construcciÓn y descripciÓn fÍsica del fenÓmeno de
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CONSTRUCCIÓN Y DESCRIPCIÓN FÍSICA DEL FENÓMENO DE
CONSONANCIA MUSICAL
YESID DAVID PARDO RÍOS
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LICENCIATURA EN FÍSICA
BOGOTÁ D.C.
2020.
CONSTRUCCIÓN Y DESCRIPCIÓN FÍSICA DEL FENÓMENO DE
CONSONANCIA MUSICAL
YESID DAVID PARDO RÍOS
TRABAJO DE GRADO PRESENTADO PARA OPTAR AL TÍTULO DE LICENCIADO EN
FÍSICA
ASESOR: JUAN CARLOS CASTILLO
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FACULTAD DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LICENCIATURA EN FÍSICA
LÍNEA DE INVESTIGACIÓN: ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS DESDE UNA
PERSPECTIVA CULTURAL
BOGOTÁ D.C.
2020.
Para:
MI padres: Rocío Ríos ,Jorge Pardo
Mi hermana: Natalia Pardo
Mis abuelitos :Susana Romero e Isauro Ríos
Gracias por su amor incondicional y generar la bases de mi Formación como persona .
“El genio se compone del dos por ciento de talento y del noventa y ocho por ciento de
perseverante aplicación”.
Ludwig van Beethoven
Conenido
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................ 1
ORIGEN DEL OBJETO DE ESTUDIO . ................................................................................................................... 3
1.2 PREGUNTA PROBLEMA ......................................................................................................................................... 4
1.3 OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................................................. 5
1.3.1Objetivos Específicos ............................................................................................................................... 5
1.4. JUSTIFICACIÓN ................................................................................................................................................... 5
1.5 ANTECEDENTES .................................................................................................................................................. 6
1.6 METODOLOGÍA................................................................................................................................................... 7
CAPITULO 2 : ACÚSTICA MUSICAL ..................................................................................................................... 7
2.1 DESCOMPOSICIÓN Y TRANSPORTE DEL SONIDO, ORIGEN DE UNA CONCEPCIÓN MUSICAL. ................................................. 8
2.2.1 Ondas Sonoras ..................................................................................................................................... 10
2.2.2 Percepción Espacio-Temporal .............................................................................................................. 11
2.3 CUALIDADES DEL SONIDO ................................................................................................................................... 12
2.3.1 Tono o Altura ....................................................................................................................................... 12
2.3.2 INTENSIDAD Y SONORIDAD ............................................................................................................................... 13
2.3.3 Timbre .................................................................................................................................................. 15
2..4 ¿Que cualidades del sonido interfieren en el estudio del Fenómeno de Consonancia? ........................ 15
2.5.FRECUENCIA Y LONGITUD DE ONDA . .................................................................................................................... 16
CAPÍTULO 3: ANÁLISIS DE AUTORES QUE ABORDAN EL FENÓMENO DE CONSONANCIA MUSICAL . ............... 17
3.1 ESCUELA PITAGÓRICA ........................................................................................................................................ 18
3.2 JOHN TYNDALL ................................................................................................................................................ 22
3.3 HERMMAN VON HELMHOLTZ .............................................................................................................................. 25
3.4 PLOMP Y LEVELT: .............................................................................................................................................. 27
CAPÍTULO 4: RELACIÓN FÍSICA-MATEMÁTICA DE LA ARMONÍA DE LA CONSONANCIA Y DISONANCIA .......... 29
4.1 CONSTRUCCIÓN DE MODOS DE VIBRACIÓN ............................................................................................................ 29
4.2 FORMACIÓN DE ACORDES, MUSICAL A LO FÍSICO. ................................................................................................... 34
4.2.1 ACORDES MAYORES ...................................................................................................................................... 36
4.2.2 Acordes Menores ................................................................................................................................. 36
4.3 FORMACION, ACORDES CONSONANTES Y DISONANTES ............................................................................................ 36
4.4 INTERACCIÓN DE INTERVALOS EN ACORDES ............................................................................................................ 43
4.5 RELACIONES DE COCIENTES DE FRECUNCIAS EN INTERVALOS CONSONANTES Y DISONANTES . ........................................... 44
4.6 SUMA DE INTERVALOS ................................................................................................................................ 47
4.7 CONSIDERACIONES EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA ................................................................................................. 49
CONCLUSIONES ............................................................................................................................................... 51
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................................. 53
ANEXOS .......................................................................................................................................................... 56
ANEXO A .............................................................................................................................................................. 56
ANEXO B .............................................................................................................................................................. 56
ANEXO C............................................................................................................................................................... 58
ANEXO D .............................................................................................................................................................. 60
ANEXO G .............................................................................................................................................................. 61
ANEXO E ............................................................................................................................................................... 63
ANEXO F ............................................................................................................................................................... 64
ANEXO E ............................................................................................................................................................... 65
Indice de tablas
Tabla 1 Representación de elementos musicales. Fuente: Elaboración propia .............................................................. 9
Tabla 2 Medidas Pitagóricas. Fuente: Elaboración propia ........................................................................................... 20
Tabla 3 Resultado de medidas de aritméticas. Fuente :Elaboración propia ................................................................ 21
Tabla 4 Consonancias perfectas. Fuente: Elaboración Propia...................................................................................... 22
Tabla 5 Consonancias en intervalos de quintas. Fuente: Elaboración Propia ............................................................. 23
Tabla 6 Consonancias en intervalos de 3. Fuente: Elaboración Propia ........................................................................ 23
Tabla 7 Proporciones de frecuencia de intervalos ........................................................................................................ 24
Tabla 8 Suma de componentes de razones proporcionalidad. Fuente: Elaboración Propia ........................................ 24
Tabla 9 Proporciones de modos de vibración y frecuencias en notas musicales. Fuente: Elaboración propia ............ 31
Tabla 10 Resultados de Cocientes de frecuencia. Fuente: Elaboración propia ........................................................... 46
Tabla 11 Rango de frecuencias audibles. Fuente: Elaboración propia ......................................................................... 56
Tabla 12 Resultados de Cocientes de frecuencia. Fuente: Elaboración propia ........................................................... 61
Indice de ilustraciones
Ilustración 1 Distribución del sonido. Fuente: Elaboración propia ................................................................................. 8
Ilustración 2 Elementos de una obra. Fuente: Elaboración propia. ............................................................................... 8
Ilustración 3 Anatomía del oído humano y sus partes. Fuente: (Young, 2009) ............................................................ 10
Ilustración 4 Distribución de las zonas de sensibilidad selectiva de la membrana basilar. Fuente:editada en
Photoshop Express ....................................................................................................................................................... 11
Ilustración 5 Variación del ancho de banda crítica con la frecuencia . Fuente : (De La Fuente, s.f.) .......................... 11
lustración 6 Diferencia de Alturas. Fuente: Elaboración propia ................................................................................... 13
Ilustración 7 Intensidad de un sonido. Fuente: editada en Photoshop Express............................................................ 14
Ilustración 8 Forma de la ondadel La4 producidapor la flauta, Violín y Órgano. Fuente: (Calvo-Manzano, 2001) ... 15
Ilustración 9 Longitud de onda. Fuente: https://www.mundomicroscopio.com/longitud-de-onda/........................... 16
Ilustración 10. Proporciones en una cuerda tensada. Fuente: Editada en Photoshop Express .................................... 19
Ilustración 11 Carta de L .Euler a Federica Carlota Ludovica von Brandenburg Schwedt. Fuente: (Carrión, 2008) .... 22
Ilustración 12 Sensación auditiva.Fuente: https://acortar.link/9iYKl .......................................................................... 26
Ilustración 13 Evolución de la consonancia producida por dos sonidos en función de su separación. Uno de ellos
tiene frecuencia constante y otro aumenta progresivamente. Fuente :
http://www.ehu.eus/acustica/espanol/musica/somues/somues.html ....................................................................... 27
Ilustración 14 Disonancia frente a relaciones de frecuencia de Plomp y Levelt . Fuente: (Pérez, 2006) ..................... 28
Ilustración 15 Modos de vibración. Fuente: Elaboración propia ................................................................................. 30
Ilustración 16 Escala Musical en proporciones de frecuencia.Fuente: Elaboración propia .......................................... 33
Ilustración 17 Relaciones entre las notas y sus frecuencias, en la escala musical. Fuente: Elaboración propia ......... 33
Ilustración 18 Acorde de DO mayor representado en modos de vibración.Fuente: Elaboración propia ..................... 34
Ilustración 19 Distancia entre notas.Fuente: Elaboración propia ............................................................................... 35
Ilustración 20 Alteraciones en una escala.Fuente: Elaboración propia ........................................................................ 35
Ilustración 21 Intervalos que conforman un acorde. Fuente : Elaboración propia ...................................................... 36
Ilustración 22 Ubicación del armónica de consonancia Musical. Fuente : Elaboración propia .................................... 37
Ilustración 23 Acorde consonante + intervalo dionante. Fuente : Elaboración propia ................................................ 38
Ilustración 24 Relación intervalica de nota do y fa. Fuente : Elaboración propia ........................................................ 38
Ilustración 25 Relación intervalica de nota MI y FA. Fuente : Elaboración propia ...................................................... 39
Ilustración 26 Relación intervalica de nota SOL y FA. Fuente : Elaboración propia .................................................... 39
Ilustración 27 Acorde consonante + intervalo de cuarta reprsentando en modos de vibracion . Fuente : Realizadas
en simulaciiones PHET .................................................................................................................................................. 40
Ilustración 28 Representación intervalica de la nota DO y FA en modos de vibración . Fuente : Realizadas en
simulaciones PHET ....................................................................................................................................................... 40
Ilustración 29 Representación intervalica de la nota SOL y FA en modos de vibración . Fuente : Realizadas en
simulaciones PHET ....................................................................................................................................................... 41
Ilustración 30 Representación intervalica de la nota MI y FA en modos de vibración . Fuente : Realizadas en
simulaciones PHET ....................................................................................................................................................... 41
Ilustración 31 Esopectros de intervalos consonantes y disonantes . Fuente; Realizdas en programa Sprectoid ......... 42
Ilustración 32 Analogía Visual del fenómeno de consonancia. Fuente : Elaboración propia ....................................... 43
Ilustración 33 Representación Musical de la nota Fa y LA vista como frecuencias Fuente : Elaboración propia . 43
Ilustración 34 Acorde de Do mayor en relaciones de frecuencia. Fuente : Elaboración propia ................................... 44
Ilustración 35 Acorde de Disonante en relaciones de frecuencia. Fuente: Elaboración propia .................................. 45
Ilustración 36 Acorde consonantes +intervalos disonantes. Fuente: Elaboración propia ............................................ 45
Ilustración 37 Suma de intervalos. Fuente: (Calvo-Manzano, 2001) ............................................................................ 47
Ilustración 38 Intervalo de 3 + intervalo de 5. Fuente: Elaboración propia .................................................................. 48
Ilustración 39 Intervalo de 7 . Fuente: Elaboración Propia ........................................................................................ 49
Ilustración 40 Representación movimiento armónico simple. Fuente: Editada en Paint ............................................ 57
Ilustración 41 Acorde consonante + intervalo dionante. Fuente : Elaboración propia ................................................ 63
Ilustración 42 Relación intervalica de nota do y fa. Fuente : Elaboración propia ........................................................ 63
Ilustración 43 Ilustración 23 Relación intervalica de nota MI y FA. Fuente : Elaboración propia ................................ 63
Ilustración 44 Acordes menores y marores de MI. Fuente : Elaboración propia ......................................................... 64
Ilustración 45 Relación intervalica de nota SOL y FA. Fuente : Elaboración propia .................................................... 64
Ilustración 46 Acordes menores y marores de de SOL. Fuente : Elaboración propia .................................................. 64
Ilustración 47 Espectro del intervalo de quinta. Fuente : Realizado en spectroid ........................................................ 65
Ilustración 48 Principio de Superposición. Fuente :( Herrero,s.f., p.16) ....................................................................... 66
1
INTRODUCCIÓN
La relación entre la Música, Física y las Matemáticas es muy antigua, se dice que uno de
los primeros acercamientos de la Física musical fue cuando los Pitagóricos establecieron las
relaciones entre las escalas musicales y las razones Matemáticas de proporcionalidad entre los
diferentes objetos Físicos al producir distintas notas, pero más que eso si hicieron una relación
directa en la construcción y comportamiento de la Armonía. Pitágoras, mientras paseaba por la
calle, al escuchar el ruido de los diferentes martillos golpeando contra los yunques en una
herrería cercana, cayó en cuenta de que dichos sonidos estaban afinados en relación al tamaño
de los martillos, esto es un mito y no se sabe con certeza que ocurrió pero si es verídico que dos
cuerdas similares, sometidas a la misma Tensión, al ser tocadas simultáneamente, producen un
sonido “armonioso” como calificativo a la Consonancia si sus longitudes están en razones de
enteros pequeños 2:1, 4:5, ,3:2
El presente trabajo desea explorar, conocer y describir aspectos puntuales del campo de la
música a través de la física como propuesta, muestra y herramienta que nos permita evidenciar la
enseñanza de las Ondas Sonoras a traves de la Musica, apoyado de los conocimientos que tiene el
autor como ex integrante y concertino de la Banda Sinfónica de Fómeque Cundinamarca y así
contribuir a disminuir la brecha que existe en diferentes disciplinas de conocimiento, con el
propósito de incentivar a los docentes, estudiantes, puesto que en ocasiones el sistema educativo
hace que las aulas de clase se vuelvan tediosas y de valores poco cualitativos.De acuerdo con lo
anterior asi lo afirma De La Peña (2006)
“ El aprendizaje de la física tendrá significado y sentido para el educando, si se produce tomando
como base o referencia para la apropiación de los conocimientos, los que ya forman parte de la
estructura cognitiva del que aprende y tiene una base vivencial afectiva que encamina al sujeto al
logro del objetivo que se ha trazado, el cual responde a su vez, sus intereses y necesidades no solo
personales, sino también como parte de la sociedad y el papel que en ella le corresponde
desempeñar “.(Mejia, 2016, p. 10)
2
En este sentido no cabe duda generar ambientes de aprendizaje que posibiliten la
conexión del mundo Musical y Físico, generando la comprensión del sonido en diferentes
contextos, en este caso el fenómeno de Consonancia Musical asociado a los modos de vibración y
Frecuencias, quien nos posibilita a pensar, sobre como se pueden entrelazan todos los aspectos
que utilizamos para leer el mundo.
