comportamiento mec anico de la aorta ascendente...

Universidad Politecnica de Madrid

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos,Canales y Puertos

Comportamiento Mecanico dela Aorta Ascendente:

Caracterizacion Experimental ySimulacion Numerica

Tesis doctoral

Claudio Garcıa HerreraIngeniero Civil Mecanico

Madrid, Julio 2008

Departamento de Mecanica de MediosContinuos y Teorıa de Estructuras

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos,Canales y Puertos

Universidad Politecnica de Madrid

Comportamiento Mecanico dela Aorta Ascendente:

Caracterizacion Experimental ySimulacion Numerica

Tesis Doctoral


Directores: Jose Marıa Goicolea RuigomezGustavo Guinea Tortuero

Doctores Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Madrid, Julio 2008

Comportamiento Mecanico de la Aorta Ascendente: Caracterizacion Experimental y Si-mulacion Numerica

Tesis DoctoralUniversidad Politecnica de Madrid

Madrid, Julio 2008

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Director: Jose Marıa Goicolea RuigomezDoctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Director: Gustavo Guinea TortueroDoctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos

Escuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y PuertosDepartamento de Mecanica de Medios Continuos y Teorıa de Estructuras

Universidad Politecnica de MadridProfesor Aranguren s/nMadrid 28040

Telefono: (+34) 91 336 5358Fax: (+34) 91 336 6702Correo electronico: [email protected] web: http://w3.mecanica.upm.es/∼clausiux

Tribunal nombrado por el Mgfco. y Excmo. Sr. Rector de la

Universidad Politecnica de Madrid, el dıa . . . . . . . . . . . . . . . . . .

de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 2008.

Presidente D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vocal D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Secretario D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Realizado el acto de defensa y lectura de la Tesis el dıa . . . . . . . . .

de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de 2008

en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Calificacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

EL PRESIDENTE LOS VOCALES

EL SECRETARIO

Dedicado a mis padres y hermanos

Resumen

En este trabajo se realiza una caracterizacion experimental y numericadel comportamiento mecanico de la pared de la aorta humana.

Se destaca la importancia de este tema debido al creciente interes en co-nocer las propiedades y la respuesta mecanica de los vasos sanguıneos por suaplicacion en el tratamiento y diagnostico de las enfermedades cardiovascu-lares.

En el presente trabajo se introducen algunos aspectos de los tejidos arte-riales y caracterısticas generales de las patologıas mas frecuentes en la aor-ta. Ademas se incluye una recopilacion breve del estado del arte sobre elcomportamiento mecanico de estos vasos. Tambien se describen los modelosconstitutivos de comportamiento no lineal (con grandes deformaciones) e hi-perelasticos utilizados para la simulacion numerica de la pared arterial, enuna formulacion implementable en un programa de elementos finitos.

Se han realizado una serie de experimentos para caracterizar la respuestamecanica de vasos arteriales. Se llevaron a cabo ensayos de traccion, presuri-zacion, medicion del angulo de apertura e histologıa en paredes de aorta condiferentes antecedentes clınicos.

Mediante los ensayos se ajustaron los parametros de los modelos cons-titutivos y se obtuvieron otros parametros mecanicos de interes, como lastensiones y deformaciones de rotura. Con ellos se ha cuantificado el efecto dela patologıa y la edad en la respuesta mecanica de este tipo de tejidos.

Empleando los modelos ajustados en los ensayos de traccion uniaxial seha realizado la simulacion de diversos ensayos de presurizacion, validandosecon las mediciones efectuadas en este mismo trabajo.

Finalmente, tambien se ha llevado a cabo el analisis numerico de un ca-yado aortico en condiciones de funcionamiento fisiologico normales, de hiper-tension o en condiciones mas severas provocadas por un trauma o accidente.

vii

Abstract

This thesis shows an experimental and numerical characterization of themechanical behaviour of the human aortic wall.

This subject is of paramount importance due to the increasing interest inthe mechanical properties and response of blood vessels, in order to improvethe treatment and diagnose of cardiovascular diseases.

In the present work, some aspects of arterial tissues are presented andthe general characteristics of the aorta’s most common pathologies are dis-cussed. In addition, a brief summary of the state of the art on the mechanicalbehaviour of these vessels is included.

A series of experiments have been done in order to characterize the me-chanical response of the blood vessels. Four different types of experimentswere performed on samples of human aorta with different clinical histories:uniaxial tensile tests, pressurization tests, measurement of the opening angleand histology.

The parameters of some constitutive models were obtained adjusting theirresponse to the experimental data from the uniaxial tests. Other mechanicalparameters such as strength and deformation at rupture were also obtained.

In order to simulate numerically the arterial wall response, two cons-titutive models with nonlinear (with large deformations) and hyperelasticbehaviour, in the context of the continuum mechanics, are described. Theseformulations have been implemented in a finite element code.

Pressurization tests have been simulated using the constitutive modelspreviously tunned with the uniaxial tensile tests. The accuracy of these si-mulations was checked with the experimental data obtained in this thesis.

Finally, numerical analyses of the mechanical response of an aortic archin different situations were carried out: in normal physiological conditions,with hypertension and in more severe conditions caused by a trauma or anaccident.

ix

Indice general

Resumen vii

Abstract ix

Indice de figuras xv

Indice de cuadros xxiii

Indice de sımbolos xxvii

1. Introduccion 11.1. Introduccion y Motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Bases fisiologicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Contenido del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Antecedentes 72.1. Comportamiento mecanico de la pared arterial . . . . . . . . . 7

2.1.1. Estructura y composicion de la pared aortica sana . . . 72.1.2. Comportamiento activo y pasivo . . . . . . . . . . . . . 102.1.3. Crecimiento y remodelacion . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4. Cargas actuantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.5. Descripcion del comportamiento pasivo sano . . . . . . 122.1.6. Descripcion del comportamiento pasivo enfermo . . . . 132.1.7. Ensayos estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.1.8. Ensayos dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Modelos constitutivos de la pared arterial . . . . . . . . . . . . 182.2.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2. Modelos independientes del tiempo . . . . . . . . . . . 212.2.3. Modelos dependientes del tiempo . . . . . . . . . . . . 27

2.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

xi

xii Indice general

3. Trabajo experimental 293.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Descripcion del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1. Tejidos sanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2.2. Pacientes con problemas valvulares aorticos . . . . . . 323.2.3. Pacientes con problemas de valvula bicuspide . . . . . 343.2.4. Pacientes con dilataciones severas (aneurismas) . . . . 373.2.5. Pacientes con mal de Marfan . . . . . . . . . . . . . . . 393.2.6. Protocolo de obtencion de muestras . . . . . . . . . . . 40

3.3. Ensayos de traccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.1. Objetivos del ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.2. Interpretacion del ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.3. Caracterısticas de las probetas . . . . . . . . . . . . . . 423.3.4. Protocolo de los ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.4. Ensayos de presurizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.1. Objetivos del ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.2. Interpretacion del ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.3. Caracterısticas de las probetas . . . . . . . . . . . . . . 453.4.4. Montaje de los ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.5. Ensayo de medida de tensiones residuales . . . . . . . . . . . . 483.5.1. Interpretacion del ensayo . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.2. Montaje de los ensayos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6. Analisis histologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.7. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4. Analisis de los resultados experimentales 534.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. Analisis del ensayo de traccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.1. Parametros de analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2.2. Resultados de los ensayos de traccion . . . . . . . . . . 56

4.3. Analisis del comportamiento presion–diametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.3.1. Parametros de analisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.2. Resultados de los ensayos de presurizacion . . . . . . . 75

4.4. Analisis del ensayo de tensiones residuales . . . . . . . . . . . 784.5. Analisis histologico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.6. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5. Modelos Numericos 975.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2. Implementacion de los modelos constitutivos . . . . . . . . . . 98

Indice general xiii

5.2.1. Implementacion del modelo de Demiray . . . . . . . . . 985.2.2. Implementacion del modelo de Holzapfel . . . . . . . . 995.2.3. Verificacion de la implementacion . . . . . . . . . . . . 99

5.3. Modelo de ajuste no lineal de parametros . . . . . . . . . . . . 1085.3.1. Resultados de los ajustes . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.4. Analisis de los ensayos de traccion . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.5. Simulacion del ensayo de presurizacion . . . . . . . . . . . . . 119

5.5.1. Descripcion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.5.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.6. Simulacion del doblado y presurizado de una aorta . . . . . . 1285.6.1. Presentacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.6.2. Modelizacion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.6.3. Presentacion de los resultados . . . . . . . . . . . . . . 131

5.7. Simulacion del cayado aortico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1355.7.1. Presentacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.7.2. Construccion de la malla . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.7.3. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.7.4. Geometrıa inicial considerando cargas y tensiones . . . 1445.7.5. Modelo constitutivo y criterios de rotura . . . . . . . . 1485.7.6. Presentacion de los resultados . . . . . . . . . . . . . . 148

5.8. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

6. Conclusiones, aportaciones y trabajo futuro 1676.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.2. Principales aportaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696.3. Limitaciones de este trabajo y lıneas futuras de investigacion . 169

A. Calculo del tensor de tensiones y constitutivo 171

B. Calculo de la superficie corporal 175

C. Determinacion de los puntos de funcionamiento fisiologico 177

D. Ensayos de traccion en la aorta descendente (AD) 179

E. Analisis del efecto de las tensiones residuales 185

Bibliografıa 189

Indice de figuras

1.1. Esquema de la aorta (Zamorano y Alberca [2005]). Aaorta ascendente, B arco aortico, C aorta descendente, D aortatoracica, E aorta abdominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Esquema del corazon, arco de la aorta y sus salidas (Putz yPabst [2001]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1. Estructura de la pared de la aorta . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Comportamiento de las fibras elasticas y de colageno por se-

parado y en combinacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3. Cinematica del solido continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Tensiones del solido continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5. Esquema de la distribucion de las fibras de colageno supuestas

por el modelo de Holzapfel y Gasser [2000] . . . . . . . . 262.6. Esquema del modelo generalizado de Maxwell . . . . . . . . . 27

3.1. Segmento de aorta de uno de los donantes sanos analizados . . 313.2. Trozo de aorta de uno de los pacientes del grupo 1 . . . . . . . 343.3. Valvula aortica normal (tricuspide) y patologica (bicuspide) . 353.4. Segmento de aorta ascendente de paciente con valvula bicuspide 363.5. Segmento de aneurisma de aorta ascendente . . . . . . . . . . 383.6. Segmento de aorta ascendente dilatada con el mal de Marfan . 403.7. Esquema de la probeta de traccion, dimensiones en mm . . . . 423.8. Esquema de obtencion de las probetas de pared arterial . . . . 423.9. Direccion de corte de las probetas . . . . . . . . . . . . . . . . 433.10. Montaje y pegado de la probeta en las mordazas . . . . . . . . 433.11. Montaje del ensayo de traccion. A: Salida del suero fisiologico,

B: Probeta, C: Entrada del suero, D: Mordazas de sujecion dela probeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.12. Detalle de la probeta durante el ensayo de traccion . . . . . . 443.13. Esquema del dispositivo experimental empleado en los ensayos

de presurizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

xv

xvi Indice de figuras

3.14. Fotografıa del montaje del experimento de presurizacion . . . 48

3.15. Esquema del ensayo de tensiones residuales . . . . . . . . . . . 49

3.16. Anillo de aorta antes y despues de cortarlo radialmente . . . . 50

3.17. Esquema del corte de las muestras de histologıa, el area som-breada corresponde a la seccion observada en el miscroscopio . 51

4.1. Parametros del ensayo de traccion . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2. Tension en funcion del alargamiento para vasos jovenes (grupoA), las barras corresponden al error estandar. (A): probetasorientadas en direccion longitudinal (0o). (B): probetas orien-tadas en direccion circunferencial (90o). Los puntos correspon-dientes al funcionamiento en el vaso se indican mediante cırcu-los negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3. Tension en funcion del alargamiento para vasos de edad adul-ta (grupo B), las barras corresponden al error estandar. (A)probetas orientadas en direccion longitudinal (0o). (B) probe-tas orientadas en direccion circunferencial (90o). Los puntoscorrespondientes al funcionamiento en el vaso de indican me-diante cırculos negros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4. Tension en funcion del alargamiento para vasos de edad ma-yor (grupo C), las barras corresponden al error estandar. (A)probetas orientadas en direccion longitudinal (0o). (B) probe-tas orientadas en direccion circunferencial (90o). Los puntoscorrespondientes al funcionamiento en el vaso se indican me-diante cırculos negros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.5. Alargamiento de rotura. (A) Tejidos sanos, (B) pacientes conproblemas valvulares y bicuspides, (C) pacientes con aneuris-ma y (D) pacientes con mal de Marfan . . . . . . . . . . . . . 63

4.6. Tension de rotura. (A) tejidos sanos, (B) pacientes con pro-blemas valvulares y bicuspides, (C) pacientes con aneurismay (D) pacientes con mal de Marfan . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.7. Tension de Cauchy de rotura en funcion de la edad para todoslos grupos de vasos (probetas circunferenciales) . . . . . . . . 65

4.8. Comparacion del punto de rotura con el punto de funciona-miento (calculado para p=100 mmHg). (A) Cociente alarga-miento de rotura – alargamiento fisiologico. (B) Cociente ten-sion de rotura – tension fisiologica. Los valores se expresanen % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Indice de figuras xvii

4.9. Alargamiento λ1 del punto de cambio de pendiente (codo) dela curva tension–alargamiento. (A) Tejidos sanos, (B) pacien-tes con problemas valvulares y bicuspides, (C) pacientes conaneurisma y (D) pacientes con mal de Marfan . . . . . . . . . 69

4.10. Tension σ1 del punto de cambio de pendiente (codo) de la cur-va. (A) Tejidos sanos, (B) pacientes con problemas valvularesy bicuspides, (C) pacientes con aneurisma y (D) pacientes conmal de Marfan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.11. Pendiente en la primera parte de la curva tension–alargamientoE1. (A) Tejidos sanos, (B) pacientes con problemas valvularesy bicuspides, (C) pacientes con aneurisma y (D) pacientes conmal de Marfan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.12. Pendiente en la segunda parte de la curva tension–alargamientoE2. (A) Tejidos sanos, (B) pacientes con problemas valvularesy bicuspides, (C) pacientes con aneurisma y (D) pacientes conmal de Marfan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.13. Presion interior en funcion del alargamiento circunferencial λθpara dos alargamientos axiales λz. Aortas descendentes (AD)sanas jovenes (cuadro 3.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.14. Presion interior en funcion del alargamiento circunferencial λθpara dos alargamientos axiales λz. Aortas descendentes (AD)sanas adultas (cuadro 3.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.15. Angulo de apertura de aortas ascendentes. La lınea negra indi-ca la capa ıntima. A-D angulos medidos tıpicos. (A) α = 130o

paciente sano adulto, (B) α = 238o paciente bicuspide adulto,(C) α = 227o paciente con aneurisma adulto, (D) α = 42o

paciente con mal de Marfan adulto. (E) anillo abierto en queel angulo no puede medirse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.16. Angulo de apertura en funcion de la edad de los pacientes. Larecta de ajuste ha sido calculada con todos los vasos . . . . . . 80

4.17. Esquema del problema y sus variables en la configuracion dereferencia (izquierda), configuracion cerrada sin presion (cen-tro) y con una presion interior de 100 mmHg (derecha) . . . . 81

4.18. Tension circunferencial en la parte interna de la pared del vasoen funcion del angulo de apertura para una presion interior de100 mmHg. Los puntos indican el valor medio experimental deα medido en los vasos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.19. Tension circunferencial en la parte externa de la pared del vasoen funcion del angulo de apertura para una presion interior de100 mmHg. Los puntos indican el valor medio experimental deα medido en los vasos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

xviii Indice de figuras

4.20. Diferencia de tensiones circunferenciales en funcion del angu-lo de apertura, para una presion interior de 100 mmHg. Lospuntos indican el valor medio experimental de α medido enlos vasos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.21. Tensiones circunferencial promedio en el interior de la pareddel vaso en funcion del angulo de apertura, para una presioninterior de 100 mmHg. Los puntos indican el valor medio ex-perimental de α medido en los vasos. . . . . . . . . . . . . . . 85

4.22. Estructura de la pared de la aorta (X4), el eje del vaso esperpendicular a la figura. Las fibras de elastina se muestranen color rojo-anaranjado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.23. Estructura de la pared de la aorta en tejidos sanos (X20).Izquierda: cortes circunferenciales (A,C), Derecha: cortes lon-gitudinales (B,D). En la zona inferior se muestra un esquemade los principales elementos presentes en las imagenes . . . . . 88

4.24. Estructura de la pared de la aorta en pacientes con valvu-la bicuspide (X20). Izquierda: cortes circunferenciales (A,C),Derecha: cortes longitudinales (B,D). En la zona inferior semuestra un esquema de los principales elementos presentes enlas imagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.25. Estructura de la pared de la aorta en tejidos aneurismaticos(X20). Izquierda: cortes circunferenciales (A,C), Derecha: cor-tes longitudinales (B,D). En la zona inferior se muestra unesquema de los principales elementos presentes en las imagenes 91

4.26. Estructura de la pared de la aorta de pacientes con mal deMarfan (X20). Izquierda: cortes circunferenciales (A,C), De-recha: cortes longitudinales (B,D). En la zona inferior se mues-tra un esquema de los principales elementos presentes en lasimagenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.27. Estructura de la pared de la aorta grupo 4 (Marfan) (X10). Eleje del vaso es perpendicular a la figura . . . . . . . . . . . . . 94

5.1. Esquema del elemento utilizado en la simulacion para el casode traccion uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.2. Ensayo de traccion uniaxial: Solucion analıtica y resultado delmodelo de elementos finitos (MEF) con el material de Demiray 103

5.3. Material de Holzapfel sometido a un estado de traccion uniaxial103

5.4. Ensayo de traccion uniaxial: Solucion analıtica y del modelode elementos finitos (MEF) con el material de Holzapfel . . . . 105

5.5. Esquema del modelo del cilindro con simetrıa axial . . . . . . 105

Indice de figuras xix

5.6. Cilindro sometido a presion interna: Solucion analıtica y re-sultado del modelo de elementos finitos (MEF) con el materialde Demiray . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.7. Cilindro sometido a presion interna: Solucion analıtica y re-sultado del modelo de elementos finitos (MEF) con el materialde Holzapfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.8. Ajuste de parametros: Curvas tension–alargamiento para teji-dos sanos y jovenes (grupo 0-A). Las barras corresponden alerror estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.9. Ajuste de parametros: Curvas tension alargamiento pacientescon mal de Marfan y adultos (grupo 4-B), las barras corres-ponden al error estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.10. Calculo del alargamiento usando la distancia entre los puntosl1 o usando la distancia entre mordazas l2 . . . . . . . . . . . 115

5.11. Fotografıas de la probeta durante el ensayo para diferentesniveles de alargamiento λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.12. Tension de Cauchy en funcion del alargamiento. Modelo unia-xial ecuacion (5.3). Midiendo la deformacion a traves de pun-tos en la zona central de la probeta. Midiendo la deformacioncon el desplazamiento de mordazas. Simulacion numerica ymedidas experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.13. Error en la obtencion del alargamiento en funcion de la ten-sion de Cauchy, para los resultados experimentales y para lasimulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.14. Contornos de la segunda componente del tensor de tension deCauchy en [Pa]. (A) Configuracion de la probetal al final delapriete, (B) y al final del ensayo de traccion . . . . . . . . . . 119

5.15. Ensayo de presurizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.16. Modelo utilizado para la simulacion del ensayo de presurizacion122

5.17. Malla utilizada para la simulacion del ensayo de presurizacion 123

5.18. Vaso PH54, curva presion diametro para λz = 1,1 . . . . . . . 124



5.21. Configuracion deformada de la arteria para los ensayos con di-ferentes alargamientos λz al aplicar una presion de 200 [mm-Hg], con los modelos constitutivos de Demiray (D) y Holzapfel(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.22. Comparacion de la configuracion deformada de la arteria paraun alargamiento λz = 1,3 al aplicar una presion de 200 [mmHg]126

5.23. Vaso PH31, curva presion–diametro para λz = 1,3 . . . . . . . 127

xx Indice de figuras

5.24. Fotografıas del vaso utilizado en el ensayo. A vaso en estadooriginal. B vaso parcialmente montado. C segmento montadoy fijado, vista frontal. D segmento montado y fijado, vistaposterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.25. Situacion fısica del problema de doblado-estirado, I doblado,II estirado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.26. Malla utilizada para el ensayo de doblado y presurizado . . . . 130

5.27. Condiciones de contorno utilizadas en la modelacion . . . . . . 131

5.28. Curva presion–diametro de la seccion central, ensayo dobladoy presurizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

5.29. Fotografia de la configuracion deformada en el experimento(izquierda) y la obtenida en la simulacion (derecha) . . . . . . 132

5.30. Configuracion deformada de la arteria para diferentes pasosde carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.31. Distribucion de la tension principal maxima σ1 [Pa] . . . . . . 134

5.32. Situacion de la aorta con el corazon (Vilacosta [2003]). (A)corte del corazon y la aorta. (B) Detalle de la raız aortica . . . 137

5.33. Cayado aortico de un donante. A Vista lateral. B Vista superior138

5.34. Cayado aortico humano. (A) dispocion encontrada en un 13 %de pacientes humanos (Putz y Pabst [2001]), (B) dispocionencontrada en un 2,4 a un 5 % de pacientes obtenida in-vivopor resonancia magnetica (Al-Okaili y Schwartz [2007]) . 138

5.35. Cayado aortico del paciente tipo analizado y sus dimensionesmas importantes en mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.36. Detalle de la generacion de la geometrıa de la bifurcacion dela carotida comun con el cayado aortico . . . . . . . . . . . . . 140

5.37. Malla del cayado aortico y sus salidas . . . . . . . . . . . . . . 141

5.38. Movimiento de la raız aortica (Beller et al. [2004]) . . . . 142

5.39. Condiciones de contornos consideradas en las simulaciones numeri-cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.40. Malla en la configuracion sin cargas (0 mmHg) y deformada(80 mmHg), sin considerar tensiones iniciales . . . . . . . . . . 145

5.41. Representacion esquematica del diagrama presion–diametro . . 145

5.42. Esquema de la directriz de la aorta y sus tangentes . . . . . . 146

5.43. Orientaciones asignadas al cayado aortico. A trozo de la aortaascendente, B Detalle de las orientaciones asignadas . . . . . . 147

5.44. Malla del codo considerando tensiones iniciales. A Configura-cion deformada e inicial. B Magnitud del desplazamiento enm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Indice de figuras xxi

5.45. Variacion porcentual del diametro en el cayado aortico en laconfiguracion deformada a 80 mmHg para un paciente joveny sano. Las discontinuidades de la curva corresponden a lasarterias de salida del arco aortico . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.46. Malla original y deformada a 80 mmHg considerando tensionesiniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.47. Mapa de la magnitud de los desplazamientos (en m) en laconfiguracion deformada a 120 mmHg para un paciente joveny sano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.48. Configuracion deformada a 120 mmHg para un paciente joveny sano. A tensiones principales maximas en Pa, B alargamien-tos principal maximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.49. Indice de fallo en la configuracion deformada a 120 mmHgpara un paciente joven y sano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.50. Tensiones (en Pa) y alargamientos principales en la configu-racion deformada a 160 mmHg. A y B paciente joven sano, CyD paciente mayor sano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.51. Indice de fallo (IF ) en la configuracion deformada a 160 mm-Hg. A Paciente joven y sano, B Paciente mayor y sano . . . . 157

5.52. Corte longitudinal de la aorta ascendente en la configuraciondeformada a 160 mmHg para un paciente joven y sano. Atensiones radiales en Pa, B tensiones circunferenciales en Pa,C tensiones longitudinales en Pa . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

5.53. Corte longitudinal de la aorta ascendente en la configuraciondeformada a 160 mmHg para un paciente mayor y sano. Atensiones radiales en Pa, B tensiones circunferenciales en Pa,C tensiones longitudinales en Pa . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.54. Esquema de las acciones que actuan sobre la aorta en un trau-ma o diseccion (Richens et al. [2002]) . . . . . . . . . . . . 160

5.55. Tensiones (en Pa) y alargamientos principales en la configura-cion deformada, paciente joven . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.56. Tensiones (en Pa) y alargamientos principales en la configura-cion deformada, paciente mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.57. Indice de fallo (IF ) en la configuracion deformada. A: pacientejoven sano, B: paciente mayor sano . . . . . . . . . . . . . . . 164

C.1. Determinacion de los puntos de funcionamiento del vaso atraves de la interseccion de la ecuacion (4.1) pag. 55 con lacurva de tension–alargamiento del ensayo de traccion uniaxialpara tejidos de aorta ascendente de edad joven. Las barrascorresponden al error estandar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

xxii Indice de figuras

D.1. Tension en funcion del alargamiento para tejidos de aorta des-cendente de edad joven y adulta, las barras corresponden alerror estandar. (A) probetas orientadas en direccion longitudi-nal (0o). (B) probetas orientadas en direccion circunferencial(90o). Los puntos correspondientes al funcionamiento en el va-so se indican mediante cırculos negros. . . . . . . . . . . . . . 180

D.2. Tension en funcion del alargamiento para el vaso PH54 (aortadescendente), las barras corresponden al error estandar . . . . 182

D.3. Tension en funcion del alargamiento para el vaso PH31 (aortadescendente), las barras corresponden al error estandar . . . . 183

D.4. Tension en funcion del alargamiento para el vaso PH23 (codode aorta), las barras corresponden al error estandar . . . . . . 183

E.1. Esquema del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Indice de cuadros

3.1. Clasificacion de los vasos por patologıas y edades . . . . . . . 31

3.2. Informacion de los donantes de aorta, sanos y jovenes . . . . . 32

3.3. Informacion de los donantes de aorta, sanos y adultos . . . . . 33

3.4. Informacion de los donantes de aorta, sanos y mayores de 65anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5. Informacion de los pacientes adultos con problemas valvularesaorticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.6. Informacion de los pacientes mayores de 65 anos con problemasvalvulares aorticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.7. Informacion del paciente joven de 36 anos con valvula bicuspide 36

3.8. Informacion de los pacientes adultos con valvula bicuspide . . 37

3.9. Informacion de los pacientes mayores de 65 anos con valvulabicuspide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.10. Informacion del paciente joven con aneurisma . . . . . . . . . 38

3.11. Informacion de los pacientes adultos con aneurismas . . . . . . 39

3.12. Informacion de los pacientes mayores de 65 anos con aneurismas 39

3.13. Informacion de los pacientes adultos con mal de Marfan . . . . 40

4.1. Diametro (D) y espesor (H) de los vasos jovenes . . . . . . . . 58

4.2. Diametro (D) y espesor (H) de los vasos de donantes adultos . 60

4.3. Diametro (D) y espesor (H) de los vasos de mayor edad . . . . 62

4.4. Alargamientos (λrot) y tensiones de rotura (σrot) en kPa . . . . 66

4.5. Parametros mecanicos de los vasos analizados . . . . . . . . . 77

4.6. Parametros de los vasos analizados . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1. Codigo Fortran del material hiperelastico de Demiray . . . . . 99

5.2. Codigo Fortran del material hiperelastico de Holzapfel . . . . . 100

5.3. Parametros del ensayo de traccion . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.4. Parametros de inflado de un cilindro . . . . . . . . . . . . . . 106

5.5. Algoritmo Levenberg-Marquardt de ajuste no lineal . . . . . . 109

xxiii

xxiv Indice de cuadros

5.6. Parametros del modelo de Demiray y coeficiente de correlacionr2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.7. Parametros del modelo de Holzapfel y coeficiente de correla-cion r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.8. Parametros de los modelos de Demiray y Holzapfel (vaso PH54)1215.9. Diametros exteriores y espesores medios (en milımetros) del

cayado aortico y sus salidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.10. Datos geometricos de las arterias a una presion de 80 mmHg

y sus respectivas tensiones introducidas en el modelo . . . . . 149

D.1. Diametro (D) y espesor (H) de los vasos de aorta descendentes 181D.2. Parametros mecanicos para probetas longitudinales . . . . . . 181D.3. Parametros mecanicos para probetas circunferenciales . . . . . 181

Agradecimientos

En primer lugar, deseo expresar mis agradecimientos a las aportaciones demis directores de tesis, los profesores Jose M.a Goicolea Ruigomez y GustavoGuinea Tortuero.

