CONSIDERACIONES PARA EL ANLISIS DETABLESTACAS POR EL MTODO DE LOS

ELEMENTOS FINITOS

Ludger O. Suarez-Burgoa

INFORME TCNICO

LABORATORIO DE GEOTECNIA UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMN,

COCHABAMBA BOLIVIA

FEBRERO, 2001

1CONSIDERACIONES PARA EL ANLISIS DE TABLESTACASPOR EL MTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

Ludger Surez Burgoa

Laboratorio de Geotcnia, Universidad Mayor de San Simn, Cochabamba, Bolivia.

RESUMEN

Este estudio propone una secuencia de anlisis bsicos para realizar estudios deproblemas geotcnicos analizados por el Mtodo de los Elementos Finitos. Eneste caso se analizaron muros de tablestaca simplemente empotrados y con unanclaje. Se han realizado verificaciones del comportamiento de cadacomponente del sistema y de la influencia de factores externos. Finalmente se haanalizado el sistema en sus versiones ms simples. Bajo estas consideraciones seha podido encontrar, para muros de tablestaca sin anclaje bajo un modeloconstitutivo elastoplstico, una afinidad entre los resultados obtendios por losmtodos analticos con los resultados del MEF, si se aplica un desplazamientoen la cabeza del muro. Para el caso de tablestacas con un anclaje dicha afinidadno fue posible por la carencia de elementos que simulen la interaccinfriccionante entre suelo y bulbo de anclaje. Se han probado dos modelos quepuedan simular el bulbo de anclaje adherido, obteninodse resultados nosatisfactorios. Otras conclusiones se han hallado respecto a las verficaciones quese han hecho a cada modelo por medio de mtodos de equilibnrio lmiteavanzados.

Palabras clave: mtodo de los elementos finitos, muro de tablestaca, anclajeal terreno, mtodo de equilibrio lmite.

ANTECEDENTES

El modelar el suelo por medio del MEF es una prctica nueva que requiere muchaexperiencia. Antes de proceder a analizar un problema por este mtodo se debenrealizar una serie de verificaciones para garantizar la respuesta correcta del modelo

a la situacin real.

2En este texto se pretende dar una orientacin de los trabajos que deben realizarsecon el modelo de elementos finitos, antes de modelar la situacin compleja y realpara el cual se ha escogido usar este tipo de anlisis.

El estudio se limita solamente al anlisis de muros flexibles empotrados,tablestacas, dentro del campo elastoplstico. Se especifican criterios para definir lamalla de anlisis, verificaciones de los elementos individuales y el modelamientode un muro empotrado con y sin anclaje.

DIMENSIONAMIENTO DE LA MALLA DE ANLISIS

El campo de tensiones que se genera de la interaccin suelo estructura en un muroempotrado esta limitado a las zonas plsticas que se generan en el suelo. La mallade anlisis que se debe dibujar para el modelamiento del MEF debe ampliarsemucho mas halla de los lmites de estas zonas plsticas.

El largo de esta superficie a cada lado del eje del muro ser por lo menos n = 3veces la distancia de horizontal generada de la interseccin de la superficie de falla,activa o pasiva segn el caso, con las superficies del terreno. Ecuacin [1]. Estasdistancias deben ser calculadas por criterios analticos. Figura 1.

s = sa +sp = n *(da +dp) .........................................................................................[1].

v = m * Ht ..............................................................................................................[2].

Las distancias calculadas para muros de tablestaca segn el criterio de Coulomb sedan en las Ecuaciones [3] a [4], Ohde (1938)1. Donde da y db son la distanciahorizontal de la superficie de falla en el lado activo y pasivo respectivamente, Ht

es la altura total de la tablestaca, h la altura enterrada del muro , a y p el ngulo

de la inclinacin de la superficie de falla plana respecto la horizontal, activa y

pasiva respectivamente, el ngulo de friccin interna efectiva de suelo, elngulo de inclinacin del talud detrs del muro respecto la horizontal, a y p elngulo de friccin muro suelo activo y pasivo respectivamente.

da = Ht * ctan(a) .................................................................................................. [3].

3dp = h * ctan(p) .................................................................................................... [4].

tan(a) = tan()+raiz((1+(tan())^2)*(tan()-tan())/(tan()+tan(a))) ......... [3a].

tan(p) = -tan()+raiz((1+(tan())^2)*(-tan()-tan())/(-tan()+tan(p)))..... [4a].

Tambin se puede usar el criterio de la superficie de falla segn Rankine.Ecuaciones [5] y [6].

dp = h * ctan(45 - ' / 2) ........................................................................................ [5].

da = Ht * ctan(45 + ' / 2) ..................................................................................... [6].

Para la altura de anlisis se recomienda m = 2 veces la altura total del muro.Ecuacin [2]. Una forma rpida de hallar da y db, en forma aproximada, esdibujando un arco de circunferencia con centro en la cabeza de la tablestaca yradio igual a la altura total del muro, sta ltima calculada por los mtodosanalticos. Figura [1].

Figura 1. Dimensionamiento de la zona de anlisis.

4VERIFICACIONES DE LOS ELEMENTOS INDIVIDUALES

Una buena prctica, cuando se pretende usar el MEF, es el realizar verificaciones

individuales de cada elemento que representa cada componente.

Verificacin del elemento viga.

Si se modela una viga simplemente apoyada de longitud L, con los parmetros dedeformacin y resistencia mostrados en la Figura 2, se obtienen los siguientesresultados de los esfuerzos axiales, esfuerzos cortantes momentos flectores y

desplazamientos en la viga. Figura 3, (a), (b), (c) y (d) respectivamente.

Figura 2. Modelo de la viga simplemente apoyada.

El clculo analtico de este simple modelo demuestra que la forma de modelar laviga es correcta y cercana. La deformacin mxima producida en la vigasimplemente apoyada, para un sistema cargado con una fuerza puntual al centro,

esta dada por la expresin de la teora elstica. Ecuacin [7].

ymax = P * L^3 / (48 * Es *Is) ...............................................................................[7].

El valor hallado por esta expresin es de ymax = 0.33 m, y por el elemento viga

desarrollado en el modelo es de ymax = 0.31m. Figura 2.

Verificacin del elemento isoparamtrico de ocho nodos para el suelo.

