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Revista Boliviana de Fsica 13 , 5874 (2007)

ESTUDIO DE DOS CIRCUITOS CA OTICOS

G. Conde S., G. M. Ramrez A.

Carrera de FsicaU.M.S.A.La PazBolivia

RESUMEN

Se describe el proceso para caracterizar numericamente un circuito aut onomotipo Chua (compuesto por dos capacitores, una bobina, una resistencia y el diodo deChua), seguido de una vericaci on experimental y una comparaci on cualitativa con uncircuito no autonomo R-L-diodo. Manteniendo el par ametro de control = C 2 /C 1 joy aumentando los valores de = R2C 2 /L y = Rr 0C 2 /L , segun el modelo de Chua,el sistema presenta estados en el siguiente orden: divergencia (inestabilidad), caos (conventanas periodicas) y nalmente periodicidad con tendencia a un punto jo. En ellaboratorio, el comportamiento es similar, s olo que en vez de divergencia se tiene un ciclolmite de primer orden, luego la regi on caotica a veces contiene ventanas peri odicas ynalmente se presentan ciclos lmite de segundo y primer orden terminando en un puntojo. Experimentalmente, el par ametro de control fue la resistencia y los componentes

mas importantes para obtener caos fueron: C 1 = 10 pF y L=1 mH ( r 0 = 21 .4 ); C 2poda tomar valores desde 1.5 nF hasta 47 nF, y R desde 0 hasta 2 k. A pesarde no haberse obtenido la correspondencia esperada entre resultados experimentales ynumericos, se obtuvo el mismo comportamiento y atractores extra nos caractersticos delsistema. Por otro lado, se trabaj o con un circuito no aut onomo compuesto por R = 51 .2, L=470 H y un diodo normal. Este sistema present o desdoblamiento de periodoy ventanas periodicas. Los par ametros de control fueron: la amplitud del voltaje y lafrecuencia de la fuente, con ellas se calcul o la primera constante de Feigenbaum. Para lasegunda constante, se encontr o mayor dicultad debido a la precisi on con la que fueronmedidos los valores del voltaje en el diodo. Se concluye que los atractores de amboscircuitos dependen de la forma de la funci on caracterstica del elemento no lineal ypresentan bifurcaciones seg un la variacion de la amplitud a una frecuencia crtica. Unestudio m as completo puede realizarse utilizando una interfase y analizando el espectrode potencias de las senales de ambos circuitos, adem as de implementar un modelo te oricoen el ultimo. Se ha visto que estos circuitos son de f acil construccion de modo que puedenser introducidos como herramientas did acticas para el estudio de fen omenos no lineales.

Descriptores: Circuitos Electr onicos, Caos, Atractores Extra nos.

1. INTRODUCCI ONEl estudio de los fen omenos no lineales en nuestro me-

dio ha tomado un aspecto te orico en su mayora, y poco apoco ha crecido el interes por servirse de sus herramien-tas y aplicarlas en una variedad de areas. En especial, losatractores extra nos son considerados como abstraccionesque solamente se observan en libros o en simulaciones yel caos, da la impresion de presentarse solamente en sis-temas muy grandes como los sociales o biol ogicos. Sinembargo, estos fenomenos pueden observarse en siste-mas de facil construccion y manejo. Una forma de llegara este prop osito es mediante la electr onica, que desdeprincipios del siglo pasado, ha reportado circuitos concomportamientos inusuales y desde entonces se hanrealizado varios estudios rigurosos e investigaciones, de-sarroll andose aplicaciones en la tecnologa de comuni-caciones y proponiendose nuevas aplicaciones incluso enla medicina. Existen varios circuitos electr onicos que al

contener un elemento no lineal presentan comportamien-tos irregulares, uno de ellos es el circuito aut onomo tipoChua, planteado por el ingeniero electr onico chino Le onChua en 1971. Si bien fue planteado en ese a no, la pri-mera evidencia de caos en este circuito fue en 1983 porsimulaci on, realizado por T. Matsumoto [1] y la primera

evidencia experimental de caos fue realizado por Zhongy Ayron en 1984 [2], posteriormente, se present o un tra-bajo con pruebas rigurosas de la familia entera de atrac-tores ca oticos de este circuito [3]. Finalmente, el circuitoha formado parte de la base para investigaciones en sin-cronizaci on caotica y otras variedades incluyendo aplica-ciones en la encriptacion de senales [4], [5], [6].

Por otra parte, un circuito RLC con un capacitorvariable como elemento no lineal y una fuente de voltaje sinusoidal fue descrito por Paul Linsay en 1981, en-contrando que el sistema experimental daba resultadosconcordantes con la teora de sistemas no lineales [7].

