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FACULTAD DE HUMANIDADES Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD DE JAÉN Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación Conocimientos lógicos, geométricos y espaciales en Educación Infantil Alumno: Lorena Aguilera Cervera Tutor: Prof. D. Francisco Javier García García Dpto: Matemáticas Junio, 2014

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UNIVERSIDAD DE JAÉN Facultad de Humanidades y Ciencias de la Educación

Trabajo Fin de Grado

Conocimientos lógicos, geométricos y espaciales en

Educación Infantil

Alumno: Lorena Aguilera Cervera

Tutor: Prof. D. Francisco Javier García García

Dpto: Matemáticas

Junio, 2014

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ÍNDICE

1. INTRODUCCIÓN. ................................................................................................................... 2

2. MARCO TEÓRICO: APRENDIZAJE MATEMÁTICO EN LA EDUCACIÓN

INFANTIL. ............................................................................................................................... 4

3. PROBLEMA ABORDADO EN EL TFG: LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA DE

CONOCIMIENTOS LÓGICOS, GEOMÉTRICOS Y ESPACIALES EN LA

EDUCACIÓN INFANTIL. ...................................................................................................... 8

4. UN MODELO EPISTEMOLÓGICO DE REFERENCIA: LOS CONOCIMIENTOS

LÓGICOS, GEOMÉTRICOS Y ESPACIALES EN LA EDUCACIÓN INFANTIL. ....... 9

5. UN MODELO DIDÁCTICO DE REFERENCIA: LA TEORÍA DE SITUACIONES

DIDÁCTICAS......................................................................................................................... 13

6. EL SABER A ENSEÑAR: ANÁLISIS DEL CURRÍCULO. ............................................. 14

7. EL SABER A ENSEÑAR: ANÁLISIS DE UNA EDITORIAL ......................................... 17

7.1. Categorías: tipos y subtipos de tareas ............................................................. 17

7.2 Clasificación y análisis de materiales curriculares: libro de texto ................ 19

CONOCIMIENTOS ESPACIALES ................................................................................... 19

CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS .............................................................................. 23

DISCRIMINACIÓN, SELECCIÓN, CLASIFICACIÓN .................................................... 26

SERIACIONES .................................................................................................................. 27

CENTRACIÓN Y DECANTACIÓN .................................................................................. 30

8. PROPUESTA PARA UNA CONSTRUCCIÓN FUNCIONAL DE CONOCIMIENTOS

LÓGICOS Y ESPACIALES EN LA EDUCACIÓN INFANTIL ...................................... 30

9. SÍNTESIS Y CONCLUSIONES ........................................................................................... 33

10. BIBLIOGRAFÍA. ................................................................................................................... 37

ANEXOS……………………………………………………………………………………………………………………………………… 40

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RESUMEN

Este trabajo se articula en torno al problema de la transposición didáctica de

conocimientos lógicos, geométricos y espaciales en la Educación Infantil. En el mismo, se

abordan algunas etapas de este problema. Se comienza introduciendo brevemente ciertas ideas

sobre el aprendizaje matemático en la Educación Infantil y sobre la Teoría de la

Transposición Didáctica. A partir de ellas, se formula el problema abordado y se procede a su

estudio. En primer lugar, se fija de manera explícita el punto de vista que se adopta como

observadores del sistema didáctico. Para ello, y desde la dependencia mutua entre lo

matemático y lo didáctico, se describe cómo entendemos el saber matemático en juego

(modelo epistemológico de referencia) así como su reconstrucción en la Escuela Infantil

(modelo didáctico de referencia). En segundo lugar, se analiza cómo los saberes que se han

considerado se presentan en el currículo escolar y en los programas oficiales. En tercer lugar,

se seleccionan los libros de una editorial y se lleva a cabo un análisis de la actividad

matemática que se proponen en relación con los conocimientos lógicos, geométricos y

espaciales. Posteriormente, se formulan categorías de tipos y subtipos de problemas presentes

en dichos textos y se lleva a cabo un estudio cuantitativo de la presencia de los mismos en los

textos analizados. En cuarto lugar, se esboza una propuesta para una construcción funcional y

con sentido de conocimientos lógicos y espaciales en la Escuela Infantil. Y por último, se

concluye con algunas reflexiones finales sobre las carencias y las debilidades de la

construcción de los conocimientos lógicos, geométricos y espaciales en la Escuela Infantil a

través de los textos propuestos por la editorial.

Palabras clave: conocimientos lógicos, conocimientos geométricos, conocimientos

espaciales, transposición didáctica, educación infantil.

1. INTRODUCCIÓN.

La educación tiene una función muy importante en la sociedad, ya que a través de ella

se consigue la realización del ser humano como tal. A nivel social, capacita para dominar el

mundo actual con sus innegables complejidades y, a nivel personal propicia el desarrollo de

las capacidades de todo individuo al máximo de sus propias posibilidades.

En el sistema educativo, la Educación Infantil es un periodo que se ha incorporado

más recientemente. Surgió con finalidad asistencial como consecuencia de los cambios que

experimentaba la sociedad con la incorporación de la mujer al mundo laboral. Sin embargo,

numerosas investigaciones posteriores en diversas áreas de conocimiento han demostrado

cómo este período se hace crucial para desarrollos posteriores (Ruesga, 2003).

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Por ello, la formación temprana del pensamiento lógico-matemático es de vital

importancia en los procesos de razonamiento superior necesarios para desenvolverse en el

entorno. Y hay constancia de que el éxito en las etapas educativas posteriores depende en

gran medida de un buen asentamiento de las estructuras cognitivas del individuo en los

primeros niveles. Además, la consolidación de las bases del razonamiento matemático exige

una educación en consonancia con las características psicológicas del niño para el desarrollo

de sus capacidades (Leiva, 2006).

Cuando los niños/as acceden a la escuela por primera vez, ya han experimentado

situaciones en las que se desarrolla su conocimiento lógico-matemático, ya que éste comienza

con los primeros esquemas perceptivos y motores para la manipulación de los objetos. Es por

ello que la presencia de matemáticas se encuentra presente desde los inicios de todo ser

humano, pero es necesario guiar y propiciar las situaciones didácticas más idóneas para que el

rendimiento de los niños/as sea el mejor posible.

Las matemáticas se hayan presentes desde las primeras experiencias de la infancia, ya

que son necesarias para ordenar, establecer relaciones, situar en el espacio y el tiempo los

objetos que les rodean y constituir su entorno. Esto ha generado que las últimas

investigaciones cedan protagonismo a la enseñanza de procesos matemáticos frente la

adquisición exclusiva de contenidos matemáticos. Niss (2002) expone que una mirada

focalizada en los contenidos se centra exclusivamente en la adquisición de símbolos y de

técnicas, y no tanto en su uso significativo. Esta metodología puede ser útil para lograr un

excelente rendimiento matemático en la escuela, pero esto no supone alcanzar la capacidad

necesaria para aplicar dichos conocimientos a la vida cotidiana. En esta línea, Guzmán (2001,

p. 9) afirma que “en nuestro mundo científico e intelectual tan rápidamente mutante vale

mucho más proveerse de procesos de pensamiento útiles que de contenidos que rápidamente

se convierten en ideas inertes…”

Reconocida la importancia educativa de las matemáticas desde los primeros años de

vida y las constantes reflexiones e indagaciones acerca del mejor método para la adquisición

de estos aprendizajes, se ha planteado este trabajo fin de grado, que pretende indagar en

profundidad sobre el actual sistema educativo en torno a conocimientos lógicos, geométricos

y espaciales. Para ello, se llevará a cabo un estudio empírico sobre el material que se haya

vigente en Educación Infantil de la editorial “Santillana”.

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2. MARCO TEÓRICO: APRENDIZAJE MATEMÁTICO EN LA EDUCACIÓN

INFANTIL.

En el desarrollo de este trabajo resulta fundamental entender cómo se realiza el

aprendizaje matemático de los alumnos/as de Educación Infantil, para ello se describen dos

modelos teóricos que ayudarán a la comprensión, y proporcionarán herramientas de análisis

didáctico, útiles para identificar y explicar fenómenos característicos de la enseñanza y

aprendizaje en este nivel educativo.

Actualmente, se pueden observar dos concepciones muy distintas de lo que significa,

para un profesor/a, que su alumnado “aprenda matemáticas” en esta etapa. Ante una misma

situación didáctica, podremos encontrar el docente que interviene como poseedor/a del saber

matemático, y los alumnos/as aplican los conocimientos y consignas que se les da. O por el

contrario, se encuentra el profesional que no menciona el “saber” en ningún momento, sino

que pone al alumnado ante una situación que les permitirá construir con sentido y

funcionalidad un determinado conocimiento matemático.

Durante mucho tiempo ha existido la creencia de que se nacía con una predisposición

innata hacia las Matemáticas, que en último término conducía a distinguir entre sujetos

“capaces” para las matemáticas frente a los “no capaces”. Pero hoy día se ha demostrado que

hacer Matemáticas es una actividad eminentemente humana, cercana, necesaria,

comprensible. Se trata de una actividad personal y colectiva que facilita la convivencia. Un

sujeto debe producir, crear, construir con sentido el conocimiento matemático para que

aprenda significativamente. Estas actividades, han de diseñarse bajo un control

epistemológico y didáctico riguroso. El profesorado debe saber dar razones del porqué las

propone y justificar las propuestas educativas con razones didácticas científicas (Ruiz

Higueras, 2013).