El modelar un elemento que se somete a ensayo triaxial drenado no consolidado es

la forma ms sencilla y directa de verificar el correcto desarrollo del modelo.

5Se idealiza un estado plano de deformaciones axisimtrico y modelo constitutivoelstoplstico para representar el comportamiento del suelo sometido a fuerzas

triaxiales.

Dados los parmetros plsticos y c del suelo se obtienen, mediante la Ecuacin[8], los esfuerzos principales a los que debe ser sometido el elemento para que elmismo se encuentre en estado plstico o falla.

1 = 3 * (tan(45 + / 2))^2 + 2 * c * tan(45 + / 2)...........................................[8].

Figura 3. Comparaciones entre los resultados analticos y por el MEF.

Para los parmetros del suelo especificados en la Tabla 1. se ha obtenido que el

elemento debe ser sometido a esfuerzo triaxial de magnitudes 1 = 650.92 kN/m^2

y 2 = 200.00 kN/m^2. Las Figuras 4 (a), (b) muestra este comportamiento delmodelo para estos valores. Se observa que el elemento se encuentra en estadoplstico. Al discretizar a ms elementos, tambin se generan estados plsticos, el

6modelo se deforma coherente con el tipo de esfuerzos al que esta sometido, Figuras

4 (d) y (e).

Para el estado lmite plstico del suelo se debe tener muy en cuenta la convergenciade clculo del mtodo, ya que si la solucin diverge, se presentan resultados falsos,Figura 5 (c) y (f) y Tabla 2.

Figura 4. Modelo del elemento de suelo sometido a esfuerzo triaxial.

El discriminar a mas elementos en ciertas zonas ayuda a que el modelo puedarepresentar mejor el problema y evita que el sistema diverja en sus clculos,cuando los valores estn en la frontera del lmite plstico. Por ejemplo en este caso

7se aplicaron las mismas presiones al modelo de un elemento y al de 100 elementos,en el primero la solucin divergi mientras que en el segundo esta convergi. Veren las filas 2 y 5 de la Tabla 2 de la Figura 5, y la Figura 4,(c) y (f). Las figuras 7(a) y (c) muestran la convergencia del modelo, mientras que la Figura 7 (b) y (d)muestran la diveregencia del modelo.

Figura 5. Convergencia del sistema para diferentes tensiones y modelos aplicados.

8FACTORES INFLUYENTES AL SISTEMA

El proceso de excavacin

La verificacin consiste en ver si las deformaciones varan cuando se modela laexcavacin en una sola fase y cuando se modela en varias fases. El modelo aanalizar consiste en una faja de cinco elementos cuadrados de 1m de ladosuperpuestos uno encima de otro, con condiciones de contorno que permiten solodesplazamientos verticales. Solo 3 de los 5 elementos de la faja son los quesimulan las fases de excavacin. Figura 6.

Se han elegido tres procesos de excavacin para este anlisis.

Proceso 1: Excavacin secuencial cada 1m. Consiste en sacar un elemento cadafase, en un total de tres fases.

Proceso 2: Excavacin de 2m y luego 1m. Consiste en sacar dos elementos enuna fase y el restante en la segunda fase.

Proceso 3: Excavacin de 3m. Consiste en sacar los tres elementos en una solafase.

Proceso 4: Aplicando fuerzas equivalentes y simulando la excavacin. Consisteen simular el proceso sin considerar el peso propio de cada elemento y en

aplicar una fuerza equivalente al peso de cada elemento extrado.

Realizando la verificacin del proceso de excavacin se observa claramente que elmodo de elegir profundidades de excavacin de cada fase no influye en losresultados de tensiones y deformaciones finales que se obtengan. Tabla 3(a).

Si se realiza un modelo de carga y descarga equivalente, se observa que losresultados no son iguales. Tabla 3(b). Las deformaciones y las tensiones sondiferentes a las halladas por los procesos de excavacin. Esto se debe nicamente aque las deformaciones expuestas por el mtodo de excavacin son relativas alestado inicial de tensiones en sitio, mientras que las deformaciones por el mtodo

9de carga y descarga equivalente se refieren al estado inicial de tensiones nulas. Serecomienda modelar el proceso de excavacin considerando el peso propio de cada

elemento y no as la simulacin por fuerzas equivalente.

Figura 6. Verificacin del proceso de excavacin

La accin de las presiones hidrostticas e hidrodinmicas.

Se asume una red de flujo de agua cuyos niveles de presin cero coinciden con elnivel del terreno atrs y delante del muro, teniendo un gradiente de presin total

igual a la altura libre del muro, que es la condicin ms desfavorable.

Los valores de la presin dinmica del agua se calcula por medio de un anlisis enestado de reposo en dos dimensiones. Se asume que el suelo tiene coeficientes depermeabilidad isotrpicas, por lo tanto la relacin Kx / Ky es igual a la unidad, y la

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direccin predominante del flujo tiene un ngulo igual a cero. La mxima altura depresiones negativas se asume igual a 1.0m.

La funcin de permeabilidad de suelo, conductividad del flujo, se la ha definidoconstante e igual a k = 9.15e-08 m / s para el rango de presiones de 0.0 kPa a 100.0kPa. La funcin del volumen de contenido de agua respecto a la presin se da enTabla 4. Estos valores han sido extrados de bibliografa consultada y varan deacuerdo al tipo de material y su coeficiente de permeabilidad. Geoslope (1996)2.

Figura 7. Modelo con los parmetros asumidos

Si se realiza un anlisis de flujo mediante el MEF, se obtienen distribuciones depresiones muy parecidas a las estticas, Figuras 8, con la diferencia que la presinactiva dinmica es menor cerca del pie del muro, mientras que en el lado pasivo, lapresin es mayor cerca del pie del muro. Figura 9.

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Figura 8. Resultadoos del modelo

Si se desea calcular rpidamente, se puede asumir un flujo esttico y asumir dichaspresiones, ya que el hallar presiones dinmicas por mtodos manuales consumemucho tiempo. Con esta suposicin uno estara por el lado de la seguridad y nosera necesario conocer la permeabilidad del suelo, no obstante se aconseja calcularla red de flujo si se tienen recursos para el clculo, para hallar presiones sobre elmuro ms discretas y cercanas a la realidad, tal es el caso de este estudio, donde seha usado tambin un anlisis por el MEF.