Tambien quisiera agradecer los comentarios y sugerencias en la elabora-cion de la tesis de Francisco Rojo y la colaboracion de Javier Rodrıguez enla parte de simulacion numerica.

Quisiera agradecer la colaboracion durante toda la investigacion del Hos-pital Puerta de Hierro de Madrid y muy especialmente a los medicos RaulBurgos, Carlos Garcıa Montero y a Javier Goicolea.

A los profesores Diego Celentano y Marcela Cruchaga por su apoyo yayuda incondicional. Por la motivacion que me dieron en mis primeros pasoscomo estudiante de postgrado en Chile y su apoyo que me llevo a solicitar labeca para mi doctorado.

Quisiera expresar mi agradecimiento por el apoyo brindado por el progra-ma Alβan de becas de alto nivel de la Union Europea para America Latina,beca No E04D048023CL que brindo el financiamiento de los tres primerosanos (2004-2007) de mi tesis. Tambien quisiera dar mis agradecimientos alCONICYT del Gobierno de Chile que a traves de su programa de becas degestion propia permitio el financiamiento de mi ultimo ano de doctorado(2008).

Me gustarıa agradecer y mencionar a los doctorandos, profesores y perso-nas con quienes compartı el dıa a dıa en la Escuela, entre los que destaco a:Roberto Ortega, Luis Lacoma, Francisco Calvo, Francisco Riquelme, Yolan-da Cabrero, Alvaro Ridruejo, Carlos Zanuy, Javier Oliva, Els Claes, EstherFuentes, Carolina Sanhueza, Felipe Gabaldon, Jose Merodio, Juan CarlosGarcıa Orden y Juan Jose Arribas.

Mis agradecimientos a mi familia y amigos por todo el apoyo, animo ycarino a la distancia durante estos anos en Madrid.

xxv

Indice de sımbolos

δab Delta de Kronecker correspondiente a los ındices a y bA, [Aab] Tensor de segundo orden y componentesA, [Aabcd] Tensor de cuarto orden y componentes1 Tensor identidadA−1 Tensor inverso de AAT Tensor traspuesto de AadjA Tensor adjuntodetA Determinante del tensortrA Traza del tensorcofactorA Tensor cofactorexp Funcion exponencial∇ ·A Divergencia del tensor

t TiempoB Medio continuoΩ Dominio ocupado por el medio continuo en la conf. deformadaΩ0 Dominio ocupado por el medio continuo en la conf. inicial∂Ω Frontera del medio continuo en la conf. deformada∂Ω0 Frontera del medio continuo en la conf. inicialX,x Vectores posicion en las conf. inicial y deformadaXA, xa Coordenadas en las conf. inicial y deformadaX Funcion transformacion del movimiento

Grad, grad Gradientes en las conf. inicial y deformadaF Gradiente de deformacionJ Determinante del jacobiano, coeficiente volumetricoR Tensor rotacionU ,V Tensores de alargamiento derecho e izquierdoλa Alargamientos principalesC, b Tensores de Cauchy-Green por la derecha y por la izquierdaE Tensor de GreenΨ Densidad de energıa libre

xxvii

xxviii Indice de sımbolos

Ia Invariantes y pseudo-invariantes de anisotropıa de CC Tensor de Cauchy-Green por la derecha isocoricoIa Invariantes y pseudo-invariantes de anisotropıa isocoricos

σ Tensor de tensiones de CauchyP ,S Primer y segundo tensores de Piola-KirchhoffC Tensor de elasticidad en las conf. inicial

W Funcion energıa de deformacionWvol Funcion energıa de deformacion volumetricaWiso Funcion energıa de deformacion isocoricaW∞ Funcion densidad de energıa a tiempo infinitoΓa,Qa Variables internas de deformacion y tension.Υa Energıas de disipacion asociadas a variables internasτa, β∞a Tiempos de relajacion y factores de energıa

λz Alargamiento axialλθ Alargamiento circunferencialµ Constante del modelo Neo-HookeanoCrs Constantes del modelo de Mooney-Rivlin generalizadoµm, αm Constantes del modelo de Ogdenc, k1, k2, ϕ Constantes del modelo de Holzapfelκ Parametro de dispersion de las fibras de colagenor Coeficiente de correlacion de PersonsG Modulo de elasticidad transversalF Carga aplicadaA, a Superficies en las conf. inicial y deformadaL, l Longitud en las conf. inicial y deformadau Vector desplazamiento en la configuracion deformadaPi Presion interiorLt, lt Longitud en las conf. inicial y deformada del segmento usado en los ensayos de presurizacionD, d Diametro exterior del vaso en las conf. inicial y deformada

Observaciones:

Algunas notaciones aparecen repetidas, adoptando su significado segunel contexto en el que aparecen.

Salvo excepciones, los ındices de las componentes de vectores o tensoresse denotan con letras mayusculas (A, B, C. . . ) en la configuracionde referencia y con letras minusculas (a, b, c. . . ) en la configuraciondeformada.

Capıtulo 1

Introduccion

1.1. Introduccion y Motivacion

Una de las principales causas de muerte en el mundo son las enfermedadescardiovasculares. En Chile, por ejemplo, son responsables aproximadamentede un 30 % de las muertes en personas mayores de 70 anos (Albornoz[2005]). Tambien son la primera causa de muerte en Espana, y en el ano2006 sumaron el 32,5 % del total (INE [2008]).

Las enfermedades del sistema circulatorio como la aterosclerosis, los aneu-rismas de aorta, la angina de pecho, la diseccion aortica, etc; son cada vezmas frecuentes. Tambien se diagnostican enfermedades geneticas con gravesimplicaciones circulatorias como el mal de Marfan, que provoca el crecimientorapido y excesivo de la aorta inducido por el debilitamiento de su pared.

El conocimiento del comportamiento mecanico de las arterias resulta fun-damental para entender la fisiologıa de nuestro sistema sanguıneo, ası comopara el desarrollo de los tratamientos y tecnicas para enfrentarse a los distin-tos problemas cardiovasculares. Muchos de estos tratamientos (angioplastias,stents, bypass, cambios de valvula aortica) tienen unas indudables implica-ciones mecanicas, ya que suelen aplicar cargas (normalmente presiones) ydeformaciones durante la reparacion o remplazo del vaso enfermo. El analisisde este tipo de procesos es complejo, involucrando diversos aspectos de laingenierıa, entre los que pueden mencionarse: la interaccion fluido estructura(Calvo [2006]; Gao et al. [2006]), modelos constitutivos de biomateriales(Fung [1993]) y mecanica de solidos (Holzapfel [2000]).

Estos hechos justifican el interes de conocer mejor el comportamientomecanico de la pared arterial y desarrollar modelos que evaluen su respuesta,aportando mayor informacion a los medicos para el diagnostico y terapia deeste tipo de patologıas. Dada la relacion existente entre el estado mecanico

1

2 1.2. Bases fisiologicas

y la patologıa cardiovascular, una de las tareas de mayor importancia en eldesarrollo de estos modelos es determinar relaciones fiables entre tensionesy deformaciones (relacion constitutiva) en funcion del grado de enfermedaddel vaso.

Los modelos numericos estan demostrando ser una herramienta muy utilen medicina cardiovascular para la prediccion del comportamiento de los te-jidos y los problemas derivados de las terapias, ası como para el desarrollo yoptimizacion de los tratamientos. No obstante, para obtener resultados fiablesestos modelos necesitan incorporar ecuaciones constitutivas que representende forma adecuada el comportamiento mecanico de la pared arterial (Hump-hrey [1995]; Schulze-Bauer y Holzapfel [2003]; Hayashi [1993]).Para la obtencion de estas ecuaciones es indispensable contar con una exten-sa base de datos experimentales. Sin embargo, hasta ahora, estos datos sonmuy escasos.

Este trabajo pretende llenar el vacıo experimental existente proporcionan-do datos que permitan obtener la ecuacion constitutiva de la pared arterialen funcion del grado de enfermedad. Tambien pretende mostrar como dichosdatos son de utilidad para la modelizacion y estudio numerico del sistemacardiovascular.

1.2. Bases fisiologicas

Los vasos sanguıneos son conductos que llevan la sangre desde el corazona los tejidos y, de regreso, al corazon. El sistema sanguıneo esta formadopor tres grandes tipos de vasos: arterias, capilares y venas. La aorta es laprincipal arteria del cuerpo. Sale directamente del corazon, concretamentedel ventrıculo izquierdo (figura 1.1), y da origen a todas las arterias delsistema circulatorio excepto las pulmonares, que salen del ventrıculo derecho.Termina a nivel de la IV vertebra lumbar, donde se bifurca para dar origena las arterias ilıacas.

El trayecto completo de la aorta permite distinguir en este vaso tres seg-mentos que son, de la zona mas proximal a la mas distal: el arco o cayado dela aorta, la aorta toracica o descendente y la aorta abdominal (figura 1.1).

La aorta ascendente es la primera porcion del arco aortico, sube desdela valvula aortica, donde se encuentra conectada al corazon, y termina enla bifurcacion del tronco braqueocefalico (ver figura 1.2), completando unalongitud de unos 70 mm con un diametro exterior medio de 25 mm y unespesor medio de 2 mm para una persona adulta y sana (Rouviere [1976]).

El movimiento de la sangre impulsada por el corazon es de caracterpulsatil. Si la pared de la aorta fuera rıgida el flujo de la sangre serıa in-

Capıtulo 1. Introduccion 3

Figura 1.1: Esquema de la aorta (Zamorano y Alberca [2005]). A aortaascendente, B arco aortico, C aorta descendente, D aorta toracica, E aorta abdo-minal

termitente. Sin embargo, como la aorta tiene paredes elasticas que puedendistenderse, solo una parte de la fuerza de contraccion del corazon es uti-lizada para hacer avanzar la columna de sangre; el resto es empleada paradeformar y ensanchar la pared de la aorta. La energıa potencial acumuladaen la dilatacion se transforma en una retraccion elastica de la pared del vasodurante el perıodo en que el corazon esta inactivo (diastole) impulsando lasangre. Ası pues, cerca del corazon el flujo de sangre es intermitente pero enla periferia es continuo, siendo la elasticidad de la pared de la aorta la quelo hace posible.

Las patologıas de la aorta ascendente tienen gran influencia sobre las pro-piedades mecanicas de la pared arterial, como se observa en vasos afectadospor arteriosclerosis, aterosclerosis, aneurismas y enfermedades geneticas co-mo el mal de Marfan. Estas enfermedades comprometen la estructura de lapared del vaso (Koullias et al. [2005]) y con ello su respuesta mecanica.

Los aneurismas son sin duda una de las patologıas con mas relevanciamecanica. Ası, la estimacion de la rotura o fallo de un aneurisma de aortaascendente es sin duda un problema mecanico asociado a otros factores deriesgo medico. Generalmente se considera como criterio de peligrosidad derotura el diametro del aneurisma, que no debe sobrepasar los 5 cm. Sinembargo el 23 % de los aneurismas rompen antes de alcanzar este lımite(Erbel y Eggebrecht [2006]; Pape et al. [2007]).

El envejecimiento de las arterias es otro factor que influye en el com-portamiento mecanico del vaso y es un fenomeno muy marcado en la aorta(O’Rourke y Hashimoto [2007]) y las arterias proximales (las mas cer-

4 1.3. Objetivos

Figura 1.2: Esquema del corazon, arco de la aorta y sus salidas (Putz y Pabst[2001])

canas al corazon). La aorta se encuentra sometida a una presion oscilanteque le hace acumular en 80 anos unos 3× 109 ciclos de trabajo en los que sedilata un 10 %. Esto sin duda causa problemas de fatiga y dano que afectandirectamente el comportamiento mecanico de la pared del vaso.

1.3. Objetivos

El objetivo general de esta tesis es caracterizar experimentalmente y si-mular numericamente el comportamiento mecanico de la aorta ascendentetanto en estado sano como patologico.

La caracterizacion mecanica de la aorta pretende obtener las propiedadesmecanicas del material de la pared del vaso mediante ensayos in-vitro y pro-poner ındices cuantitativos que sean sensibles a la presencia de enfermedades.

Para ello sera necesaria la realizacion de una serie de ensayos mecanicos,estudiando el efecto de las patologıas mas frecuentes y la edad en la respuesta

Capıtulo 1. Introduccion 5

mecanica. Se realizaran ensayos de traccion uniaxial, presurizacion y medidade tensiones residuales, completando el estudio con el analisis histologico.

Los datos obtenidos de los ensayos de traccion uniaxial se utilizaran pa-ra calibrar diferentes modelos constitutivos. Para ello sera necesaria la im-plementacion de algoritmos de ajuste no lineal que permitan calcular susconstantes.

Se implementaran dos modelos constitutivos adecuados para el analisismecanico de la pared arterial. Los modelos seran contrastados con solucio-nes analıticas para comprobar su correcta implementacion en dos codigosde elementos finitos (FEAP y ABAQUS). Posteriormente se realizara la simula-cion de ensayos in-vitro contrastando los resultados numericos con medidasrealizadas en el laboratorio.

Finalmente, con todo el analisis experimental y numerico previamenterealizado, se llevara a cabo la simulacion de un caso de importancia clıni-ca: el estudio del comportamiento mecanico del cayado aortico, analizandonumericamente la respuesta mecanica en condiciones de funcionamiento fi-siologico normal (”sano”) y en condiciones patologicas. La simulacion delcayado aortico proporcionara detalles del estado mecanico durante su fun-cionamiento y permitira profundizar en el conocimiento de su respuesta fi-siologica y patologica.

1.4. Contenido del trabajo

En los siguientes capıtulos se desarrollan los objetivos de este trabajo.Ası, en el capıtulo 2 se describen los antecedentes sobre el comportamientomecanico de la pared arterial y las ecuaciones constitutivas propuestas paramodelar la pared arterial, presentandose las ecuaciones fundamentales de laformulacion mecanica que seran utilizadas en la simulacion. En el capıtulo 3se exponen los experimentos realizados, los protocolos empleados y los gruposde pacientes analizados. En el capıtulo 4 se realiza el analisis e interpretacionde los ensayos experimentales proponiendo diversos ındices para diferenciarel comportamiento sano y enfermo. En el capıtulo 5 se presentan las simula-ciones numericas, comenzando por la validacion numerica –simulando casossencillos tratables analıticamente– y experimental –contrastando los resulta-dos numericos con las mediciones realizadas en los ensayos– de los modelosutilizados. Tambien se realiza la simulacion del funcionamiento de la aortaascendente en condiciones normales y patologicas. Finalmente en el capıtulo6 se destacan las principales conclusiones y las perspectivas futuras abiertascon este trabajo.

Capıtulo 2

Antecedentes

2.1. Comportamiento mecanico de la pared

arterial

2.1.1. Estructura y composicion de la pared aorticasana

Para entender el comportamiento mecanico de la pared aortica es necesa-rio conocer algunos aspectos de su estructura y composicion. En la figura 2.1se muestra la estructura de la pared de la aorta, que consta de tres capas: laadventicia, la media y la ıntima, separadas por una lamina elastica interna(una banda oscura visible entre la ıntima y la media) y otra lamina externa(entre la media y la adventicia):

a) la adventicia es la capa externa y esta formada principalmente porfibras de colageno (Hayashi [2001]), elastina y fibroblastos (celulasque producen la sustancia intercelular). La adventicia forma una mallapoco definida de fibras de colageno que se mezclan formando el tejidoconectivo, en el que se distribuyen las fibras elasticas y los pequenosvasos nutricios (vasa vasorum) que irrigan las celulas de la pared arte-rial. La funcion principal de la adventicia es sujetar el vaso sanguıneoa los tejidos circundantes.

b) la media es la capa mas gruesa y da resistencia mecanica al vaso.Esta compuesta por celulas de musculo liso, fibras de colageno y elas-tina dentro de una matriz de relleno. La capa media de la aorta es ricaen tejido elastico, que se encuentra agrupado en sus lımites externosformando sendas membranas elasticas. Las fibras de colageno presentesen la media tienen una disposicion concentrica y son principalmente de

7

8 2.1. Comportamiento mecanico de la pared arterial

Figura 2.1: Estructura de la pared de la aorta

los tipos I, III y V (Humphrey [2001a]). Las fibras de colageno sonrıgidas y resistentes, si bien cuando no hay cargas se encuentran fuerte-mente plegadas. Al ir estirandose cuando son solicitadas, contribuyenprogresivamente a aumentar la rigidez de la pared del vaso.

c) la ıntima es la capa que esta en contacto con la sangre. Esta formadapor una primera capa de celulas endoteliales (endotelio), bajo la que hayuna fina capa de tejido conjuntivo –estrato subendotelial– compuestade colageno, fibras elasticas, musculo liso y a veces algunos fibroblastos(Fung [1993]). Esta subcapa le confiere al vaso mas elasticidad.

Los componentes principales que forman las distintas capas de la paredaortica, son pues las siguientes:

a) La elastina es una proteına fibrosa que constituye el material biologicode comportamiento mas lineal que se conoce (Fung [1993]). Mantienesus caracterısticas elasticas hasta un alargamiento λ = l/L ≈ 1,6,siendo l la longitud deformada y L la longitud inicial.

b) El colageno es un elemento estructural basico para tejidos duros y blan-dos, aportandoles integridad y resistencia mecanica. Se trata de unaproteına fibrosa que junto a la elastina suman la mayor parte de lamatriz extracelular de los tejidos blandos. El colageno se encuentra enforma de fibras muy plegadas que se estiran y alinean a medida que

Capıtulo 2. Antecedentes 9

actuan las cargas mecanicas. Por este hecho su aportacion a la resis-tencia mecanica comienza en niveles de deformacion mas elevados quela elastina. La combinacion de ambos tipos de fibras da lugar al com-portamiento tıpico de los tejidos blandos que se muestra en la figura2.2.

c) Los musculos pueden ser clasificados como lisos y estriados, estandolos primeros no controlados por nervios voluntarios. Los musculos delos vasos sanguıneos son musculos lisos vasculares. Estan compuestosfundamentalmente por filamentos proteicos de actina y miosina, sien-do los primeros mucho mas finos que los segundos. Pueden estar enestado pasivo o activo tras una estimulacion electrica o quımica. Sucontribucion a la resistencia mecanica del tejido es residual, si bien suestado de activacion puede alterar la respuesta en la zona de pequenasdeformaciones.

Fuerza

λ

L l

λ = l/L

Figura 2.2: Comportamiento de las fibras elasticas y de colageno por separadoy en combinacion

La estructura de la pared de la aorta y otras arterias de gran diame-tro es distinta a la de las arterias de pequeno diametro y arteriolas. En laaorta y arterias principales la capa elastica es mayor en proporcion al con-tenido de colageno y fibras musculares, proporcionando un comportamientoelastico muy importante. En las arterias menores y arteriolas en cambio, esmenor la presencia de elastina, resultando en un comportamiento mas rıgido(Farreras y Rozman [1995]).


2.1.2. Comportamiento activo y pasivo

Se denomina activacion muscular al fenomeno por el que las fibras muscu-lares que forman las arterias responden a estımulos nerviosos, contrayendoseo dilatandose y variando ası la luz del vaso. Este mecanismo es necesario pararegular el caudal y la presion en el sistema cardiovascular, sobre todo en losvasos capilares.

Algunos autores como Pascale y Weizsacker [1987] han demostradoque en ensayos in vitro es posible simular el comportamiento activo usandosustancias como la norepinefrina, que activan la contraccion del musculo liso,o la papaverina, que produce una relajacion de aquel.

La activacion muscular tiene un papel fundamental en las arterias depequeno diametro (0,3 a 10 mm). Por el contrario, su influencia es pequenao nula en arterias de gran tamano (Humphrey [2001c]) como la aortaascendente.

En este trabajo solo se considera el comportamiento pasivo de la aorta(sin activacion muscular, positiva o negativa) ya que este vaso presenta unapequena fraccion de musculo liso. No se ha considerado su contribucion activaen cuanto al comportamiento mecanico.

2.1.3. Crecimiento y remodelacion

Las arterias sufren un proceso de adaptacion como respuesta a cambiosmecanicos, en particular en la presion y en el flujo sanguıneo. En este proceso,uno de los aspectos de mayor importancia es la modificacion de la geometrıay propiedades del vaso, fenomeno conocido como remodelacion.

La remodelacion es el cambio de propiedades geometricas o mecanicasrespecto a un estado homeostatico de referencia debido a la persistencia deacciones externas.

La remodelacion es consecuencia de la actividad celular, y el estudio desus causas pertenece a la biologıa, a la genetica y a la bioquımica. Sus efectospueden ser de tipo mecanico y geometrico.

Segun Fung [1990] la remodelacion de los vasos arteriales se muestra dediversas maneras, produciendo:

a) Cambios en el diametro del lumen del vaso, en la relacion entre elespesor de la pared y el diametro del lumen, y en el contenido de celulasmusculares.

b) Crecimiento no uniforme en el vaso.

c) Cambio de las propiedades mecanicas que relacionan tensiones y defor-maciones en el tejido.


d) Cambios celulares y moleculares. Cambios en la morfologıa celular yalteraciones bioquımicas (Rodrıguez et al. [2007]; Alstrue et al.[2008]).

Con objeto de desacoplar las diferentes formas de remodelacion frente aacciones externas, Rodrıguez [2003] establece las siguientes definiciones:

a) Remodelacion estructural : es la modificacion de las propiedades delmaterial.

b) Crecimiento o remodelacion masica: es la variacion de la geometrıa porcambio de las masas celular y extracelular y/o de su configuracion.

Segun Humphrey [2001b] en organismos maduros la remodelacion esprincipalmente debida al crecimiento, mientras que en jovenes no solo apare-cen cambios en la geometrıa sino que pueden aparecer profundos cambios enla estructura y en la composicion de los tejidos (remodelacion estructural).

Este tipo de fenomenos se manifiestan en escalas de tiempo que van delos 20 dıas a unos 5 anos (Rachev [2001]).

2.1.4. Cargas actuantes

La aorta se encuentra sometida a varios tipos de acciones mecanicas,siendo las mas importantes la presion sanguınea, el flujo de la sangre y elmovimiento de la raız aortica acoplada al ventrıculo izquierdo del corazon.

La presion sanguınea actua directamente en la pared interior de la aortaen direccion normal a la superficie. Es una carga oscilante que varıa duranteel ciclo cardiaco. Para una persona adulta normal esta presion oscila entrelos valores medios de 80 y 120 mmHg.

Las fuerzas producidas por el flujo sanguıneo tienen un efecto directo atraves del esfuerzo cortante que producen en las celulas endoteliales haciendoque estas se orienten en la direccion del flujo. El valor de la tension cortantees muy pequeno (1 – 3 Pa) (Sanmartın et al. [2006]) y su efecto mecanicoes despreciable, si bien es suficiente para provocar la respuesta bioquımicade la pared endotelial. El efecto del flujo tambien se refleja en una presiondinamica proporcional al cuadrado de la velocidad (Fung [1997]). Prokopet al. [1970], demuestran experimentalmente que la caracterıstica pulsatildel flujo es un factor que acelera la propagacion y rotura en la diseccion de laaorta. Las solicitaciones cıclicas hacen que el material este permamentementesometido a condiciones de fatiga.


El movimiento del ventrıculo izquierdo del corazon se transmite a la raızaortica y produce tensiones axiales en la aorta ascendente. Beller et al.[2004], consideran que el movimiento de la raiz aortica llega a ser por sı mismoun factor de riesgo de una diseccion aortica (inclusive en personas sin otrosfactores) y que las cargas que se producen por este efecto pueden tener unacontribucion importante.

Por otra parte existen solicitaciones que se desarrollan durante el funcio-namiento del vaso debido a fenomenos de crecimiento y remodelacion.

Por la actuacion de la presion se producen tensiones circunferenciales nouniformes en el espesor de la pared. Ante este estımulo el vaso se remodelagenerando tensiones residuales circunferenciales tendientes a uniformizar lasproducidas por la presion. Esto se muestra al cortar radialmente una pequenalongitud de arteria en forma de anillo, observandose que este se abre paraformar un sector circular (Fung [1993]). Liu y Fung [1988] han medidolos valores del angulo de apertura (definido como la mitad del angulo delsector circular) de la aorta sana a lo largo de todo su recorrido, mostrandoque en la zona del arco aortico el angulo de apertura se encuentra entre 100y 180o.

Tambien se comprueba experimentalmente la existencia de tensiones re-siduales longitudinales , ya que todos los vasos sufren una acortamiento al serextraidos. Deng et al. [1994] reportan una contraccion de la aorta de ratade un 20 % en la cercanıas del arco aortico y de un 50 % en la region ab-dominal. Mas recientemente Han y Fung [1995] han realizado medicionesin-situ de la contraccion axial en aortas de cerdo y perro en funcion de ladistancia al corazon.

2.1.5. Descripcion del comportamiento pasivo sano

El comportamiento pasivo se refiere a la respuesta mecanica del vaso enausencia de activacion muscular por estımulos electricos o quımicos. Asumirun comportamiento pasivo para el caso de la aorta suele ser una buena apro-ximacion pues, como se dijo anteriormente, esta arteria se caracteriza porposeer abundante tejido elastico, en comparacion con el volumen de tejidomuscular. En cualquier caso, la descripcion del comportamiento pasivo esimprescindible para entender el efecto de la activacion muscular, cuyo efectose superpone a la respuesta pasiva para propocionar la respuesta global delvaso.

De acuerdo a diferentes autores (Schulze-Bauer y Holzapfel [2003];Cacho [2006]; Rodrıguez et al. [2007]), el comportamiento mecanicodel material que forma las arterias se caracteriza por ser anisotropo, debidoa la presencia de dos direcciones preferentes, longitudinal y circunferencial,


originadas por la disposicion de las fibras de colageno.

Otra de las hipotesis usualmente aceptada es la de que los tejidos biologi-cos blandos presentan un comportamiento incompresible1 (es decir, se defor-man sin cambio de volumen). Esto suele justificarse por el hecho de que elcontenido en agua es superior al 70 %.

Un fenomeno importante es el aumento de la rigidez con el incremento dela deformacion, debido a que las fibras de colageno se despliegan y estiran amedida que se deforma el material (Shadwick [1999]).

Ademas se trata de un material heterogeneo. Como se explico anterior-mente las arterias estan formadas por tres capas (ver figura 2.1) compuestasa su vez por un material no homogeneo (Wolinsky y Glagov [1964]).Algunos investigadores sugieren que las propiedades pueden considerarse ho-mogeneas en cada una de la capas, variando solo de capa en capa (Cacho[2006]).

Tambien la pared arterial presenta efectos mecanicos dependientes deltiempo (Fung [1993]) que se manifiestan en los bucles de histeresis cuandola arteria se somete a cargas cıclicas o, en procesos de relajacion cuando semantiene la deformacion. No obstante, segun algunos autores (Cox [1976];Humphrey [2001c]) el comportamiento arterial es relativamente insensiblea los cambios de la velocidad de deformacion.

2.1.6. Descripcion del comportamiento pasivo enfermo

El comportamiento mecanico de la aorta se ve afectado por la presenciade enfermedades, que alteran su funcionamiento.

Existen varias patologıas que afectan a la aorta ascendente. Entre las masfrecuentes se destacan:

a) Arterioesclerosis: es el endurecimiento de la pared arterial. Engloba trescuadros patologicos: La aterosclerosis, la arterioesclerosis de Moncke-berg y la arterioloesclerosis. De estos tres solo la aterosclerosis se pre-senta en la aorta.

