ECUACIONES DIFERENCIALESAPORTE TRABAJO FASE 2

PRESENTADO POR:TOMAS SEGUNDO VARGAS

THAYLOR MOSQUERA CASTROJOSE UBEIMAR ARANGO

GRUPO: 100412A_224

TUTOR:JAVIER ANDRES MORENO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA OCTUBRE 2015

1. Una masa que pesa 4 lb, estira un resorte 3 pulgadas al llegar al reposo en equilibrio y se

le aplica una velocidad de √2 pies/seg dirigida hacia abajo. Despreciando todas las

fuerzas de amortiguación o externas que puedan estar presentes, determine la ecuación

de movimiento de la masa junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. Cuánto

tiempo transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la posición de

equilibrio?

Como estamos en un caso de vibración simple no amortiguada, tenemos la ecuación:

d2 xd t 2

+ kmx=0 ,

Cuya solución general es:

x (t )=C1 cos(√ km t)+C2 sen(√ km t) ,C1 ,C2 R .Para encontrar k, observamos que la masa de 4 libras estira el resorte 3 pulgadas o ¼ de

pie. Empleando la ley de Hooke, se tiene:

4=mg=k 14,

Lo que implica k = 16 lb/pie. Como g=32 pie /seg2, se tiene que m = 4/32 = 1/8 slug y por lo tanto:

√ km t=√ 161/8=8√2 Luego

x (t )=C1 cos¿

Imponiendo nuestras condiciones iniciales son x (0 )=6 pulgadas=12pie y x´ (0 )=√2 pie /seg ,

tenemos:

12=x (0 )=C

1

√2=x´ (0 )=8√2C2 ,

Lo que implica C1=12

y C2=18

. Por consiguiente, la ecuación del movimiento de la masa es:

x (t )=12cos ¿

Para expresar la solución en forma senoidal hacemos:

A=√C12+C22=√178, tan (∅ )= c

1

c2 = 4,

Entonces;

x (t )=√178sen¿

Con ∅=arctan (4 )=1.326

Por lo tanto, la amplitud es A=√178

, el periodo es t=2π8√2

= π4 √2 y la frecuencia natural es f =

4 √2π

.

Finalmente el tiempo t que transcurre desde que se suelta la masa hasta que pasa por la

posición de equilibrio verifica 8√2t+∅=π , lo que implica t = π−θ8√2 = 0.16042 segundos.

2. Situación y solución planteada:

Enunciado: El movimiento de un sistema masa-resorte con amortiguación está regido por la ecuación diferencial:

d2 xd t 2

+b dxdt

+25 x=0

En donde, x (0 )=1 , x ' (0 )=0 . Encuentre la ecuación del movimiento para los siguientes casos:

Caso 1: Movimiento subamortiguado: b=6 .

Caso 2: Movimiento críticamente amortiguado: b=10 .

Caso 3: Movimiento sobreamortiguado: b=14 .

Solución:

Caso 1: b=6 La ecuación característica es:

λ2+bλ+25=0 , cuyas raíces son

−6±√62−1002

=−3±4 i

La ecuación de movimiento tiene la forma:

x ( t )=C1e−4 t sen3 t+C2e

−4 t cos3 t Esta Ecuación no es correcta ya que α= -3 y β= 4 por lo que la ecuación

queda x(t)= C1e-3tSen4t + C2e-3tCos4t

x”(t)= 4C1e-3tCos4t – 3C1e-3tSen4t – 4C2e-3tSen4t – 3C2e-3tCos4t

x”(t)= – 3e-3t (C1Sen4t + C2Cos4t) + 4e-3t (C1Cos4t – C2Sen4t)

x ' ( t )=−31 e−4 t(C1sen 3t+C2cos3 t )+ 4 e

−3t (−C1cos 3 t+C2sen3 t )Esta derivada no es correcta, la primera derivada queda

x”(t)= 4C1e-3tCos4t – 3C1e-3tSen4t – 4C2e-3tSen4t – 3C2e-3tCos4t

x”(t)= – 3e-3t (C1Sen4t + C2Cos4t) + 4e-3t (C1Cos4t – C2Sen4t)

Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0 , se tiene el sistema: 1=C1 ,

0=−3C1+4C2 Por tanto: C1=1 y

C2=34 Estos

valores no son correctos,

1= C1e-3(0)Sen4(0) + C2e-3(0)Cos4(0)

1= C1e0Sen(0) + C2e0Cos(0)

1= C1.1.0+ C2.1.1

1= 0 + C2

C2= 1

0= – 3e-3(0) (C1Sen4(0) + C2Cos4(0)) + 4e-3(0) (C1Cos4(0) – C2Sen4(0)

0= – 3e0) (C1Sen(0) + C2Cos(0)) + 4e0 (C1Cos(0) – C2Sen(0))

0= – 3 (C1.0 + C2.1) + 4 (C1.1 – C2.0)

0= – 3 (C1.0 + C2.1) + 4 (C1.1 – C2.0)

0= – 3 (0+ C2) + 4 (C1-0) 0= – 3 (C2) + 4 (C1)

0= – 3 (C2) + 4 (1)

-4= – 3 C2

C2= 4/3

Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:

x ( t )=e−4 t ( sen3 t+ 34cos3 t )

Esta ecuación no es correctaLa ecuación del movimiento queda:

x(t)= e-3tSen4t + 4/3e-3tCos4t

x(t)= e-3t(Sen4t + 4/3 Cos4t)

Caso 2: b=10La ecuación característica es:

λ2+bλ+25=0 , cuyas raíces son

−10±√102−1002

=5

La ecuación de movimiento tiene la forma:

x ( t )=C1e5t+C2 te

5 t=(C1+C2 t )e5 t

x ' ( t )=C2e5t−5 (C1+C2 t )e

5t

Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0 , se tiene el sistema: 1=C1 , 0=C2−5C1

Por tanto: C1=1 y C2=5

Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma: x ( t )=e5 t(1+5 t )

Caso 3: b=14 La ecuación característica es:

a. λ2+bλ+25=0 , cuyas raíces son

−14±√142−1002

=−7±√24La ecuación de movimiento tiene la forma:

x ( t )=C1e(−7+√24 ) t+C2e

(−7−√24 )t

x ' ( t )=C1(−7+√24 )e(−7+√24 )t+C2(−7−√24 )e(−7−√24 ) t

Para x (0 )=1 y x ' (0 )=0 , se tiene el sistema:

1=C1+C2 0=C1 (−7+√24 )+C2 (−7−√24 )

Por tanto:

C1=24+7√2448 y

C2=24−7 √2448

Finalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma:

x ( t )=(24+7 √2448 )e(−7−√24 ) t+(24−7√2448 )e(−7+√24 ) t