En concordancia, el presente documento se divide en 4 capítulos quienes establecen el
desarrollo de esta investigación:
El primer capítulo, Origen del objeto de estudio, donde se da a conocer la pregunta
problema, los objetivos, los antecedentes que nos apoyaron, justificación y por último la
metodología que ayudo a guiar la investigación.
El segundo capítulo, Acústica Musical, se dan a conocer la contextualización de la
ubicación del fenómeno de Consonancia desde los 3 planos sonoros de una obra, con el fin
establecer que elementos físicos intervienen en la compresión de este fenómeno.
El tercer capítulo, Análisis de autores que abordan el fenómeno de Consonancia
Musical se pretende reflexionar y contrastar las diferentes concepciones teóricas que permiten
dar una mirada periférica sobre este concepto.
Luego de esto, en el capítulo 4, se hace necesario indagar y definir uno de los conceptos
base de este documento y que precisamente da el título a esta sección: Relación física-
Matemática de la Armonía de la Consonancia y Disonancia. Esto conlleva a estudiar los
Acordes, que son el eje principal del objeto de estudio desde la Armonía, primero desde un
lenguaje meramente musical y posteriormente configurándolos a través de los modos de
vibración y frecuencias asociados a las notas musicales.Concluyendo con algunas
concideraciones en la enseñanza de las Ciencas.
3
ORIGEN DEL OBJETO DE ESTUDIO .
Tenemos la percepción de que la interacción de dos o más sonidos generan una serie de
sensaciones que desde un punto de vista subjetivo y reduccionista solemos calificar ya sea de
agradables o desagradables, pero desde la perspectiva de la Armonía Musical ese fenómeno
acústico lo podemos interpretar como intervalos Consonantes y Disonantes. Un sonido
Consonante es un sonido estable que no manifiesta tendencia o necesidad de moverse hacia otro
sonido por el contrario un sonido Disonante es un sonido inestable, tiende a moverse a otro
sistema armónico. Por esta razón se quiere abordar, y explicar cómo se forman los sonidos
consonantes y disonantes por medio de la física buscando una relación directa con los modos de
vibración, intervalos o distancias entre las frecuencias de los sonidos, y mirar su comportamiento
desde la mecánica ondulatoria, dejando la dicotomía de calificárlos y compararlos como bonitos
o feos.
Retomando lo expuesto anteriormente como apunte importante que sale a la vista las
razones de longitud de una cuerda vibrante al producir diferentes sonidos son : 2:1 , 4:3, ,3:2
producían un sonido “armonioso” cuando se tocaban simultáneamente, en pocas palabras estos
sonidos hacen parte de la tonalidad, o sistema donde reposan las notas . Es muy importante ya
que estas longitudes configuran el patrón en la formación de acordes mayores (Tercera mayor y
tercera menor = enteros 2:1 , 4:5, ,3:2) y acordes menores (Tercera menor y tercera mayor =
enteros 2:1 , 3:2, ,4:5) pues lo que seguramente puede ser la Consonancia, aquí de entrada
podemos inferir que un acorde menor no necesariamente tiene que ser un sonido Disonante,
pues configura mismo patrón del acorde mayor. Más adelante físicos como Tyndall,
Helmoholtz, Plomp y Levelt hicieron estudios sobre este fenómeno. Helmoholtz por su parte
la tenía concepción: al Afirmar que; ¨ Si la diferencia de las parciales (distancia entre tonos) es
muy pequeña hay Batidos; si es algo mayor hay aspereza; si es mayor, hay Consonancia.”
Desde luego, el aporte de los Físicos al Desarrollo de la Música sobre la Consonancia
permitió generar las bases de toda la Acústica porque la riqueza musical exige la búsqueda de
muchos sonidos, sin ellos los sistemas armónicos que hoy en día escuchamos como la música
occidental comandada por Johann Sebastian Bach, Mozart hasta diversificación de corrientes
como el jazz simplemente no existirían, es así que podemos evidenciar que no se pueden aislar o
4
fragmentar las relaciones de estas dos ciencias, porqué siempre han caminado de la mano. En este
orden, se evidencia la importancia de generar espacios en el aula, para el desarrollo y la
comprensión de fenómenos relacionados con el sonido, sujetas a la interacción cuando se
escuchan o se tocan al mismo tiempo.
Por este motivo nace la pregunta como campo de estudio de la física a la música:
1.2 Pregunta Problema
¿A través de qué situaciones de estudio, se explica la Consonancia Musical, por medio de las
realciones entre las longitudes de onda y/o Frecuencias de los Armónicos de una cuerda, para
la enseñanza de dicho fenómeno, de tal manera que integre conocimientos de la Física y la
Música?
El desarrollo de la pregunta de investigación permitirá aplicar la Física en diferentes
contextos como fundamento interdisciplinar para romper con los límites que nos impone el
sistema educativo tradicional donde aísla de algún modo el engranaje de saberes y perdura la
producción de conocimiento en masa, como si nosotros nos preparamos para trabajar en un área
específica de una empresa donde este aspecto se ve reflejado en el currículo, enfocado a lo
memorístico y Cuantificado. Por este motivo necesitamos reflexionar acerca, de cómo generar
una mirada más holística para entrelazar y generar puentes de comunicación, como
herramienta pedagógica con el fin de generar esa chispa en el estudiante por la Ciencia, cuando
relaciona aspectos que están involucrados directamente con nuestra vida cotidiana. “La música
nos relaja, nos desciende, nos causa placer, nos puede alterar, ensordecer, estimular, exitar,
alegrar, entristecer, nos puede traer recuerdos, permitirnos hacer asociaciones, recordar
momentos, enojarnos, etc.” (Federico, 2003, p.96)
En virtud que la Música es un potencial dinamizador de aprendizaje significativo ya que
no conocemos a la primera persona sobre la faz de la tierra que sea indiferente a ella, debido a
que la tenemos impregnada en nuestro día a día por medio de todos nuestros sentidos es
necesario generar ese dialogo a causa de “la comprensión de los fenómenos Físicos a nivel
conceptual en ocasiones queda relegada a un segundo plano, siendo posiblemente una vía de
enseñanza motivadora, que tenga en el estudiante un impacto significativo para su vida”. (Muñoz,
2014, p.14)
5
En relación con lo anterior se pretende mostrar los elementos físicos de manera clara a través
del fenómeno de Consonancia y Disonancia como herramienta que permita facilitar la
comprensión de conceptos de mecánica ondulatoria en la educación media o cursos
Introductorios de acústica de tal manera que la enseñanza de las ciencias reduzca la distancia en
diferentes disciplinas.
1.3 Objetivo General
Establecer relaciones entre las longitudes de onda y/o frecuencias de los armónicos de una
cuerda, para explicar la consonancia Musical, con el fin de configurar situaciones de estudio
para la enseñanza de este fenómeno en cursos de Física de la educación media, a través de un
estudio documental de algunos autores que abordan esta problemática.
1.3.1Objetivos Específicos
Contextualizar la ubicación del fenómeno de Consonancia Musical.
Hacer un análisis descriptivo entre las longitudes de onda y/o frecuencias de los
armónicos como construcción de los conceptos Consonancia y Disonancia a partir de
los diferentes autores que abordan este fenómeno.
Generar criterios que posibiliten el diseño de actividades para la compresión del
fenómeno de Consonancia en aula.
1.4. Justificación
Teniendo en cuenta el presente proyecto sobre la descripción y construcción del
fenómeno de Consonancia musical, debe decirse que la motivación principal radica en la
necesidad de contraponer una idea perceptiva en cuanto a lo bonito y feo del sonido como
calificativo a la consonancia y disonancia , a raíz de esta necesidad este proyecto se justifica en
cuanto a conocer, investigar y describir un concepto puntual musical por medio de la Física,
buscando una relación directa con los modos de vibración sin dar un valor de verdad a estos
fenómenos para la enseñanza de la acústica como problemática de estudio en contexto . Dicho
conocimiento se fundamenta en la experiencia que tiene el autor como músico durante gran parte
de su vida y el poco conocimiento infundido por diferentes medios sobre la explicación y
construcción de la música a partir de la ciencia en este caso la Física.
6
Por otro lado esta propuesta se hace para brindar un aporte a la enseñanza de la Física
desde diferentes ramas o ámbitos, ya sea en la educación media o para cursos introductorios de
acústica encontrando problemáticas de estudio y la aplicación de la mecánica ondulatoria por
medio de otros saberes o cursos de armonía para músicos enriqueciendo su conocimiento desde
todos los puntos de vista y así permitirles discernir entre la percepción y la ciencia.
1.5 Antecedentes
El análisis de los proyectos de investigación que se presentaran a continuación permitirá
contrastar y aportar a la descripción y construcción de los fenómenos de Consonancia y
Disonancia musical a partir de los siguientes aspectos: construcción armónica, comprobación
experimental y construcción de métodos que permitan entender estos dos conceptos.
Un primer trabajo corresponde Rodríguez (2013) Universidad Pedagógica Nacional de
Bogotá, quien realizo una descripción física de la armonía clásica de forma analítica, este
trabajo se basa en la física de ondas con conceptos relacionados como los modos normales de
vibración de las cuerdas, a partir de esto busca explicar los fundamentos de la teoría musical y
los principios de la Armonía (construcción de escalas). El presente estudio se relaciona con la
investigación en curso pues el fenómeno de consonancia se encuentra en el plano descriptivo
de la Armonía musical.
Un segundo trabajo de Olaya (2013), Dpto. de Física – Univ. De Oviedo es un trabajo
experimental para comprobar la teoría de la consonancia y disonancia que Plomp y Levelt por
medio de variaciones entre los intervalos de frecuencias a un grupo de personas con formación
musical o no, se les pide que grado de disonancia perciben dentro de a una escala de valores y a
partir de esto se elabora una gráfica mostrando la diferencia de los intervalos de las notas
musicales . Este trabajo aporta al proyecto como fundamento teórico Psicoacústico de la
consonancia musical donde nuestro sistema auditivo es primordial para la explicación de este
concepto,
Un tercer trabajo por García (2006), universidad politécnica de Salamanca, es una
recontextualización histórica del fenómeno de consonancia desde la escuela pitagórica hasta la
revolución científica, este trabajo nos ayuda como delimitador y discriminador de las teorías que
abordan en contexto con la armonía Musical.
Un cuarto trabajo por Mejía (2016), Universidad Nacional de Colombia, es una
estrategia didáctica para el estudio de las frecuencias sonoras, el trabajo nos permite ver los
7
fundamentos pedagógicos en la enseñanza de las ciencias aplicado a estudiantes educación
Media.
1.6 Metodología
La metodología que presenta este trabajo es un análisis descriptivo y documental como
reflexión Teórica del fenómeno de consonancia musical, desde esta perspectiva (Cisneros,
2013) establece que es: “un método de investigación que se fundamenta en la recopilación de
información contenida en documentos impresos como libros, revistas, periódicos, etc. Con el
propósito de profundizar en las teorías para complementar, refutar o derivar nuevos
conocimientos”.
En este sentido buscamos profundizar y complementar, el concepto de consonancia musical a
partir de relaciones físicas y Matemáticas como fundamento teórico y descriptivo de este
fenómeno. Dicha relación se abordó desde 3 aspectos:
El primero tiene que ver con establecer la ubicación del fenómeno de Consonancia en el sentido
de Contextualizar y puntualizar en que parte de la Música interactúan los sonidos cuando se
escuchan o se tocan al mismo tiempo, y que elementos físicos entran en la construcción de esta
teoría.; El segundo aspecto es un análisis documental de las concepciones teóricas de los
diferentes autores, con el fin de contrastar las ideas de objeto de estudio y por ultimo establecer
criterios que permitan relacionar los modos de vibración , frecuencias desde la formación
Armónica de los acordes consonantes y disonantes.
CAPITULO 2 : ACÚSTICA MUSICAL
Se define como Acústica musical aquella parte de la ciencia acústica que trata del estudio
de las relaciones entre esta ciencia y el arte musical. Se ocupa de los principios físicos de las
teorías musicales, vibraciones de cuerpos sonoros y funcionamiento de los instrumentos
musicales. (Calvo-Manzano, 2001, p.167)
En este sentido se pretende abordar los conceptos musicales pertinentes, con el fin de
contextualizar la ubicación de la consonancia y disonancia en la Armonía musical como
componente estructural y fundamental para establercer los elementos Físicos que interactúan en
8
la descripción de este fenómeno, y así generar una imagen al lector de lo que entraremos a
estudiar en los siguientes capítulos.
2.1 Descomposición y Transporte del Sonido, Origen de una Concepción Musical.
Para hablar de la distribución del sonido necesitamos saber cuál es el mecanismo donde
se trasportan las notas musicales asociadas a un sistema Físico.
Ilustración 1 Distribución del sonido. Fuente: Elaboración propia
La distribución en la (ilustracion 1) del sonido sigue tres caminos que los asociamos a 3
componentes fundamentales en un obra:
Ilustración 2 Elementos de una obra. Fuente: Elaboración propia.