La aterosclerosis es causada por la acumulacion de placa en el revesti-miento interno de la arteria. Consiste en un estrechamiento del lumenarterial (fenomeno conocido como estenosis) por la formacion de unaplaca aterosclerotica. Presenta dos zonas diferenciadas:

1Sin embargo, se han desarrollado algunos modelos bifasicos que admiten la compresi-bilidad de los tejidos blandos (vease Weiss [2001]).


– Placa de tejido conjuntivo que surge por espesamiento de la ıntimade apariencia lisa y brillante y color amarillo (si bien el centro esblancuzco).

– Placa ateromatosa (o ateroma) formada por agrupaciones de co-lesterol y otras sustancias lipıdicas.

La presencia de esta enfermedad hace que el material de la pared se en-durezca por el proceso de calcificacion asociado a la placa ateromatosa.Ademas, la adherencia entre las capas de la pared arterial en la zonaafectada se ve disminuida, haciendo propenso al vaso a disecciones yroturas.

b) Los aneurismas son dilataciones anormales focales y permanentes, cau-sados por el debilitamiento o destruccion de la pared. Pueden ser congeni-tos o adquiridos y la mayorıa de las veces ocurren en arterias elasticasy sus ramas; se presentan con mayor frecuencia en la aorta, produ-ciendo cuadros clınicos graves. Las complicaciones mas frecuentes delos aneurismas son la alteracion del flujo sanguıneo distal, trombosis,tromboembolias, rotura, infeccion y compresion de estructuras vecinas.

Las dos causas mas importantes de aneurismas son la arterioesclero-sis y la degeneracion quıstica de la media (generalmente debido a laenfermedad de Erdheim o al mal de Marfan). Otras etiologıas menosfrecuentes son la sıfilis, los traumatismos, la poliarteritis nodosa, de-fectos congenitos y procesos infecciosos que debilitan o destruyen lasparedes vasculares en los llamados aneurismas micoticos.

El aneurisma es una enfermedad potencialmente grave, que permaneceasintomatica en un 60 % de los casos. Se puede manifestar por sıntomascompresivos sobre estructuras vecinas en un 15 % de los casos y porruptura en un 25 %, siendo esta la manifestacion clınica mas severa. Ladiseccion y el embolismo distal son otras complicaciones clınicamenterelevantes aunque menos frecuentes (Erbel y Eggebrecht [2006]).

La operacion para evitar la rotura del anurisma tiene todavıa ciertosriesgos (Ergin et al. [1999]), por lo que solo se aconseja cuando elriesgo de rotura de la pared es superior al riesgo propio de la operacion.Hasta ahora dicha decision se basa exclusivamente en las dimensionesde la aorta sin tener en cuenta el posible deterioro de la pared arterial niotros aspectos de su comportamiento mecanico. Normalmente se aceptacomo criterio para operar un diametro maximo de 5 cm (Erbel yEggebrecht [2006]).


Resulta fundamental por tanto obtener datos experimentales sobre elcomportamiento mecanico y la rotura de la aorta ascendente, y diferenciarlas alteraciones en la respuesta mecanica que producen las patologıas. Lamayorıa de los datos disponibles se han obtenido mediante ensayos in vivo(Greenfield y Patel [1962]; Sokolis et al. [2002]; Koullias et al.[2005]) que, si bien proporcionan informacion sobre las condiciones reales detrabajo (37oC, 120-80 mmHg), rara vez permiten obtener informacion sobretejidos en condiciones de alta solicitacion o cercanas a la diseccion o rotura.Para obtener datos en situaciones mas proximas a los estados de peligro orotura se debe recurrir a ensayos in vitro, en los que se tiene mayor con-trol sobre la solicitacion y se puede llegar a solicitaciones extremas sobre elmaterial.

En los siguientes apartados se describen los ensayos in vitro mas usadosen la caracterizacion del comportamiento mecanico estatico y dinamico.

2.1.7. Ensayos estaticos

Ensayo de traccion uniaxial

El ensayo de traccion uniaxial consiste en someter a la probeta a unalargamiento axial homogeneo.

No es abundante la informacion de ensayos de traccion uniaxial sobre teji-dos vasculares, mas aun si nos circunscribimos a la aorta ascendente humana.Son basicamente dos los trabajos reportados hasta la fecha. El primero es elde Okamoto et al. [2002] en el que se presentan resultados de ensayos detraccion uniaxial, biaxial y angulo de apertura en aortas ascendentes de pa-cientes de 50 a 65 anos de edad, sanos y con diversas patologıas. El segundotrabajo es el presentado por Vorp et al. [2003] en el que se exponen losresultados de ensayos de traccion uniaxial de trozos de aorta ascendente depacientes sanos y aneurismaticos de un grupo de 55 anos de edad promedio.Los autores plantean un ındice para cuantificar la rigidizacion de los vasos aaltas deformaciones.

En ninguno de los trabajos senalados se ha realizado un estudio sistemati-co del efecto conjunto de la edad y la patologıa sobre la pared arterial.

Otros trabajos relevantes sobre aorta descendente, de similar composiciony funcion que la ascendente, son los de Mohan y Melvin [1982], anali-zando el efecto de la anisotropıa y las condiciones de rotura del material, yRaghavan et al. [2006], que realizaron ensayos uniaxiales en aneurismasde aorta abdominal humana revisando tambien la distribucion de espesoresen un aneurisma y sus propiedes mecanicas a traves del ensayo uniaxial.

Ademas, varios autores han efectuado ensayos de traccion biaxiales en


aortas de cerdo (Ohashi et al. [2005]; Marra et al. [2006]) y humanas(Mohan y Melvin [1983]; Shulze-Bauer et al. [2003]; Geest et al.[2006]). En este caso se impone un alargamiento homogeneo en dos direc-ciones mutuamente perpendiculares. Este ensayo es propuesto para observarmas claramente la anisotropıa de la pared arterial.

Ensayo de presurizacion

A diferencia del ensayo de traccion, pensado para determinar las propieda-des locales (en un punto en concreto) del material, el ensayo de presurizaciones de tipo estructural y tiene la ventaja de permitir reproducir aproxima-damente las condiciones de funcionamiento del vaso. Consiste en alargar elvaso hasta una longitud determinada, para posteriormente aplicar presion ensu interior. Durante el ensayo normalmente se registran la presion aplicaday el diametro exterior del vaso. De esta manera es posible observar como secomporta la estructura del vaso en diferentes condiciones de funcionamiento.

Varios autores han analizado el comportamiento estructural de la paredaortica a traves de este ensayo. Roy [1880], estudio segmentos de aortashumanas, de perro y conejo, observando que no es valida la ley de Hooke,es decir la deformacion de la aorta no es proporcional a la tension aplicada.Estudios posteriores (Roach y Burton [1957]) mostraron que la rigidez dela aorta es relativamente pequena para presiones inferiores a las fisiologicasy muy alta a presiones superiores. Posteriormente Wolinsky y Glagov[1964] analizaron la variacion de la estructura de la pared de la aorta en unensayo de presurizacion observando la alineacion de las fibras de colageno,asociando a la elastina el comportamiento a bajas presiones y al colageno elde presiones elevadas. Ultimamente Atienza et al. [2007] han usado esteensayo para analizar los efectos combinados de la presion y la temperatura enel comportamiento mecanico de aortas descendentes humanas en pacientesde 49 anos de edad promedio. Tambien algunos autores (Schulze-Bauery Holzapfel [2003]; Rodrıguez [2003]) han empleado este ensayo paraajustar constantes de modelos constitutivos en arterias coronarias de conejos.

Resumiendo, existen algunos trabajos en los que se utiliza el ensayo depresurizacion para observar caracterısticas del comportamiento mecanico dela aorta humana, pero estos se suscriben a la aorta descendente, cuestionrazonable pues la geometrıa curva y la corta longitud de la aorta ascendenteimpiden realizar y analizar de manera sencilla este ensayo. De todas formaslos ensayos de aorta descendente humana existentes no son muchos y losque hay corresponden a pacientes sanos y de una edad media de 50 anosaproximadamente.


2.1.8. Ensayos dinamicos

La respuesta mecanica de la pared de la aorta presenta un comportamien-to que en cierta medida depende del tiempo. Este se manifiesta, por ejemplo,en la disminucion de la tension (relajacion) en una probeta sometida a unestado de deformacion constante. Ademas en el caso de someter al materiala cargas cıclicas es posible observar una histeresis importante.

Los tejidos blandos no se comportan exactamente como materiales elasti-cos. En particular, Fung [1993] describe como los caminos de carga ydescarga son diferentes, pudiendo modelizarse mediante la teorıa de pseu-doelasticidad, en la que cada proceso se representa con leyes hiperelasticastension–deformacion diferentes.

Para evaluar este tipo de fenomenos existen algunos ensayos que se des-criben brevemente a continuacion.

Ensayo de relajacion

Consiste en someter una probeta a una determinada deformacion constan-te, pudiendo ser uniaxial o de flexion. Con este ensayo se obtiene la historiade la tension durante el ensayo. Esta informacion se ha utilizado por algu-nos autores (Rodrıguez [2003]; Doehring et al. [2005]) para ajustarmodelos constitutivos dependientes del tiempo.

Ensayo de fluencia

La probeta es solicitada a tension constante durante todo el tiempo quedura la prueba, registrando la evolucion de la deformacion que sufre el ma-terial a lo largo del tiempo. Este ensayo tambien permite ajustar modelosconstitutivos (vease Rodrıguez [2003]), como los que se presentaran en elapartado 2.2.3.

Ensayos cıclicos

En ellos se aplica de forma repetida un ciclo de carga o deformacion, mi-diendo la respuesta del tejido una vez estabilizada. Estos ensayos se realizanmuy frecuentemente in-vivo, en animales instrumentados, aprovechando lapulsacion cardiaca (Armentano et al. [1995]). En estos casos el rango decarga es necesariamente reducido.

18 2.2. Modelos constitutivos de la pared arterial

2.2. Modelos constitutivos de la pared arte-

rial

2.2.1. Formulacion del problema

Introduccion

Los modelos constitutivos se han desarrollado con el objeto de poderdescribir el comportamiento (macroscopico) de distintos tipos de materiales.Un modelo constitutivo describe un material ideal y las predicciones de estemodelo deberıan resultar una aproximacion cercana al comportamiento realobservado en el material.

El desarrollo de los modelos a estudiar se enmarca dentro de la teorıa de laMecanica de los Medios Continuos (Truesdell y Noll [1965]; Truesdell[1977]). En este trabajo se utilizara la definicion del campo de deformacionen la configuracion de referencia o material, mas conocida con el nombre dedescripcion Lagrangiana.

Los tejidos blandos, cuando son sometidos a cargas, presentan grandescambios de forma y una respuesta fuertemente no lineal. Una vez retiradaslas cargas, retornan a posiciones muy cercanas a la inicial. Por otra parte,cuando son sometidos a cargas cıclicas exhiben en la respuesta una conside-rable disipacion de energıa. Los modelos utilizados en este tipo de materiales,destinados a simular su comportamiento, deberan ser capaces de captar todosestos fenomenos.

Se presentan las funciones de energıa de deformacion mas destacadas porla literatura (Ogden [1972]; Treloar [1974]; Holzapfel [2000]) para elestudio del comportamiento de los tejidos blandos. A partir de estas funcionesde energıa se obtienen los correspondientes modelos constitutivos.

Cinematica y medidas de deformacion y tension

En un cuerpo B que ocupa un dominio Ω0, de contorno ∂Ω0 en el espaciode tres dimensiones (configuracion sin deformar, ver figura 2.3), se puededefinir la deformacion por una funcion:

X : Ω0 → Ω (2.1)

que identifica la posicion deformada, x, de una partıcula de B con coor-denada X referida a la configuracion de referencia Ω0 (material), es decir,x = X (X) siendo Ω la configuracion actual del cuerpo B.

El tensor gradiente de deformacion F se define como la derivada de estafuncion en la configuracion deformada respecto del vector de coordenadas


X1

X3

Ω0

t

t0

X

x

Ω

x = F ·

XX (X , t)

X2

X

Figura 2.3: Cinematica del solido continuo

materiales (Malvern [1969]). Esto se puede expresar como: F = GradX ,

F =∂x

∂X(2.2)

representando su determinante la relacion de volumenes entre las configura-ciones deformada e inicial, que se indica por J = detF . Observese que F essiempre invertible (de lo contrario el volumen serıa nulo), dada la existenciade la funcion inversa X−1.

Aplicando la descomposicion multiplicativa del gradiente de deformacionse obtiene:

F = RU = V R (2.3)

donde el tensor ortogonal R es el tensor de rotacion y los tensores simetricosdefinidos positivos U y V son los tensores de alargamiento derecho e izquier-do, respectivamente. Los tensores de alargamiento derecho e izquierdo estanrelacionados de la forma:

U = RTV R y V = RURT (2.4)

A partir del tensor gradiente de deformacion se pueden definir los tensoresderecho e izquierdo de Cauchy-Green, C y b respectivamente, de la siguienteforma:

C = F TF y b = FF T (2.5)


teniendo en cuenta la ecuacion (2.3) (recordando que R es un tensor orto-gonal, RRT = RTR = 1, donde 1 es el tensor identidad). Los tensores deCauchy-Green pueden expresarse de la forma:

C = U 2 y b = V 2 (2.6)

los invariantes del tensor C son:

I1 = tr(C) I2 =1

2[(tr(C))2 − tr(C2)] I3 = detC (2.7)

donde tr(·) corresponde a la traza del tensor, es decir a la suma de las com-ponentes de su diagonal principal.

Una medida utilizada para la deformacion es el tensor de deformacionesde Green-Lagrange (simetrico), que se define por:

E =1

2(C − 1) (2.8)

Las tensiones indican las fuerzas por unidad de superficie en el material(ver figura 2.4), escribiendose df = t ds en la configuracion deformada, dondef indica la fuerza aplicada sobre una superficie de tamano s que tiene unvector tension asociado t.

n

t

Ω

ds

Figura 2.4: Tensiones del solido continuo

El tensor de tensiones de Cauchy denotado con σ, cumple que t = σ·n,siendo n el vector normal a la superficie que tiene asociado el vector tensiont. Ademas, las ecuaciones de equilibrio de momentos muestran que σ essimetrico.

El tensor de Piola, P , es aquel que verifica

df = σ·n d s = P ·N dS,

siendo N y S el vector normal y la superficie en la configuracion inicial. Sepuede demostrar (vease, por ejemplo, Ciarlet [1988])

P = Jσ·F−T.


El tensor de Kirchhoff , τ , se define por τ = Jσ.Por ultimo, el segundo tensor de Piola-Kirchhoff , S, se corresponde con

el pullback (vease, por ejemplo, Marsden y Hughes [1968]) del tensor deKirchhoff, esto es,

S = F−1·τ ·F−T. (2.9)

2.2.2. Modelos independientes del tiempo

Un material se dice que es hiperelastico si su densidad de energıa libre 2 Ψen la configuracion de referencia Ω0, es funcion exclusivamente del estado dedeformacion (Ciarlet [1988]), pudiendo escribirse Ψ = Ψ(F ) o bien por elprincipio de objetividad Ψ = Ψ(C). En estas condiciones, si no se consideranvariaciones de temperatura y la imposibilidad en el aumento de la entropıa,la densidad de trabajo realizado por las fuerzas internas debe ser equivalenteal aumento de la energıa libre, dW = d Ψ, y por tanto W = W (F ) = W (C).Esta funcion W debe respetar ciertas condiciones, como es la de objetividad yalgunas relacionadas con la estabilidad (entre las que destaca la condicion depoliconvexidad). La ecuacion constitutiva de cada material se reduce entoncesa buscar su funcion de densidad de energıa W .

En el caso compresible, la funcion de energıa de deformacion se descom-pone en forma aditiva en una parte volumetrica (Wvol) y otra isocorica (Wiso)de la siguiente manera (Truesdell [1977]):

W = Wvol +Wiso (2.10)

En todas las funciones de energıa de deformacion utilizadas en este tra-bajo se considera que el sumando volumetrico es de valor Wvol = K

2ln2 J ,

donde K es el modulo volumetrico (Ogden [2001]) del material.Dado que a partir de F se puede obtener facilmente el tensorE, es posible

expresar W como una funcion de las seis componentes independientes deltensor de Green-Lagrange. A partir de esto se pueden expresar los tensoresde tension como una funcion de la energıa de deformacion de la forma:

S =∂W

∂E(2.11)

σ =1

JFSF T =

1

JF∂W

∂EF T (2.12)

La linealizacion del tensor S es necesaria para resolver problemas conmateriales no lineales. De esta linealizacion surge el tensor de elasticidad C

2La energıa libre es Ψ = e − Tη, donde e es la densidad de energıa interna, T latemperatura y η la densidad de entropıa, todas ellas variables de estado.


en la descripcion material. La expresion del tensor de elasticidad C para unmaterial hiperelastico es:

C = 4∂2W

∂C∂C(2.13)

La determinacion de las medidas de tension y el tensor de elasticidad sedetalla en el apendice A, en funcion de cada uno de los modelos constitutivosestudiados en este trabajo.

Modelos Constitutivos Isotropos

Los primeros trabajos en el desarrollo de modelos para la caracterizacionde materiales hiperelasticos fueron los presentados por Mooney y Rivlin en ladecada del cuarenta (Mooney [1940]; Rivlin [1940]). De aquı en adelante,han sido propuestas diferentes funciones de energıa de deformacion W conel objeto de poder estudiar el comportamiento de estos materiales (Ogden[1972]). A continuacion se presentan para conocimiento del lector algunasde las funciones energıa mas utilizadas, desarrollando posteriormente en de-talle las de Mooney de tres parametros, Yeoh, Demiray y Ogden, las cualesseran utilizadas en el desarrollo de este trabajo. Las funciones de energıa mascitadas son las siguientes:

1. Neo-Hookeano Este modelo es uno de las funciones de energıa dedeformacion mas sencillas y queda definida por:

W =µ

2(I1 − 3) (2.14)

donde µ es la constante del modelo.

2. Mooney-Rivlin generalizado.

En este modelo la funcion de energıa de deformacion se expresa como:

W =∞∑r=0

∞∑s=0

∞∑t=0

Crst(I1 − 3)r(I2 − 3)s(I3 − 1)t (2.15)

donde I1, I2 e I3 son los invariantes del tensor C, r,s,t son numeros en-teros que pueden variar, teoricamente, de 0 a ∞ y Crst son parametrosque representan constantes materiales. La ventaja que tiene este mo-delo es su forma polinomica. Disponiendo de datos experimentales, sepueden asignar valores a estas constantes con el metodo de los mınimoscuadrados para un rango de valores de r,s,t razonable (generalmentede 0 a 3).


En caso de incompresibilidad total I3 = 1, el modelo se reduce a:

W =∞∑r=0

∞∑s=0

Crs(I1 − 3)r(I2 − 3)s (2.16)

y da lugar a las siguientes formulaciones:

Mooney-Rivlin de un parametro

La forma mas simple del modelo de Mooney-Rivlin, es consideran-do solo el primer termino de la ecuacion 2.16. Este coincide con elconocido modelo NeoHookeano y se expresa por:

W = C10(I1 − 3) (2.17)

Esta forma de energıa de deformacion es la mas simple, y su res-puesta al modelar tejidos blandos es, en general, muy limitada.

Mooney-Rivlin de dos parametros

W = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3) (2.18)

El modelo de Mooney-Rivlin de dos parametros es la forma masconocida de la familia de modelos derivados de la ecuacion 2.16,pero su aproximacion a valores experimentales tambien es muyreducida, obteniendo buenos resultados hasta una deformacion del60 % aproximadamente (Treloar [1974]).

Mooney-Rivlin de tres parametros

W = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3) + C11(I1 − 3)(I2 − 3) (2.19)

Este modelo tiene la caracterıstica de presentar una relacion delmodulo de elasticidad transversal no constante, pero en lo querespecta a la deformacion, cubre un amplio rango y con muy buenacorrelacion con los valores experimentales.

Yeoh de tres parametros

W = C10(I1 − 3) + C20(I1 − 3)2 + C30(I1 − 3)3 (2.20)

Este modelo a pesar de ser de alto orden, tiene la ventaja quesolo depende de I1, lo que facilita mucho el trabajo con el. Pre-senta gran aceptacion hasta un alto nivel de deformacion pero sin


embargo, se debe tener precaucion en el rango de bajas deforma-ciones.

3. Demiray. La funcion energıa deformacion propuesta por Demiray[1972] y aplicada por Delfino et al. [1997] es:

W =a

b

[exp

(b

2(I1 − 3)

)− 1

](2.21)

Este modelo, tiene la ventaja de que solo depende de I1, lo que facili-ta mucho su implementacion computacional. Presenta gran aceptacionhasta un alto nivel de deformacion. En este modelo bastan solo dosconstantes para su caracterizacion y la primera (a), tiene interpretacionfısica, siendo la pendiente en el origen de la curva tension de Cauchyfrente al alargamiento principal en un ensayo de traccion simple.

4. Ogden.

En este modelo la funcion de energıa de deformacion es (Ogden [1972]):

W =N∑m=1

µmαm

(λαm1 + λαm2 + λαm3 − 3) (2.22)

donde αm y µm(m = 1,...,N) son numeros reales, y N es un enteropositivo tal que:

N∑m=1

µmαm = 2G (2.23)

siendo G el modulo de elasticidad transversal referido a la configuracionmaterial (no deformada).

Considerando N = 2, el modelo de Ogden puede reducirse al modelode Mooney-Rivlin de dos parametros, es decir:

W =1

2µ1(λ2

1 + λ22 + λ2

3 − 3)− 1

2µ2(λ−2

1 + λ−22 + λ−2

3 − 3) (2.24)

con α1 = −α2 = 2 y µ1 = 2C10, µ2 = −2C01, donde λ1, λ2 y λ3 son losvalores propios de F tambien llamados alargamientos principales (debenotarse que sus cuadrados son los valores propios de C).

La literatura lo cita como uno de los mejores modelos, cubriendo congran aceptacion variados modos de deformacion en un amplio rango


(Holzapfel [2000]). No obstante, presenta muchos problemas paraajustar parametros con valores experimentales estando aun en estudiola unicidad de estos parametros para un material real (Ogden et al.[2004]).

Modelos Constitutivos Anisotropos

De acuerdo a la literatura actual de este tema (Ogden [2003b]; Gasseret al. [2006]; Rodrıguez et al. [2007]) la respuesta mecanica de untejido arterial sometido a una tension presenta un comportamiento mecanicoanisotropo de dos familias de fibras. Este comportamiento esta asociado a ladistribucion de las fibras de colageno que mantienen aproximadamente unadireccion en promedio respecto del eje axil de la arteria.

Existen varias funciones de energıa de deformacion anisotropas, de ellassolo se mostraran dos que son las mas utilizadas en el estado de arte actual.

1. Holzapfel

Este modelo intenta caracterizar la anisotropıa de manera consistentecon la estructura del tejido arterial. Para ello se basa en la hipotesisde que las fibras de colageno, responsables de la mayor parte de la res-puesta mecanica a partir de un cierto nivel de deformacion, se orientancomo helices formando un angulo aproximadamente constante con ladireccion axial del eje de la arteria, ver figura 2.5.

El marco general seguido es el de los materiales hiperelasticos con fibrasmediante los pseudo-invariantes de Spencer [1984]. Se consideranlas orientaciones de dos familias simetricas de fibras definidas en laconfiguracion de referencia por vectores unitarios a y a′, que formanangulos simetricos ±ϕ con el eje del vaso. A partir de estas se definenlos invariantes I4 = a ·C · a e I6 = a′ ·C · a′.El modelo incompresible propuesto por Holzapfel y Gasser [2000]se define mediante

W =c

2(I1 − 3) +

k1

2k2

∑α=4,6

[exp

(k2(Iα − 1)2

)− 1]

(2.25)

donde c, k1, k2, ϕ son los cuatro parametros (positivos) del material delos que depende este modelo. La forma de esta expresion (2.25) puedecomprobarse que define dos sumandos: W = Wisot+Waniso. El primeroes del tipo isotropo, con un modelo Neo-hookeano, correspondiente ala respuesta de la componente de elastina; el segundo es anisotropo,


Figura 2.5: Esquema de la distribucion de las fibras de colageno supuestas porel modelo de Holzapfel y Gasser [2000]

dirigiendo los esfuerzos segun las direcciones de las fibras de colagenoque definen los invariantes I4 e I6.

2. Modelo mixto Holzapfel/ Demiray

Ha sido propuesto por Gasser et al. [2006] un modelo basado en unageneralizacion del anterior, haciendo una combinacion con el modelode Demiray. Este modelo plantea la existencia de dos familias de fibraspero a diferencia del modelo de Holzapfel acepta que estas se encuentranorientadas de manera dispersa de acuerdo a la distribucion estadisticade Von Mises alrededor de un angulo promedio ϕ.

Este modelo queda definido a traves de la ecuacion (2.26).

W =c

2(I1−3)+

k1

2k2

∑α=4,6

[exp

(k2 [κI1 + (1− 3κ)Iα − 1]2

)− 1]

(2.26)

Las variables tienen el mismo significado que en las ecuaciones anterio-res (2.25) y (2.21). Se agrega la constante κ asociada a la dispersionde las fibras que varıa entre 0 y 1/3. Para κ = 0 la ecuacion (2.26)


se reduce al modelo de Holzapfel (2.25), mientras que para κ = 1/3resulta un modelo isotropo similar al de Demiray (2.21).

2.2.3. Modelos dependientes del tiempo

Las aportaciones de la tesis no se encuentran en este tipo de modelos, queserıan de utilidad para fenomenos disipativos. No obstante, su descripcion seincluye con objeto de plantear los principales fenomenos relacionados con elcomportamiento mecanico de la pared de la aorta en el mismo marco teorico.

Viscoelasticidad generalizada de Maxwell

Este modelo generaliza el esquema de viscoelasticidad de Maxwell (figu-ra 2.6), segun ha propuesto Rodrıguez [2003].

E∞

E1

ηm

Em

σ

η1

Figura 2.6: Esquema del modelo generalizado de Maxwell

En este caso se exige (Taylor et al. [1970]; Holzapfel [2000]) pre-viamente que la densidad de energıa a tiempo infinito pueda ser descompuestade la forma

W∞(C) = W∞vol(J) +W∞

iso(C)

donde C es la parte isocorica del tensor derecho de Cauchy-Green. Se planteaque la funcion de densidad de energıa se determine a partir de C y de ciertasvariables internas de deformacion Γa, con a = 1, . . . ,m, de la forma

W = W (C,Γ1, . . . ,Γm) = W∞vol(J) +W∞

iso(C) +m∑a=1

Υa(C,Γa)

con las condiciones de normalizacion

W∞vol(1) = 0, W∞

iso(1) = 0 ym∑a=1

Υa(1,1) = 0.

28 2.3. Conclusiones

El segundo tensor de Piola-Kirchhoff S puede ser obtenido como

S = 2∂W (C,Γ1, . . . ,Γm)

∂C= S∞vol + Siso,

con la definicion

Siso = S∞iso +m∑a=1

Qa,

y siendo

S∞vol = 2∂W∞

vol(J)

∂Cy S∞iso = 2

∂W∞iso(C)

∂C.

Por tanto, es

Qa = 2∂Υa(C,Γa)

∂C,

que son variables internas historicas de tension.

2.3. Conclusiones

La pared de la aorta esta compuesta por tres capas, la ıntima, la mediay la adventicia. La poca cantidad de tejido muscular respecto a la presenciade elastina y colageno hacen que el comportamiento de la aorta ascendentesea fundamentalmente elastico y por la misma razon debilmente activo.

El comportamiento mecanico de la pared de la aorta se caracteriza prin-cipalmente por su anisotropıa, incompresibilidad, hetereogenidad y depen-dencia del tiempo.

