CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Definición :

Dos segmentos, dos ángulos o dos figuras geométricas en general, serán congruentes si tiene la misma forma y el mismo tamaño. Para la congruencia de dos triángulos, se postulan los siguientes casos :

Postulado (LAL)

Postulado (ALA)

Postulado (LLL)

Postulado (LLA)

Propiedad de la Bisectriz

O

F

E

H

OHOF

EHEF

Propiedad de la Mediatriz

A

P

Bb b

PA = PB

El APB es isósceles.

Teorema de la Base Media

B

A C

NM

M N : b ase m ed ia

M N // A C

2

A CM N

c a

c a

Teorema de la Menor Mediana en el Triángulo Rectángulo

B

A CM

2A C

B M

b

b b

En el Triángulo Isósceles

B

A CE

G

HF

S i : A B = B C

A H = E F + E G

B

A

S

C P

H

Q

S i : A B = B C

C H = P Q - P S

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES

a

a 2a

45º

45º

60º

n

n 3

2n

30ºa

a2

2

2

a

45

45

a

a 2a

45º

45º

60º

n

n 3

2n

30ºa

a2

2

2

a

45

453a

4a

37º

53º

5a

2b

b 5b

53º2

3k

k 10k

37º2

3a

4a

37º

53º

5a

2b

b 5b

53º2

3k

k 10k

37º2

4n

nn 17 76º

14º

25b

24b

7b

74º

16º

a( 6 + 2)a( 6 - 2)

A H C

B

4a

a

75º 15º

4n

nn 17 76º

14º

25b

24b

7b

74º

16º

a( 6 + 2)a( 6 - 2)

A H C

B

4a

a

75º 15º

PRÁCTICA DE CLASE

Bloque I

En cada uno de los ejercicios halla el valor de "x" e identifica el caso de congruencia de triángulos.

Bloque II

1. La figura muestra a dos triángulos congruentes. Calcular “x + y”.

6

yx

8

Rpta:……………………

2. H = mACQ = 90°, AC = CQ, AB = 9dm y HQ = 9dm.

Calcular el valor de “BH”.

A

B

H

C

Q

Rpta:……………………….

3. ABC y PQR son dos triángulos, tales que: AC = PR, AB

= QR, mA = mR, BC = 12 y PQ = x2 4.

Calcular el valor de "x".

Rpta:………………………..

4. En el gráfico y la distancia de “O” a es de

dm Calcular la distancia entre y .

a

b

E

F

O

Rpta.: __________

5. En el gráfico: AB = 7dm y BC = 24dm. Calcule el valor de “x”.

A C

D

B

x

45º 53º

Rpta.: __________

6. La base de un triángulo ABC mide 24dm. Se marcan

"M" y "N" puntos medios de y respectivamente. Grafique al rectángulo MNPQ de modo que su altura NP mida 5dm. Calcular el valor de "NQ".

35º

72º35º x

x = Caso:………

44ºx

57º

x = Caso:………

40º 36º

18

40º

36º

x2 7

x = Caso:………

6m65º25º

2x2 1

2

x = Caso:………

50º

x48º

x = Caso:………

44º

60º44º x

x = Caso:………

42º 33º

24

42º

33º

3x + 3

x = Caso:………

57º

62º

3xº

x = Caso:………

Rpta.: __________

7. Sea ABC un triángulo donde: mA = 30º. Trace la ceviana BD de modo que: BD = DC y AD = BC, calcular la mDBC.

Rpta.: __________

8. Sea ABC un triángulo de modo que: AB.=.8dm y AC.=.14dm. Se traza perpendicular a la bisectriz interior del ángulo "A" y se desea calcular la distancia de "H" al punto medio de

Rpta.: __________

9. Grafique al triángulo ABC y trace la mediana BM. Si la

distancia de "A" hacia mide 6dm y mide 10dm;

calcular la mCBM.

Rpta.: __________

10. Grafique al triángulo rectángulo ABC, cuyo ángulo "C" mida 30° y la distancia del punto medio "M" de a la hipotenusa AC sea de 2dm. Luego construya el triángulo rectángulo BQC y calcule el valor de “QM”.

Rpta.: __________

11. Grafique al triángulo rectángulo ABC de modo que: mA = 53° y AC = 10dm. Exteriormente construya el triángulo rectángulo BFC de modo que el ángulo ABF mida 120°. Calcule "FB".

Rpta.: __________

12. Grafique al triángulo obtusángulo ABC (mB > 90º) y trace las mediatrices de y . Estas líneas cortan a en "F" y "E" en ese orden. Si: mFBE = mA+mC, calcular la mABC.

Rpta.: __________

10. Calcular el perímetro del cuadrado ABCD, si: BH = 10 y PH = 34.

B

C

D

H A P

Bloque III

1. En un triángulo ABC, mBAC = 30°, AC = 4 y AB = 3 .

Hallar la longitud de .

A) 3 B) 2 C) 2 D) E) 6

2. Un triángulo equilátero ABC tiene por longitud de su lado “a”. La proyección del punto medio de sobre AC es el

punto F. ¿Cuánto mide la proyección de sobre ?

a) b) c)

d) e)

3. En la figura: y . Hallar “x + y”

a) 39º b) 28º c) 56º d) 36º e) 50º

4. En un triángulo ABC, recto en B, AB = 12m y BC = 9m. Calcule la longitud de la bisectriz trazada desde A.

a) b) c) d) e)

5. En un triángulo RPQ; S es el punto medio de la mediana RM (M en PQ) y MD (D sobre PR) es paralelo a QS que mide 30cm. El valor de MD en centímetros es:

a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50

6. En la figura mostrada, calcular “x”, si AB = RC

a) 15º b) 20º c) 24ºd) 36º e) 18º

7. En la figura, calcular “x”a) 4b) 5c) 10d) 2.5e) 7.5

8. En la figura, calcular “x”a) 30b) 22.5c) 15d) 18e) 12

9. Calcular “x”

a) 15b) 22.5c) 30d) 37e) 45

10. Si: AB = 12 dm y AF = 13 dm, calcular la distancia de “F” hacia

αα α

α

5 x

A

BC

D

2xb

c

b

a+c

a

a

x

a

b

a+b

x

A

B

CR50º

x 65º

A

B

C

F

a) 4dm b) 6dm c) 5dmd) 8dm e) 7dm

11. En la figura, si: AB = 13, AH = 7.

Calcular QP.

a) 7

b) 6

c) 5

d) 8

e) 9

12. En la figura: , AB = BD; CD = 4 y mC = 45°.

Hallar la distancia entre .

A) 2

B) 2

C) 3

D) 3

E) 4

13. En la figura mostrada, calcular “x”, si AB = RC

a) 45º b) 28º c) 44ºd) 54º e) 40º

A H

Q

P

B

1 . E n la figu ra, si: A B = 13 ,A H = 7.C alcular Q P.

m B D

C

A

n

A

B

CR30º

x 75º