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Con las siguientes actividades aprenderás el concepto o proceso que queremos que

domine satisfactoriamente.

Tema 2 Función lineal

Sub-tema 1 Problemas de aplicación para iniciar la unidad.

Aprendizajes Con estos problemas los adquirirás, el concepto de razón de

cambio entre dos variables.

Desarrollo de la actividad

Actividad

Objetivo(s) de la actividad:

Al término de esta actividad habrás recordado el

concepto de razón de cambio.

Introducción:

La razón de cambio te permitirá ver la relación entre dos cantidades que están

cambiando. Si una cantidad depende de la otra, entonces la siguiente expresión es

verdadera.

Razón de cambio = ��

��

Cuando se hace alusión a la gráfica de una recta a esta razón de cambio se le

denomina pendiente de la recta y esta relación ya vista anteriormente se le conoció

como la constante de proporcionalidad.

Actividades prácticas para el aprendizaje.

Actividad 1

Explorarás razones de cambio.

La siguiente gráfica muestra segmentos de recta en el plano cartesiano.

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Contesta las siguientes preguntas

a) ¿Cuál es el cambio vertical de A a B, de B a C, de C a D y de D a E?

b) ¿Cuál es el cambio horizontal de A a B, de B a C, de C a D y de D a E?

c) Halla la razón de cambio vertical a cambio horizontal para cada segmento de

recta.

d) ¿Qué sección es la más inclinada?

Actividad 2.

Esta actividad es con el firme propósito de que practiques lo aprendido y verifiques

si tu aprendizaje ha sido significativo.

Según los datos en la siguiente tabla.

Costo de alquiler de una computadora.

Número

de días.

Costo.

1 $600

2 $750

117

3 $900

4 $1050

5 $1200

a) ¿Es igual la razón de cambio para cada par de días consecutivos?

b) ¿Qué representa la razón de cambio?

c) Halla la razón de cambio usando los días 5 y 2.

d) ¿Crees que hallar la razón de cambio sólo para un par de días significa que la

razón de cambio es igual para todos los datos? Explica.

Problemas complementarios.

1) Halla la razón de cambio para cada situación.

a) Un bebe mide 18 pulgadas al nacer y 27 pulgadas a los 10 meses.

b) El costo de los boletos para grupos en un museo es de $480 para cuatro personas

y $780 para 10 personas.

c) Conduces 48 kilómetros en una hora y 152 kilómetros en cuatro horas.


Sub-tema 2 Problemas de aplicación para iniciar la unidad.

Aprendizajes Con estos problemas adquirirás, los siguientes conceptos:

función lineal, pendiente de una recta y ordenada al origen.


Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:

Al término de esta actividad serás capaz de modelar una

función lineal que te lleve a la solución de una situación

problemática.

Introducción:

118

En el siguiente actividad tu meta será aprender los conceptos de función lineal así

como los significados de los parámetros que intervienen en ellos como: el parámetro

m (rapidez de variación constante) y el parámetro b (condición inicial), ya el

significado de m fue expuesto anteriormente solo que se le dio el nombre de razón

de cambio, de aquí en adelante siempre te referirás a este concepto como pendiente

de la recta la cual se define como sigue:

m = razón de cambio = ��

�� .

Esto lo podrás expresar en forma simbólica como:

� =�� − ��

�� − ��


Actividad 2

Modelarás funciones lineales que resuelven una situación problemática.

Con las siguientes estrategias de aprenderás el concepto de función lineal.

1) Un tanque de gas con capacidad de 500 litros tiene un 10% de su capacidad y

se ha encomendado a una pipa repartidora que lo llene hasta un 80%. Cada minuto

se le proporciona 50 litros a dicho recipiente.

a) ¿Qué cantidad de litros tenía el tanque antes de llegar la pipa?

b) Elabore una tabla para indicar el nivel del tanque para cada minuto de llenado.

c) ¿En qué tiempo llenará la pipa el tanque?

d) Encuentre un modelo algebraico que satisfaga las condiciones impuestas en el

problema.

e) Represente gráficamente el modelo algebraico en el plano cartesiano.

f) ¿Cuál es el rango de valores para las dos variables involucradas en el problema?

g) Repita el problema para tanques con capacidad de 300, 750, 1000 y 1500 litros

respectivamente.