Para facilitar el estudio de los aspectos relacionados con el aprendizaje del alumnado,

se establece una relación de complementariedad entre la Didáctica de las Matemáticas y el

dominio de la psicología, ya que “la aproximación psicológica es un instrumento

indispensable para establecer el modelo del funcionamiento cognitivo del sujeto en relación

con el saber” (Ricco, 1995, p. 159).

A continuación, se presentan dos modelos teóricos sobre el aprendizaje matemático

(empirismo y constructivismo), que ofrecen marcos de referencia para interpretar

comportamientos del alumnado, así como las intervenciones y decisiones del profesorado,

permitiendo elaborar un criterio objetivo sobre cuál método resulta más eficaz e idóneo para

la enseñanza- aprendizaje de estos conocimientos.

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El Empirismo es una concepción de aprendizaje que está presente en la mayoría del

profesorado: “el alumno aprende lo que el profesor explica en clase y no aprende nada de

aquello que no explica”. Esta concepción sostiene que la experiencia es la única forma de

conocimiento. El discurso del maestro/a se registra en el alumno/a, considerado incapaz de

crear conocimientos por sí mismo. Su aprendizaje es entendido como un “transvase” de los

saberes que el maestro/a le proporciona, limitándose el alumnado a recibir bien los

contenidos.

Este modelo suele apoyarse en lo que se conoce como presentaciones ostensivas en la

enseñanza, que consisten en presentar al alumno/a el contenido a estudiar de forma coherente

y organizada, (normalmente, a través de una imagen) pero ocultando el proceso de

descubrimiento que permite comprender la naturaleza del conocimiento en cuestión. “La

ostensión es el procedimiento privilegiado para la introducción precoz de las nociones

matemáticas” (Brousseau, 1994, p.112).

Numerosos estudios avalan que para la construcción significativa de conocimientos

matemáticos, el alumnado debe resolver problemas, y superar incertidumbres, desconciertos,

dudas, errores, etc. Sin embargo, en el modelo empirista se postula, tanto para docentes como

alumnos, que está prohibido equivocarse, y que el error está relacionado con el fracaso, puesto

que impide lograr el éxito en la tarea (Ruiz Higueras, 2005a).

Por el contrario, el modelo constructivista considera que el sujeto elabora de forma

activa sus conocimientos, y que debe realizar una actividad propia para aprender

determinados conocimientos. En el desarrollo de esta teoría existe una idea fundamental:

Aprender matemáticas significa construir matemáticas. Y para ello, se apoya en cuatro

hipótesis, que se esbozan a continuación a partir de Ruiz Higueras (2013):

1ª Hipótesis: El aprendizaje se apoya en la acción. La “acción” en matemáticas, se

trata de anticipar la acción concreta, esto conlleva elaborar una solución sin la

utilización de objetos reales, bien porque no se encuentran al alcance, o bien porque

son muy numerosos y resulta de gran dificultad su manipulación. La acción sobre

objetos reales se produce normalmente para llevar a cabo una constatación, mientras

que la acción definida en matemáticas, se sitúa al nivel de una anticipación, incluso

cuando no se utiliza un procedimiento experto. Esta forma de entender la acción, no

supone la exclusión de las manipulaciones, puesto que permiten apropiarse del

problema y son un medio idóneo para validar soluciones en este nivel. Se propone

para la iniciación de la construcción del conocimiento matemático efectuar acciones

concretas, hacerlas efectivas sobre objetos reales y probar la validez o invalidez de los

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procedimientos manipulando dichos objetos. Cuando la estrategia de base se hace

costosísima, se verán obligados a buscar otra, y al pasar de la estrategia de base a la

nueva habrán logrado construir un nuevo conocimiento y llevado a cabo un

aprendizaje.

2ª Hipótesis: La adquisición, organización e integración de los conocimientos del

alumno/a pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, en el curso de los

cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda. Si este equilibrio es superado,

los nuevos conocimientos se van integrando con los anteriores, a través de procesos de

asimilación y acomodación. En el desarrollo de una situación didáctica, cuando los

niños/as comparan sus producciones con la situación real o el modelo, si confirman

que no coinciden y que han cometido errores, sufrirán un fuerte desequilibrio. Pero, de

esta circunstancia surgirán preguntas, incertidumbres, hipótesis o debates que hacen

del error un elemento necesario para construir conocimientos. En esta hipótesis, el

aprendizaje se concibe como un proceso de reconstrucción de un equilibrio entre el

sujeto y el medio (situación-problema).

3ª Hipótesis: Se conoce en contra de los conocimientos anteriores. Se apoya en la

necesidad de los aprendizajes previos del alumnado para construir nuevos

conocimientos. Se aprende partir de, y también en contra de, lo que ya se sabe. Los

nuevos conocimientos se conciben modificando los anteriores y no por acumulación

sobre los que ya existen. Este proceso genera obstáculos en el aprendizaje de las

matemáticas que son necesarios como afirma Brousseau (1998, p. 120): “la utilización

y la destrucción de los conocimientos precedentes forman parte del acto de aprender”.

4ª Hipótesis: Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social

pueden facilitar la adquisición de conocimientos. El aprendizaje se produce en el

medio social donde abundan las interacciones, tanto horizontales (niño-niño) como

verticales (niño-adulto). En palabras de Vygotsky, es importante considerar lo que un

individuo puede hacer con la ayuda de otros (Ruiz Higueras, 2005a).

Como consecuencia de las cuatro hipótesis anteriores, se desarrolla un modelo de

aprendizaje constructivista en Matemáticas: el aprendizaje por adaptación al medio,

Brousseau (1998, p. 59) “El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de

contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad

humana. Este saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas

que son la prueba del aprendizaje”.

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En este modelo, el profesorado debe propiciar situaciones que el alumnado pueda

vivir, que provoquen problemas matemáticos en los que los alumnos/as puedan desarrollar la

actividad de creación matemática y el conocimiento a enseñar se presente como la solución

óptima para dichos problemas y sea construible por ellos mismos.

Brousseau ha desarrollado una serie de trabajos en los que se aborda todo un dominio

de situaciones didácticas válidas para la Escuela Infantil, que permiten establecer una relación

óptima entre los saberes lógicos, las actividades de acción, formulación y validación (véase el

siguiente apartado), y el desarrollo del lenguaje y del pensamiento natural.

Las situaciones de aprendizaje constructivista por adaptación al medio, se deben

caracterizar por:

- Estar construidas alrededor de situaciones a-didácticas cuya resolución supone

poner en funcionamiento el conocimiento deseado.

- Llevar a cabo la devolución al alumnado de la responsabilidad en la resolución del

problema.

- Validar las acciones por la propia situación o por ellos mismos.

- Permitir al alumnado hacer muchas tentativas a partir de las informaciones

aportadas por las retroacciones de la situación (“medio”).

Durante el curso escolar o al finalizar la situación a-didáctica, el profesorado se

responsabilizará de la institucionalización de los conocimientos construidos por el alumnado.

Para crear las condiciones idóneas que permitan al alumnado construir y elaborar su

aprendizaje es necesario realizar todo un proceso de enseñanza. La Didáctica de las

Matemáticas se interesa en estudiar el sistema de adaptaciones y restricciones que debe sufrir

un saber formalizado científicamente hasta llegar a convertirse en un saber adaptado a la

enseñanza escolar. Para que un saber científico pueda ser enseñado se llevan a cabo sobre el

mismo numerosas transformaciones que se definen con el término “Transposición didáctica”.

La Didáctica de las Matemáticas estudia todo el complejo sistema de restricciones y

adaptaciones que debe sufrir un saber formalizado científicamente para lograr convertirse en

un saber adaptado a la enseñanza escolar. Por lo general, la sociedad determina el saber

científico que se debe enseñar porque lo considera de gran utilidad social, y será el docente

quien deba crear las condiciones necesarias para que el alumno/a construya un determinado

saber.

La “noosfera” se trata del conjunto de personas dentro de la sociedad que piensan y

deciden sobre los contenidos y métodos de enseñanza, es donde se procede a la selección de

elementos del saber científico que serán sometidos al trabajo de transposición. Este se

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denomina trabajo externo y se haya en oposición al trabajo interno que es el desarrollado

dentro del sistema de enseñanza después de introducir oficialmente nuevos elementos del

saber. El proceso de transposición didáctica se puede representar como recoge el siguiente

esquema:

Figura 1. Proceso de transposición didáctica.

Los saberes matemáticos han de ser transformados para organizarlos, secuenciarlos,

temporalizarlos y dividirlos en cursos. Toda esta transformación constituye la primera etapa

del proceso de transposición, pero el docente suele intervenir fundamentalmente en la segunda

etapa, transformando el conocimiento para que sea posible su enseñanza a un determinado

nivel (Ruiz Higueras, 2013).

3. PROBLEMA ABORDADO EN EL TFG: LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA

DE CONOCIMIENTOS LÓGICOS, GEOMÉTRICOS Y ESPACIALES EN LA

EDUCACIÓN INFANTIL.

En este trabajo se ha llevado a cabo un análisis profundo sobre la enseñanza de

conocimientos lógicos, geométricos y espaciales en Educación Infantil, para ello no solo se ha

realizado un estudio epistemológico y una revisión de artículos que incluyan el tema.

