control automático - tec...ejemplo 2: análisis de resultados el control rei para el pid_2dof...
TRANSCRIPT
Control Automático
Realimentación de estado integral
Contenido
◼ Realimentación de estado integral (REI)
◼ Cálculo del compensador
◼ Controlabilidad del sistema REI
◼ Cálculo de la matriz 𝐊
◼ Ejemplos y ejercicios
◼ Resumen
◼ Referencias
Control con realimentación
de estado integral
◼ Partimos de un sistema tipo 0, que no tiene
polos en el origen
)()(
)()(
tty
tut
Cx
BAxx
=
+=
)()()()(
)()()(
ttrtytr
tkttu I
Cx
Kx
−=−=
+−=
r(t) y(t)x(t)u(t)
(t)
Control con realimentación
de estado integral (2)
◼ Se define un nuevo vector de estado
aumentado
◼ Se escriben las ecuaciones del sistema
aumentado para t > 0
)(1
)(0)(
)(
0)(
)(trtu
t
t
t
t
+
+
−=
0Bx
C
0Ax
)(
)(
t
t
x
Control con realimentación
de estado integral (3)
◼ Se desea que en estado estacionario y() = r;
por lo que , con (), u() y x()
tendiendo a valores constantes.
0=
)(1
)(0)(
)(
0)(
)(
+
+
−=
ru
0Bx
C
0Ax
Control con realimentación
de estado integral (4)
◼ Con r(t) escalón, r() = r, constante, para t > 0.
Al restar las ecuaciones anteriores tenemos:
◼ Se definen
)()()(
)()()(
)()()(
−=
−=
−=
ututu
tt
tt
e
e
e
xxx
)()(0)()(
)()(
0)()(
)()(−
+
−
−
−=
−
−utu
t
t
t
t Bxx
C
0Axx
Control con realimentación
de estado integral (5)
◼ Entonces
◼ Se definen
◼ Por lo que
◼ Finalmente
)(0)(
)(
0)(
)(
ˆˆ
tut
t
t
te
e
e
e
e
BA
Bx
C
0Ax
+
−=
)()()( tkttu eIee +−= Kx
1n)(
)()(
+
=
t
tt
e
e
xe
)(ˆ)(ˆ)( tutt eBeAe +=
)(ˆ)( ttue eK−=
1n
ˆ+
−= IkKK
( ) )(ˆˆˆ)( tt eKBAe −=
Controlabilidad
◼ La controlabilidad está dada si puede
probarse que la matriz
tiene rango n+1.
◼ La controlabilidad también puede probarse
con la matriz de controlabilidad aumentada
𝐌 = [𝐁 𝐀𝐁 𝐀2𝐁 … 𝐀𝑛−1𝐁]
)1)*(1(0
++
−nn
C
BA
Cálculo de K y ki
◼ Los valores deseados de se
especifican como ; entonces, si el
sistema es de estado completamente
controlable, la matriz 𝐊 = [K −ki], compuesta de matriz de realimentación de
estados y de la constante integral para el
sistema homogéneo
pueden determinarse con los métodos
conocidos.
121 ,, , +n KBA ˆˆˆ −
( ) )(ˆˆˆ)( tt eKBAe −=
Ejemplo 1: Controlabilidad
◼ Para el sistema siguiente, con realimentación
de estado integral, coloque los polos de lazo
cerrado en [-4+3j, -4-3j, -10]
◼ Probamos la controlabilidad y resulta que la
matriz tiene rango n+1
)(04)(
)(1
0)(
65
10
tty
tut
x
xx
=
+
−−=
−
−−=
−004
165
010
0C
BA
Ejemplo 1: Cálculo de K y ki
◼ Por Ackermann )ˆ(ˆ]100[ˆ 1AMK −=
−
−−=
−=
004
065
010
0ˆ
C
0AA
=
=
0
1
0
0ˆ
BB
]ˆˆˆˆˆ[ˆ 2BABABM =
5.6212100
25048400
022140
028190
400
3161
610
]100[ˆ
1
−=
−−
−
−
−
−
=
−
K
IAAAA 250ˆ105ˆ18ˆ)ˆ( 23 +++=
Ejemplo 1: Resultados
Ejemplo 1: Análisis de result.
◼ Puede observarse en la gráfica de respuesta
temporal que la salida se comporta como se
esperaba:
◼ Tiene un tiempo de estabilización de aprox. 1s, debido a la
ubicación de los polos dominantes a cuatro unidades del
eje imaginario.
◼ Posee un sobreimpulso menor al 2% debido a que los
polos dominantes tienen un amortiguamiento de 0.8.
◼ Presenta cero error de estado estacionario ante una
entrada escalón, debido a la acción integral.
◼ Muestra la eliminación del efecto a la salida de las
perturbaciones; aplicadas a la entrada y salida de la planta
en 6 y 8 segundos respectivamente.