Las principales patologıas que afectan a la aorta son: la aterosclerosis, losaneurismas, la diseccion de la media y enfermedades geneticas como el mal deMarfan, que pueden alterar significativamente su comportamiento mecanico.

En la literatura no existen datos experimentales suficientes del compor-tamiento mecanico de la aorta ascendente humana, ya que estan limitados apacientes sanos o con determinadas patologıas y grupos de edades reducidos,no existiendo para el caso de pacientes muy jovenes.

En este capıtulo se han presentado en forma detallada los modelos hipe-relasticos de Mooney-Rivlin, Yeoh, Demiray, Ogden y Holzapfel, los cualesson la base del estudio numerico realizado en este trabajo. La validez y elalcance del modelo presentado sera analizada en el capıtulo 5 utilizando paraello soluciones analıticas de casos sencillos y los resultados experimentalespresentados en el capıtulo 4.

Capıtulo 3

Trabajo experimental

3.1. Introduccion

El estudio del material de la pared arterial, que funciona sometido a gran-des deformaciones, requiere que su modelo constitutivo tension-deformacionsea fiable y describa en forma realista el comportamiento mecanico. Parautilizar tal modelo se necesitan los parametros y propiedades mecanicas quereflejan el comportamiento experimental del material. Un procedimiento re-lativamente sencillo y fiable para caracterizar los materiales es el ensayo detraccion. El ensayo consiste en someter una probeta plana a un estado ten-sional uniaxial.

En este trabajo se han realizado ensayos de traccion para obtener laspropiedades mecanicas y el comportamiento de la pared de la aorta humanabajo un estado de solicitacion uniaxial. El material se obtuvo de donantessanos y enfermos con diferentes patologıas.

Adicionalmente se han realizado ensayos de presurizacion, sometiendoal material a un estado de tensiones similares a las de la arteria in-vivo,observando el funcionamiento del tejido en el rango fisiologico y tambien encondiciones mas extremas de presion. En este ensayo la solicitacion mecanicaconsiste en aplicar presion interior al vaso junto a un alargamiento en ladireccion axial. De esta forma se han obtenido las curvas presion diametroque han permitido validar los resultados de las simulaciones numericas quese presentan en el capıtulo 5.

Para la cuantificacion de las tensiones residuales de la pared del vaso sehan realizado ensayos de medida del angulo de apertura, en los que se hamedido el angulo que se forma al cortar radialmente un anillo del vaso.

Como complemento, y para observar la estructura del material ensayadose realizaron analisis histologicos en los que a traves de diferentes tinciones

29

30 3.2. Descripcion del material

fue posible observar las distintas capas y elementos que forman la paredarterial y como estas se ven afectadas por las patologıas vasculares.

Cabe senalar que todos los ensayos han sido realizados in-vitro y en estadopasivo. El analisis de los resultados experimentales se presenta en el capıtulo4.

3.2. Descripcion del material

El material empleado en los ensayos realizados en este trabajo se obtuvocon la colaboracion del Hospital Puerta de Hierro de Madrid. En todos loscasos las muestras se extrajeron de acuerdo con los protocolos establecidospor el Comite de Etica de dicho Hospital (Goicolea et al. [2006]).

Los vasos se clasificaron en cuatro grupos de acuerdo a los antecedentesclınicos de cada uno de los pacientes y donantes. Los grupos se establecieronde acuerdo a la siguiente clasificacion:

Grupo 0: tejidos sanos.

Grupo 1: pacientes con problemas valvulares aorticos.

Grupo 2: pacientes con valvula aortica bicuspide.

Grupo 3: vasos que presentan dilataciones severas (aneurismas).

Grupo 4: pacientes con el mal de Marfan.

Esta clasificacion agrupa los tejidos en funcion de la severidad de su lesion,siendo los pacientes del grupo 4 los que presentan el comportamiento mecani-co peor.

En cada uno de los grupos se ordenaron los vasos por edades, creandotres subgrupos A, B y C. El subgrupo A corresponde a vasos jovenes entre16 y 36 anos; el subgrupo B corresponde a adultos entre 38 y 62 anos, y elsubgrupo C a mayores de 65 anos.

En el cuadro 3.1 se resume la clasificacion realizada para los diferentespacientes estudiados.

3.2.1. Tejidos sanos

En este grupo se han considerado vasos que no tienen antecedentes defactores de riesgo arterial, es decir, donantes que no presentan altos ındicesde colesterol, no son fumadores, sin antecedentes de diabetes, y no tienenpatologıas arteriales.

Capıtulo 3. Trabajo experimental 31

Cuadro 3.1: Clasificacion de los vasos por patologıas y edadesGrupos Edades (anos)

A B C16-36 38-62 65-90

0 (Sanos) 0-A 0-B 0-C1 (Prob Valvulares) 1-A 1-B 1-C

2 (Bicuspide) 2-A 2-B 2-C3 (Aneurismas) 3-A 3-B 3-C

4 (Marfan) 4-A 4-B 4-C

Las muestras de tejido arterial se han obtenido de personas que han su-frido algun accidente o han muerto por causas que no tienen relacion conaspectos cardiovasculares (por ejemplo: suicidio). Los segmentos estudiadosse obtuvieron de cadaveres de donantes para trasplante cardiaco. Las mues-tras obtenidas son en su mayorıa segmentos completos de aorta, como el quese muestra en la figura 3.1.

Figura 3.1: Segmento de aorta de uno de los donantes sanos analizados

En el cuadro 3.2 se muestran los datos de los donantes mas jovenes deeste grupo. Se ha dispuesto de doce muestras procedentes de doce donantesdiferentes con edades comprendidas entre 16 y 36 anos y una media de 26


± 7 anos (edad media ± desviacion estandar). Los vasos obtenidos se hanconsiderado teoricamente sanos, dada su procedencia.

Erbel y Eggebrecht [2006] definen dos parametros para diferenciarel tamano normal de la aorta: la edad y el area de la superficie corporalo BSA. Este ultimo parametro se estima con la talla y peso de la persona atraves de ecuaciones obtenidas por correlacion a medidas experimentales (verapendice B). Por su importancia estos parametros se muestran en el cuadro3.2.

Cuadro 3.2: Informacion de los donantes de aorta, sanos y jovenes

Paciente Sexo a Edad [anos] Peso [kg] Estatura [m] BSA [m2]b Vaso c

Grupo 0-APH07 M 31 65 1,73 1,78 AAPH16 V 16 73 1,75 1,88 AAPH21 M 32 63 1,64 1,68 ADPH31 M 21 75 1,75 1,90 ADPH32 V 36 65 1,60 1,67 AAPH33 M 20 49 1,65 1,52 ADPH36 M 34 52 1,60 1,53 ADPH43 V 35 75 1,65 1,82 AAPH48 V 20 85 1,80 2,05 AAPH65 V 18 78 1,81 1,98 AAPH80 V 25 90 1,83 2,12 AAPH82 M 20 50 1,65 1,54 AA

aV y M: corresponde al sexo varon o mujer, respectivamentebBSA: corresponde a la area de la superficie corporal (apendice B)cAA y AD: corresponde a aorta ascendente y descendente, respectivamente

En el cuadro 3.3 se muestran algunos antecedentes de los donantes adultosde este grupo. Se ha dispuesto de quince muestras procedentes de quincedonantes diferentes con edades comprendidas entre 42 y 60 anos y una mediade 50 ± 5 anos (edad media ± desviacion estandar).

En el cuadro 3.4 se muestran algunos antecedentes de los donantes ma-yores de 65 anos. Se ha dispuesto de dos muestras procedentes de sendosdonantes diferentes con edades de 72 y 82 anos.

3.2.2. Pacientes con problemas valvulares aorticos

En este grupo se han considerado pacientes que presentan problemas deestenosis en la zona de la valvula aortica. Esta patologıa altera y distorsiona


Cuadro 3.3: Informacion de los donantes de aorta, sanos y adultos


Grupo 0-BPH09 M 60 65 1,60 1,68 ADPH11 V 45 85 1,70 1,97 ADPH10 V 45 90 1,70 2,01 AAPH13 V 53 73 1,66 1,81 ADPH14 V 57 60 1,70 1,69 ADPH23 M 44 65 1,60 1,67 AAPH27 V 49 75 1,78 1,93 AAPH28 V 52 75 1,65 1,82 AAPH42 M 42 61 1,71 1,71 AAPH45 M 50 75 1,60 1,78 AAPH54 M 46 75 1,68 1,85 ADPH62 M 45 65 1,50 1,60 AAPH64 V 50 70 1,70 1,81 AAPH71 M 48 48 1,55 1,44 AAPH79 V 57 90 1,75 2,06 AA


Cuadro 3.4: Informacion de los donantes de aorta, sanos y mayores de 65 anos


Grupo 0-CPH37 V 72 67 1,65 1,73 AAPH44 V 82 78 1,65 1,85 AA


los velos valvulares, produciendo cambios en el flujo de la sangre y aumentode los gradientes de presion, debido a la disminucion de la seccion. Tambienproduce a largo plazo cambios en la estructura de la pared de la aorta.

Las muestras de tejido arterial se han obtenido de cirugıa de cambio devalvula aortica. Cuando se realiza este tipo de cirugıa es necesario abrir elvaso haciendo una pequena incision para que el cirujano opere y cambie lavalvula. El trozo de material que corta y retira el cirujano es aprovechado y


de el se obtienen las muestras para los ensayos, figura 3.2.

Figura 3.2: Trozo de aorta de uno de los pacientes del grupo 1

Este grupo de pacientes se dividio en dos subgrupos de acuerdo a los tresrangos de edades. El primer subgrupo (B) corresponde a dos pacientes de47 y 62 anos, el segundo subgrupo (C) son pacientes de edad mas avanzadacomprendidas entre 70 y 86 anos.

En el cuadro 3.5 se muestran los datos de los donantes adultos de este gru-po. Se ha dispuesto de dos muestras procedentes de dos donantes diferentescon edades de 47 y 62 anos.

Cuadro 3.5: Informacion de los pacientes adultos con problemas valvulares aorti-cas


Grupo 1-B

PH15 V 62 70 1,65 1,77 AAPH24 V 47 65 1,72 1,77 AA


En el cuadro 3.6 se presentan los datos de los donantes mayores de 65 anosdel grupo 1. Se ha dispuesto de seis muestras procedentes de seis donantesdiferentes con edades comprendidas entre 70 y 86 anos y una media de 77 ±7 anos (edad media ± desviacion estandar).

3.2.3. Pacientes con problemas de valvula bicuspide

La valvula aortica tiene normalmente tres velos o cuspides. La ausenciade uno de ellos (figura 3.3) produce una serie de complicaciones como esteno-


Cuadro 3.6: Informacion de los pacientes mayores de 65 anos con problemasvalvulares aorticas


Grupo 1-C

PH06 M 74 92 1,70 2,03 AAPH25 M 82 56 1,60 1,57 AAPH26 V 71 65 1,61 1,68 AAPH29 V 86 75 1,64 1,81 AAPH35 V 70 62 1,54 1,60 AAPH52 M 82 65 1,44 1,55 AA


sis aortica, diseccion aortica y endocarditis infecciosa, y esta habitualmenteasociada a un defecto congenito que tambien afecta a la pared arterial.

Figura 3.3: Valvula aortica normal (tricuspide) y patologica (bicuspide)

En este trabajo, las piezas estudiadas se obtuvieron de operaciones decambio de valvula en pacientes con valvula aortica bicuspide y correspondena trozos procedentes de las incisiones quirurgicas o de segmentos completoscomo el de la figura 3.4 (notese que el vaso esta muy dilatado).

El grupo de pacientes bicuspide se subdividio en tres grupos de edad,el primero comprende solamente a un paciente joven de 36 anos (subgrupo2-A), el segundo cinco pacientes adultos con edades comprendidas entre 43y 63 anos (subgrupo 2-B), y el tercero (subgrupo 2-C) tres pacientes conedades entre los 65 y 80 anos.


Figura 3.4: Segmento de aorta ascendente de paciente con valvula bicuspide

En el cuadro 3.7 se muestran algunos datos del paciente joven de 36 anoscon valvula bicuspide.

Cuadro 3.7: Informacion del paciente joven de 36 anos con valvula bicuspide


Grupo 2-A

PH84 M 36 64 1,67 1,72 AA


En el cuadro 3.8 se muestran los datos de los pacientes adultos de estegrupo. Se ha dispuesto de cinco muestras procedentes de sendos donantescon edades comprendidas entre 43 y 63 anos.

En el cuadro 3.9 se muestran los datos de los pacientes mayores de 65 anosde este grupo. Se ha dispuesto de dos pequenos trozos procedentes de cadauno de los pacientes sometidos a intervencion quirurgica y un vaso completode otro paciente de 65 anos.


Cuadro 3.8: Informacion de los pacientes adultos con valvula bicuspide


Grupo 2-B

PH05 V 49 84 1,81 2,04 AAPH63 V 63 72 1,61 1,76 AAPH70 M 58 85 1,60 1,80 AAPH109 V 48 68 1,65 1,80 AADO01 V 43 94 1,75 2,12 AA


Cuadro 3.9: Informacion de los pacientes mayores de 65 anos con valvula bicuspi-de


Grupo 2-C

PH18 V 75 73 1,64 1,79 AAPH90 M 80 69 1,66 1,77 AADO04 V 65 81 1,67 1,90 AA


3.2.4. Pacientes con dilataciones severas (aneurismas)

Este grupo comprende pacientes afectados por dilataciones excesivas delvaso (aneurismas) que ademas presentaban muchos factores de riesgo arterialcomo problemas de alcoholismo, tabaquismo y altos ındices de colesterol.

Los segmentos estudiados se obtuvieron de operaciones de implantacionde protesis vasculares y cirugıas de cambio de valvula. Uno de los segmentosanalizados se muestra en la figura 3.5.

El grupo se subdividio en tres subgrupos de edad, el primero comprendesolamente un paciente joven de 25 anos, el segundo ocho adultos con edadesentre 44 y 62 anos, y el tercer subgrupo esta formado por cuatro pacientesmayores de 65 a 81 anos de edad.

En el caudro 3.10 se muestran los datos del paciente joven con aneurismade aorta ascendente.


Figura 3.5: Segmento de aneurisma de aorta ascendente

Cuadro 3.10: Informacion del paciente joven con aneurisma


Grupo 3-A

PH40 V 25 79 1,79 1,98 AA


En el cuadro 3.11 se muestran algunos datos de los pacientes adultos deeste grupo. Se ha dispuesto de ocho muestras procedentes de sendos donantescon edades comprendidas entre 44 y 62 anos y una media de 54 ± 7 anos(edad media ± desviacion estandar).

En el cuadro 3.12 se muestran los datos de los pacientes mayores deeste grupo. Se ha dispuesto de cuatro muestras procedentes de donantes conedades comprendidas entre 65 y 81 anos.


Cuadro 3.11: Informacion de los pacientes adultos con aneurismas


Grupo 3-B

PH12 M 57 63 1,58 1,71 AAPH17 V 60 72 1,70 1,83 AAPH22 M 45 79 1,76 1,95 AAPH30 V 62 79 1,75 1,94 AAPH41 V 44 72 1,90 1,95 AAPH68 V 51 64 1,61 1,68 AAPH74 V 58 80 1,71 1,97 AADO03 V 53 67 1,75 1,80 AA


Cuadro 3.12: Informacion de los pacientes mayores de 65 anos con aneurismas


Grupo 3-CPH67 V 71 95 1,77 2,12 AAPH38 V 65 79 1,70 1,90 AAPH75 V 81 79 1,80 1,99 AADO02 V 75 102 1,73 2,15 AA


3.2.5. Pacientes con mal de Marfan

Los segmentos estudiados se obtuvieron de operaciones de aneurismas enpacientes con el sındrome de Marfan. El sındrome de Marfan es un desordenhereditario del tejido conectivo que afecta muchos sistemas organicos, inclu-yendo el corazon y los vasos sanguıneos, y especialmente la aorta ascendente.

Los vasos analizados provienen de pacientes sometidos a operaciones deimplantacion de protesis vascular. Los segmentos de aorta se encuentran muydilatados tal como se aprecia en la figura 3.6.

Los principales datos de los pacientes se muestran en el cuadro 3.13. Se hadispuesto de tres muestras procedentes de donantes con edades comprendidasentre 27 y 69 anos.


Figura 3.6: Segmento de aorta ascendente dilatada con el mal de Marfan

Cuadro 3.13: Informacion de los pacientes adultos con mal de Marfan


Grupo 4-B

PH19 M 58 71 1,66 1,79 AAPH34 V 69 88 1,70 2,00 AAPH46 V 27 86 1,80 2,05 AA


3.2.6. Protocolo de obtencion de muestras

Las muestras se obtuvieron con el consentimiento informado de los do-nantes o sus familiares, segun el siguiente protocolo:

Identificacion: Las muestras se identificaron preservando el anonimatodel donante. De cada muestra se recogieron datos clınicos del pacientecomo: edad, sexo, historia clınica, factores de riesgo, diagnostico de laenfermedad, tipo de intervencion quirurgica, factores de riesgo cardio-vascular, causa de muerte, etc.

Tipo de muestra: En funcion del tipo de donante, se tuvo acceso ados tipos diferentes de muestra. En donantes sanos para transplante sepudo obtener un segmento completo de aorta ascendente, mientras queen pacientes sometidos a cirugıa cardiaca y vascular solo fue posibleobtener un trozo de pared arterial.


Almacenamiento y conservacion: Se almacenaron en una solucion con-servante, usualmente suero fisiologico, a -2oC hasta su ensayo en unplazo no superior a una semana.

Estudio anatomo-patologico. De cada muestra se realizo un analisishistologico para determinar la estructura de la pared aortica.

3.3. Ensayos de traccion

El ensayo de traccion es un ensayo muy usado para la caracterizacion demateriales. El ensayo consiste en someter a una probeta (normalmente conforma de hueso, ver figura 3.7) a una elongacion uniforme. Durante el ensayose registra la carga, el desplazamiento de las mordazas y el espesor de laprobeta.

3.3.1. Objetivos del ensayo

El ensayo de traccion tiene como objetivo intentar reproducir un estado dedeformacion axial homogenea en la zona central de la probeta situada entrelas mordazas. Con ello es posible analizar el comportamiento uniaxial delmaterial y tambien cuantificar las propiedades y/o los parametros mecanicosasociados a su ecuacion constitutiva.

3.3.2. Interpretacion del ensayo

Como ya se destaco anteriormente la idea fundamental del ensayo es te-ner un estado homogeneo de deformaciones. Esto se logra en la zona centralde la probeta (Cacho [2006]) siempre que la probeta sea suficientementerecta y no presente una curvatura importante, esto es, que no existan efec-tos importantes de flexion. La medida de la deformacion se realiza a travesdel desplazamiento de las mordazas, asumiendo que toda la zona central sedeforma homogeneamente.

El ensayo de traccion proporciona, ademas de la relacion tension defor-macion del material, otros parametros importantes como su resistencia ydeformacion en rotura. Para ello, la rotura debe estar siempre situada en lazona central, y si no es ası la probeta es descartada. Al ser la pared arterialun material formado por tres capas diferentes, el ensayo se considera validosolo hasta el momento en que rompe alguna de estas capas.

42 3.3. Ensayos de traccion

3.3.3. Caracterısticas de las probetas

Las dimensiones de las probetas utilizadas fueron las mas pequenas posi-bles que permitieran conjugar la obtencion de la mayor cantidad de muestrasy su manipulacion con facilidad durante el experimento. Las dimensiones dela probeta plana utilizada son 10 mm de largo, 2 mm de ancho y un espesordado por la pared de la arteria, que oscila entre los 1,5 y 2,4 mm (figura 3.7).

10

16

2 5

espesor variable

Figura 3.7: Esquema de la probeta de traccion, dimensiones en mm

Un esquema de la obtencion de las probetas se muestra en la figura 3.8.

Figura 3.8: Esquema de obtencion de las probetas de pared arterial

Debe destacarse que las probetas se cortaron a lo largo de tres direccio-nes dadas siempre que la cantidad de material disponible lo permitıa, paracaracterizar el comportamiento anisotropo del material. En la figura 3.9 semuestran las direcciones en las que se cortaron las probetas. El angulo de 0o

se asigno a la direccion longitudinal, segun el eje del vaso, y el de 90o a la di-reccion circunferencial, perpendicular al eje. Tambien se ensayaron probetasa 45o del eje del vaso.


0º 45º 90º

Figura 3.9: Direccion de corte de las probetas

3.3.4. Protocolo de los ensayos

Una vez obtenidas las probetas con un troquel, se midieron y registra-ron sus dimensiones. El espesor inicial se midio con un calibre de espesores.Luego, se fijo la probeta a las mordazas mediante pegamento y compresionmecanica como se muestra en la figura 3.10.

Figura 3.10: Montaje y pegado de la probeta en las mordazas

El ensayo se realizo siempre manteniendo la probeta en suero fisiologico(PBS) a la temperatura de 37 ±0,5 oC. Antes de su ensayo mecanico seacondiciono cada probeta durante 10 minutos (ver figura 3.11 y 3.12).

Con el fin de registrar el espesor de la probeta durante el ensayo se em-pleo un extensometro optico. Antes de realizar el ensayo definitivo se rea-lizo un pre-acondicionamiento mediante 5 ciclos de carga-descarga hasta el30 % de la carga maxima de rotura. Despues de esto, se ensayo hasta rotu-ra registrando la curva fuerza–desplazamiento. La velocidad de solicitaciondurante todo el ensayo fue 0,03 mm/s (velocidad de deformacion=15 %/minaprox.).

44 3.3. Ensayos de traccion

Figura 3.11: Montaje del ensayo de traccion. A: Salida del suero fisiologico, B:Probeta, C: Entrada del suero, D: Mordazas de sujecion de la probeta

Figura 3.12: Detalle de la probeta durante el ensayo de traccion

Durante todo el ensayo se registro la carga (precision 0,01 N), el des-plazamiento de las mordazas (precision 0,001 mm) y el espesor instantaneo(precision 0,001 mm).


Un trozo de la muestra adyacente al ensayado y debidamente orientadose fijo en formol y se envıo para analisis histologico.

3.4. Ensayos de presurizacion

El ensayo de presurizacion es un ensayo estructural, en el que se aplicapresion interior a un vaso sometido previamente a una determinada elonga-cion axial.

3.4.1. Objetivos del ensayo

El ensayo reproduce la forma de solicitacion del vaso en el interior delcuerpo humano, si bien permite aplicar cargas mas severas. Algunos autores(Schulze-Bauer y Holzapfel [2003]; Rodrıguez [2003]) tambien usaneste ensayo con el objeto de ajustar modelos constitutivos, aunque en estetrabajo no se ha utilizado con ese objeto.


En este ensayo se aplica primero al vaso una deformacion axial y luegouna presion interior. Para ello se fijan ambos extemos del segmento a lasmordazas de la maquina. Las solicitaciones y restricciones de movimiento delos extremos del vaso causan generalmente un estado tensional complejo quees agravado por el grosor de la pared, su heterogenidad y la falta de simetrıacilındrica.

Por todo lo anterior no es facil obtener leyes y ecuaciones constitutivasmediante un analisis simplificado que no considere el efecto de las mordazas(hipotesis razonable cuando el vaso es recto y tiene al menos una longitud detres diametros), y que asuma un vaso de pared delgada con forma de tuboperfecto y material homogeneo.

En resumen, el ensayo de presion diametro es un ensayo estructural queha sido utilizado principalmente como corroboracion de los modelos que sepresentan en el capıtulo 5.

3.4.3. Caracterısticas de las probetas

Las dimensiones de la probeta estan en funcion del tamano del vaso san-guıneo disponible, si bien se ha intentado siempre obtener la mayor longitudposible. Muchas veces la probeta utilizada no resulto ser un tubo recto, pues,

46 3.4. Ensayos de presurizacion

dependiendo de la zona de extraccion el vaso poseıa cierta curvatura (redu-cida en el caso de la aorta toracica o importante en la aorta ascendente). Elcociente longitud/diametro exterior resulto estar entre 0,85 y 2,5 lo que di-ficulta un analisis posterior del ensayo usando ecuaciones simplificadas paratubos de pared delgada.

Antes de realizar el ensayo la probeta se limpio de los restos de adherenciasy tejidos externos que dificultaban la medida del diametro exterior.

3.4.4. Montaje de los ensayos

El dispositivo utilizado en los ensayos se muestra esquematicamente enla figura 3.13 y consta de los siguientes sistemas:

Figura 3.13: Esquema del dispositivo experimental empleado en los ensayos depresurizacion

Camara de ensayo y sistema de control de temperatura. Las arteriasse ensayaron sumergidas en suero fisiologico (PBS), cuya temperatura


se mantuvo a 37oC (± 0,5oC) haciendolo circular a traves de un banotermostatico. El ensayo se realizo en el interior de una celula de PMMAtransparente que permitio la visualizacion del vaso y la medida deldiametro exterior por metodos opticos.

Sistema de carga:

• Alargamiento axial: Todo el dispositivo esta montado en verticalsobre una maquina electromecanica Instron 4411, con la que sealarga la arteria hasta la longitud requerida.

• Generacion de presion: Unos reguladores de precision controlany estabilizan la presion de aire con la que se impulsa el suero ala temperatura de ensayo. De esta forma el suero se introduceen el interior de la arteria a la presion y temperatura deseada.La temperatura se mide con un termopar de inmersion con unaprecision de 0,5oC.

Medidas mecanicas.

• El desplazamiento de mordazas y la fuerza axial son medidas di-rectamente por la maquina y enviadas a un ordenador medianteun sistema de control y adquisicion de datos. El desplazamientoy la fuerza se registran con una precision de 0,001 mm y 0,01 N,respectivamente.

• La presion interior es medida a la entrada del fluido en la arte-ria mediante un transductor de presion, cuya senal se lleva direc-tamente a un ordenador con una precision de 0,2 mbar = 0,15mmHg.

• El diametro exterior de la arteria se mide en su zona central (noafectada por las mordazas) mediante un extensometro optico Ke-yence LS-7500 cuya precision es de 0,001 mm.

El procedimiento experimental del ensayo de presurizacion puede resu-mirse en los siguientes pasos:

1. Se fijo la probeta a las mordazas mediante pegamento y mecanicamente.Posteriormente se coloco en la maquina de ensayos.

2. Se sumergio en PBS a la temperatura del ensayo y se acondiciono du-rante 10 minutos.

3. Se midio la distancia entre los extremos de las mordazas.

48 3.5. Ensayo de medida de tensiones residuales

Figura 3.14: Fotografıa del montaje del experimento de presurizacion

4. Se monto el extensometro optico, ver figura 3.14.

5. Se aplico presion interior a 2 mmHg/seg introduciendo PBS a la tem-peratura de ensayo. Se realizaron 10 ciclos de carga y descarga conpresiones comprendidas entre 0 y 200 mmHg.

6. Se registro la curva presion-diametro en el rango prefijado, normalmen-te 0 - 200 mmHg.

7. Se alargo la arteria en la direccion axial hasta llevarla a una deformaciondel 10 %. Luego se repitieron los pasos anteriores (5 a 6) dando sucesivosincrementos de deformacion axial del 10 %.

3.5. Ensayo de medida de tensiones residua-

les

La identificacion apropiada de la configuracion de referencia libre de ten-siones es esencial para una adecuada modelizacion y analisis tensional delfuncionamiento del vaso.

Las tensiones residuales son los esfuerzos que se presentan en un solidocuando este esta libre de acciones externas.

Se han realizado ensayos para cuantificar el estado de tensiones residualespreexistente en los vasos estudiados. Para ello se han utilizado el ensayo demedida del angulo de apertura (Liu y Fung [1988]) en el que un segmento


circular se corta radialmente, midiendo el angulo (α) subtendido por losextremos, figura 3.15.

α

Figura 3.15: Esquema del ensayo de tensiones residuales

La probeta empleada corresponde a un anillo del vaso de 3 a 5 mm deanchura aproximadamente.