119

2) Un tanque tiene una capacidad de 500 litros, pero por razones de seguridad solo

está permitido que esté a una capacidad de 80%.

a) ¿Qué cantidad de litros tiene el tanque al 80% de su capacidad?

b) Elabore una tabla que relacione el tiempo y el consumo por día, sí el gasto diario

es de 20 litros.

c) ¿Qué tiempo deberá transcurrir para cargar el tanque nuevamente?

d) ¿Qué modelo algebraico satisface las condiciones del problema?

e) Elabore una gráfica que represente este modelo en el plano cartesiano.

f) La representación gráfica es una recta.

g) ¿Cuál es el intervalo de valores para las variables involucradas en el modelo?

h) Repita el problema para tanques de capacidad 200, 400, 600 y 1000 litros

respectivamente.

La siguiente actividad es de refuerzo para que el alumno practique el conocimiento

adquirido y se dé cuenta que lo aprendido ha sido significativo en su aprendizaje.

1) La señora Carmen va a abrir una cuenta de ahorros en Bancomer, la cantidad

inicial con la cuenta asciende a $50000 a la que le acumulará mensualmente

$10000. ¿Cuánto tendrá ahorrado al cabo de un año?

2) Dado que una batería estaba produciendo una corriente de 1.05 amperes a las

12 horas (mediodía) y que la corriente producida estaba decreciendo a la razón de

0.005 amperes/por hora, encuentre la corriente que estaría produciendo t horas

después de mediodía y en particular a media noche

3) El costo de adaptar un nuevo cable y clavija para una cortadora de setos es de

C pesos cuando la longitud del cable es de x metros, donde C = 45 + 27x.

a) Cuál podría ser el significado del término constante, 45?

b) Cuál podría ser el significado del coeficiente, 27?

c) ¿Cuál sería la pendiente de la gráfica de C contra x?

d) ¿Qué longitud del cable daría un costo $855?

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4) La ganancia hecha en una sola jornada de un tren es de P pesos cuando hay x

asientos vacíos, donde P = 25.5 – 0.4x.

a) ¿Cuál piensa usted que es el significado del término constante 25?

b) ¿Es la gráfica de P contra x una línea recta? Sí es así, ¿cuál es su pendiente? Si

no, ¿qué tipo de curva es?

c) ¿Cuál es el número mínimo de asientos vacíos que ocasionan que el tren tenga

pérdida en una sola jornada?

d) Sugiera un significado para el coeficiente, - 0 4.

5) El señor Vera midió la cantidad de petróleo que el depósito de su calefacción

central 10 días después de que fue llenado y encontró que era 1420 litros. Después

de otros 30 días la midió de nuevo y encontró que la cantidad de petróleo era de

880 litros.

a) Encuentre la relación entre el número de litros de petróleo en el depósito y el

número de días después de que fue llenado el depósito, suponiendo que el número

de litros disminuyó uniformemente conforme el número de días aumentó.

b) ¿Qué cantidad de petróleo contenía el depósito cuando acababa apenas de ser

llenado?

c) ¿Cuál es la cantidad promedio de petróleo utilizada cada día por el sistema de

calefacción central del señor Vera?

d) Sí el señor Vera ordena más petróleo cuando la cantidad en el depósito se redujo

a 700 litros, ¿qué tan seguido ordena petróleo para este depósito?

e) Él está considerando tener adaptado un nuevo calentador de agua que usará en

promedio, únicamente 15 litros de petróleo por día. ¿Qué tan seguido tendrá que

ordenar petróleo para el nuevo calentador?


Sub-tema 3 Pasando del registro tabular al modelo algebraico.

Aprendizajes

121

Con estos problemas adquirirás la habilidad siguiente, dada una

tabla de valores construirás el modelo algebraico que lo

representa.

Desarrollo de la actividad.

Actividad.

Objetivo (s) de la

actividad:


función lineal a partir de una tabla de valores dada.

Introducción

Lograrás aprendizaje si desarrollas satisfactoriamente uno o dos de los ejercicios

propuestos, para encontrar el parámetro m será necesario que trabajes con la

fórmula que calcula la rapidez de variación constante � =��

�� y que para que

encuentres el parámetro b (condición inicial) tomarás otro punto de la tabla y lo

evaluarás en el modelo lineal � = �� + �


Actividad 3

Encontrarás la función lineal a partir de una tabla de valores dada.

Escribe una función lineal para cada relación dada.

