EL CUENTO DE LOS FRACTALES

Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Este nombre fue propuesto por un matemático llamado Benoit Mandelbrot y el término se deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

En la naturaleza pueden encontrarse muchas estructuras del tipo fractal como en un romanescu (híbrido entre brécol y coliflor) y en los copos de nieve.

Son características de los objetos fractales:

Son demasiado irregulares por lo que no pueden ser descritos en términos geométricos tradicionales.

Poseen detalle a cualquier escala de observación. Se ramifican Son autosimilares exacta, aproximada o estadísticamente. Su dimensión de Hausdorff –Besicovich es mayor que su dimensión topológica. Se definen mediante un simple algoritmo recursivo.

No es suficiente con una sola de estas características para definir un fractal, es necesario tenerlas todas.

A continuación podrás encontrar algunos objetos que reúnen las características necesarias para constituirse en fractales.

1. Triángulo de Sierpinski

1. Creamos un macro en el cual a partir de dos puntos se cree un triángulo equilátero.

CONSTRUCCIÓN DEL MACRO

Tracemos un segmento y dos circunferencias de radio AB con centro en A y B

marquemos la intersección como C, el dibujo que se obtiene es el triángulo

equilátero.

Objetos iniciales

Punto A , punto B

Objetos finales

Triángulo equilátero - Validamos la macro.

2. Utilizando el macro, a partir de dos puntos construimos en triángulo equilátero

.Hallamos los puntos medios de al menos dos de los lados del triángulo, con nuestro

macro creamos un triángulo el cual quedará dentro del triangulo grande.

4. Hallamos al menos dos puntos medios de cada lado de los triángulos que se formaron y

con nuestro macro construimos los demás triángulos. En nuestros pasos siguientes

hacemos lo mismo hasta completar la figura

5. Luego, con un vector que esté construido en la base del fractal y esté dirigido hacia la

derecha, trasladamos nuestro fractal según el vector.

6. Con edición numérica escribimos 60 y rotamos en (B) el fractal inicial y este se ubicará

en el lado (CB)

7. Con edición numérica escribimos 300 y rotamos en (A) el fractal inicial, el cual quedará

ubicado en el lado (AB).

8. Después de rotado el fractal inicial lo trasladamos según el vector ya construido y este

fractal lo rotamos 60 en (B).

Nuestra figura final debe quedar de la siguiente manera

2. Pentágono de Durero

1. Construimos un macro en el cual a partir de dos puntos podamos construir un

pentágono.

CONSTRUCCIÓN DEL MACRO

1.1. Tracemos una recta, coloquemos un punto (A) en la recta r y tracemos una

recta perpendicular por el punto (A) respecto a la recta, luego dibujemos un

segmento (AB) y por el punto (B) una recta perpendicular a la recta r y

trazamos la mediatriz del segmento.

1.2. Dibujemos una circunferencia (c1) con centro en (B) y radio (AB).

1.3. Marquemos la intersección con la recta perpendicular que pasa por (B) como

p.

1.4. Tracemos una circunferencia (c2) con centro en (x) y radio (xp)

1.5. Marquemos la intersección con la recta inicial como t

1.6. Esbocemos una circunferencia (c3) con centro en (A) y radio (At)

1.7. Marquemos la intersección de (c1) (c3) como(C) y (c3) con la recta mediatriz

como (D), los cuales determinan unos de los vértices del pentágono.

1.8. Tracemos una circunferencia (c4) con centro en (A) y radio (AB).

1.9. Dibujemos una circunferencia (c5) con centro en (B) y radio (BD).

1.10. Marquemos la intersección (c4) (c5) como (E), luego cree el pentágono

ABCDE.

Objetos iníciales

Punto(A), punto (B).

Objetos finales

Pentágono regular

Validamos la macro

2. Con la ayuda de la macro, tomamos dos puntos y creamos un pentágono.

3. Luego, trazamos rectas que pasen por las diagonales del pentágono.

4. Marquemos las intersecciones de las diagonales.

5. Creamos los pentágonos con los puntos de la intersección de las rectas.

6. Unimos los puntos con un polígono.

7. Creamos una macro II

Objetos iníciales

Segmento (AB)

Objetos finales

Polígono

Validamos la macro

8. Luego, siguiendo con el mismo polígono y con la ayuda de la macro en uno de los lados

de cada polígono más pequeño le aplicamos la macro II.

9. Creamos un polígono (que va ser nuestro fractal) punto a punto.

10. Creamos un vector (QP), y trasladamos el fractal

11. Escribimos 252, rotar el fractal en el punto (A) y luego con la ayuda del vector para

trasladarlo y con la rotación completamos nuestra figura.

3. Alfombra de Sierpinski

1. Construcción de una macro cuadrado

1.1. Tracemos un segmento m n y levante en sus extremos dos perpendiculares.

1.2. Tracemos una circunferencia con centro en m y radio mn.

1.3. Marquemos la intersección con la perpendicular como P.

1.4. Tracemos una perpendicular por P.

1.5. Unamos los puntos del polígono.

Objetos iníciales

Punto inicial y punto final del segmento

Objetos finales

Polígono

Validar macro

Picar Punto Punto

2. Construimos un segmento.

3. Construimos una recta.

4. En le recta con la ayuda de compás trasladamos la medida del segmento 18 veces sobre

ella.

5. Construimos un segmento (AB) de longitud lo que abarca la medida del segmento

trasladado.

6. Con la macro cuadrado construimos un cuadrado a partir del punto inicial y final del

segmento.

7. Dividimos nuestro cuadrado en 324 cuadros (18x18), con la ayuda de unas rectas que

pasan por los puntos que dejan la traslación de la medida del segmento inicial.

8. Marquemos la intersección de la recta 6 y la recta 6(de derecha a izquierda, como de

izquierda a derecha) con la recta 6 de forma ascendente.

9. Con la macro cuadro construyamos con los puntos de la intersección un cuadrado (1).

10. Marquemos la intersección de la recta 2 y la recta 4(de derecha a izquierda) con la

recta 2 de forma ascendente.

11. Con los puntos de intersección construimos un cuadrado (2) con la ayuda de la macro.

12. Del mismo modo construimos el otro cuadrado (3).

13. Con la ayuda de varios vectores que se encuentren de la siguiente manera

Dos ubicados en la esquina superior o inferior del polígono hasta la intersección de

la 2 recta con el polígono o cuadrado (1) de forma vertical y horizontal.

Dos ubicados en la esquina superior o inferior del polígono hasta la intersección de

la 6 recta con el polígono o cuadrado (1) de forma vertical y horizontal.

14. Para completar nuestro mosaico construimos dos vectores ubicados de esquina a

esquina de nuestro polígono o cuadrado (1), horizontalmente y verticalmente.

4. Aspas de Vicsek

1. Trazamos una recta.

2. Marcamos un punto(A) en la recta.

3. Con la ayuda compás trasladamos la medida del segmento 9 veces sobre la recta

teniendo como inicio el punto (A).

4. Dividimos nuestro cuadrado en 81 cuadrados (9x9), con la ayuda de unas rectas que

pasan por los puntos que dejan la trasladación de la medida del segmento inicial.

5. Trazamos dos segmentos que son las diagonales del polígono o cuadrado.

6. Marcamos las intersecciones de algunas rectas y los puntos los unimos para que nuestra

figura sea la siguiente.

8. Construimos un vector (DB) y(AB). Con este trasladamos el fractal para formar el

mosaico.