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Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID)Sintonización de PID’s

Análisis de Error en Estado Estable

Control Analógico IDiseño de Controladores en el Dominio del Tiempo

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Morelia, Michoacan

Dr. Fernando Ornelas Tellez UMSNH-FIE 1/27



Bibliografía básica

1 K. Ogata. Ingeniería de Control Moderno. Prentice Hall.2 Benjamín C. Kuo. Sistemas de Control Automático, Prentice

Hall.3 Jesús E. Rodríguez Ávila, Introducción a la Ingeniería en

Control Automático, McGraw-Hill4 Isidro I. Lázaro C. Ingeniería de Sistemas de Control Continuo,

1ra Edición 2008, Editorial Universitaria




Contenido

1 Control Proporcional-Integral-Derivativo (PID)

Control Proporcional

Control Integral

Control Derivativo

Controlador PID

2 Sintonización de PID’s

Primer Método

Segundo Método

Tercer Método (Método de Harriot)

3 Análisis de Error en Estado Estable

“Tipo” de Sistemas de Control

Error en Estado Estable




Control ProporcionalControl IntegralControl DerivativoControlador PID

Introducción

Actualmente, aprox. el 85% de los controladores utilizados enla industria, están basados en controladores tipo PID’s.Las principales características por las cuales estos han sidoampliamente utilizados son que: son sencillos de entender yutilizar, y que no requieren un conocimiento exhaustivo delsistema a controlar.Son controladores robustos que su funcionamiento solorequiere de conocer la señal de salida y(t) de la variable acontrolar y su respectiva referencia r(t).Su principal aplicación es para sistemas de control que porobjetivo tienen el regular una variable (o multi-variables) a unvalor de referencia constante, constante a tramos (problema deregulación), o estabilización. No siendo una técnica apropiadapara seguimiento de referencias variantes en el tiempo.





Introducción

La estructura a bloques de un sistema de control basado en PID’s puede ser:

donde el controlador es G1(s), la planta a controlar es G(s) = G2(s) y H(s) es la

dinámica del sistema de medición (generalmente H(s) = 1).

(Note que en el diagrama de bloques anterior la salida del sistema es C(s), no obstante

generalmente está se denota como Y (s), mientras que C(s) será utilizada en esta

presentación para denotar el controlador.)





Control Proporcional

La acción de control es proporcional al error, esto es, en un lazocerrado de control, se tendrá en el dominio del tiempo

u(t) = KPe(t)

donde e(t) = r(t)� y(t) y KP es la ganancia proporcional, o bien,en el dominio de la frecuencia

C (s) =U(s)

E (s)= KP .

Ventajas: Fácil de utilizar e implementar electrónicamente.

Desventajas: Si la planta no tiene un integrador, puede causar erroresen estado estable al regular la salida a un valor constante.





Control Proporcional Integral (PI)

Es la suma de un control proporcional y una parte integral al error.Dominio del tiempo

u(t) = KPe(t)+KI

Ze(t)dt

donde e(t) = r(t)� y(t), KP es la ganancia proporcional y KI es laganancia integral. En el dominio de la frecuencia

C (s) =U(s)

E (s)= KP +KI

1s=

KPs+KI

s.





Control Proporcional-Integral (PI)

1 Elimina (o reduce para ciertas aplicaciones) el error en estadoestable.

2 Puede introducir oscilaciones no deseadas debido al integrador.3 Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso4 Incrementa el tiempo de levantamiento y de asentamiento5 Disminuye el BW6 Mejora el margen de ganancia y el de fase.7 Filtra el ruido de alta frecuencia





Control Proporcional-Derivativo (PD)

Es la suma de un control proporcional y una parte derivativa delerror. En el dominio del tiempo

u(t) = KPe(t)+KD

de(t)

dt

donde e(t) = r(t)�y(t), KP es la ganancia proporcional y KD es laganancia derivativa. En el dominio de la frecuencia

C (s) =U(s)

E (s)= KP +KI s.





Control Proporcional-Derivativo (PD)

No obstante, si la señal medida contiene ruido (señal de alta fre-cuencia), el derivador amplificará el ruido. Por lo anterior, a estecontrolador se le agrega un filtro pasa bajas para eliminar/reducir elruido a alta frecuencia, como

C (s) =U(s)

E (s)= KP +KI

s

tds+1

donde td se selecciona adecuadamente para establecer la frecuencia

de corte wc del filtro, donde wc =1td

.





Control Proporcional Derivativo (PD)

1 Mejora y moldea la respuesta transitoria de un sistema.2 Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso3 Reduce el tiempo de levantamiento y de asentamiento4 Incrementa el BW5 Mejora el margen de ganancia y el de fase.6 No apropiado para sistemas ligeramente amortiguados o

inicialmente inestables.





Estructura de los PID’s

El valor td es un valor pequeño que corresponde a un filtro pasabajas para eliminar problemas de ruido de altas frecuencias que puedegenerarse por la parte derivativa del controlador.





