proceso que se señala.

2. Véase la tabla 3.2 para una interpretación del Cp en términos de piezas fuera de especificaciones

3. Para procese con una sola especificación el valor mínimo de Cpi o Cps, debe ser mayor que 1.25. en lugar de 1.33 para considerar el proceso adecuado-



7



8

La interpretación de los índices Cp, Cpi y Cps Tabla de las 3.1; 3.2 se fundamenta en tres supuestos:

1.Que la característica de la calidad se distribuye normal

2.Que el proceso es estable

3.Que se conozca le desviación estándar del procesoSi al analizar el proceso se encuentra que su capacidad para cumplir especificaciones es mala, existen las siguientes opciones

1. Modificar el proceso

2. Mejorara su control

3. Mejorar el sistema de medición,

4. Modificar las tolerancias

Si hay capacidad excesiva :

1. Con la venta de la precisión

2. Venta del método

3. Reasignando productos a maquinas menos precisas

4. Acelerar el proceso

5. Reducir la cantidad de precisión

Figura 3.1: Interpretación de histogramas



9

B.- INDICE Cr – RAZÓN DE CAPACIDAD

EIESCr

6

El índice Cr, es el inverso del Cp, compara la variación real contra la variación tolerada- Con este índice se quiere que el numerador sea menor que el denominador, es decir , lo deseable son valores Cr, pequeños (menores que 1)El valor de Cr , representa la proporción de la banda de especificaciones que es ocupada por el proceso



10

C.- ÍNDICES Cpk, CPi, Cps

Desventaja índices Cp - Cr :

• No toman en cuenta el centrado del proceso

• En sus definiciones nunca interviene la media del proceso µ

Índice Cpk : Consiste en calcular un índice de capacidad para la especificación inferior Cpi y otro para la superior Cps

33ES

CyEI

C pspi

El índice de capacidad real Cpk

Evalúa la capacidad real de un proceso, toma en cuenta:

• Las dos especificaciones, • La variación y • El centrado del proceso

Índice Cpk está definido por:

Cpk = Al valor mas pequeño entre Cpi y Cps

Entre mas grande sean Cpi. y Cps mejor cumplirán con la correspondiente especificación



11

La interpretación de Cpk toma en cuenta lo siguiente:

• El índice Cpk Cp. Ver Figura 3.1 a y c

• Si el valor de índice Cpk , es mucho mas pequeño que el Cp, nos indicara que la media del proceso está alejada del centro de las especificaciones- Figura 3.1 b y d

• De acuerdo a la tabla 3.1 , cuando los valores de Cpk , sean mayores a 1.25 o 1.45, se considerará que se tiene un proceso con capacidad satisfactoria

• Valores de Cpk igual a cero o negativos, indican la media del proceso está fuera de las especificaciones

Si no es satisfactorio, no cumple con por lo menos una de las especificaciones



12

D.- ÍNDICE DE LOCALIZACIÓN K

Es una medida especializada para evaluar el centrado del proceso, mide en términos relativos y porcentuales que tan descentrada o alejada esta la media de un proceso respecto al valor nominal para la característica de calidad del proceso.

100

21

*EIES

Nk

Interpretación - valores de K

• Si K es positivo, la media del proceso es mayor al valor nominal, K será negativo cuando µ sea menor que N

• Valores de K<20% en términos absolutos se consideran como aceptables, pero a mediada que el valor absoluto de K sea + grande que 20%, indica un proceso muy descentrado, lo que puede contribuir de manera significativa a que la capacidad del proceso para cumplir especificaciones sea baja. Figura 3.1 a y c



13

• Figura 3.2 a y c, valores de k son muy pequeños, ambos procesos están centrados

El primero es capaz.

El segundo no

• La figura 3.2 b y d los valores son negativos,indica que son procesos muy descentrados a la izquierda

• El valor nominal, N, es la calidad objetivo y óptima



14

E.- INDICE (Z) – LA MÉTRICA EN SEIS SIGMA

Calcula la distancia entre las especificaciones y la media µ del proceso en unidades de la desviación estándar σ. Para un proceso con doble especificación se tiene: Z superior, Zs, y el Zi definidos de la siguiente manera:

EI

ZyES

Z is

El índice Z se distribuye normalmente con media cero y desviación estándar 1

Cuanto mas grande sea el valor de Z mejor será la capacidad del proceso

Hay una relación directa entre los índices Cps y Cpi y con el estadístico Z, ya que:

3 Cps = Zs y 3 Cpi = Zi

Z mide Nº de σ con el que se desempeña un proceso. Meta 6 σ



15

F.- INDICE Cpm (INDICE DE TAGUCHI)

Los índices Cp y Cpk

Reducir la variabilidad

Cumplir las especificaciones

G Taguchi:

Cumplir con las especificaciones no es sinónimo de buena calidadLa reducción de la variabilidad debe darse en torno al valor nominal (calidad óptima)

Índice taguchi (Cpm), toma en cuenta en forma simultanea el centrado y la variabilidad del proceso

NdondeEIES

Cpm

22

6



16

El valor de N es igual al punto medio - especificaciones:

N = 0,5(ES-IS)

Cpm compara el ancho de las especificaciones 6

, no solo toma en cuenta la variabilidad del proceso, a través de σ2, sino que también toma en cuenta el centrado a través de ( µ - N)

Si el proceso esta centrado , es decir, si µ = N , entonces:

Cp y el Cpm son iguales



17

Si Cpm es mayor a 1,33 , el proceso cumple con las especificaciones, la media del proceso esta dentro de la quinta parte media del rango de especificaciones

Cpm > 1 cumple con las especificaciones, la media del proceso esta dentro de la tercera parte media de la banda de las especificaciones

Interpretación:

Todos los índices

son aplicables si los procesos son estables

característica de calidad se distribuya en forma normal

Los cálculos se basan en µ y σ



18

EJERCICIO 3.1

Una característica de calidad importante en la fabricación de una llanta es la longitud de capa, que para cierto tipo de llanta debe ser 780 mm con una tolerancia de ± 10 mm. La longitud es el resultado de un proceso de corte por lo que este proceso debe garantizar que la longitud este entre la especificación inferior EI = 770 y la superior ES = 790. con un valor ideal o nominal de N = 780. Para monitorear el correcto funcionamiento del proceso de corte, cada media hora se toman cinco capas y se miden. De acuerdo con las mediciones hechas en el ultimo mes, en el que el proceso son = 781 y = 4, respectivamente. Con base en esto se quiere tener una evaluación de la manera que el proceso ha estado cumpliendo con las especificaciones Calcular los índices de capacidad



19

3.2.- PROCESOS CON UNA SOLA ESPECIFICACIÓN

Variables que sean mayores a cierto valor mínimo (EI)

Variables entre mas pequeña mejor, que no excedan el valor máximo de (ES)

Se calcula con las siguientes relaciones:

33ES

CyEI

C pspi

Los índices Cps y Cpi , el proceso se considere capaz deben ser mayor a 1.25

Si la característica de calidad es critica, entonces el valor mínimo debe ser 1.45



20

3.3.- ÍNDICES DE CAPACIDAD DE LARGO PLAZO

Capacidad del proceso

Corto plazo

Largo plazo

Normalmente los índices capacidad – calculan solo considerando la variación de corto plazo,por lo que se habla de capacidad de corto plazo

se calcula a partir de tomar datos durante un periodo corto para que no haya influencias externas en el proceso, o con muchos datos de un periodo largo, pero calculando a σ con el rango promedio (σ = R/d2)

Se calcula con muchos datos de un periodo largo para que los factores externos influyan en el proceso. En este caso, σ será tomada por la desviación estándar de todos los datos (σ = S)



21

2. Considera la variación entre muestras y dentro de muestras

Se calcula directamente de todos los datos obtenidos a lo largo del tiempo

Variación de largo plazo del proceso

Para designar a los índices calculados con la de largo plazo se les designa: Pp en lugar de Cp Ppk en lugar de Cpk

todos los índices cuya letra inicial es C se sustituye por la letra P

El Pp se calcula de igual forma que el Cp, la diferencia es la forma en que se calculo :

Pp para largo plazo Cp para corto plazo

Hay dos formas de calcular la desviación estándar

1. Considera solo la variación dentro de las muestras a través del rango de las muestras : σ = R/d2

No considera los desplazamientos del proceso a través del tiempo

Se le llama variación de corto plazo del proceso



22

La capacidad de corto plazo evaluada a través de Cp y por el índice Z (se designa con Z.ct) representa la tecnología del proceso

Mientras que la capacidad de largo plazo medida por Pp y por el estadístico Z (se designa con Z.lt) representa la tecnología del proceso combinada con el control de la tecnología

La diferencia entre la capacidad de corto y largo plazo – se conoce como el desplazamiento o movimiento del proceso, se mide por el índice Z:

Zmov = Z.ct – Z.lt

Índice de Zmov representa la habilidad para controlar la tecnología



23

Hay estudios que con la media de un proceso puede desplazarse a través del tiempo 1.5 sigmas del valor nominal, es decir , que el valor de índice Zmov puede ser de hasta 1.5 en procesos con un control pobre

Zmov puede ser hasta 1.5 en procesos con un control pobre

Si Zmov < 1.5; se interpreta como que el proceso tiene un mejor control que el promedio de los procesos con pobre control

Si Zmov > 1.5; se interpreta como que el proceso es muy malo

Si no se conoce Zmov , puede asumirse un valor de 1.5

Si no se conoice el desplaamiento del proceso, la relación entre capacidad de corto y largo plazo la da la siguiente expresión:

Z.ct = 1.5 + Z.lt



24

3.4.- ÍNDICES DE CAPACIDAD PARA VARIABLES DE ATRIBUTOS

De un proceso que tiene variables de salida de atributos

Si se quiere medir la calidad

En términos de Cp y Cpk

Se debe estimar el % promedio de defectos o el % promedio de artículos defectuosos del proceso. Apoyo tabla 3.2

Algunas variables de atributos en lugar de medirse en porcentajes de defectos se miden en numero de partes con defectos por cada millón de oportunidades (PPM)

1000000*3adosinspeccionartículosdeTotal

defectosconartículosdeTotalPPM

De un total de 1 000 piezas inspeccionadas se encuentran 5 defectuosas:

PPM = 5 * 3 * 1 000 000 / 1 000 = 5 000



25

3.5.- ESTIMACIÓN DE LOS ÍNDICES DE CAPACIDAD MEDIANTE UNA MUESTRA (ESTIMACIÓN POR INTERVALO)

• Sea x1, x2 ---xn una muestra aleatoria del proceso• X y S la media y la desviación estándar de tal muestra• Si los índice se estiman empleando X y S en lugar de µ y σ, respectivamente, y si la muestra es pequeña (menor a 100 ó 150):

• es incorrecto compara los valores estimados con los valores mínimos recomendados para los índices.

• Es erróneo interpretar los valores estimados como en la tabla 3.2 ya que los valores mínimos son para los verdaderos índices, o índices poblacionales, y no para su estimación muestral se dice

Calcular los índices de capacidad e interpretarlos se necesita conocer la media y la desviación estándar. No siempre se conocen, por lo que en estas situaciones será necesario utilizar datos muestrales y en base a ellos tomar decisiones acertadas



26

Si los índices de capacidad son estimados con base en muestra pequeñas y NO con base en parámetros poblacionales (proceso) entonces :

•Un valor grande de la estimación de los índices NO necesariamente implica que se tiene una buena capacidad del proceso

•Un valor pequeño del índice estimado NO necesariamente implica mala capacidad del proceso



27

A partir de una muestra aleatoria se estiman lo índices Cp, Cpi, Cps, Cpk, y Cpm de la siguiente manera:

S

EIESC p 6

^

SEIX

Cpi 3

_^

pspipk CCMinímoC ,

SXES

Cps 3

_^

22

NX

pm

S

EIESC

_

Los valores obtenidos no se deben interpretar directamente en función de las tablas 3.1 y 3.2, sobre todo si la muestra solo es de unas cuantas decenas o si no es representativa del proceso. Al estar basados en una muestra, los valores de los índices dependen de la misma y van a variar de muestra a muestra



28

Lo que se debe hacer es una estimación por intervalo, en la cual se toma en cuenta el error estándar de su correspondiente estimador muestral. De forma específica, los intervalos de confianza para Cp, Cpk y Cpm están dados por :

s

sNX

NX

n

CZC

nnC

C

nC

ZC

pmpm

pkpk

p

2

2

2

2

2

2

1

2

1

9

1

12

12

_

_

/

/

n es el tamaño de la muestra y Z /2 es el percentil de la distribución normal que determina la confianza de la estimación ( si se quiere trabajar con 95% de confianza el valor de Z /2 es 1.96)El verdadero valor del índice se encontrara entre el intervalo obtenido con las expresiones anteriores, con la confianza deseada



29



30

3.6.- DISEÑO DE TOLERANCIAS

Es importante en el desarrollo de un producto es la conversión de las características dimensionales, químicas , eléctricas y otras

Para cada característica del tipo valor nominal, el diseñador debe especificar:

•El promedio deseado• Los limites de especificación (ES-EI) o limites de tolerancia