También, se ha incluido el estudio empírico del material de una editorial dedicada a este

ámbito para observar y registrar cómo se produce actualmente la enseñanza de estos aspectos

en la escuela. Se ha comprobado tarea por tarea qué contenidos presenta, cómo se trabajan,

qué conocimientos y técnicas pondría en práctica el alumnado, qué errores u obstáculos puede

crear en los niños/as la metodología empleada a la hora de presentar la actividad, así como si

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hay presencia de carencias en el desarrollo global del material, etc. En definitiva un estudio

amplio sobre cómo se llevan a cabo alguna de las fases del proceso de trasposición didáctica

de estos saberes para que puedan ser aprendidos por el alumnado de esta etapa educativa.

4. UN MODELO EPISTEMOLÓGICO DE REFERENCIA: LOS

CONOCIMIENTOS LÓGICOS, GEOMÉTRICOS Y ESPACIALES EN LA

EDUCACIÓN INFANTIL.

La lógica clásica fue desarrollada para establecer las bases del razonamiento y para

construir un fundamento teórico de las matemáticas y otras ciencias deductivas. “Se trata de

una disciplina matemática cuyo objeto es el estudio de los tipos de argumentos lógicos y de

su validez”. (Orús, 1992, p. 39)

Un amplio repertorio de trabajos e investigaciones han contribuido a constituir la

denominada “lógica formal” que contiene las leyes del pensamiento humano o pensamiento

natural. Aunque no se puede obviar la gran distancia que existe entre el lenguaje de la lógica

formal y el de la lógica natural. La lógica natural es componente del sistema cognitivo de todo

sujeto y habitualmente se nombra como prelógica al nivel más inferior de esta lógica. El

razonamiento lógico junto con la lógica es necesario para la construcción de cualquier

conocimiento.

En numerosas situaciones se recurre a razonar con lógica para resolver problemas o

situaciones y se trata de encontrar la solución aplicando criterios que permitan establecer

relaciones lógicas entre los “hechos” relatados y las posibles conclusiones que de ellos se

deriven.

Es habitual que los docentes de infantil se encuentren con multitud de errores debidos

a la falta de razonamiento lógico. Y esto se debe a que los niños/as en esta etapa, tienen un

razonamiento con caracteres prelógicos causados por las limitaciones de su desarrollo

genético. Por esta razón, se deben diseñar situaciones de enseñanza-aprendizaje que permitan

al alumnado desarrollar conocimientos lógicos y evolucionar superando determinados

obstáculos ontogenéticos propios de esta edad.

Las actividades lógicas se inician, con el estudio de las propiedades de los objetos, la

constitución de colecciones y su simbolización. Por ello, construir una colección a partir de

una lista, crear una lista para recordar una colección o bien para comunicar su contenido y

elaborar símbolos para designar objetos son actividades que potencian y favorecen el

desarrollo del pensamiento lógico en el alumnado de Educación Infantil.

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Para que una lista sea eficaz, requiere que a todos y a cada uno de los objetos de la

colección se les asigne uno y solo un símbolo (aplicación biyectiva), la cual no es espontánea

y supone un verdadero aprendizaje.

También es importante potenciar las relaciones entre dos o más objetos, personas o

situaciones, a través de conexiones que se establecen mentalmente. Las relaciones que

permiten comparar elementos de un conjunto dos a dos reciben el nombre de relaciones

binarias, podrán presentar diferentes propiedades y llegar a propiciar relaciones de

equivalencia. De manera que cuando el niño/a establece relaciones de equivalencia está

desarrollando la clasificación, que se logra a partir de experiencias que permitan observar las

semejanzas y las diferencias entre los objetos y actuar en consecuencia, es decir, distinguir

objetos en razón de sus similitudes y de sus diferencias.

Clasificar, seleccionar y/o discriminar son actividades útiles tanto socialmente como

matemáticamente y entre ellas existe una determinada relación. La actividad de clasificación

implica llevar a cabo una selección y una discriminación atendiendo a ciertos criterios. Desde

el punto de vista matemático clasificar los elementos de un conjunto es realizar una partición

de este conjunto, lo que supone fraccionar este conjunto en subconjuntos disjuntos dos a dos.

Por seleccionar se entiende escoger por medio de una selección, elegir entre muchos, separar

del resto; y discriminar se trata de separar, segregar, diferenciar una cosa de otra.

Otro tipo de relaciones que se pueden establecer, son las relaciones de orden,

nombradas con el término “seriación” suponen ordenar un conjunto de objetos según un

determinado criterio y constituyen otro de los conocimientos fundamentales para esta edad.

Este tipo de actividades pueden interpretarse espacialmente o temporalmente, dependiendo si

se trata de objetos ubicados unos a continuación de otros con un determinado criterio o bien

sucesos que han transcurrido a través del tiempo.

Para un desarrollo íntegro del conocimiento lógico, es necesario crear situaciones en

las que el alumnado pueda y deba formular proposiciones (enunciados declarativos) y

comprobar si son verdaderos o falsos.

Por otro lado, se comenta la importancia de trabajar procesos de centración y

decantación, ya que son operaciones lógicas que afectan a la significación de los operadores

lógicos, principalmente a la conjunción lógica, ya que para que un niño pueda conectar,

mediante la conjunción “y”, varias características de un objeto, es preciso que, en primer

lugar, sea capaz de reconocerlas sobre dicho objeto, aislarlas unas de otras y establecer entre

ellas conexiones lógicas. La centración muestra la capacidad para centrarse en una sola

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característica de un objeto y la decantación, la capacidad de seleccionar, en una colección de

objetos, los que reúnan determinada característica.

Se han esbozado algunos de los conocimientos lógicos más importantes en Educación

Infantil, no obstante en Ruiz Higueras (2005b) se puede encontrar una descripción más

detallada de los mismos.

Los conocimientos espaciales los posee cada alumno/a desde los primeros niveles de

la escolaridad, constituyen una base importante para la posterior construcción de la geometría,

pero los conocimientos espaciales y los conocimientos geométricos tienen caracteres

diferentes: cada niño dispone de conocimientos espaciales mucho antes de aprender

conocimientos geométricos, ya que la geometría debe enseñarse para existir.

El dominio de planos, mapas, dibujos técnicos, dibujos geométricos, comporta grandes

dificultades y todos estos elementos contienen informaciones de naturaleza espacial.

En términos generales, y constatado en investigaciones, como las de Berthelot y Salin

(1992, 1993) y Gálvez (1985), los conocimientos espaciales útiles se excluyen casi

sistemáticamente de los programas de enseñanza de las matemáticas. En este sentido, es

interesante destacar que, el término “conocimientos espaciales” no apareció en los programas

escolares hasta que no se divulgaron las investigaciones piagetinas sobre la construcción del

espacio por el niño.

Desde la infancia, tanto en la vida escolar como en la extraescolar se necesitan

manejar relaciones espaciales, por ejemplo, relaciones de vecindad, distancia, posiciones,

relativas, etc. Acciones como ubicarse en el espacio o en el entorno próximo, también

requieren la necesidad de aprender a utilizar un vocabulario que le permita diferenciar

ubicaciones relativas a un referencial.

Tanto Gálvez (1985) como Berthelot y Salin (1992) postulan que es posible, en el

contexto escolar, generar situaciones en las que los alumnos/as se planteen problemas

relativos al espacio que, en principio, tratarán de resolver, basándose en sus concepciones

espontáneas, pero en las que, posteriormente, los saberes geométricos aparecerán como los

mejores instrumentos de control y de anticipación de los problemas espaciales.

Los saberes geométricos aparecerán como instrumentos de control y de anticipación

de los problemas espaciales, construidos por los propios alumnos y bajo las restricciones de la

propia situación. (Gálvez, 1985).

Se pueden identificar tres elementos esenciales en el desarrollo de los conocimientos

espaciales: la orientación, la organización y la estructuración. Es posible la inclusión de

problemas espaciales que permiten introducir al alumnado en la práctica geométrica: describir

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objetos, reproducir objetos, transformar objetos, determinar la posición de los objetos,

reconocer espacios de vida y/o espacios de desplazamiento o interpretar, codificar, y

descodificar relaciones espaciales y geométricas comprendiendo las representaciones

realizadas en el plano (microespacio) de espacios de vida, desplazamientos, recorridos, etc.

realizados en el mesoespacio y/o macroespacio. Y, recíprocamente, codificar mediante un

plano (microespacio) los recorridos efectuados en el mesoespacio y/o macroespacio.

Todos estos problemas varían sustancialmente dependiendo del tamaño del espacio:

microespacio, mesoespacio o macroespacio.

Según Salin (2004) es necesario tener en cuenta dos condiciones para construir

situaciones para la enseñanza de conocimientos espaciales y geométricos:

- Plantear situaciones en las cuales, los conocimientos espaciales y geométricos tengan

funcionalidad, es decir, que sirvan realmente para solucionar una verdadera dificultad,

un verdadero problema ante el que se encuentren los niños/as.

- Diseñarlas como situaciones a-didácticas, que puedan ofrecer respuestas a las acciones

(estrategias) que los niños ponen en funcionamiento para resolverlas, es decir que sean

autovalidantes.

Los niños, desde muy pequeños, transforman los objetos que tienen a su alrededor, en

ocasiones estirándolos o encogiéndolos, en otras observando sus sombras proyectadas sobre

una superficie o bien cambiándolos de lugar. Desde estas edades, comienzan a representar

gráficamente objetos y relaciones en su entorno a través del dibujo. Un dibujo también puede

ser considerado como una transformación de ciertos objetos de su alrededor: de la realidad al

papel. En todas estas acciones subyace la noción de transformación geométrica.