DEFINICION DE LAS PROPIEDADES ELSTICAS DE LOSMATERIALES

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Para el anlisis mediante el MEF es necesario definir los valores elsticos de losmateriales, estos pueden ser mediante referencias o mediante ensayos. Es necesariotener una idea de los lmites de variacin de cada una de stas propiedades segn la

situacin que se esta analizando.

Figura 9. Comparacin entre las presiones estticas y dinmicas

Para muros empotrados se ha encontrado, mediante un anlisis usando el mtodode soporte libre de tierras, los rangos de variacin de las variables que intervienen.

Parmetros variables independientes

Suelo. ngulo de friccin interna del suelo, = 32.0 a 45.0. Suelo. Cohesin no drenada del suelo saturado, cu = 35.0 a 55.0 (kN / m^3).

Suelo. Mdulo elstico, E = 5000 a 90000 (kN / m^2), de acuerdo a losparmetros plsticos y c asumidos.

Suelo. Relacin de Poisson, n = 0.25 a 0.35.

Estructura. Rigidez a flexin de la estructura, Es*Is. El momento de inercia dela seccin de acuerdo a los perfiles comerciales existentes segn consulta detablas.

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Estructura. Altura enterrada de la tablestaca de acuerdo a clculo analtico, h.

Estructura. Altura de retencin de la tablestaca de acuerdo a clculo analtico,H.

Parmetros variables dependientes Suelo. Coeficiente de presin lateral de suelo en reposo, Ko. De acuerdo a la

formula de Jacky (1938). en funcin del ngulo de friccin interna .

Suelo. Relacin de Poisson, . De acuerdo al valor del coeficiente de presin

lateral del suelo en reposo con la frmula resultado de la teora de la elasticidady esfuerzo isotrpico.

Parmetros constantes

Suelo. Peso unitario seco del suelo, = 20.0 kN / m^3.

Suelo. Cohesin drenada, c = 0.00 kN / m^2.

Suelo. Peso especfico del suelo, Gs = 2.60.

Suelo. Relacin de Poisson medio, _medio = 0.35.

Suelo. ngulo de dilatacin, = 1.0.

Estructura. Mdulo elstico del acero estructural, Ea = 200000 (MPa).

Estructura. Relacin de Poisson del acero estructural, a = 0.33. Vara de 0.27

a 0.33. Gere y Timoshenko (1986)3.

Estructura. Esfuerzo de fluencia fy = 220,6 (MN / m^2) correspondiente a 32.0(ksi).

Anclaje. Seccin del anclaje. Hallado del clculo analtico considerando unaseccin equivalente circular.

Anclaje. Mdulo de deformacin elstico de acero de pretensado, Ea = 193060(MN / m^2)= 2.0e+08 (kN/ m^2).

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Anclaje. Esfuerzo axial ltimo del acero de pretensado, fs = 17.24 (MN / m^2),reduciendo por un factor de seguridad de 0.80, fo = 13.79 (MN / m^2) paraetapa de servicio.

MURO DE TABLESTACAS SIN ANCLAJE

Clculo analtico de la viga de retensin.

Para verificar el comportamiento de la viga de retencin al empuje de tierras seasla de cualquier factor que pueda influir en su comportamiento, por lo tantoprimeramente se modela el sistema sin anclaje. Las dimensiones fueron impuestasbasadas en los resultados obtenidos de un anlisis analtico de muros de tablestacasbajo presiones del suelo derivadas de la teora clsica de coeficiente activos ypasivos. Tabla 4. Ecuaciones [9] a [10]. No se han asumido coeficientes parcialespara y c para poder comparar entre este mtodo y el MEF.

Tabla 4. Resultados por el mtodo de tierra suelta, Whitlow (1994)4.Altura libre, H [m] 6.00Altura de empotramiento, h [m] 5.02Distancia de empotramiento final de construccin,1.2*h [m]

6.02

Peso unitario del suelo [kN/m^3] 20.00ngulo de friccin interna efectivo, [] 32.00Cohesin del suelo, c [kN/m^2] 0.00Coeficiente activo, Ka [adimen] 0.31Coeficiente pasivo, Kp [adimen] 3.25Distancia a partir de la superficie del terreno para (Kp-Ka)=0, z [m]

2.66

Momento mximo, Mmax [kN*m] 460.99

Mmax = 1 / 6 * s * (Ka * (H + zs)^3 Kp * zs^3) ...............................................[9].

zs = H / (Kp 1) ...................................................................................................[10].

ste resultado fue verificado con los bacos de Verdeyen y otros (1971)5 que estnhechos basados en el mtodo de Blum. Los valores asumidos para el modelamientose muestran en la tabla siguiente. Tabla 5.

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Tabla 5. Valores asumidos para el modelamiento.

Tipo de seccin metlica St-Sp-SEspecificacin del fabricante BZ 37Altura libre del muro, H [m] 6.0Altura de empotramiento, h [m] 5.0rea de la seccin trasversal de la viga, por metro deprofundidad, A [m^2]

2.98e-02

Mdulo de seccin de la viga, por metro de profundidad, w[m^3]

3.65e-03

Momento de inercia de la viga, Iy [m^4] 6.39e-04Momento flector mximo especificado, [kN*m] -----Tensin admisible del material, fb [kN/m^2] 240000

El sistema para las condiciones de contorno Tipo 1.

Tensiones iniciales.

Las presiones iniciales del suelo fueron obtenidas de un primer anlisis bajocomportamiento elstico, donde se considera el peso del suelo y el coeficiente depresin lateral de suelo en estado no deformado, Ko = 0.47 obtenido segn la

frmula de Jaky (1938)6. Figura 10.

Figura 10. Estado de tensiones iniciales

Sistema sin desplazamiento inducido.

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Realizando un anlisis de sensibilidad del coeficiente presiones de tierras enreposo, Ko_inicial = Ka a Ko_final = Kp, en los valores de las deformacioneslaterales y momentos flectores del muro, se observa que su variacin no es taninfluyente en los resultados finales. No obstante se debe tratar de aproximar unbuen valor de este coeficiente.

Figura 11. Deformada y solicitaciones de la viga sin desplazamiento inducido.

