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CONGRESO INTERNACIONAL DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA CICI 2016 1

UTILIZACION DE SIMULACION MONTECARLO PARA LA NORMALIZACION DEFUNCIONES DE ONDA EN UN POZO DE

POTENCIAL DE PAREDES INFINITASHugo Fernado Vargas Docente Ciencias Basicas Universidad Santo Tomas

Abstract— As a part of the Devices Theory Course andwithin the process of articulation of the method MonteCarlo (MC) as a mathematical tool for the normalizationof wave functions, a simulation was implemented usingthe Transformations Inverse Method and the Methodof Rejection as an alternative to the Analytic Method.The idea of this was to figure out the expected valueof the position < x >; moreover, a process of MethodMatching (comparison process) was done to sort out someparticular cases of wave functions. It was determinedthat both methods evidence a similitude in the values ofthe constants. This pedagogic strategy fulfils the students’process of learning, especially to resolve INTEGRALS(physics) that in some events turn out to be difficultbecause of conventional methods.

Resumen: Dentro del proceso de articulacion del metodoMonte Carlo como herramienta de calculo para funcionesde distribucion de probabilidad y el proceso de normali-zacion de funciones de onda en el curso de Teorıa de losdispositivos, se implementa una simulacion para obtener elvalor del valor esperado < x > de la posicion, haciendo unparalelo con el tradicional metodo analıtico de solucion deintegrales, que complementa el proceso de aprendizaje delos estudiantes, ya que se hace enfasis en la utilidad de losmetodos numericos para la solucion de integrales, ademasse compara con el proceso obtenido en una hoja de calculo,haciendo uso de un generador de numeros aleatorios y delos metodo de transformacion inversa a su vez metodo derechazo, tambien involucrado dentro de Monte Carlo, ypor ultimo haciendo una comparacion entre ellos.

Index Terms— Monte Carlo , normalization constant ,PDF ( probability distribution function)Palabras Clave: Monte Carlo, Constante de Normaliza-cion, PDF(Funcion de distribucion de probabilidad)

CICI 2016

I. Introduccion

LA simulacion Monte Carlo es un metodo que sebasa en la utilizacion de numeros aleatorios como

base de su estructura de funcionamiento, es un metodoampliamente usado para solucionar problemas de fısica ymatematicas [1], en este se define una variable aleatoriaxi, la cual se le asigna a un evento Ei , por ejemplosi dibujamos bolas de diferentes colores, sera difıcilencontrar un color promedio de ellas, pero si asignamosnumeros a las bolas que identifiquen cada color tenemosuna forma facil de computo. En este trabajo se buscaintegrar los numeros aleatorios, para resolver integralesy obtener valores aproximados de valores esperados dela posicion < x >, para funciones de onda asociadas apartıculas que estan confinadas en un pozo de potencialde paredes infinitas [10].

El objetivo general de este trabajo es encontrar unmetodo de comparacion para el desarrollo de integralespor medio de simulacion Monte Carlo, a los procesosanalıticos usados tradicionalmente en cursos de fısicamoderna, o teorıa de dispositivos, y darle a los estu-diantes formas diferentes de enfrentar el problema desolucionar integrales y a su vez explorar el uso de unmetodo de simulacion.

II. Fundamento Teorico

EL pozo de potencial cuadrado infinito es un casoespecial de un sistema en el cual se puede encontrar

una partıcula confinada, con las siguientes caracterısti-cas,

⇒

∞ si x < 0

0 si 0 < x < l

∞ si x > l

(1)

En el cual en las regiones donde el valor de x < 0 yx > l el potencial es infinito y confina a la partıculaa un estrecho pozo de paredes infinitas, en el cual, el

potencial es nulo y allı se hace la normalizacion de lafuncion de onda, ademas de poder hacer el estimativoteorico de la posicion y el momento de la parıcula.Dentro del desarrollo de los cursos de Teorıa dedispositivos estos estimados se realizan usando metodoanalıtico. Pero existen diferentes metodos numericospara el calculo de las integrales que surgen allı, unmetodo numerico es el metodo Monte Carlo.