1)

� − 2 − 1 0 1 2

� 20 17 14 11 8

2)

� 1 2 3 4 5

�(�) 5 10 15 20 25

122

3)

� 0 1 2 3 4

� 5 8 11 14 17

4)

� 1 2 3 4 5

�(�) 1 4 7 10 13

5)

� 2 4 5 7 10

� − 2 0 1 3 6

6)

� − 2 − 1 1 2 4

�(�) 13 12 10 9 7

7)

8)

� − 4 − 2 0 2 4

� 3 6 9 12 15

� − 1 − 3 − 5 − 7 − 9

123

� (�) − 11 − 3 5 13 21

9)

� 0 6 12 18 24

ℎ(�) − 2 0 2 4 6

10)

� − 4 − 2 4 6 8

�(�) 26 18 10 6 2


Sub-tema 4 Encontrarás un modelo lineal a partir de una tabla incompleta, y

que tú completarás con el modelo encontrado.

Aprendizajes Con estos problemas aprenderás a obtener un modelo lineal, que

te sirva para completar una tabla dada.


Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:


función lineal a partir de una tabla con algunos valores dados

y encontrarás los valores faltantes.

Introducción:

Para lograr este aprendizaje te sugerimos que desarrolles satisfactoriamente uno

de los ejercicios propuestos, haciendo hincapié en que para encontrar el

parámetro m es necesario que trabajes con la fórmula que calcula la rapidez de

variación constante � =��

�� y que para que encuentres el parámetro b

(condición inicial) tomes otro punto de la tabla y lo evalúes en el modelo lineal � =

�� + �, para que completes los valores que no están determinados en la tabla.

124

Actividades prácticas para el aprendizaje

Actividad 4

Copia y completa la tabla para cada ecuación.

a)

� 1 2 3 4 5

�(�) 12 24 36

b)

� − 4 − 2 0 2 4

�(�) − 2 − 1 2

c)

� -3 -1 1 2 4

ℎ(�) 18 17 − 17

d)

� − 2 0 2 4 6

�(�) 2 3 4


Sub-tema 5 Graficarás una función lineal a partir de sus parámetros,

pendiente y ordenada al origen.

Aprendizajes

Con esta actividad aprenderás a graficar una función lineal

tomando en consideración como modifican a la gráfica la

variación de los parámetros m y b.


125

Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:

Al terminar esta actividad el serás capaz de graficar una

función lineal a partir de como modifican a la gráfica los

parámetros m y b solamente, sin hacer uso de una tabla de

valores.

Introducción:

Para lograr el aprendizaje te sugerimos que en equipo discutas con tus

compañeros este contenido, para que de esta manera logres el objetivo que se

pretende que alcances.


Actividad 5

Graficarás funciones lineales.

Forma: � = �(�)= �� + �

Como afectan o modifican a la gráfica la variación de los parámetros m y b.

Graficarás funciones fijando uno de los parámetros y variando el otro.

Caso 1) Grafica �(�)= �� + �, para � = � y � = �,�,� − �,� − �.

a) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= �

b) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= � + �

c) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= � + �

d) Para � = � � � = − � obtendrás: �(�)= � − �

e) Para � = � � � = − � obtendrás: �(�)= � − �

Tabula algunos valores de x con � ∈ � en una misma tabla. Después grafica todas

las funciones en el mismo plano cartesiano. Utiliza lápices de colores para cada

una de las gráficas.

Llena la siguiente tabla.

� �(�)= � �(�)= � + 1 �(�)= � + 2 �(�) = � − 1 �(�)= � − 2

126

− 2

− 1

0

1

2

-

Explica con tus propias palabras como se modifica la gráfica al variar el parámetro

b.

________________________________________________________________

________________________________________________________________

____

Caso 2: Grafica �(�)= �� + � para � = � � � = �,�,�,− � � − �

a) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= �

b) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= � + �

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c) Para � = � � � = � obtendrás: �(�)= �� + �

d) Para � = − � � � = � obtendrás: �(�)= − � + �

e) Para � = − � � � = � obtendrás: �(�)= − �� + �

Tabula algunos valores de x con � ∈ � en una misma tabla. Después grafica todas

las funciones en el mismo plano cartesiano. Utiliza lápices de colores para cada

una de las gráficas.

Llena la siguiente tabla.