El objetivo de este ensayo es cuantificar en forma indirecta con el angulode apertura las tensiones residuales y observar el efecto que producen laspatologıas y la edad en este parametro.


La medida del grado de apertura proporciona una estimacion directa yobjetiva del nivel de tensiones residuales circunferenciales presentes en lapared arterial.

Es necesario admitir que la arteria tiene forma de un anillo circular per-fecto antes y despues del corte.

Para poder evaluar las tensiones residuales en la pared de la arteria conla informacion del angulo de apertura algunos autores (Chuong y Fung[1986]; Fung [1991]; Rachev y Greenwald [2003]), consideran que laapertura del anillo se produce en deformacion plana y ademas que el mate-rial es incompresible. Con esto plantean diferentes ecuaciones que permitenestimar el alargamiento circunferencial residual, y mediante un modelo cons-titutivo estimar las tensiones residuales en la pared del vaso.

3.5.2. Montaje de los ensayos

La probeta se coloco en una celda soporte con marcas de referencia paramedir las dimensiones de la muestra. Posteriormente se sumergio el anilloen PBS que se mantenıa a 37 oC (± 0,5oC). Para que la temperatura en lamuestra sea uniforme se dejo la muestra sumergida durante diez minutos,como se observa en la figura 3.16A. A continuacion se corto radialmente el

50 3.6. Analisis histologico

anillo y se dejo veinte minutos mas, para luego fotografiar la probeta comose muestra en la figura 3.16B.

La medida de las dimensiones y el angulo de apertura de la probeta serealizo a traves de las fotografıas y un programa analizador de imagenes,utilizando como referencia las marcas del portamuestras o una reglilla.

La medida del angulo de apertura se hizo utilizando la circunferencia que,con centro en la mediatriz de la recta que une los dos puntos extremos delcorte, mejor ajustara a los puntos de la cara interior del anillo.

Debe tenerse en cuenta que en algunos ensayos al abrirse el anillo estepresento un radio de curvatura excesivamente variable, razon por la cual esdesechado el ensayo. Este fenomeno tambien fue observado por Okamotoet al. [2002].

Las variables que se midieron en este experimento son: las dimensionesde la muestra (precision 0,1 mm), el angulo de apertura (precision 0,5o) y latemperatura (precision 0,5oC).

A B

Figura 3.16: Anillo de aorta antes y despues de cortarlo radialmente

3.6. Analisis histologico

Se realizo un analisis histologico de las arterias ensayadas con el objetivode estudiar su composicion y estructura. Las muestras para los analisis se ob-tuvieron sacando pequenos trozos de los vasos antes de su ensayo que luegose enviaron al Hospital Puerta de Hierro de Madrid cuyo personal especia-lizado realizo los cortes y las tinciones. Las muestras se fotografiaron paracuantificar las fracciones de musculo, elastina y colageno, y su estructura.


El proceso de analisis histologico comenzaba con la extraccion de un seg-mento de cada arteria, su orientacion, su fijacion en formol tamponado yposterior tincion con hematoxilina–eosina, anadiendo orceına para la tincionde las fibras y la tincion elastica de Von Gieson para la observacion de lasfibras de elastina y colageno.

Los cortes de las muestras se realizaron con un microtomo de maneraperpendicular y paralela a la direccion longitudinal de los vasos como semuestra en la figura 3.17.

Figura 3.17: Esquema del corte de las muestras de histologıa, el area sombreadacorresponde a la seccion observada en el miscroscopio

Se ha estudiado la distribucion de fibras elasticas y musculares para losdistintos tipos de patologıas de la aorta, ası como la posible presencia delesiones o zonas degeneradas.

3.7. Conclusiones

En este capıtulo se ha presentado el material ensayado, que ha sido agru-pado segun las distintas patologıas y edad de los donantes.

Tambien se han expuesto los distintos ensayos mecanicos utilizados paracaracterizar el comportamiento mecanico de la pared de la aorta. El ensayode angulo de apertura se ha utilizado para evaluar las tensiones residualesen la pared arterial y se ha descrito el procedimiento histologico que per-mite analizar la estructura de la pared y su modificacion con las distintaspatologıas aorticas estudiadas.

Capıtulo 4

Analisis de los resultadosexperimentales

4.1. Introduccion

En este capıtulo se muestra el analisis de los resultados de los ensayosexperimentales presentados en el capıtulo anterior. El analisis se ha realizadoempleando un conjunto de parametros que permite resumir la informacionfundamental. Con ellos resulta mas sencillo cuantificar la influencia de lasdiferentes patologıas y el envejecimiento.

A continuacion se exponen los resultados del ensayo de traccion, evaluan-do las propiedades mecanicas que se pueden inferir de ellos. Estos resultadosson analizados y comparados con algunos valores publicados en la literatura.

Tambien se muestran los resultados de los ensayos de presurizacion y secalculan los parametros estructurales mas importantes como la distensibi-lidad y el modulo incremental, constrastandolos con datos publicados porotros autores.

Con el fin de caracterizar adecuadamente el estado mecanico de los va-sos, las tensiones residuales presentes en la pared arterial se han evaluadomediante el ensayo de medida del angulo de apertura.

Finalmente, para observar las caracterısticas de la estructura interna de lapared arterial y como se ve afectada por las diferentes patologıas se realizo unestudio histologico de las muestras.

4.2. Analisis del ensayo de traccion

Las curvas de tension de Cauchy (σ) versus alargamiento (λ) de los di-ferentes tejidos se obtuvieron de acuerdo con las caracterısticas del ensayo

53

54 4.2. Analisis del ensayo de traccion

descritas en el capıtulo 3.La tension de Cauchy se calculo con la carga instantanea (F ) dividida

por el area transversal real (a), y el alargamiento con la longitud actual (l)y la longitud inicial (L) empleando la relacion λ = l/L. El area transversalreal se calcula utilizando la condicion de incompresibilidad que conduce a larelacion a = A/λ, siendo A el area al inicio del ensayo.

4.2.1. Parametros de analisis

Para poder analizar mejor el comportamiento mecanico de la pared ar-terial se han definido una serie de parametros relativamente sencillos peroque permiten sintetizar las caracterısticas mas importantes del material ydel funcionamiento del vaso.

Respecto del comportamiento de la pared arterial los parametros que sehan utilizado son: la pendiente en la primera zona de la curva de traccion(E1), la pendiente de la ultima parte (E2) 1, los valores del alargamiento y latension de Cauchy en el codo de la curva (λ1, σ1) y el alargamiento y tensionde rotura (λr, σr) (figura 4.1).

E2

σ1

σ

E1

λλ1

λrσr

Figura 4.1: Parametros del ensayo de traccion

La pendiente E1 se relaciona con la rigidez proporcionada por la contri-bucion de la elastina, pues en esta zona de menores deformaciones las fibrasde colageno aun no se encuentran actuando.

1Denominada por Vorp et al. [2003] como rigidez tangencial maxima

Capıtulo 4. Analisis de los resultados experimentales 55

La pendiente E2 se asocia a la rigidez que presentan las fibras de colagenocuando ya estan desplegadas y alineadas.

La zona de transicion entre estas dos partes de la curva queda definidapor el punto del codo (λ1, σ1).

El punto de rotura del material se situa en (λr, σr). Este valor se deter-mina cuando se observa la rotura de al menos una de las capas de la arteria(normalmente la lamina elastica interna) que es acompanada de una caıdaen el registro de la carga.

Para conocer el estado de solicitacion del material bajo carga fisiologicase ha calculado el estado de tension y deformacion al que se encuentra sujetoel vaso durante su funcionamiento. Dichos valores se obtuvieron represen-tando el vaso por un tubo recto y aplicando la hipotesis de pared delgada.Conocidos el diametro inicial (D) promedio del vaso y el espesor inicial pro-medio (H) y considerando que el material es incompresible y el alargamientoen la direccion axial es λz, se llega a la siguiente expresion para la tensioncircunferencial media en la pared del vaso (σθ).

σθ =Pi2H

λθλz

(λθD − H

λθλz

)(4.1)

donde Pi es la presion en el interior (aproximadamente 80 mmHg en diastoley 120 mmHg en sıstole) y λθ es el alargamiento circunferencial.

La tension circunferencial de funcionamiento se obtiene de la interseccionde la ecuacion (4.1) con la curva tension–alargamiento del material medidaen la direccion circunferencial. Las intersecciones correspondientes a las pre-siones diastolica y sistolica definen los puntos de funcionamiento inferior ysuperior de la pared arterial y han sido utilizados como referencia en el anali-sis. Los detalles del desarrollo y la justificacion de las suposiciones hechas sedetallan en el apendice C.

Encontrados los puntos de funcionamiento del vaso es posible estimar apartir de los ensayos de traccion simple los ındices estructurales que nor-malmente son medidos in-vivo usando tecnicas clınicas para la medicion deldiametro y la presion en diastole y sıstole. Los parametros que se han calcu-lado son: la distensibilidad (DC) y el modulo incremental (Einc).

La distensibilidad es una medida de la capacidad de la pared del vaso paradilatarse durante los cambios de la presion sanguınea. La distensibilidad delvaso esta directamente relacionada con el contenido de elastina y colageno ysus caracterısticas estructurales. Se calcula mediante una ecuacion propuestaen un consenso de expertos (Laurent et al. [2006]):

DC =D2s −D2

d

D2s(Ps − Pd)

(4.2)


donde Ds, Dd, Ps y Pd son los diametros y presiones de sıstole y diastole,respectivamente. La distensibilidad mide el cambio relativo de volumen delvaso con un incremento de presion.

El modulo incremental corresponde a la pendiente de la secante a la curvatension alargamiento entre los puntos de funcionamiento. Se calcula con lasiguiente expresion (Laurent et al. [2006]):

Einc =3D2

s(Ps − Pd)D2s −D2

d

4H +Ds

4H(4.3)

En otras palabras el modulo incremental es la relacion entre las tensionesprovocadas al actuar la presion interior y las deformaciones diametrales. Amayor modulo incremental mas rıgido es el material de la pared arterial.

La distensibilidad y el modulo incremental fueron evaluados con los pun-tos de funcionamiento y se compararon con los obtenidos por otros autoresen mediciones in-vivo.

4.2.2. Resultados de los ensayos de traccion

En las siguientes figuras se recogen las curvas de tension – alargamientopara los vasos sanos y patologicos.

Curvas tension de Cauchy – alargamiento.

Para realizar una comparacion objetiva se presentan las curvas de tensionalargamiento clasificadas segun tres tipos de edades: jovenes, adultos y ma-yores. En las figuras 4.2 a la 4.4 se presenta la curva de tension de Cauchyfrente al alargamiento para vasos sanos y patologicos, separando los resul-tados para la direccion axial (0o) y circunferencial (90o). Como referencia,los cırculos negros de cada grafica indican los puntos de funcionamiento delvaso.

En la figura 4.2 se muestra la curva de tension alargamiento para va-sos jovenes: sanos (A-0), con valvula bicuspide (A-2) y aneurisma (A-3) endireccion longitudinal y circunferencial.

En la figura 4.2 se distinguen dos zonas de diferente rigidez. Una primeraen que la pendiente de la curva se mantiene aproximadamente constante –proxima a la linealidad– y de gran flexibilidad. Para los tejidos sanos endireccion longitudinal, esta primera zona se extiende hasta un alargamientode λ ' 1,15 (figura 4.2A), y es notablemente mas amplia en la direccioncircunferencial (λ ' 1,4).

Para los pacientes con valvula bicuspide se observa una zona inicial masreducida, hasta λ ' 1,07 para las dos direcciones analizadas.


0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

3000

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ

Probetas orientadas en dirección longitudinal (0º)

Sanos 0−ABicúspide 2−A

Aneurismas 3−A

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

3000

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ

Probetas orientadas en dirección circunferencial (90º)

Sanos 0−ABicúspide 2−A

Aneurismas 3−A

A

B

Figura 4.2: Tension en funcion del alargamiento para vasos jovenes (grupo A),las barras corresponden al error estandar. (A): probetas orientadas en direccionlongitudinal (0o). (B): probetas orientadas en direccion circunferencial (90o). Lospuntos correspondientes al funcionamiento en el vaso se indican mediante cırculosnegros


En el caso de pacientes aneurismaticos esta zona es un poco mas ampliaque la del grupo anterior llegando hasta λ ' 1,15.

A partir de estos alargamientos la pendiente de las curvas empieza acrecer rapidamente, rigidizandose hasta llegar a la rotura. Es en esta ultimazona donde se observan mayores diferencias en la respuesta mecanica de lasdos direcciones analizadas. Probablemente estas diferencias no se distinguenal principio del ensayo debido a que las fibras de colageno no se encuentrantrabajando y es principalmente la elastina la responsable del comportamientomecanico a niveles de deformacion mas bajos.

En el cuadro 4.1 se presentan los diametros exteriores (D) y espesores(H) de los vasos jovenes. Notese que solamente se dispuso de vasos completospara los grupos sanos, bicuspides y aneurismaticos. Con estos datos se hanobtenido los puntos de funcionamiento que se muestran en la figura 4.2.

Cuadro 4.1: Diametro (D) y espesor (H) de los vasos jovenesGrupo D [mm] ± error H[mm] ± error

Sanos (0-A) 22 ± 2,2 1,95 ± 0,31Bicuspide (2-A) 39 ± 1,8 2,02 ± 0,25

Aneurismas (3-A) 40 ± 2,7 2,29 ± 0,16

En la figura 4.3 se presentan las curvas de tension alargamiento para todoslos tejidos adultos, grupo B (sanos y patologicos).

Tambien es posible distinguir las dos zonas de diferente rigidez. Para losensayos longitudinales (ver figura 4.3A) esta zona termina a un alargamien-to λ ' 1,3 para todos los pacientes, excepto para los pacientes con mal deMarfan que se reduce a λ ' 1,18. En los ensayos circunferenciales (ver figura4.3B) la primera parte de la curva finaliza en un alargamiento de λ ' 1,20para todos los tipos de pacientes. Luego la curva comienza a tener una pen-diente cada vez mas alta, rigidizandose hasta que la probeta rompe. En lazona de mayor pendiente de la curva (E2) se observan las mayores diferenciasen el comportamiento mecanico de las dos orientaciones estudiadas, sobre to-do en las curvas de donantes sanos donde se observa una alta capacidad dedeformarse antes de romper, en la direccion circunferencial, lo que indica unapresencia mayor de fibras en esta direccion, en correspondencia con el modode habitual de trabajo del vaso.

Los pacientes patologicos presentan un comportamiento menos anisotro-po, los pacientes con mal de Marfan y los aneurismas presentan un com-portamiento muy similar en ambas direcciones, y un poco mas diferente enlos pacientes con problemas valvulares y Bicuspides, donde se observa una


0

300

600

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1500

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TE

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σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ


Sanos 0−BProb Valvulares 1−B

Bicúspide 2−BAneurismas 3−B

Marfán 4−B

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1200

1500

1800

2100

2400

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1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ


Sanos 0−BProb Valvulares 1−B

Bicúspide 2−BAneurismas 3−B

Marfán 4−B

A

B

Figura 4.3: Tension en funcion del alargamiento para vasos de edad adulta (grupoB), las barras corresponden al error estandar. (A) probetas orientadas en direccionlongitudinal (0o). (B) probetas orientadas en direccion circunferencial (90o). Lospuntos correspondientes al funcionamiento en el vaso de indican mediante cırculosnegros.


tendencia a ser levemente mas rıgido en la direccion circunferencial. Esta ate-nuacion de la anisotropıa probablemente sea por un cambio en la estructurade la pared provocada por las patologıas, mas acentuada en el caso de lospacientes con mal de Marfan.

En cada uno de los grupos de pacientes se midieron los diametros y es-pesores de los vasos de los que se obtuvieron las probetas. Los valores seresumen en el cuadro 4.2. Para los pacientes del grupo 1, no se dispuso de lainformacion, pues las muestras provenıan solo de trozos pequenos, no de vasoscompletos. Con estos valores se han calculado los puntos de funcionamientomostrados en la figura 4.3B.

Cuadro 4.2: Diametro (D) y espesor (H) de los vasos de donantes adultosGrupo D [mm] ± error H[mm] ± error

Sanos (0-B) 23,7 ± 4,4 2,2 ± 0,3Bicuspide (2-B) 37 ± 2,3 1,75 ± 0,3

Aneurismas (3-B) 38,5 ± 7,7 2,03 ± 0,28Mal de Marfan (4-B) 55,7 ± 5,2 1,9 ± 0,18

En la figura 4.4 se presentan las curvas de tension alargamiento para elsubgrupo de personas mayores, grupo C, y en ellas es posible distinguir denuevo dos zonas de diferente rigidez.

En la figura 4.4A se muestran los resultados del ensayo de traccion deprobetas longitudinales. En este caso no se dispuso de muestras de tejidosano. En dicha figura es posible distinguir que la primera parte de la cur-va para los pacientes con aneurismas finaliza con un alargamiento λ ' 1,35,mientras que para los pacientes con problemas valvulares finaliza en λ ' 1,10y se reduce a λ ' 1,05 para los pacientes bicuspides. Pese a la gran disper-sion experimental en los pacientes con problemas valvulares y bicuspides, esdestacable la diferencia entre la respuesta mecanica de estos dos grupos.

La figura 4.4B presenta las curvas de tension alargamiento para las pro-betas orientadas circunferencialmente. Es posible distinguir que la primeraparte finaliza a niveles de alargamiento de λ ' 1,18 para todas las patologıascon excepcion de los pacientes con problemas valvulares cuyo alargamientolımite de λ ' 1,08, es muy similar al de la direccion longitudinal.

En la ultima parte de la curva la pendiente se incrementa rapidamente,para finalmente llegar a la rotura. En el grupo de pacientes con problemasvalvulares se observan en esta ultima zona los mayores diferencias en la res-puesta mecanica de las dos direcciones analizadas. Para el caso de los vasossanos no se tienen antecedentes en la direccion longitudinal al no contar con


0

300

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TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ


Sanos 0−CProb Valvulares 1−C

Aneurismas 3−C

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

3000

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ


Prob Valvulares 1−CBicúspide 2−C

Aneurismas 3−CA

B

Figura 4.4: Tension en funcion del alargamiento para vasos de edad mayor (grupoC), las barras corresponden al error estandar. (A) probetas orientadas en direccionlongitudinal (0o). (B) probetas orientadas en direccion circunferencial (90o). Lospuntos correspondientes al funcionamiento en el vaso se indican mediante cırculosnegros.


muestras en esa direccion. Para los pacientes con aneurismas no es signifi-cativa la diferencia en el comportamiento mecanico en la ultima parte de lacurva, sobre todo en lo que refiere al alargamiento de rotura. No obstante seobserva una leve rigidizacion en la direccion circunferencial. Finalmente enel caso de los pacientes bicuspides solo se conto con una probeta en direccionlongitudinal por lo que sus datos no han sido incluidos.

En los grupos de pacientes sanos y con aneurismas se midieron los diame-tros y espesores de los vasos que se muestran en el cuadro 4.3 con los que secalcularon los puntos correspondientes al funcionamiento fisiologico.

Cuadro 4.3: Diametro (D) y espesor (H) de los vasos de mayor edadGrupo D [mm] ± error H[mm] ± error

Sanos (0-C) 28,3 ± 2,4 1,77 ± 0,3Aneurismas (3-C) 40,2 ± 3,7 2,0 ± 0,18

Tension y alargamiento de rotura En las figuras 4.5 y 4.6 se recogenlos alargamientos y tensiones de rotura para todos los casos analizados.

Es posible distinguir que, en general, los tejidos sanos presentan alarga-mientos y tensiones de rotura mas elevados que los patologicos. La unicaexcepcion se da en los vasos sanos de edad avanzada, probablemente porquela pared arterial posee una estructura envejecida que la aproxime al compor-tamiento enfermo.

Los pacientes con mal de Marfan son los que presentaron las tensiones derotura mas pequenas.

Por otra parte es posible apreciar que los alargamientos y tensiones derotura para la direccion circunferencial son mayores que para la direccionlongitudinal, llegando a un maximo de diferencia en el caso de los tejidossanos y siendo menor en los bicuspides.

Los valores obtenidos son similares a los publicados por Vorp et al.[2003], que refieren valores de la tension de rotura en aneurismas de aortaascendente y en pacientes sanos de edad promedio de 66 y 51 anos, respec-tivamente. Vorp publica tensiones de roturas en probetas longitudinales ycircunferenciales de aneurismas de 1180 ± 120 kPa y 1210 ± 90 kPa, respec-tivamente. En este trabajo el valor de la tension de rotura de los pacientescon aneurismas (de edad promedio 54 anos), en probetas longitudinales ycircunferenciales, alcanzan el valor de 933 ± 130 kPa y 1017 ± 136 kPa,respectivamente. Para los pacientes sanos del trabajo de Vorp los valores detension de rotura en probetas longitudinales y circunferenciales son de 1710


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EDAD [años]

Marfán− 0Marfán−90

A

C

B

D

Figura 4.5: Alargamiento de rotura. (A) Tejidos sanos, (B) pacientes con proble-mas valvulares y bicuspides, (C) pacientes con aneurisma y (D) pacientes con malde Marfan

± 140 kPa y 1800 ± 240, respectivamente. La tension de rotura en los pacien-tes sanos de 50 anos de edad (promedio) con probetas orientadas longitudinaly circunferencialmente son de 1013 ± 207 kPa y 1284 ± 350 kPa, un pocoalejados a los publicados por el citado autor. Es importante observar que nohay una significativa diferencia entre la tension de rotura circunferencial ylongitudinal, tendencia que tambien se observa en los resultados de Vorpet al. [2003].

Del analisis de los datos de las figuras 4.5 y 4.6 se pueden extraer lassiguientes conclusiones:

– Independiente de la orientacion de la probeta (circunferencial o longi-


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A B

C D

Figura 4.6: Tension de rotura. (A) tejidos sanos, (B) pacientes con problemasvalvulares y bicuspides, (C) pacientes con aneurisma y (D) pacientes con mal deMarfan

tudinal), el alargamiento de rotura disminuye con la edad en los grupos devasos sanos, estenosis y bicuspide. Esta tendencia no es tan clara en vasosaneurismaticos y con mal de Marfan.

– En cuanto a las tensiones de rotura, estas decrecen con la edad en sanosy no se aprecia una tendencia marcada en el resto de los grupos.

– Respecto a las diferencias del punto de rotura para las direcciones cir-cunferencial y longitudinal, se observa que el alargamiento de rotura presentamayores diferencias en los sanos, especialmente en los jovenes, en los que lasprobetas longitudinales rompen antes que las circunferenciales. En el restode los grupos la dispersion impide extraer conclusiones. En lo referente a las


tensiones de rotura el grupo de vasos sanos, especialmente jovenes, son losque presentan diferencias mas acusadas observandose que las tensiones derotura longitudinales son menores a las circunferenciales. En el resto de losgrupos no se ven diferencias importantes (debido a la dispersion), si acasolas tensiones longitudinales de rotura en los mas jovenes son inferiores a lascircunferenciales.

– Comparando las tensiones y alargamiento de rotura unicamente en ladireccion circunferencial, los valores mas altos se encuentran en el grupo desanos y jovenes. En general se reducen progresivamente con la gravedad de lapatologıa (estenosis, bicuspide, aneurismas y Marfan). Los valores menoresse hallan en el Marfan.

En la figura 4.7 se muestra la tension de rotura en funcion de la edad paratodas las probetas orientadas circunferencialmente. La recta corresponde alajuste de mınimos cuadrados de la media de todas las muestras.

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Edad [años]

PromedioOkamoto et al

SanosEstenosisBicúspide

AneurismasMarfán

Figura 4.7: Tension de Cauchy de rotura en funcion de la edad para todos losgrupos de vasos (probetas circunferenciales)

De forma global la tension de rotura disminuye con la edad siguiendo unatendencia similar a la reportada por Okamoto et al. [2002]. El ajustelineal de la tension de rotura con la edad que reporta Okamoto et al.[2002] es σf [kPa] = 2875−23 × edad [anos], y en todos los ensayos realizadosen este trabajo se ajusta una recta σf [kPa] = 2345− 22 × edad [anos] , devalores similares a las del autor citado.

En el cuadro 4.4 se resumen los resultados de las tensiones y alargamientosde rotura para cada uno de los grupos analizados.


Cuadro 4.4: Alargamientos (λrot) y tensiones de rotura (σrot) en kPaPatologıa Edada Longitudinal Circunferencial

λrot ± error σrot ± error [kPa] λrot ± error σrot ± errorA 1,91 ± 0,051 1028 ± 119 2,34 ± 0,051 2281 ± 236

Sanos B 1,99 ± 0,053 1013 ± 207 1,90 ± 0,052 1284 ± 349C – – 1,57 ± 0,004 968 ± 215

A – – – –Estenosis B 1,69 ± – 610 ± – 1,77 ± – 610 ± –

C 1,45 ± 0,053 898 ± 222 1,38 ± 0,012 1698 ± 125

A 1,63 ± 0,024 718 ± 138 1,74 ± 0,028 1705 ± 176Bicuspide B 1,37 ± 0,048 1075 ± 59 1,57 ± 0,039 969 ± 59

C 1,36 ± 0,074 955 ± 24 – –

A 1,92 ± 0,0432 718 ± 32 1,84 ± 0,0432 1287 ± 219Aneurismas B 1,76 ± 0,0614 933 ± 130 1,69 ± 0,0394 1036 ± 156

C 1,81 ± 0,0679 564 ± 128 1,72 ± 0,0312 937 ± 219

A – – – –Marfan B 1,65 ± 0,0404 679 ± 71 1,70 ± 0,047 744 ± 76

C – – – –

aSubgrupos de edad: A ≤ 36 anos ; B 38 ≤edad≤ 60 anos ; C edad≥ 65 anos

Observando los resultados para probetas circunferenciales, se destaca lamarcada diferencia en la tension de rotura entre los tejidos jovenes y mayoressanos (grupo 0) (2281 ± 236 kPa y 968 ± 215 kPa;test t, p < 0,05). Referentea los alargamientos de rotura en esta misma direccion es posible constataruna disminucion considerable con la edad desde 2,34 ± 0,051 en los pacientesjovenes, a 1,57 ± 0,004 en los mayores.

Tensiones y alargamientos fisiologicos Es un hecho experimental cons-trastado el que los procesos patologicos en la aorta conducen a una dilataciondiametral permanente del vaso, lo que implica que para un mismo nivel depresion las tensiones alcanzadas en la pared son mas elevadas. El caso masextremo es la formacion de aneurismas, en donde el diametro en reposo puedeser superior a 5 cm, cuando en un vaso sano este valor ronda los 2,5 cm.

Un sencillo calculo muestra que los valores de las tensiones de funcio-namiento de los vasos sanos son menores que las de los vasos patologicos,siendo mas pronunciada la diferencia con los del grupo 4 (pacientes con malde Marfan) que casi triplican el valor de los sanos.


Este hecho hace que, en el caso de los pacientes con valvula bicuspide oaneurismas, aunque la pared arterial patologica presente tensiones de roturasimilares a las de un paciente sano, estos pueden estar cerca de los nivelesde tension alcanzados en el funcionamiento del vaso, por lo que es necesarioevaluar los puntos de funcionamiento en los diferentes grupos de pacientesy ası estimar el nivel de peligrosidad de la patologıa frente a una rotura odiseccion.

El aumento de la tension por efecto de la dilatacion permanente produceun desplazamiento del punto de funcionamiento como se muestra en las figu-ras 4.3 y 4.4, que tiende a ubicarse en la zona de mayor pendiente de la curvatension–alargamiento, y por ello el comportamiento del vaso sera mucho masrıgido, perdiendo parte de su funcion de amortiguamiento de la onda de pre-sion del latido cardiaco. Ademas en todos los casos patologicos se observaque el punto de funcionamiento se aproxima al nivel de rotura del material.

En la figura 4.8 se presenta el cociente entre los valores del punto derotura y de funcionamiento de forma que se puede evaluar la seguridad delvaso.

