7/25/2019 Conjuntos abiertos

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ESCUELAPOLITCNICA NACIONALANLISISR EAL EJERC ICIOS DE REPASO

CONJUNTOS ABIERTOS

Semestre 2015-B Mat. Andrs Merino

1. SeanA y B abiertos de R, demostrar que A Bes un abierto.

Demostracin. SeanA y B abiertos de R, es decir,

(y A)( > 0)(B(y, ) A), (1)

y

(y B)( > 0)(B(y, ) B). (2)

Demostraremos que(x AB)( > 0)(B(x, ) A B).

Seax AB, entoncesx Ayx B , con esto, en (1) y (2), existen 1 > 0 y 2 > 0 tal que

B(x, 1) A y B(x, 2) B .

Tomando = mn{1, 2} > 0, se tiene que

B(x, ) B(x, 1) y B(x, ) B(x, 2),

por lo tanto,

B(x, ) A y B(x, ) B,

entoncesB(x, ) A B. Por lo tanto, A Bes un abierto.

2. Sea{Ai}iIuna familia de abiertos deR, demostrar que

iI

Aies un abierto.

Demostracin. Sea{Ai}iIuna familia de abiertos, es decir,

(i I)(y Ai)( > 0)(B(y, ) B). (3)

Demostraremos que(x

iI

Ai)( > 0)(B(x, )

iI

Ai).

Seax

iIA i, entonces existej Ital quex Aj, con esto, en (3), existe > 0 tal que

B(x, ) Aj,

adems,Aj

iIAi, por lo tanto,

B(x, )

iI

Ai,

es decir,

iIAies abierto.

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