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3 FUNCIONES POLINÓMICAS I

CONTENIDOS

❚ Funciones de fórmula ƒ(x) = x n

❚ Raíces y ordenada al origen

❚ Conjuntos de positividad y de

negatividad

❚ Análisis de la paridad

❚ Crecimiento

❚ Transformaciones de gráficas

Problema 1Al hacer un corte en la mitad de cada cara de un cubo, éste queda dividido en 8

cubitos iguales. Si se efectúan 2 cortes por cara, todos a la misma distancia, como

muestra el segundo dibujo, ¿en cuántos cubitos queda dividido? ¿Cuántos cubitos se

obtienen si se hacen 5 cortes en cada cara? ¿Cuál es la fórmula que permite encontrar

la cantidad de cubitos obtenidos al hacer n cortes en cada cara?

Un corte en cada cara Dos cortes en cada cara

máximo exponente igual a dos.

Existe otro tipo de funciones que

permiten estudiar situaciones

cuyas fórmulas pueden incluir

exponentes naturales de la variable

superiores a dos.

El análisis de esta clase de

funciones permite resolver

diferentes situaciones.

Así como las funciones lineales

permiten describir procesos de

crecimiento o decrecimiento

uniforme, las funciones

cuadráticas facilitan la

modelización de fenómenos que

pueden representarse mediante

fórmulas con exponentes

naturales de la variable y su

M: 10826 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10826 C1

62 Capítulo 3. Funciones polinómicas I.

Artes Gráficas Rioplatense S.A. • Preprensa Tacuarí 1850 - Cap. Fed. - C1139AAN - Tel: 4307-3991 - Fax: 4307-7123

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NIP: 222503 - Pág.: 62 - MAT

*0000-222503-62-MAT-9*

Cuando se hace un corte en cada cara quedan 2 cubitos por lado y 2 3 = 8 cubitos en total;

al hacer 2 cortes en cada cara quedan 3 cubitos por lado y 3 3 = 27 cubitos en total, y si se

hacen 5 cortes, hay 6 cubitos por lado y 6 3 = 216 cubitos en total.

Los datos anteriores pueden volcarse en una tabla para facilitar la generalización del proceso.

En esta situación, n es un número natural porque representa la cantidad de cortes por

lado. Es posible definir entonces, una función que da la cantidad total de cubitos a partir

de la cantidad de cortes por lado.

ƒ: ¥ → ¥ / ƒ(n) = (n + 1) 3

También se puede considerar la función definida en el máximo dominio posible, más

allá de la situación planteada, es decir, en el conjunto de los números reales. Además,

como la cantidad de cubitos por lado es siempre uno más que la cantidad de cortes, se

puede definir otra función en términos de la cantidad de cubitos por lado. Entonces, si x

es la cantidad de cubitos por lado, esa nueva función es g : ¡ → ¡ / g(x) = x 3 .

e

Cortes en cada sentido Cubitos por lado Cubitos en total

1 2 2 3 = 8

2 3 3 3 = 27

3 4 4 3 = 64

5 6 6 3 = 216

... ... ...

n n + 1 (n + 1) 3 Si en un cubo se hacen n

cortes en cada cara, éste

queda dividido en n + 1 cubitos

por lado y en (n + 1) 3 cubitos en

total.

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Funciones de fórmula ƒ(x)= x n

Para conocer las características de funciones como, por ejemplo, g : ¡ → ¡/g(x) = x 3 , y

trazar su gráfica, se puede hacer un análisis semejante al realizado en el capítulo anterior.

En principio, se puede asegurar que la gráfica de g no es una recta porque su fórmula

no corresponde a la de una función lineal y, por lo tanto, es una curva. Para saber qué

forma tiene esa curva, es necesario realizar un estudio más profundo.

Análisis de la función de fórmula g(x) = x 3

Una manera de analizar la función g y obtener características de su gráfica es hallar

las raíces, la ordenada al origen, los conjuntos de negatividad y de positividad, y estu-

diar la paridad y el crecimiento.

Raíces y ordenada al origen

Conjuntos de positividad y de negatividadDebido a que el exponente de x es 3, que es un número impar, x 3 es positivo si x es un

número positivo, y es negativo si x es negativo; por lo tanto, la función g toma valores

positivos para x > 0 y valores negativos, para x < 0. Dicho de otra manera, su conjunto de

positividad es el intervalo (0 ; +∞) y su conjunto de negatividad es el intervalo (–∞ ; 0).

Ésta es una diferencia con la gráfica de una función cuadrática, ya que las parábolas son simé-

tricas respecto de alguna recta vertical y no pueden ocupar solo el primer y el tercer cuadrante.

La gráfica de la función de fórmula g(x) = x 3 contiene

al origen de coordenadas.

El conjunto de positividad

de la función de fórmula

g(x) = x 3 es C + = (0 ; +∞) y su

conjunto de negatividad es

C – = (–∞ ; 0).

ƒ

El único número que elevado al

cubo da 0, es 0; por lo tanto, la

función de fórmula g(x) = x 3 tie-

ne una sola raíz, x = 0, y su orde-

nada al origen, también es 0.

Entonces, la gráfica de la fun-

ción g contiene al punto (0 ; 0).

Para valores positivos de x, la gráfica

de g está por encima del eje horizon-

tal (primer cuadrante) y para valores

negativos, está por debajo (tercer

cuadrante).

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NIP: 222503 - Pág.: 64 - MAT

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Análisis de la paridadSi se elevan al cubo un número y su opuesto se obtienen resultados opuestos, es decir,

iguales en valor absoluto pero con signos diferentes. Por ejemplo:

Ésta es otra diferencia con las funciones cuadráticas, en las que nunca dos números

opuestos tienen imágenes opuestas.