Se toman dos aspectos

1. Las necesidades funcionales de un producto

2. Lo que el proceso de producción puede realizar

Estos dos aspectos muchas veces son antagónicos



31

3.7.- ESTIMACIÓN DE LOS LÍMITES NATURALES DE TOLERANCIA DE UN PROCESO

La capacidad real del proceso es un aspecto a tomar en cuenta cuando se quiere fijar especificaciones para una característica de calidad (ES-EI)

Limite real inferior (LRI) = µ - 3σLímite real superior (LRS)= µ + 3σ

La característica de calidad tiene una distribución normal con µ y σ, entonces 99.73 de la distribución se localiza dentro de los límites naturales



32

se de define los limites naturales de tolerancia de un proceso como aquellos que contienen un cierto porcentajes de la distribución (1-) 3 100. Si la distribución del proceso es normal (µ ,σ), los límites están dados por :

µ ± Z /2 σ

Donde Z /2 es el (1-) 3 100 percentil de la distribución normal estándar

= 0.05, Z0.05/2 = 1.96 = 0.01, Z0.01/2 = 2.576 = 0.0027, Z0.0027 /2 = 3

Proceso esta en operación



33

Si el proceso no esta en operación

Difícil de conocer µ y σ

Se estima µ y σ con base en muestras, pequeñas

Si los límites naturales se calculan con y S :

El % de cobertura ya no será el mismo que si se usan parámetros poblacionales.

El % de la distribución que será cubierto por tales límites será menor que el indicado antes, y dependerá del tamaño de la muestra

_

X

SZX 2/

_

Es posible determinar una constante K tal que en un gran numero de muestras un porcentaje ,, de intervalos de la forma

SKX ,

_

Incluyan por lo menos el (1-) 3 100. En la tabla A7 se dan valores de K(γ,) para valores de n entre 5 y 1000, y =90%,

95%, 99% y = 0.10, 0.05, 0.0118/04/23

Capitulo III: Capacidad del proceso II: Índices de capacidad y análisis de

tolerancia34

3.8.- FIJACIÓN DE LÍMITES DE TOLERANCIA

El diseñador debe establecer las especificaciones de varias partes o componentes que al ser ensamblados o integrados forman el producto final. Hay muchas dimensiones interactuando, para prevenir combinaciones de tolerancias con malos resultados.

Se estudian tres situaciones –necesario para fijar tolerancias

1.- Porcentaje del ensamble final que cae dentro de especificaciones se presenta cuando la dimensión de una pieza es una combinación lineal de las dimensiones de las partes componentes

Si x1, x2 ……xn; la dimensión final del ensamblaje final es:

nnxaxaxay ....... 2211



35

Si xi son independientes y su distribución es normal con media y varianza σ2 entonces la dimensión final, y, se distribuye normal con media

2

1

22

1

i

n

iiy

i

n

iiy

a

a

Y varianza

Si son conocidos, se pueden determinar la fracción del producto final que cae fuera de las especificaciones (5.7)

2ii y



36

2. DEFINIR TOLERANCIAS PARA LOS COMPONENTES INDIVIDUALES DE UN ENSAMBLE

Se debe determinar los limites de especificación en los componentes individuales de ensamblaje, de modo que se cumpla con los límites de especificación en el ensamblaje final (5.8)

3. CLARO Y AJUSTE

Es cuando una pieza ensambla a otra y es necesario un claro para que el ajuste sea posible y que haya poco juego u holgura. (5.9)



37

3.6.- ESTUDIO REAL (INTEGRAL) DE CAPACIDAD

El modelo de llanta para automóvil se tiene que la longitud de capa debe ser de 550 mm con una tolerancia de ± 8 mm. La longitud de la placa es el resultado de un proceso de corte de un tira de hule, que debe garantizar que la longitud esté entre las especificaciones inferior EI = 542 mm y la superior 558 mm , con un valor ideal o nominal de N = 550. Para detectar la posible presencia de causas especiales de variación y en general para monitorear el correcto funcionamiento del proceso de corte, en este caso, cada hora se toman cinco capas y se miden . Los datos obtenidos en los últimos 4 días se muestran en la siguiente tabla.

Para hacer la evaluación de la capacidad del proceso se debe calcular los índices de capacidad



38



39

Estadístico Análisis y comentarios Conclusiones

Medidas de tendencia centralµ = X=Mediana =Moda =

Rango medio y desviación estándarR = S =σ = R/d2

Límites reales(µ ± 3σ)LRI =LRS =

Gráfica de capacidad (histograma)

Porcentaje fuera de las especificaciones

Índices de capacidadCpCrCpkCpmK

control capitulo iv

Documents