La gran mayoría de personas sienten la música como un todo, como si una canción o una
obra generara un solo tipo de sonido, no podemos generar un prejuicio completamente sobre esta
apreciación, sin embargo muchos ven solo el resultado, pero algunos otros apreciamos más el
proceso. El autor de este proyecto recuerda durante el transcurso de su formación como músico y
Concertino en la Banda sinfónica de Fómeque Cundinamarca, una anécdota que precisamente nos
embarca como ejemplo estos aspectos que son importantes de resaltar. Estaba acompañado con
instrumento
(Sistema vibrante)
Transmisión
Medio: aire, agua
Recepción
oido humano
cerebro
Obra Musical
ritmo
Armonía
Melodia
9
su director musical en un concurso de Nacional, en ese momento él le dijo a su maestro que no
podía “disfrutar” las canciones que interpretaban las diferentes agrupaciones, este le contesta con
una carcajada y una frase “Es verdad nosotros los músicos ya no solo percibimos el plano más
relevante (Melodía), también criticamos si está bien o no otros aspectos como la Afinación, el
acompañamiento tanto rítmico y Armónico, las personas que tienen el oído educado
intrínsecamente analizan aspectos más profundos de una de una obra.
La melodía, armonía como el ritmo tienen la misma importancia pero cumplen funciones
diferentes dentro contexto musical, físicamente son descripciones e interacciones diferentes de
frecuencias y modos de vibración. La melodía es una sucesión de notas, es decir que
el instrumento que genera este plano las toca una por una, por el contrario la Armonía sus notas
se generan al mismo tiempo asociadas a los acordes, ellos se generaran por la interpretación de
dos o más instrumentos o existen instrumentos como el piano y la guitarra que permiten que las
notas se puedan tocar al mismo tiempo, el ritmo es hablar de matemáticas afirma Sanahuja(2019)
“un ritmo es una serie de pequeñas divisiones del tiempo que se entienden con relación a un pulso
subyacente con el cual suelen mantener una relación matemática sencilla”( p.44). En pocas
palabras el ritmo es quien mide o establece el tiempo de la obra y hace que los músicos tenga
una métrica una guía a partir de nuestro pulso como unidad de medida para que no se adelanten
en los compases y frases.
Melodía
La asociamos con
sucesión de notas
musicales
Armonía
La asociamos con un
conjunto de notas
que se tocan al
mismo tiempo
Ritmo
Lo asociamos con
las figuras musicales
que tienen un
determinado tiempo.
Tabla 1 Representación de elementos musicales. Fuente: Elaboración propia
10
2.2.1 Ondas Sonoras
1. Las ondas sonoras, son ondas mecánicas longitudinales que se desplazan en un
medio elástico ya sea líquido, sólido y gaseoso, transportando energía sin llevar masa, siendo
este un fenómeno Físico que se presentan cotidianamente. “El medio que más utilizamos es
el aire, cuando las compresiones y refracciones de las moléculas del aire, inciden sobre el
tímpano del oído, dan como resultado la sensación del sonido en una frecuencia de 20 Hz a
20.000 Hz”, (Mejia, 2016, p. 22)1, llamada la gama audible.
Esta gama audible son el rango de frecuencias que nos interesa estudiar, estas llegan a
nuestro sistema auditivo permitiendo primero que el tímpano vibre, y a la vez transmita estas
vibraciones a tres huesecillos diminutos del oído medio( martillo, yunque, estribo),amplificando
las oscilaciones hasta llegar a nuestro oído interno traduciendo esta señalal al cerebro,
trasformandola en sonidos que podemos reconocer y entender.
Ilustración 3 Anatomía del oído humano y sus partes. Fuente: (Young, 2009)
Es así que nuestro oído siente cambios o diferencias cuando un instrumento Musical
emite un sonido, estos conceptos que son vivenciales y que generalmente los entendemos como
términos en un contexto más musical que Físico. Se dice que el corazón de nuestro oído está
compuesto por la membrana basilar. La membrana basilar de la cóclea ubicada en el oido interno
se comporta como una serie de filtros pasabanda (los que solo procesan determinado margen de
Frecuencias) y no como un discriminador de alturas concretas.
Además se ha de tener en cuenta que cuando la membrana basilar se ve excitada por una
frecuencia determinada (aún siendo un sonido simple) el movimiento va a afectar a un margen de
frecuencias determinado, además de la correspondiente al estímulo. De esta forma “si el oído
1 Rango de frecuencias en diferentes tipos de gamas audibles ver anexo A
11
percibe una frecuencia de 1000Hz se vería afectado un margen de frecuencias desde los 920 Hz
hasta los 1080 Hz”. (Jerez, s.f., p.46).
Ilustración 4 Distribución de las zonas de sensibilidad selectiva de la membrana basilar. Fuente:editada en Photoshop
Express
A esa banda de frecuencias se le denomina la banda crítica, y es aquella fracción de la
membrana basilar que resulta perturbada a razón de tonos por encima del nivel umbral de
audición. Se estima que el rango audible se compone de 24 bandas críticas de una longitud
promedio de 1,3 mm conteniendo cada una de ellas 1300 terminales neuronales. La banda critica
juega un papel en la teoría de la Consonancia y Disonancia musical, pues la percepción de
diferentes tonos dependerá si excede o no amplitud o rango de frecuencias.
Ilustración 5 Variación del ancho de banda crítica con la frecuencia . Fuente : (De La Fuente, s.f.)
2.2.2 Percepción Espacio-Temporal
“La temporalidad y la espacialidad se coordinan dando lugar a la organización espacio-
temporal, y se trata de un todo indivisible ya que todas las acciones se dan en un tiempo y lugar
determinado” Según explica (Trigueros & Rivera, 1991) citado por (Pérez, Jonathan, Ruiz, &
Navarro, s.f., p.3).
12
La percepcion espacio temporal se puede comprender como la capacidad de tomar
informacion permitiendo dicernir en cuanto al calculo del espacio y el tiempo. En este sentido
¿Podriamos establecer el fenomeno de consonancia como una variable espacio –temporal cuando
integramos al oido como una recepción sencioral ?
En la percepción del tiempo los principales canales de información son el auditivo y el sentido
cinestésico. El tiempo en sí mismo no es perceptible, por lo que se hace necesario, para facilitar su
reconocimiento en la educación motriz, darle una forma material y una interpretación “visible” a
los diferentes elementos que entran en el concepto de tiempo, tales como velocidad, sucesión y
duración. Los componentes más importantes de la organización temporal son el orden y la
duración. A través del orden podemos situar los acontecimientos, unos en relación a otros, y
comprende las nociones de simultaneidad o sucesión de tareas (antes, durante, después, mientras
que…). Por medio de la duración se puede establecer un intervalo temporal, que puede presentarse
de dos formas: el comprendido entre dos estímulos sucesivos o como la longitud de una
estimulación (tiempo que transcurre entre dos sonidos o la duración del mismo (Espacio-temporal,
s.f.)
Podemos concluir que la consonancia es un estimulo simultaneo caracterizado por una
variable espacio temporal que se vera afectada por alguna o las todas caracterisiticas del sonido .
2.3 Cualidades del Sonido
En los tres planos musicales (ilustración 2),van a estar presentes todo el tiempo las
cualidades del sonido aportando riqueza auditiva, lo que llamamos los músicos matices. Sin la
manipulación de ellas lo que interpretamos o escuchamos sería plano y aburrido sin embargo es
importante diferenciarlas auditivamente como físicamente para ir limitando la relación con la
Consonancia musical.
2.3.1 Tono o Altura
El tono se relaciona directamente con la frecuencia que es un concepto Físico. La masa ,la
rigidez, las dimensiones geométricas hacen que un número de vibraciones por segundo se mayor
o menor, si el número de vibraciones por segundo es mayor, el sonido es más agudo y cuanto
menos es el número de vibraciones por segundo, el sonido es grave. Por ejemplo: una cuerda
cuanto más corta, fina y tensa esté, más agudo será el sonido que produzca .
13
La unidad de medida de la frecuencia es el hercio (Hz), que equivale a una vibración por
segundo.
lustración 6 Diferencia de Alturas. Fuente: Elaboración propia
Existe un proceso para unificar las alturas ya sea con instrumentos de igual o diferente sonoridad,
este se encarga que las frecuencias permanezcan o se aproximen a una referencia llamada
afinación, cuando una Banda sinfónica ensaya a una temperatura ambiente y viaja a otro lugar
donde la temperatura es mayor, la altura de las notas musicales que emiten todos los instrumentos
cambian por factores incidentes de la temperatura como variación en los materiales principales
que producen el sonido, la caña de un clarinete por se puede poner más blanda o dura. Esto es un
problema muy común, generalmente las agrupaciones para resolver estos inconvenientes es
necesario que igualen las frecuencias por medio de un afinador o el concertino que su función
principal es mantener la afinación para que los otros instrumentistas lo tengan de referencia
auditiva aunque nos estamos asociando directamente, la Consonancia y Disonancia a
la desafinación debemos aclarar que son conceptos diferentes, porque nuestra intuición en
primera medida puede hacer que los relacione como conceptos iguales. Hablar de desafinación es
comparar una misma nota2 entre instrumentos cuando presentan una variación mínima de la
frecuencia y Consonancia es comparar frecuencias que encajen a un sistema armónico, no
podemos caer en esa trampa!!! ,un sonido Consonante puede estar desafinado, Es válido hablar
de afinación en cuanto una nota de referencia.
2.3.2 Intensidad y Sonoridad:
2 Tocar una misma nota significa que sus frecuencias sean iguales, aunque para un clariente esa nota se llame SIb
y para un piano DO , puesto que cada instrumento tiene un sistema de afinacion diferente; iguales frecuencias, en
terminos musicales se nombran con diferentes notas
14
La intensidad de un sonido es la cualidad que se requiere para expresar cuando se dice
que un sonido es más fuerte o más débil que otro , según la fuerza que la perturbación produce
sobre las moléculas del sonido será mayor o menos intenso .Esto se traduce en una mayor o
menor amplitud en la vibración molecular . La intensidad del sonido se define como la potencia
Acústica trasferida por una onda sonora por unidad de área normal a la dirección de
propagación.
Intensidad 𝐼 =
𝑃
𝐴
(1)
Donde I es la intensidad del sonido, P es la potencia Acústica y A es el área normal de la
propagación de la onda .La unidad de mediad en el sistema Internacional de medida es el 𝑤
𝑚2 sin
embargo también es utilizado como unidad de medida el dB .
Ilustración 7 Intensidad de un sonido. Fuente: editada en Photoshop Express
“Esta cualidad caracteriza a las fuentes sonoras por su volumen, es decir, aunque dos o más
fuentes sonoras suenen a la misma frecuencia y tengan el mismo timbre, se pueden diferenciar en
que una suena más fuerte que el otro. Sin embargo, es un hecho bien conocido que la intensidad o
volumen de la fuente sonora, depende de que tan lejos se encuentre dicha fuente, del receptor,
aunque la intensidad también depende de algunas propiedades del medio de propagación en
términos de la absorción”.( Rodríguez ,2013,p.12)
El oído humano tiene la capacidad de escuchar sonidos a partir de una intensidad de 10-12
W/m². Esta intensidad se conoce como umbral de audición. Cuando la intensidad supera 1 W/m²,
la sensación se vuelve dolorosa.
15
2.3.3 Timbre
Es fundamental saber que esta cualidad nos permite discernir un sonido perteneciente a
un objeto emisor de otro. Desde el punto de vista de la física, significa, que una oscilación que no
es armónica se puede representar como una combinación de oscilaciones armónicas, cada una
con su propia Amplitud, Frecuencia y Fase.
.
Ilustración 8 Forma de la ondadel La4 producidapor la flauta, Violín y Órgano. Fuente: (Calvo-Manzano, 2001)
El matemático Francés Fourier demostró que toda función periódica puede ser
descompuesta en una suma de funciones sinodales. Desde el punto de vista de la Física, significa,
que una oscilación que no es armónica se puede representar como una combinación de
oscilaciones armónicas, cada una con su propia Amplitud, Frecuencia y Fase. El Armónico
fundamental es el de Frecuencia más baja. Las Frecuencias de los demás armónicos serán
múltiplos de esta. Además la periodicidad de la oscilación estará dada por el período del
armónico fundamental. (De La Fuente,1998. p.75)
2..4 ¿Que cualidades del sonido interfieren en el estudio del Fenómeno de Consonancia?
Es importante tener presente no confundir las características del sonido con la Consonancia,
sabemos que el timbre, el tono y la duración siempre van a estar presentes cuando alguien genera
un sonido por medio de un instrumento. La primera visón de un estudiante de Física y
matemáticas es que el timbre está asociado a la Consonancia, pues el principio fundamental de
este, es la descomposición de un sonido complejo en una sumatoria de funciones armónicas, en
cambio un músico pueden entender y construir su mundo sin necesidad de tener conocimientos
16
de física y matemáticas, sin embargo un físico para entender y construir la música necesita saber
de ella, en este sentido llegamos a un punto de inflexión muy importante en cuanto a la
concepción que tiene el autor sobre el sonido, es prudente usar la siguiente analogía; pensemos
un sonido como un elemento liquido, el primero es agua y el otro es aceite se mezclan pero aun
asi se pueden apreciar sus propiedades, para el autor esto pasa con los 2 o 3 sonidos que se
escuchan o se tocan al mismo tiempo,simplemente interactúan, se pueden percibir por separado y
no generan un sonido resultante, pero suenan en conjunto como si cada nota musical encajara
una con la otra, muchos vemos solo el resultado, pero algunos otros apreciamos más el proceso.