Desde el punto de vista del alargamiento puede apreciarse en la figura4.8A que los vasos de los pacientes sanos son, como era de esperar, los masalejados de la condicion de rotura. Tambien se distingue que los vasos enfer-mos trabajan en promedio alrededor de un 11 % alejados de la condicion defallo, siendo los mas proximos a la condicion de rotura los pacientes con malde Marfan.

Respecto a la cercanıa de la rotura desde la perspectiva de las tensiones(figura 4.8B) las diferencias son mas acusadas, sobretodo en el caso de los pa-cientes sanos, pues estos se encuentran trabajando en la zona cercana al codode la curva donde las tensiones son muy inferiores a las de rotura. No ocurreası en los pacientes enfermos, en los que el punto de funcionamiento se ubicaen la rama de mayor pendiente (rigidez) de la curva tension–alargamiento.

Es importante observar en la figura 4.8, que el aumento de la edad acercael punto de funcionamiento a la condicion de rotura, para todos los gruposanalizados.

Codo de la curva tension – alargamiento. La forma de la curva tensionalargamiento se ha evaluado con los parametros que ubican la posicion delcodo (λ1, σ1) y las pendientes E1 y E2.

En la figura 4.9 se presentan los valores de λ1 para los distintos grupos devasos en funcion de la edad. En los ensayos circunferenciales el alargamientoen el codo (λ1) de los tejidos enfermos es menor que el de los sanos, exceptoel caso de los de mas edad. Esto muestra nuevamente que los vasos mayores


Edad < 36 38 <Edad < 62 Edad > 65

(grupo B)(grupo A) (grupo C)

(grupo B)(grupo A) (grupo C)

Edad < 36 38 <Edad < 62 Edad > 65 Edad

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Marfan (grupo 4)

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Aneurismas (grupo 3) B

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Sanos (grupo 0) Estenosis (grupo 1)

Aneurismas (grupo 3)

Marfan (grupo 4)

Bicúspide (grupo 2)

σrotura

σfisio

λrotura

λfisio

Figura 4.8: Comparacion del punto de rotura con el punto de funcionamiento(calculado para p=100 mmHg). (A) Cociente alargamiento de rotura – alarga-miento fisiologico. (B) Cociente tension de rotura – tension fisiologica. Los valoresse expresan en %

se acercan peligrosamente al comportamiento mecanico de los patologicos.Notese que las patologıas que menores alargamientos λ1 presentan son la


de los pacientes con problemas valvulares y bicuspides. Tambien se puedeobservar que el grupo de pacientes con aneurismas tienen una respuesta muyparecida en λ1 con los pacientes con el mal de Marfan.

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A B

C D

Figura 4.9: Alargamiento λ1 del punto de cambio de pendiente (codo) de la curvatension–alargamiento. (A) Tejidos sanos, (B) pacientes con problemas valvularesy bicuspides, (C) pacientes con aneurisma y (D) pacientes con mal de Marfan

Para los ensayos longitudinales tambien se observa que el alargamiento λ1

en los tejidos patologicos es menor que el de los sanos, pero siendo esta dife-rencia mas pequena. Nuevamente las patologıas que menores alargamientospresentan son los pacientes con problemas valvulares y bicuspides.

Ademas, se observa que λ1 para las probetas circunferenciales (figura 4.9)solo disminuye significativamente con la edad en los pacientes sanos (grupo 0)


y bicuspides (grupo 2), en cambio, en los pacientes con aneurismas (grupo 3)se mantiene constante en un valor de 1,4 aproximadamente. Para el resto delos grupos de pacientes no hay una tendencia clara. En el caso de la direccionlongitudinal la tendencia parece similar.

En la figura 4.10 se muestra la tension en el codo σ1 para todos los gruposen funcion de la edad de los tejidos.

Se observa que la tension σ1 para las probetas orientadas circunferencial-mente disminuye con la severidad de la patologıa. Tambien se observa quelos tejidos sanos de edad avanzada se aproximan al comportamiento patologi-co. Cabe senalar que los valores que alcanza σ1 son bastante similares entresı para todas las patologıas, alrededor de 100 kPa.

La tension σ1 en direccion circunferencial tambien disminuye con la edaden los vasos sanos (grupo 0) y bicuspides (grupo 2). En el resto de los gruposlos valores se mantienen aproximadamente constantes en el rango de 90 a125 kPa. En la figura 4.10 se observa que el comportamiento con la edadde σ1 para la direccion longitudinal no es muy claro en los vasos sanos ybicuspides. En el resto de las patologıas se observa que el valor de la tensionσ1 es aproximadamente constante y oscila entre los 80 a 100 kPa.

Pendiente E1 Si observamos los valores de las probetas circunferencialesde la figura 4.11 es posible ver que la pendiente en la primera parte de lacurva (E1) alcanza los 90 kPa en promedio, no variando apreciablementecon las patologıas a excepcion de los pacientes con aneurismas, en los que seobserva un valor promedio inferior en un 50 %. Tambien hay un incrementoapreciable de E1 para los pacientes con valvula bicuspide que son jovenes (35anos), duplicando en algunos casos los valores de los sanos.

Pese a la elevada dispersion observada en la figura 4.11 se pueden extraeralgunas conclusiones. La pendiente E1 en direccion circunferencial disminuyecon la edad solo para los pacientes bicuspides, en el resto de los grupos depacientes se mantiene practicamente constante. Para los ensayos longitudi-nales E1 se mantiene sensiblemente constante con excepcion de los pacientesbicuspides en los que no existe una tendencia clara. Para todos los gruposanalizados la pendiente E1 alcanza un valor promedio entre los 50 y los 100kPa, excepto para los pacientes de mayor edad del grupo aneurismatico, enlos que se eleva a 150 kPa.

Pendiente E2 En la figura 4.12 se muestran los valores de la pendiente enla ultima parte de la curva (E2) para probetas circunferenciales y longitudi-nales respectivamente en funcion de la edad de los pacientes.

Pese a la gran dispersion de los resultados, en la figura 4.12 es posible


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A B

C D

Figura 4.10: Tension σ1 del punto de cambio de pendiente (codo) de la curva. (A)Tejidos sanos, (B) pacientes con problemas valvulares y bicuspides, (C) pacientescon aneurisma y (D) pacientes con mal de Marfan

distinguir que E2 en direccion circunferencial disminuye con la edad en lospacientes bicuspides (grupo 2) y se mantiene aproximadamente constantepara el resto de grupos. Para las probetas longitudinales se observa que E2

es aproximadamente constante con la edad para todos los grupos.

Para las muestras circunferenciales se aprecia que los valores sanos seencuentran aproximadamente en el mismo rango que los bicuspides (4500kPa), tendencia que se pierde en los pacientes mas jovenes, que dan valoresmas elevados (∼ 6000 kPa) para los bicuspides. Ademas puede notarse quelos valores mas bajos se dan en los pacientes con mal de Marfan, (∼ 2000


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A B

DC

Figura 4.11: Pendiente en la primera parte de la curva tension–alargamientoE1. (A) Tejidos sanos, (B) pacientes con problemas valvulares y bicuspides, (C)pacientes con aneurisma y (D) pacientes con mal de Marfan

kPa) lo que tambien se observa claramente en las curvas tension alargamiento(ver figura 4.12). Al comparar los valores entre pacientes enfermos se observaque los valores de E2 varıan en forma decreciente desde valores altos en lospacientes bicuspides, para seguir con los pacientes con aneurismas, hasta losmas bajos con el mal de Marfan, tendencia que se repite en las probetaslongitudinales.

Una observacion interesante es que los valores de E2 para los aneurismastienden a estar entre los 3500 a 4000 kPa, valores similares a los publicadospor Vorp et al. [2003] y ademas levemente inferiores a los resultados de


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A B

DC

Figura 4.12: Pendiente en la segunda parte de la curva tension–alargamientoE2. (A) Tejidos sanos, (B) pacientes con problemas valvulares y bicuspides, (C)pacientes con aneurisma y (D) pacientes con mal de Marfan

los pacientes sanos, tendencia que tambien reporta Vorp et al. [2003].

La pendiente E2 en los pacientes sanos es mas grande para las probetasorientadas circunferencialmente que las longitudinales, probablemente por-que en esta parte de la curva las responsables de la resistencia mecanicason las fibras de colageno, que a estos niveles de deformacion se encuentranmas alineadas en direccion circunferencial. En los pacientes con dilataciones(bicuspide, aneurismas y Marfan) no se muestra esta circunstancia, sino quese observa que E2 no varıa con la direccion de las probetas, y su comporta-miento es bastante isotropo.

744.3. Analisis del comportamiento presion–

diametro

En la figura 4.12 a pesar de la dispersion es posible distinguir que la pen-diente E2 en direccion circunferencial disminuye con la edad en los pacientesbicuspides (grupo 2) y se mantiene constante para los pacientes sanos (grupo0) y pacientes con aneurismas (grupo 3). Para las probetas longitudinalesse observa que la pendiente E2 es aproximadamente constante con la edadpara los pacientes sanos (grupo 0) y con aneurismas (grupo 3). El resto delos vasos no presentan una correlacion clara.


diametro

El ensayo presion–diametro reproduce mejor las condiciones reales de tra-bajo del vaso que los ensayos de traccion uniaxial, proporcionando resultadoscomplementarios.

Desafortunadamente, los segmentos de aorta ascendente disponibles nohan tenido las condiciones geometricas mınimas para su ensayo (longitudsuficiente y poca curvatura) por lo que se ha recurrido al estudio de aortasdescendentes. En el apartado 3.2.1. se han proporcionado los datos basicosde estos vasos, que en su mayorıa provenıan de donantes de organos sinpatologıas vasculares previas.

Los ensayos presion–diametro sobre segmentos de aorta descendente sehan utilizado principalmente como constatacion y validacion de los modelosconstitutivos y los metodos numericos utilizados en la tesis. A tal fin, serealizaron ensayos de traccion uniaxial especıficos sobre muestras obtenidasen direccion longitudinal y circunferencial de aorta descendente para calibrarlos modelos de forma independiente de los ensayos de presurizacion.

Por la especificidad de su uso, y por no ser utilizados en el estudio generaly discusion del efecto de las patologıas en la aorta ascendente los resultadosde estos ensayos uniaxiales (en aortas descendentes) se dan en el apendice D.

Ademas el ensayo de uno de los vasos (PH54) sera analizado numerica-mente con un modelo de elementos finitos, que es presentado en el capıtulo5 (apartado 5.5).

De los ensayos de presion–diametro tambien se han obtenido algunosparametros relevantes sobre el funcionamiento vascular, en este caso de laaorta descendente. Con el fin de completar y ampliar en lo posible la discu-sion tambien a la aorta ascendente –de la que no fue posible realizar ensayosde presurizacion– se han estimado los valores de la distensibilidad y del modu-lo incremental a partir de los ensayos de traccion, mediante las expresionesmostradas en el apartado 4.2.1.


Ensayo de presurizacion

La realizacion del ensayo de presurizacion descrito en el capıtulo ante-rior permitio obtener las curvas de presion interior (Pi) versus alargamientocircunferencial (λθ) de cada vaso. El alargamiento λθ se obtuvo al dividir eldiametro instantaneo (d) por el diametro inicial (D). La curva presion alarga-miento circunferencial se ha obtenido para diferentes niveles de alargamientoaxial (λz) de la probeta, alargamiento que se calcula como la longitud actual(lt) del tubo dividida por su longitud inicial (Lt), λz = lt/Lt.

4.3.1. Parametros de analisis

Ademas de la informacion contenida en la curva presion alargamiento, losparametros utilizados para la caracterizacion de la respuesta estructural delvaso han sido el diametro (D), la distensibilidad (DC) y el modulo incremen-tal (Einc) definidos por las ecuaciones (4.2) y (4.3) en el rango de presionesfisiologicas (80 a 120 mmHg). Estos parametros son usados frecuentementepor los medicos a la hora de diagnosticar patologıas o evaluar el estado de lapared arterial, siendo medidos y calculados in-vivo generalmente con tecnicasde ultrasonidos (Meinders y Hoeks [2004]).

4.3.2. Resultados de los ensayos de presurizacion

En la figura 4.13 se muestran las curvas presion–alargamiento correspon-diente a ensayos de cuatro aortas descendentes sanas procedentes de donantesjovenes con edades comprendidas entre 20 y 34 anos.

Para el caso de λz = 1,0 puede observarse que a presiones inferiores a75 mmHg la respuesta del material es sensiblemente lineal, probablementeporque solo la elastina esta activa en esta zona. Posteriormente, a presionessuperiores a 150 mmHg, las fibras de colageno comienzan a actuar y se rigidizael material.

Cuando el vaso ha sido estirado (λz = 1,2) el material se encuentra some-tido a una tension uniforme en la direccion axial que produce que el diametrose reduzca (λθ < 1) en ausencia de presion interior. La respuesta mecanicapromedio es, sin embargo, similar a la del vaso sin estirar, como puede ob-servarse en la curva representada en la figura.

En la figura 4.14 se presenta la evolucion del alargamiento circunferencial(λθ = d/D) en funcion de la presion aplicada para alargamientos axiales deλz = 1,0 y λz = 1,2 en cinco vasos sanos procedentes de donantes adultos(de 45 a 60 anos).


diametro

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

PR

ES

IÓN

[mm

Hg]

ALARGAMIENTO CIRCUNFERENCIAL, λθ

λz=1.0λz=1.2

Figura 4.13: Presion interior en funcion del alargamiento circunferencial λθ parados alargamientos axiales λz. Aortas descendentes (AD) sanas jovenes (cuadro 3.2)

En ella se observa que la rigidez del vaso aumenta de forma continuaconforme crece la presion aplicada, sin un cambio tan marcado como enlas aortas mas jovenes. El comportamiento mecanico de los vasos adultoses un poco mas rıgido que el de los vasos de edad mas joven, alcanzandosealargamientos entre 1,18 y 1,25 a p = 100 mmHg frente a 1,27 y 1,35 paralas aortas jovenes.

Es importante mencionar la dipersion obtenida en la medida del diame-tro, sobre todo, a niveles de presion superiores a los 80 mmHg, en los queocasionalmente se producıan pandeos locales de la pared que se reflejaban ensaltos bruscos del diametro. Este efecto se reducıa en gran medida cuando seestiraba al vaso axialmente.

De las curvas del ensayo presion diametro se han calculado la distensi-bilidad (DC) y el modulo incremental (Einc) definidos en el apartado 4.2.1.Los valores de estos parametros se muestran en el cuadro 4.5.

Con el fin de calibrar la bondad de la estimacion de DC y Einc conel ensayo de traccion uniaxial, el cuadro 4.5 tambien muestra los valoresdeducidos de los ensayos de traccion sobre aorta descendente recogidos en


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

PR

ES

IÓN

[mm

Hg]

ALARGAMIENTO CIRCUNFERENCIAL, λθ

λz=1.0λz=1.2

Figura 4.14: Presion interior en funcion del alargamiento circunferencial λθ parados alargamientos axiales λz. Aortas descendentes (AD) sanas adultas (cuadro 3.3)

Cuadro 4.5: Parametros mecanicos de los vasos analizados

Aorta descendente Resultados de ensayos de presurizacionDC [mmHg−1 ] ×10−3 Einc [MPa]

Joven 3,635± 0,24 0,835± 0,27Adulta 2,666± 0,78 0,914± 0,18

Resultados de traccion uniaxialDC [mmHg−1]×10−3 Einc [MPa]

Joven 3,408± 0,31 1,018± 0,13Adulta 2,218± 0,40 1,421± 0,22

Aorta ascendente Resultados de traccion uniaxialDC [mmHg−1]×10−3 Einc [MPa]

Sano (0-B) 2,540± 0,15 1,27± 0,09Bicuspide (2-B) 1,690± 0,19 1,932± 0,11

Aneurismas (3-B) 1,270± 0,14 2,321± 0,10Marfan (4-B) 3,570± 0,22 0,803± 0,14

78 4.4. Analisis del ensayo de tensiones residuales

el apendice D. Como puede observarse los valores de DC y Einc obtenidospor ambos ensayos (presurizacion y traccion uniaxial) son muy similares,difiriendo en menos de un 5 %.

Los valores de DC y Einc estimados a partir de los ensayos de traccionsimple para los tejidos de aortas ascendentes adultas (grupo B) se muestrantambien en el cuadro 4.5. Los valores obtenidos para los vasos sanos se com-paran muy bien con los publicados por Koullias et al. [2005], que pro-porcionan un valor de DC = 2,499±0,49 mmHg−1 y Einc = 1,18±0,21 MPa.Cabe senalar que los pacientes analizados por Koullias et al. [2005], seencontraban en el grupo de pacientes adultos y por ello se comparan con lospacientes del grupo de edades B (adultos). Tal como se deduce del cuadro 4.5las diferencias no superan el 1,6 y 7,7 % para la distensibilidad y el moduloincremental respectivamente.

Los datos contenidos en el cuadro 4.5 muestran que la aorta descendentesana (adulta) es un poco mas distensible (2,67 frente a 2,54) y menos rıgida(0,91 frente a 1,25) que la aorta ascendente.

En general, los estados patologicos reducen la distensibilidad de la paredarterial y aumentan su rigidez, como se observa para pacientes bicuspides yaneurismaticos, en los que DC disminuye y Einc crece respecto de los vasossanos.

Sin embargo, el cuadro muestra como la afeccion mas grave, el mal deMarfan produce un efecto completamente opuesto, proporcionando aortasmucho mas flexibles y distensibles en terminos de Einc y DC. Por terminomedio Einc se reduce en estos pacientes un 30 % respecto a las aortas sanasde igual edad.

4.4. Analisis del ensayo de tensiones residua-

les

En las aortas de las que se dispuso del vaso completo se midio el angulo deapertura α como metodo indirecto de estimacion de las tensiones residualespresentes en la pared arterial.

Se cortaron anillos de arterias provenientes de veintidos donantes. Quincevasos sanos (grupo 0), cuatro pacientes bicuspides (grupo 2), dos pacientescon aneurismas (grupo 3) y uno con mal de Marfan (grupo 4). Cabe senalarnuevamente que del grupo de pacientes con problemas valvulares no se obtuvoningun anillo, pues todas las muestras de material conseguidas provenian detrozos de operaciones de cambio de valvula.

La figura 4.15 muestra algunos casos tıpicos observados en los ensayos.


El angulo de apertura no pudo ser medido en algunos anillos, al presentarcurvatura extremadamente no uniforme, como se muestra en la figura 4.15E.

238o

130.7o

227o

41.6o

Figura 4.15: Angulo de apertura de aortas ascendentes. La lınea negra indica lacapa ıntima. A-D angulos medidos tıpicos. (A) α = 130o paciente sano adulto, (B)α = 238o paciente bicuspide adulto, (C) α = 227o paciente con aneurisma adulto,(D) α = 42o paciente con mal de Marfan adulto. (E) anillo abierto en que el angulono puede medirse


Segun algunos estudios (Okamoto et al. [2002]) el angulo de aperturaparece depender de la edad del vaso. En la figura 4.16 se muestran los angulosmedidos en los ensayos en funcion de la edad de los tejidos.

50

100

150

200

250

300

350

15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Áng

ulo

de a

pert

ura α

[º]

Edad [años]

SanosBicúspide

AneursimasMarfan

PromedioOkamoto et al. 2002

Figura 4.16: Angulo de apertura en funcion de la edad de los pacientes. La rectade ajuste ha sido calculada con todos los vasos

Como puede observarse existe una debil correlacion positiva con la edad,similar a la encontrada por Okamoto et al. [2002], pero con una pendientemenor. En el grupo de las aortas sanas y vasos mas jovenes (edad promediode 29 ± 3) se obtiene un angulo promedio de 138o ± 10o y para los vasosadultos (edad promedio de 48 ± 3) resulto ser 166o ± 14o, levemente superior.

Es una opinion extendida que las tensiones residuales se desarrollan parauniformizar la distribucion de tensiones en la pared del vaso cuando este seencuentra en funcionamiento (Fung [1991]; Okamoto et al. [2002]).

Para cuantificar este efecto y la influencia sobre el de las patologıas, se haevaluado la influencia del angulo de apertura en la distribucion de tensionesen la pared del vaso, para tejidos sanos y patologicos a traves de un calculoanalıtico. Para ello se ha simplificado la pared arterial asumiendo un material


homogeneo, isotropo e hiperelastico del tipo Demiray con sus parametrosajustados a los ensayos de traccion uniaxial de las probetas circunferenciales.

El calculo consiste en evaluar las tensiones y deformaciones que ocurren enel vaso cuando en este se aplica una presion interior de 100 mmHg. Para ello seconsidera una configuracion de referencia (libre de tensiones) correspondientea la registrada al medir el angulo de apertura α con el segmento abierto. Enun primer paso se aplica una deformacion que cierra el segmento y forma unanillo, y en un segundo paso se aplica la presion en su interior, tal como serepresenta en la figura 4.17.

P=0A

A

A

A

P=100 mmHg

R0

2B0

α

2Θ0

Figura 4.17: Esquema del problema y sus variables en la configuracion de re-ferencia (izquierda), configuracion cerrada sin presion (centro) y con una presioninterior de 100 mmHg (derecha)

Los datos necesarios para realizar el calculo se han obtenido de los ensayosefectuados y son: El angulo de apertura (α), el radio medio (R0) , el espesor(2B) y la curva tension–alargamiento de las probetas circunferenciales a lasque se ajusto un modelo del tipo Demiray. Θ0 se calcula en funcion de α(Θ0 = π − α). Todos los datos se resumen en el cuadro 4.6.

Cuadro 4.6: Parametros de los vasos analizadosPaciente Parametros geometrico Constantes del modelo de Demiray

αexp [o] Θ0 [rad] R0 [mm] 2B a [kPa] bSano 130 0,87 41,5 2,70 34,75 1,54

Bicuspide 238 2,12 55,2 2,10 61,26 2,34Aneurisma 227 2,32 70,9 1,92 96,82 2,36

Marfan 42 2,41 17,96 2,00 96,93 0,59


Los datos presentados en el cuadro 4.6 corresponden a los vasos: PH43(Sano), DO01 (Bicuspide), DO03 (Aneurisma) y PH46 (Marfan).

El procedimiento de calculo se basa en la metodologıa mostrada por Ra-chev y Greenwald [2003] y se encuentra detallado en el apendice E. Esteprocedimiento permite calcular σθ, σz y σr para un modelo hiperelastico de-finido.

El analisis consistio en evaluar para diferentes angulos de apertura (in-cluyendo el medido en el ensayo) la tension circunferencial (σθ) en la paredarterial cuando se aplica una presion interior (P ) de 100 mmHg. Para sim-plificar el analisis se calculo la tension circunferencial en los dos extremosde la pared: en el borde interior (σθi) y en el exterior (σθe). Ademas se eva-luo la tension promedio como σm = (σθi + σθe)/2 y la diferencia de tensiones∆σ = σθi − σθe.

En la figuras 4.18 y 4.19 se muestra la tension circunferencial en el bordeinterno y externo de la pared respectivamente, para diferentes angulos deapertura y patologıas.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250 300

Ten

sión

circ

en

el b

orde

inte

rior σ θ

i [kP

a]

Ángulo de apertura α [º]

SanoBicúspide

AneurismaMarfan

180°

Figura 4.18: Tension circunferencial en la parte interna de la pared del vaso enfuncion del angulo de apertura para una presion interior de 100 mmHg. Los puntosindican el valor medio experimental de α medido en los vasos.

En las figuras 4.18 y 4.19 puede observarse que cuando no existen tensio-nes residuales (α = 0), las tensiones en la pared interior son superiores a las


0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250 300

Ten

sión

circ

en

el b

orde

ext

erio

r σ θ

e [k

Pa]


SanoBicúspide

AneurismaMarfan

Figura 4.19: Tension circunferencial en la parte externa de la pared del vaso enfuncion del angulo de apertura para una presion interior de 100 mmHg. Los puntosindican el valor medio experimental de α medido en los vasos.

de la parte exterior. A medida que el angulo de apertura va creciendo (porser mayores las tensiones residuales) la tension en el interior baja, llegando aser menor que la zona externa de la pared. Notese que los valores de tensionson siempre menores en el vaso sano y que los mayores valores se dan enlos pacientes aneurismaticos o bicuspides, debido a que estos vasos presentandiametros mayores y el material es mas rıgido.

En la figura 4.20 se muestra la diferencia de las tensiones interior y exteriorde la pared del vaso en funcion del angulo de apertura.

En la figura se aprecia que las tensiones son mas uniformes (menor |∆σ|)cuando el angulo de apertura esta proximo a 90o. En el caso de los pacientesbicuspide y aneurismatico, en que los angulos medidos experimentalmentese situan en promedio en 238o y 227o respectivamente, existe una mayordiferencia entre las tensiones interior y exterior, superior a 100 kPa, muypor encima de los calculados para el vaso sano. En todos los casos (sanos,bicuspides y aneurismaticos) las tensiones en el exterior son mayores que enel interior de la pared (σe > σi).

En el paciente con mal de Marfan, con un angulo de 42o, las tensiones


−200

−160

−120

−80

−40

0

40

80

120

160

200

0 50 100 150 200 250 300

∆σ=

σ θi−

σ θe

[kP

a]


SanoBicúspide

AneurismaMarfan

Figura 4.20: Diferencia de tensiones circunferenciales en funcion del angulo deapertura, para una presion interior de 100 mmHg. Los puntos indican el valormedio experimental de α medido en los vasos.

presentan menos diferencia que el resto de pacientes (del orden de 15 kPa)siendo la tension en la pared interior la mas elevada.

Los valores de la tension circunferencial promedio se muestran en la figura4.21 en funcion del angulo de apertura α.

Observando la figura 4.21, se aprecia que la tension circunferencial pro-medio es poco sensible al valor de el angulo de apertura α (tension residual).El paciente con mal de Marfan presenta valores mas bajos que el resto de losvasos patologicos pero siempre aproximadamente un 22 % superior a los deltejido sano.

Cabe senalar que en la configuracion cerrada y libre de presion (figura4.17 (centro)) las tensiones maximas alcanzan valores de 20 kPa, para losangulos mas pequenos y de 30 kPa para los angulos mas grandes. La pequenamagnitud de las tensiones residuales hacen que algunos autores despreciensu efecto al momento de evaluar la rotura de estos materiales (Mohan yMelvin [1982]).

Finalmente, es importante destacar que, como se pone de manifiesto enla figura 4.16, el numero de ensayos de casos patologicos es muy limitado,


0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250 300

Ten

sión

circ

med

ia σ m

=(σ

θi+

σ θe)

/2 [k

Pa]


SanaBicúspide

AneurismaMarfan

Figura 4.21: Tensiones circunferencial promedio en el interior de la pared delvaso en funcion del angulo de apertura, para una presion interior de 100 mmHg.Los puntos indican el valor medio experimental de α medido en los vasos.

siendo necesario aumentarlo antes de obtener resultados concluyentes sobrela influencia del angulo de apertura en el estado mecanico de la pared arterial.

4.5. Analisis histologico

Con el fin de proporcionar mayor informacion acerca de la microestructuray estado de los tejidos estudiados se ha procedido a la realizacion de unexamen histologico sobre muestras procedentes de cada vaso.

En la figura 4.22 se resume el resultado de los analisis realizados en todoslos grupos para pequenos aumentos (cuatro aumentos, X4). En las mues-tras no se observaron zonas danadas por la enfermedad aterosclerotica, ni lapresencia de placas o zonas calcificadas.

La figura 4.22A, muestra una estructura ordenada y bien definida en laque se distinguen con nitidez las fibras de elastina dispuestas en posicioncircunferencial. Estas observaciones estan en concordancia con el compor-tamiento anisotropo propio de este tipo de vasos, deducido de los ensayosmecanicos realizados.