Ejemplo 2: PID_2DoF
◼ Se tiene el modelo de un levitador magnético
G(s), linealizado alrededor de 2cm. Se desea:
𝐺 𝑠 =−2200
(s + 220)(s + 30) (s − 30)
a) Estabilizar el sistema y ubicar los polos
dominantes de lazo cerrado en:
s1,2 = -3 ± j3 y en s3 = -20
a) b) Eliminar el error de estado estacionario
Dimensione un compensador PID_2DoF para
cumplir con estos objetivos
Ejemplo 2: Estructura del
PID_2DoF
y(t)r(t)
𝐼_𝑃𝐷(𝑠) = +(R s − Y s )Ki
s− Y s Kp − Y(s)Kd
s
(ns + 1)
Kds
(ns + 1)
Ejemplo 2: Reducción del
orden de la planta
◼ Sustituyendo el polo menos dominante por su
equivalente de CD
G s =−2200
s + 30 s − 30 lims→0
(s + 220)
=−10
s + 30 s − 30
Ejemplo 2: Representación en
forma FCC
◼ Se expresa G(s) en forma desarrollada
◼ Se transcribe a forma canónica controlable,
con la salida como primera variable de
estado.
ሶ𝐱 =0 1900 0
𝐱 +0
−10𝑢
𝐲 = 1 0 𝐱
G s =−10
𝑠2 − 900
Ejemplo 2: Prueba de
controlabilidad
◼ Se comprueba que el rango de la matriz
◼ sea n+1
3
001
100900
010
=
−
−rango
− 0C
BA
Ejemplo 2: Cálculo de 𝐊
◼ Para este caso, la matriz de ganancias es
𝐊 = 𝐾𝑝 𝐾𝑑 −𝐾𝑖
◼ Como es un sistema SISO usamos la fórmula
de Ackermann
𝐊 = 0 0 1 𝐌−𝟏𝛗(𝐀)
◼ con𝐌 = 𝐁 𝐀𝐁 𝐀2𝐁
𝛗 𝐀 = ቚ𝜆 − 𝜇1 ∗ 𝜆 − 𝜇2 ∗ 𝜆 − 𝜇3 𝐀
Ejemplo 2: Cálculo de 𝐊 cont.
◼ Evaluando el polinomio característico del
sistema deseado
𝛗 𝝀 = 𝜆 + 3 − 3𝑗 ∗ 𝜆 + 3 + 3𝑗 ∗ 𝜆 + 20
𝛗 𝐀 = 𝐀3 + 26𝐀2 + 138𝐀 + 360𝐈
𝛗 𝐀 =23760 1038 0934200 23760 0−1038 −26 360
Ejemplo 2: Cálculo de 𝐊 cont.
◼ Evaluando la matriz de controlabilidad
𝐌 =0 −10 0
−10 0 −90000 0 10
y finalmente
𝐊 = −103.8 −2.6 36
−−
−−
−
=
−
360261038
023760934200
0103823760
1000
9000010
0100
]100[ˆ
1
K
Ejemplo 2: Modelo en Simulink
◼ Simulación del comportamiento ante
perturbaciones, con n = 0.02.
Ejemplo 2: Resultados PID_DoF
◼ Respuesta ante perturbaciones con ref. = 0.02m cte.
3 4 5 6 7 8
0.01
0.015
0.02
0.025
Tiempo [s]
Am
plitu
d
Respuesta ante perturbaciones impulsivas en la entrada y salida de la planta
Acción de control [V/100]
Posición [m]
Referencia [m]
Ejemplo 2: Análisis de resultados
◼ El control REI para el PID_2DoF funciona
estabilizando la planta y eliminando la
influencia de las perturbaciones, impuestas
tanto a la entrada como a la salida de la
planta.
◼ La respuesta tiene un sobrepaso apreciable
al recuperarse de las perturbaciones.
Eventualmente la ubicación de los polos
dominantes con un mayor amortiguamiento
relativo mejore esta respuesta.
Ejercicio 1: Diseño de servo
◼ Se tiene la planta dada por G(s). Se desea:
a) Obtener una respuesta sin sobrepaso que se
estabilice en 200ms o menos y un Mp <=5%.
b) Eliminar el error de estado estacionario
Tarea: Dimensione un compensador PID_2DoF
para cumplir con estos dos requisitos.
𝐺 𝑠 =1331
𝑠2 + 39.17𝑠 + 1265
Ejercicio 1: Diseño de servo
Ejercicio 1: Diseño de servo
- Referencia
- Posición
- Acción de control
- Estado x1
- Estado x2
Preguntas
◼ Para un sistema MIMO? digamos de “m”
entradas y “m” salidas.
¿Cómo serían las matrices para el cálculo de la
realimentación de estado integral.
𝐀 = ?; 𝐁 = ?; 𝐊 = ? ; 𝐂 =? ; 𝐃 = ?; Ki
¿Cómo se probaría la controlabilidad?
¿Cuántos integradores se requerirían?
Resumen
◼ El método de realimentación de estado integral
corrige el error de estado estacionario, aún ante
perturbaciones o variaciones de parámetros;
pues aumenta el tipo de sistema en uno.
◼ Las ganancias requeridas K y ki pueden ser
calculadas con los métodos tradicionales de
realimentación de estado:
◼ Transformación a FCC
◼ Sustitución directa
◼ Ackermann (SISO)
Referencias
◼ Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control
Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª
Ed., Madrid.
◼ Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de
control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall,
2005, España.