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CIRCUITOS CA OTICOS 59

(a) (b)

2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 22

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

a

b

b

x

f(x)

1

1

(c) (d)

Figura 1. (a) El circuito de Chua con dos par ametros: = C 2 /C 1 , = R2 C 2 /L . (b) El diodo de Chua compuesto de dosamplicadores operacionales y resistencias R1 = R2 = 220 , R3 = 1 .8 k, R4 = R5 = 22 k, R6 = 3 .3 k. (c) Funcioncaracterstica adimensional del diodo de Chua con pendientes a = 1.22 y b = 0.728. (d) El circuito de Chua considerandola resistencia interna de la bobina tiene tres par ametros: = C 2 /C 1 , = R 2 C 2 /L , = r 0 RC 2 /L .

Desde entonces se realizaron modicaciones y estudiosde este sistema, buscando las verdaderas causas de lano linealidad, mas aplicaciones especcas a un no se hanencontrando.

Debido al interes por estudiar y observar fen omenosno lineales como el caos y la ruta que nos lleva hacia el,se pretende caracterizar numericamente el circuito tipoChua y realizar observaciones en el osciloscopio a manerade una vericacion experimental. Por otro lado, se pre-tende realizar una comparaci on cualitativa, con un cir-cuito no autonomo compuesto por una fuente de voltaje

alterna, una resistencia, una bobina y un diodo normal.

2. EL CIRCUITO TIPO CHUAEste circuito se caracteriza principalmente por dos

aspectos: primero, es aut onomo, es decir, no esta ali-mentado por fuentes de corriente alterna y segundo,est a compuesto por dos partes: una parte que presen-ta un comportamiento tpico de un oscilador amortigua-do(dos condensadores, una resistencia y una bobina) yla otra parte que constituye el unico elemento no linealdenominado diodo de Chua . Este elemento causante dela no linealidad actua como la fuente de energa de todo

el circuito, se ocupa de retroalimentarlo y lo mantieneoscilando (ver gura 1a).

El circuito tipo Chua se describe mediante el siguien-te sistema de ecuaciones diferenciales:

C 1dV 1dt

= V 2 V 1

R f (V 1)

C 2dV 2dt

= V 1 V 2

R + I

L

dI

dt = V 2 , (1)donde la funci on del diodo de Chua: f (V 1) = mbV 1 +12 (ma mb)[|V 1 + B || V 1 B |] tiene pendientes negativasm a , m b y un punto de ruptura dependiente del voltajede saturacion del amplicador operacional B . Estas ex-presiones est an en funci on de los valores de componentesen el circuito del modo siguiente:

m a = 1R3

1R6

, mb = 1R3

+ 1R4

, B = R5E satR5 + R6

El diodo de Chua, basicamente, contiene dos ampli-cadores operacionales con un juego de seis resistencias, el

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60 G. CONDE S.

Figura 2. Arreglo experimental para medir la curva caracterstica del diodo de Chua. Se aplica un voltaje V S de una funcionsinusoidal al circuito en serie compuesto por la resistencia sensible Rs y el diodo N R . El TL082 fue alimentado por 15 V.

arreglo se observa en la gura 1b. Los valores adecuados

para presentar no linealidad fueron determinados en [8]y son una variacion de los valores propuestos inicialmen-te por J. M. Kennedy [9]. La funci on f (V 1) de este diodose caracteriza por una curva V-I no lineal compuesta portres rectas con pendiente negativa y un arreglo experi-mental para su obtenci on se sugiere en [10].

El modelo de Chua se presenta en forma adimensionalintroduciendo los terminos siguientes:

x = V 1B

, y = V 2B

, z = RB

I, a = ma R,

= C 2

C 1, =

R2

L

C 2 , = t

RC 2, b = mbR. (2)

Entonces, se tiene un sistema de tres ecuaciones dife-renciales que en principio depende de dos par ametros y . Pero, considerando la resistencia intrnseca r 0 de labobina (ver gura 1d), se introduce un tercer par ametro = r 0L RC 2 al sistema de ecuaciones (3).

dxdt

= (y x f (x))

dydt

= x y + z

dz

dt = y z . (3)

La forma adimensional de la funci on del diodo deChua es f (x) = bx + 12 (a b)( |x + 1 | | x 1|), la cual semuestra en la gura 1c. Se utilizaron los valores sugeridospara a = 1,22 y b = 0,728 [8].