El tono3 es la única cualidad manipulable que afectara al fenómeno de consonancia cuando
miremos la interaccion de las notas asociadas a las frecuencias si concuerdan o no,
sus armónicos. Por otro lado la Intensidad esta más asociada al fenómeno de Resonancia,
amplifica el sonido como la caja de una guitarra, ya que nos estamos estudiando cuando la
amplitud de una Onda es máxima o colapsa .
2.5.Frecuencia y longitud de Onda .
Es necesario tener presente la relación de frecuencia y longitud de onda, nos va ser de
gran ayuda a las interpretaciones que vamos a dar a partir de las distancias o proporciones
presentes entre notas musicales .La longitud onda describe cuán larga es la onda. La distancia
existente entre dos crestas o valles consecutivos es lo que llamamos longitud de onda.
Ilustración 9 Longitud de onda. Fuente: https://www.mundomicroscopio.com/longitud-de-onda/
La longitud de onda y la frecuncia son inversamnete proporcionales.Si la longitud de onda es
larga la frecuncia es baja,esta descripción la podemos representar en la (ecuación 2):
3 El tono en términos de un sistema armónico y no en términos de afinación.
17
𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 ← 𝜆 =𝑉
𝑓 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜
→ 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
(2)
No podemos olvidar que la representacion de una onda se hace por medio de fuciones seno y
coseno y que las ondas sonoras generalmente describen un movimiento Armónico simple4,
quien representa en este caso, la dinámica del fenómeno de Consonancia y Disonancia musical,
pues es un proceso periódico cuya frecuencia de cada modo de vibración de una cuerda es
múltiplo de la fundamental (Cuando nos referimos a la fundamental, queremos decir que es el
primer sonido o nota musical generado por una cuerda u otro emisor de sonido) represetado en la
siguiente variable de Posición .
x = Asin( 𝜔𝑡 + 𝜑0)
CAPÍTULO 3: ANÁLISIS DE AUTORES QUE ABORDAN EL FENÓMENO DE
CONSONANCIA MUSICAL .
Para contribuir y asimilar el fenómeno de Consonancia y Disonancia musical necesitamos
reflexionar y abordar las ideas que nos aportan los diferentes autores acerca de este tema a lo
largo de la historia. Decidimos estudiar un periodo de tiempo comprendido desde la escuela
Pitagórica pasando por los Físicos como; Tyndall, Helmholtz ,culminando con Plomp y Levelt
que a lo largo del siglo XX abordaron el campo de la Acústica. Probablemente antes de los
Pitagóricos se desarrollaron análisis sobre el criterio de Consonancia, pero el descubrimiento de
las relaciones Físicas y matemáticas en cuanto a la música, se remontan a los Pitagóricos, siglo
VI antes de cristo, época en que se realizó una exhaustiva investigación sobre la cuerda vibrante y
formación de lo que se conoce hoy en día como la armonía musical.
4 La demostración de movimiento armónico simple se encuentra en el anexo B
18
3.1 Escuela Pitagórica
La escuela Pitagórica, fundada por Pitágoras (Samos, mediados del siglo VI a. C.), no
nos ha dejado documentos directos, pero conservamos muchas referencias en escritos posteriores
y algunos fragmentos de los últimos miembros de la Escuela (como Filolao o Arquitas) recogidos
en obras tardías de otros autores. Sin embargo, hay que tener presente que muchos de los ”logros
y descubrimientos atribuidos a Pitágoras no son más que especulaciones o reconstrucciones tan
modificadas con el paso del tiempo que en algunos casos se puede hablar de ellas, más como de
mitos. Por otro lado, en ocasiones es difícil averiguar la veracidad de las atribuciones hechas a los
diferentes teóricos pertenecientes a la primitiva escuela”. (Perez, 2006,p.42).
De las principales contribuciones realizadas por los Pitagóricos sobre el sonido, se
remonta un mito expuesto por Nicómaco de Gerasa, Gaudencio y Boecio, según sus relatos
Pitagóras observo a un herrero golpear a un yunque con martillos de diferentes masas, este
reflexiono que al golpear el yunque con diferentes martillos producían diferentes sonidos, gracias
a este incidente Pitagóras regreso a su casa con la intuición que podía replicar este suceso por
medio de cuerdas pero a diferencia de este, variando su longitud. Encontró que podía relacionar
estos aspectos físicos, representando los sonidos en proporciones numéricas sencillas a distancias
de octavas,quintas y cuartas en proporcion: 1:2, 3:2,3:4.( Ilustración 10)
A partir de estas investigaciones realizadas por Pitágoras surge la idea que al combinar los
sonidos especialmente por los intervalos de cuarta, quinta y octava, producían la sensación de un
sonido Harmonioso o Bien-sonante lo que se conoce como Consonancia. Pero, ¿qué sucede
cuando se tocaba algo que no era una de esas fracciones ordenadas?, Cuando las notas no están
en estas proporciones simples, tendremos a notarlo aunque no estemos al tanto de las
matemáticas", asegura Sparks.
Los griegos encontraron que al perturbar otras proporciones de la cuerda, demasiado próximas o
mucho más lejanas, y en intervalo de longitud difícil a la nota fundamental, producían sonidos
desagradables a sus oídos.
19
Ilustración 10. Proporciones en una cuerda tensada. Fuente: Editada en Photoshop Express
No obstante, las relaciones establecidas por medio de la experiencia generada en una
cuerda, se asociarían a las alturas generadas por el objeto que produce el sonido. Alguien de esa
época no podía medir las frecuencias emitidas por el objeto pero si podía establecer que una
cuerda larga y gruesa vibraba más lento al compararla con una cuerda corta y delgada que
vibraba más rápido, generando un sonido más agudo.
Los teóricos griegos de la proporcionalidad, distinguían tres medidas aritméticas que
permitían conocer los intervalos de relaciones entre sonidos sin embargo, Pitagóricos como
Nicómaco ya conversaban más de 10 medidas matemáticas diferentes. En el siguiente párrafo
atribuido a Arquitas se describen esos tres tipos de medias Matemáticas conocidas por entonces:
“ Hay tres medias en música. Una es aritmética, la segunda geométrica, la tercera es subcontraria
[hypenantia], a la cual llaman harmónica. Hay una media aritmética cuando tenemos tres términos,
proporcionales en que uno es mayor que otro de la siguiente manera: el segundo excede al tercero
en la misma cantidad en que el primero excede al segundo. Según esta proporcionalidad resulta que
el intervalo entre los términos mayores es más pequeño, y aquél entre los términos menores es
mayor. Hay una media geométrica cuando los términos son tales que así como el primero es al
segundo, así es el segundo al tercero. Según esta proporcionalidad el intervalo entre los términos
mayores es igual al intervalo entre los términos menores. Hay una media subcontraria, llamada
harmónica, cuando los términos tales que la parte del tercero por la que el término medio excede al
tercero es igual a la parte del primero por la que el primero excede al segundo. En este tipo de
20
proporcionalidad el intervalo entre los términos mayores es mayor, y el intervalo entre los términos
menores es menor”. (García, 2006, p.55)
A partir del párrafo citado se pueden establecer las siguientes medidas:
Media aritmética:
Media geométrica Media harmónica:
.𝑏 =𝑎+𝑐
2
𝑎
𝑏=
𝑏
𝑐 𝑏 =
2𝑎𝑐
𝑎 + 𝑐
Tabla 2 Medidas Pitagóricas. Fuente: Elaboración propia
Por medio de la ( tabla 2) queremos interpretar lo que proponían los autores en
términos más sencillos: Con el fin de representar las distancias de notas, en relaciones de
frecuencias . En la ( ecuación 3) notamos las relaciones de frecuencia y longiitud de onda.
𝜆 =1
𝑓
→ 𝑓 =1
𝜆
(3)
Conocemos que la proporción de ocatva respecto a la primera nota de la escala musical
es 1
2 de la longitud de la cuerda. Remplazamos este valor en la ( ecuación 3) , y obtenemos la
siguiente expresión:
𝑓 =
1
2𝐿
(4)
1
2 L, representa 2 veces las frecuencia respecto a la nota que emitio toda la cuerda ,
como se muestra en la ( ecuación 5).
21
𝜆 = 2𝑓 (5)
La fundamental (la primera nota de la escala musical) y el intervalo de octava (la ultima
nota de la escala musical), determinaría el intervalo de quinta (3/2), es decir la media aritmética.
Si nos dirigimos a la media harmónica, remplazamos a y c, por la fundamental, y su octava, el
resultado es el intervalo de cuarta (4/3). La media geométrica da como resultado las octavas
siguientes a la que se le aplique la relación, por ejemplo: si reemplazamos a por la fundamental y
b por su octava se obtiene la relación de la octava siguiente 2/1. La (tabla 3) resume lo que ya
explicamos.5
2
1
3
2
4
3
Quinta Octava Cuarta perfecta
Media aritmética:
Media geométrica Media harmónica:
.𝑏 =𝑎+𝑐
2
𝑎
𝑏=
𝑏
𝑐 𝑏 =
2𝑎𝑐
𝑎 + 𝑐
Tabla 3 Resultado de medidas de aritméticas. Fuente :Elaboración propia
Posteriormente un filósofo llamado Boecio entre los años 500 y 506 escribió una serie de
tratados, uno de ellos sobre música a partir de escritos y traducciones de un NeoPitagórico
llamado Nicomaco hijo de Aristoteles, Boecio en su tratado hace una serie de contribuciones al
concepto de consonancia apoyándose en la cualidad sonora de los intervalos ya mencionados,
atribuyendo a la consonancia como una sustancia que se convertía en algo suave y agradable para
el oído.
5 Los cálculos realizados en las medidas Pitagóricas se encuentran en el anexo C.
22
3.2 John Tyndall
En 1867 contribuyo al estudio del fenómeno de la consonancia musical en su obra on
sound, dando así, una definición exacta sobre este concepto:
“Cuanto más simple es la relación de las Frecuencias de dos sonidos, más Consonante
será el intervalo que forman”.
Tyndall6 recogió la idea de autores que venían tocando este fenómeno desde hace siglos
como L.Euler cuando le escribió una carta a la princesa Federica Carlota Ludovica von
Brandenburg Schwedt, princesa de Anhalt Dessau :
Ilustración 11 Carta de L .Euler a Federica Carlota Ludovica von Brandenburg Schwedt. Fuente: (Carrión, 2008)
A partir de interpretaciones como se muestra en la (ilustración 11), este Físico irlandés
propone, que si había coincidencia de Armónicos, y las relaciones entre las frecuencias son en
valores sencillos, posiblemente eran intervalos Consonantes. Particularmente la relación de
octava (2/1) como se muestra en la (tabla 4).
DO3 DO4 SOL4 DO5 MI5 SOL5 LA# DO6
1f 2f 3f 4f 5f 6f 7f 8f
Tabla 4 Consonancias perfectas. Fuente: Elaboración Propia
6 Físico irlandés colaborador del científico británico Michael Faraday llevó a cabo numerosos experimentos sobre
la fuerza de atracción del magnetismo y sobre el diamagnetismo, pero es especialmente conocido por sus estudios
sobre la conducción del calor en gases y vapores
23
Relacion de quintas f2/f1=3/2
Tabla 5 Consonancias en intervalos de quintas. Fuente: Elaboración Propia
7El dice que los intervalos de quinta son Consonantes (tabla 5 ) pero a diferencia del intervalo
de octava, en este aparecen nuevos Armónicos que no se encontraban en la octava, por esa razón
algunos no coinciden.
Relacion de terceras f2/f1=5/4
DO3 mi3 DO4 mi4 SOL4 si4 DO5 Mi5 SOL
5
sol#
5
LA# sib5 DO6
f 5𝑓
4
2f 10𝑓
4
3f 15𝑓
4
4f 5F 6F 25𝑓
4
7f 30𝑓
4
8F
Tabla 6 Consonancias en intervalos de 3. Fuente: Elaboración Propia
Tyndall habla de coincidencias de armónicos en el sentido de que las proporciones que no
están en las sucesiones de cada octava, no presentan una concordancia, por este motivo, si existen
más intervalos en el rango de octavas que comparten las proporciones del denominador en
aquella fracción, pero no son el doble de sus frecuencias, entonces presentan más Disonancia,
como podemos apreciar en la (tabla 6): el intervalo de 3, su proporción en términos de frecuencia
es de 5/4, su octava siguiente 10/4, la siguiente proporción esta en cuartos pero no representa su
octava ,representa su quinta respecto a la nota mí , aunque si es verdad que el intervalo de octava
7 Para obtener el intervalo de uan misma nota en diferentes octvas se debe multiplicar por 2 veces la frecuencia.
24
es el más consonante no se percató de ese detalle, que existen relaciones entre notas musicales y
no solo puede ser un criterio aritmético.
Es muy interesante como podemos apreciar en cada intervalo de tercera, quinta y octava,
que la coincidencia de Armónicos que se presentan estan muy relacionados con los intervalos que
conforman el acorde de cada una de ellas, así pasa en la (tabla 6), aparecen intervalos como las
notas si y sol# en los recuadros amarillos, que hacen parte de la tríada de MI mayor que
presentaremos con precisión más adelante. En la (tabla 7) podemos apreciar la distribución de
consonancias a partir de las interpretaciones de Tyndall.
Tabla 7 Proporciones de frecuencia de intervalos
Musicales. Fuente: Elaboración Propia
A partir de operaciones entre componentes de una fracción, encontro una forma de
clasificar las consonancias; por medio de la suma de los numeradores y denominadores de cada
intervalo .
Tabla 8 Suma de componentes de razones proporcionalidad. Fuente: Elaboración Propia
1/1 Unísono
2/1 Octava
3/2 Quinta
5/4 Tercera mayor
5/3 Sexta mayor
2
1 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑣𝑎 ∶ 2 + 1 = 3
3
2 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑎 ∶ 3 + 2 = 5
5
4 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ∶ 5 + 4 = 9
25
El intervalo se hace mas Disonante cuando el resultado de la operación de los términos
de la fracción se hace mayor, esta regla aritmética la propuso Tyndall pero en algunos casos falla
como en el intervalo de 3 mayor, con el intervalo de cuarta pues este ultimo es mas Disonante.