CrecimientoA medida que se consideran valores de x cada vez mayores, también se obtienen valo-

res de x 3 cada vez mayores, sin que exista un valor máximo ni uno mínimo. Por lo tanto, la

función es creciente en todo su dominio.

La funcióng : ¡ → ¡ / g(x) = x 3 es

creciente en todo su dominio.

aACTIVIDADES1. ¿En qué se diferencian las gráficas de las funciones

ƒ : ¥ → ¥ / ƒ(x) = x 3 y ƒ 1 : ¡ → ¡ / ƒ 1 (x) = x 3 ?

2. Indiquen las características de la gráfica de la función

g : ¡ → ¡ / g(x) = 2 x 3 . Verifíquenlas.

A partir de las características de

la función g que se analizaron, se

obtiene la gráfica de la derecha.

g(x) = x 3

M: 10826 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

x x 3

2 2 3 = 8

–2 (–2) 3 = –8

3 3 3 = 27

–3 (–3) 3 = –27

Además, para cualquier número

real x que se elija, siempre suce-

de que (–x) 3 = – x 3 . Entonces, todos los elementos

opuestos del dominio tienen

imágenes opuestas.

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El análisis precedente permite apreciar que la gráfica de la función

g : ¡ → ¡ / g(x) = x 3

es diferente de una parábola. Puede pensarse entonces que la variación del exponente de

la variable produce variaciones en la gráfica. Una manera de determinar si esto es cierto,

es cambiar el exponente de x por otro número natural y ver qué ocurre. Por ejemplo, se

pueden analizar las funciones j : ¡ → ¡ / j(x) = x 5 y h : ¡ → ¡ / h(x) = x 4 .

Análisis de la función de fórmula j(x) = x 5

Raíces Como el único número que elevado a la quinta potencia da cero es cero, la única raíz

de j es x = 0, y la ordenada al origen también es 0.

Conjuntos de positividad y de negatividad Debido al exponente impar, x 5 es positivo si x es un número positivo, y es negativo si

x es negativo; por lo tanto, la función j toma valores positivos para x > 0 y valores nega-

tivos para x < 0. Dicho de otra manera:

Conjunto de positividad: C + = (0 ; +∞)

Conjunto de negatividad: C – = (–∞ ; 0)

En este aspecto, la función j se comporta igual que la función de fórmula g(x) = x 3 y

que cualquier otra de fórmula semejante y con exponente impar.

Análisis de la paridadDe igual modo a lo que ocurre con g(x) = x 3 , si se toma un par de números opuestos

cualesquiera y se los eleva a la quinta potencia, se obtienen resultados opuestos. Es decir,

para cualquier valor de x, se verifica que:

(–x) 5 = – x 5

Como todos los elementos opuestos del dominio de j tienen imágenes opuestas, j es

una función impar.

Es útil saber cuando una función es impar, porque conocer la imagen de un elemento

del dominio permite conocer la imagen de su opuesto, sin tener que hallarla mediante la

fórmula. Por ejemplo, para el caso de la función j, como la imagen de 4 es 4 5 = 1024, es

posible saber que la imagen de –4 es –1024, sin necesidad de hacer la cuenta.

El razonamiento anterior es posible debido a que el exponente es un número impar.

Análisis del crecimientoA medida que se consideran valores de x cada vez mayores, también se obtienen valo-

res de x 5 cada vez mayores, sin que exista un valor máximo ni uno mínimo. Por lo tanto,

la función es creciente en todo su dominio.

Lo mismo se puede decir de cualquier función cuya fórmula sea semejante y con expo-

nente impar.

Las gráficas de todas las funciones del tipo

ƒ: ¡ →¡ / ƒ(x) = x n ,con n ∊ ¥, contienen al origen de coordenadas.

Una función es impar cuando las imágenes de

cualquier número y de su opuesto son opuestas entre sí.Por ejemplo, la función ƒ : ¡ → ¡ / ƒ(x) = x 3 es impar porque ƒ(x) = x 3 y ƒ(–x) = (–x) 3 = – x 3 .

Si f : ¡ → ¡ / f (x) = x n con n ∊ ¥, impar, se tiene:

C + = (0 ; +∞) y C – = (–∞ ; 0).

Si f : ¡ → ¡ / ƒ (x) = x n con n ∊ ¥, impar, entonces f es

creciente en todo su dominio.

M: 10826 C1: 20565 C2: 10603 C3: 10000 C4: 10000 M: 10826




NIP: 222503 - Pág.: 66 - MAT

*0000-222503-66-MAT-9*

A partir de las características de la función j: ¡ → ¡ / j(x) = x 5 analizadas, se obtiene

la siguiente gráfica

Del análisis de las funciones de fórmula g(x) = x 3 y j(x) = x 5 resulta que sus caracte-

rísticas son las mismas y sus gráficas son similares. La diferencia entre ellas surge por-

que, aunque ambas funciones son crecientes, no crecen de la misma manera.

En el siguiente gráfico pueden verse algunas diferencias.

Análisis de la función de fórmula h(x) = x 4 Raíces

La única raíz de esta función es x = 0. Éste es el único número que tiene una potencia

que es igual a cero.

Conjuntos de positividad y de negatividadLa función h nunca es negativa, ya que el resultado de elevar un número a la cuarta potencia

es siempre positivo o cero. Esto se cumple siempre que el exponente es un número par.

Por lo tanto, el conjunto de positividad de h es ¡ – {0}, mientras que el conjunto de

negatividad es ø, ya que ningún elemento del dominio tiene una imagen negativa.

Las funciones del tipo ƒ: ¡ → ¡ / ƒ(x) = x n ,

con n ∊ ¥ e impar, son impares, por lo cual sus gráficas son simétricas respecto del origen de coordenadas.

g(x) = x 3 j(x) = x 5

Ambas funciones son iguales para

x = 1 y x = –1, porque 1 3 = 1 5 = 1 y

(–1) 3 = (–1) 5 = –1. Para valores de

x mayores que 1 o menores que –1

la función j crece más rápidamente

que la función g. Pues para un mis-

mo valor de x, x 5 es mayor en valor

absoluto que x 3 .

