UniversidadJorgeTadeoLozanoCatedraMagistral: CalculoDiferencialGabriel VillalobosCamargo,AdelinaOca naGomez,MarioErnestoPerezRuiz,OrlandoAyaCorredor(Dated:21deenerode2015)Se presentaacontinuacionel libretoadesarrollar durante las clases magistrales de los grupos de CalculoDiferencial para el semestre I-2015. Se espera que se constituya en un documento de orientaci on y de construccioncontinuaqueapoyeel trabajodelos docentes queorientantantoel seminariomagistral comolas seciones detalleres.Sedalaorientaciondelostemasapresentarencadaunodelassecionesdetrabajo.CONTENTSI. Corte: Lmites, continuidadydeniciondederivada 2I.1. Clase1 21. Modelos:Lineal,Cuadratico 22. RepasodeFunciones 2I.2. Semana1-Clase2 31. Conceptodelmitegr acamente,limitesporlaizquierdayporladerecha 32. Conceptodelmitenumericamente 53. Conceptodelmitealgebraicamente. 54. Propiedadesdeloslmites 6I.3. Semana2-Clase3 61. Lmitesinnitosyalinnito 62. Limitesinnitos 63. Asntotasverticales 74. Lmitesenelinnito 85. Continuidad 8I.4. Semana3-Clase4 111. Tallerdesaladec omputo 112. Razondecambioinstant anea 113. Laderivadacomofunci on.Notaci ondeladerivada.Derivadasgracamente. 124. Funcionesno-diferenciables. 135. Derivadasporlaizquierdayporladerecha. 146. Lasfuncionesdiferenciablessoncontinuas 147. Reglasb asicasdederivaci on:derivadasdepolinomios. 148. Derivadadesumas,diferenciasymultiplicaci onporconstante. 14I.5. Semana4-PrimerExamenParcial. 15II. Corte: TecnicasdeDerivacion 15II.1. Semana5-Clase5 151. Regladelproducto 152. Regladelcociente. 163. Ordendelasoperaciones. 164. Aplicaci on:RegladelHospital. 16II.2. Semana6-Clase6 161. Regladelacadena 162. Derivadasdeordensuperior. 173. Derivadasdefuncionestrigonometricas. 17II.3. Semana7-Clase7 191. TallerdeGeogebra. 192. Derivadaimplcita. 193. Derivadadefuncionesinversas. 214. Derivadadefuncionesexponencialesylogartmicas. 21II.4. Semana8-Clase8 211. Aplicacionesdetasasdecambio 21II.5. Semana10-SegundoExamenParcial 21III. Corte: AplicacionesdelaDerivada 21III.1. Semana9-Clase9 211. C omoresolverunproblemadecalculo? 212. Aproximacioneslinealesydiferenciales. 213. Diferenciales 224. Estimaci on 22III.2. Semana11-Clase10 221. Tasasrelacionadas 22III.3. Semana12-Clase11 221. CostoMarginal.M aximosymnimos 222. TeoremasdeRolleyvalormedio. 22III.4. Semana13-Clase12 221. Comoafectaladerivadalaformadeunagraca 222. Criteriosdelaprimeraderivada:f233. Concavidad,trazadodecurvasycriteriodelasegundaderivada 234. TallerdeSaladec omputo 24III.5. Semana14-Clase13 241. Problemasdeoptimizacion 242. MetododeNewton 25III.6. Semana15-Clase14 251. Resoluci ondeproblemas 25TypesetbyREVTEXandAIP 1III.7. Semana16-ExamenFinal 25IV. Discusi on 25IV.1. Organizaci ondelslabo 25IV.2. Tecnicaspedagogicas 25Referencias 25I. CORTE: LIMITES, CONTINUIDADYDEFINICIONDEDERIVADAI.1. Clase11. Modelos: Lineal, CuadraticoTODO:Incluir2. RepasodeFuncionesUnafunci onf esunareglaqueasignaacadaelementodexdeunconjuntoDexactamenteunelemento, llamadof(x), deunconjuntoE. Sepuederepresentarunafunci onporlomenosdecuatroformasdiferentes: Tabla, expresionverbal,expresi onalgebraicaylagr aca.Desdelarepresentaci ongracadedebehacerenfasisenlas denominadas funcionesb asicasoelementalescuya repre-sentaci on graca realmente constituye en un esbozo o gracarapidadelamisma.Nuevasfuncionespuedenserobtenidasdesdelaselementalesatravesdetransmaciones. Si a, b, c, dsonn umerosrealespositivosentonces:y=f(x) + cdesplazalagracadefverticalmentehaciaarribacunidades.y=f(x) cdesplazalagracadefverticalmentehaciaabajocunidades.y= f(x+b) desplaza la gr aca de fhorizonalmentehacialaizquierdabunidades.y=f(x b)desplazalagr acadefverticalmentehaciaarribabunidades.y= af(x), con a > 0 alarga verticalmente la gracadefenunfactorigualaa.y= a f(x),con0 < a < 1contraeverticalmentelagracadefenunfactorigualaa.y=f(d