2.1. Obtenci on Experimental de la Funci on Caracterstica del Diodo de Chua

Se construy o el arreglo experimental que se observaen la Fig. 2 en el que el diodo de Chua compuesto porel amplicador operacional doble TL082 conectado a suscorrespondientes seis resistencias: R1 = R2 = 220 ,

R3 = 1 .8 k, R4 = R5 = 22 k, R6 = 3 .3 k, se en-

cuentra en serie con una resistencia sensible R s = 1 k.El sistema fue alimentado por el voltaje V S de un genera-dor de funciones GFG-8016G y el TL082 por una fuentesimetrica de 15 V. Se realizaron pruebas con bateras de9 V y con fuentes de 12 V y de 10 V, en especial estaultima porque inicialmente se haba trabajado con ella yse haban encontrado aparentes atractores extra nos. To-das las observaciones se realizaron con un osciloscopiodigital Jimatsu SS-8421.

La resistencia sensible R s fue utilizada para medir lacorriente I R que uye por el diodo cuando se aplica unvoltaje V R a sus terminales. Por comodidad se escogi o elvalor de Rs = 1 k pues V I R = I R e I R esta dado en[mA].

Se obtuvo la curva caracterstica del diodo aplicandoel voltaje de fuente V S , conectando V I R al canal Y del os-ciloscopio y V R al canal X y observando en el modo X-Y .Como sabemos que V I R I R , entonces, para obtenerla curva exacta: I R vs. V R , se invirti o la entrada de Y .

Los resultados obtenidos se muestran en la Fig. 3 Seobserva la curva caracterstica de tres segmentos para31 Hz de frecuencia, 3.480 V de amplitud de voltaje dela fuente y 15 V de voltaje de alimentacion para losamplicadores del diodo. Adem as, se prob o que la fuentede 10 V, tena mucho ruido, y fue descartada junto conla fuente de 12 V porque tambien era ruidosa. Al nal,se decidio realizar el trabajo experimental con la fuentede 15 V y observar c omo afectaban las bateras de 9 V.

3. ESTUDIO CUALITATIVO DEL CIRCUITO3.1. Atractores peri odicos y ca oticos

El sistema no lineal de Chua, presenta cambios deestado seg un vare el conjunto de par ametros {,, } ylas condiciones iniciales {x0 , y0 , z0}. A las representacio-nes gracas de estos resultados en el espacio de fases lasllamamos trayectorias y se pueden tener los siguientescasos:

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(a) Fuente de 15 V. (b) Fuente de 10 V.

Figura 3. Curvas caractersticas I vs. V del diodo de Chua. Se observa que la fuente de 10 V es muy ruidosa.

Puntos jos. Es el caso mas sencillo que represen-ta un estado estacionario del sistema. En la serietemporal se presenta una funci on continua.

Ciclos lmite. O puntos periodicos representan unestado oscilatorio del sistema y todas las trayecto-rias pasan una y otra vez por su propio valor inicialtrazando una curva cerrada. En la serie temporal seobserva una funcion peri odica.

Casi-periodicidades. Representan la superposici onde estados oscilatorios con periodos distintos y elespacio m as apropiado para trazar estas trayecto-rias es el toroide. En la serie temporal se presentacomo una funci on modulada.

Hasta este punto los casos vistos se denominanperiodicidades.

Atractores Extra nos. Este es otro caso posible quecorresponde a estados aperi odicos. Una de las carac-tersticas de un atractor extra no es que en el espaciode fases existe un proceso llamado stretching andfolding (estirar y doblar), lo que signica que en las

trayectorias se produce una especie de estiramien-to y luego un plegado sin que ellas se intersecten.Los atractores extra nos son las representaciones enel espacio de fases de sistemas caoticos.

De este modo, un sistema podra sufrir cambios deacuerdo a los parametros que se utilicen. Estos cam-bios cualitativos se denominan bifurcaciones y los pun-tos donde ocurren estos cambios se denominan puntos de bifurcaci on . Estas bifurcaciones podran desembocaren comportamientos ca oticos, los cuales se denen comocomportamientos irregulares de un sistema deterministamuy sensible a las condiciones iniciales [11].

0 20 40 60 80 1000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

=C 2 /C 1

=

R 2 C

2 / L

rbitas divergentes

rbitas caticas

rbitas peridicas

Figura 4. Caracterizaci on del circuito tipo Chua con dospar ametros.

