AVANCE N: 02

Integrantes: Héctor Reinoso 624

Edwin Morales 631

Johnny Inca 293

Marco Ambo 370

Fecha: 21/06/2016

En el transcurso del desarrollo del proyecto se hace necesaria la obtención de sucorrespondiente función de transferencia, para poder analizar su comportamiento frente auna entrada. Para poder establecer la función de transferencia debemos obtener el modelomatemático del sistema. El robot balancín que pretendemos implementar. Lo podemosmodelar mediantes las ecuaciones diferenciales de un péndulo invertido.

[1]: ESQUEMA DEL ROBOT BALANCIN

El péndulo invertido consiste en un péndulo o varilla que gira libremente por uno de susextremos mediante una articulación situada sobre un vehículo o sistema móvil, que semueve sobre una guía rectilínea horizontal bajo la acción de una fuerza F. Esta fuerza es la

acción de control con la que se pretende actuar sobre la posición de la varilla. El pénduloinvertido es un sistema inestable, ya que puede caer en cualquier momento a menos de quese aplique una fuerza de control adecuada [2].

[3]: VARIABLES QUE ACTUAN SOBRE UN PENDULO INVERTIDO

El primer paso es obtener el diagrama de cuerpo libre del sistema :

El péndulo invertido es en teoría un cuerpo rígido cuyo movimiento se limita a dosdimensiones. Sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del carro en la direcciónhorizontal y aplicando los conceptos de derivada de distancia con respecto al tiempo seobtiene la siguiente ecuación del movimiento:

Las fuerzas en dirección vertical no tienen ningún efecto, por lo tanto no se sumaran. Porotro lado, sumando las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre del péndulo en la direcciónhorizontal, se puede obtener una ecuación para N:= + −Sustituyendo esta ecuación en la primera tendremos:+ + + − = (1)

Para obtener la segunda ecuación del sistema, debemos sumar las fuerzas perpendicularesal péndulo.+ − = + (2)Sumando todos los momentos de torsión en el centro del péndulo , en la ecuación 1 y 2 seelimina el termino P y N obtenemos:+ + = −Estas ecuaciones no son lineales, deben ser linealizadas para poder utilizarlas, cambiamos=PI+ y asumimos que para ángulos pequeños sen()= y cos()= por lo tantotendremos que :+ − = (3)+ − = = (4)Las ecuaciones 3 y 4describen el comportamiento del péndulo invertido.

Ahora procederemos a hallar su correspondiente función de transferencia:=− − = ( ) (5)+ − = (6)Efectuando varias operaciones y reacomodando los términos la función de transferenciaserá:

= + ( + ) − + −= + + − ( )

Esta es la función de transferencia del sistema. Usando los siguientes datos para establecerla función de transferencia tenemos.

M: Masa del carro = 0.05 Kg

m: Masa del péndulo = 0.05 Kg

b: Fricción del carro = 0.1 N/m/seg

l: Longitud péndulo = 0.12 m

I: Inercia del péndulo = 0.006 Kg*m

F: Fuerza aplicada al carro

x: Coordenadas de posición del carro

: Angulo del péndulo

Por lo tanto la función de transferencia tendremos que :4.54550.1818 31.1818 4.4545Aplicando un impulso a la entrada de este sistema usando simulink tendremos:

RESPUESTA AL IMPULSO DEL SISTEMA

SEÑAL IMPULSO DE ENTRADA Y LA SEÑAL DE SALIDA

Como podemos observar el sistema es inestable, el ángulo aumenta rápidamente, por lotanto necesitamos un controlador que nos permita mantener el péndulo estable.

Para poder mantener estable este sistema emplearemos un controlador basado en PIDimplementado en una tarjeta arduino ATMEGA.

CONTROLADOR PID

Este tipo de controlador es usado en sistemas de lazo cerrado, es decir, con realimentación.Donde restando el valor de la referencia a la salida anterior se obtiene el error que el PIDira tratando hasta que sea nulo. Los miembros de la familia de controladores PID, incluyentres acciones: proporcional (P), integral (I) y derivativa (D). Estos controladores son losdenominados P, I, PI, PD y PID.

UBICACIÓN DEL CONTROLADOR

1. Acción de control proporcional: da una salida del controlador que es proporcional

al error, es decir: Un controlador proporcional puede controlarcualquier planta estable, pero posee desempeño limitado y error en régimenpermanente.

2. Acción de control integral da una salida del controlador que es proporcional alerror acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.

La señal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la señal de error e(t)es cero. Por lo que se concluye que dada una referencia constante, o perturbaciones,el error en régimen permanente es cero.

3. Acción de control derivativa se da mediante:

Donde Td es una constante denominada tiempo derivativo. Esta acción tienecarácter de previsión, lo que hace más rápida la acción de control, aunque tiene la

desventaja importante que amplifica las señales de ruido y puede provocarsaturación en el actuador. La acción de control derivativa nunca se utiliza por sisola, debido a que solo es eficaz durante periodos transitorios.

4. PID: Acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción combinadareúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales. Laecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

La función de transferencia es :

La estabilización de la planta se logra variando los parámetros Kp, Ki y Kd.

Simulink posee un bloque PID usando este tenemos lo siguiente:

El sistema se estabiliza en menos de 5 segundos.

Los valores de las constantes serán: Kp=100, Ki=50 y Kd=50 por lo tanto la funciónde transferencia del PID seria:

100 50 50En la parte de la realimentación tendremos el sensor (acelerómetro) cuya gananciaya fue establecida en el primer avance esta es:1.1

Uniendo todo en un diagrama de bloques tendremos:

Reduciendo el diagrama de bloques tendremos:

[1]: http://cibelec.org.ve/2010/docs/Control.pdf

[2]: https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/10296/Memoria.pdf

[3]: https://riunet.upv.es/bitstream/handle/10251/10296/Memoria.pdf