CONCEPTO DE CORRIENTE ALTERNA

La corriente alterna es aquella en que la que la intensidad cambia de dirección periódicamente en un conductor. como consecuencia del cambio periódico de polaridad de la tensión aplicada en los extremos de dicho conductor.

La variación de la tensión con el tiempo puede tener diferentes formas: senoidal (la forma fundamental y mas frecuente en casi todas las aplicaciones de electrotecnia); triangular; cuadrada; trapezoidal; etc..si bien estas otras formas de onda no senoidales son mas frecuentes en aplicaciones electrónicas.

Las formas de onda no senoidales pueden descomponerse por desarrollo en serie de Fourier en suma de ondas senoidales (onda fundamental y armónicos), permitiendo así el estudio matemático y la de sus circuitos asociados.

Corriente alterna senoidal

VENTAJAS DE LA CORRIENTE ALTERNA

La corriente alterna presenta ventajas decisivas de cara a la producción y transporte de la energía eléctrica, respecto a la corriente continua:

1-Generadores y motores mas baratos y eficientes, y menos complejos

2-Posibilidad de transformar su tensión de manera simple y barata (transformadores)

3-Posibilidad de transporte de grandes cantidades de energía a largas distancias con un mínimo de sección de conductores ( a alta tensión)

4-Posibilidad de motores muy simples, (como el motor de inducción asíncrono de rotor en cortocircuito)

5-Desaparición o minimización de algunos fenómenos eléctricos indeseables (magnetización en las maquinas, y polarizaciones y corrosiones electrolíticas en pares metálicos)

La corriente continua, presenta la ventaja de poderse acumular directamente, y para pequeños sistemas eléctricos aislados de baja tensión, (automóviles) aun se usa (Aunque incluso estos acumuladores se cargan por alternadores)

Actualmente es barato convertir la corriente alterna en continua (rectificación) para los receptores que usen esta ultima (todos los circuitos electrónicos).

A CORRIENTE ALTERNA (C.A.)

Además de la existencia de fuentes de FEM de corriente directa o continua (C.D.) (como la que suministran las pilas o las baterías, cuya tensión o voltaje mantiene siempre su polaridad fija), se genera también otro tipo de corriente denominada alterna (C.A.), que se diferencia de la directa por el cambio constante de polaridad que efectúa por cada ciclo de tiempo.

Una pila o batería constituye una fuente de suministro de corriente directa, porque su polaridad se mantiene siempre fija.

La característica principal de una corriente alterna es que durante un instante de tiempo un polo es negativo y el otro positivo, mientras que en el instante siguiente las polaridades se invierten tantas veces como ciclos por segundo o hertz posea esa corriente. No obstante, aunque se produzca un constante cambio de polaridad, la corriente siempre fluirá del polo negativo al positivo, tal como ocurre en las fuentes de FEM que suministran corriente directa.

Veamos un ejemplo práctico que ayudará a comprender mejor el concepto de corriente alterna:

Ventajas de la Corriente Alterna sobre la Continua - Facilidad de interrupción de la corriente - Facilidad de transformación, para adaptar el nivel de tensión

Ventajas de la Corriente Continua respecto la Alterna •Se puede almacenar en baterías •Mucho menos peligrosa que la corriente alterna

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo el conjunto de los reales se cumple que ( estácontenido en ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejopuede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y eningeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y lacorriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es elteorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1

Operaciones con números complejos

Objetivos de aprendizaje

· Sumar números complejos.

· Restar números complejos.

· Multiplicar números complejos.

· Encontrar conjugados de números complejos.

· Dividir números complejos.

Introducción

Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es, “¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos así como a restarlos, multiplicarlos y dividirlos.

Sumando y restando números complejos

Primero, considera la siguiente expresión.

(6x + 8) + (4x + 2)

Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son los términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin variables.

(6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10

De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales.

Puedes sumar con porque ambos términos tienen el mismo radical, , del mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente.

El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a . Lo interesante es que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restar números complejos . Combinas las partes imaginarias (los términos con i) y combinas las partes reales.

Ejemplo

Problema Sumar. (−3 + 3i) + (7 – 2i)

−3 + 3i + 7 – 2i =

−3 + 7 + 3i – 2i

Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes.