Sin embargo, para valores de x en-

tre –1 y 1, la función g toma valo-

res mayores en valor absoluto que

la función j. Por ejemplo,

( 1 __ 2 ) 3 = 1 __ 8 , ( 1 __ 2 ) 5 = 1 ___ 32 y 1 ___ 32 < 1 __ 8 .

j: ¡ → ¡ / j(x) = x 5

Si ƒ : ¡ → ¡ / ƒ (x) = x n con n ∊ ¥ y par entonces:

C + = ¡ – {0}

C – = ø

M: 10826 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NIP: 222503 - Pág.: 67 - MAT

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Análisis de la paridadSi se toman dos números opuestos y se los eleva a la cuarta potencia, se obtiene el

mismo resultado. Como esto sucede para cualquier par de números opuestos, se puede

decir que (–x) 4 = x 4 , o sea que todo número y su opuesto tienen la misma imagen. Es por

esto que h(x) es una función par.

Resulta útil saber si una función es par, porque si se sabe cuánto vale la imagen de un ele-

mento del dominio, se conoce la imagen de su opuesto. Por ejemplo, como la imagen de 3 es

3 4 = 81, se puede afirmar que la imagen de –3 también es 81, sin necesidad de hacer la cuenta.

Lo que se acaba de describir es cierto debido a que el exponente es un número par.

Todo esto permite afirmar que las funciones de fórmula h(x) = x n , con n par, son simé-

tricas respecto del eje de ordenadas, al igual que la función de fórmula ƒ(x) = x 2 .

Análisis del crecimientoSe ha determinado que la función h(x) siempre toma valores mayores o iguales que

cero. Es decir que el mínimo valor posible es 0. Además, a medida que aumenta el valor

absoluto de x, también lo hace el valor de su imagen, x 4 .

Si pensamos en valores positivos de x, podemos ver que a medida que aumentan,

aumentan también sus imágenes, sin llegar a un valor máximo. Es decir que h(x) = x 4 es

una función creciente para valores positivos de x.

En el caso de valores negativos de x, a medida que aumentan (y disminuyen en valor

absoluto), sus imágenes decrecen, siendo cero el valor mínimo que toman. Por lo tanto,

h(x) es una función decreciente para valores negativos de x. A medida que x disminuye,

los valores de sus imágenes aumentan, sin llegar a un valor máximo.

En conclusión, la función h decrece en el intervalo (–∞ ; 0) y crece en (0 ; +∞). Esto

sucede siempre que el exponente es un número par.

Al comparar la gráfica de h(x) = x 4 con t(x) = x 2 :

Comparando todas las gráficas de las funciones analizadas se puede observar que si el

exponente es par, tienen una forma similar a la de una parábola, al igual que las funciones

cuadráticas que se desarrollaron en el capítulo anterior. Si el exponente es impar, la gráfi-

ca tiene forma similar al de la función cúbica.

Si para una función se cumple que las imágenes

de todo número y su opuesto son iguales entre sí, entonces la función se llama par.Por ejemplo, la función h: ¡ → ¡ / h(x) = x 4 es par porque h(–x) = (–x) 4 = x 4 = h(x)

Las funciones del tipo

ƒ: ¡ → ¡ / ƒ(x)= x n (con n

natural y par) son pares, por lo cual

sus gráficas son simétricas respecto

del eje de ordenadas.

3. Indiquen las características de las gráficas de la función

m : ¡ → ¡ / m(x) = x 24 y de la función n : ¡ → ¡ / n(x) = x 151 .

¿A qué gráficas que se presentaron hasta ahora en este capítulo

se parecen?

4. ¿Cómo es la gráfica de p : ¡ → ¡ / p(x) = – x 3 ? ¿Y la de la función

q : ¡ → ¡ / q(x) = – x 4 + 16?

5. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las gráficas de las funciones

g : ¡ → ¡ / g(x) = x 3 y h : ¡ → ¡ / h(x) = x 4 ?

aACTIVIDADES

Puede apreciarse que para valores de

x mayores que 1 o menores que – 1,

x 4 toma valores mayores que x 2 pero

para valores de x entre – 1 y 1, x 4 toma

valores menores que x 2 .

Además en x = 1 y x = – 1 tanto h(x)

como t(x) valen 1.

h(x) = x 4 t(x) = x 2

M: 10603 C1: 10000 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10826 C1




NIP: 222503 - Pág.: 68 - MAT

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s

Transformaciones de gráficas y fórmulas

Problema 2Transformar la fórmula de ƒ(x) = x 3 de manera tal que se obtenga una función cuya

única raíz sea –1.

La función de fórmula ƒ(x) = x 3 tiene una sola raíz, x = 0, como ya se ha analizado, y

además ƒ(–1) = (–1) 3 = –1. Por lo tanto, para que la imagen de –1 sea 0 en lugar de –1, se

le puede sumar 1 a la fórmula de función ƒ.

Entonces, la función ƒ 1 : ¡ → ¡ / ƒ 1 (x) = x 3 + 1 tiene como única raíz x = –1. Para veri-

ficarlo se resuelve la ecuación x 3 + 1 = 0, cuya única solución es x = –1.

La gráfica de la función ƒ 1 se obtiene desplazando la de ƒ una unidad hacia arriba.

Es posible pensar este problema de otra manera. Para obtener 0 como resultado al reem-

plazar x por –1 y elevar al cubo, la función puede tener como fórmula ƒ 2 (x) = (x + 1) 3 .

La gráfica de la función ƒ 2 se obtiene desplazando la de ƒ una unidad hacia la izquierda.