3.2. Metodologa y Resultados para la Caracterizaci ondel Circuito Tipo Chua Considerando Dos

Par ametros

Se comenzo resolviendo numericamente el sistema deChua mediante un programa en Matlab, en el cual losvalores a ser introducidos fueron las condiciones inicia-les: [x0 , y0 , z0] = [0.1, 0.15, 0.01], el tiempo de integra-cion: t = 1500, los valores de las pendientes: a = 1,22b = 0,728 y en principio, los parametros: y , loscuales son variados.

Se realizo un estudio cualitativo del sistema, esto sig-nica que se observaron las trayectorias en el espacio defases. Lo primero que se hizo fue elegir un valor de y variar el valor de . De este modo se encontraron loslmites de , observando si la representaci on en el espaciode fases era un atractor extra no para el elegido. Luego

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5 0 5

x 10173

10

8

6

4

2

0

2

4

6

8x 10

173

3 2 1 0 1 2 35

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

X

Y

(a) Divergencia hasta = 13 .6 (b) Atractor tipo double scroll en = 16 .7

1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 35

4

3

2

1

0

1

2

X

Y

0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 35

4

3

2

1

0

1

2

X

Y

(c) Atractor tipo screw en = 18 .8 (d) Atractor tipo espiral en = 19 .5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 35

4

3

2

1

0

1

2

X

Y

(e) Ciclo lmite con tendencia a punto jo en = 24 .1

Figura 5. Para = 10, se tiene la bifurcaci on segun el par ametro . Dentro la region ca otica [13.7, 24] se encuentranvariedades de atractores extra nos.

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0 102030

40506070

8090100

00.5

11.5

22.20

150

300

450

600

750

9001009

=C 2 /C 1 =r0RC 2 /L

=R 2C2 /L

102030405060708090100

0

0.5

1

1.5

22.2

0

150

300

450

600

750

900

1009

=

R 2 C

2 / L

=C 2 /C1

=r0RC 2 /L

Figura 6. Caracterizaci on del circuito tipo Chua con tres par ametros. Se muestran dos vistas de la regi on ca otica. Esta regi onpodra contener huecos debido a las ventanas peri odicas.

Si al sistema de Chua se le asigna una condici on ini-cial [x(0) , y(0), z(0)], la integracion numerica proporcio-na una serie temporal para cada una de las coordenadas.Si la misma condicion inicial es modicada ligeramen-te, entonces se tiene una serie temporal que al principiorecorre la misma trayectoria anterior pero despues deun tiempo esta se va separando exponencialmente. Estefenomeno es una caracterstica de un sistema ca otico yaque el comportamiento de las trayectorias depende de lascondiciones iniciales y precisamente explica porque estossistemas son difciles de predecir a largo plazo (ver Fig.7).

El exponente de Lyapunov se representa por y esuna cuanticaci on del crecimiento exponencial de la dis-tancia entre dos puntos de dos series temporales concondiciones iniciales ligeramente distintas de un siste-ma din amico determinista. El n umero de exponentes deLyapunov depende del n umero de variables de estadoque tiene el sistema. Pero basta con determinar uno deellos.

Observando la gura 7, se considera un punto cual-quiera xt en el momento t, el cual es perturbado unadistancia t y se obtiene otro punto xt + t . En los sis-temas ca oticos la perturbaci on crece exponencialmente|t | | 0 |et , lo que es equivalente a ln | t || 0 | t y la per-turbacion en el instante t = 0 es siempre muy pequena.Finalmente, el exponente de Lyapunov est a denido por:

1t ln

|t ||0 |

. (4)

Como las trayectorias van separ andose con el tiempo,el exponente de Lyapunov debe cumplir con la condici onde ser positivo > 0. Ademas, si se graca:

t 1

ln |t ||0 |

(5)

0 100 200 300 400 500 600 700 800

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

t [s]

X ( t )

Xt+t

Xt

t

Figura 7. Sensibilidad a las condiciones iniciales en el siste-ma de Chua con = 100, = 418. La serie temporal s olida tiene una condici on inicial (1.4,0.19,0.01) y la punteada(1.41,0.19,0.01).

considerando el tiempo t y el ln | t || 0 | se tiene una curvacuya pendiente es positiva.

En general, el exponente de Lyapunov puede calcu-larse numericamente con la rutina computacional Lyapu-k que corresponde al software TISEAN [12]. El resultadode esta rutina es un conjunto de datos que vienen a serlos logaritmos naturales, por lo tanto, estos deben sergracados y ajustados a una recta para obtener la pen-diente .

Como el sistema tiene tres variables, existen tambientres exponentes, pero s olo basta con que un de ellos seapositivo para considerar una regi on como ca otica. Sinembargo, para tener una informaci on mas completa so-bre las periodicidades, es importante tener en cuenta elresto de los exponentes.

