CONCEPTOS BSICOS DE CINEMTICA

Cinemtica: Rama de la Mecnica que se dedica a la descripcin del movimiento mecnico sininteresarse por las causas que lo provocan.

VECTOR POSICION

En el estudio del movimiento o Cinemtica nos iremos al caso ms sencillo: el del mvil puntual. Sellama as a todo mvil que puede considerarse un simple punto por tener un tamao muy pequeocomparado con el del entorno en el que se mueve.

La primera cuestin que se plantea es cmo determinar la posicin de un mvil. El concepto "posicinde un cuerpo" slo tiene significado si se define con relacin a otro u otros cuerpos, que constituyen loque llamamos un sistema de referencia. As por ejemplo, en medio del ocano o en un desierto de arenapuede resultarnos imposible conocer nuestra posicin; ello se debe a la falta de referencias fijas yreconocibles.

Cuando un mvil puntual se desplaza a lo largo de una recta, basta un punto fijo O de ella comoreferencia. La posicin del mvil se determina por su distancia a O, con signo positivo o negativosegn se encuentre a uno u otro lado de dicho punto de referencia. A esta distancia, afectada de sucorrespondiente signo, la llamaremos abcisa del mvil y la simbolizaremos por X:

Pero si el mvil puede ocupar cualquier posicin en el espacio, utilizaremos como elementos dereferencia tres ejes de coordenadas rectangulares OX, OY y OZ. La posicin de un mvil puntual sedetermina entonces mediante su vector de posicin que se define como el vector que tiene su origenen el origen de coordenadas y su extremo en la posicin del mvil.

Simbolizaremos por r al vector de posicin. Sus componentes son las coordenadas (x,y,z) del mvilpuntual, y lo expresaremos como:

r=x^i+ yj^+zk^

La eleccin del sistema de referencia es fundamental, ya que un movimiento puede ser sencillo ocomplejo dependiendo del mismo. Los ejes de coordenadas los imaginamos siempre ligados a uno ovarios cuerpos reales, como si estuvieran rgidamente unidos a ellos. Lo ms frecuente ser suponer los

ejes de coordenadas ligados a la Tierra; diremos entonces que la Tierra es el sistema de referencia. Perono siempre ser as; por ejemplo, si pretendemos estudiar el movimiento de un cuerpo dentro de unvagn de tren en marcha, puede ser ms conveniente adoptar unos ejes de coordenadas unidos a susuelo y a sus paredes; en este caso, diremos que hemos tomado como sistema de referencia el vagn.

Con el ejemplo anterior se pone de manifiesto que la posicin de un cuerpo siempre es relativa, esdecir, depende del sistema de referencia que estamos utilizando. Cuando un cuerpo se mueve, vara suposicin al transcurrir el tiempo y por tanto, todo movimiento es relativo, lo que significa que cualquiercuerpo puede tener al mismo tiempo diferentes clases de movimiento, segn el sistema de referenciaque se adopte. Por ejemplo, un pasajero que permanece sentado en el interior de un automvil en marcha se encuentra en reposo con relacin al vehculo, pero en movimiento con respecto a la Tierra.

Un sistema o marco de referencia se caracteriza por poseer un observador, sistema decoordenadas y un reloj.

VECTOR DE DESPLAZAMIENTO Y TRAYECTORIA

Para poder abordar el estudio del movimiento es necesario expresar el cambio de posicin de un mvil.Imaginemos un mvil puntual que se encuentra inicialmente en la posicin Po y se desplaza hasta laposicin final P siguiendo una trayectoria cualquiera. El cambio de posicin que ha experimentado serepresenta mediante el llamado vector desplazamiento. Lo definiremos como el vector que tiene suorigen en la posicin inicial del mvil y su extremo en la posicin final.

En la figura anterior, los vectores r y ro son los vectores de posicin final e inicial,respectivamente, del mvil puntual y O es el origen de coordenadas. El vector desplazamiento ser:

d= r= r ro

Es decir, el vector desplazamiento es la diferencia entre el vector de posicin final y el inicial.

En la definicin del vector desplazamiento slo intervienen las posiciones inicial y final delmvil, por tanto, es independiente de la trayectoria seguida para pasar de una a otra posicin.

No hay que confundir el mdulo del vector desplazamiento con el espacio o distancia recorridaque es la longitud de la trayectoria (es una magnitud escalar). En un movimiento de subida ybajada o, en un movimiento circular al dar una vuelta completa, el mdulo del vectordesplazamiento es cero, mientras que el espacio recorrido no lo es.

La trayectoria esta asociada al camino recorrido por el mvil, corresponde a una magnitud escalar y sedesigna usualmente por una seccin de arco s .

VELOCIDAD MEDIA E INSTANTANEA

Se llama velocidad media al desplazamiento que realiza un mvil por unidad de tiempo entre dosinstantes dados. Si los instantes inicial y final corresponden a los tiempos t o y t , el vector velocidad media sepuede expresar como:

V m= r t

=r r ott o

De la frmula se deduce que el vector velocidad media tiene la misma direccin y sentido que el vectordesplazamiento ( r ), ya que t es un escalar positivo.

La velocidad media en un intervalo de tiempo infinitesimal (infinitamente pequeo) recibe el nombrede velocidad instantnea . La velocidad instantnea es, por tanto, el lmite de la velocidad media en unintervalo de tiempo infinitesimal, es decir, cuando t tiende a 0 ( t 0).

V= lim t0 ( r t )=d rdt

La velocidad instantnea es la derivada del vector de posicin respecto al tiempo.

Recordando que el vector de posicin es: r=x^i+ yj^+zk^

V=dxdt ^i+dydtj^+

dzdtk^=V xi^+V yj^+V zk^

Por tanto, podemos resumir la velocidad instantnea de la siguiente manera: es la derivada con respecto al tiempo del vector de posicin es un vector tangente a la trayectoria en el punto donde se encuentra el mvil, y sentido el del

desplazamiento del mvil.

La rapidez media de un mvil esta asociada a la trayectoria seguida por ste en un determinado instantede tiempo (es una magnitud escalar):

V m= s t

=ssot to

La rapidez instantnea esta asociada al modulo del vector velocidad instantanea (es una magnitudescalar):

V=| r t |

ACELERACIN MEDIA E INSTANTANEA

La velocidad instantnea de un mvil puede permanecer invariable (movimiento uniforme) o cambiar amedida que transcurre el tiempo (movimiento variado).

Para medir cmo vara la velocidad con relacin al tiempo transcurrido se define la aceleracin. Sivo y v son respectivamente las velocidades en los instantes inicial ( t o ) y final (t), se llama

aceleracin media a la variacin de la velocidad instantnea por unidad de tiempo entre dosinstantes dados.

En el movimiento variado llamamos incremento de velocidad entre dos instantes a la diferencia entre lavelocidad en el instante final y la velocidad en el instante inicial, es decir:

am= v t

=vv otto

De la frmula se deduce que la aceleracin media es un vector de la misma direccin y sentido que elincremento de velocidad, ya que t > 0.

La aceleracin media est dirigida hacia la parte cncava (interior) de la trayectoria.

La aceleracin media correspondiente a un intervalo de tiempo infinitamente pequeo recibe el nombrede aceleracin instantnea . Es el lmite de la aceleracin media en un intervalo de tiempoinfinitesimal. En trminos matemticos se expresa:

a= lim t 0 ( v t )=d vdt

La aceleracin instantnea es la derivada del vector velocidad respecto al tiempo.

En funcin de sus componentes:

a=dvxdt

^i+dv ydt

j^+dv zdtk^=axi^+a y j^+azk^