Por ejemplo, cada vez que vemos nuestra imagen reflejada ante un espejo está

operando una transformación geométrica que, para cada “punto” de nuestra imagen, asigna un

nuevo “punto” en la imagen que vemos en el espejo.

Investigaciones de Piaget y posteriores han puesto en evidencia que desde la infancia,

se pueden distinguir propiedades invariantes en las trasformaciones que operan en el entorno

más cercano. De hecho, las primeras nociones espaciales que se construyen corresponden a

invariantes topológicos, que luego irán evolucionando hacia invariantes proyectivos y

euclidianos, sin que esta progresión tenga que ser necesariamente lineal. (Ruiz Higueras,

2013).

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5. UN MODELO DIDÁCTICO DE REFERENCIA: LA TEORÍA DE

SITUACIONES DIDÁCTICAS.

La Teoría de Situaciones Didácticas (TSD) es producción original de Brousseau, fue

iniciada en un momento en que la visión dominante sobre la enseñanza y el aprendizaje de la

matemática era una visión cognitiva, muy influenciada por la epistemología piagetiana.

Propuso un enfoque que permite comprender las interacciones sociales entre alumnos,

docentes y saberes matemáticos que se dan en una clase y condicionan lo que los alumnos

aprenden y cómo lo aprenden (Brousseau, 2007).

En los inicios las situaciones didácticas eran situaciones para enseñar sin considerar el

rol del profesor. Para enseñar un conocimiento determinado se utilizan “medios” (textos,

materiales, etc.). La ingeniería didáctica era encargada de estudiar y producir dichos medios.

Actualmente, la situación es un entorno del alumnado diseñado y manipulado por el docente,

que la considera como una herramienta (Brousseau, 2007).

La TSD es una teoría sobre los procesos de enseñanza - aprendizaje del conocimiento

matemático con una clara marca constructivista en la cual se considera que el aprendizaje

matemático se produce como resultado de la resolución de problemas.

Brousseau, afirma que saber Matemáticas no es solamente saber conceptos,

definiciones y teoremas para aplicarlos en determinadas ocasiones, es también “resolver

problemas”. En este sentido se convierten en una actividad estructurada, en la que se pueden

separar diferentes fases: acción, formulación, validación e institucionalización.

Sobre el profesor/a recae la labor de imaginar y proponer al alumnado situaciones

matemáticas que puedan vivir, que provoquen el surgimiento de problemas matemáticos cuya

solución óptima se encuentre en un conocimiento construible por el alumnado y que se desea

transmitir. Es decir, a través del problema el alumno/a busca la solución y construye su propio

conocimiento, no es el profesorado quien lo ofrece para que sea aplicado. Desde esta

concepción, tiene una particular importancia la elaboración y el estudio del medio.

Estos conocimientos se construyen a partir de situaciones a-didácticas: situaciones que

permiten al alumnado enfrentarse de manera autónoma a la resolución del problema, y

diseñadas del manera que “el medio” devuelva información a los alumnos sobre el resultado

de sus acciones. De esta forma, se establece un “diálogo” entre el alumno y la situación, a

partir del cual se produce la adquisición de conocimientos.

En este contexto, la noción de variable didáctica es fundamental. Una variable

didáctica es un elemento de la situación que puede ser modificado por el maestro/a y que, al

hacerlo, provoca cambios tales en “el medio” que implican un cambio de estrategias en los

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niños. A veces es porque las estrategias anteriores son costosas o ineficaces, en otras

ocasiones porque son simplemente erróneas.

Cada conocimiento matemático se caracteriza por una familia de situaciones a-

didácticas específicas de dicho conocimiento. A este conjunto de situaciones a-didácticas se le

denomina “situación fundamental”, término que reúne un conjunto mínimo de situaciones a-

didácticas con sus respectivas variables didácticas, que suponen un amplio repertorio de

problemas permitiendo la representación adecuada de un conocimiento matemático concreto.

Una situación matemática es específica de un conocimiento matemático concreto si

cumple las dos condiciones siguientes:

- Es comunicable sin utilizar dicho conocimiento.

- La estrategia óptima que permite resolver el problema planteado es el conocimiento

matemático que se desea que el alumno construya.

En el marco de la TSD, se afirma que el aprendizaje de un conocimiento matemático

específico tiene lugar si el alumno/a se ha adaptado a todas las situaciones a-didácticas que

forman parte de una situación fundamental. Esta adaptación se hace notar por un cambio de

estrategia en el alumnado que le lleva a desarrollar la estrategia óptima de manera perdurable

en el tiempo.

Para finalizar el proceso de aprendizaje es necesario que haga funcionar dicho

conocimiento en sus relaciones con cierto medio a-didáctico, ya que la situación a-didáctica

es únicamente una parte de la situación más amplia que Brousseau denominó “situación

didáctica”, y que comprende las relaciones establecidas entre el alumnado, el medio y el

profesorado, con el objetivo de que los alumnos/as aprendan un conocimiento matemático

concreto.

La situación didáctica consiste en una serie de intervenciones del profesorado

(principalmente devoluciones e institucionalizaciones) sobre el par alumno-medio destinadas

a hacer funcionar las situaciones a-didácticas y los aprendizajes que ellas provocan. (Ruiz

Higueras, 2013).

6. EL SABER A ENSEÑAR: ANÁLISIS DEL CURRÍCULO.

En estos momentos supone un gran desafío para el profesorado de matemáticas de los

niveles iniciales enfrentarse a los problemas derivados del aprendizaje de las matemáticas, ya

que el incremento del fracaso escolar en esta área ha llegado a alcanzar cifras muy elevadas.

Para ello, se han realizado reformas educativas y cambios curriculares, exigidas por las

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necesidades de la sociedad para ofrecer al alumnado una formación que le permita

desenvolverse en el mundo actual. Los estudios más recientes han influido en la nueva

configuración del currículo, con cambios en contenidos y docencia requeridos por los avances

tecnológicos.

El currículo en esta materia, detalla qué matemáticas necesitan conocer los alumnos,

cómo deben alcanzar estos objetivos curriculares, qué deben hacer los profesores/as para

conseguir que su alumnado desarrolle el conocimiento y el contexto en el que tiene lugar el

proceso de enseñanza-aprendizaje.

Las matemáticas siempre han formado parte de los currículos de las enseñanzas

elementales y nunca ha sido cuestionada su importancia, ya que además contribuye en los

aprendizajes de otras áreas, proporcionando herramientas y técnicas de gran utilidad.

En la actualidad, se encuentra vigente la Ley Orgánica 8/2013, de 9 de diciembre, para

la mejora de la calidad educativa (LOMCE), pero el ámbito de Educación Infantil no se ha

visto alterado y la nueva ley remite a la anterior. Por lo tanto la Educación Infantil se apoya en

el marco de referencia de la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación (BOE, 2006),

que establece en su Capítulo I, artículo 13 los objetivos generales para esta etapa educativa. Y

la posterior Orden ECI/2960/2007, de 19 de diciembre, por la que se establece el currículo y

se regula la ordenación de la Educación Infantil (BOE, 2007), concretamente, el Real Decreto

1630/2006, establece las enseñanzas mínimas del Segundo ciclo de Educación Infantil y

concreta las áreas de este ciclo en su artículo 6.1:

- Conocimiento de sí mismo y autonomía personal.

- Conocimiento del entorno.

- Lenguajes: Comunicación y representación.

Este nuevo planteamiento curricular implica partir de un enfoque mucho más

globalizado que no se limite a los contenidos de una única área, sino trabajar de forma

integrada, explorando como se potencian y usándolos sin prejuicios. Además, trata de ayudar,

a través de los procesos de pensamiento matemático, a gestionar el conocimiento, las

habilidades y las emociones para conseguir un objetivo más cercano a situaciones funcionales

y en contextos de vida cotidiana que a su uso académico.

El conocimiento lógico-matemático queda incluido dentro del área de conocimiento

del entorno. Esta área se refiere al conocimiento del entorno como realidad donde se integran,

las dimensiones física, natural, social y cultural, que componen el medio cotidiano del

alumnado.

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Los objetivos que se corresponden de esta área con los conocimientos a tratar son:

- Observar y explorar de forma activa su entorno físico, natural y social, desarrollar

el sentido de pertenencia al mismo, mostrando interés por su conocimiento, y

desenvolverse en él con cierta seguridad y autonomía.

- Indagar el medio físico manipulando algunos de sus elementos, identificando sus

características y desarrollando la capacidad de actuar y producir transformaciones

en ellos.

- Representar atributos de elementos y colecciones, y establecer relaciones de

agrupamientos, clasificación, orden y cuantificación, iniciándose en las habilidades

matemáticas.

En esta área se encuentran los contenidos estructurados en tres bloques:

1. Medio físico: elementos relaciones y medidas.

2. Acercamiento a la naturaleza.

3. Vida en sociedad y cultura.

Los contenidos que se tratan en este TFG quedan recogidos en el “Bloque 1: Medio

físico: elementos, relaciones y medidas”. Concretamente vienen definidos de la siguiente

forma:

- Percepción de semejanzas y diferencias entre los objetos. Discriminación de

algunos atributos de objetos y materias.