3.3 Hermman von Helmholtz
EL triunfo de la Armonía musical del siglo XIX fue la emergencia o evolución al sistema
temperado8 (12 notas musicales en una octava) remplazando a sistemas de afinación que se
construían a partir de terceras, según conti(2006) “intentándolo acercar a un sistema más natural,
establecido por medio de la reproducción de los intervalos naturales (derivados de la serie de los
armónicos)”(p,7). Una de las grandes contribuciones en la Acústica musical fue realizada por el
medico y fisico aleman Hermman von Helmholtz 9por medio de una publicación: Die Lehre von
den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik en 1863.
Los estudios de Helmholtz pudieron establecer una correlación por medio de la presencia
de batidos con el fenómeno de disonancia y consonancia musical dando una explicación al
comportamiento de los armónicos cunado los sonidos interactúan entre ellos pero también
enfatizando desde un punto de vista sensible la preferencia del oído a escuchar los sonidos como
un todo“la percepción consciente en la vida cotidiana está limitada a oír el sonido compuesto por
sobre el de sus parciales, como un todo y lo mismo, de la misma manera que sentimos el gusto de
un plato muy elaborado como algo entero, sin sentir claramente que cosa se debe a la sal, a la
pimienta u otra especie o condimentos”.(Conti, 2006, p.10)
A diferencia de los Pitagóricos, el fenómeno de Consonancia musical no se debe solo a
las sencillas razones numéricas sino también a términos más Físicos basándose en la estructura
del oído humano.
8 En el siglo XVIII Johann Sebastián Bach (1685- 1750), en su obra El clave bien temperado, implementó ciertas
modificaciones fundamentales que habían sido introducidas a la escala musical. Desde entonces la escala empleada
en Occidente es la escala temperada.( (Tomasini, s.f, p. 24)
9 Su primer trabajo destacado fue la formulación exacta del principio de la conservación de la energía,
descubierto pero presentado con escaso rigor por Julius von Mayer acerca de esta cuestión escribió Helmholtz su
primera obra notable, Sobre la conservación de la fuerza.
26
Ilustración 12 Sensación auditiva.Fuente: https://acortar.link/9iYKl
Helmholtz a partir de la siguiente identidad que trasnforma la suma de dos funciones en
un producto, pero enfatizando mas en el segundo termino de la( ecuación 6).
: 𝑠𝑒𝑛𝑓1 + 𝑐𝑜𝑠𝑓2 = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑓1+𝑓2
2) + 𝑠𝑒𝑛 (
𝑓2−𝑓1
2) 10 (6)
Analizo que la diferencia de frecuencias (ecuación 7), interpretaban los intervalos de
Batidos, asociados al grado de disonancia , esto se produce, porque existe una interferencia
destructiva y constructiva entre dos sonidos11
𝑓𝑏𝑎𝑡𝑖𝑑𝑜 = |f2 − f1| (7)
Por medio de estas deducciones, afirmo que los intervalos de 30 Hz a 40 Hz generan el mayor
grado de aspereza, si la diferencia de las frecuencias eran muy lejanas no hay percepción de
batidos en nuestro oído, enfatizando que los menores grados de Disonancia son entre frecuencias
menos próximas.
10 Si se requiere ver la demostracion del principio Si se requiere ver la demostración del principio Principio de
Superposición, Vea el Anexo E. 11 Para una mejor definicion de los terminos de interferencia destructiva y constructiva véase : (fenómenos de
ondas .Grigoni & Silvia, s.f.Universidad Nacional de Rosario).
27
3.4 Plomp y Levelt:
Plom y Levelt en el año de 1965 publicaron un articulo llamado “Tonal Consonanceand
Critical Bandwidth" allí hacen una comprobación y análisis experimental de la teoría de la
Consonancia musical de Hermman von Helmholtz , a través de la emisión de sonidos de forma
simultánea a un grupo de personas con o sin formación musical, donde se les pide valorar el
grado de Consonancia y Disonancia en una escala de valores arbitraria vs una escala de banda
critica a partir de las diferencias de frecuencias donde se tendría que ubicar (ilustración 13) por
ejemplo: un intervalo de octava, pues este intervalo, desde la armonía musical según los
pitagóricos representa la consonancia perfecta que en intervalos de frecuencias es la más
lejana. Por medio de estos resultados se obtiene la siguiente gráfica.
.
Ilustración 13 Evolución de la consonancia producida por dos sonidos en función de su separación. Uno de ellos tiene
frecuencia constante y otro aumenta progresivamente. Fuente :
http://www.ehu.eus/acustica/espanol/musica/somues/somues.html
Sin embargo tenemos presente un concepto muy importante que entra como componente
fundamental descriptivo de esta teoría Psicoacústica que va muy relacionado con nuestro
sistema auditivo, la banda critica. Dos sonidos cuyas frecuencias esten por debajo unos 45 Hz
generarían una sensación desagradable, como ocurre en el caso de una segunda mayor (la nota re
de la escala de Do mayor) respecto a la tonica de la frecuencia de la nota do ,en la octava central
del piano. Sabemos, no obstante, que el “ancho de banda crítica no es el mismo en Hz, el
registro grave, en el medio o en el agudo, por lo que la aparición de batidos entre dos frecuencias
dentro de una banda crítica será diferente en uno u otro registro”. (Jerez, 2019, p.149)
28
Según Békésy12 fisico de la época la audición simultanea de dos sonidos producen efectos
distintos como los podemos notar .
Sonidos de misma frecuencia generan un solo sonido.
Dos frecuencias parecidas generan Batidos
De frecuencias muy diferentes sonidos muy diferenciados .
Estas afirmaciones concuerdan con la (ilustración 14), donde nos muestran por
medio de las distancia entre frecuencias, si existe batidos o cuando no tiene sentido de
algun modo estudiar la Consonancia, porque la interacción de los sonidos exceden
diferentes octavas represadas en sus extremos cuando existe aspereza.
Plom y level buscan nuevas interpretaciones sobre este fenómeno, elaboran una
nueva forma representación teorica. Dejando un sonido fijo (250Hz) varíando el
segundo desde el unísono hasta su octava en los 6 primeros Amónicos. “We asume that
the total dissonance of such an interval is equal to the sum of the dissonances of each pair
of adjacent partials” según explica Plomp citado por (Olaya-FDZ-Herrero & Llorente,
s.f., p. 9), representado estas variaciones de notas musicalaes en la (ilustración 14), y
notamos que los picos más altos estan en las razones 1:1, 1:2, lo que conocemos como
intervalos de octava, representando la Consonancia perfecta.
Ilustración 14 Disonancia frente a relaciones de frecuencia de Plomp y Levelt . Fuente: (Pérez, 2006)
12 Georg von Békésy fue un biofísico, ingeniero y médico húngaro nacionalizado estadounidense.En 1961, fue
galardonado con el Premio Nobel de Fisiología o Medicina por su investigación de la función de la cóclea en el
órgano auditivo de los mamíferos.
29
El punto de Disonancia en dos o mas intervalos, se calcula respecto a la
comparación de la Anchura de banda critica correspondiente al intervalo de las dos
frecuencias ,a la frecuencia de batido, sacando un porcentaje de esa correspondencia, es
decir si las distancia entre dos frecuencias es de 15 Hz probablemete ya existen batidos,
relativamente esa distancia es corta, y la Anchura de banda critica tiene unos 60 Hz ,
entonces representaria la cuarta parte, 25%.
Ellos llegaron a la conclusión que los fenómenos de Consonancia y Disonancia musical
dependen más de la diferencia de frecuencias que por razones de longitud de una cuerda , si la
diferencia de las frecuencias entre tonos es mayor que una banda critica, existe mayor
probabilidad de consonancia, si es menor suenan disonantes. Los experimentos realizados por
Plomp y Levelt revelan que el intervalo más Disonante entre dos sonidos, es cuando las
frecuencias están separadas un 25% por ciento de la banda crítica, por lo tanto se puede concluir
que la diferencia de dos tonos puros inferiores al 50% respecto a las bandas críticas es una
Disonancia.
CAPÍTULO 4: RELACIÓN FÍSICA-MATEMÁTICA DE LA ARMONÍA DE LA
CONSONANCIA Y DISONANCIA
En este capítulo vamos a establecer un lenguaje que nos permita visualizar cómo interactúan
los modos de vibración de una cuerda, frecuencias, para describir un concepto muy puntual de la
Armonía musical; acordes consonantes y disonantes con el fin de comprender la configuración
del objeto de estudio desde la Física.
4.1 Construcción de Modos de Vibración
Para entender la escala musical, primero explicaremos la serie armónica tomando como
fuente sonora una cuerda vibrante. A partir de esta construcción mostraremos la relación que
existe entre los armónicos de una cuerda y los intervalos que hay entre cada nota. Cuando
tenemos una cuerda con sus extremos fijos y la perturbamos, se presentan ondas estacionarias,
ellas son perturbaciones en donde la onda que se genera no es una onda viajera, es decir, no se
30
puede determinar en qué sentido viaja13 la onda. Esta condición hace que la cuerda tenga un
número de patrones de oscilación naturales discretos llamados modos normales, cada uno con
una frecuencia característica.
El primer modo normal tiene nodos en sus extremos y un antinodo en medio, en este
modo la longitud de onda 𝜆 es igual al doble de la longitud de la cuerda: 𝜆 = 2𝐿,puesto que para
ver la longitud onda tendíamos que extender 2 veces la distancia de una cuerda; en el segundo
modo normal la longitud de onda es igual a la longitud de la cuerda: 𝜆 = 𝐿 ; generando un nodo
en el medio, ya que la longitud de onda cabe en toda la cuerda ;el tercer modo normal
corresponde al caso en que 𝜆 = 2𝐿/3. A continuación se muestran los modos de vibración
Construidos en una calculadora gráfica llamada Geógebra.
1 2
3 4
Ilustración 15 Modos de vibración. Fuente: Elaboración propia
13 Las ondas estacionarias se producen por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con
iguales características físicas pero que viajan en direcciones opuestas o dicho de otra forma son el resultado
de la superposición de una onda incidente y una onda reflejada. Las ondas estacionarias son aquellas ondas
en las cuales, ciertos puntos de la onda llamados nodos, permanecen inmóviles.( Jiménez,s.f.p.6)
31
Aquí podemos ver un patron en cuanto al numero de nodos cuando la cuerda se divide en
estas proporciones y podemos escribirlo de la siguiente forma.
𝜆𝑛 =2𝐿
𝑛 ; 𝑛 = 1,2,3..
(8)
En estas ondas estacionarias los puntos donde no hay movimeinto los vamos a llamar
nodos y donde existe movimiento antinodos, donde la frecuencias asociada a cada modo esta
dada por la siguiente expresion tomando la ( ecuación 2 ),y despejando la frecuencia obtenemos
Remplazamos la (ecuación 9), en la longitud de onda, y obtenemos una expresión
generalizada para hallar la relación de frecuencia de cualquier modo de vibración en una cuerda.
𝑓 =𝑛𝑉
2𝐿 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜
→ 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎
En la (tabla 9), se encentran las razones de longitud vibrante y Frecuencias :
Tabla 9 Proporciones de modos de vibración y frecuencias en notas musicales. Fuente: Elaboración propia
𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 ← 𝑓 =𝑉
𝜆 → 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑜𝑛𝑖𝑑𝑜
→ 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎
(9)
Modos de vibración Longitud vibrante frecuencias
2 L/2 2f
3 2L/3 3f/2
4 3L/4 4f/3
5 4L/5 5f/4
32
4.1.1 Relación de Notas Musicales con Modos de Vibración
Tenemos una cuerda de longitud L, que vibra con determinada frecuencia en su primer
modo normal de vibración. A este primer modo, con frecuencia determinada, le podemos asociar
una nota musical, por ejemplo la nota musical do14. Cabe aclarar que la designación del nombre
de la nota es una forma de llamar o de clasificar las frecuencias asociadas a las vibraciones de la
cuerda esto hace útil la escritura de los músicos; este fue el sentido la creación de la escritura para
músicos.”La expresión de un sonido, desde el punto de vista de la ciencia acústica, se hace por
medio de número, entero o fraccionario, que expresa la frecuencia de dicho sonido,“para el
músico se hace muy penoso pensar en una determinada nota musical pueda ser simplemente a un
número frio, con el fin poder asignar un determinado nombre a ese número, fueron ideados los
denominados indices acústico-musicales.”(Ruiz, 2001, p.168).
Ahora consideremos el segundo modo normal de vibración DO; en este modo, la
frecuencia se duplica una forma de conseguir que la frecuencia sea dividir la cuerda en la mitad.
De cualquier forma, en el segundo modo normal de vibración obtenemos el doble de la
frecuencia, a esta le asociamos nuevamente una nota musical, pero esta nota es lo que en la
música se conoce, como la octava de la primera nota, y se llama así porque al sonar esta nota el
primer modo normal de vibración, producen una sensación al oído humano de Consonancia
perfecta suenan al unísono, esto quiere decir que se toca la misma nota pero la diferencia es que
suena más agudas, la mayor consonancia de todas.