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66 G. CONDE S.

0 125 250 375 500 625 750 875 1000 11252

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0

20

40

60

80

100

020040060080010001200

2

1

0

1

2

3

(a) Exponente de Lyapunov vs. . (b) Exponente de Lyapunov vs. y .

Figura 8. Espectros de Lyapunov para mnimo, la region ca otica es amplia. Caos se encuentra cuando > 0.

0 200 400 600 800 1000

1

0.5

0

0.5

1

1.5

0500

100015000 20 40

60 80 100

1

0.5

0

0.5

1

1.5

(a) Exponente de Lyapunov vs. . (b) Exponente de Lyapunov vs. y .

Figura 9. Espectros de Lyapunov para maximo, la region ca otica es angosta.

4.2. Metodologa y Resultados Para Obtener el Exponente y el Espectro de Lyapunov

Para comprobar las regiones ca oticas del sistema deChua considerando dos par ametros, se guardaron los da-tos proporcionados por la integraci on numerica para un y un (ya sea el mnimo o el maximo) en un archivo

*.dat y se considero solamente el 80 % de estos datos conel n de descartar los transientes.

A continuacion, se introdujo el archivo *.dat en larutina ( Lyap-k ) del software TISEAN y se hizo corrersegun las instrucciones que se indican en la bibliografa[12].

Se graco el nuevo archivo de datos que proporcionaLyap-k , se obtuvo la pendiente de la curva y se veri-co que los exponentes eran positivos.

Considerando el tercer par ametro, se prosiguio de lamisma manera que en la anterior caracterizaci on y secomprob o que el exponente era positivo en cada lmite.

Ademas, se obtuvo el espectro de Lyapunov, esta vezse utiliz o una rutina que proporcionaba todos los expo-nentes de Lyapunov para varios valores de . Es decir,para un y un (ya sea mnimo o maximo), se hizocorrer el valor de en pasos peque nos, luego se tom o ca-da serie temporal de la variable X y para cada una de

ellas se calcul o el exponente de Lyapunov utilizando laecuaci on (4).Este procedimiento se ha realizado para todos los va-

lores de que vara en pasos de 5 a partir de 5 hasta100.

Estos espectros dan una idea m as general de la re-gion caotica y sirven para corroborar los resultados dela caracterizacion con dos par ametros.

Se encontr o el espectro de Lyapunov respecto de y para el mnimo y para el maximo. Se observa quepara el mnimo, el espectro informa que existen regio-nes caoticas para todo valor de y una amplia region de

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68 G. CONDE S.

2 0 2 4 6 8 10 12

x 10293

2

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

293

(a) (1)

3 2 1 0 1 2 30.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

X

Y

(b) (2)

3 2 1 0 1 2 3

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

X

Y

(c) (3)

Figura 10. Las imagenes (a)-(c) corresponden a los atractores obtenidos en laboratorio y las im agenes (1)-(3) corresponden alos obtenidos con el modelo. X y Y se miden en voltios en laboratorio.

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3 2 1 0 1 2 3

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

X

Y

(d) (4)

3 2 1 0 1 2 30.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

X

Y

(e) (5)

3 2 1 0 1 2 30.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

X

Y

(f) (6)

Figura 11. Las imagenes (d)-(f) corresponden a los atractores obtenidos en laboratorio y las im agenes (4)-(6) corresponden alos obtenidos con el modelo. X y Y se miden en voltios en laboratorio.

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70 G. CONDE S.

0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 30.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

X

Y

(g) (7)

3 2 1 0 1 2 30.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

X

Y

(h) (8)

4 3 2 1 0 1 2 3 40.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

X

Y

(i) (9)

Figura 12. Las imagenes (g)-(i) corresponden a los atractores obtenidos en laboratorio y las im agenes (7)-(9) corresponden alos obtenidos con el modelo. X y Y se miden en voltios en laboratorio.

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3 2 1 0 1 2 30.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

X

Y

(j) (10)

Figura 13. La imagen (j) corresponde al atractor obtenido en laboratorio y la imagen (10) corresponde al obtenido con elmodelo. X y Y se miden en voltios en laboratorio.

orden o mayor. En el caso de los circuitos aut onomos, senecesita que el sistema se componga de un elemento nolineal y por lo menos tres elementos lineales que alma-cenen energa (inductor, resistencia, capacitor), como seha visto con el circuito de Chua, es aut onomo porque nonecesita de fuentes de energa alterna ya que es el mismocircuito el que transforma la se nal continua provenientedel diodo en alterna, adem as el diodo de Chua es la piezaclave para el comportamiento no lineal de todo el circui-to. No obstante, esta regla no es denitiva puesto quepuede existir caos en un sistema m as sencillo compuestopor una resistencia lineal, un inductor lineal, un diodonormal y una fuente de voltaje. El circuito RL-Diodo,al contrario tiene una fuente de energa alterna, por loque se lo denomina no autonomo , y tres elementos quebajo ciertos parametros de frecuencia y amplitud, se ge-neran se nales aperi odicas mediante el desdoblamiento deperiodo de la tension en el diodo.