Respuesta

−3 + 7 = 4 y

3i – 2i = (3 – 2)i = i

(−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i

Combina los términos semejantes.

Ejemplo

Problema Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i)

(−3 + 3i) – (7 – 2i) =

−3 + 3i – 7 + 2i

Asegúrate de distribuir el signo de resta a todos los términos del sustraendo.

−3 – 7 + 3i + 2i Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes.

Respuesta

−3 – 7 = −10 y

3i + 2i = (3 + 2)i = 5i

(−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i

Combina los términos semejantes.

Restar. (5 + 3i) – (3 – i)

A) 2 + 4i

B) 6

C) 2 + 2i

D) 8 + 2i

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Multiplicando números complejos

De nuevo, considera la siguiente expresión. Antes de seguir leyendo, piensa en cómo la podrías simplificar.

(5x)(−3x)

Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables.

(5x)( −3x) = (5)( −3)(x)(x)

= −15x2

Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero hay un paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar 5i y −3i.

(5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i)

= −15i2

Hasta ahora todo va bien, pero el i2 se puede simplificar más.

Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del radical. Esto es lo que significa una raíz cuadrada.

Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a .

Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2 es reemplazar i2 con −1.

(5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i)

= −15i2

= −15(−1)

= 15

Ejemplo

Problema Multiplica. (3i)(2i)

(3i)(2i) = (3)(2)(i)(i)

= 6i2

Multiplica los coeficientes dei y luego multiplica i por i.

6i2 = 6(−1)

6(−1) = −6

Reemplaza i2 con –1.

Multiplica.

Respuesta

(3i)(2i) = −6

¡Observa que el producto de dos números imaginarios es un número real! Veremos esto de nuevo cuando multipliquemos dos números complejos.

Multiplica y simplifica. (3i)( −i)

A) 3

B) −3

C) 3i

D) −3i2

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Usando la propiedad distributiva

La siguiente expresión es un poco más complicada porque se multiplican dos binomios. Esto significa que debes usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. (Recuerda que multiplicar con el método FOIL — First, Outside, Inside, Last — es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación.) Una vez que los binomios han sido multiplicados, simplifica la expresión combinando los términos semejantes.

(6x + 8)(4x + 2) = 6x(4x + 2) + 8(4x + 2)

= 6x(4x) + 6x(2) + 8(4x) + 8(2)

= 24x2 + 12x + 32x + 16

= 24x2 + 44x + 16

De nuevo, puedes multiplicar números complejos de la misma manera. Al final, necesitas simplificar i2.

Ejemplo

Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(4 + 2i)

(6 + 8i)(4 + 2i)

6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i)

6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i)

24 + 12i + 32i + 16i2

Se están multiplicando dos binomios, por lo que necesitas la Propiedad Distributiva de la Multiplicación.

Podríamos usar FOIL e ir directamente a

6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) .

24 + 44i + 16i2 Combina los términos semejantes.

24 + 44i + 16(-1)

24 + 44i – 16

8 + 44i

Reemplaza i2 con −1 y simplifica.

Respuesta (6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i

En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente ejemplo, el producto es real y no complejos. ¡Veamos si puedes averiguar por qué!

Ejemplo

Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i)

(6 + 8i)(6 – 8i)

6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i)

36 – 48i + 48i – 64i2

Usa FOIL para expandir el producto.

36 – 64i2 Combina los términos semejantes.

36 – 64(−1)

36 + 64

100

Reemplaza i2 con −1 y simplifica.

Respuesta (6 + 8i)(6 – 8i) = 100

Así como y son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i son conjugados. (De nuevo, i es una raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente algo nuevo.) Cuando los números son complejos, los llamamos conjugados complejos. Porque los conjugados tienen términos que son iguales excepto por la operación entre ellos (una es suma y la otra es resta), los términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo anterior, −48i se suma a 48i y esa suma es 0, por lo que no el término i no existe en el producto final. Esto significa que el producto de dos complejos conjugados siempre será un número real (y no complejo).