x), con0f(x2)siemprequex1< x2enI.Un aspecto relevante para esbozar las funciones es reconocerel dominiodelasmismasyloscortesdelasfuncionesconlosejes. Esimportanterecordarquelasfuncionesllamadastrascendentes tempranas soncontinuas ensudominioyquedemaneragloblal, si lafuncionnoestarestringidaensudominio,setienelosiguiente:si fes polinomial entonces su dominio son los n ume-rosreales.si f esracional, esdecir delaformaf(x) =P(x)Q(x)entonces su dominio el conjunto formado por losn umerosrealestalesqueQ(x)noseanulo, estoesR (Q(x)) = 0.si f esexponencial, esdecirdelaformaf(x)=axcona>0entonces sudominioel conjuntodelosn umerosreales.sifeslogartmica,estoesf(x)=logaP(x),enton-cessudominioelconjuntoformadoporlosn umerosrealestalesqueP(x) > 0.Lasfuncionesf(x)=sin(x)yf(x)=cos(x)tienenpordominiolosn umerosreales.2Las funciones f(x) = tan(x) y f(x) = sec(x), tienencomodominioalosrealesdiferentesa2+n paracualquierenteronLas funciones f(x) =cot(x) yf(x) =csc(x), tie-nencomodominioalosrealesdiferentesan paracualquierenteronI.2. Semana1-Clase21. Conceptodelmitegracamente, limitesporlaizquierdayporladerechaxy1 2123451 4 5 6154323 34 567ecb adgFigura1. Enrojo,lafuncionf(x).Loscrculoscerradoscorres-pondenal valor delafunci onenel punto. Nos interesadeter-minar latendenciadelafuncionparadiferentes valores de x,marcadosenverdecomoa= 2,b= 2,7,c= 6,d=0,e=2yg=5.Pensemos primero enla siguiente pregunta: C omo secomporta la funcionf(x), denida enla [Fig. 1], cuandonos acercamos alos valores de x: dados por a= 2,b =2,7,c = 6,d=0,e =2yg =5?Tomemos primeroelvalorx=e=2. Delagracapodemosverquecuandoxesmayorque2, digamosporejemplox=2,01, lafunciontomaunvalormuycercanoa1.Amedidaquexseacercaa2, tomandovaloresmayoresque2el valordelafuncionseacercaa1.Ensmbolosmatem aticosestoseescribecomo:lmx2+f(x) = 1, (1)dondeel smbolo+encimadel 2signicaqueestamostomandovalores cercanos a2, peromayores que 2. Oenotraspalabras,nosacercamosa2porladerecha.Lmiteporladerechadeunafunci on: El lmitedelafuncionf(x)cuandoxseacercaac, convaloresmayores ac, Es el n umero al cual tiende lafuncioncuando los valores de x se acercan a c, pero son mayoresquec.Sesimbolizacomo:lmxc+f(x) = L (2)Que podemos decir de lmite por la derecha de la funcionenelpuntod = 0?PreguntaporClicker:Aque valor tiende la fun-cionfcuandoxseacercaa0porladerecha?Esdecir,cuantovaleel:lmx0+ f(x)(Ayuda,pienseencuantovalefenx = 0,01)A. 0B. 2C. -2D. NoexisteLa respuesta correcta es 2. A medida que la variable in-dependiente, x, se acerca a 0 por la derecha (tomando valoresmayoresa0),lafunci onseacercaalvalorde 2.Veamos algunos casos un poco mas interesantes. Porejemplo, que podemos decir de lmite por la derecha delafuncionenelpuntog= 5?PreguntaporClicker:Aque valor tiende la fun-cionfcuandoxseacercaa5porladerecha?Esdecir,cuantovaleel:lmx5+ f(x)(Ayuda,pienseencuantovalefenx = 5,01)A. 1B. 2C. 0D. NoexisteMirandolagracapodemosverquecuandolavariableindependiente, x, vale5,5, lafunci onvale3. Amedidaquenosacercamosa5,convaloresmayoresque5,delafunciontomavalorescadavezmascercanosa2. Entoncesdecimos3esevalor.f(x) x [A, B]lmxAf(x) = lmxA+f(x)lmxBf(x) = lmxBf(x)2. ConceptodelmitenumericamenteLa funcion que vimos anteriormente estaba denida gra-camente;sinembargolamayoradelasfuncionessondeni-dasdemaneraanaltica.Pensemosenlasiguientefuncion:f(x) =x2+ 9 5x + 4(20)El dominiodeunafuncionsonlosvaloresdexparaloscualeslafuncionest adenida.Estaesunafuncionracionales decir una division entre un numerador y un denominador,que sona suvez funiones. Sudominio consiste entodoslos n umeros reales que hacenel denominador diferente acero. Entonces, el dominiodef(x)es(, 4) (4, ).Quepasacuandolavariableindependienteseacercaa 4?Nopodemos reemplazar, obtenemos unaindeterminacion.Enestecasosepuedeaproximarel valordel