Entonces, a un circuito RLC se reemplaza el conden-sador por un diodo normal (ver Fig. 14), el cual al serun elemento no lineal, es el causante de las aperiodicida-des. En este circuito se asume que el voltaje de la fuentetiene la forma V a = V 0 cost y cuando el voltaje es posi-tivo, el diodo conduce y se produce una cada de voltaje

V b = V f . En el estado no conductor, el diodo se com-porta como un capacitor, el cual presenta una corrientede carga y el voltaje sigue la frecuencia de la fuente.

La amplitud del voltaje de fuente = V 0 es elpar ametro de control. Esta amplitud no necesariamentees igual para cada ciclo porque cuando la corriente lle-ga a cero, el diodo continua conduciendo con un tiempo r = m (1 e| I m | /I c ), donde |I m | es la corriente maximadurante ese ciclo, m el tiempo m aximo constante, r eltiempo de recuperaci on e I c es constante. Por lo tanto,dependiendo del par ametro V 0 , el voltaje en el diodo V bse repite con un periodo y se va desdoblando hasta llegar

Figura 14. El circuito RL-Diodo.

al caos. Como el voltaje en el diodo depende del voltaje de la fuente y este depende tambien de la frecuenciaf = / 2, se espera un comportamiento similar con suvariaci on [13].

Uno de los caminos m as comunes para llegar a uncomportamiento ca otico es el desdoblamiento de perio-do en el que las bifurcaciones mediante este fen omenoocurren solamente con soluciones peri odicas o trayecto-rias que bajo un punto de bifurcaci on tienen periodo T

y bajo otro punto de bifurcaci on sufren un cambio li-gero presentando un periodo 2T. En el espacio de fasesse observara un ciclo lmite (un lazo) que bajo ciertopar ametro se convertira en un ciclo lmite de segundo or-den (dos lazos) y as sucesivamente los lazos continuarandesdobl andose al igual que las soluciones con un periodoT k = 2 k T 0 donde k = 0 ,...,n . Si se observa este procesoes muy probable que el sistema llegue a ser ca otico [14]

Una caracterstica del desdoblamiento de periodo esque los puntos de bifurcaci on (par ametros de control) kconvergen geometricamente al llegar a la regi on caotica.Este valor lleg o a ser universal por presentarse en varios

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sistemas ca oticos y se denomina la primera constante deFeigenbaum:

= lmk

k k+1

= lmk

k k 1k+1 k

= 4 .669201... (6)

Existe tambien otro comportamiento universal en las so-luciones X (t) de un sistema, o V b en este caso, denidopor:

= lmk

dkdk+1

= lmk

V b(1)k V b(2)k

V b(1)k+1 V b(2)k+1

= 2 .502907...

(7)Siendo V b(1)k y V b

(2)k dos soluciones de una ramicaci on

en un punto de bifurcaci on k .

6.1. Metodologa y Resultados Para Estudiar el Circuito R-L-Diodo

Primero, se armo el sistema seg un el diagrama de laFig. 14 mostrada en la secci on anterior. En un canal delosciloscopio se mostr o el voltaje de entrada V 0 y en elotro canal se mostro el voltaje en el diodo V b.

Luego, se encontro la frecuencia en la cual al variar laamplitud, el sistema presentaba bifurcaciones y caos. Aesta frecuencia, se hizo variar la amplitud del voltaje defuente y se observ o el cambio de periodo en la se nal deldiodo hasta encontrar el valor de voltaje de fuente en elque ocurren los comportamientos ca oticos. Se anotaronlos valores V 0 y se procedi o a calcular la primera constan-te de Feigenbaum . Ademas se hizo el intento de medirlos valores de voltaje en el diodo correspondientes a cadapunto de bifurcaci on y calcular la segunda constante .

Posteriormente, estos puntos fueron gracados.Por otra parte, se observ o el comportamiento del sis-tema cuando el voltaje queda jo y la frecuencia vara.