II-A. Metodo Monte CarloLa simulacion de Monte Carlo es una tecnica que

combina conceptos estadısticos (muestreo aleatorio) conla capacidad que tienen los ordenadores para generarnumeros pseudo-aleatorios y automatizar calculos.Los orıgenes de esta tecnica estan ligados al trabajodesarrollado por Stan Ulam y John Von Neumann afinales de los 40 en el laboratorio de Los Alamos, cuandoinvestigaban el movimiento aleatorio de los neutrones[2]. En anos posteriores, la simulacion de Monte Carlose ha venido aplicando a una infinidad de ambitoscomo alternativa a los modelos matematicos exactos oincluso como unico medio de estimar soluciones paraproblemas complejos [3]. En la implementacion de lasimulacion Monte Carlo se ha optado por las hojas decalculo las cuales por su universalidad dan potencia a suutilizacion, ademas de su facilidad de uso, su capacidadpara recalcular valores y las posibilidades que ofrecesu lenguaje propio de programacion, Visual Basic foraplications, con la cual, es posible crear condicionespara la simulacion.

II-A.1. La funcion ALEATORIO() de Open Office:Las hojas de calculo como open office (y cualquierlenguaje de programacion estandar) son capaces degenerar numeros pseudo-aleatorios provenientes de unadistribucion uniforme entre el 0 y el 1. Este tipo denumeros pseudo-aleatorios son los elementos basicos apartir de los cuales se desarrolla cualquier simulacionpor ordenador. En open office se hace el llamado a lafuncion ALEATORIO(), la cual devuelve un numeroaleatorio entre 0 y 1. La figura 1. muestra los numerosgenerados en open office. Esta funcion produce unnumero aleatorio nuevo cada vez que Calc hace unrecalculo.

II-B. Metodo de Transformacion Inversa y RechazoHay una variedad en los metodos para generar va-

riables aleatorias, y cada metodo utiliza una serie de

Fig. 1. Funcion ALEATORIO()

distribuciones y cada uno de ellos puede ser mas eficienteque otro. En el desarrollo de este trabajo se usaron dosmetodos para encontrar las variables aleatorias que seponen a prueba tanto para hallar el valor esperados tantopara la posicion como para el momento, los metodosutilizados fueron Transformacon Inversa y Rechazo

II-B.1. Transformacion Inversa: Si la variablealeatoria X tiene una funcion de distribucion de pro-babilidad (FDA) F(x), entonces la variable u = F (x)esta distribuida uniformemente entre 0 y 1. Por lo tanto,X se puede obtener generando numeros uniformes ycalculando x = F−1(u).

Fig. 2. Funcion de Distribucion de Probabilidad

F : E ⇒ [0, 1]

x⇒ F (x) = P (X < x)

x = F−1 ⇒ γ

II-B.2. Metodo de Rechazo: Este metodo se usapara obtener sorteos de variables aleatorias (V.A) de dis-tribuciones definidas en un dominio finito. Esto significaque la funcion de densidad f(x) ∈ [a, b]. Para simularmediante el metodo de aceptacion/rechazo se seguiranlos siguientes pasos [4]:

1. Seleccionar una constante M tal que sea una cotasuperior de f(x) en [a, b],

M > f(x)∀x ∈ [a, b].

2. Generamos R1 y R2 ≡ U(0, 1).3. Calculamos x∗, x∗ = a + (b − a)R1 y evaluamos

f(x∗)4. Si R2·M ≤ f(x∗), entonces x∗ es un valor de la

V.A, sino, volvemos al paso 2 e iteramos.