� �(�)= 1 �(�)= � + 1 �(�)= 2� + 1 �(�)= − � + 1 �(�)= − 2�1

− 2

− 1

0

1

2

-

128

Explica con tus propias palabras como se modifica la gráfica al variar el parámetro

�.

________________________________________________________________

________________________________________________________________

____


Sub-tema 6 Dada el modelo que representa una función lineal. Elaborarás

una tabla de parejas ordenadas (�,�). Después trasladarás estas

parejas ordenadas a un plano cartesiano para hacer su

representación gráfica.

Aprendizajes

Con esta actividad se espera que aprendas a graficar una función

lineal dado su modelo algebraico.


Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:

Al término de esta actividad serás capaz de graficar una

función lineal a partir del modelo algebraico que la

representa.

Introducción:

Para que logres este aprendizaje te sugiero, que discutas este contenido con tus

compañeros de equipo para que de esta manera logres el objetivo a alcanzar,

toma como ejemplo uno de los ejercicios y los restantes hazlos como tarea, para

que de esta manera corrobores si este aprendizaje te fue significativo.


Actividad 6

129

Dadas las siguientes funciones, elabora su gráfica en el plano cartesiano.

a) � = �(�)= − �� + � b) � = �(�)=�

�� − �

c) � = �(�)= �� − � d) � = �(�)= −�

�� + �


Sub-tema 7 Dada una gráfica en el plano cartesiano, encontrarás el modelo

funcional que la representa.

Aprendizajes

Con esta actividad se espera que aprendas a encontrar un

modelo algebraico dado una gráfica en el plano cartesiano.


Actividad

Objetivo (s) de la

actividad:

Al término de esta actividad serás capaz de encontrar una

función lineal a partir de una representación gráfica en el

plano cartesiano.

Introducción:

Para que logres este aprendizaje te sugiero que trabajes con tu equipo para

discutir este contenido, para que de esta manera logres el objetivo a alcanzar,

toma como ejemplo uno de los ejercicios y los demás hazlos de tarea para que

de esta manera corrobores si este aprendizaje te fue significativo.


130

Actividad 7

Dadas las siguientes gráficas escribe la función lineal que representa

a) b)

c) d)

e) f)

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Sub-tema 8 Problemas de aplicación.

Aprendizajes

Con esta serie de problemas se espera que adquieras la

habilidad para resolver situaciones reales donde interviene para

darles respuesta, una función lineal de la forma �(�)= �� + �,

se pretende también que, esto lo lleves a cabo aplicando el

modelo de George Polya para resolver problemas.


Actividad.

Para trabajar esta actividad te recomiendo que trabajes en equipo con tus

compañeros para resolver algunos problemas para que logres una mayor

comprensión de los mismos y adquieras un conocimiento más significativo y de

esta manera puedas resolver las demás situaciones problemáticas que se te

encomendarán como tarea extra clase.

Objetivo (s) de la

actividad:

Al término de esta actividad será capaz de resolver

problemas de aplicación en diferentes contextos,

aplicando las heurísticas de Polya.

Introducción:

132

Para resolver problemas aplicando el modelo de George Polya deberás

considerar las siguientes etapas para su consecución.

1) Comprenderás el problema.

2) Concebirás un plan.

a) Determinarás la relación entre los datos y la incógnita.

b) De no encontrar una relación inmediata, puedes considerar problemas

auxiliares.

c) Obtendrás finalmente un plan de solución.

3) Ejecutará del plan.

4) Examinarás la solución obtenida.


Actividad 9

Modelación matemática: Emplearás de funciones lineales.

Objetivo: Encontrarás una función lineal y la utilizarás para hacer predicciones.

Te sugiero repasar la solución del siguiente ejemplo, para que comprendas su

método de solución, para que después tu solito resuelvas otros que se te

plantearán.

Ejemplo.

Se sabe que los grillos chirrían con mayor frecuencia a mayores temperaturas y

con menor frecuencia a menores temperaturas. Por consiguiente, el número de

chirridos es una función de la temperatura.

Los siguientes datos se reunieron y fueron registrados en una tabla.

Temperatura °C 6 8 10 15 20

Número de chirridos

por minuto.

11 29 47 75 108

¿Podrás predecir el número de chirridos por minuto para una temperatura de

18°C? Si un modelo lineal se ajusta razonablemente bien a los datos, podrás

133

utilizar una función lineal como un modelo matemático de la situación. En tal caso,

puedes usar el modelo (la función lineal) para hacer predicciones.

