Control automático teoría semana 9

1. . Explique dos diferencias entre respuesta transitoria y respuesta en estado estable.

La Respuesta transitoria, es la parte de la respuesta de un sistema que se presenta cuando hay un cambio en la entrada y desaparece después de un breve intervalo.

La Respuesta en estado estable, es la respuesta que permanece después de que desaparecen todos los transitorios.

2. Cuáles son los tipos de ecuaciones diferenciales.El tipo de modelo que con frecuencia se emplea para describir el comportamiento de un sistema de control o elemento del sistema de control, es una ecuación diferencial.

Las ecuaciones diferenciales son las que involucran derivadas.Estas se pueden clasificar en:

1. Primer Orden, dx/dt2. Segundo Orden, d(dx/dt)/dt = d²x/dt²3. Tercer Orden, d³x/dt³

3. Cuáles son los tipos de soluciones de ecuaciones diferenciales, en éste módulo cuál de ellas se estudia.

1. Prueba una solución.

2. Transformaciones, es decir que se pueda manejar mediante álgebra convencional

En este módulo se desarrolla la solución por transformaciones

4. Cuál es el modelo matemático de un tanque controlado por flotador, grafique la respuesta del sistema.

dh = k(H-h) donde: dh/dt es la razón de cambio dt de la altura y

k, una constante

h= H (1-e-kt) La grafica describe el comportamiento de esta función para un tanque controlado con Flotador

5. Cuál es el modelo matemático de un capacitor en serie con un resistor, grafique la respuesta del sistema.

dVc = 1 (V-Vc)

Dónde : dVc/dt es la razón de cambio dt RC de Vc y es proporcional a (V-Vc). R es la resistencia y C la capacitancia.

Muestra como varía Vc con el tiempo. La gráfica tiene la ecuación Vc= V (1-e-t/RC)

6. Exprese la forma general de una ecuación diferencial y explique sus elementos.

a1 dΦodt + ao Φo = bo Φi

Donde:

a1 y ao son constantes de la ecuación Φi es la función de entrada al sistema Φo es la función de salida al sistema dΦo/dt es la razón de cambio a la cual la salida cambia con el

tiempo

7. Cuáles son los tipos de señales, cuál de ellas es la más común.

Los tipos de señales son:

Señal del tipo escalón

Señal impulso

Señal rampa

Las señales de entrada al sistema pueden adoptar diferentes formas, la más común es la de escalón; ésta se presenta cuando la entrada cambia de valor de manera abrupta.

8. Expresar las ecuaciones 1 y 3 en una ecuación diferencial de primer orden similar a la ecuación 5, e indicar las constantes, las funciones de entrada y salida.

dh/dt = k(H-h) ……………ecu 1.

La ecuación 1 representa la forma diferencial de nivel de en un tanque controlado por un flotador donde:

K: constante

H: variable de entrada del sistema

h: variable de salida del sistema

dVc/dt = (1/RC) (V-Vc)…….ecu3

La ecuación tres representa la forma diferencial de un circuito R C donde:

1/RC: constante

V: entrada del sistema

Vc: salida del sistema

9. Mediante valores reales, construir las gráficas de las ecuaciones 2 y 4

Para la ecuación h= H (1-e-kt)……2

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

ALTURA VS TIEMPO

Para la ecuación

Vc= V (1-e-t/RC) ………4

10.Cuál será la forma de la ecuación diferencial cuando un termómetro se sumerge en un líquido caliente a una temperatura Th. Cuál será la ecuación de la gráfica de T contra el tiempo. Graficar el sistema de control.a) Para el sistema se tiene

La razón de cambio Th es proporcional a (Th-T)Así, la ecuación diferencial será

dTdt

Es proporcional a (Th-T)

dTdt

=K (TH-T)

Donde K es una constante

T=Th (1-e−kt)

0 2 4 6 8 10 1202468

101214

vc

11.Cuál será la forma de la ecuación diferencial para un circuito que vconsta de un resistor R en serie con un inductor L. Cuál será la ecuación de la gráfica de Vl contra el tiempo. Graficar el sistema de control. (Vl= tensión del inductor).

La ecuación será de la forma

LRdldt + VL=V

Luego la ecuación de la gráfica será

VL=V (1-etRL)

V RL tiempo VL12 0.4 0 012 0.4 1 11.014912 0.4 2 11.91914412 0.4 3 11.9933612 0.4 4 11.9994512 0.4 5 11.9999512 0.4 6 11.9999912 0.4 7 11.99999

12 0.4 811.999999

912 0.4 9 1212 0.4 10 12

12.Demostrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden de un sistema eléctrico formado por resistor en serie con un capacitor. Considerar la forma de señal de entrada tipo escalón.

RCdvcdt +vc=v

Al comparar

a1dθ0dt +a0θ0=b0θi

Donde a1=RC a0=1 b0 =1

θ0= (b0/ a0) θi (1-e−a0 ta1 )

Vc= V (1-e-t/RC)

13.Demostrar la solución de la ecuación diferencial de primer orden de un sistema formado por un tanque de agua controlado por un flotador. Considerar la forma de señal de entrada tipo escalón.

La ecuación diferencial serádh/dt = k(H-h)

Al comparar

a1dθ0dt +a0θ0=b0θi

Donde a1= 1/K a1=1 b0 =1

θ0= (b0/ a0) θi (1-e−a0 ta1 )

h= H (1-e-tk)