III. metodologıa

EN procesos de ensenanza de la fısica surgendiferentes retos, tanto en el area de fundamentacion

teorica, ası como en los desarrollos matematicosasociados a los procesos y se busca que exista unafianzamiento del aprendizaje, para tal fin, dentro de lasestrategias pedagogicas el empleo de la tecnologıa en elambito educativo ha generado la necesidad de explorarmas en como el ser humano percibe los objetos, senalesy fenomenos, de manera tal que puedan ser usadoscon mayor eficiencia los medios en el aprendizaje [6],esto conectado con el dıa a dıa donde se viven losprocesos mediados por computadora ademas, una deestas herramientas es la simulacion. La simulacion esuna forma de abordar el estudio de cualquier sistemadinamico real en el que sea factible poder contar conun modelo de comportamiento y en el que se puedandistinguir las variables y parmetros que lo caracterizan[7], ası que enmarcado en estos precedentes podemostener a los procesos de simulacion Monte Carlo comoapoyo estrategico ya que su implemetacion permiteexploracion y desarrollos alternativos a los metodostradicionales de solucion de integrales, en este casointegrales que estan enmarcadas en el estudio de pozosde potencial, ası que a los estudiantes en primerainstancia se les muestra el desarrollo analıtico y luegose hace una exploracion en hoja de calculo en especialopen office y usando la herramienta Aleatorio sepueden generar variables las cuales, pueden ajustarseal comportamiento de funciones de onda clasicasde la Mecanica Cuantica y que describen procesosprobabilısticos para buscar el valor esperado del valoresperado de la posicion y el momento de una partıculaen una pozo de paredes infinitas.Ası que se decide introducir esta integracion numerica

para el desarrollo y para hallar las varibles buscadas enel estudio de funciones normalizables y cuadraticamenteintegrables en ciertos rangos establacidos para tal fin.El proceso se llevo a cabo con un grupo de estudiantesde la asignatura de teorıa de los dispositivos la cual,se imparte dentro del area de fundamentacion de fısicapara Ingenierıa Electronica en la Universidad SantoTomas Seccional Tunja.

IV. Integracion Numerica

EL estudio de la ecuacion de Schrodingerindependiente del tiempo, surge el problema

de el pozo de potencial de paredes infinitas el cual estadefinido matematicamente de la siguiente manera,

⇒

∞ si x < 0

0 si 0 < x < l

∞ si x > l

(2)

Dentro de este sistema se pueden obtener valores parala energıa que estan cuantizados y son discretos paravalores caracterısticos, los cuales estan asociados a es-tados ligados y allı existen energıas no premitidas, sinoalgunas privilegiadas, ademas de posibles funciones querepresentan el flujo de partıculas dentro del sistema y conla ayuda de ellas se puede llegar a obtener los valoresesperados para la posicion y el momento de la partıcula,en estos casos se construye la probalidad de hallar lapartıcula en [x, x + dx] en un instante determinado,todo esto cumpliendo con el principio de incertidumbre∆x∆p ≥ h en el cual tanto la posicion y el momentolineal tienen una distribucion de probabilidad definida dela siguiente manera,∫ ∞

−∞P (x, t)xdx =< x > (3)

para la posicion de la partıcula, por otro lado para elmomento tenemos la relacion,∫ ∞

−∞ψ∗(x, t)(−ih∂ψ(x, t)

∂x)dx = (4)

Estas dos relaciones las usaremos para el calculo deestos operadores usando una funcion de onda, la cuales cuadraticamente integrable y cuenta con una funcionde distribucion de probabilidad (pdf) que las hace traba-jables en los lımites de un pozo de paredes infinitas conun ancho 0 ≤ x ≤ l que a su vez seran los limites dela integral que se trabajara [9] el problema a desarrollarvamos a tomar una funcion de onda normalizada con lasiguiente caracterıstica,

ψ(x) = i2A sin(nπx

l) (5)

En cuyo caso se utiliza la integral de probabilidad∫P (x, t)dx = 1 para poder encontrar la constante de

normalizacion. La cual esta referenciada a continuacion

A =1√2

Aplicada a la funcion y se procede posteriormente arealizar el proceso de integracion con la ayuda de losmetodos de Transformacion Inversa y Rechazo como sedescribe a continuacion.