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Cuando se ha considerado un Ko cercano a Ka se han obtenido ciertas zonasalrededor del pie del muro del orden de 0.34, y cuando se ha considerado un Kocercano a Kp se han obtenido zonas de valores del orden de 2.06. No obstante no seobtuvieron en un mismo estado zonas activas detrs del muro y zonas pasivasdelante del mismo. Esto indica que no se puede simular un comportamientoplstico asumiendo Ko extremos.

Figura 12. Iteraciones para llegar al comportamiento plstico lmite.

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Cuando se modela el sistema, sin una condicin de contorno de desplazamientoinicial en la viga, se obtienen solicitaciones sobre la viga de la magnitud inferior alas esperadas por los clculos analticos, pese a que se esta modelando con el

modelo constitutivo elastoplstico.

Para el caso del ejemplo se obtiene un desplazamiento total mximo en la cabezadel muro de 0.198m y un desplazamiento relativo al pie del muro de 0.081m. Losmomentos flectores hallados son positivos, caso que no se espera segn el criterioanaltico. Figura 11.

Sistema con desplazamiento inducido.

Para obtener estado de esfuerzos y deformaciones plsticos en el sistemaconcordantes con los momentos flectores de la viga hallados analticamente se debeimplantar una forma de la curva de desplazamiento de la viga, como condicin deborde, que genere dicho estado. La magnitud, la posicin y direccin de estosdesplazamientos en cualquier punto son totalmente desconocidos en principio. Noobstante se tienen ciertas referencias de medidas realizadas en modelos a escala

real que ayudan a estimar esta condicin de borde lmite. Rowe (1955)7.

Figura 13. Convergencia del modelo.

En este primer caso se implant una deformacin constante en las tres fases deconstruccin, en direccin horizontal en el punto extremo superior del muro, demagnitud que vara desde 0.08% a 4.50% la altura total del muro. Los lmitesescogidos de estos desplazamientos estn basados en la referencia de lasespecificaciones dadas por la US Army Corps of Engineers (1996)8.

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Para el caso de verificacin del sistema que concierne se ha analizado lascondiciones de borde de desplazamientos dadas en la Tabla 6 - Figura 12a, y se hanobtenido los resultados detallados en la misma. En dicha tabla se observa que apartir de un desplazamiento de 0.75% la altura total del muro empotrado la vigaempieza a tener momentos flectores negativos, y que para el desplazamiento de2.81% se obtiene un momento flector mximo de Mmax = 462.5 (kN * m), muycercano al valor hallado por los clculos analticos.

A este valor de similitud se considerar el lmite superior del campo plstico,valores mayores a este valor sern considerados inadmisibles, porque la vigaentrara en el campo plstico y la interaccin suelo estructura sera muy diferente.La figura 12b muestra las iteraciones que se realizaron para llegar al estado plsticoy las curvas de convergencia para el estado plstico en la Figura 13.

En el modelo, del lmite superior del campo plstico, se ha realizado unaverificacin ms, que consisti en escoger 18 puntos al azar en regiones cercanas

delante y detrs del muro donde se han representado el estado de tensiones encrculos de Mohr dibujando juntamente con la envolvente del criterio de cedenciaasumido en el modelo. Adems que se obtuvieron las relaciones esfuerzohorizontal - esfuerzo vertical. Tabla 7.

En la Figura 14 se observa los puntos escogidos y el estado de tensiones de cadauno de ellos por sus respectivos crculos de Mohr. En la mayora de ellos se ve queel estado de tensiones esta muy cercano o prcticamente toca la envolvente de falla,lo cual indica que el modelo esta correctamente representando el estado plstico del

sistema.

De la viga de retencin se han extrado los diagramas de momentos flectores yesfuerzos cortantes obtenidos por el MEF y se los compara con los resultados delmtodo analtico. Figura. 15.

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Figura 14. Valores de tensiones y relaciones K de ciertos puntos escogidos en elmodelo.

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La figura 16 (a) y (b) muestra la distribucin de presiones horizontales y verticaleshalladas por este modelo y comparadas con las expresiones tericas.

Figura 15. Comparacin de los diagramas de momentos flectores, fuerzas cortantesde la viga de retencin, metodo analtico y MEF.

Figura 16. Presiones sobre la viga.

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Las Figuras 17 (a) y (b) muestran los asentamientos diferenciales producidos en lasuperficie del terreno arriba y abajo de la estructura de retencin. El conocer estosvalores es importante para el diseo de estructuras que se instalarn sobre las

supeficies horizontales antrs y delante del muro.

Figura 17. Asentamientos diferenciales verticales sobre las superficies de arriba ydebajo del muro de retencin.

Figura 18. Regiones plsticas en el sistema.

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Se puede observar que el modelo esta respondiendo correctamente excepto en ladistribucin de regiones plsticas. Se puede observar las regiones plsticas delsistema, prcticamente cubre a todos los elementos que forman parte del anlisis,razn que induce a pensar que la deformacin inducida en cada fase es muy grande.Figura 18.

Figura 19. Esfuerzos de corte XY en el sistema.

Se ha visto por conveniente instaurar la deformacin inducida solo en la ltimafase. Por otro lado, para ver la posible influencia de la cercana de las condicionesde contorno de la malla del sistema al lado activo del muro, se ha decidido ampliarla malla en esta direccin.

El sistema para las condiciones de contorno Tipo1_a

El sistema analizado es el mismo al anterior con la diferencia de que se ha decididoaplicar la condicin de contorno de la deformacin en la cabeza del muro solo en lafase 3 y no as en todas las fases como se haba hecho anteriormente. Los

resultados en cuanto a tensiones, deformaciones y regiones plsticas son diferentes.

El ampliar la malla de anlisis, de modo que los elementos que contiene lascondiciones de contorno extremas de la malla no influyan en los resultados detensiones del sector activo de inters, no ha demostrado cambio alguno. Figura 20.

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El realizar una verificacin del sistema por medio de mtodos de equilibrio lmitees una prctica muy importante dentro del modelamiento de sistemas estructura ysuelo. La verificacin del sistema se lo ha realizado por el mtodo de tensiones de

los elementos finitos. Figura 21.

Figura 20. Convergencia, deformada y zonas plsticas del modelo con las condicionesde contorno tipo_1 modificada, con desplazamiento inducido.

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Figura 21. Verificacin a la estabilidad

El sistema para las condiciones de contorno Tipo 2.