- Estimación intuitiva y medida del tiempo. Ubicación temporal de actividades de la

vida cotidiana. Detección de regularidades temporales, como ciclo o frecuencia.

- Situación de sí mismo y de los objetos en el espacio. Posiciones relativas.

Identificación de formas planas y tridimensionales en elementos del entorno.

Exploración de algunos cuerpos geométricos elementales. Nociones topológicas

básicas (abierto, cerrado, dentro, fuera, cerca, lejos, interior, exterior…) y

realización de desplazamientos orientados.

En el currículo escolar los conocimientos espaciales que permiten capacitar al niño/a

para dominar el entorno espacial han quedado absorbidos por la geometría. Muchas personas

consideran de mayor importancia las destrezas numéricas, cuando realmente la probabilidad

de enfrentarse a problemas espaciales es mayor que la de encontrarse ante problemas

numéricos.

En los últimos años, se ha observado un avance muy notorio en cuanto a la inclusión

de conocimientos espaciales en los programas escolares, sin embargo, en los manuales

escolares, estos conocimientos se reducen, en su gran mayoría, a una iniciación a la

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geometría. Muchos profesores demuestran que apenas se trabajan problemas en el espacio

“real”, sino que la mayoría tratan sobre: nombrar figuras, memorizar fórmulas, calcular áreas,

volúmenes, etc., es decir, sobre conocimientos geométricos.

7. EL SABER A ENSEÑAR: ANÁLISIS DE UNA EDITORIAL

La elaboración de este trabajo se apoya en el análisis del contenido que aparece para

segundo ciclo de educación infantil en el material de la editorial “Santillana”, concretamente

en la colección “Mica y sus amigos”.

Cada curso se compone de una carpeta por trimestre, es decir, tres carpetas diferentes

por trimestre del año escolar. En la primera carpeta de cada curso, se añade una guía de salud.

Cada carpeta contiene: tres unidades didácticas que incluyen un cuento por unidad, un

boletín de Evaluación Trimestral, un documento de información y actividades para realizar

con los padres y madres, láminas de plástica, pegatinas y gomets para sus fichas

correspondientes y CD con los audios oportunos.

A continuación, mediante el análisis empírico del contenido de la editorial mencionada

y a partir del estudio epistemológico acerca de la construcción de conocimientos lógicos,

geométricos y espaciales en Educación Infantil que hemos realizado en secciones precedentes,

se desarrolla en el primer apartado la propuesta de las categorías establecidas en este trabajo

para el análisis del material y sus correspondientes tareas y subtareas. Seguidamente, en el

segundo apartado, se encuentra de manera más detallada el análisis empírico del material, con

ejemplos ilustrados que apoyan las tareas definidas y las técnicas que se requieren por parte

del alumnado para realizar las actividades propuestas por la editorial.

7.1. Categorías: tipos y subtipos de tareas

CONOCIMIENTOS ESPACIALES

Π1. Encontrar y comunicar la posición de objetos o elementos en una configuración

espacial teniendo en cuenta referentes externos (mesa, alfombra, maestra, etc.).

Π2. Reconocer, describir y dibujar objetos en contextos determinados.

Π2.1. Dibujar objetos en espacios delimitados.

Π2.2. Reconocer y dibujar objetos para que sean igual al modelo.

Π2.3. Reconocer objetos en una colección de representaciones que comparten

algunas características, para identificar los que son iguales.

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Π2.4. Completar puzles.

Π3. Interpretar/organizar trayectos o laberintos.

Π4.Identificar y relacionar diferentes visiones espaciales de un mismo objeto

(visualización espacial).

Π5. Reproducir objetos o recorridos sobre una cuadrícula.

Π5.1. Describir un recorrido sobre cuadrícula siguiendo un código establecido.

Π5.2 Reproducir figuras sobre una cuadricula.

CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS

Π6. Establecer asociaciones (correspondencias) entre figuras geométricas y objetos

similares en forma, aunque con distintos tamaños. (Transformaciones Proyectivas).

Π6.1. Dado un dibujo con diferentes figuras geométricas espaciales asociar (por

coloreo, pegando gomettes, etc.) aquellas que son similares.

Π6.2. Dado un sistema de codificación forma-color, establecer asociaciones para

completar un dibujo.

Π7. Dada una figura geométrica plana que sirve de modelo, reproducir (por copiado)

figuras similares.

Π7.1. Dado el modelo y algunas líneas continuas a modo de guía, completar

para formar figuras geométricas iguales al modelo ofrecido.

Π7.2. Dada una figura geométrica en línea discontinua, producir figuras

similares repasando los trazos del modelo ofrecido.

Π8. Identificar figuras complementarias.

Π9. Completar una figura aplicando simetría.

DISCRIMINACIÓN, SELECCIÓN, CLASIFICACIÓN

Π10. Identificar/discriminar y seleccionar objetos en una colección dada, siguiendo

el/los criterio/s establecido/s.

Π11. Clasificar objetos en diferentes contextos.

Π11.1. Clasificar elementos de una colección atendiendo a una cualidad que

viene dada.

Π11.2. Clasificar objetos en una tabla de doble entrada siguiendo un criterio de

clasificación multiplicativo.

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SERIACIONES

Π12. Producir y completar series con la presencia de un modelo de referencia, o sin

modelo.

Π12.1. Completar series algorítmicas, dada la secuencia generatriz, sin modelo

previo completo.

Π12.2. Completar series algorítmicas con modelo de referencia visible.

Π12.3. Producir series no algorítmicas con modelo de referencia presente.

Π13. Ordenar series temporales.

Π14. Reproducir una configuración geométrica, con un modelo de referencia visible.

CENTRACIÓN Y DECANTACIÓN

Π15. Identificar semejanzas/diferencias en dos escenas.

7.2 Clasificación y análisis de materiales curriculares: libro de texto

CONOCIMIENTOS ESPACIALES

Π1. Encontrar y comunicar la posición de objetos o elementos en una configuración

espacial teniendo en cuenta referentes externos (mesa, alfombra, maestra, etc.).

- Técnica: movilizar relaciones topológicas (del tipo delante de, detrás de, junto

a, entre, dentro de, entre otras).

Figura 2. Ejemplo de tarea Π1:

Coloca a Mica y Pato para que estén junto a los otros niños/as.

Π2. Reconocer, describir y dibujar objetos en contextos determinados.

Π2.1. Dibujar objetos en espacios delimitados.

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- Técnica: Poner en funcionamiento relaciones topológicas (dentro, fuera,

interior, exterior, frontera, abierto, cerrado) en contextos claramente definidos.

Figura 3. Ejemplo de tarea Π2.1: Dibújate dentro del marco.

Π2.2. Reconocer y dibujar objetos para que sean igual al modelo.

- Técnica: movilizar relaciones topológicas (del tipo arriba/debajo, a un lado/ a

otro lado, junto a, entre dentro de).

Figura 4. Ejemplos de tarea Π2.2 :

Completa las caras como en el modelo. Completa las casetas para que todas sean iguales.

Π2.3. Reconocer objetos en una colección de representaciones que comparten

algunas características, para identificar los que son iguales.

- Técnica: operar centraciones y decantaciones, atendiendo criterios topológicos

(lateralidad, arriba/abajo, dentro/fuera…) y/o geométricos (forma).

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Figura 5. Ejemplos de tarea Π2.3:

Rodea, respectivamente los guardias o niños/as que están en la misma posición que el modelo.

Π2.4. Completar puzles.

- Técnica: recortar y pegar en los huecos libres las piezas correspondientes para

formar la escena o dibujo, poniendo en funcionamiento relaciones topológicas

(al lado de, encima de, debajo de, junto a, entre).

Figura 6. Ejemplos de tarea Π2.4:

Recorta y pega las imágenes para formar la escena.

Π3. Interpretar/organizar trayectos o laberintos.

- Técnica: poner en funcionamiento relaciones topológicas de continuidad y

dentro/fuera.

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Figura 7. Ejemplos de tarea Π3:

Traza el camino que corresponde a su cartel. Traza el camino para que cada personaje se proteja del frio.

Π4. Identificar y relacionar diferentes visiones espaciales de un mismo objeto

(visualización espacial).

- Técnica: realizar centraciones y decantaciones, atendiendo a criterios

topológicos (lateralidad, arriba/abajo, enfrente de, y/o geométricos (forma).

Figura 8. Ejemplos de tarea Π4:

Une cada niño/a con quien corresponde. Colorea igual las casillas que corresponden al mismo niño/a.

Π5. Reproducir objetos o recorridos sobre una cuadrícula.

Π5.1. Describir un recorrido sobre cuadrícula siguiendo un código establecido.

- Técnica: interpretar códigos y establecer relaciones topológicas (arriba/abajo,

izquierda/ derecha, avanzar/retroceder etc.).

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Figura 9. Ejemplo de tarea Π5.1:

Leva el coche sobre la cuadrícula hasta la cochera siguiendo las indicaciones.

Π5.2. Reproducir figuras sobre una cuadricula.

- Técnica: movilizar relaciones topológicas y métricas.

Figura 10. Ejemplo de tarea Π5.2. :

Completa el dibujo siguiendo la cuadrícula.

CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS

Π6. Establecer asociaciones (correspondencias) entre figuras geométricas y objetos

similares en forma, aunque con distintos tamaños. (Transformaciones Proyectivas).

Π6.1. Dado un dibujo con diferentes figuras geométricas espaciales asociar (por

coloreo, pegando gomettes, etc.) aquellas que son similares.