Las dos funciones que se han obtenido son diferentes, ya que sus gráficas provienen

de distintos desplazamientos de la misma función. No son iguales para todos los valores

de x, pero pueden ser iguales para algún o algunos valores en particular. Para obtener los

valores de x para los que ƒ 1 (x) = ƒ 2 (x), conviene proceder así.

(x + 1) 3 = x 3 + 1 Se igualan las funciones ƒ 1 (x) y ƒ 2 (x).

x 3 + 3x 2 + 3x + 1 = x 3 + 1 Se desarrolla la potencia del primer miembro y se cancela.

3x 2 + 3x = 0 Se obtiene una ecuación de segundo grado.

3x . (x + 1) = 0 Se saca factor común.

x = 0 o x = –1Las soluciones de la ecuación indican que 0 y –1 son los únicos valores de x para los que ƒ 1 y ƒ 2 son iguales.

El desarrollo anterior es una comprobación de que la potenciación no es distributiva

con respecto a la suma. Es decir, x 3 + 1 y (x + 1) 3 no son expresiones equivalentes ya

que son iguales solo para dos valores, x = 0 y x = –1, y dos expresiones son equivalentes

cuando son iguales para todos los números.

Las gráficas de las funciones ƒ 1 y ƒ 2 confirman este hecho.

ƒ 1 (x) = x 3 +1

ƒ 2 (x)= (x +1) 3

La gráfica de la función

ƒ 1 : ¡ → ¡ / ƒ 1 (x) = x n + k,

k ∊ ¡ se obtiene desplazando a la función ƒ: ¡ → ¡ / ƒ(x)= x n , k unidades hacia arriba si k es positivo o ⎮k⎮ unidades hacia abajo si k es negativo.

M: 10603 C1: 10000 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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Problema 3Comparar las gráficas de las funciones polinómicas f(x) = x n y g(x) = k x n , donde k es

un número real no nulo.

Como g(x) = k x n y f(x) = x n , es posible escribir a la fórmula de la función g(x) como

g(x) = k . f(x). Esta escritura indica que la imagen de un valor x a través de la función g se obtie-

ne multiplicando su imagen en f por el número k. Es así que sus gráficas estarán relacionadas.

Según cuál sea el valor de k, la gráfica de g(x) sufrirá distintas transformaciones con

respecto a la de f(x).

Por ejemplo, si k es un número mayor que 1, las imágenes a través de g conservarán el

mismo signo que las imágenes según f y serán mayores en valor absoluto.

Por ejemplo, si se considera la función g(x) = 3 x 3 , para cada valor de x su imagen se obten-

drá de multiplicar por 3 al resultado de x 3 , es decir que la imagen por g estará 3 veces más alta

que la imagen por f. En el siguiente sistema de coordenadas se muestran ambos gráficos.

Si k es un número negativo, las imágenes a través de la función g tienen signos opues-

tos a las que se obtienen a través de la función f.

Por ejemplo, si g(x) = –1 x 4 , y comparamos su gráfica con f(x) = x 4.

Dadas las funciones f (x) = x n y g(x) = k x n , donde k es un

número real no nulo y mayor que 1, la función g crece más rápidamente que la función f. Su gráfica tiene la misma forma que la de f pero está más “pegada” al eje de las ordenadas.

f (x) = x n y g(x) = k x n , donde k = –1, las gráficas son

simétricas respecto del eje x.

La función g crece más rápidamente

que f, por lo cual su gráfica se en-

cuentra más “pegada” al eje de las

ordenadas.

Los valores que toman las imáge-

nes por g son los opuestos a los

que toma por f. El gráfico de g(x)

es simétrico respecto al eje x con

el gráfico de f(x).

6. Grafiquen las funciones y determinen en cada caso la imagen. a. f (x) = 2 x 4 b. g(x) = –1 x 3 aACTIVIDADES

f (x) = x 3

g(x)= 3 x 3

f(x) = x 4

g(x) = –1 x 4

M: 10603 C1: 10000 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10826 C1




NIP: 222503 - Pág.: 70 - MAT

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Si se considera la función g(x) = –4 x 4 y se la compara con f(x) = x 4 .

¿Qué sucede si el valor absoluto de k es menor que 1?

Se sabe que al multiplicar un número a por otro de valor absoluto menor que 1, se

obtiene un resultado menor que a, en valor absoluto. El signo del resultado será igual al

de a si k es positivo y opuesto si k es negativo.

Es esperable, entonces, que al multiplicar una función por un número con valor abso-

luto menor que 1, crezca más lentamente que la función original.

Al comparar en un mismo gráfico las funciones, f(x) = x 4 , g(x) = 1 __ 4 x 4 y h(x) = – 1 ___ 16 x 4,

se ilustra lo que se dijo previamente.

Problema 4A partir de desplazamientos de la función f(x) = x 4 , graficar la función

g(x) = – 1 __ 2 . (x–2) 4 + 1

Una manera de hacer la gráfica de la función g(x) es desplazarla por partes, analizando

Dos cuestiones diferencian las grá-

ficas:

❚ al cambiar de signo las imágenes,

el gráfico se vuelve simétrico res-

pecto del eje de abscisas.

❚ como además la fórmula está mul-

tiplicada por –4, su crecimiento,

en valor absoluto, será más rápido

que el de la función f. Es por esto

que la gráfica se “pega” más al eje

de las ordenadas.f(x) = x 4 g(x) = –4 x 4

A partir de los gráficos puede verse

que al multiplicar por un número

con valor absoluto menor que 1, su

gráfica se “aplasta” más, crece de

manera más lenta. Cuanto menor

sea el valor absoluto de k el gráfico

quedará más cerca del eje x.

f(x) = x 4

g(x) = 1 __ 4 x 4

h(x) = – 1 ___ 16 x 4

Si f(x) = x n y g(x) = k x n con k menor que –1, la

gráfica tiene la misma forma que la de f, es simétrica respecto del eje de abscisas y su crecimiento o decrecimiento es más rápido. Debido a esto, su gráfica está más “pegada” al eje de ordenadas.