Para esta condicin de contorno se ha restringido el movimiento vertical de la vigay el desplazamiento vertical de la masa de suelo detrs y delante del muro.Tambin se han instaurado elementos infinitos en la base del modelo, por ser

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adecuada para representar un espacio infinito y no estar ampliando

innecesariamente la malla debajo del mismo. Figura 22.

Figura 22. Condiciones de contorno asumidas.

Tensiones iniciales.

El criterio de generar las tensiones iniciales no ha variado al caso anterior por lotanto las tensiones iniciales generadas son iguales a las anteriores halladas.

Sistema sin desplazamiento inducido.

En este estado se observa que los estados plsticos concuerdan con los esperados.En la Figura 23. Se observa las regiones de estados plsticos generadas. Ladeformada de la superficie arriba no cae en la cercana de la cabeza del muro.

Los resultados de los momentos flectores, esfuerzos cortantes, axiales y deformadade la viga muestra resultados satisfactorios. No obstante el diagrama de momentosflectores no es el esperado por el mtodo analtico, ya que no se instaur eldesplazamiento inducido. Figura 24.

Sistema con desplazamiento inducido.

Para llegar al momento especificado por los clculos analticos se aplica undesplazamiento inducido de Dx=0.165m, dando un momento mximo de Mmax=

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465.72 kN*m. El desplazamiento final registrado, en el mismo punto, fue de0.225m (2.05% respecto a Ht).

Figura 23. Deformada y zonas plsticas del modelo con las condiciones de contornoTipo_2, sin desplazamiento inducido

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Figura 24. Diagrama de esfuerzos sobre la viga.

Tabla 7. Aproximacin al momento analtico mediante desplazamiento inducido.

# Desplazamientoen la cabeza,

implantado. Dx[m]

Desplazamientomximo

presentado,Dx_max [m]

(Dx_max / Ht) *100

Ht= 11.0 [m]

Ymax[m]

Momentomximo

presentado.Mmax

[kN*m]

Ymax[m]

1 0.337 0.398 3.62 0 822.98 72 0.200 0.261 2.37 0 542.81 7

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3 0.100 0.161 1.46 0 331.14 74 0.165 0.225 2.05 0 465.72 7

Los resultados de las figuras siguientes, muestran que con esta nueva condicin decontorno, muchos de los valores de esfuerzos sobre la viga no han variadoconsiderablemente respecto la anterior. Las zonas plsticas se han regionalizando allado activo en una proporcin muy grande que llegan a tocar las condiciones decontorno del lado izquierdo. Se observa que existe una influencia en todo elsistema de los elementos restrictos del lado izquierdo de la malla, influencia que

debe ser anulada para mejores resultados.

Figura 25. Comparaciones de las solicitaciones sobre la viga.

Otro problema que se observa es la concentracin de tensiones en el pie del muro.Se observa en la Figura 27, que existe concentracin de tensiones en el bordesuperior derecho, esto por asumir este borde restricto en las direcciones X_Y. Estetipo de restricciones en la viga no es completamente representativo para suelohomogneo y si para un suelo donde la condicin de empotramiento puedeconsiderarse "perfecta".

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Por otro lado, se observa otra concentracin de tensiones sobre la superficiedelantera al muro, al final de la malla de anlisis. Esto se produce por restringir eldesplazamiento vertical en este lado de la malla. Se deber liberar nuevamente estelado de la malla al desplazamiento vertical, para que no se presenten estasconcentraciones de tensiones.

Figura 26. Zonas plsticas del sistema con las condiciones de contorno Tipo_2, condesplazamiento inducido.

Figura 27. Esfuezos cortantes XY

La Figura 28 muestra los clculos de estabilidad por el mtodo de Bishop, Spencery de las Tensiones de los Elementos Finitos. Se observa que los resultados sonsemejantes.

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Figura 28. Verficacin a la estabilidad por diferentes mtodos de equilibrio lmite.

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El sistema para las condiciones de contorno Tipo 3.

Para un mejor anlisis se han variado las condiciones de borde donde se permite eldesplazamiento vertical en la en el borde izquierdo de la malla, delante del muro,tal como se muestra en la Figura 29. Del mismo modo al anterior, se ha decididoaplicar la condicin de contorno de la deformacin en la cabeza del muro solo en lafase 3. La viga esta nuevamente restricta a desplazamiento horizontal. El modelopara hallar las tensiones iniciales es el mismo al anterior caso.

Para llegar al momento especificado por los clculos analticos se aplica undesplazamiento inducido de Dx=0.138m, dando un momento mximo de Mmax=467.21 kN*m. El desplazamiento final registrado, en el mismo punto, fue de0.194m (1.75% respecto a Ht). Tabla 8.

Tabla 8. Aproximacin al momento analtico mediante desplazamiento inducido.

# Despl. en lacabeza. Dx [m]

Despl. Max.Dx_max [m]

Dx_max / Ht *100, Ht= 11.0 [m]

Ymax_d[m]

M_max[kN*m]

Ymax_m[m]

1 0.195 0.252 2.29 0 588.19 72 0.250 0.307 2.79 0 720.90 73 0.100 0.156 1.42 0 383.61 74 0.138 0.194 1.76 0 467.21 7

5 0.137 0.193 1.75 0 464.77 7

Figura 29. Sistema con condiciones de contorno tipo 3.

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Figura 30. Deformada y zonas plsticas del modelo con las condiciones de contornotipo_3 con desplzamiento inducido.

La Figura 31 muestra que las solicitaciones de corte y momento flector son casiiguales al anterior caso analizado, por lo que se deduce que las dos condiciones decontorno analizadas son semejantes. Las deformaciones halladas son tambincoherentes a los valores especificados en los estudios reales sobre muros.

La concentracin de tensiones al pie del muro persiste en este modelo y no as en el

borde de la malla delante del muro. Figura 32.

34

Figura 31. Comparaciones de las solicitaciones sobre la viga.

Figura 32. Esfuerzos cortantes XY.

Influencia de la instauracin de estados de carga en el sistema.

Para el estudio de la influencia de la instauracin de los estados de carga se ha

utilizado las condiciones de contorno primeras asumidas.