De esta forma ya tenemos dos notas musicales do, y su octava DO que denominaremos
así para distinguir que una es la octava de la otra. En el tercer modo normal de vibración, la
frecuencia se triplica en relación con la primera, a esta frecuencia nueva se le asignó la nota
musical SOL, esta pertenece a la escala que vuelve a comenzar en la octava de DO, por lo tanto,
para conocer la frecuencia de la nota musical sol, que pertenece a la escala de do, dividimos en 2
la frecuencia, de este modo la frecuencia del sol es de 3/2 de la frecuencia inicial. Si aumentamos
la frecuencia a 5 veces la frecuencia inicial, encontramos una nueva nota Mi”15 que pertenece a
cuatro octavas de do, Para obtener la frecuencia de la nota mí, dividimos por 4, de modo que la
frecuencia para esta nota musical mí, será de 5/4 de la frecuencia inicial.
14 Debemos precisar que el sonido producido por una cuerda depende de su material y su longitud.Tomamos el
sonido de una cuerda la nota Do como referencia pero no quiere decir que toda cuerda genere ese sonido. 15 Utilizamos las comillas para diferenciar las Octavas.
33
En particular, para una cuerda de longitud L, el segundo intervalo se obtiene pulsando la
cuerda a 2/3 de la longitud de a quinta la cual es a 2/3L; es decir, a (2/3).(2/3)L = 4/9L; como la
frecuencia de la nota que da este trozo de cuerda es 9/4 f = 2,25f y superior a 2f,es necesario
elegir una cuerda que sea el doble de 4/9L, es decir de longitud 9/8 f=1,125f (Escalona, 2016). En
forma análoga se procede con los demás intervalos para obtener las notas musicales y completar
así las 8 notas que conforman la siguiente escala musical (ilustración 16).
Ilustración 16 Escala Musical en proporciones de frecuencia.Fuente: Elaboración propia
Si multiplicamos por una frecuencia arbitraria en todas las proporciones de la escala musical
de la (ilustración 16) , obtenemos la siguiente gráfica, que nos muestra, que el cambio entre
cada nota es casi proporcional. Físicamente una escala nos muestra algo muy importante, un
rango de frecuencias que esta ligado a una Banda critica, y aquella interacción de sonidos o
notas musicales, se van efectuar en ese rango de frecuencias, no tiene sentido mirar la
Consonancia de dos sonidos cuando están en dos escalas o octavas diferentes .16
Ilustración 17 Relaciones entre las notas y sus frecuencias, en la escala musical. Fuente: Elaboración propia
16 En este caso elegimos la frecuencias del Do central del piano 261,63 Hz
0
200
400
600
do re mi fa sol la si Do
FREC
UEN
CIA
NOTAS
frecuencias
34
4.2 Formación de Acordes, Musical a lo Físico.
Cuando dos o más sonidos suenan al mismo tiempo lo asociamos a un concepto derivado
de la armonía17; el acorde este tiene un patrón de formación y unas reglas establecidas
para agruparse por este motivo no podemos estudiar la concordancia de sonidos o notas sin una
correlación entre ellas sin comprender si forman parte o no de una misma tríada, de otro modo
no tendría sentido estudiar la Consonancia a través de este concepto porque estaríamos mirando
notas al azar de alguna manera. La siguiente gráfica representa el segundo, tercer y quinto
armónico (modo de vibración) de una cuerda tomando como nota musical de referencia base para
el segundo armónico el DO de la segunda octava18 de una escala musical (Una escala musical se
conforma por 8 notas) y el tercer armónico de vibración la nota sol, también pertenece a la misma
escala y quinto armónico la nota mí como lo podemos ver en la siguiente ilustración.
Ilustración 18 Acorde de DO mayor representado en modos de vibración.Fuente: Elaboración propia
Un acorde ya sea Consonante o Disonante tienen de base, el primer, tercer, y quinto grado
de una escala musical. Antes de profundizar en la Consonancia y Disonancia de los sonidos en
términos de fisicos, debemos saber que existen dos formaciones de acordes:la distancia entre
notas configuran o determinan las clase de acordes.
17 Plano musical sonoro. 18 La octava es él limite de una escala musical delimitado por la fundamental hasta el doble de su frecuencia en
términos más físicos en un Banda critica contiene un intervalo de frecuencias
35
Ilustración 19 Distancia entre notas.Fuente: Elaboración propia
La (ilustración 19) nos muestra la escala musical de do hasta su octava DO. Las notas
musicales do re mi fa sol la si DO tienen una serie de alteraciones que se llaman sostenidos y
bemoles, su función es subir o bajar medio- tono (1/2T)19 a la nota natural, representados por un
# (sostenido) y b (bemol) . Cuando la escala musical es ascendente se agregan sostenidos pero
cuando deciente se agregan bemoles, esto es una notación realizada por los músicos para
diferenciar cuando se sube o se baja medio- tono20 a las notas (Armónicos).
Ilustración 20 Alteraciones en una escala.Fuente: Elaboración propia
Para hacernos una idea más fácil de la compresión de estos elementos imaginemos un
piano; las teclas blancas representan todas las notas naturales (do re mi fa sol la si Do) y las teclas
negras las alteraciones (#,b) ya mencionadas. Como se ha venido diciendo para la construcción
19 En el sistema de afinación temperada, que usualmente se usa en la Musica occidental la relación de freceuncia
de una nota y la distancia de medio tono es de √2 12
20 Existe un termino musical llamado enarmonico este establece cual es sostendio que es igual auditivamente a un
bemol, por ejemplo el do# es igual reb .
36
de acordes dependemos de la distancia, orden entre las notas y sus alteraciones de una escala
musical, ya que de alli se derivan :los acordes base de toda la Armonía .
4.2.1 Acordes Mayores
Los acordes mayores se forman por una tercera mayor y una tercera menor es decir que la
distancia entre el primer grado del acorde y el tercer grado es de 2T y las distancia entre el tercer
grado y quinto grado es 1/2T de acuerdo a esto podemos deducir un patrón formación de Tono
+Tono+Tono+Semitono+Tono
4.2.2 Acordes Menores
Los acordes menores se forman de la misma forma que los Acordes mayores solo que el
orden de la tercera mayor y tercera menor cambian, es decir que la distancia entre el primer grado
del Acorde y el tercero es 1/2T , la distancia entre el tercer grado y quinto son 2T de acuerdo a lo
ya mencionado podemos deducir un patrón de formacion: Tono+Tono+Semitono+ Tono+Tono
4.3 Formacion, Acordes Consonantes y Disonantes
Ilustración 21 Intervalos que conforman un acorde. Fuente : Elaboración propia
En el pentagrama de la (ilustración 21) podemos notar la escala que tiene un sentido
muy importante, nos podemos establecer donde están los grados que conforman un acorde sin
entender que notas conforman dicha triada donde están todas las nota base de toda la Armonía
37
musical, es una ley fija, para saber el tipo de acorde necesitamos saber cuál es su escala21, porque
los intervalos Consonantes y Disonantes se establecen con las notas que conforman la escala,
(Ilustración 21) ¿vemos que hay un sib?, no hay sib entonces esta nota es candidata hacer
intervalo Disonante .Pero fijémonos más en el primer, tercer y quinto grado de la octava de la
escala, ¿Qué podemos notar? .
Descubrimos algo muy interesante, el patrón que conforma el acorde mayor tiene los
mismos intervalos en términos de proporción cuando dividimos la cuerda tensada en sus primeros
3 armónicos, de acuerdo con lo anterior podemos afirmar que al dividir la cuerda tensada en sus
primeros 3 Armónicos da como resultado los intervalos de un Acorde mayor?, si esta afirmación
es válida en pocas palabras estamos diciendo ya de entrada que un acorde mayor es Consonante,
y que existe un parámetro físico y matemático para construir el concepto de este fenómeno. Pero
También podemos inferir que los acordes consonantes también están, en los acordes menores,
como se ha dicho tienen el mismo patrón de formación pero invertido, entonces los Acordes
Consonantes y Disonantes están contenidos en los acordes mayores y menores esto quiere decir
que en la formación de acordes mayores y menores existen acordes Consonantes y Disonantes
.
Ilustración 22 Ubicación del armónica de consonancia Musical. Fuente : Elaboración propia
A diferencia de los autores que han abordado la Consonancia y la Disonancia musical en
términos de relacionar sonidos por medio de una teoría más Psicoacústica que funciona, pero no
21 Establecer una escala, es entender que notas la conforman, existen infinitas escalas, y cada escala tiene un
Acorde especifico.
38
es exacta, ¿a qué nos referimos?, el autor reflexiona que necesitamos estudiar la Consonancia por
medio de un sistema de sonidos, es decir no podemos analizar un do y re solamente, porque sus
frecuencias son cercanas y producen batidos, necesitamos comprender la relación Armónica
cuando dos o 3 y más sonidos suenan al mismo tiempo y a partir de ello Analizarlos físicamente.
Miremos la siguiente ilustración:22
DO MI SOL FA
Ilustración 23 Acorde consonante + intervalo dionante. Fuente : Elaboración propia
Los bloques en rojo de la (ilustración 23) forman el acorde consonante pero si le
agregamos una notas más seguramente podría ser un acorde disonante, hay que verificar si la
nota que está en el recuadro amarillo tiene alguna relación o no, con alguna de las otras notas.
Cuando hablamos de alguna relación con las demás notas queremos averiguar si la nota FA no
forma parte de dicho acorde con las notas que conforman el acorde base .
DO Y FA tienen relación por que el acorde de FA está conformado por las notas FA,
LA ,DO .
FA LA DO
Ilustración 24 Relación intervalica de nota do y fa. Fuente : Elaboración propia
MI Y FA no tienen relación porque FA no hace parte del acorde de MI 23.(
ilustración 25)
22 Por gusto del autor decidimos estudiar la consonancia desde los acordes mayores. 23 Vea el anexo D para ver la consfiguracion del acorde de de MI y de Sol
39
MI SOL LA
Ilustración 25 Relación intervalica de nota MI y FA. Fuente : Elaboración propia
SOL Y FA no tienen relación porque FA no hace parte del acorde de SOL.
(ilustración 26).
SOL LA SI
Ilustración 26 Relación intervalica de nota SOL y FA. Fuente : Elaboración propia
Lo expuesto hace un momento es importante y tenemos que mostrarlo para entender el
concepto de consonancia desde la armonía musical y poder hacer el puente y hacer uso de la
analogía Fisica.24
Retomando la física conocemos que cada nota musical es un modo de vibración y
queremos ver como se comportaría la disonancia desde este estudio, aclarando que estamos
construyendo el concepto y esto que presentamos son las bases para formar y estudiar el
comportamiento de la Consonancia y Disonancia y no es una solución definitiva a esta
problemática de estudio. A Continuación miraremos las gráficas de los modos de vibración con
un Acorde Disonante: En esta primera gráfica mostramos el segundo, tercer, cuarto y quinto
Armonico que representan las notas do, mi ,sol, fa respectivamente .
24 Estudio desde los Modos de vibración.
40
Ilustración 27 Acorde consonante + intervalo de cuarta reprsentando en modos de vibracion . Fuente : Realizadas en
simulaciiones PHET
Ahora miremos la relación del cuarto armónico que pertenece a la nota FA con los
demás modos de vibración en la (ilustración 28)
Segundo y cuarto armónico (nota DO Y FA)
Ilustración 28 Representación intervalica de la nota DO y FA en modos de vibración . Fuente : Realizadas en
simulaciones PHET
Tercer y cuarto modo de vibración ( nota SOL Y FA)
41
Ilustración 29 Representación intervalica de la nota SOL y FA en modos de vibración . Fuente : Realizadas en
simulaciones PHET
Quinto y cuarto modo de vibración ( nota MI Y FA)
Ilustración 30 Representación intervalica de la nota MI y FA en modos de vibración . Fuente : Realizadas en
simulaciones PHET
Claro a partir de las gráficas anteriores, queremos entender que tiene que ver la
coincidencia de nodos, crestas y valles de dicho fenómenos, y no hacemos uso del Análisis de
Fourier por una razón, es complicado explicar lo que nosotros escuchamos a otras personas,
cuando hablamos de Acorde Consonante no significa que dos o tres más sonidos se mezclen, se
sumen y formen una Longitud de Onda o Sonido resultante como ya se ha explicado o se aplique
el principio de superposición, en ese sentido, la siguiente imagen nos muestra el espectro
generado por una Flauta dulce de un intervalo consonante (Do y Mi) y disonante (Do y Sib).
42
Intervalo Disonante Intervalo Consonante
Ilustración 31 Esopectros de intervalos consonantes y disonantes . Fuente; Realizdas en programa Sprectoid25
En el intervalo consonante de la (ilustración 31) notamos que las líneas espectrales estas
próximas por lo tanto existe una mayor coincidencia de armónicos por el contrario en el intervalo
Disonante estas líneas se encuentran más separadas en consecuencia hay menos coincidencia de
Armónicos, de esta manera ayudaria más a confirmar nuestras concepciones teóricas al analizar
las interacciones por medio de un sistema Musical, Sin embargo es necesario decir por qué este
fenómeno se estudia por medio de una relación de sonidos en función de un contexto, los
Acordes y no notas por separado. Esta compresión que tiene el autor la hace porque a obtenido
una educación de su oído así que no son concepciones a priori.
25 Si se desea revisar el espectro generado en el intervalo de 5 mire el anexo F
DO
DO
Sib
MI
Do
O
mi
Do
O
SIb
43
Ilustración 32 Analogía Visual del fenómeno de consonancia. Fuente : Elaboración propia
En la parte izquierda de la (ilustración 32) representado por un Acorde Consonante se
aprecia que se pueden diferenciar los tres bloques, aunque pareciera que fuera un solo bloque
rojo, en la parte derecha vemos un acorde disonante compuesto por un bloque amarillo que no
encaja en los otros 2 rojos, no hace parte de ese sistema de bloques, de esta misma manera pasa
auditivamente concebir la Consonancia como dos o más sonidos que se escuchan en bloque, lo
que nos lleva a descifrar un proceso para abordar mejor este concepto, A través del análisis de su
relación armónica desde los acordes y desde allí nos trasportamos a estudiarlos por medio de la
relaciónes físicas como concordancia de modos de vibración que ya vimos en una primera parte
y relaciones Matemáticas o aritméticas de las Frecuencias que se presentan continuación.