Multiplicar. (9 + i)(9 – i)

A) 82 + 18i

B) 80 – 18i

C) 80

D) 82

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División de números complejos

Hasta ahora, cada operación con números complejos ha funcionado de la misma manera que con expresiones radicales. Esto no debería sorprenderte, el número i es el radical, después de todo, ¡por lo que los números complejos son expresiones radicales!

Veamos a la división en dos partes, como hicimos con la multiplicación. Primero, veamos la situación cuando el divisor es un monomio.

Ejemplo

Problema Simplifica. −24i ÷ 6

Trata a la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el denominador.

Respuesta

−24i ÷ 6 = −4i Como el resultado no tiene denominador, no es necesario seguir simplificando.

Ejemplo

Problema Simplifica. 32i ÷ 6i

Trata a la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el denominador. Observa que en este caso, i es parte del factor común.

Respuesta

32i ÷ 6i =

La fracción quede en su forma simple.

Ejemplo

Problema Simplifica. 56 ÷ −7i

Trata a la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el denominador.

En este caso, el denominador todavía tiene el término i. Como i es un radical, debes seguir simplificando para racionalizar el denominador.

Como el denominador es sólo un término, no necesitas pensar en conjugados complejos. Sólo multiplica por 1 en la

forma y simplifica. (Recuerda, el producto de dos números imaginarios es real, por lo que el denominador es real.)

Respuesta

56 ÷ −7i = 8i

Simplifica. 12 ÷ 10i

A)

B)

C)

D)

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Cuando el divisor (esto es, el denominador en la fracción) es un número complejo con partes real e imaginaria distintas de cero, debes racionalizar el denominador usando el conjugado complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su conjugado complejo siempre es un número real, por lo que el denominador será un número real. Esto significa que el resultado será equivalente, pero racionalizado.

Ejemplo

Problema

Simplificar. (56 – 8i) ÷ (14 + 10i)

Trata la división como una fracción. Simplifica la fracción usando un factor común que tengan el numerador y el denominador, si existe.

Ten cuidado de usar la propiedad distributiva, los números deben ser un factor de todoslos términos.

En este caso, el denominador aún tiene el término i. Para racionalizar el denominador, multiplica por el conjugado complejo del denominador. En este caso, el conjugado complejo es (7 – 5i).

(En los conjugados complejos, las partes reales son iguales y las partes imaginarias son inversos aditivos.)

Expande el numerador y el denominador. Recuerda, el denominador debe ser un número real (sin el término i) si escoges el conjugado complejo correcto y realizas la multiplicación correctamente.

Reemplaza i2 con −1 y simplifica.¡Asegúrate de remplazar i2 en el numerador y en el denominador!

El cociente puede escribirse en la forma a + biusando fracciones para a y b.

Siempre comprueba el producto final para ver si se puede simplificar más. En este caso, ambas fracciones pueden simplificarse.

Respuesta (56 – 8i) ÷ (14 + 10i) =

Simplifica. (10 + 6i) ÷ (5 – 3i)

A)

B) 2 – 2i

C)

D)

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Operaciones con números complejos

Para sumar o restar, combinar términos semejantes.

Para multiplicar monomios, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar los números imaginarios i. Si aparece i2, reemplazar con −1.

Para multiplicar números complejos que son binomios, usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación, o el método FOIL. Multiplicar los términos resultantes como monomios.

Para dividir, tratar el cociente como una fracción.

· Simplificar las partes numéricas y luego racionalizar el denominador, si es necesario.

· Reemplazar i2 por −1 en el numerador y el denominador, si es necesario.

· Escribir la respuesta en la forma a + bi, que podría requerir más simplificación de a yb cuando son fracciones.

Sumario

Los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir usando las mismas ideas que con los radicales y las variables. Con la multiplicación y la división, podrías necesitar reemplazar i2 con −1 y continuar simplificando.

Representación gráfica de números complejos

Podemos representar un número complejo en un sistema cartesiano, haciendo coincidir el eje x (horizontal) con la parte real del número complejo y el eje y (vertical) con la parte imaginaria. En dicho caso el plano recibe el nombre de “plano complejo” o “diagrama de Argand”.

El valor absoluto de un número complejo en este caso nos da la distancia entre el origen del sistema (el número complejo 0 + 0i) y el número complejo en cuestión.

Ejemplo:

z=2+3i