Utiliza los datos reunidos en la tabla anterior para predecir el número de chirridos

por minuto cuando la temperatura es de 18°C. Aplica las heurísticas para resolver

problemas.

Entiendes el plan.

Pregunta: ¿Podrás ajustar una función lineal a los datos? De ser así, ¿Cuál será

el número de chirridos por minuto correspondiente a una temperatura de 18°?

Datos: Los grillos chirrían 11 veces por minuto a 6°C, 29 veces por minuto a 8°C,

y así sucesivamente, tal como se indica en la tabla.

Desarrolla y lleva a cabo un plan.

En primer lugar, traza una gráfica de los datos para determinar si una función

lineal proporciona un buen ajuste. Haz una gráfica con un eje t (temperatura) y un

eje c (chirridos por minuto), y representa los datos. Podrás ver que se encuentran

aproximadamente sobre una recta. Por lo tanto, puedes utilizar una función lineal

para modelar la situación.

La recta la colocarás de forma que algunos puntos estén por encima y otros por

debajo de ella, de modo que cada punto se encentre cerca de la misma.

Podrás utilizar dos de los puntos dados que se encuentran cerca de la recta para

encontrar una función. Escoge los puntos (6,11) y (20, 109), pues la recta por ellos

es muy cercana a la recta que queremos ajustar sobre el dominio de datos.

Con los puntos dados puedes encontrar la razón promedio, como sigue:

� =�� − ��

�� − ��=

�� − ��

�� − �=

��

��= �

Luego, tu modelo será:

� = �� + �

Por lo que, si tomas el punto (6,11) y lo sustituyes en el modelo anterior, como

sigue:

�� = �(�)+ �

�� = �� + � ∴ � = �� − �� = ��

Por lo tanto, tu modelo lineal es:

� = �� − ��

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Utilizando el modelo anterior encontrarás que cuando t = 18, c = 7(18) – 31 = 95.

Comprueba si tu resultado satisface las condiciones del problema.

De esta manera, cuando la temperatura es de 18°C, los grillos chirrían unas 95

veces por minuto.

Tu respuesta es razonable pues 95 se encuentra entre 47 y 109, y es más cercano

a este último número.

Actividades de refuerzo.

Te propongo los siguientes problemas de aplicación para que compruebes si el

aprendizaje que adquiriste te fue significativo. Si no ocurre lo anterior te sugiero

consúltame para que te aclare las dudas que tengas o te repita nuevamente los

procesos que no asimilaste, esto lo palearemos fuera de horario de calse.

1) Se ha visto en el atletismo que ciertos records en las carreras han cambiado

con el tiempo de acuerdo con funciones lineales. En 1920 el record de los 100

metros planos era de 10.43 segundos.

En 1983 era de 9.93 segundos. Sea R el record en los 100 metros planos y t el

número de años transcurridos desde 1920.

a) Ajusta una función lineal a los datos.

b) Utiliza la función para predecir el record en el año 2000; en el año 2050.

c) ¿En qué año el record será de 9 segundos?

2) Un experimento químico generó las siguientes temperaturas para una solución

respecto al tiempo.

a) Si una función lineal se ajusta a los datos, determínala.

Tiempo ( minutos) 5 15 25 30 32

Temperatura ( °F ) 75 130 175 200 210

135

b) Predice la temperatura de la solución después de 8 minutos.

c) Predice el tiempo que tardará la temperatura en alcanzar los 60°F.

Directrices para que encuentres funciones lineales.

a) Representa gráficamente los datos.

b) Si los datos se encuentran aproximadamente sobre una recta, se puede utilizar

una función lineal.

c) Traza una recta de modo que aproximadamente la mitad de los puntos se

encuentren por encima de ella y la otra mitad por debajo.

d) encuentra las coordenadas de dos de los puntos dados que se encuentren

sobre o muy cerca de la recta.

e) Recurre a la ecuación de los datos para encontrar una función lineal.

3) El costo del transporte en taxi es de $30 por el primer �

�de milla. Por tres millas

el costo es de $86.

a) Ajusta una función lineal a los puntos dados.

b) utiliza una función lineal para encontrar el costo de un viaje de 7 millas.

c) ¿Qué distancia puede viajar una persona por $400?

4) Si rentas un automóvil por un día y Ingreso 100 kilómetros, el costo es de $600.