4.4 Interacción de intervalos en Acordes.
Cuando al oído se le presentan dos o más sonidos simultáneamente (acorde) o
sucesivamente (melodía) lo que hacemos generalmente es ubicar la altura de uno de ellos
tomaando como referencia el agudo o grave, sin embargo par ir más a fondo existen una razón y
relación entre intervalos que forman las notas musicales.
Ilustración 33 Representación Musical de la nota Fa y LA vista como frecuencias Fuente : Elaboración propia
En acústica la expresion que relaciona los intervalos que se encuentran las notas
musicales se representan por medio de cocientes entre las frecuencias de sonido caracterisitco
44
.Por ejemplo la frecuencia F1 (440Hz) y la frecuencia F2 (523,25 Hz) forman un intervalo de
quinta y se representan por medio de la fracción f2/f1:
Intervalo de quinta = 523,25 Hz
440 𝐻𝑧 = 1,2
La relación que se muestra por medio del cocientes entre las frecuencias del intervalo de
quinta, genera una serie de atributos musicales que pueden generar varias interpretaciones como
El sentido Ascendente o desendente de una escala y definir en que octava pertencene un
intervalo26, pero es posibe a partir de lo anterior dar un atributo como la Consonancia y
Disonancia? , a través de las relaciones de cocientes entre frecuencias?
4.5 Relaciones de cocientes de Frecuncias en intervalos Consonantes y Disonantes .
do mi Sol
261,6 Hz
f1
329,6 Hz
f2
392 Hz
f3
Ilustración 34 Acorde de Do mayor en relaciones de frecuencia. Fuente : Elaboración propia
Analicemos los cocientes en los intervalos del acorde de Do mayor de la (ilustración
34) ,respecto a la tonica:
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟𝑎 ∶ 𝑓2
𝑓1=
329,6 Hz
261,6 HZ = 1,2
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑎 ∶ 𝑓3
𝑓1=
392 Hz
261,6 HZ = 1,4
Cocientes de los intervalos de un acorde de Do mayor mas una cuarta justa.(Acorde
Disonante). (Ilustración 35).
26 Si se requiere mirar las relaciones de frecuencia vea en anexo D
5/4 5/4 3/2
45
Ilustración 35 Acorde de Disonante en relaciones de frecuencia. Fuente: Elaboración propia
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎 ∶ 𝑓4
𝑓1=
349,23 Hz
261,6 HZ = 1,3
Por medio de la (ilustración 35) notamos que la curta justa tampoco tiene relación con mi y
sol, puesto que si tomamos ahora el mi como tónica, la cuarta justa se convierte en una segunda,
tomando el sol también como tónica la cuarta justa se convierte en su novena.Miremos las
relaciones de frecuencia en los intervalos mencionados.
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑚𝑖 ∶ 𝑓4
𝑓2=
349,23 Hz
329,6 HZ = 1,05
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑛𝑜𝑣𝑒𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑛𝑜𝑡𝑎 𝑠𝑜𝑙 ∶ 𝑓2
𝑓3=
392 Hz
349,23 HZ = 1,1
A través del cociente de frecuencias que vimos en el Acorde de la (ilustración 35), ahora
indaguemos, que pasa en los intervalos Acordes base (Consonante) mas los intervalos disonantes
que notamos por medio de los recuadros Amaralillos en la (ilustración 36).
Ilustración 36 Acorde consonantes +intervalos disonantes. Fuente: Elaboración propia
do mi sol fa
261,6 Hz
f1
329,6 Hz
5/4 f2
392 Hz
3/2 f3
349,23 Hz
4/3 f4
f1 f2 f3 f4
do mi sol la
do mi sol si
do mi sol re
46
Observemos la tabla 10, en ella se encuentran los valores de los concientes de las frecuencias de
cada intervalo que conforman los acordes de la (ilustración 36).
Tabla 10 Resultados de Cocientes de frecuencia. Fuente: Elaboración propia
Do mayor +6
EL primer acorde compuesto ( Consonante + intervalo Disonante ) en el intervalo de 3 y 5
tienen un patrón de un valor decimal par , el intervalo de 6 respecto a la tónica tiene un valor que
lo vamos a considerar neutro y los dos intervalos restantes tienen un patrón decimal impar. Si
comparamos estos valores con la armonía musical el intervalo de 3 y 5 son consonantes .La 6
respecto a la tónica Armónicamente es consonante y su inervalo da un valor neutro, los dos
restantes: el intervalo de sexta respecto al intervalo de tercera Armónicamente es disonante pues
si los analizamos por separado se convierte en intervalo de 4 lo mismo pasa con el intervalo de 6
respecto a la 5, se convierte si se toma como tónica la nota sol en intervalo de segunda toman un
valor decimal impar.
Apartir de esto podemos interpetar :
1. Los intervalos que son consonantes Armonicamente dan un valor decimal par .
N Acorde Intervalo
de 3
Intervalo
5
Intervalo +
(6,7,9)
Respecto a la
tonica
Intervalo de
+ (6,7,9)
respecto al
intervalo de 3
Intervalo
de + (6,7,9)
respecto al
intervalo de
5
1 Do mayor
+6
1,2 1.4 1,68 1,3 1,1
2
Do mayor
+9
1,2
1,4
1,1 ; sobre la
octava
2,2 ; sobre la
2 octava
1,1 : sobre
la octava
1,78 : sobre la
segunda octava
1,3 : sobre la
octava
1,49 : sobre
la 2 octava
3 Do mayor
+7
1,2 1,4 1,78 1,2 1,25
47
2. Los intervalos que son Disonantes armonicamente dan un valor decimal impar.
3. El intervalo neutro que nosotros asignamos tiende hacer Consonante o Disonante, pues si
analizamos el inervalo de sexta con la tónica es consonante pero si tomamos en conjunto y
lo miramos como un intervalo de 6 más el acorde mayor es Disonante. 27
No podemos afirmar con exactitud que estos patrones se cumplen para todos los acordes y
que armónicamente un Acorde Disonante está relacionado con un decimal impar o por el
contrario que la consonancia está relacionada con valores pares, pero si podemos considerar ¨
Cuando más simple sea la relación de Frecuencias de dos sonidos, más Consonante será el
intervalo que conforman.”(Jhon Tyndall ), los intervalos 6 ,7,9 tienen más grado de
disonancia.
4.6 Suma de intervalos
Las operaciones que se realizan en música tienen un paralelismo con las operaciones que se
hacen en acústica. A continuación se va explicar como se desarrolla la operación y como
podríamos explicar alguna relación en un acorde.
Ilustración 37 Suma de intervalos. Fuente: (Calvo-Manzano, 2001)
f1,f2y f3 ordenados del grave al agudo los intervalos que se forman son :
𝑓2
𝑓1 (𝑎);
𝑓2
𝑓1 (𝑏);
𝑓3
𝑓1 (𝑐)
El intervalo (c ) es la suma del intervalo (a) y (b.), Si se multiplican (a ) y (b) el resulatado
sera (c)
𝑓2
𝑓1×
𝑓2
𝑓1=
𝑓3
𝑓1 (10)
27 Las demas interpretaciones del acorde de Do mayor con 9 y 7 se encuentran en el Anexo G
48
Para sumar intervalos se multiplican las fraciones representativas entre ellos, el intervalo de
quinta justa se representa por la fraccion 3/2 y el de cuarta 4/3.
3
2×
4
3=
12
6 = 2 ( 11)
Analicemos con este mismo procedimiento, la suma de los intervalos contenidos respecto a
las tonicas de dos acordes mayores :
Do mayor do mi sol
Re mayor re fa# sol
Ilustración 38 Intervalo de 3 + intervalo de 5. Fuente: Elaboración propia
Por medio del procedimiento de la ecuacion (10) obtenemos la siguiente siguiente ecuación a
partir de la gráfica anterior:
𝑓2
𝑓1×
𝑓3
𝑓1=
𝑓4
𝑓1
Remplazando el valor de sus intervalos el resultado:
5
4×
3
2=
15
8
El resultado obtenido es un intervalo de septima, un intervalo disonante .
49
Ilustración 39 Intervalo de 7 . Fuente: Elaboración Propia
El Acorde de re mayor tiene el mismo compotamiento pues la distancia entre 3 y quinto grado
del Acorde es igual al Acorde mayor.
do mi sol sib
re mi Fa# do
Podemos concluir que la suma de intervalos Consonantes da como resultado un intervalo
Disonante.
4.7 Consideraciones en la Enseñanza de la Física
La apuesta que tiene la educación en este siglo como objetivo fundamental de
transformación de esta sociedad es fomentar el pensamiento critico con el fin de producir
nuevo conocimientos , según claxton (1994) "Educar mentes curiosas. El reto de la enseñanza
de la ciencia en la escuela" dado que tener tener actitudes científicas nos brinda una especie de
caparazón que nos permite contraponer y resolver problemas en cualquier contexto de nuestras
vidas Por este motivo nace una preocupación : ¿ cómo incentivar las ganas de aprender?.Las
contribucones para mejorar la enseñanza de las ciencias pero particularmente en la Fisica han
generado un aumento de las horas en la malla curricular aunque es muy importante, tambien
debatible, sigue predominado una vision mecanica del mundo es decir los maestros, desde la
educación primaria hasta la universidad, siguen mostrando la gran mayoria esta rama del saber
como una receta de cocina, un dictado de procedimientos que no despierta sensaciones nuevas
por investigar, por este motivo es necesario hacer un cambio conceptual, que permita ser
50
incluyende en un sentido interdisciplinario, multidisciplinario o trandisciplinario, “Cuyo
principal propósito es desarrollar integralmente al estudiante en aspectos tales como la formación
de su actividad cognoscitiva, desarrollo del pensamiento y de sus conocimientos, habilidades e
igualmente de su personalidad”. (Mejia, 2016, p. 33)
En concordancia con las ideas expuestas hasta aquí es importante plantearnos que
debemos hacer para cumplir estos retos como futuros maestros, enfocarnos a nuevas formas de
transmisión de conocimiento en aula . Según Zilbestein y Portela
“Que el aprendizaje se realice a partir de la búsqueda del conocimiento por el alumno,
utilizando en la clase métodos y procedimientos que estimulen el pensamiento teórico,
llegar a la esencia y vinculen el contenido con la vida”. por (Valdés, E, Armada
Arteaga, & Martínez, 2016, p.72)
Es así que debemos emplear métodos y procedimientos que dinamicen el aprendizaje del
entorno escolar, sin embargo este proceso debe ser mutuo docente-estudiantes quienes
representan las vigas de amarre de la divulgación y transformación del conocimiento.
“Los procesos escolares de enseñanza y aprendizaje pueden entenderse como procesos
de construcción de significados compartidos; en efecto, el aprendizaje escolar es, en
esta perspectiva, una construcción claramente orientada a compartir significados,
mientras que la enseñanza es un conjunto de actividades sistemáticas y planificadas
mediante las cuales el profesor y alumnos llegan a compartir parcelas progresivamente
más amplias de significados respecto a los contenidos del currículum escolar”. (
Edwards, 2006, p. 55)
En ese marco el proyecto busca la caracterización del mundo sonoro por medio de un
puente; la Música y la física, Puntualmente en la consonancia y disonancia de acordes del plano
armónico y elementos físicos como los modos de vibración y frecuencia como componente
descriptivo de este fenómeno con el motivo de generarnos un reto como actores de la sociedad,
buscar soluciones de 180 grados a la compresión de nuestra realidad y generemos Sustancia que
perdure en el proceso de enseñanza de aprendizaje, por último no olvidemos que Somos un todo
y todo está interconectado.
51
“Un sistema educativo sólo será de calidad si es integrador y exigente, si se
beneficia de su interacción con la comunidad, si garantiza la igualdad de
oportunidades y si hace efectiva la posibilidad de que cada alumno o alumna
desarrolle el máximo de sus potencialidades”. (Internacional., s.f.)
CONCLUSIONES
Este trabajo alrededor de ejes investigación como: los modos de vibración, Frecuencias en
cuerdas en un sistema Armónico como los acordes, permite visualizar y evidenciar que es
posible conectar diferentes áreas de conocimiento como potencializador en la enseñanza de las
ciencias. Alrededor de este proyecto nos permite dar reflexiones sobre la interdisciplinariedad en
la enseñanza de la Física como eje trasversal, ¿ Por qué ? no vincular las clases de música y
física para contextualizar a los estudiantes sobre los fenómenos sonoros, presentes en los
instrumentos musicales o interacción de las notas plasmadas en un pentagrama, por qué no
incentivar espacios de conocimiento como museos interactivos, en la creación de proyectos
alrededor de la construcción física de la Música, estos puentes serán ayuda para generar esa
chispa en los estudiantes por el conocimiento, para encontrar un sentido con diferentes ramas del
saber.
Por otro lado el proyecto nos permitió contribuir y fundamentar la teoría de la
consonancia y Disonancia Musical propuesta desde la escuela Pitagórica y posteriormente por los
físicos Jhon Tyndall, Helmholtz, Plomp y Levelt en los siguientes aspectos:
Dentro de los puntos mas importantes fue establecer ese dialogo entre la Física y la
Música Como puente o rama de estudio en la acústica, con el fin de Contextualizar a cualquier
persona que desee estudiar este concepto, es decir las teorías que abordan no informan que tocar
2 o más sonidos lo asociamos a un concepto muy puntual que se llama Acorde, derivado de uno
de los tres planos musicales; la armonía y porque elementos Físicos como la Frecuencia y los
modos de vibración hacen parte de la descripción y construcción de este, delimitando también las
52
cualidades del sonido y fenómenos Físicos que no hacen parte ella, con el fin de no confundir
Desafinación, Resonancia con la Consonancia y Disonancia.