Si f(x) = x n y g(x) = k x n con el valor de k entre –1 y 1, la

función g(x) crece más lentamente y su gráfica estará más “aplastada” respecto de la de f(x).

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NIP: 222503 - Pág.: 71 - MAT

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Cálculo Desplazamiento respecto de f(x) = x 4

(x – 2) 4 2 unidades hacia la derecha.

1 __ 2 . (x – 2) 4 Se reducen las imágenes a la mitad.

– 1 __ 2 . (x – 2) 4 El signo negativo, invierte el gráfico respecto del eje x.

– 1 __ 2 . (x – 2) 4 + 1 El gráfico sube una unidad.

f 1 (x) = (x – 2) 4

f(x) = x 4

En la siguiente serie de gráficos

se muestran los desplazamientos

que sufre el gráfico de f(x) hasta

llegar al gráfico de g(x):

f 2 (x) = 1 __ 2 (x – 2) 4

cada uno de dichos desplazamientos. Sin embargo este método requiere de ciertos cuidados, ya

que hay que tener en cuenta el orden de los desplazamientos para obtener una gráfica correcta.

¿Qué cálculos se hacen con el valor de x?

En el siguiente cuadro se muestran los cálculos y el desplazamiento que produce cada

uno:

Se corre 2 unidades hacia la

derecha.

Se reducen las imágenes a la mitad

M: 10603 C1: 10000 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M:




NIP: 222503 - Pág.: 72 - MAT

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Se invierte el gráfico respecto del

eje x.

Se sube una unidad.

Las funciones analizadas, hasta ahora, en este capítulo fueron:

g 1 (x) = x 3 ; g 2 (x) = x 4 ; g 3 (x) = x 5 ; g 4 (x) = x 24 ; g 5 (x) = x 151 ; g 6 (x) = (x + 1) 3 ;

g 7 (x) = x 3 + 1 ; g 8 (x) = 3x 3 ; g 9 (x) = –4 x 4 ; g 10 (x) = 1 __ 4 x 4 ; g 11 (x) = – 1 ___ 16 x 4 ;

g 12 (x) = – 1 __ 2 . (x – 2) 4 + 1

Todas ellas son sumas o restas de funciones cuya fórmula es f(x) = k x n , con n un

número natural y k un número real cualquiera distinto de cero. Las funciones cuyas fórmu-

las responden a este modelo se llaman funciones polinómicas.

Para cada una de ellas varía, entre otras cosas, el valor del mayor exponente de la

variable x. Ese número recibe el nombre de grado de la función polinómica.

Así, podemos decir que las funciones:

g 1 ; g 6 ; g 7 y g 8 tienen grado 3;

g 2 ; g 9 ; g 10 ; g 11 y g 12 tienen grado 4;

g 3 tiene grado 5, g 4 tiene grado 24; g 5 tiene grado 151.

f 3 (x) = – 1 __ 2 (x – 2) 4

g(x) = – 1 __ 2 . (x – 2) 4 + 1

7. Grafiquen la función de fórmula g(x) = –3 . (x + 2) 3 – 4 a partir de

desplazamientos de f (x) = x 3 .

8. La gráfica de una función h(x) se obtiene a partir de desplazamientos

de f(x) = x 5 . Si se ha corrido 2 unidades para la izquierda, la gráfica es

decreciente y ha subido 2 unidades. ¿Cuál es su fórmula? ¿Hay una

única función que verifica las condiciones pedidas?

aACTIVIDADES

Para realizar desplazamientos al gráfico

de una función en diferentes pasos, es necesario tener en cuenta el orden de las operaciones. Este coincide con el orden de los desplazamientos.

Se llama función

polinómica a toda combinación de sumas y restas de funciones de fórmula f(x) = k x n , siendo n un número natural y k un número real.El mayor exponente de la variable con k ≠ 0 se llama grado de la función polinómica.La única función que no tiene grado es f (x) = 0.

M: 10603 C1: 10000 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

73



NIP: 222503 - Pág.: 73 - MAT

*0000-222503-73-MAT-9*

Problema 5Graficar la función t : ¡ → ¡ / t(x) = – x 3 + 4x.

Como en los casos anteriores, para obtener más datos acerca de esta función es posi-

ble hacer un análisis de algunos de sus elementos.

RaícesPara obtener las raíces de f se puede proceder así.

Esta función tiene tres raíces; por lo tanto, corta al eje de las abscisas en los puntos

(0 ; 0), (2 ; 0) y (–2 ; 0).

Conjuntos de positividad y negatividad Para analizar para qué valores de x la función es positiva y para cuáles es negativa es útil

considerar su expresión factoreada, es decir, escrita como un producto.

t(x) = x ( –x 2 + 4)

Para que un producto de dos factores sea positivo ambos tienen que tener igual signo.

En este caso, x y – x 2 + 4 son los dos positivos o los dos negativos:

Por lo tanto, el conjunto de positividad de la función analizada es:

C + = (–∞ ; –2) ∪ (0 ; 2)

Como el dominio de esta función está compuesto por todos los números reales, el con-

junto de negatividad estará formado por aquellos números que no estén en el conjunto de

positividad y que no sean raíces. En este caso, C – = (–2 ; 0) ∪ (2 ; +∞).