PID en MATLAB

Se puede observar que el controlador anterior se puede escribir como

KPID(s)=KP

✓1+

1Tr s

+Tds

tds+1

◆= KP|{z}

P,

+KP

Tr|{z}I,

1s+KPTd| {z }

D,

s

tds+1.

El controlador PID de Matlab es:

KPID(s)=P+ I1s+D

NN

s+1

=P+ I1s+D

Ns

s+N=P+ I

1s+D

ss

N+1

.

donde N ⇡ 20�100. Note que de los dos controladores, se tiene que

td =1N

=1wc

, siendo wc la frecuencia de corte del Filtro PB.





Una Implementación Electrónica del PID




Primer MétodoSegundo MétodoTercer Método (Método de Harriot)

Método 1: Respuesta TransitoriaEste método se utiliza para sistemas estables y que experimentanuna respuesta tipo de primer orden (respuesta sobre amortiguada).Considere la función de transferencia

G (s) =k0e�st0

g0s+1, g0 > 0.





Sintonización basada en el Primer Método

La selección de las ganancias de los controladores tipo PID’s.

Cuando no sea visible o fácil de determinar el tiempo de retardo t0,se sugiere elegir t0 = 0.1g0.





Método 2: Oscilaciones SostenidasEste método se aplica principalmente a sistemas con integradores,sistemas de segundo orden sub-amortiguados o sistemas inestables.

Primeramente se establece para el PID r(t) = senal escalon, Ti = •y Td = 0, es decir, solo se tendrá la parte proporcional, como seilustra en la figura siguiente:






El procedimiento: incremente KP de cero (o un valor muy pequeño) aun valor de ganancia crítica Kcr , donde la salida exhiba oscilacionessostenidas. De esta forma, se obtiene la Kcr y el periodo críticocorrespondiente, Pcr .

En función de los parámetros anteriores, Ziegler y Nichols propusieronla siguiente tabla para el cálculo de los valores de KP , Ti y Td , parael PID (o variaciones de éste).





Método 3: Oscilaciones amortiguadasEste método se puede aplicar a sistemas con integradores, sistemasde segundo orden sub-amortiguados o sistemas inestables. Se usacuando es difícil o no es posible aplicar el método de oscilacionessostenidas (note que en el método de oscilaciones sostenidas, hayque hacer oscilar al sistema, lo cual dependiendo del sistema, nosiempre es recomendable).

En el método de Harriot, inicialmente solo se tendrá la parte propor-cional, como se realiza en el método de oscilaciones. sostenidas.






El método consiste en excitar al sistema con una entrada tipo escalón,y la ganancia proporcional se hace variar hasta que la respuesta del

sistema tenga una relación de14

entre el primero y el segundo sobre-impulso. Cuando esto se logre, debe identificarse la ganancia aplicadaK0 y el periodo de la Oscilación T0.





Sintonización basada en Método de Harriot





Comentarios adicionales

La sintonización de PID’s basada en los métodos anteriores,generalmente producirá una respuesta sub-amortiguada de lossistemas de control resultantes.La sintonización da buenos valores iniciales para las gananciasde los controladores, sin embargo, una mejor respuesta delsistema se puede conseguir al variar los valores de las gananciasobtenidas mediante un procedimiento de prueba y error, hastaconseguir un desempeño satisfactorio del sistema de control.





Ejemplos:

Realizar la implementación y sintonización de un sistema de primerorden con retardo con un controlador PI.



Análisis de Error en Estado Estable“Tipo” de Sistemas de ControlError en Estado Estable

Determinación del “tipo” en un sistema de control

Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad deseguir entradas tipo escalón, rampa, parábola, etc.

Una clasificación usual que se hace para sistemas lineales, está enfunción del valor N 2 {0,1,2,3, ...} del exponente del polo puro parala siguiente función de transferencia:

G (s) = K(s+ z1)(s+ z2) · · ·(s+ zm)

sN (s+p1)(s+p2) · · ·(s+pn).

Así, por ejemplo, se dice que el sistema es de tipo cero si N = 0.Será de tipo 1 si N = 1, y así sucesivamente.




Análisis de error en estado estable

Para un sistema de control en lazo cerrado clásico (referencia-controlador-planta-retroalimentación unitaria), se tiene que el error esta dado por

E (s) =R(s)

1+G (s)C (s).

Entonces se puede realizar el error en estado estable para cualquierreferencia, planta o controlador que se desee analizar.

(En general la referencia es un escalón, una rampa o una parábola.el controlador puede ser un P,PI, PD, PID o algún otro lineal).

Posteriormente se puede utilizar el teorema del valor final para estu-diar el error en estado estable, como

ess = l«ımt!•

e(t) = l«ıms!0

s E (s).




Ejemplos de análisis de error en estado estable

Realizar análisis en estado estable para los siguientes casos:

1 Sistema de primer orden con un control P y una referenciaconstante.

2 Sistema de primer orden con un control PI y una referenciaconstante.

3 Sistema de primer orden con integrador (sistema “tipo 1”), uncontrol P y una referencia constante.

4 Sistema de primer orden con un control PI y una referenciarampa.

5 etc. ...


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