Un segundo momento fue establecer las relaciones teóricas del objeto de estudio: los
Pitagóricos observaron que al tocar dos sonidos simultáneamente resultaban agradables
(Consonantes) en virtud de razones simples de enteros de la Longitud de una cuerda 1/2,2/3,3/4.
Posteriormente ya existe la concepción del sonido en términos de vibraciones, se sabe que la
altura de un sonido que produce una cuerda depende de la velocidad en que oscila, es decir que
existe una relación inversa de proporcionalidad entre la Longitud de Onda y la Frecuencia: f=1/λ,
a partir de esto Tyndall explica que la Consonancia se describe en razones simples de frecuencias
como los intervalos de octava 2f ,4f. Luego sale a la luz una teoría más robusta propuesta por
Helmontz que a diferencia de las otras que explican la Consonancia en función de razones
aritméticas de las Frecuencias y Longitud de Onda tiene una visión más Física:expresa que si
la diferencia de Frecuencias eran muy próximas generaban Batidos a causa de una interferencia
destructiva asociando esto a la Disonancia, por último se desrrolla una teoría Psicoacústica más
formalizada propuesta po Plomp y Levelt que es la continuación de una forma más experimental
de la obra de Helmholtz donde nuestro sistema auditivo en fundamental para explicar este
fenómeno aquí la diferencia de Frecuencias no solo va a intuir si el intervalo es Disonante
Consonante puesto en conjunto con nuestro Sistema auditivo el concepto de Banda critica
determina cuando las frecuencias exceden o no, ese rango en la cóclea de nuestro oído Medio.
El tercer momento como punto de inflexión es Fudamentar la teóricas de Consonancia
por medio de las relaciones Armónicas que existe entre sonidos, a partir ello, establecimos los
siguientes reflexiones y parámetros para describirla:
• No podemos mirar la Consonancia como una suma de sonidos, tenemos que
entenderla simplemente como una interacción entre dos o más sonidos que suenan en
conjunto, pero que se pueden diferenciar uno por uno.
• Los Acordes mayores y menores son acordes Consonantes: la distancia entre
los intervalos de una tríada originan el mismo patrón al dividir una cuerda tensada en
su primeros 3 armónicos, dado que son las razones simples que Pitágoras estableció
como Consonantes.
53
• Debemos estudiar las relaciones de Frecuencias y modos de vibración por
medio de un sistema Armónico: los acordes, pues de otro modo estaríamos analizando
sonidos de forma arbitraria.
• Físicamente la Concordancia de los Armónicos en sus crestas y valles en un
Acorde, establece que existe Consonancia
• Por medio del principio acústico a partir del cociente de frecuencias establece
atributos como en sentido ascendente o descendente de una escala a partir de ellos
también pudimos establecer otros atributos como indicios cuando el resultado de ese
cociente de dos frecuencias en valores pares son intervalos Consonantes y resultados
impares intervalos Disonantes.
• La suma de los elementos de una tríada por medio de intervalos de
Frecuencia establece cuál es el intervalo más Disonante en los Acordes.
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ANEXOS
Anexo A :
Gama de frecuencias udibles
Tabla 11 Rango de frecuencias audibles. Fuente: Elaboración propia
Anexo B
Movimiento Armónico simple .
Audibles
Ultrasonicas
Infrasonicas
•frecuencias de oscilacion : 20 a 20.000 Hz
•Sencibles al Oido humano
•frecuencias de oscilacion : Por encima de los 20.000 Hz
•sencibles a Murcielagos
•frecuencias de oscilacion : Por debajo de los 20 Hz
•sencibles a los elefantes
57
Cuando las oscilaciones son muy pequeñas se les denomina el nombre de vibraciones.
Una vibración Armónica se produce cuando una partícula oscila alrededor de un punto de
equilibrio, de forma que su velocidad es máxima al pasar por el punto de equilibrio y nula en los
extremos de la oscilación. (Oscilaciones y Ondas. Sf .Recuperado de https://bit.ly/2TcSh3u) y el
desplazamiento de los cuerpos son proporcionales a la fuerzas que Actúan en la variación del
desplazamiento. El movimiento Armónico simple representa la dinámica del Fenómeno de
consonancia y disonancia Musical pues representa un proceso periódico cuya frecuencia de cada
modo de vibración de una cuerda es múltiplo de la fundamental.
El desplazamiento que describe un movimiento periódico puede representarse en
términos de funciones trigonométricas senos y cosenos ya que estas mismas se obtienen al
representar sobre el eje Y de un eje coordenado el movimiento circula uniforme.
Ilustración 40 Representación movimiento armónico simple. Fuente: Editada en Paint
Si analizamos el movimiento del cuerpo en vibración desde el punto P determinado por el
Angulo 𝜑0 al cabo de un tiempo t se encontrara en el Punto Q, recorrerá una distancia igual a la
velocidad Angular por el tiempo trascurrido: 𝜔𝑡. El Angulo recorrido desde el origen será
𝜑0 + 𝜔𝑡 donde x representa la elongación desde el punto 𝑄𝑀 que a su vez forma el Angulo
𝜑0 + 𝜔𝑡. A partir de las condiciones anteriores podemos representar esto trigonométricamente:
58
sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) =𝑄𝑀
𝑂𝑄
(1)
Donde
𝑄𝑀 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑥
𝑂𝑄 → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝐴)
(2)
Remplazamos en la identidad trigonométrica
sin(𝜔𝑡 + 𝜑0) =𝑥
𝐴
(3)
Despejamos x
Asin(𝜔𝑡 + 𝜑0) = 𝑥
(4)
Obtenemos la ecuación general del movimiento Amónico
x = Asin( 𝜔𝑡 + 𝜑0) (5)
Anexo C.
interpretaciones pitagoricas
La primera de las proporciones mencionadas por Arquitas fue la Media aritmética se
escribe matemáticamente como
𝑏 = 𝑎 + 𝑐
2
Reemplazando en a al valor de los intervalos de frecuencia de la nota do y en c , que
corresponde a la nota DO , obtennos intervalo frecuencia de la nota sol. La media aritmética
establece la relación existente entre las notas do y sol; o entre la nota do y su quinta. Esta
relación se denomina intervalo de quinta.
59
𝑏 = 1+2
2 ; 𝑏 =
3
2 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑎
La tercera de las proporciones citadas por Arquitas la media armónica.
𝑏 = 2𝑎𝑐
𝑎 + 𝑐
Reemplazando respectivamente a y c por los intervalos frecuencias de las notas do y DO
obtenemos
𝑏 =(2)(1)(2)
2 + 1=
4
3 ; 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐶𝑢𝑎𝑟𝑡𝑎.
Corresponde a Intervalo de la nota fa. En consecuencia la proporción armónica
define la relación entre las notas do y fa, o la relación entre la nota do y su cuarta. A esta
relación se la denomina intervalo de cuarta o cuarta perfecta.
La media geométrica se expresa algebráicamente como:
𝑎
𝑏 =
𝑏
𝑐
Se caracteriza la relación entre octavas sucesivas. Por ejemplo, si reemplazamos a por
intervalo de la nota do y b por el intervalo de su octava la nota DO , entonces podemos
obtener el intervalo que caracteriza a la siguiente octava:
1
2 =
2
𝑐 ;
C = 4 ; 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑣𝑎
60
Anexo D : Atributos de relaciones de frecuencia
4.4.1 El sentido (Ascendente o desendente)
Un intervalo es Ascendente si el denominador de los cocientes de las frecuencias es
mayor que el denominador .
𝐴𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒: 523,25 Hz
440 𝐻𝑧 𝐷𝑒𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 ∶
440 Hz
523,25 𝐻𝑧
4.4.2 Orden (Quinta,tercera)
Cada intervalo representa una fracción en específico y definido dentro de la escala en que
se encuentra esas 2 o más notas musicales: 3/2, representa un intervalo de quinta justa si
tomamos como tónica la nota fa.
4.4.3 La composición (simples y compuestos)
Un intervalo compuesto está ligado con una relación Ascendente pero con la
condición que el numerador sea el doble del denominador por el contrario el intervalo
simple es cuando el denominado es mayor (descendente) pero con una proporción del
doble.
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜: 880 Hz
440 𝐻𝑧 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒 ∶
440 Hz
880 𝐻𝑧
61
A partir de todas estas relaciones podemos reflexionar acerca de la consonancia y
disonancia?. Miremos las relaciones existentes en los intervalos que forman en acorde
consonante y disonante.
Anexo G. interpretaciones de resultados de relaciones de frecuencia entre intrvalos de 6 ,7 9
Tabla 12 Resultados de Cocientes de frecuencia. Fuente: Elaboración propia
Do mayor +6
EL primer acorde compuesto ( Consonante + intervalo disonante ) en el intervalo de 3 y 5
tienen un patrón de un valor decimal par , el intervalo de 6 respecto a la tónica tiene un valor que
lo vamos a considerar neutro y los dos intervalos restantes tienen un patrón decimal impar. Si
comparamos estos valores con la armonía musical el intervalo de 3 y 5 son consonantes .La 6
respecto a la tónica Armónicamente es consonante y su inervalo da un valor neutro, los dos
restantes: el intervalo de sexta respecto al intervalo de tercera Armónicamente es disonante pues
N Acorde Intervalo
de 3
Intervalo
5
Intervalo +
(6,7,9)
Respecto a la
tonica
Intervalo de
+ (6,7,9)
respecto al
intervalo de 3
Intervalo
de + (6,7,9)
respecto al
intervalo de
5
1 Do mayor
+6
1,2 1.4 1,68 1,3 1,1
2
Do mayor
+9
1,2
1,4
1,1 ; sobre la
octava
2,2 ; sobre la
2 octava
1,1 : sobre
la octava
1,78 : sobre la
segunda octava
1,3 : sobre la
octava
1,49 : sobre
la 2 octava
3 Do mayor
+7
1,2 1,4 1,78 1,2 1,25
62
si los analizamos por separado se convierte en intervalo de 4 lo mismo pasa con el intervalo de 6
respecto a la 5, se convierte si se toma como tónica la nota sol en intervalo de segunda toman un
valor decimal impar.
Apartir de esto podemos interpetar :
1. los intervalos que son consonantes Armonicamente dan un valor decimal par .
2. los intervalos que son disonantes Armonicamente dan un valor decimal impar.
3. El intervalo neutro que nosotros asignamos tiende hacer consonante o disonante, pues si
analizamos el inervalo de sexta con la tónica es consonante pero si tomamos en conjunto y lo
miramos como un intervalo de 6 más el acorde mayor es disonante.
Do mayor +9
EL segundo acorde compuesto ( Consonante + intervalo disonante ) en el intervalo de 3 y 5
tienen un patrón de un valor decimal par , el intervalo de 9 respecto a la tónica tiene un valor
decimal impar respecto a la misma octava armónicamente ese intervalo es disonante y los dos
intervalos restantes tienen un patrón decimal impar Armónicamente también son disonantes. los
dos restantes: el intervalo de novena respecto al intervalo de tercera Armónicamente es disonante
y cumple con un valor decimal impar ,analizamos por separado se convierte en intervalo de 9 lo
mismo pasa con el intervalo de 9 respecto a la 5, se convierte si se toma como tónica la nota sol
en intervalo de quinta da un valor neutro sobre la segunda octava pues para formar el acorde sol
si re, la quinta de este acorde esta sobre la segunda octava
Do mayor +7
EL tercer acorde compuesto ( Consonante + intervalo disonante ) en el intervalo de 3 y 5
tienen un patrón de un valor decimal par , el intervalo de 7 respecto a la tónica tiene un valor
decimal neutro respecto a la misma octava armónicamente ese intervalo es disonante y los dos
intervalos restantes tienen un patrón decimal par y neutro Armónicamente el intervalo de 7
respecto a la 3 del acorde es disonante y la quinta respecto a la 7 es consonante.
63
Anexo E :
DO MI SOL FA
Ilustración 41 Acorde consonante + intervalo dionante. Fuente : Elaboración propia
Los bloques en rojo forman al acorde consonante pero si le agregamos una notas más
seguramente podría ser un acorde disonante hay que verificar si la nota que está en el recuadro
amarillo no tiene alguna relación con alguna de las otras cuando hablamos de alguna relación con
las demás notas es la nota FA no forma parte de un acorde las notas que conforman el acorde:
DO Y FA tienen relación por que el acorde de FA está conformado por las notas FA,
LA ,DO .
FA LA DO
Ilustración 42 Relación intervalica de nota do y fa. Fuente : Elaboración propia
MI Y FA no tienen relación porque FA no hacen parte del acorde de MI
MI SOL LA
Ilustración 43 Ilustración 23 Relación intervalica de nota MI y FA. Fuente : Elaboración propia
Acorde de mayor y menor de mi.
Configuracion de acordes
64
Ilustración 44 Acordes menores y marores de MI. Fuente : Elaboración propia
SOL Y FA no tienen relación porque FA no hace parte del acorde de SOL
SOL LA SI
Ilustración 45 Relación intervalica de nota SOL y FA. Fuente : Elaboración propia
Acorde de mayor y menor de mi.
Ilustración 46 Acordes menores y marores de de SOL. Fuente : Elaboración propia
Anexo F:
MI SOL si
MI Sol# si
Sol Si re
Sol sib re
Espectro generado por una flauta dulce en los intervalos del acorde de do mayor
65
Ilustración 47 Espectro del intervalo de quinta. Fuente : Realizado en spectroid
Anexo E:
Principio de Superposición
66
Ilustración 48 Principio de Superposición. Fuente :( Herrero,s.f., p.16)
67
68
69
70
71
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