Se puede volcar toda esta información en un sistema de ejes de la siguiente manera:

– x 3 + 4x = 0 Se iguala la fórmula de la función a cero.

x (– x 2 + 4) = 0 Se extrae el factor común x.

x = 0 o – x 2 + 4 = 0 Un producto es cero cuando alguno de sus factores es cero.

x = 0 o x 2 = 4 Se resuelve la ecuación cuadrática.

x = 0 o x = 2 o x = –2

Se obtienen las tres soluciones de la ecuación original.

x > 0 y – x 2 + 4 > 0 o x < 0 y – x 2 + 4 < 0

x > 0 y x 2 < 4 o x < 0 y x 2 > 4

x > 0 y – 2 < x < 2 o x < 0 y x > 2 o x < – 2

o

(0 ; 2) o (–∞ ; –2)

(////////)(\\\\\\\\–2 0 2

////)\\\\\\\\)–2 0 2

(///

Dados dos números reales a y b:

a . b > 0

si a > 0 y b > 0

o a < 0 y b < 0

a . b < 0

si a > 0 y b < 0

o a < 0 y b > 0

El dominio de una función está formado por la unión

de los conjuntos de positividad, negatividad y ceros: Dom (f) = C + ∪ C – ∪ C 0

M: 10826 C1: 10000 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10826 C1




NIP: 222503 - Pág.: 74 - MAT

*0000-222503-74-MAT-9*

x –1 –3 1 3

t(x) –3 15 3 –15

El gráfico se encuentra en la zona

sombreada, corta al eje x en 0; 2

y –2. También se podrían agregar

algunos puntos si se construye una

tabla:

Una pregunta que surge es cómo sigue el gráfico hacia la derecha y la izquierda. ¿Sigue

como “sugieren los puntos” o cambia de comportamiento? Esto puede responderse a partir

de estudiar qué sucede con la función cuando x toma valores grandes en valor absoluto.

Para realizar ese análisis es posible escribir la fórmula de otra manera:

t(x) = – x 3 + 4x = x 3 . ( –1 + 4 __ x 2

)

Cuando x es un número muy grande en valor absoluto, también lo es x 2 . Entonces 4 __ x 2

es un número muy cercano a cero.

Por ejemplo, si x = 1000, x 2 = 1 000 000 y 4 __ x 2

= 4 _________ 1 000 000 = 0,000004.

Si 4 __ x 2

es muy cercano a cero cuando x es muy grande en valor absoluto, –1 + 4 ___ x 2

es

muy cercano a –1.

Por lo tanto, cuando x es un número grande en valor absoluto, la función se comporta

de manera similar a x 3 . (–1) = – x 3 .

Es decir que si x es grande en valor absoluto y positivo, la función tiende a –∞, mientras que

si x es negativo y grande en valor absoluto tiende a +∞.Esto significa que para valores de x hacia

la derecha la función seguirá hacia abajo y para valores de x hacia la izquierda la gráfica subirá.

La gráfica de la función ƒ: ¡ → ¡ / ƒ(x) = x 3 va desde –∞ a +∞, mientras que la gráfi-

ca de t va al revés, de +∞ a –∞.

En las dos funciones interviene x 3 pero se comportan de manera diferente para núme-

ros grandes en valor absoluto.

En el análisis hecho se pudo determinar que la función t : ¡ → ¡ / t(x) = –x 3 + 4x se

comporta en forma similar a g(x) = –x 3 cuando x es un número grande en valor absoluto,

mientras que la función de fórmula ƒ(x) = x 3 se comporta de manera opuesta.

A partir de todos los datos anterio-

res se puede obtener el siguiente

gráfico.

–1 + 4 __ x 2

tiende a –1

cuando x tiende a ∞.

Otra manera de decir que

4 __ x 2

es muy cercano a cero

cuando x es muy grande en valor

absoluto, es que 4 __ x 2

tiende a cero

cuando x tiende a ∞.

M: 10826 C1: 10000 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NIP: 222503 - Pág.: 75 - MAT

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Problema 6¿Existe alguna función polinómica de grado 3 que se comporte de la misma manera para

valores grandes positivos y negativos? Si es así, dar un ejemplo. Si no, explicar por qué.

Si bien este problema podría comenzar a analizarse a través de ejemplos, no es un

método que resulte económico. Por un lado, porque habría que analizar cada una de las

funciones que se propone como ejemplo y, por el otro, porque el no encontrar un ejemplo

no asegura que la función no exista.

Es necesario realizar un análisis en general, considerando una función genérica de grado 3:

f(x) = dx 3 + cx 2 + bx + a,

con d ≠ 0 y a; b; c números reales cualesquiera.

Para determinar el comportamiento de la función en el infinito es posible reescribir su

fórmula de manera que pueda aportar información en este sentido:

f(x) = dx 3 + cx 2 + bx + a = x 3 ( d + c _ x + b __

x 2 + a __

x 3 )

Los términos c _ x , b __

x 2 y a __

x 3 tienden a cero cuando x es muy grande en valor absoluto.

Entonces, la expresión que se encuentra en el paréntesis tomará valores cercanos a d

cuando x tienda a infinito. Por lo tanto toda la función se comporta como d x 3 .

Se obtuvo que f(x) = dx 3 + cx 2 + bx + a dx 3 si x tiende a ∞.

Luego, si d es un número positivo, cuando x es muy grande y positivo, la función tiende a

+∞, mientras que cuando x es muy grande en valor absoluto y negativo, la función tiende a –∞.

Si el valor de d es negativo, el comportamiento es inverso.

A partir del desarrollo anterior es posible afirmar que una función cúbica no se com-

porta de la misma manera cuando x tiende a +∞ y cuando x tiende a –∞.

Problema 7¿Cuál es el comportamiento, para valores grandes de x en valor absoluto, de las fun-

ciones polinómicas de grado impar? ¿Y con las de grado par?