El comportamiento del diodo se ve afectado sobreto-do a frecuencias altas (1 MHz-3 MHz) y/o a amplitudesaltas. Se encontr o que a partir de f=195.3 kHz se obser-van bifurcaciones que llegan a regiones ca oticas cuandoel valor del voltaje de fuente V 0 cambia. Esta frecuenciano es la misma para todos los diodos, a pesar de quetodos sean de la misma serie 1N4007.

Este sistema permite apreciar con claridad el procesode bifurcaci on, en el que la ruta hacia el caos es el desdo-blamiento de periodo de la tensi on en el diodo. Al prin-cipio, se presentan ciclos lmite de primer orden, luego elorden aumenta y se ingresa a una regi on caotica bastan-te angosta, a continuaci on el sistema pasa a una ventanaperi odica. Posteriormente, ingresa otra vez a otra regi oncaotica, luego se presenta otra ventana peri odica m as an-gosta que la primera y nalmente el sistema permaneceen una regi on caotica. Fotografas de los estados de esteproceso se observan en Fig. 15.

A continuacion, se calcula la constante de Feigen-baum para la primera regi on ca otica. Los valores quedan el mejor valor de la constante son: 1315 mV, 1415mV, 1540 mV, 1610 mV y 1630 mV.

= 1415 13151540 1415

= 0 .80,

= 1540 14151610 1540

= 1 .786,

= 1610 15401630 1610

= 3 .50.

Para la segunda regi on caotica, se consideran los si-guientes valores: 10850 mV, 11750 mV, 12550 mV, 13300mV, 14400 mV, 14750 mV, 14830 mV. La constante da:

= 11750 1085012550 11750

= 1 .1250,

= 12550 1175013300 12550

= 1 .0667,

= 13300 1255014400 13300

= 0 .6818,

= 14400 1330014750 14400

= 3 .1429,

= 14750 1440014830 14750 = 4 .3750.

Para la segunda constante de Feigenbaum, se obtieneuna aproximacion con los valores:

= 675 285965 805

= 2 .43.

Las constantes obtenidas cerca de las regiones ca oticasno concuerdan con los valores te oricos porque V b debe sermedido con mayor precision y adem as debe ser elegidoadecuadamente.

Por otro lado, se estudi o el comportamiento del siste-ma manteniendo jo el valor de la amplitud y variandola frecuencia. Se encontr o que el comportamiento ca oti-co ocurre a partir de V 0 = 3 .700 V. Se observan simila-res bifurcaciones en las siguientes frecuencias: 477.8 kHz,482.2 kHz, 573.4 kHz, 585.9 kHz, 609.6 kHz, 619.8 kHz,622.3 kHz)y en 677.7 kHz el sistema ingresa a la regi oncaotica (ver Fig. 16), manteniendose en ese estado hastaque en la frecuencia maxima de 1003.8 kHz el sistemapasa a una ventana peri odica y permanece en esa situa-cion. El atractor en esta regi on es un ciclo lmite, el cualluego sufre un desdoblamiento. La frecuencia m axima ala cual se pudo llegar fue 2044.5 kHz, por lo que se havisto, a frecuencias altas el diodo se comporta de formatotalmente distinta a la conocida.

Con estos resultados se obtuvo la constante de Fei-genbaum:

= 609.6 585.9619.8 609.6

= 2 .323, = 619.8 609.6622.4 619.8

= 3 .923.

Estos resultados llevan a pensar que el sistema se encuen-tra en una region caotica, de todos modos, es necesariomayor precision en las medidas. Debe tenerse en cuen-ta que tanto la frecuencia como el voltaje eran variablesdurante el experimento, lo que tambien puede introducirerror en los datos. Utilizando una interfase experimento-computadora y analizando el espectro de potencias delas senales se obtendran resultados con menor error.

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(a) (b) (c) (d) (e)

Figura 15. La ruta hacia el caos en el sistema es el desdoblamiento de periodo. (a) Primera bifurcaci on en V 0 = 10850 mV,(b) Segunda bifurcaci on en V 0 = 11750 mV, (c) Tercera bifurcaci on en V 0 = 13300 mV, (d) Una cuarta bifurcaci on de ordendifcil de distinguir en V 0 = 14400 mV, (e) Finalmente el sistema permanece en la regi on ca otica a partir de V 0 = 15200 mV.

Figura 16. El sistema funcion o a la amplitud V 0 = 3.700 V. Izquierda: El atractor ca otico en f=677.7 kHz en modo XY.Derecha: La correspondiente serie temporal.

7. CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

La caracterizacion numerica del circuito tipo Chuadio como resultado una regi on caotica bastante ampliaque crece proporcionalmente con los par ametros y ,adem as queda mejor denida si se toma en cuenta eltercer parametro . Todos los lmites caoticos fueroncomprobados mediante el exponente de Lyapunov. Conel tercer parametro, fue posible construir el espectro deLyapunov, el cual mostr o que la regi on caotica contienevarias ventanas peri odicas. Se observ o que para los va-lores mnimos de en especial, las regiones caoticas sonmas amplias y con varias ventanas peri odicas. Los esta-dos caractersticos del sistema al aumentar y paraun jo en el modelo, se presentan en el orden siguiente:divergencia, que indica un estado inestable, una ampliaregion de caos y nalmente, periodicidad con tendencia aun punto jo. Los par ametros adimensionales del mode-lo estan relacionados con los valores de los componentesdel circuito, entonces, escogiendo adecuadamente estosvalores, se dej o un solo componente como el par ametrode control. En este caso, el par ametro experimental fueel potenci ometro que al aumentar de valor, el circuitopresenta, a grandes rasgos, los siguientes estados: perio-

dicidad (ciclo lmite de primer orden), caos (con algunasventanas periodicas) y nuevamente periodicidad (cicloslmite y punto jo), muy similar a lo que se obtuvo con elmodelo. A pesar de que los valores experimentales de lospar ametros , , no concuerdan exactamente con losresultados numericos, se satisfacen las expectativas pueslos comportamientos y los atractores caractersticos delsistema obtenidos en laboratorio y con el modelo, sonbastante similares. Posibles causas de esta discordanciapodran ser el hecho de que en el modelo, el componenteque realmente variaba era la inductancia, en cambio enel experimento lo que variaba era la resistencia; adem asde la precisi on en la medici on y errores de redondeo enel modelo.

El estudio cualitativo del circuito RL-Diodo ha per-mitido observar satisfactoriamente y con detalle uno delos caminos m as comunes hacia el caos: el desdoblamien-to de periodo. El parametro de control fue la amplituddel voltaje de fuente a una frecuencia crtica, pero tam-bien se observo lo que ocurra cuando el par ametro decontrol era la frecuencia a una amplitud crtica. Al au-mentar el valor de par ametro, en ambos casos, el compor-tamiento del sistema es el siguiente: un estado peri odico

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seguido de un amplio estado ca otico con varias venta-nas peri odicas. Midiendo los puntos de bifurcaci on en laamplitud y la frecuencia, se calcularon las respectivasconstantes de Feigenbaum. Los valores de presentaronmayor discordancia por la falta de precisi on y la dicul-tad de elegir los valores mas adecuados para calcularla.

Se observo que la forma de los atractores dependen dela forma de la curva caracterstica. Por ejemplo, la fun-

cion del diodo de Chua esta compuesta por tres regionesy los atractores se forman sobre ellas para la mayora delos valores de par ametros, excepto en ciertos casos en losque los atractores se forman sobre una de las regiones(e.g. el atractor espiral). En un diodo normal, se tieneuna parte de conducci on y una parte de no conducci on,que conforman dos regiones asimetricas, de modo que elatractor queda delimitado por esta forma. Otro aspectointeresante fue que en el circuito tipo Chua, el cambiode la resistencia causa cambios en la amplitud de las os-cilaciones llegando a ser irregulares y terminando en unpunto jo a valores altos de resistencia. De modo similar,en el circuito RL-Diodo los cambios en la amplitud del

voltaje de fuente causan cambios en el comportamientodel sistema conduciendolo a un estado ca otico, pero elhecho de terminar en un estado ca otico o un estado pe-riodico a amplitudes altas, dependa de la frecuencia delvoltaje de entrada. De modo que existe un valor crticopara la frecuencia a partir del cual el sistema terminasiempre en una region caotica. Es muy posible que estohaya ocurrido en el circuito tipo Chua, al cambiar loscomponentes de 10 pF y 1 mH, seguramente se lleg o ala frecuencia crtica en la cual el sistema comenzaba atener comportamientos irregulares. Sin embargo, en estecircuito, no ha sido posible observar en detalle el ca-mino hacia el caos, los cambios eran bruscos debido a laresistencia variable. Queda pendiente mejorar la formade adquisici on de datos, por ejemplo, sera recomenda-ble analizar el espectro de potencias de ambos circuitos,adem as de implementar un modelo te orico para el circui-to RL-Diodo. Finalmente, se podra dar inicio a trabajosde investigacion sobre otros circuitos no lineales y buscaraplicaciones.

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