Conferencia 3. Teoría Electromagnética

Parte B: Ondas Sinusoidales en medios con y sin pérdidas

Tomado del material preparado por el Dr. Ricardo Mediavilla para el curso TEEL 4051

y adaptado por el

Prof. Jaime José Laracuente-Díaz para el curso TEEL 2013

ONDA SINUSOIDAL EN UN MEDIO SIN PÉRDIDAS

Tema:

Medio sin pérdidas• Un medio es lossless o sin pérdidas si la amplitud de la

onda no es atenuada cuando ésta se propaga a través del medio.

• En la realidad, un medio sin pérdidas no existe.

• Sin embargo, si las pérdidas por unidad de propagación son pequeñas, es posible, como aproximación razonable, descartar dichas pérdidas en nuestro análisis.

• Además, el caso real con pérdidas es aún más complejo de analizar que el caso sin pérdidas.

Ejemplo de descripción matemática de onda sinusoidal en medio sin pérdidas:

y(x,t) = A cos( 2πt/T – 2 π x/λ + φ0 ) = A cos φ(x,t)

A es la amplitud de la onda.T es el período de la onda.λ es el largo de onda de la onda. es la fase de referencia = constante. (x,t) es la fase de la onda0

Nota: Este curso es de grado asociado, así que no trabajamos la matemática de este tipo de función que depende de dos variables.

Onda sinusoidal en medio sin pérdidas

• La siguientes figuras muestran la gráfica de y(x,t) para el caso en que φ0 = 0.

• Figura (a) muestra el caso en que t = 0, x variable

• Figura (b) muestra el caso en que x = 0, t variable

Onda sinusoidal en medio sin pérdidas

• De las 2 anteriores gráficas podemos observar que a lo largo del eje de x la onda se repite cada λ metros, y que a lo largo del eje de t la onda se repite cada T segundos.

λ es el largo de onda.T es el período de la onda.

Onda sinusoidal en medio sin pérdidas

• Aquí la onda está en su posición y tiempo inicial.

• Aquí la onda ya se desplazo y han transcurrido T/4 segundos.

• Aquí la onda se ha desplazado mas y han transcurrido T/2 segundos.

Velocidad de propagación de la onda sinusoidal en medio sin perdida

• Note que el punto P se desplazo desde λ hasta 3λ/2 en T/2 segundos.

• Por lo tanto recordando que velocidad es distancia entre tiempo (v=d/t) y luego de utilizar calculo diferencial en la expresión de y(x,t) tendremos la velocidad de propagacion de la onda definida como:

]/[ smT

u p

Velocidad de propagación de la onda sinusoidal en medio sin perdida

• Recuerde su curso de electricidad que:

• Por lo tanto la velocidad de fase también se define como:

][1

][1

sf

TyHzT

f

]/[ smfu p

Ejemplo

• Para una velocidad de fase constante, si λ aumenta (como en el caso del instrumento bajo) entonces f disminuye.

• Si λ disminuye (como en el caso del violín), entonces f aumenta.

Ecuación de una onda sinusoidal

• La ecuación de una onda sinusoidal también es comúnmente expresada de la siguiente forma:

y(x,t) = A cos( 2πt/T – 2πx/λ+ φ0 ) = A cos(ωt – βx + φ0 )

donde• ω = 2πf = 2π/T = velocidad angular en rad/seg• β = 2π/λ = constante de fase o wavenumber en rad/m

(Nota: los rad de las unidades es arbitrario.) • φ0 es la referencia de fase.

Referencia de Fase

• ¿Qué papel juega φ0?– φ0 positivo indica que la onda se adelanta con

respecto al caso de φ0 = 0.

– φ0 negativo indica que la onda se atrasa con respecto al caso de φ0 = 0.

Ejemplo: Ilustración de Ondas Sinusoidales con distintos valores de Referencia de Fase

ONDA SINUSOIDAL EN UN MEDIO CON PÉRDIDAS

Tema:

Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas

• Este es un caso mucho más real en donde la onda se atenúa según se propaga.

• Una onda viajando a través de un medio con pérdidas observará que su amplitud se atenúa conforme a e-αx.

• Este factor de e-αx se conoce como el factor de atenuación.

• α es la constante de atenuación y sus unidades son nepers/metro (i.e. N/m). (Nota: en realidad las unidades deberían ser 1/m. La unidad de nepers es arbitraria.)

Onda Sinusoidal En Un Medio Con Pérdidas

• Ecuación de onda de 1 dimensión:

y(x,t) = A e-αx cos(ωt - βx)

• La amplitud de la onda ya no es A. Ahora es A e-αx .

• Según x -> infinito, la amplitud -> 0.

Ejemplo de onda propagándose en un medio con pérdidas:

Referencias

• http://en.wikipedia.org• http://www.prtc.net/~rmediavi/TEEL%204051.htm