Si se repite el análisis recién desarrollado para otras funciones de grado impar:

h(x) = ax n + bx n –1 + .......... con a ≠ 0 y n impar,

se puede concluir que se comportarán de manera similar a la función a x n . Como se vió

anteriormente su gráfico es similar al de a x 3 , por lo tanto, sus gráficas tienden a “infini-

tos diferentes” cuando los valores de x tiende a +∞ o a –∞. Tampoco se acercan a un valor

determinado. Crecen o decrecen a partir de valores de x grandes en valor absoluto.

Si ahora se trata de una función polinómica de grado par, se puede trabajar, por ejem-

plo con la que tiene la siguiente fórmula: g(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e, donde a, b, c, d

y e son números reales y a ≠ 0.

Al buscar una escritura equivalente para g(x), se obtiene:

g(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = x 4 ( a + b __ x + c __

x 2 + d __

x 3 + e __

x 4 )

La función de fórmula

f(x) = d x 3 + cx 2 + bx + a, donde a, b, c y d son números reales y d ≠ 0:

❚ Si d > 0,

f tiende a +∞ cuando x tiende a +∞.

f tiende a –∞ cuando x tiende a –∞.

❚ Si d < 0,

f tiende a –∞ cuando x tiende a +∞.

f tiende a +∞ cuando x tiende a –∞.

Es decir, las funciones cúbicas se comportan de manera diferente cuando x tiende a +∞ y cuando x tiende a –∞.

se comporta como

M: 10826 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10826 C1




NIP: 222503 - Pág.: 76 - MAT

*0000-222503-76-MAT-9*

Como el paréntesis tiende al valor a cuando x tiende a infinito, la función, en este

caso, se comporta como a x 4 .

Al elevar un número a la cuarta potencia se obtiene un resultado mayor igual que cero, enton-

ces, si a es positivo la función tiende a +∞, mientras que si a es negativo, la función tiende a –∞.

Esta función se comporta de la misma manera cuando x tiende a –∞ y cuando tiende a +∞.

De la misma manera se puede analizar cualquier función polinómica de grado par.

Problema 8Analizar y graficar la función polinómica de fórmula f(x) = (4 – x) (x – 2) 2 .

El análisis que se puede realizar consiste, como en los problemas ya resueltos, en

hallar los conjuntos de ceros, positividad y negatividad, ordenada al origen y comporta-

miento de la función en el infinito.

Ceros: (4 – x) (x – 2) 2 = 0

4 – x = 0 o (x – 2) 2 = 0

x = 4 o x = 2

Entonces, Cº = {2 ; 4}

Positividad y negatividad:Como (x – 2) 2 nunca es negativo, el signo de la función será igual al signo que tenga

(4 – x), salvo para x = 2 donde la función es 0.

Luego, cuando 4 – x > 0, es decir cuando x < 4 y x ≠ 2, la función f es positiva.

Cuando 4 – x < 0, o sea cuando x > 4, f es negativa.

Por lo tanto,

C + = (–∞ ; 2) ∪ (2 ; 4) y C – = (4 ; +∞)

Ordenada al origen:f(0) = (4 – 0).(0 – 2) 2 = 16. El punto (0 ; 16) pertenece a la gráfica de la función f.

Comportamiento en el +∞ y –∞:Si se opera en la función desarrollando y aplicando la propiedad distributiva se tiene

que f(x) = – x 3 + 8 x 2 – 20x + 16.

Es de grado 3 (impar) con a negativo (–1), por lo tanto en +∞ tiende a –∞ y en –∞

tiende a +∞.

La función de fórmula

f(x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e, donde a, b, c y d son números reales y a ≠ 0:

❚ Si a > 0,

f tiende a +∞ cuando x tiende a +∞ y a –∞.

❚ Si a < 0,

f tiende a –∞ cuando x tiende a +∞ y a –∞.Es decir, las funciones de grado 4 se comportan de la misma manera cuando x tiende a +∞ y cuando x tiende a –∞.

En la gráfica puede notarse que no

cambió de signo de f(x) en x = 2,

se mantuvo positiva. En las demás

funciones que se han analizado,

el signo cambió a la izquierda y

derecha de una raíz.

Esto sucede porque (x – 2) 2 no cam-

bia de signo antes y después del 2.

M: 10826 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NIP: 222503 - Pág.: 77 - MAT

*0000-222503-77-MAT-9*

9. ¿Es posible ayudarse con el gráfico de la función ƒ: ¡ → ¡ / ƒ(x) = x 4

para graficar la función de fórmula g(x) = 2x 4 + 4? ¿De qué manera?

10. Grafiquen las funciones polinómicas ƒ y g cuyas fórmulas se

indican a continuación. Hallen, además, sus conjuntos de ceros, de

positividad y de negatividad.

ƒ : ¡ → ¡ / ƒ(x) = –x 3 + 8 g : ¡ → ¡ / g(x) = –x 3 + 16x

11. Hallen la fórmula de una función polinómica de grado 3 cuya

única raíz sea –1 y que tienda a menos infinito cuando x tiende a

más infinito.

12. Transformen la fórmula de ƒ: ¡ → ¡ / ƒ(x) = x 3 de manera tal

que se obtenga:

a. otra función g cuya única raíz sea –1 y cuya ordenada al origen sea 3.

b. otra función h cuya ordenada al origen sea 5, que a medida que x

tiende a más infinito, las imágenes tiendan a menos infinito, y

que cuando x tiende a menos infinito, las imágenes tiendan a más

infinito.

13. Transformen la fórmula de j : ¡ → ¡ / j(x) = x 4 de manera tal que

que se obtenga:

a. otra función m cuyo conjunto de positividad sea C + = ¡ – {1}.

b. otra función n cuyo conjunto de positividad sea C + = Ø.

c. otra función p cuyo conjunto de negatividad sea C – = (–1 ; 3).

d. otra función q cuyas raíces sean –1 y 3 y cuyo conjunto de

negatividad sea C – = (–1 ; 3).