- Técnica: reconocer y distinguir formas geométricas.

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Figura 11. Ejemplo de tarea Π6.1. :

Termina de colorear las manchas del juguete que tiene forma rectangular.

Π6.2. Dado un sistema de codificación forma-color, establecer asociaciones para

completar un dibujo.

- Técnica: operar centraciones/decantaciones, reconocer y distinguir formas

geométricas.

Figura 12. Ejemplo de tarea Π6.2:

Indica cuántas formas geométricas de cada tipo hay.

Π7. Dada una figura geométrica plana que sirve de modelo, reproducir (por copiado)

figuras similares.

Π7.1. Dado el modelo y algunas líneas continuas a modo de guía, completar

para formar figuras geométricas iguales al modelo ofrecido.

- Técnica: operar centraciones y decantaciones, utilizar criterios topológicos

(arriba/abajo, lateralidad, etc.).

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Figura 13. Ejemplo de tarea Π7.1:

Cerrar las formas geométricas para completarlas y decorarlas como el modelo.

Π7.2. Dada una figura geométrica en línea discontinua, producir figuras

similares repasando los trazos del modelo ofrecido.

- Técnica: repasar los grafismos para construir las figuras geométricas.

Figura 14. Ejemplo de tarea Π7.2:

Marcar las fotos triangulares repasar los triángulos.

Π8. Identificar figuras complementarias.

- Técnica: operar centraciones y relaciones topológicas con el fin de investigar

relaciones e identificar diferentes elementos y/o propiedades en las figuras

dadas.

Figura 15. Ejemplo de tarea Π8: Unir las figuras que son complementarias.

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Π9. Completar una figura aplicando simetría.

- Técnica: poner en práctica una simetría axial y la conservación de invariantes

euclidianos (distancias relativas y distancia al eje de simetría).

-

Figura 16. Ejemplo de tarea Π9:

Terminar las caras teniendo en cuenta lo que está dibujado

DISCRIMINACIÓN, SELECCIÓN, CLASIFICACIÓN

Π10. Identificar/discriminar y seleccionar objetos en una colección dada, siguiendo

el/los criterio/s establecido/s.

- Técnica: operar centraciones para analizar cada una de las propiedades y

cualidades de los elementos de las colecciones y decantaciones, en relación con

otras posibles cualidades de los objetos.

Figura 17. Ejemplos de tarea Π10:

Colorea el elemente más grande y rodea el más pequeño. Coloca los gomets en la pizarra adecuada siguiendo el criterio.

Π11. Clasificar objetos en diferentes contextos.

Π11.1. Clasificar elementos de una colección atendiendo a una cualidad que

viene dada.

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- Técnica: analizar los objetos a través de centraciones, para identificar la

cualidad dada como criterio de clasificación de otras (separación de predicados

amalgamados), y para agruparlos en la clase que corresponde.

Figura 18. Ejemplos de tarea Π11.1:

Identificar el color de la etiqueta de cada cesto con el color de los alimentos. Coloca las pegatinas según tengan forma

cuadrada o rectangular.

Π11.2. Clasificar/producir objetos en una tabla de doble entrada siguiendo un

criterio de clasificación multiplicativo.

- Técnica: operar centraciones y decantaciones para analizar las propiedades de

los objetos y establecer relaciones de equivalencia para clasificarlos atendiendo

a dos variables con sus respectivos valores.

Figura 19. Ejemplo de tarea Π11.2:

Dibuja las formas indicadas en las casillas y coloréalas como corresponde.

SERIACIONES

Π12. Producir y completar series con la presencia de un modelo de referencia, o sin

modelo.

Π12.1. Completar series algorítmicas, dada la secuencia generatriz, sin modelo

previo completo.

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- Técnica: poner en funcionamiento operaciones lógicas (reversibilidad,

transitividad, asignación de carácter dual) y funciones lógicas del tipo “el

siguiente de” y “el anterior de”.

Figura 20. Ejemplo de tarea Π12.1:

Continúa las series en el orden indicado.

Π12.2 Completar series algorítmicas con modelo de referencia visible.

- Técnica: establecer correspondencia término a término para reproducir el

modelo.

Figura 21. Ejemplo de tarea Π12.2:

Terminar de colorear las formas de las construcciones como las del modelo.

Π12.3. Producir series no algorítmicas con modelo de referencia presente.

- Técnica: proceder mediante una correspondencia término a término para

reproducir el modelo, poniendo en funcionamiento operaciones lógicas de

reversibilidad, transitividad y asignación de carácter dual a todo elemento de la

serie.

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Figura 22. Ejemplo de tarea Π12.3:

Dibujar y pintar los círculos según el orden que presentan en el ábaco, de arriba hacia abajo.

Π13 Ordenar series temporales.

- Técnicas: establecer el orden de las imágenes a través de operaciones lógicas

(reversibilidad, transitividad, asignación de carácter dual) del tipo “anterior a”

y “posterior a”.

Figura 23. Ejemplo de tarea Π13:

Ordena las escenas para formar la secuencia.

Π14. Reproducir una configuración geométrica, con un modelo de referencia visible.

- Técnica: operar estableciendo correspondencia término a término con

relaciones topológicas (debajo de, delante de, detrás de, siguiente, sucesor,

etc.) y operaciones lógicas (reversibilidad, transitividad, asignación de carácter

dual).

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Figura 24. Ejemplo de tarea Π14:

Dibuja la figura utilizando las formas indicadas.

CENTRACIÓN Y DECANTACIÓN

Π15 Identificar semejanzas/diferencias en dos escenas.

- Técnica: realizar centraciones en las características de la escena.

Figura 25. Ejemplo de tarea Π15:

Rodea las tres diferencias entre las escenas.

8. PROPUESTA PARA UNA CONSTRUCCIÓN FUNCIONAL DE

CONOCIMIENTOS LÓGICOS Y ESPACIALES EN LA EDUCACIÓN

INFANTIL

En este apartado se presentan algunas propuestas de trabajo para conocimientos

lógicos y espaciales con el alumnado de infantil, propiciando que construyan de forma

significativa su aprendizaje. Se trata de una recreación de la situación diseñada por Péres

(1987), tomada de Ruiz Higueras (2005b).

Situación de aprendizaje: CONSTRUIR UNA LISTA PARA RECORDAR UNA COLECCIÓN.

“EL ARCA DE NOÉ”

Se colocan diferentes elementos en el interior de un barco. Primero, se dejan durante

toda la mañana en la cubierta para que puedan observarlos y se les indicará que al día

siguiente deberán recordarlos.

En un principio se realizarán varias sesiones con cuatro o cinco objetos, pero después

pasaremos de golpe a poner doce objetos para su recuerdo, dejándolos como anteriormente

previamente toda la mañana para que los visualicen. Los objetos serán animales del arca,

algún elemento que represente comida, tripulantes, utensilios de navegación, etc.

- Conocimientos que los alumnos ponen en funcionamiento para dar solución al

problema: el sentido de la representación, deberá abandonar su actitud de “dibujante”

para pasar a la de “designante” indicando la existencia de un objeto determinado y

preciso, enriquecerá su representación gráfica con la adquisición de repertorio

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simbólico, deberá establecer la correspondencia término a término, que implica

enumeración y elaborar e interpretar el listado de una colección, también establecerá

un proceso de clasificación.

- Material necesario: barco con capacidad en su interior para introducir los objetos y

los diversos objetos que utilizaremos (animales del arca, algún elemento que

represente comida, tripulantes, utensilios de navegación, etc.). Por grupos, los objetos

deberán tener características perceptivas similares (cuadrados, circulares…), que

hagan que su designación a través de un trazo sea problemática.

- Consigna precisa: tendréis a vuestra disposición los objetos toda la mañana pero

mañana debéis reconstruir el contenido del arca y recordar todos los objetos sin verlos

para poder ganar.

- Variables didácticas de la situación: el número de elementos que contenga el arca, las

familias o colecciones que se formen, si los objetos son más o menos heterogéneos, la

posición espacial de los objetos y permitir o no usar el color para la representación.

Situación de aprendizaje: DISCRIMINAR LOS OBJETOS DE UNA COLECCIÓN EN

RELACIÓN CON UNA PROPIEDAD.

Adaptada de la situación de clasificación de granos, propuesta por Ruiz Higueras

(2005b).

“LA COSTURERA”

Se colocan juntos formando una colección botones de tres categorías, (redondos

amarillos, cuadrados azules y estrellados rosas). Después se colocan cinco cajitas con un

orificio pequeño que permite el paso de los botones, pero de las que no se observa el interior y

que deberán permanecer tapadas durante toda la actividad. Es importante que haya más cajitas

que categorías de botones. Se pedirá que coloquen todos los botones iguales en la misma caja

para ayudar a la costurera que los necesita para colocárselos a tres rebecas y no puedo porque

los tiene desordenados.

- Conocimientos que los alumnos ponen en funcionamiento para dar solución al

problema: llevarán a cabo actividad matemática que implica enumeración, puesto que

determinarán una secuencia para introducir los botones en las cajitas y reiterarla

constantemente, además será necesario poner en funcionamiento una estrategia de

discriminación para separar los botones en categorías distintas.

- Material necesario: botones de tres categorías diferentes, cinco cajitas idénticas,

opacas y perforadas con un pequeño orificio por arriba.

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- Consigna precisa: debéis colocar todos los botones iguales en la misma cajita para

ayudar a la costurera.