(D) Marfan(C) Aneurisma

0.2 mm

0.2 mm

(A) Sano

0.2 mm 0.2 mm

(B) Bicúspide

θ r

r r

θ θ

θ

r

θ

r

Figura 4.22: Estructura de la pared de la aorta (X4), el eje del vaso es perpen-dicular a la figura. Las fibras de elastina se muestran en color rojo-anaranjado

Tambien las muestras procedentes del grupo de vasos bicuspides (figura4.22B) muestran una estructura fibrilar, si bien en este caso la presencia deelastina esta menos marcada, lo que puede producir una mayor rigidez en elcomportamiento mecanico de la pared.

Para los vasos aneurismaticos (figura 4.22C) se observa una menor pre-


sencia de fibras elasticas y una estructura menos ordenada compatible conuna respuesta mecanica mas isotropa.

El analisis de las muestras procedentes de pacientes con el sındrome deMarfan (figura 4.22D) indico una mayor desestructuracion del tejido, y unmenor contraste de las fibras elasticas, que junto a su debil orientacion pro-duce un comportamiento mecanico mas isotropo.

Un analisis mas detallado de los tejidos se muestra en las figuras 4.23 a4.26 para los grupos de vasos sanos, bicuspides, aneurismaticos y con el malde Marfan. Todas las figuras incluyen una seccion en direccion transversal yotra en direccion longitudinal a veinte aumentos (X20).

En cada una de las figuras 4.23 a 4.26 las fotografıas A y B correspondena la tincion de hematoxilina–eosina y las C y D a la tincion elastica de VonGissen. Las dos ultimas figuras E y F son esquemas que resumen y simplificanla observacion de los elementos mas importantes de la estructura de la paredque se pueden distinguir con las dos tinciones mencionadas. Los elementosanalizados son los nucleos de celulas musculares, los paquetes lamelares, loshuecos y las zonas danadas o quısticas de la pared.

Los cortes circunferenciales en tejidos sanos (figuras 4.23 A y C) mues-tran gran cantidad de unidades lamelares (unas 55 en toda la pared) concierta alineacion en direccion circunferencial. Por lo que se refiere a las fibraselasticas, estas se hallan en una fraccion de aproximadamente el 50 %, muyplegadas y tienen un grosor medio de 5 µm. Las fibras de colageno son muyabundantes y se encuentran muy enrolladas. La cantidad de unidades (ud)de nucleos celulares es alta, alrededor de 800 ud/mm2, su tamano es medianoy su forma es circular-elıptica. Los huecos son muy escasos. No se observanzonas calcificadas ni danadas en toda la pared de los vasos analizados.

En la direccion longitudinal se presenta una estructura similar a la di-reccion circunferencial. La presencia de las unidades lamelares es alta, pre-sentando tambien una leve alineacion respecto a la direccion axial del vaso.Las fibras elasticas se presentan en proporcion aproximada del 35 % (un pocomenos que la direccion circunferencial), son de grosor comparable (3 µm, enpromedio) y aparecen muy plegadas. El colageno es abundante y se encuentratambien muy plegado. Como en los cortes circunferenciales, los nucleos de lascelulas musculares se hallan en altas cantidades (890 ud/mm2) y presentanuna forma circular-elıptica. La presencia de huecos es escasa. Finalmente, aligual que en la direccion circunferencial, no se observo zonas degeneradas oquistes en toda la pared.


Zona dañadaHuecosPaquetes LamelaresNúcleos

(D)(C)

Circunferencial Longitudinal

(A) (B)

(E) (F)

rθ

r r

zθ 50 µm 50 µm

50 µm50 µmθ

r

z

r

z

r

Figura 4.23: Estructura de la pared de la aorta en tejidos sanos (X20). Izquierda:cortes circunferenciales (A,C), Derecha: cortes longitudinales (B,D). En la zona in-ferior se muestra un esquema de los principales elementos presentes en las imagenes


En la figura 4.24 se presentan las fotografıas del analisis para los pacien-tes con valvula bicuspide. El corte circunferencial de las figuras 4.24 A y Cmuestra que las unidades lamelares se presentan en cantidades medias y seencuentran levemente estiradas y alineadas respecto a la direccion circun-ferencial. las fibras elasticas aparecen en proporcion cercana al 50 %, algoestiradas y tienen un grosor promedio de 3 µm. Las fibras de colageno sehallan tambien en proporcion media y estan alineadas en la direccion cir-cunferencial. Los nucleos de las celulas musculares son muy pequenos conforma elıptica alargada y se presentan en cantidad inferior a los tejidos sanos(∼441 ud/mm2). Se observan algunos huecos de forma elıptica y alargada.No existen zonas degeneradas ni se aprecian quistes.

En el corte longitudinal (figuras 4.24 B y D) las estructuras lamelares sepresentan en cantidad media y parcialmente plegadas, con una cierta alinea-cion respecto a la direccion longitudinal. La proporcion de fibras elasticases similar a la direccion circunferencial, presentando un grosor medio supe-rior (∼5 µm) y cierto plegamiento. Por otra parte se observa una cantidadmedia–baja de fibras de colageno, principalmente plegadas en las cercanıasde los nucleos. Los nucleos de las celulas se hallan en cantidad media-baja(∼570 ud/mm2), si bien superior a la direccion circunferencial, con un ta-mano medio y tienen forma elıptica alargada. La cantidad de huecos en lapared es media y su forma principalmente es circular-elıptica. Tampoco seencontraron zonas degeneradas ni quısticas.

La figura 4.25 resume los resultados observados en los pacientes aneu-rismaticos, en los que en direccion circunferencial las unidades lamelares seencuentran en cantidad media, estiradas y con una fuerte orientacion circun-ferencial. Las fibras elasticas son muy abundantes (∼66 % de la seccion) ygruesas (∼10 µm de espesor), se hallan estiradas y alineadas en direccioncircunferencial. La presencia de fibras de colageno es media–baja y las quehay se encuentran enrolladas y sin ninguna orientacion clara. Por otra parte,los nucleos de las celulas se encuentran en poca cantidad (∼490 ud/mm2) ytienen forma elıptica y alargada. Los huecos tambien estan presentes en can-tidad considerable y su forma es elıptica y alargada. No se observan regionesdegeneradas o quistes.



(D)(C)


(A) (B)

(E) (F)

rθ

r r

zθ

θ

r

z

r

z

r

50 µm50 µm

50 µm 50 µm

Figura 4.24: Estructura de la pared de la aorta en pacientes con valvula bicuspi-de (X20). Izquierda: cortes circunferenciales (A,C), Derecha: cortes longitudinales(B,D). En la zona inferior se muestra un esquema de los principales elementospresentes en las imagenes



(D)(C)


(A) (B)

(E) (F)

rθ

r r

zθ

θ

r

z

r

z

r

50 µm50 µm

50 µm 50 µm

Figura 4.25: Estructura de la pared de la aorta en tejidos aneurismaticos (X20).Izquierda: cortes circunferenciales (A,C), Derecha: cortes longitudinales (B,D). Enla zona inferior se muestra un esquema de los principales elementos presentes enlas imagenes


En el caso de los cortes longitudinales (figuras 4.25 B y D) se apreciaun numero medio de unidades lamelares de grosor medio–bajo, estiradas ymedianamente alineadas con la direccion longitudinal. Hay muchas fibraselasticas (alrededor del 60 %) de grosor mediano (∼3 µm), estiradas y conuna alineacion moderada respecto a la direccion longitudinal. Las fibras decolageno se encuentran en cantidad media, enrolladas y sin ninguna alinea-cion clara. Tambien se aprecian pocos nucleos de celulas (∼580 ud/mm2)–pero un poco mas que en la direccion circunferencial–, de tamano medioy principalmente circulares. Se distinguen huecos en cantidad media y detamano intermedio, con forma elıptica y alargada. No se aprecian zonas de-generadas o quısticas en las fotografıas analizadas.

Por ultimo la figura 4.26 presenta las imagenes del grupo con mal deMarfan.

En las figuras 4.26 A y C se muestran las fotografıas para el corte cir-cunferencial. En ellas se ve un bajo numero de unidades lamelares con ungrosor considerable y sin una clara alineacion. Las fibras elasticas se presen-tan en poca cantidad (∼38 % de la seccion) y estan levemente enrolladas, sonlargas y delgadas (∼2 µm). Las fibras de colageno se presentan en cantidadmedia–baja, muy dispersas y no alineadas. Los nucleos de las celulas son muyabundantes (∼1100 ud/mm2) de tamano mediano y la gran mayoria tiene for-ma circular aunque se observan unos pocos elıpticos y alargados. Tambien seobservan bastantes huecos y de una geometrıa elıptica y alargada. Se observauna presencia abundante de zonas degeneradas aproximadamente elıpticas yde gran tamano.

Los cortes longitudinales se presentan en las figuras 4.26 B y D. Se ve unacantidad media de unidades lamelares, con un grosor mediano y sin una claraalineacion. Tambien se aprecian las fibras elasticas en cantidad baja (menosde un 30 %), y levemente estiradas. Ademas son cortas y delgadas con ungrosor medio de 2 µm. Las fibras de colageno se encuentran en cantidadmedia, estan dispersas y no tienen ninguna alineacion. La presencia de losnucleos de las celulas es abundante (∼900 ud/mm2) y son de tamano mediocon una forma mayoritariamente circular. Se observa una cantidad mediade huecos con forma circular-elıptica y de un tamano medio. Se aprecia unpequeno numero de zonas degeneradas o quısticas con una forma circular-elıptica y de mediana dimension.



(D)(C)


(A) (B)

(E) (F)

rθ

r r

zθ

θ

r

z

r

z

r

50 µm50 µm

50 µm 50 µm

Figura 4.26: Estructura de la pared de la aorta de pacientes con mal de Mar-fan (X20). Izquierda: cortes circunferenciales (A,C), Derecha: cortes longitudinales(B,D). En la zona inferior se muestra un esquema de los principales elementos pre-sentes en las imagenes


La figura 4.27 muestra el detalle de una de las zonas degeneradas y quısti-cas mas grandes halladas en pacientes con mal de Marfan.

0.2 mm

θ r

θ

r

Figura 4.27: Estructura de la pared de la aorta grupo 4 (Marfan) (X10). El ejedel vaso es perpendicular a la figura

Como puede distinguirse claramente la estructura de la pared del va-so esta muy danada por la patologıa, presentando regiones degeneradas yquısticas que aminoran fuertemente la capacidad estructural del vaso. Loque justifica las bajas tensiones y alargamientos de rotura medidos en losensayos de traccion uniaxiales.

4.6. Conclusiones

A traves de los ensayos mecanicos de traccion uniaxial se ha caracterizadoel comportamiento mecanico y las condiciones de rotura de la pared de laaorta ascendente humana. Se ha analizado la influencia de cuatro patologıasde alta prevalencia (valvula aortica bicuspide, aneurismas y sındrome deMarfan) cuantificando la perdida producida en su respuesta mecanica.

Las patologıas estudiadas provocan una reduccion muy importante de lastensiones y los alargamientos de rotura, que se acercan peligrosamente a lazona de funcionamiento fisiologico, especialmente en el caso de los pacientescon sındrome de Marfan.


Tambien se ha constatado un importante aumento de la rigidez de larespuesta mecanica, que reduce en gran medida el amortiguamiento que laaorta ascendente realiza de la onda de presion transmitida por el corazon.

Los resultados tambien muestran el efecto de la edad en las propiedadesmecanicas.

El analisis de la estructura de la pared aortica ha mostrado como los vasosenfermos presentan una estructura con menor cantidad de fibras y con estasmas orientadas en las direcciones principales del vaso (la circunferencial y lalongitudinal). Este hecho favorece la perdida de capacidad de deformacion yuna mayor rigidez. Los vasos afectados por el mal de Marfan presentan seriosdeterioros que comprometen su resistencia e integridad.

Capıtulo 5

Modelos Numericos

5.1. Introduccion

En este capıtulo se presenta la implementacion de modelos constituti-vos en el contexto del metodo de elementos finitos no lineales. Se realizandiversas aplicaciones modelizando ensayos de laboratorio como tambien unanalisis numerico del funcionamiento de un cayado aortico bajo diferentescondiciones.

En primer lugar se muestra una breve verificacion de la implementacion delos modelos constitutivos comparando los resultados obtenidos para estadossimples de deformacion, con las soluciones analıticas para cada modelo. Losensayos que se usan para validar la implementacion numerica son el ensayode traccion y el caso de un cilindro sometido a presion interna.

Posteriormente, se ha implementado un modelo de ajuste no lineal delos parametros, necesario para la obtencion de las constantes de los modelosconstitutivos. Este considera las dos direcciones (circunferencial y longitu-dinal) de las probetas ensayadas obteniendo las constantes para todos losgrupos de tejidos presentados en el capıtulo 3.

Tambien se ha realizado un analisis numerico de la influencia de dife-rentes parametros en los ensayos de traccion (efecto de las mordazas) y depresurizacion (efecto de la curvatura del vaso).

Finalmente, a traves de la simulacion numerica se ha analizado el fun-cionamiento del cayado aortico humano bajo condiciones de funcionamientonormales, patologicas y en situaciones extremas como sucede en un traumao accidente de trafico.

97

98 5.2. Implementacion de los modelos constitutivos

5.2. Implementacion de los modelos constitu-

tivos

Se han implementado modelos de materiales hiperelasticos en dos codigosde elementos finitos (FEAP y ABAQUS) siguiendo los esquemas propuestos porRodrıguez [2003] y los de otros autores como Weiss [1996] o Simo yTaylor [1991], tanto para materiales isotropos como anisotropos con dosfamilias de fibras. De acuerdo al comportamiento del material observadoen los experimentos se ha optado por implementar el modelo isotropo deDemiray y el anisotropo de Holzapfel.

El modelo de Demiray corresponde a un modelo isotropo que represen-ta la rigidizacion del material con una funcion exponencial. Los resultadosexperimentales de los ensayos de traccion (ver capıtulo 4), muestran que unmodelo isotropo puede modelar adecuadamente el comportamiento de la pa-red en determinadas patologıas como el mal de Marfan o, segun otros autores,en regiones con una placa ateromatosa (Rodrıguez [2003]).

El modelo de Holzapfel es un modelo anisotropo que incluye la presenciade dos familias de fibras que representan la orientacion promedio de las fibrasde colageno. Este tipo de modelo representa muy bien el comportamiento delas arterias sanas observado en los ensayos de traccion presentados en elcapıtulo 4.

5.2.1. Implementacion del modelo de Demiray

El material de Demiray definido en la ecuacion (2.21) del capıtulo 2 seha implementado, segun se resume en el cuadro 5.1.

Se ha seguido el procedimiento descrito en la tesis de Rodrıguez [2003].En particular para un material hiperelastico isotropo basta con definir losvalores de las derivadas primeras y segundas de la funcion de energıa (W )respecto a los invariantes del tensor derecho de Cauchy-Green C. De estamanera es posible definir el segundo tensor de Piola-Kirchhoff S y el tensorconstitutivo C. Las expresiones que definen a estos tensores se detallan enel apendice A. Siguiendo este procedimiento se ha implementado el modeloen dos codigos de elementos finitos como FEAP (Taylor [2000]) y ABAQUS

(Hibbit et al. [1998])1 que se presenta en el cuadro 5.1.

1El modelo se programa en la subrutina umat para FEAP y uhyper en ABAQUS

Capıtulo 5. Modelos Numericos 99'

&

$

%

...c MATERIAL DE DEMIRAY

Ka=ud(2)c1=ud(3)c2=ud(4)dWI(1)=0.5d0*c1*exp(0.5d0*c2*(Iv(1)-3.0d0))dWI(3)=Ka/4*dlog(Iv(3))/Iv(3)dWWII(1)=0.25d0*c1*c2*exp(0.5d0*c2*(Iv(1)-3.0d0))dWWII(3)=-Ka/4*(-1+dlog(Iv(3)))/Iv(3)**2

...

...Observaciones:

a) los vectores ud y Iv contienen respectivamente los parametros del materialy los invariantes del tensor C.

b) Los vectores dWI y dWWII indican las derivadas primeras y segundas de lafuncion de densidad de energıa respecto a los invariantes Ia.

Cuadro 5.1: Codigo Fortran correspondiente al material hiperelastico de Demiray

5.2.2. Implementacion del modelo de Holzapfel

El modelo de material anisotropo de Holzapfel definido en la ecuacion(2.25) ha sido implementado siguiendo el esquema descrito para el materialde Demiray. En este caso se agregan dos invariantes definidos por las dosdirecciones de la familia de fibras. El comportamiento del material quedadefinido por las derivadas parciales respecto a los pseudo-invariantes. Conestas expresiones se calcula el segundo tensor de Piola-Kirchhoff S y el tensorconstitutivo C, de acuerdo a las expresiones definidas en el apendice A.

En el cuadro 5.2 se muestra un esquema que resume la implementacionnumerica del modelo de Holzapfel en ABAQUS.

5.2.3. Verificacion de la implementacion

Una forma de comprobar que la implementacion de los modelos funcionacorrectamente es estudiar algunos casos particulares de deformacion (estadossimples), en los que es posible obtener solucion analıtica. Para los dos modelosde material, se obtuvo la respuesta mecanica en traccion uniaxial y en elcaso de un vaso cilındrico sometido a presion interior y se comparo con lassoluciones analıticas.


'

&

$

%

...c MATERIAL DE HOLZAPFEL

call cIvb(ninv,Iv,Ivb,Jvol,expo,dWIb,dWWIIb)c Componente volumetrica

dWJ=Ka*dlog(Jvol)/JvoldWWJJ=Ka/Jvol**2-Ka*dlog(Jvol)/Jvol**2

c Componente isocoricadWIb(1)=1/2.d0*ccdWIb(4)=c1*(Ivb(4)-1)*dexp(c2*(Ivb(4)-1)**2)dWIb(6)=c1*(Ivb(6)-1)*dexp(c2*(Ivb(6)-1)**2)dWWIIb(4)=c1*dexp(c2*(Ivb(4)-1)**2)+2*c1*(Ivb(4)-1)**2*c2*. dexp(c2*(Ivb(4)-1)**2)dWWIIb(6)=c1*dexp(c2*(Ivb(6)-1)**2)+2*c1*(Ivb(6)-1)**2*c2*. dexp(c2*(Ivb(6)-1)**2)call dWIxb(ninv,Iv,dWIb,dWWIIb,expo,Jvol,dWJ,dWWJJ,dWI,dWWII)

...

Observaciones:a) La subrutina cIvb permite determinar los (pseudo-)invariantes isocoricos a

partir de los (pseudo-)invariantes.

b) La subrutina cWIxb permite determinar las derivadas de los pseudo-invariantes a partir de las derivadas correspondientes a los terminos vo-lumetrico e isocoricos.

c) Los vectores dWI y dWWII indican las derivadas primeras y segundas de lafuncion de densidad de energıa respecto a los (pseudo-)invariantes Ia.

d) Las variables dWJ y dWWJJ indican las derivadas primeras y segundas de lafuncion de densidad de energıa respecto al coeficiente volumetrico J .

e) Los vectores dWIb y dWWIIb indican las derivadas primeras y segundas de lafuncion de densidad de energıa respecto a los (pseudo-)invariantes isocoricosIa.

Cuadro 5.2: Codigo Fortran correspondiente al material hiperelastico de Holzap-fel

Capıtulo 5. Modelos Numericos 101

Traccion uniaxial

Se analiza una pieza de dimensiones 1 mm de ancho, 1 mm de espesor y5 mm de largo, modelada con un elemento hexaedrico con ocho puntos deintegracion de Gauss. Se impone un desplazamiento en la direccion X conlibertad de movimiento en las direcciones Y y Z, como se muestra en la figura5.1. Se aplican incrementos de 0,1 de la longitud inicial hasta alcanzar undesplazamiento igual a 2,25 veces la longitud original (λ = 2,25).

Figura 5.1: Esquema del elemento utilizado en la simulacion para el caso detraccion uniaxial

Los parametros de los modelos de material utilizados en las simulacionesdel ensayo de traccion se muestran en el cuadro 5.3.

En este caso particular solo la tension de Cauchy en la direccion de laelongacion prevalece mientras que las otras dos son nulas. Esto, junto con lacondicion de incompresibilidad, ecuacion (A.4) (apendice C), conduce a unarelacion que permite expresar la tension solo en funcion de las constantes delos modelos y el alargamiento en la direccion de la elongacion λ. La condicionde incompresibilidad da lugar a:

λ2 = λ3 =1√λ

(5.1)

Desarrollando en conjunto las ecuaciones 2.12 y A.11 se obtiene la tensionde Cauchy en la direccion de elongacion, la cual se expresa por:

σ1 = 2

(λ2 − 1

λ

)(∂W

∂I1

+1

λ

∂W

∂I2

)(5.2)

102 5.2. Implementacion de los modelos constitutivos'

&

$

%

a) Modelo isotropo de Demiray:

a = 30,0 kPa.

b = 1,1

b) Modelo anisotropo de Holzapfel:

µ = 27,94 kPa, k1 = 5,23 kPak2 = 0,11, ϕ = 8,2 o

Cuadro 5.3: Parametros que definen el comportamiento del material incompre-sible

donde el valor de ∂W/∂I1 = W1 para la funcion de energıa de Demiray es eldado por la ecuacion (A.20) (ver apendice A).

A partir de la ecuacion (5.2) y utilizando los valores de W1, se puedeexpresar la tension de Cauchy por:

σ1 = a

(λ2 − 1

λ

)exp

[b

2

(λ2 +

2

λ− 3

)](5.3)

Los resultados numericos se han validado con la solucion analıtica dadapor la ecuacion (5.3) del modelo de Demiray. A continuacion en la figura 5.2se presentan los resultados obtenidos por la simulacion comparandolos con losanalıticos, observandose una perfecta correlacion entre los valores analıticosy numericos.

En el caso del material de Holzapfel, resulta un poco mas complejo elanalisis. En la figura 5.3 se muestra un esquema de una probeta sometida aun estado de deformacion homogenea.

Como se observa en la figura 5.3, las fibras forman un angulo ±ϕ con sueje y el eje de las fibras se orienta un angulo α respecto al eje longitudinaldel vaso (e1), es decir, las probetas orientadas longitudinalmente tienen unangulo α = 0 y las circunferenciales un angulo α = 90o.

Siguiendo el procedimiento descrito por Ogden [2003a] para un materialhipereslastico y anisotropo de dos familias de fibras sometido a un estadode deformacion homogenea se puede obtener la tension σ en un ensayo detraccion uniaxial, resultando las expresiones (5.4) y (5.5), que definen las


0

100

200

300

400

500

600

700

800

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Ten

sión

de

Cau

chy σ

[kP

a]

Alargamiento λ

AnalíticaMEF

Figura 5.2: Ensayo de traccion uniaxial: Solucion analıtica y resultado del modelode elementos finitos (MEF) con el material de Demiray

α

−ϕ

+ϕ

σ

e1

σ

e2

Figura 5.3: Material de Holzapfel sometido a un estado de traccion uniaxial

componentes de tensiones.

σ = µ

(λ2 − 1

λ2λ22

)+ 2W4λ

2 cos2(ϕ− α) + 2W6λ2 cos2(ϕ+ α) (5.4)


σ2 = µ

(λ2

2 −1

λ2λ22

)+ 2W4λ

22 sen2(ϕ− α) + 2W6λ

22 sen2(ϕ+ α) (5.5)

En este caso se analizara la solucion para probetas orientadas en direccionlongitudinal α = 0o y circunferencial α = 90o. Para ambas orientaciones yconsiderando la funcion de energıa de Holzapfel las ecuaciones se reducen,pues las derivadas W4 y W6 se igualan. Lo mismo pasa con los valores delos invariantes I4 e I6, anulando ası la tension de corte σ12. Finalmente lasexpresiones para una probeta orientada longitudinalmente son:

σ = µ

(λ2 − 1

λ2λ22

)+ 4k1λ

2 cos2(ϕ)(λ2 cos2(ϕ) + λ22 sen2(ϕ)− 1)

exp(k2(λ2 cos2(ϕ) + λ22 sen2(ϕ))2) (5.6)

σ2 = µ

(λ2 − 1

λ2λ22

)+ 4k1λ

22 sen2(ϕ)(λ2 cos2(ϕ) + λ2

2 sen2(ϕ)− 1)

exp(k2(λ2 cos2(ϕ) + λ22 sen2(ϕ))2) (5.7)

La relacion entre la tension de Cauchy y el alargamiento se obtiene resol-viendo las ecuaciones (5.6) y (5.7). El alargamiendo en la direccion del anchoλ2 se obtiene de la condicion de contorno σ2 = 0, dando como resultado unaecuacion no lineal que se soluciona numericamente aplicando el metodo deNewton-Raphson

En la figura 5.4 se observa una perfecta correlacion entre los valoresanalıticos y numericos.

Cilindro sometido a presion interna

Este ensayo consiste en analizar la respuesta mecanica de un vaso degeometrıa cilındrica sometido a una presion interior con sus extremos fijosen la direccion axial o longitudinal (ver figura 5.5).

El radio inicial del cilindro es R = 9 mm y el espesor de la pared es H =0,04 mm. Las propiedades de los materiales se muestran en el cuadro 5.4. Paraobtener la solucion analıtica se considera que el espesor es mucho menor queel radio del tubo (tubo de pared delgada), siendo la tension circunferencialconstante en toda la pared.

Los resultados analıticos se obtienen considerando que W (λ1, λ2, λ3) =W (λ, 1/λ, 1) = W (λ), dada la incompresibilidad del material, tomando λ1 en


0

500

1000

1500

2000

2500

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

Ten

sión

de

Cau

chy σ

[kP

a]

Alargamiento λ

Holzapfel−0ºHolzapfel−90º

MEF−0MEF−90

Figura 5.4: Ensayo de traccion uniaxial: Solucion analıtica y del modelo de ele-mentos finitos (MEF) con el material de Holzapfel

R

r

Hp

x

y

h

Figura 5.5: Esquema del modelo del cilindro con simetrıa axial

direccion circunferencial, λ2 en direccion radial y λ3 en direccion longitudinalal cilindro. En estas condiciones si el material se alarga con tension nulaasociada a λ2 se llega a

σ = λ∂W

∂λ(5.8)

La presion interior p y la tension en la pared estan relacionadas a traves

106 5.2. Implementacion de los modelos constitutivos'

&

$

%

a) Modelo isotropo de Demiray:

a = 10,0 kPa.

b = 1,1

b) Modelo anisotropo de Holzapfel:

µ = 0,279 kPa, k1 = 5,23 kPak2 = 5,11, ϕ = 25 o

Cuadro 5.4: Parametros que definen el comportamiento del material incompre-sible

de:

p =σh

r(5.9)

con h = H/λ y r = λR.De esta forma se obtuvo la solucion analıtica para los dos modelos de

material implementados. La respuesta del material de Demiray y Holzapfelviene dada por las ecuaciones (5.10) y (5.11), respectivamente.

p =aH

R

(1− 1

λ4

)exp

(b

2

[λ2 +

1

λ2− 2

])(5.10)

p =µH

R

(1− 1

λ4

)+ 4

k1H

Rexp

(k2(λ2 sen2 ϕ+ cos2 ϕ− 1)2

)

(λ2 sen4 ϕ+ cos2 ϕ cos4 ϕ− sen2 ϕ

)(5.11)

Se realizo la simulacion numerica del inflado del cilindro con los dos ma-teriales implementados.

En la figura 5.6 se presenta la presion en funcion del alargamiento circun-ferencial (λ = r/R) para el modelo de material de Demiray.

En la figura 5.7 se muestra la presion en funcion del alargamiento circun-ferencial (λ) para el material anisotropo de Holzapfel.

Como puede observarse los resultados numericos se corresponden muybien con los resultados analıticos.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

PR

ES

IÓN

[kP

a]

ALARGAMIENTO λ

AnalíticoMEF

Figura 5.6: Cilindro sometido a presion interna: Solucion analıtica y resultadodel modelo de elementos finitos (MEF) con el material de Demiray

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

PR

ES

IÓN

[kP

a]

ALARGAMIENTO λ

AnalíticoMEF

Figura 5.7: Cilindro sometido a presion interna: Solucion analıtica y resultadodel modelo de elementos finitos (MEF) con el material de Holzapfel

108 5.3. Modelo de ajuste no lineal de parametros

5.3. Modelo de ajuste no lineal de parame-

tros

Para obtener las constantes de los modelos constitutivos a traves de losresultados de los experimentos es necesario un modelo de ajuste de las cons-tantes.