14. Transformen la fórmula de la función h : ¡ → ¡ / h(x) = x 6 de manera

tal que el conjunto de negatividad de la función obtenida sea C – = Ø.

15. Hallen el conjunto de positividad de la función ƒ: ¡ → ¡ / ƒ(x) = x 3 – x 2 .

16. Hallen todos los números reales x para los cuales se verifica que x 3 > x 2 .

17. Consideren la funciones g: ¡ → ¡ / g(x) = x 3 y h: ¡ → ¡/ h(x) = x 2 y

contesten las siguientes preguntas:

a. ¿Para qué valores de x se cumple que g(x) > h(x)?

b. ¿Cómo se evidencia la solución de manera gráfica?

c. ¿Cuál es la relación con las actividades 15 y 16?

18. En el siguiente sistema de coordenadas se hallan las gráficas

de las funciones ƒ: ¡ → ¡ /ƒ(x) = 4x y g : ¡ → ¡ /g(x) = x 2 (x + 3).

Expliquen de qué manera puede usarse los datos que aporta el

gráfico para resolver la inecuación 4x > x 3 + 3x 2 y resuélvanla.

19. Lautaro dice que la función de fórmula ƒ(x) = x 7 siempre es

mayor que g(x) = x 5 porque cuando la variable independiente está

elevada a un exponente mayor da resultados más grandes. Ramiro

dice que no es cierto, que a veces g(x) = x 5 es mayor que ƒ(x) = x 7

y que otras veces es menor. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

20. Indiquen cuál de los gráficos que aparecen más abajo se

corresponde con cada una de las siguientes funciones.

ƒ: ¡ → ¡ / ƒ(x) = – x 4 + 3x 3 g : ¡ → ¡ / g(x) = x 3 + 3x 2 + 1

Expliquen como lo pensaron.

© Ti

nta

fres

ca e

dici

ones

S.

A. |

Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Le

y 11

.723

f(x) = 4x

g(x) = x 3 + 3x 2

a b

c d

a b c d

ACTIVIDADES DE INTEGRACIÓN

M: 10826 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000 M: 10826




NIP: 222503 - Pág.: 78 - MAT

*0000-222503-78-MAT-9*

© Ti

nta

fres

ca e

dici

ones

S.

A. |

Pr

ohib

ida

su f

otoc

opia

. Le

y 11

.723

AUTOEVALUACIÓN

a b

c d

a b c d

Marquen la o las opciones correctas en cada caso.

1. La función ƒ(x) = x 3 + x 2 verifica:

La única raíz es x = 0.

La gráfica interseca el eje horizontal en x = –1.

La gráfica interseca el eje vertical en y = 1.

Existen dos números reales que son raíces de la función.

2. La gráfica de la función g(x) = (x + 5) 4 :

Contiene al punto (–3 ; 16).

Interseca al eje vertical en y = 5.

Puede obtenerse desplazando 5 unidades hacia la izquierda

la de ƒ(x) = x 4 .

Interseca al eje x en cuatro puntos.

3. La función ƒ(x) = –x 5 +13 x 3 – 36x

Tiende a –∞ cuando x tiende a –∞, tiende a +∞ cuando x

tiende a +∞.

Contiene al punto (–1 ; 24).

Tiene a x = 0 como única raíz.

Interseca al eje de abcisas en los puntos (0 ; 0), (3 ; 0), (–3 ; 0),

(2 ; 0) y (–2 ; 0).

4. La gráfica de la función ƒ(x) = 4x 4 – x 2 es:

5. Para la función ƒ(x) = (x + 4)(x + 1)(x – 3),

C 0 = {4 ; 1 ; –3}, C + = (–∞ ; –4) ∪ (–1 ; 3) y C – = (–4 ; –1) ∪ (3 ; + ∞).

C 0 ={–4 ; –1 ; 3}, C + =(–4 ; –1) ∪ (3 ; + ∞) y C – =(–∞ ; –4) ∪ (–1 ; 3).

Es posible hallar las raíces reemplazando el valor de x por

cero.

Cuando x tiende a –∞, ƒ(x) tiende a –∞.

6. En el siguiente sistema de coordenadas se han graficado las

funciones ƒ(x) = – 3x 4 + 3x 3 + 1 y g(x) = – 6x 2 + 1.

ƒ(x) > g(x) para x < –1.

g(x) < ƒ(x) para todos los valores reales de x.

ƒ(x) = g(x) para x = –1, x = 0 y x = 2 y ƒ(x) > g(x) para todos los demás valores reales de x.

ƒ(x) = g(x) para x = –1, x = 0 y x = 2 y g(x) > ƒ(x) para x < –1 y x > 2.

7. Se sabe que x = –1 y x = 1 __ 2 son raíces de la función polinómica

ƒ(x) = ax 5 + x 4 + bx 3 + 2x 2 +x – 1. Entonces, los valores de a y b son:

a = 2 __ 5 y b = – 3 __ 5 a = 2 y b = –1

a = 2 ___ 31 y b = 29 ___ 31 a = – 6 __ 5 y b = – 1 __ 5

8. Una función polinómica es de grado 3, su única raíz es x = 2 y corta

al eje de ordenadas en el punto (0 ; 8).

Su fórmula es ƒ(x) = (x – 2) 3 + 8.

C + = (2 ; +∞) y C – = (–∞ ; 2).

Su fórmula es ƒ(x) = (x – 2) 2 (x + 2).

C + = (–∞ ; 2) y C – = (2 ; +∞).

a

b

c

d

a b

c d

a

b

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

a

b

c

d

c

d

f(x)

g(x)

M: 10826 C1: 10603 C2: 10000 C3: 10000 C4: 10000

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NIP: 222503 - Pág.: 79 - MAT

*0000-222503-79-MAT-9*

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