Si viajas 150 kilómetros, el costo es de $750.

a) Ajusta una función lineal a los datos dados.

b) Utiliza la función para calcular cuánto costará rentar el automóvil p0r un día

para realizar un viaje de 200 kilómetros.

5) Un contador determinó cinco pagos diferentes de impuestos en un año

específico. Éstos eran los impuestos municipales para cinco ingresos distintos.

Ingreso (en miles de dólares ) 8 15 25 40 75

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Impuestos ( en dólares) 24 70 180 300 560

a) Si una función lineal se ajusta a los datos, determínela.

b) Predice el impuesto que se debe pagar a un ingreso 55000 dólares.

c) Predice el ingreso correspondiente a un impuesto de 240 dólares.

6) Usa los datos de cada tabla y represéntalos en el plano cartesiano.

1)

x 1 2 3 4 5

y 2 -3 8 9 -25

a) Ajusta los datos a una función lineal.

b) Predice para que valor de x es y igual 15.

c) Predice para que valor de y es x igual a 8.

2)

x 1 2 3 4 5

y 21 15 12 9 7

a) Ajusta los datos a una función lineal.

b) Predice para que valor de x es y igual 15.

c) Predice para que valor de y es x igual a 10.

7) Grafica en el plano cartesiano los datos de la siguiente tabla.

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Longitud y masa de los huevos de ave.

a) Traza una recta de ajuste

b) Escribe su ecuación.

c) Usa la ecuación para predecirla masa de un huevo que tiene 8 centímetros de

largo.

8) Grafica en el plano cartesiano los datos de la siguiente tabla.

Calorías y grasa en comidas rápidas seleccionadas.

Grasa (gramos). 6 7 10 19 20 27 36

Calorías. 276 260 220 388 430 550 633

a) Traza una recta de ajuste

b) Escribe su ecuación.

Tipo de huevo. Longitud (cm). Masa (gramos).

Golondrina. 1.9 2.0

Vencejo. 2.5 3.6

Tórtola. 3.1 9.0

Perdiz. 3.6 14.0

Búho. 3.9 20.7

Golondrina. 4.0 19.0

Gallina pequeña. 5.3 42.5

Garza. 6.0 60.0

Gallina grande. 6.3 63.8

138

c) Calcula el número de calorías en comidas rápidas seleccionadas.

9) Estudios realizados por el célebre italiano Leonardo da Vinci, sobre las

proporciones humanas, indican que la estatura y la envergadura (distancia que

hay, con los brazos extendidos, entre las puntas de los dedos de ambas manos)

de una persona son prácticamente iguales.

Los registros a continuación contienen las estaturas y envergaduras (en pulgadas)

de un grupo de 28 personas.

Datos (estatura, envergadura):

(60,61), (65,65), (68,67), (72,73), (61,62), (63,63), 70,71),

(75,74), (71,72), (62,60), (65,65), (66,68), (62,62), (72,73),

(70,70), (69,68), (69,70), (60,61), (63,63), (64,64), (71,71),

(68,67), (69,70), (70,72), (65,65), (64,63), (71,70), (67,67).

Representa en un plano cartesiano los puntos que corresponden a estas

mediciones.

Observa detenidamente la forma de la nube de puntos que acabas de representar.

Según lo que has aprendido de las gráficas de funciones lineales.

a) Escribe un modelo lineal (función lineal) que se ajuste al conjunto de datos.

b) Predice la envergadura para una persona que tiene una estatura de 50

pulgadas.

c) Predice la estatura para una persona cuya envergadura es de 77 pulgadas.

10) a) Haz Una gráfica con los datos de la temperatura promedio del mes de julio

y la precipitación anual de las ciudades de la siguiente tabla.

139

Ciudad Temperatura promedio

de julio (ºF).

Precipitación promedio

anual (pulgadas).

Nueva York 76.4 42.8

Baltimore 76.8 41.84

Atlanta 78.6 48.61

Jacksonville 81.3 52.76

Washington, D.C. 78.9 39.00

Boston 73.5 43.81

Miami 82.5 57.55

b) Halla una función lineal que se ajuste a los datos dados.

c) Calcula el promedio de precipitación para una ciudad con una temperatura

promedio de 75º F en julio.

11) Los estudiantes midieron los diámetros y circunferencias de las partes

superiores de diversos cilindros. A continuación aparecen los datos que reunieron.