35

Si se analiza la influencia en el sistema de las cargas de construccin y las de usopor separado, se encuentra para el primer caso sin desplazamiento inducido unMmax= 175.89 kN*m, y de Mmax= 603.93 kN*m para el caso con desplazamientoinducido de Dx= 0.195m. Del mismo modo para el caso de cargas de uso se hahallado un Mmax= 189.75 kN*m para el caso no inducido y de Mmax= 619.11kN*m para el inducido. Esto refleja que las cargas de construccin son msinfluyentes que las de uso.

Por el carcter plstico del modelo y del suelo, el considerar separadamente estoscargas puede dar valores de momentos mximos inferiores a los que se conseguiraanalizando todas las fases de cargas y su implantacin cronolgica.

Considerando todas la fases de construccin y de uso del sistema en una solasecuencia de anlisis, se han hallado valores de Mmax= 205.14 kN*m para elsistema sin desplazamiento inducido, y de Mmax= 632.56 kN*m para undesplazamiento de Dx= 0.195m. Para llegar al momento especificado por losclculos analticos se aplica un desplazamiento inducido de Dx=0.383, dando unmomento mximo de Mmax= 972.28 kN*m. El desplazamiento final registrado, enel mismo punto, fue de 0.465m (4.23% respecto a Ht).

Tabla 9. Aproximacin al momento analtico mediante desplazamiento inducido,considerando la secuencia de cargas en las fases de construccin y de uso.

# Despl. en lacabeza. Dx [m]

(Dx / Ht) * 100,Ht= 11.0m

Despl.o mx.,Dx_max [m]

Ymax_d[m]

Mmax[kN*m]

Ymax_d[m]

1 0.195 1.77 NR 0 632.56 72 0.250 2.27 NR 0 739.98 73 0.400 3.64 NR 0 999.94 74 0.385 3.50 NR 0 976.84 75 0.383 3.48 0.465 0 972.28 7

NR : No registrado

Para que la viga no falle por flexin y el sistema general sea estable, se hamodificado las propiedades geomtricas de la seccin y la longitud enterrada de latablestaca, segn clculos analticos por los coeficientes K. Tabla 10.

36

Tabla 10. Valores asumidos, para el clculo.

Tipo de seccin metlica St-Sp-SEspecificacin del fabricante Larssen

430Altura libre del muro, H [m] 6.0Altura de empotramiento, h [m] 6.0rea de la seccin trasversal de la viga, por metro deprofundidad, A [m^2]

2.99e-02

Mdulo de seccin de la viga, por metro de profundidad, w[m^3]

6.45e-03

Momento de inercia de la viga, Iy [m^4] 24.18e-04Momento flector mximo especificado, [kN*m] 1032Tensin admisible del material, fb [kN/m^2] 240000

Con estas propiedades los resultados del sistema con las cargas de construccin yde uso han dado, para el caso sin desplazamiento inducido, un momento mximode Mmax = 292.10 kN*m. Para el caso con desplazamiento inducido un valor deMmax= 975.93kN*m.

Tabla 11. Aproximaciones para alcanzar el momento (Mmax analtico = 974.02kN*m), especificado por el mtodo de coeficientes K.

# Desplazamiento en la cabeza,

implantado.Dx [m]

(Dx / Ht) *100

Ht= 12.0 [m]

Desplazamiento mximo

presentado,Dx_max [m]

Ymax[m]

Momentomximo

presentado,Mmax

[kN*m]

Ymax[m]

1 0.383 3.19 0.429 0 1655.0 82 0.200 1.67 0.249 0 1160.2 83 0.100 0.83 0.149 0 767.01 84 0.153 1.28 0.202 0 987.04 85 0.149 1.24 0.199 0 975.93 8

La Figura 33 y 34 muestran la deformada del modelo, la convergencia del anlisisy las comparaciones de los diagramas entre el Mtodos analtico y el MEF. Conestas verificaciones se concluye que se debe analizar todas las fases de cargas en el

sistema de forma secuencial.

37

Figura 33. Deformada y convergencia de clculo.

MURO DE TABLESTACA CON UN ANCLAJE

El anlisis de muros de tablestaca con un anclaje por el MEF es similar al caso sinanclaje. Primeramente se debe definir las propiedades de la viga y del anclaje de unclculo analtico y luego definir las fases de clculo.

La parte mas importante para el anlisis este tipo de muros con el MEF radica enescoger la forma de modelar el anclaje al terreno. La simulacin del anclaje sepuede realizar de cuatro formas. Figura 35.

Asumiendo una fuerza equivalente a la fuerza generada por el anclaje sobre latablestaca sin posibilitar el modelamiento de la elongacin del anclaje

Conectando el nodo del muro a un apoyo fijo por medio de un tensor Aplicando fuerzas al principio y a final del tensor no adherido sobre los nodos

comunes del suelo y anclaje Modelando igual que el anterior caso juntamente con el bulbo de anclaje.

El primer caso es una simplificacin aceptable para pequeas dimensiones delmuro. El segundo caso se usa cuando se asegura que el bulbo de anclaje no tendrgrandes desplazamientos, un anclaje "perfecto", que se puede presentar cuando seancla en roca. El tercer caso se presenta cuando se acepta un desplazamiento ymovimiento del bulbo de anclaje, no obstante es una forma imperfecta de modelareste fenmeno. El cuarto caso es igual al anterior, no obstante se obtienen lastensiones que se generan alrededor del bulbo de anclaje, pero no brinda

38

informacin sobre la resistencia de adherencia del anclaje al suelo. Tampoco reflejael correcto comportamiento de la interaccin entre suelo y bulbo.

Figura 34. Grficas de comparacin entre mtodos, para el ltimo caso cargado.

Para el estudio se simula el anclaje con el tercer y cuarto caso porque se asumi unsuelo homogneo.

39

Figura 35. Formas de modelar el anclaje.

Elemento para el tendn no adherido

El tendn no adherente que transmite las fuerzas del anclaje al muro, es modeladopor un elemento viga de momento de inercia nulo, convirtindose en un elementoque resiste solo esfuerzos axiales. En los extremos de este elemento se aplican lasfuerzas de anclaje, que se las aplica en compresin para representar la fuerza derestitucin que el anclaje tiene cuando ste se tensa.