IV-A. Utilizacion de los metodos de rechazo y Trans-formacion Inversa

Para la utilizacion de los metodos partimos de lasintegrales que vamos a resolver numericamente.∫ 1

02x sin2(πx)dx =< x > < x >=

1

2∫ 1

0i√

2 sin(nπx

l− ih d

dxi√

2 sin(nπx

l)dx = 0

En este caso esta el valor esperado para la posicion y elmomento de la funcion de onda. Para la utilizacion deMonte Carlo seguimos los pasos:

Para el metodo de transformada inversa en unahoja de calculo en open office, creamos un numeroaleatorio Con la funcion ALEATORIO() y nosarroja valores entre el [0,1], el cual, llamamos R1.Posteriormente tomamos la funcion normalizada ycuadraticamente integrable e invertimos para despe-jar el valor de la variable aleatoria de la siguientemanera.

X =sin−1

√(U(x)

4 )

π(6)

En la figura 3 se muestra el proceso en open office

Fig. 3. Grafica del < x >

Luego de obtenido el valor de la variable aleatoriaprocedemos a remplazar el valor en la funcion dedistribucion de probalidad

ψ(x) = 2 sin2(nπx

l) (7)

Obtenidos los valores de la variable aleatoria x yde F (x) procedemos a buscar el valor esperado de< x >Usando este metodo, el valor esperado de < x >toma un valor de 0,34 y la grafica de la funcionesta en la figura 4

Fig. 4. Grafica de distribucion de probabilidad

De esta misma manera al realizar los calculos parael valor esperado del momento, arrojo un valor de=0,04, el cual es cercano a cero.En la figura 5 se observa la distribucion de puntosgenerados y los puntos tomados para el calculo delvalor de < x >

Fig. 5. Distribucion de puntos de la variable aleatoria

Por otro lado por el Metodo de Rechazo se hacede una manera distinta, inicialmente se generandos numeros aleatorios R1 y R2 con el primerose genera la variable aleatoria x y con el segundose hace el rechazo de los puntos que van a estarbajo al curva de distribucion de probabilidad.

En la figura 6. se muestra los numeros generadosen open office, ademas para entregar el valor de lavariable aleatoria se remplaza en: x = a+(b−a)R1y se encuentra la variable, la cual sera remplazadadentro la funcion de distribucion de probabilidadpara este caso x=R1.∫ 1

02x sin2(πx)dx =< x > (8)

Fig. 6. Metodo de Rechazo

Luego de obtener la variable aleatoria remplazamosdentro de la funcion de distribucion.Posteriormente se escoje del valor maximo de lafuncion con ayuda de la funcion =MAX() luegoel valor de la constante m que sera la cota de lafuncion a utilizar.Con el valor de m hallamos m ∗ R2 con la cualse hacer el rechazo de los valores de F(x) que nocumplan con la distribucion los cuales se muestranen la grafica 7 dichos valores se obtienen de la si-guiente manera = MAYOR.O.IGUAL(F2;D2).

Fig. 7. Valores aceptados en el metodo de rechazo

Por ultimo se escogen los valores del valor esperadousando el condicional = SI(G2 = 1;D2; 0) yarroja un valor de < x >= 0, 60 que es muchomas cercano al valor encontrado en el metodo deTransfomada Inversa.Por otro lado el valor esperado del momento seencuentra de la misma manera sino que en estaocasion usamos la funcion de distribucion de pro-babilidad.

=−2ih

nπl

∫ l

0sin(

nπx

l) cos(

nπx

l)dx (9)

en este caso el valor es -0,50 el cual esta fuera delrango de la funcion ası que se puede asumir que esun valor nulo de acuerdo con lo que se obtiene enla solucion analıtica.

(a) Distrubucion de puntos

(b) Puntos aceptados y rechazados

Fig. 8. Metodo de Rechazo

En la grafica 8 se observa los puntos rechazados ylos puntos aceptados siendo simetricos, lo que alfinal daria un valor esperado del momento da cero.