Diámetro

(en centímetros)

3 3 5 6 8 8 9.5 10 10 12

Circunferencia

(en centímetros)

9.3 9.5 16 18.8 25 25.6 29.5 31.5 30.9 39.5

a) Representa gráficamente los datos.

b) Halla el modelo lineal que mejor se ajusta a los datos dados.

c) ¿Qué significa la pendiente de la función?

140

d) Halla el diámetro de un cilindro con una circunferencia de 45 centímetros.

e) Halla la circunferencia para un cilindro que tiene un diámetro 15 centímetros.

12) Compras una tarjeta telefónica de $240. Cada minuto cuesta $6.

a) Elabora una tabla para el valor de la tarjeta después de hablar por teléfono

durante 0, 10, 20, 30, 40 y 50 minutos.

b) Según la tabla, ¿Cuál es el valor de la tarjeta después de haber hablado durante

30 minutos?

c) Si quedan $180 en la tarjeta, ¿durante cuántos minutos se ha hablado?

d) Si quedan $40 en la tarjeta, ¿durante cuántos minutos se ha hablado?

e) ¿Cuál es la intersección en el eje x en la gráfica de los datos de la tabla?

f) ¿Qué significado tiene, si es que hay, intersección con el eje x?

g) ¿Cuál es la intersección con el eje y de la gráfica de los datos de la tabla?

h) ¿Qué significado tiene, si existe dicha intersección?

i) ¿Qué ecuación describe el valor de la tarjeta después de hablar por teléfono

durante x minutos?

Compara funciones lineales.

1) A un individuo que aspira a un puesto de ventas se le ofrecen dos planes

alternos de pago salarial.

Plan A: Un salario base de $12000 mensuales más una comisión del 4% de las

ventas totales durante el mes.

Plan B: Un salario base $14000 al mes más una comisión del 4% de las ventas

totales durante el mes.

a) Para cada plan, formula una función que exprese los ingresos mensuales como

una función del

total de ventas x.

b) ¿Para qué volumen de ventas es preferible el plan B?

c) ¿Para qué volumen de ventas es preferible el plan A?

141

d) ¿En algún momento los salarios para cada plan serán los mismos?

2) Un antropólogo puede utilizar funciones lineales para estimar la estatura de un

hombre o una mujer, dada la longitud de ciertos huesos. El húmero es el hueso

del brazo entre el hombro y el codo. La altura, en centímetros, de un hombre con

un húmero de longitud x está dada por M(x) = 2.89x + 70.64. La estatura, en

centímetros de una mujer con un húmero de longitud x dada por F(x)

= 2.75x + 71.48. En algunas ruinas, se han encontraron húmeros de longitud de

45 centímetros.

a) Suponiendo que el hueso pertenecía a un hombre, ¿Cuál era su estatura?

b) Suponiendo que el hueso pertenecía a una mujer, ¿cuál era su estatura?

c) ¿Para qué estatura serían iguales la longitud del húmero de una mujer y la

longitud del húmero de un hombre.

3) Supón que tiene que elegir entre las siguientes compañías para rentar un

automóvil. Puedes suponer que el costo de la gasolina será el mismo.

Compañía A: $600 por día y $2 por milla.

Compañía B: $280 por día y $3 por milla.

Determina a cuál compañía acudirías en cada situación. Justifica tu elección.

a) Necesitas rentar un automóvil durante 3 días para un viaje de 375 millas.

b) necesitas rentar un automóvil durante 3 días para un viaje de 1200 millas.

c) Necesitas rentar un automóvil durante 12 días para un viaje de 3000 millas.

d) ¿Cuál es la cantidad en millas por día para la que una compañía se convierte

en una mejor elección que la otra?

e) La compañía C cobra $500 por día más $4 por milla, pero las primeras 100

millas no se pagan.

¿Para cuáles situaciones en los incisos a), b) y c) sería más económica la

compañía C?

4) Los productos farmacéuticos deben especificar las dosis recomendadas para

adultos y niños.

142

Dos fórmulas que permiten modificar las dosificaciones en adultos y niños son:

Regla de Couling: � =�

��(� + �)�

Regla de Friend: � =�

��

Donde a denota la dosis para adulto (�� ) y t, la edad de los niños (�� ñ��).

a) Si a=100, grafica las dos ecuaciones lineales en el mismo plano coordenado

para� ≤ � ≤ ��

b) ¿Para qué edad las dos ecuaciones especifican la misma dosis?