La fuerza de anclaje aplicada en los extremos de la barra esta dada por la frmulasimple de la resistencia de materiales. Ecuacin [11]. Donde fa es el lmite elstico

40

a traccin y A es el rea de la seccin de la barra. Los valores asumidos para la

verificacin del sistema se detalla en la tabla siguiente.

F = fa * A ..............................................................................................................[11].

Tabla 12. Parmetros asumidos para el clculo del anclaje.Fuerza de traccin, F 69.33 kNLmite elstico, fa 1.38 e+04 kN /

m^2Deformacin en el lmite elstico, a 6.90 e-05rea de la seccin transversal, A 7.00 e-04 m^2Inercia de la seccin transveresal, I 0.0 m^4Mdulo elstico, E 2.0 e+08 kN / m^2Relacin de Poisson, 0.33

Para el caso del estudio se han usado los valores elsticos del hormign para elbulbo de anclaje, debido a que simular el uso de lechada de hormign para crear laadherencia bulbo y suelo.

Tabla 13. Parmetros asumidos para el bulbo de anclaje.Mdulo elstico, E 2.0 e+04 kN / m^2Relacin de Poisson, 0.33

Diseo analtico de la tablestca con un anclajeEl diseo analtico se realiza mediante el mtodo de soporte libre de tierras.Whitlow (19949. Para el caso de un muro de 10.0m de alto los valores obtenidosson los siguientes. Tabla 14.

Tabla 14. Resultados obtenidos por mtodos analticos

Propiedad ValorAltura libre, H [m] 10.00Altura de empotramiento, h [m] 3.522Ubicacin del anclaje desde la cabeza del muro, a[m]

1.70

Peso unitario del suelo [kN/m^3] 18.00ngulo de friccin interna efectivo, [] 27.50Cohesin del suelo, c [kN/m^2] 6.00Coeficiente activo, Ka [adimen] 0.37Coeficiente pasivo, Kp [adimen] 2.72

41

Momento mximo, Mmax [kN*m] 514.50Fuerza de traccin del cable, T [kN] (positivo) 138.65Distancia de empotramiento final de construccin,1.2*h [m]

4.23

Los valores de las propiedades elsticas del suelo y las propiedades estructurales dela seccin de la viga y del anclaje, asumidas para este estudio, se detallan en laTabla 15.

Tabla 15. Propiedades elsticas asumidas

Propiedad ValorMdulo elstico del suelo, Es [kN/m^2] 20000Relacin de Poisson del suelo, vs [-] 0.35rea de la seccin transversal, Aa [m^2] 7.0e-04ngulo de inclinacin del anclaje respecto lahorizontal []

191.31

Mdulo elstico de la viga, Ev [m^4] 2.0e+08Momento de inercia de la seccin, Iv [m^4] 6.39e-04rea de la seccin transversal, Av [m^2] 2.98e-02

Fases de clculo

Se han definido las siguientes fases de clculo para el anlisis.

Fase 0: Clculo de las tensiones iniciales, con el modelo elstico sin considerarlas deformaciones.

Fase 1: Hincado de la tablestaca y excavacin hasta el nivel -3.0m

Fase 2: Tensado del anclaje Fase 3: Excavacin hasta el nivel -6.0m

Fase 4: Excavacin hasta el nivel -8.0m

Fase 5: Excavacin hasta el nivel -10.0m

La Fase 0 consiste en considerar el peso propio del suelo para que se genere en lamalla de anlisis las tensiones verticales y presiones horizontales. Esto se realizamediante un anlisis elstico. Para modelar la influencia del hincado de latablestaca, solo se modifican las propiedades elsticas de la viga y del anclaje a susvalores reales en el momento oportuno. En la fase 1 se modifican las propiedades

42

de la viga a los valores que se detallan en la Tabla 15, y en la fase 2 se modificanlas propiedades del anclaje.

De la fase 3 a la 5 el proceso de excavacin se realiza anulando las propiedadeselsticas de los elementos que representan el suelo en los lugares donde se realizala excavacin. El proceso de excavacin de la fase 3 a la 5 se podra modelar enuna sola fase, si no se desea obtener valores de tensiones y deformaciones delsistema en esas fases intermedias.

Modelamiento aplicando fuerzas al principio y al final del tensor no adherido

Los valores en los elementos del anclaje se muestran en el modelo como decompresin, stos deben interpretarse como valores de traccin para objeto deverificaciones de diseo.

Se ha observado que si se aplica la fuerza del anclaje especificada por el clculoanaltico, el modelo no lineal diverge, dando resultados no reales del modelo. Porlo tanto se aplican factores de reduccin a esta fuerza hasta encontrar un lmitedonde los clculos converjan. Tabla 16.

Tabla 16. Variacin de los factores de reduccin para alcanzar convergencia en losclculos

Factor de reduccin, f 1.0 0.75 0.70 0.65 0.60 0.5 0.10Fax 135.9

6101.9

795.17 88.37 81.57 67.98 135.9

6Fay 27.19 20.39 19.03 17.67 16.31 13.60 27.19Convergenciaa la iteracin # 30Con un tolerancia en el desplazamientonormal de 1.0%

No No No Si Si Si Si

Con esto se observa que el mtodo analtico y el modelo del MEF no son tancompatibles en resultados. Tampoco ha sido posible aplicar desplazamientosinducidos en la cabeza del muro, porque del mismo modo al anterior, el clculo nolineal diverge en sus resultados. Por lo tanto se ha procedido a analizar el modelosin desplazamientos inducidos, donde comparaciones con los resultados del mtodoanalticos no sern posibles porque no se han alcanzado los valores superiores de

43

comparacin. Los resultados del analisis para un factor de reduccin de 0.50 semuestran en las Figuras 36 a 38.

Figura 36. Deformada, estados plsticos y verficacin a la estabilidad del modelo

44

Figura 37. Factores de seguridad locales sobre la superficie de falla

Figura 39. Grficas de convergencia para una tolerancia del 1.0% y del 5%.

Otra verificacin que se hizo, con este mismo modelo, fue en variar la tolerancia deconvergencia expresada en funcin al desplazamiento normal. Se observa que conla tolerancia de 1.0% se obtuvo convergencia en la iteracin 30, mientras que conla tolerancia de 5.0% en la 4ta iteracin. Figura 39. Los resultados obtenidos en las

45

solicitacin de flexin de la viga y traccin del anclaje, para estos dos casos semuestran en las grficas siguientes, donde se observa que stos no difieren mucho

en resultados anteriores. Figura 40 a 41.