- Variables didácticas de la situación: el número de categorías presentes para la

discriminación, el número de cajitas o el tipo de elementos que formen la colección.

Situación de aprendizaje: CONSTRUIR UN OBJETO.

“A LA CAMA”

Agrupamos piezas de lego sobre la mesa y en otro extremo colocamos un muñeco. Un niño

que se encuentra en contacto con el muñeco deberá elaborar un mensaje en el que de

indicaciones para que otro compañero que no ve el muñeco construya una cama para el

mismo.

- Conocimientos que los alumnos ponen en funcionamiento para dar solución al

problema: necesidad de medir, saber expresar la medida de determinados objetos,

necesidad de unificar la unidad de medida tanto en el que emite como el que recibe

mensaje.

- Material necesario: muñecos y piezas de lego.

- Consigna precisa: Elabora un mensaje para que tu compañero que no ve el muñeco

pueda construir una cama a su medida.

- Variables didácticas de la situación: el muñeco que se ponga, el tipo de material que

se use (las construcciones pueden ser de piezas homogéneas o heterogéneas), que haya

que expresarlo oral o escrito.

Situación de aprendizaje: REPRESENTAR UN RECORRIDO.

“ASÍ ME MUEVO”

Realizamos en el patio un circuito con obstáculos (aros, pelotas, picas, zancos) y tras

realizarlo pediremos a los niños que lo representen para poder transmitir la información a

compañeros de otras clases que deseen hacerlo como ellos.

- Conocimientos que los alumnos ponen en funcionamiento para dar solución al

problema: deberán conservar la cantidad, medir y producir una colección, pasar de un

espacio tridimensional a bidimensional, codificar y descodificar un mensaje, ordenar

de manera que establezcan un sistema de referencia para indicar el comienzo y

trabajarán las transformaciones equiformes, puesto que conservarán la misma forma al

representar.

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- Material necesario: todo el necesario para montar el circuito (aros, pelotas, picas,

zancos, etc.).

- Consigna precisa: Representad el recorrido realizado en el patio para que otro

compañero pueda realizarlo sin problema exactamente igual que vosotros.

- Variables didácticas de la situación: el número de obstáculos, la posición de los

mismos, la forma que presenten, la presencia o no de sistemas de referencia fáciles de

localizar.

9. SÍNTESIS Y CONCLUSIONES

La finalidad de este trabajo era analizar la metodología actual de enseñanza de

conocimientos lógicos, geométricos y espaciales presentes en educación infantil. Para abordar

esta acción de manera justificada e informada, se han diseñado y elaborado las fases del

presente documento.

En general, a lo largo de la exposición se deduce que la metodología adecuada para

esta etapa educativa sería aquella que trata de implicar al alumnado en contextos relevantes,

que aborda los conocimientos a través de situaciones potencialmente significativas social,

cultural y matemáticamente. Por el contrario, como demuestran las tareas presentes en la

editorial, se deduce que el principal objetivo que pretenden es lo que podría denominarse

“instrucción matemática”. Se propone este término porque las propuestas didácticas de la

editorial, se basan en actividades dirigidas al desarrollo de técnicas, métodos, reglas y

conceptos matemáticos, cuyo objetivo es que los alumnos/as sean capaces de simular y repetir

las técnicas que van aprendiendo a través de fichas, en las que solo existen dos posibles

resultados: correcto o incorrecto. Y el resultado que se pretende lograr es el correcto, por lo

que se espera que todas las láminas o fichas sean iguales, lo que impide la posibilidad de

aportación personal.

Sin embargo, los estudios avalan la necesidad de que los conocimientos matemáticos

sirvan para ser aplicados en contextos de la vida, reales y funcionales. Y para lograrlo, estos

contenidos deben aprenderse en situaciones donde adquieran un significado funcional real,

más allá de la mera técnica. Por ello, en la enseñanza actual falta la inclusión de estas

situaciones descritas anteriormente, ya que vinculadas a las rutinas diarias o a proyectos del

aula, tendrán sentido por ellas mismas y generarán algunos interrogantes que los alumnos/as,

con la ayuda del docente, y con la colaboración de los compañeros/as intentaran resolver, en

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las que el desarrollo del pensamiento matemático se vincule a procesos de búsqueda y de

resolución en situaciones con sentido y con funcionalidad propia.

Evidentemente, la principal crítica o carencia que se puede presentar sobre el

contenido de esta editorial, es que no propicia este tipo de situaciones. Pero al margen de esta

afirmación y centrándonos en el contenido de los libros de texto que presenta, se exponen las

principales características observadas para obtener una visión más específica de la

composición del mismo y de la presencia de tareas en las distintas categorías y edades del

ciclo de Educación Infantil.

En primer lugar, se destaca que el porcentaje de fichas relativas a los conocimientos

espaciales es bastante elevado, la mayoría desarrolla técnicas de conocimientos topológicos,

pero el aspecto negativo se encuentra en que la totalidad de tareas se proponen en el

microespacio y no se desarrolla el aprendizaje de la importancia de establecer sistemas de

referencia. En cuanto al desarrollo de tareas sobre cuadrícula, que pueden generar importantes

conocimientos topológicos, incluso de proporcionalidad, paralelismo, perpendicularidad, etc.,

solo se hayan dos propuestas y para el nivel de 5 años. De esta manera, se constata que no se

trabajan problemas en el espacio “real”. A continuación, se aporta un gráfico que apoya estos

datos y muestra el análisis cuantitativo llevado a cabo sobre el material educativo de las tareas

relacionadas con conocimientos espaciales por edades.

Figura 26. Gráfico de tareas de conocimientos espaciales por edades.

En relación a conocimientos geométricos señalar que se reducen, en su gran mayoría,

a la identificación, dibujo o repaso del trazo de figuras poligonales elementales: cuadrado,

triángulo, círculo, rectángulo o incluso poliédricas: cubos, prismas, pirámides, etc., aunque en

0

1

2

3

4

5

6

7

8

3 AÑOS 4 AÑOS 5 AÑOS

TAREAS DE CONOCIMIENTOS ESPACIALES

Π1 Π2.1 Π2.2 Π2.3 Π2.4 Π3 Π4 Π5

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menor medida. No aparecen técnicas basadas en conocimientos como ángulos, rectas,

traslaciones, giros, paralelismo, perpendicularidad, congruencia, etc. Tan solo aparecen cuatro

tareas para dibujar simetrías y no se presentan hasta el nivel de 5 años, como muestra el

siguiente gráfico:

Figura 27. Gráfico de tareas de conocimientos geométricos por edades.

En relación a las tareas de discriminación, selección, clasificación, centración y

decantación, se destaca como demuestra el siguiente gráfico que el porcentaje de tareas no es

muy elevado, pero la carencia es menos notoria debido a que estos conocimientos se ponen en

funcionamiento aunque de manera secundaria para resolver tareas de otras categorías.

0

1

2

3

4

5

3 AÑOS 4 AÑOS 5 AÑOS

TAREAS DE CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS

Π6.1 Π6.2 Π7.1 Π7.2 Π8 Π9

0

1

2

3

4

3 AÑOS 4 AÑOS 5 AÑOS

TAREAS DE DISCRIMINACIÓN, SELECCIÓN Y CLASIFICACIÓN/ CENTRACIÓN Y DECANTACIÓN

Π10 Π11.1 Π11.12 Π15

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Figura 28. Gráfico de tareas de discriminación, selección y decantación/ centración y decantación por edades.

Por último, se refleja el número de tareas presentes en la categoría de seriaciones en la

que todas se limitan como se ha comentado anteriormente a completar de forma mecánica

fichas similares y no trabajan de forma significativa los contenidos.

Figura 29. Gráfico de tareas de seriación.

Se puede comprobar de manera general a lo largo de este apartado y en mayor

profundidad revisando el documento completo, el esfuerzo realizado para llegar a obtener

estas conclusiones y lograr la finalización del trabajo. Sin duda, requiere gran tiempo y

dedicación la búsqueda de información y análisis del material, pero todo ese proceso permite

aplicar estos conocimientos adquiridos en el trabajo futuro como docente de una forma

profesional, contribuye a la adquisición de competencias, argumentos y técnicas de resolución

de problemas, aumenta la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes para emitir juicios

y reflexiones sobre esta temática. Además, una de sus finalidades es transmitir información

tanto a un público especializado como no especializado y su realización supone la adquisición

de habilidades para emprender estudios con alto grado de autonomía.

Por otro lado, a lo largo de este proceso de creación se observa el valor de saber

promover en el alumnado para un aprendizaje íntegro: la adquisición de hábitos básicos en

torno a la autonomía, la libertad, la curiosidad, la observación, la experimentación, la

imitación, el juego simbólico, la importancia de la interacción con los iguales y con los

adultos y la participación en actividades colectivas. También, a partir de la elaboración de

este documento se aprecia la importancia para el docente de saber informar a otros

profesionales especialistas para abordar la colaboración en el centro sobre el modelo de

0

1

2

3

4

5

6

7

8

3 AÑOS 4 AÑOS 5 AÑOS

SERIACIONES

Π12.1 Π12.2 Π12.3 Π13 Π14

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enseñanza más apropiado, la utilidad de promover y colaborar en acciones dentro y fuera de

la escuela atendiendo a las necesidades de los estudiantes para transmitir seguridad,

tranquilidad y afecto que permita lograr mayor nivel de aprendizaje.