V. Conclusiones

INicialmente debemos decir que la aproximacion ael uso de metodos de solucion de integrales con

simulacion Monte Carlo es una estrategia didactica quedespierta la inquietud en los estudiantes, ya que losmotiva a realizar operaciones mentales usando una hojade calculo de uso diario como lo es open office y lesgenera el interes por explorar mas alla de los metodostradicionales de solucion analıtica, los cuales se tornanen muchos casos monotonos y se pierde el interes porla interpretacion de los resultados que en ultimas sonel objetivo del calculo de valores esperados en fısica,ademas que en el aula de clase se debe dinamizar elaprendizaje. Estos procesos permiten al estudiante agili-zar los caluclos tradicionales y elaborar comparacionesmas rpidamente, extrayendo al alumno del cuaderno deapuntes y los monta en la exploracion de herramientas eneste caso las populares hojas de calculo de open office.Por otro lado la esencia de la simulacion consiste enestablecer una equivalencia entre dos sistemas, cada unode los cuales puede existir en realidad o ser abstracto[11] en concordancia con los expuesto se puede decirtambien que esa paralelizacion de procesos al estudiantele despierta y activa procesos de aprendizaje que puedenser concomitantes y valerse el uno del otro para afianzarla realidad y a su ves construir procesos de enlace mentalque refuercen la clase magistral y los lleve a explorarlos campos de la simulacion digital en el estudio deproblemas propios de su ingenierıa y en el desempenode su labor investigativa la cual no se puede ver truncadapor el hecho de no contar con herramientas de simulacionque faciliten y agilicen procesos de calculo matematicos.Por ultimo cabe mencionar que a traves de este trabajose logra obtener valores aproximados de los valoresesperados de la posicion y momento para funciones dedistribution de probalidad asociadas a partıculas confi-nadas a pozos de potencial de paredes infinitas.

Agradecimientos

A la Universidad Santo Tomas en especial a losestudiantes de la asignatura Teorıa de los Dispositivosquienes han motivado el estudio de procesos alternosde ensenanza y han mantenido despierto mis anhelos deexploracion.

REFERENCES

[1] A.F Bielajew. Fundamental of Monte Carlo method for neutraland charged particle trnasport. Departament of nuclear Engi-neering Radiological Science 2000

[2] http://kochanski.org/gpk/teaching/0501Oxford/MonteCarlo.pdfHistoria de Monte Carlo

[3] Faulın, J., & Juan, A. A. (2005). Simulacion de Monte Carlocon excel.

[4] http://webdelprofesor.ula.ve/ingenieria/hhoeger/simulacion/PARTE6.pdf[5] http://uclm.es/profesorado/licesio/Docencia/mcoi/Tema1

guion.pdf[6] Carniel, L. C., Avila, M. C., Chourio, E. D., & Vargas, Z.

A. (2008). La Simulacion como herramienta de aprendizajeen Fısica. Revista Electronica Actualidades Investigativas enEducacion, 8(2), 1-27.

[7] Gutierrez, J. M. R. La Simulacion como Instrumento de Apren-dizaje. (Evaluacion de Herramientas y estrategias de aplicacionen el aula), http://es. scribd. com/doc/200891421/simulacion.

[8] Kofman, H. (2000). Modelos y simulaciones computacionalesen la ensenanza de la Fısica. Revista educacion en fısica, 6,13-22.

[9] de Cordoba Castella, P. F., Schlzel, J. U., & Tommasini,D. (2004). Fundamentos de fısica cuantica para ingenierıa.Universidad Politecnica de Valencia.

[10] Lopez, M. V., & Marino, S. I. (2002). Aplicacion del Metodode Montecarlo para el calculo de integrales definida. In IVWorkshop de Investigadores en Ciencias de la Computacion.

[11] Chavez, L. E. R., & Quesada, C. M. R. (2009). La Simula-cion Computarizada como Herramienta Didactica de AmpliasPosibilidades. Revista Cubana de Informatica Medica, 9(1).

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Hugo Fernando Vargas Neira Fısico dela Universidad Pedagogica y Tecnologica deColombiaEspecialista en pedagogia para la educacionsuperiorEstudiante de Maestrıa en pedagogiaDocente de la Universidad Santo TomasTunja adscrito al Deparamento de CienciasBasicas

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