Figura X. 38. Diagramas de solicitaciones de los componentes estructurales del muro

46

Figura X. 38.c Diagramas de solicitaciones del anclaje.

Tambin se ha hecho variar el mdulo de deformacin elstico del suelo deEs=20000 kN/m^2, caso anterior, a Es=5000 kN/m^2. Se observa en la Figura 42que se obtienen grandes diferencias en los resultados. Ambos clculos se comparan

para la misma tolerancia de convergencia de 5.0%.

Modelamiento aplicando fuerzas al principio y al final del tensor no adherido conrepresentacin del bulbo de anclajeDel mismo modo al anterior el anclaje se modela con fuerzas de compresin. Lapared adherente del anclaje se modela aadiendo elementos cuyos valores elsticoscorresponden al material que representa la lechada adherente, en este casohormign. Para comparar con el anterior modelo, se ha mantenido el valor delmdulo elstico del suelo igual a Es=5000 kN/m^2 y se ha asumido un valor delmdulo elstico del hormign igual a Es=20000 kn/m^2. Los resultados semuestran en las Figuras 43 y 44. Se observa que la simulacin de la lechadaadherente modifican los valores de las solicitaciones de la viga.

47

Figura 40. Grfica de comparacin de los momentos flectores, desplazamientos X e Yhallados en la viga para ambas tolerancias de covergencia.

Figura 41. Verificaciones a la estabilidad para ambas tolerancias de convergencia

48

Figura 42. Grfica de comparacin de los momentos flectores, desplazamientos X enla viga y fuerzas axiales en el anclaje para ambos valores de Es.

49

Figura 43. Deformada, estados plsticos y verificacin a al estabilidad, del modelo.

50

Figura 44. Comparacin de los momentos flectores y desplazamientos x, entre ambosmodelos.

CONCLUSIONES

Si se analizan mediante modelos no lineales la verificacin de la convergencia declculo es importante e imprescindible.

El valor de los resultados no se modifica grandemente con la tolerancia dedivergencia asumida. Un buen resultado se garantiza finalmente solo con lagaranta de una buena convergencia.

La configuracin de los elementos de contorno, donde se permite desplazamientosverticales a ambos lados de la malla, Figura 1, es dentro de todas la msrepresentativa para analizar muros empotrados en suelos homogneos.

Las cargas en elementos finitos deben ser analizadas en una secuencia correlativade sucesos, especialmente en los modelos no lineales.

Para el anlisis de muros empotrados sin anclaje, si se desea aplicar undesplazamiento tal que en el modelo se generen tensiones en la viga como lo

51

expresan los mtodos analticos, se deber instaurar un desplazamiento inducido

luego de realizarse el anlisis de la ultima fase de excavacin.

Es difcil de concebir un elemento que modele las fuerzas de adherencia entre elbulbo de anclaje y suelo. El modelar la lechada del anclaje adherente es an masimperfecto.

Para el anlisis de muros empotrados con un anclaje no es posible aplicar undesplazamiento tal que se generen solicitaciones similares a los halladosanalticamente. El mtodo analtico y el modelo del MEF no son compatibles enresultados.

No se aconseja usar modelos no lineales para el clculo de muros flexibles de estacaracterstica, se aconseja limitarse a modelos elsticos, donde las conclusionesdeben extraerse con cautela.

Con los modelos no lineales, en vez de obtener factores de seguridad locales, seobtienen zonas plsticas. No se aconseja utilizar nicamente este mtodo paraverificaciones y anlisis debido a que las zonas plsticas generadas no representansuperficies ni zonas de falla en suelos. Usar un modelo elstico, donde es posibleobtener valores de factores de seguridad locales y generales.

Con los resultados de tensiones hallados con el MEF y el mtodo de las tensionesde los elementos finitos se encuentran factores de seguridad globales del sistema

mayores a los hallados por los mtodos de equilibrio lmite avanzados.

Cuando se modela un muro por el MEF, se aconseja siempre empezar con unmodelamiento en el mbito elstico y verificar por medio de mtodos de equilibrio

lmite, con preferencia el mtodo de las tensiones de los elementos finitos.

Se puede usar el mtodo de Morgestern y Price o el mtodo de Spencer con elcriterio de Fan solo si se trata supercies de corte inclinadas, como taludes. Cuandose analiza el muro concentrando la atencin en el corte vertical, no se debe usar elcriterio de Fan y otros (1986)9, deber asumirse una funcin dada por el analistasemejante a la que se muestra en las figuras de factores de seguridad locales,

52

Figuras 21 o 37, o directamente utilizar el mtodo de las tensiones de los elementos

finitos.

Los factores de seguridad locales ms crticos se presentan al principio de lasuperficie de corte en el lado activo. En esta regin se debe concentrar los esfuerzopara estabilizar el suelo localmente, colocando estacas o plantaciones de rboles opilotes.

El mdulo elstico del suelo puede variar grandemente los resultados dedeformaciones de la viga, por lo tanto se debe definir un buen valor para ste, deacuerdo a correlaciones empricas, ensayos de laboratorio, y verificaciones conmodelos ms sencillos.

AGRADECIMIENTOS

El autor agradece al director del Laboratorio de Geotcnia de la UniversidadMayor de San Simn, Ing. Msc. Mauricio Salinas Pereira, que ha posibilitado la

realizacin de esta investigacin.

ABSTRACT

This study proposes basic and initial recommendations for problems to be analizedwith the Finite Element Method. In this case a cantilever sheet pile wall and ananchored sheet pile wall were analized. Verifications of the behaviour of eachsystem part were made. Also external influences and finally the whole system inthe most simple versions were considered. Under these considerations, it was foundthat there is an equivalence in the results between the analytical method and theFEM, for cantilever sheet pile walls under an elastoplastic constitutive modell, if ainduced displacement in the head of the sheet pile is applied. For the anchoredsheet pile wall, this equivalence was not possible, because there is not an elementcapable to simulate the frictional interaction between soil and the adherent anchor.Other conclussions were found in respect to the verifications of the model with

advanced limit equilibrium methods.

53

Keywords: finite element method, sheet pile wall, anchor, limit equilibrium

method.

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