En definitiva, la elaboración de este trabajo supone ayuda para comprender las

matemáticas como un conocimiento sociocultural, para conocer los fundamentos científicos,

matemáticos y tecnológicos del currículo de esta etapa así como las teorías sobre la

adquisición y desarrollo de los aprendizajes correspondientes, para elaborar estrategias

didácticas que permitan desarrollar nociones espaciales, geométricas y de lógica, y por

último, para conocer ejemplos y prácticas innovadoras que puedan ser aplicadas en la

Educación Infantil.

10. BIBLIOGRAFÍA.

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40

ANEXO TAREAS

CONOCIMIENTOS ESPACIALES

TAREA Π1

3 años

Coloca a Mica y Pato para que estén junto a los otros niños/as.

TAREA Π2

Tarea Π2.1

3 años

Dibújate dentro del marco.

4 años

Dibujarse en el recuadro.

5 años

Dibujarse en el recuadro.

Tarea Π2.2

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41

3 años

Completa las caras como en el modelo.

3 años

Completa las caras como en el modelo.

4 años

Dibuja las caras.

4 años

Completa las caras.

4 años

Completa los dibujos como el modelo.

4 años

Completa la cara siguiendo el modelo.

4 años

Completa siguiendo el modelo.

5 años

Completa las casillas siguiendo el modelo.

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5 años

Completa siguiendo el modelo.

5 años

Completa como el modelo.

5 años

Completa las casillas como el modelo.

Tarea Π2.3

3 años

Rodea los que están en la misma posición que el modelo.

3 años

Rodea los semáforos distintos al modelo.

3 años

Rodea las señales que son iguales al modelo.

3 años

Rodea los que están en la misma posición que el modelo.

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3 años

Colorear los ordenadores que son iguales al modelo.

3 años

Busca los elementos del lateral.

3 años

Colorea los símbolos iguales al modelo.

4 años

Rodea las mochilas que están en la misma posición que el

modelo.

4 años

Buscar las formas y colorearlas como se indica.

4 años

Rodear los que están en la misma posición que el modelo.

5 años

Rodear la figura que es igual que el modelo.

5 años

Rodear la figura que es igual que el modelo.

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5 años

Completa las casillas como el modelo.

5 años

Marca la casilla que es igual que el modelo.

5 años

Marca la casilla que es igual al modelo.

5 años

Une cada animal con su sombra.

Tarea Π2.4

3 años

Recortar y ordenar las piezas para formar la escena.

3 años

Recortar y ordenar las piezas para formar la escena.

3 años

Recortar y ordenar las piezas para formar la escena.

3 años

Completar la escena colocando las piezas en su lugar.

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4 años

Recorta y pega las imágenes para formar la escena.

4 años

Recortar las piezas y completar la escena.

4 años

Recortar las piezas y completar la escena.

5 años

Recortar las piezas y completar la escena.

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46

5 años

Completar la escena colocando las piezas en su lugar.

TAREA Π3

3 años

Marca el camino para dejar la carta en el buzón.

3 años

Seguir el camino para ir al lugar adecuado según los

objetos que llevan.

4 años

Traza el camino que corresponde a su cartel.

4 años

Une cada acción con la enfermedad.

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4 años

Marca el camino para llegar a las actividades que más te

gustan.

4 años

Indica cómo puede protegerse del frío cada personaje.

5 años

Marca el camino que lleva a cada persona a su lugar de trabajo.

TAREA Π4

4 años

Une cada niño/a con quien corresponde.

4 años

Une cada figura con su opuesta.

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5 años

Colorear las tres casillas que corresponden al mismo niño/a de igual color.

TAREA Π5

Tarea Π5.1 Tarea Π5.2

5 años

Llevar el coche a la cochera siguiendo las indicaciones.

5 años

Completa el dibujo siguiendo la cuadrícula.

Tabla 2. Tareas de conocimientos espaciales.

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CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS

TAREA Π6

Tarea Π6.1

3 años

Marca los objetos de forma circular.

3 años

Pega gomet en cada esquina del cuadrado grande y colorea

la galleta cuadrada.

3 años

Colorea el triángulo y marca las etiquetas de los bocadillos

triangulares.

4 años

Une cada elemento con su forma.

4 años

Marca las fotos triangulares.

4 años

Colorea las manchas de los juguetes que tienen forma

rectangular.

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50

4 años

Colorea la etiqueta del objeto ovalado y repasa los óvalos de la flor.

Tarea Π6.2

3 años

Colorea los cuadrados.

4 años

Indica cuántas formas geométricas de cada tipo hay.

5 años

Indica cuántas formas geométricas hay de cada clase y

dibuja una figura utilizando las formas indicadas

5 años

Coloca los rombos según su tamaño para completar el

cuadro y repasa los rombos.

TAREA Π7

Tarea Π7.1

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51

3 años

Dibuja las líneas que faltan a los triángulos.

4 años

Completa las formas y decóralas como en el modelo.

5 años

Completa para formar rombos.

Tarea Π7.2

3 años

Repasa el trazo de los triángulos.

4 años

Repasa el trazo y colorea los cuadrados amarillos y los

círculos verdes.

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4 años

Repasa el trazo de los triángulos.

4 años

Repasa el trazo de los rectángulos.

4 años

Repasa el trazo de los óvalos.

5 años

Repasa el trazo de los rombos.

TAREA Π8

4 años

Une las figuras complementarias.

5 años

Une las fichas que se complementan y colorealas igual.

TAREA Π9

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5 años

Completa la figura.

5 años

Une cada bota con el niño/a al que pertenece.

5 años

Termina de completar las caras teniendo en cuenta lo que

está dibujado.

5 años

Completa el pelo de los niños según el trazo propuesto.

Tabla 3. Tareas de conocimientos geométricos.

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DISCRIMINACIÓN, SELECCIÓN Y CLASIFICACIÓN

TAREA Π10

3 años

Une con la mochila los elementos que se pueden guardar en

ella por su tamaño.

4 años

Colorea el elemento más grande y rodea el más pequeño.

4 años

Coloca los gomets en la pizarra adecuada.

5 años

Tacha las personas que no cumplen las normas indicadas en

los códigos.

5 años

Coloca los gomets que cumplan las características indicadas en los recuadros.

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TAREA Π11

Tarea Π11.1

3 años

Identifica el color de la etiqueta de cada cesto con el color

de cada alimento.

3 años

Une los alimentos salados con el círculo verde y los dulces

con el rojo.

4 años

Pega en los conjuntos los gomets en función de su tamaño.

5 años

Coloca las pegatinas donde corresponda.

Tarea Π11.2

3 años

Dibuja las formas indicadas en las casillas y coloréalas

como corresponde.

4 años

Completa la tabla siguiendo los criterios dados.

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4 años

Completa la tabla según tamaña y color de cada juguete.

4 años

Pinta las casillas de la tabla para indicar qué características

tiene cada animal.

5 años

Colorea las casillas de los sentidos que hay que emplear

para conocer cómo es cada elemento.

5 años

Colorea la casilla adecuada según el cuerpo geométrico al

que pertenece cada objeto fotografiado.

5 años

Colorea las casillas para indicar qué come cada animal.

Tabla 4. Tareas de discriminación, selección y clasificación.

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57

SERIACIONES

TAREA Π12

Tarea Π12.1

3 años

Continua la serie.

3 años

Continua la serie.

3 años

Sigue las series.

4 años

Sigue la serie.

4 años

Continuar la serie.

4 años

Continuar la serie.

4 años

Sigue las series.

4 años

Continuar la serie.

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58

4 años

Continuar las series.

4 años

Completa la serie.

5 años

Sigue la serie.

5 años

Sigue la serie.

5 años

Completa la serie.

5 años

Completa la serie.

Tarea Π12.2

3 años

Termina de colorear las formas de las construcciones como en

el modelo.

4 años

Dibuja las figuras que faltan.

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59

5 años

Colorea las composiciones que son igual al modelo.

Tarea Π12.3

3 años

Pega los gomets según su forma.

5 años

Dibuja y pinta los círculos en el orden que se

encuentran en el ábaco, de arriba hacia abajo.

5 años

Dibuja la construcción.

TAREA Π13

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60

3 años

Pega las imágenes para hacer la secuencia de unas maracas.

3 años

Recorta y completa la secuencia del nacimiento de un pollo.

4 años

Recorta las imágenes y ordena la secuencia.

4 años

Pega las imágenes para completar el proceso de

crecimiento de los seres vivos.

5 años

Recorta y pega las escenas ordenadas.

5 años

Pega las escenas ordenadas para completar la secuencia.

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61

5 años

Recorta y pega las escenas ordenadas.

5 años

Recorta y pega las escenas ordenadas.

5 años

Recorta y pega las piezas para completar la escena.

5 años

Pega las escenas ordenadas.

TAREA Π14

3 años

Recorta y pega cuadrados para formar flores.

4 años

Completa y colorea los dibujos como el modelo.

4 años

Colorea las figuras según el modelo.

5 años

Dibuja la figura utilizando las formas indicadas.

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62

5 años

Dibuja la construcción.

5 años

Dibuja la construcción.

Tabla 5. Tareas de seriación.

CENTRACIÓN Y DECANTACIÓN

TAREA Π15

3 años

Rodea tres diferencias entre las escenas.

5 años

Marca diferencias entre noche y día.

Tabla 6. Tareas de centración/decantación.