lmiteusandounatabladedatos.Figura3. lmiteestimadoportablaygracaLatabladedatos nos sugiere, enestecaso, queel va-lor del lmiteeslmx4x2+95x+4= 0,8. Masadelanteaprenderemosformasmasexactasparacalcularloslmites.Ejercicio:Paralaproximasesiondetaller, usandolafuncion:f(x) =15 1xx4625llenelasiguientetabla:x f(x)-6-5.5-5.1-5.01-4.99-4.9-4.5-4-0.5-0.1-0.010.010.10.5144.54.94.995.015.15.56Guiandoseenlospuntos, dibujeunesquemadelafuncion.3. Conceptodelmitealgebraicamente.FormasIndeterminadas:Dadaunafunci onf(x),existen algunos valores de la variable indepen-diente que, al calcular directamente, llevan a lasexpresiones:00,, , 0 , 00, 0, o 1. Inde-terminadosignicaquenosesabetodavacual valortieneel lmite. Enloquesigueaprenderemosestrate-gias para saberlo. Puede que las formas indeterminadastenganenel lmiteunvalor, opuedequelaexpresi ontiendaainnitooquenoestedenida.Enlamayoradeloscasosinteresantescalcularemosloslmites de las funciones enlos puntos que correspondena5singularidades. Una forma de evaluar el valor del lmite es elprocesoalgebr aico.Seaf(X)unafuncion,ysupongamosquequeremosave-riguarellmxc f(x).Sialsubstituirdirectamenteelvalor,es decir, al calcular f(c) se obtiene una forma indeterminada00,, entoncessepuedeintentarhallarel valorutilizandoel algebra. Esdecir, seintentafactorizar, yracionalizarlafuncionf(x),buscandounaexpresionequivalenteenlaqueseaclaroelvalordelafuncion.TODO:Incluirunejemplo.4. PropiedadesdeloslmitesAntes depresentar otros procesos decalculodelmitesdebemosabordarlaspropiedadesdeloslmites.Sea k una constante y f y g funciones tales quelmxa f(x) =Lylmxa g(x) =M, es decir los lmitesexisten.Entonces:A. lmxa[f(x) + g(x)] =lmxa f(x) + lmxa g(x)estoesellmitedeunasumaeslasumadeloslmi-tes.B. lmxa[f(x)g(x)] = lmxa f(x)lmxa g(x) esdecirqueellmitedeunadiferenciaesladiferenciadeloslmites.C. lmxa[k f(x)] =k lmxa f(x). El lmite deunaconstanteporunafuncioneslaconstanteporellmitedelafunci on.D. lmxa[f(x)g(x)] = lmxa f(x)lmxa g(x). Ellmitedeunproductoeselproductodeloslmites.E. lmxaf(x)g(x)=lmxa f(x)lmxa g(x), si lmxa g(x) =0.Ellmitedeuncocienteeselcocientedeloslmitessiempreycuandoel lmitedel denominadornoseacero.F. lmxa[f(x)]n=[lmxa f(x)]ndondenesunen-teropositivo.Ellmitedelapotenciaenterapositi-vadeunafuncioneslapotenciaenterapositivadellmitedelafuncion.Unaspectorelevanteavolveradestacaresqueellmitedeunafuncioncuandox apuedeexistirono,perosiexistedebeocurrirque:lmxa+f(x) = lmxaf(x).Tarea1:A. Repaso: Calculo de Stewart p agina 87 a pagina92(partedelaseccion2.2);Paginas99a106(Seccion2.3).B. Ejerciciosseccion2.2: 1, 3, 4, 7, 9, 10, 1114,16,17,20,23y26.C. Ejercicios secci on2.3: 1, 2, 5, 8, 10, 11al 32(pares), 35, 37, 38, 42, 45, 48, 49, 50, 51, 57y58.D. Preparacionpara la siguiente magistral: Ste-wartpaginas93a95(partedelaseccion2.2),p aginas115y116(Lmitesinnitos,partedelasecci on2.4)paginas118a127(seccion2.5).I.3. Semana2-Clase31. Lmitesinnitosyal innitoEnlasclasesanterioresintrodujimoselconceptodelmi-te. Dijimos que, dada una funci onf(x) yunpunto c ensudominio(lasx), decirqueel lmitecuandox adef(x) es igual a L es equivalente a decir que el valor de f(x) sepuede hacer tan cercano a L como se quiera tomando valoresdexqueestencercadeacomosequiera. Losimbolizamoscomo:lmxaf(x) = LNota1:Esimportanterecordarqueellmitenonecesa-riamenteesigualalvalordelafuncionenesepunto.Dichodeotramanera, paracalcularel lmitenoesnecesariosa-bercuantovalelafuncionenelpunto, unicamentec omosecomportalafuncioncercaal punto.Tambienmencionamosalgunoscasosparaloscualesloslmitesnonecesariamenteexisten,porejemploelcasodelafuncionf(x) = |x|/xenx = 0.Enesecasoexistentantoellmiteporlaizquierdacomoellmiteporladerecha,perosondistintos.2. Limitesinnitos(Stewart,secci on2.2pagina93yseccion2.4p agina115)Si pensamos en la funcion f(x) = 1/x2. Podemos estimarestelmitecuandox 0numericamenteconstruyendola6