5) Un economista modela el mercado del trigo mediante las funciones lineales

siguientes:

Función de oferta: f(p) = 8.33p – 14.58

Función de demanda: f(p) = - 1.39p + 23.35

Aquí p es el precio por bushel (en dólares) f(p) la cantidad de busheles producidos

y vendidos (en millones).

a) ¿En qué punto el precio es tan bajo que no se produce trigo?

b) ¿En qué punto el precio es tan elevado que no se vende trigo?

c) Trace la gráfica de las rectas de oferta y demanda en el mismo plano cartesiano

y determine el punto de equilibrio. Estime el precio de equilibrio y las cantidades

producidas y vendidas en ese punto.

6) Los talleres aplicación están modificando los salarios de sus empleados. La

administración está considerando dos planes, ambos en base en un salario fijo

más una comisión en porcentaje por ventas al menudeo. El plan A $6000 de

salario más 6% de ventas, y el pan B $3000 de salario más 10% de ventas.

a) Escribe un modelo lineal para cada uno de los planes.

b) Traza cada una de las gráficas para cada modelo lineal en el mismo plano

cartesiano.

c) ¿Para qué nivel de ventas serán iguales los planes?

d) ¿Bajo qué condiciones preferiría un empleado el plan A?

e) ¿Qué tipo de empleado preferiría el plan B?

143

7) Martin sale de su casa a las 7 a.m. en su bicicleta y circula a 20 millas por hora.

Juan sale de la misma casa dos horas después en un auto y circula a 45 millas

por hora a lo largo de la ruta de Martin. Sea t la entrada del número de horas

después de las 7 a.m., y sea d la salida en millas, con d = vt.

a) Trazar una gráfica para cada persona, que muestre la distancia en millas que

recorre cada una entre las 7 a.m. y el mediodía.

b) ¿Cuál ecuación describe la distancia de Martin desde casa?

c) ¿Cuál ecuación describe la distancia de Juan desde casa?

d) ¿Cuál es la intersección de las dos gráficas?

e) ¿Qué significado tiene dicha intersección?

f) ¿Quién tiene la gráfica con mayor pendiente Martin o Juan? ¿Por qué?

g) ¿Por qué empieza la gráfica de Juan en (2, 0) y no en el origen?

Propuesta para evaluarte sobre el tema de funciones lineales.

Para evaluar los aprendizajes de la unidad te recomendamos resuelvas el

siguiente cuestionario.

Propuesta de examen para evaluar los conocimientos que adquiriste por en el

tema.

Nombre del alumno: ___________________________________ Grupo:

______

Número de cuenta: __________________ Calificación: ________

Instrucciones: Resuelva cada uno de los siguientes problemas.

1) Halla la tasa de cambio para situación.

144

a) Crecer de 1.4 metros a 1.6 metros en un año.

b) Recorrer 3 millas en 15 minutos y 7 millas en 55 minutos.

c) Leer 8 páginas en 9 minutos y 22 páginas en 30 minutos.

2) Representa gráficamente cada función sin tabular, solamente haciendo uso la

razón de cambio y de la condición inicial.

a) � =�

�� + � b) � = −

�

�� − �

3) Relaciona cada ecuación con su gráfica cada marca de la escala representa

una unidad.

1) 2)

4) Escribe una ecuación para la recta con la razón de cambio y la condición inicial

dada.

a) m = -7, b = -1/3 b) m = 8/3, b = 2/3

5) Una tienda de música está ofreciendo cupones de promoción para sus CD. El

precio normal de un CD es de $280. Con un cupón los clientes obtienen un

descuento de $80 del total de la compra.

145

a) Escriba el modelo lineal que resuelve el problema, donde c es la cantidad de

CD y t el costo total de la compra.

b) Representa gráficamente la ecuación.

c) Halla en costo total por la venta de 6 CD.

6) Grafica los datos de la siguiente tabla.

� 1 2 3 4 5

� 2 − 3 8 9 − 25

7) ¿Es mejor alquilar un helicóptero a un consto de $1625 por día, con un cargo

por distancia de $50 por kilómetro o a $2000 por día con una distancia permitida

ilimitada? Justifica tu respuesta.

con las siguientes actividades aprenderás el concepto … · introducción: la razón de cambio te...

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