Para el ajuste de los parametros de las ecuaciones constitutivas de Demi-ray y Holzapfel se parte de las expresiones (5.3) y (5.6, 5.7) respectivamentejunto a las curvas experimentales de los ensayos de los diferentes grupos. Elmetodo de ajuste utilizado es el de mınimos cuadrados, es decir, se minimizala funcion objetivo siguiente:

F (X) =1

2

n∑i=1

[(σexp)i − (σ(X)m)i]2 =

1

2

n∑i=1

(fi(x))2 (5.12)

donde fi corresponde a la suma de los errores al cuadrado de la direccioncircunferencial y longitudinal, σexp y σm son respectivamente los valores ex-perimentales y los predichos por el modelo para un vector de parametrosX.

Cabe senalar que la forma de resolver las ecuaciones resultantes es distintapara cada modelo de material. Para el caso del modelo de Demiray al aplicarlogaritmo neperiano a la expresion (5.3) resulta,

log σ1 = log a+ log

(λ2 − 1

λ

)+b

2

(λ2 +

2

λ− 3

)(5.13)

haciendo el cambio de variable v = log a, la expresion 5.13 se transforma enuna funcion lineal en terminos de los parametros v y b. De esta manera resultaposible ajustar v y b a traves del metodo de mınimos cuadrados lineales.

En el caso del modelo de Holzapfel no es posible linealizar las ecuaciones(5.6, 5.7) en terminos de los cuatro parametros del modelo (µ, k1, k2, ϕ), porlo que se necesita un metodo especial que se describe a continuacion.

Como se comento en el capıtulo 4 es posible observar que la parte anisotro-pa de estos materiales debida a las fibras de colageno se activa a un deter-minado nivel de alargamiento. Por este motivo parece razonable considerarque el material tiene una parte anisotropa despreciable a niveles bajos de de-formacion 2. De esta manera es posible obtener primero el parametro µ porun ajuste de mınimos cuadrados (lineal) de la parte isotropa de la expresion(2.25), para ello se consideran los datos experimentales hasta un valor de λ

2Cacho [2006] en su tesis tambien considera esta hipotesis


donde la parte anisotropa tiene poca influencia (antes del codo de la curvaλ1, ver figura 4.1).

Una vez determinado el parametro µ, se reducen las incognitas a tres(k1, k2 y ϕ). Para resolver el problema de ajustar dichos parametros se haimplementado el algoritmo de Levenberg-Marquardt (Marquardt [1963])que minimiza la funcion F (X). Cabe senalar que para el ajuste se consideranprobetas orientadas tanto a α = 0o como a 90o del eje del vaso, obteniendoun unico modelo constitutivo representativo del material anisotropo, validoen principio para cualquier orientacion.'

&

$

%

c ALGORITMO LEVENBERG-MARQUARDTBEGINk = 0; ν = 2; x = 0; µ = 10−3

A = J(x)TJ(x); g = J(x)Tf(x)found=‖ g ‖∞≤ ε1 µ = τ max(Aii)while (not found) and (k ≤ kmax )thenk = k + 1; Solve (A+ µI)hlm = −gif ‖ hlm ‖≤ ε2(‖ x ‖ +ε2)found=true

elsexnew = x+ hlmρ = (F (x)− F (xnew))/(1

2hTlm(µhlm − g))

if ρ > 0x = xnewA = J(x)TJ(x); g = J(x)Tf(x)found=‖ g ‖∞≤ ε1µ = µ max1

3 , 1− (2ρ− 1)3; ν = 2elseµ = µν; ν = 2ν

ENDNotas:

a) J = ∂F/∂x es la matriz jacobiana.

b) ‖ ‖∞ corresponde a la norma infinito del vector.

Cuadro 5.5: Algoritmo Levenberg-Marquardt de ajuste no lineal de parametros

En resumen el ajuste del modelo de Holzapfel se realiza en dos partes:

1. Primero se obtiene µ con las curvas de datos circunferenciales (c) ylongitudinales (l) (σc,λc;σl,λl) en la zona de alargamientos bajos, donde


las curvas (c y l) se solapan. Si se ajustan separadamente tambien esposible obtener un parametro µ muy parecido para ambas.

2. En el segundo paso se resuelve el ajuste del resto de los parametrosusando todos los datos de las curvas, aplicando para ello el algoritmo deLevenberg-Marquardt que se presenta en el cuadro 5.5. Dicho algoritmofue implementado en un programa propio en lenguaje FORTRAN.

5.3.1. Resultados de los ajustes

En este apartado se presentan los parametros de los modelos ajustados alas curvas experimentales promedio de cada grupo de donantes presentadasy analizadas en el apartado 4.2.2.

En el cuadro 5.6 se muestran las constantes del modelo de Demiray ajus-tadas con los ensayos de traccion de probetas orientadas en direccion circun-ferencial y longitudinal. Como medida de la calidad de los ajustes se uso elcoeficiente de correlacion (r2) de Person (Pugh y Winslow [1966]).

Como puede observarse existen algunos grupos de tejidos en los que elajuste resulto ser muy bueno (r2 ≥ 0,9). Este es el caso de los vasos sanosde edad adulta (0-B), los pacientes de valvula bicuspide jovenes (2-B) ypacientes con mal de Marfan (4-B). A su vez en otros grupos de vasos, sobretodo de mas avanzada edad, el modelo no se ajusta tan bien a la respuestaexperimental observada, siendo muy acusada esta diferencia en los pacientescon valvula bicuspide y mayores (2-C), con un coeficiente de correlacion r2 =0,632. No obstante el modelo es capaz, en general, de capturar el fenomenode rigidizacion que presentan estos materiales.

En el cuadro 5.7 se presentan los parametros ajustados del modelo deHolzapfel. Se aprecia que en general el modelo de Holzapfel se ajusta muybien a todos los grupos de tejidos. Por ejemplo, en el grupo de pacientessanos y jovenes (0-A) se obtiene una excelente correlacion con los datos ex-perimentales (r2 ≈ 1).

En este grupo y en algunos otros, se observa que el angulo que forman lasfibras con el eje longitudinal (ϕ) es menor de 45o, posiblemente debido a quela aorta ascendente se encuentra sometida a un desplazamiento axial de laraiz aortica importante, que hace que las fibras se desarrollen levemente masen la direccion longitudinal. Este desplazamiento es medido por Belleret al. [2004] y alcanza en los vasos sanos y jovenes valores de 8,9 mm(λz ≈ 1,15). Beller reporta que con la edad este desplazamiento disminuye.Esto podrıa justificar el incremento de ϕ en los pacientes sanos de mayoredad. Cabe senalar que en el grupo de tejidos sanos y mayores (0-C) solo sedisponıa de ensayos en la direccion circunferencial (ver capıtulo 4), por esto


Cuadro 5.6: Parametros del modelo de Demiray y coeficiente de correlacion r2

Pacientes sanos (0)

Grupo de edad a [kPa] b r2

Jovenes (0-A) 104,004 0,844 0,958Adultos (0-B) 54,419 1,936 0,996Mayores (0-C) 69,219 5,792 0,961

Pacientes con problemas valvulares (1)


Adultos (1-B) 57,312 2,992 0,966Mayores (1-C) 112,415 13,710 0,753

Pacientes con valvula bicuspide (2)



Pacientes aneurismaticos (3)



Pacientes con mal de Marfan (4)


Adultos (4-B) 79,613 3,152 0,989

solo se considero esta direccion en el ajuste.

Para observar el ajuste realizado se han elegido dos grupos de vasos, elprimero corresponde a los donantes sanos y jovenes (0-A) con una anisotropıaclara y el segundo a los pacientes con el mal de Marfan (4-B), que presentanun comportamiento mas isotropo. La curva tension alargamiento de estos dosgrupos de pacientes se presentan en las figuras 5.8 y 5.9.

En la figura 5.8 puede apreciarse que el comportamiento mecanico es le-vemente diferente para las probetas circunferenciales y longitudinales. Estecomportamiento tambien ha sido observado por Mohan y Melvin [1982],pero en aortas descendentes humanas, un vaso muy similar a la aorta ascen-dente. Observando la figura 5.8, es posible ver que el modelo de Holzapfelse ajusta mejor a cada una de las curvas, adaptandose a cada orientacion


Cuadro 5.7: Parametros del modelo de Holzapfel y coeficiente de correlacion r2

Pacientes sanos (0)

Grupo de edad µ[kPa] k1[kPa] k2 ϕ [o] r2lon r2

circ

Jovenes (0-A) 11,526 107,474 0,125 42,29 0,996 0,996Adultos (0-B) 10,001 96,632 0,358 45,41 0,993 0,999Mayores (0-C) 29,737 460,002 4,000 44,96 0,970

Pacientes con problemas valvulares (1)


circ

Adultos (1-B) 9,098 222,642 0,077 45,21 0,994 0,996Mayores (1-C) 76,339 4357,001 0,001 47,00 0,972 0,984

Pacientes con valvula bicuspide (2)


circ

Jovenes (2-A) 14,158 350,000 0,849 45,67 0,999 0,997Adultos (2-B) 8,800 186,001 0,003 48,11 0,995 0,966Mayores (2-C) 84,947 440,001 0,001 40,00 0,962 0,990

Pacientes aneurismaticos (3)


circ

Jovenes (3-A) 0,658 165,316 0,268 48,11 0,995 0,995Adultos (3-B) 13,995 282,083 0,004 45,60 0,995 0,966Mayores (3-C) 15,105 172,368 0,539 47,21 0,992 0,996

Pacientes con mal de Marfan (4)


circ

Adultos (4-B) 27,211 272,632 0,001 45,04 0,999 0,998

analizada, al contrario del modelo de Demiray que proporciona un ajusteque determina un comportamiento medio independiente de la direccion.

En la figura 5.9 se observa que el modelo de Demiray presenta un ajustemuy bueno en el grupo (4-B) de pacientes con mal de Marfan.


0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

3000

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ

Circunferencial (θ)Longitudinal (z)

DemirayHolzapfel−(θ)Holzapfel−(z)

Figura 5.8: Ajuste de parametros: Curvas tension–alargamiento para tejidos sanosy jovenes (grupo 0-A). Las barras corresponden al error estandar

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

3000

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ



Figura 5.9: Ajuste de parametros: Curvas tension alargamiento pacientes con malde Marfan y adultos (grupo 4-B), las barras corresponden al error estandar

114 5.4. Analisis de los ensayos de traccion

5.4. Analisis de los ensayos de traccion

En el capıtulo 4 se presentaron los resultados de los ensayos de traccion.Antes de llevar a cabo estos ensayos se realizo un analisis de la uniformi-dad de las tensiones durante el experimento, pues el modo de sujecion y lageometrıa pueden influir significativamente en la distribucion de tensiones.Tambien es necesario verificar si las medidas de tension y alargamiento quese realizaran en los experimentos son adecuadas para medir los diferentesestados mecanicos durante el ensayo.

En primera instancia se estudia el ensayo con el objeto de verificar que lamedida de desplazamiento de mordazas permite obtener una medida fiablede la deformacion, pues de otro modo se debera usar una camara fotograficapara poder obtener las deformaciones en una zona alejada de los efectos delas mordazas de la maquina, tecnica ya utilizada por Mohan y Melvin[1982] para la medicion de las deformaciones que sufre la probeta durante elensayo 3.

Para realizar esta verificacion se midio el alargamiento mediante dos meto-dos:

1. Midiendo opticamente durante el ensayo la distancia entre dos puntosseparados inicialmente 5 mm.

2. Con el desplazamiento de las mordazas distanciadas inicialmente 10mm, tal como se muestra en la figura 5.10.

Ambas medidas se realizaron experimentalmente y tambien se obtuvieronsimulando numericamente el ensayo.

El material analizado correspondıa a un trozo de aorta descendente sanade un donante de 42 anos de edad, 70 kg de peso, 1,70 m de altura y 1,81m2 de BSA.

Se cortaron probetas en la direccion longitudinal y se ensayaron a trac-cion. Usando el desplazamiento de las mordazas se obtuvo la curva tension–alargamiento y, a traves de un ajuste, las constantes del modelo de Demi-ray. Los valores de las constantes del modelo resultaron ser a = 50,12 kPab = 3,22.

Ademas se realizaron fotografıas a varias probetas durante el ensayo, unade las cuales se muestra en la figura 5.11. Cabe senalar que se registra la carga

3Jacquemoud et al. [2006] tambien utilizan esta tecnica para medir deformacio-nes en ensayos de traccion de tejidos blandos poco homogeneos y altas velocidades dedeformacion.


l1

λ =l2

L2

l2

L1 = 5

λ =l1

L1

L2 = 10

Figura 5.10: Calculo del alargamiento usando la distancia entre los puntos l1 ousando la distancia entre mordazas l2

en forma simultanea a la fotografıa permitiendo ası obtener la tension asocia-da al alargamiento medido con la fotografıa. Para la medicion de la distanciaentre los puntos se utilizo el programa de reconocimiento de imagenes.

En la figura 5.11 puede observarse los altos niveles de alargamiento quesufre el material durante el ensayo, llegando casi a duplicar su longitud.

Para el modelo de elementos finitos, haciendo uso de la simetrıa que laprobeta presenta, se simulo un octavo de la geometrıa completa. El modeloconsta de una malla de 520 elementos de ocho nodos. El material utilizadoes el de Demiray con las constantes antes ajustadas.

La simulacion intenta capturar el efecto de fijacion de las mordazas en lamedicion del alargamiento. El ensayo se divide en dos partes, la fijacion dela probeta a las mordazas y luego el estiramiento de la probeta.

En la primera parte del experimento, la cabeza de la probeta se fija enla mordaza con pegamento y se aprietan los tornillos de esta hasta que elespesor de la probeta en la zona de la cabeza se reduce en un 50 % aproxi-madamente. Luego se deja un corto tiempo (10 o 20 segundos) para que sefije el pegamento. Para la modelacion de esta etapa en elementos finitos, seaplico un desplazamiento en la direccion del espesor en la zona de la cabezade la probeta hasta reducir el espesor al 50 %.

En la segunda etapa del experimento (el ensayo de traccion en sı) sedesplazan las mordazas lentamente hasta que la probeta se rompe. En lasimulacion se aplica un desplazamiento en la direccion del estiramiento a losnodos de la cabeza de la probeta.


λ = 1,0 λ = 1,2 λ = 1,3

λ = 1,4 λ = 1,6 λ = 1,7

Figura 5.11: Fotografıas de la probeta durante el ensayo para diferentes nivelesde alargamiento λ

En la figura 5.12 se presenta la tension de Cauchy en funcion del alarga-miento obtenidos de la simulacion numerica y de los experimentos. Se aprecia


que los resultados de la simulacion numerica obtenidos con el desplazamientode las mordazas y los puntos difieren muy poco. Los valores experimentalesmuestran mayor diferencia entre sı pero no superando el 10 %.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Ten

sión

de

Cau

chy σ

[kP

a]

Alargamiento λ

Modelo uniaxial Ec: 5.3Simulación mordazas

Simulación puntosExperimental mordazas

Experimental puntos

Figura 5.12: Tension de Cauchy en funcion del alargamiento. Modelo uniaxialecuacion (5.3). Midiendo la deformacion a traves de puntos en la zona central de laprobeta. Midiendo la deformacion con el desplazamiento de mordazas. Simulacionnumerica y medidas experimentales

Para cuantificar la calidad de la estimacion del alargamiento usando unou otro metodo (mordazas o puntos), se calculo el error en el alargamiento(error = (λpuntos − λmordazas)/λpuntos) para cada nivel de tension del ensayo.En la figura 5.13 se muestra el error usando los datos experimentales y losnumericos. Como puede notarse en la figura 5.13 el error es mayor a nivelesbajos de tension, aproximadamente es maximo a los 40 kPa, fenomeno quetambien es capturado en la simulacion. Luego este comienza a disminuirhasta que la probeta alcanza 480 kPa de tension, momento en el cual el erroren la curva experimental cambia de signo y sigue creciendo (negativamente)a diferencia de la simulacion que disminuye mas lentamente. Posiblementeesta diferencia sea atribuible al comienzo de la rotura de la capa del material


de la probeta en la que estan dibujados los puntos y la medida con estoses menor de la que se esta obteniendo con el desplazamiento de mordaza,comportamiento que no es capturado en la simulacion, pues el modelo noconsidera ningun fenomeno de dano o rotura.

−0.04

−0.03

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0 200 400 600 800 1000

∆λ/λ

[ ]

Tensión de Cauchy σ [kPa]

ExperimentalSimulación

Figura 5.13: Error en la obtencion del alargamiento en funcion de la tension deCauchy, para los resultados experimentales y para la simulacion.

En la figura 5.14 se muestra la probeta deformada con los contornos detension en la direccion del estiramiento al terminar el apriete (figura 5.14A)y al finalizar el ensayo (figura 5.14B).

Observando la figura 5.14, las tensiones que genera el apriete son pequenaspero influyen en la distribucion de tensiones en las cercanıas de la mordaza.No obstante se aprecia que el estado de tensiones en la zona central de laprobeta es bastante uniforme.


A

B

Figura 5.14: Contornos de la segunda componente del tensor de tension deCauchy en [Pa]. (A) Configuracion de la probetal al final del apriete, (B) y alfinal del ensayo de traccion

5.5. Simulacion del ensayo de presurizacion

5.5.1. Descripcion del problema

En este apartado se analizara numericamente el ensayo de presurizacionpresentado en el capıtulo anterior (apartado 4.3). Este ensayo consiste enaplicar presion en la superficie interior de un vaso de geometrıa aproximada-mente cilındrica sometido a un alargamiento controlado. Durante el ensayose registra la fuerza axial, el diametro exterior en la zona central del vaso yla presion aplicada.

120 5.5. Simulacion del ensayo de presurizacion

La figura 5.15 muestra el proceso seguido en la simulacion. En primerlugar, el vaso sin presurizar se alarga hasta la longitud deseada (5.15a) quese mantendra constante durante el ensayo. Despues se aplica presion en suinterior (5.15b) midiendo las variables del ensayo. Una vez descargada laprobeta (p = 0), se continua con nuevos incrementos del alargamiento axial,repitiendo el proceso en intervalos de ∆λ = 0,1.

(a) (b)

dP P

F’F

LD

l

δ

λz = 1 + δ/L

Figura 5.15: Ensayo de presurizacion

Es importante mencionar que los segmentos disponibles de aorta normal-mente son cortos lo que hace que el efecto de sujecion de los extremos debatenerse en cuenta en la simulacion. Ademas, olvidando el efecto de los extre-mos, debe tenerse presente que un calculo de pared delgada serıa de validezdiscutible, pues la razon radio/espesor es del orden de 5, bastante menor a10 que es el recomendado para usar la suposicion de pared delgada (Gere[2002]).

Tal como se comento en el capıtulo 4 los segmentos de aorta ascenden-tes no poseıan condiciones geometrıcas mınimas para su ensayo (suficientelongitud y poca curvatura), por lo que solo se conto con ensayos de aortadescendente. Especıficamente se analizara el caso de una aorta descendenteproveniente del donante sano adulto PH54 del cuadro 3.3.

Del vaso se obtuvieron probetas para el ensayo de traccion, con los re-sultados de estos ensayos se ajustaron los modelos constitutivos de Demirayy Holzapfel, los resultados de los ensayos y los ajustes se muestran en elapendice D. En el cuadro 5.8 se muestran las constantes de los modelos cons-


titutivos ajustadas de los ensayos de traccion y utilizadas en las simulacionesdel ensayo de presurizacion.

Cuadro 5.8: Parametros de los modelos de Demiray y Holzapfel (vaso PH54)Demiray Holzapfel

a [kPa] b µ [kPa] k1 [kPa] k2 ϕ [o]13,59 3,79 17,45 5,52 1,50 52,4

La geometrıa analizada en el modelo de elementos finitos consiste en untubo recto con un diametro exterior De = 15,88 mm, espesor H = 1,68mm y longitud total L = 60 mm. El analisis se realiza en tres dimensiones,representando un sector circular de 1,2o con condiciones de simetrıa circun-ferencial. Se considera solo la mitad del vaso en direccion axial, debido a lascondiciones de simetrıa existentes en el ensayo (figura 5.16). El angulo delsector circular (1,2o) ha sido elegido considerando que su longitud de arcosea aproximadamente igual al tamano del elemento usado en la direccion delespesor. La malla empleada se muestra en la figura 5.17. Se han usado 10elementos en la direccion del espesor, 200 elementos en la direccion longitu-dinal y 1 elemento en la direccion circunferencial. Puede observarse que lamalla es mas fina en la zona de fijacion en donde se impiden totalmente losdesplazamientos (sujecion perfecta).

5.5.2. Resultados

Los ensayos de presurizacion analizados corresponden a los alargamientosfijos de λz = 1,1, 1,2 y 1,3. En las figuras 5.18 a 5.20 se presentan las curvaspresion–alargamiento circunferencial (λθ = d/D) para los diferentes alarga-mientos axiales (λz), junto a los resultados experimentales. Es importantesenalar que los resultados numericos no se han obtenido por ajuste de lascurvas experimentales presion–diametro, sino que los dos modelos constitu-tivos se ajustaron con los resultados de los ensayos uniaxiales, y con estosparametros se ha simulado el ensayo del vaso completo.

En las figuras 5.18 a 5.20 se puede apreciar que la simulacion numeri-ca representa razonablemente bien la respuesta experimental. Es importantedestacar que en los experimentos se observaron pandeos importantes parapequenos alargamientos axiales (λz) que dificultaban la medicion del diame-tro. Por esta razon se interpreta que los resultados de ambas simulaciones sealejan mas de los valores experimentales para los alargamientos axiales masbajos (λz = 1,1 y 1,2).


P

Desplazamiento

impedido en la

dirección normal

Condición de simetría

Extremo fijo

Figura 5.16: Modelo utilizado para la simulacion del ensayo de presurizacion

En las curvas de presion alargamiento circunferencial mostradas se obser-va al inicio un pequeno escalon suavizado. A continuacion la curva aumentagradualmente su pendiente, terminando con una rama casi vertical, a partirde λθ ≥ 1,35. Se observa una mejor representacion de estos dos fenomenos(escalon suavizado inicial y alta rigidez final) del modelo con material deHolzapfel que el de Demiray. Esto puede interpretarse por el efecto de orien-tacion progresiva de las fibras de colageno con la deformacion en direccioncircunferencial que recoge el modelo de Holzapfel pero no incorpora el modeloisotropo de Demiray.

En la figura 5.21 se muestra la seccion longitudinal deformada final paralos modelos constitutivos de Demiray (D) y Holzapfel (H), para los ensayoscon diferentes alargamientos axiales λz. En dicha figura puede observarse queel efecto de la traccion axial provoca una rigidizacion en la estructura, pueslos diametros (en el centro) son cada vez mas pequenos a medida que seestira longitudinalmente el vaso. Se observa ademas que las configuracionesdeformadas de ambos modelos constitutivos (Demiray y Holzapfel) tienendiferencias apreciables en las zonas proximas a los extremos, con mayor cur-


Perspectiva

espesor

Dirección

circunfer.

Figura 5.17: Malla utilizada para la simulacion del ensayo de presurizacion

vatura para el modelo de Holzapfel.Por ultimo, la figura 5.22 muestra una comparacion cualitativa de la con-

figuracion geometrica al final del ensayo (p = 200 mmHg y λz = 1,3) entre laaorta ensayada y la simulacion numerica. En dicha figura puede apreciarceel parecido de la configuracion final de la arteria.


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

PR

ES

IÓN

[mm

Hg]

ALARGAMIENTO λθ

ExperimentalDemiray

Holzapfel

Figura 5.18: Vaso PH54, curva presion diametro para λz = 1,1

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

PR

ES

IÓN

[mm

Hg]

ALARGAMIENTO λθ

ExperimentalDemiray

Holzapfel



0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

PR

ES

IÓN

[mm

Hg]

ALARGAMIENTO λθ

ExperimentalDemiray

Holzapfel


D H D H D H

λz = 11

λz = 12

λz = 13

Figura 5.21: Configuracion deformada de la arteria para los ensayos con dife-rentes alargamientos λz al aplicar una presion de 200 [mmHg], con los modelosconstitutivos de Demiray (D) y Holzapfel (H)


Figura 5.22: Comparacion de la configuracion deformada de la arteria para unalargamiento λz = 1,3 al aplicar una presion de 200 [mmHg]

Se ha dispuesto de otro vaso de aorta descendente pero de una longitudmucho mas reducida, proveniente de un donante joven y sano, especıficamenteel vaso PH31 del cuadro 3.2. El vaso se puede modelizar como un tubo rectode diametro exterior De = 15 mm, espesor H = 1,6 mm y longitud total deL = 17 mm.

Al igual que en el caso anterior el modelo constitutivo fue ajustado delanalisis de los ensayos de traccion uniaxial. Lamentablemente en este casono se dispuso de suficientes ensayos uniaxiales en las distintas direccionespara poder ajustar correctamente el modelo de Holzapfel, no obstante si sepudo ajustar el modelo de Demiray con el ensayo de traccion de probetascircunferenciales (90o). Las constantes utilizadas provenientes del ajuste delos ensayos de traccion son a = 46,97 kPa y b = 1,15.

En la figura 5.23 se presenta la curva presion–diametro obtenida en lasimulacion junto a los resultados experimentales para un alargamiento axialλz = 1,3.

Como se observa, inicialmente la respuesta mecanica de la arteria es prac-


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Pre

sión

[mm

Hg]

D [mm]

λz=1.3MEF

Figura 5.23: Vaso PH31, curva presion–diametro para λz = 1,3

ticamente lineal, luego a niveles de alargamiento circunferencial (λθ = 1,47 =22/15) la rigidez del material comienza a incrementarse notablemente. Estefenomeno es el mismo observado en el caso anterior y probablemente se de-ba a la colaboracion y orientacion progresiva de las fibras de colageno. Esprobable que un modelo usando el material de Holzapfel hubiera dado unarespuesta mas proxima al experimento, rigidizandose mas a esos niveles dedeformacion. Otra observacion importante, es que este vaso es bastante cortoy por lo mismo el efecto de la sujecion es mas importante. Recordando queen el caso anterior las mayores diferencias entre los dos modelos se localizanen la zona de sujecion, posiblemente usando un modelo de Holzapfel en estevaso las diferencias serıan mas notables.

128 5.6. Simulacion del doblado y presurizado de una aorta

5.6. Simulacion del doblado y presurizado de

una aorta

5.6.1. Presentacion del problema

En esta seccion se presenta el analisis de la simulacion del ensayo de do-blado y presurizacion de un vaso de aorta ascendente. Este vaso correspondea un trozo de cayado aortico del donante PH23 (ver cuadro 3.3) el que sepuede apreciar en la figura 5.24A.

A

C D

B

Figura 5.24: Fotografıas del vaso utilizado en el ensayo. A vaso en estado origi-nal. B vaso parcialmente montado. C segmento montado y fijado, vista frontal. Dsegmento montado y fijado, vista posterior

Como es posible observar en la figura 5.24 B se puede ver que al serel vaso un trozo de tubo doblado a practicamente 90o, se debera desdoblarpreviamente a la presurizacion durante el montaje en la maquina resultandoel trozo que se observa en la figuras 5.24 C y D. Posteriormente al desdoblado,


se aplico un alargamiento axial para conseguir un tubo lo mas recto posibley finalmente se aplico la presion interior.

Un esquema que resume el proceso de doblado y estirado realizado en ellaboratorio se muestra en la figura 5.25.

Zona comprimidapresencia de arrugascontacto sobre si mismo

C

AlargamientoaxialAB Doblado B

I II

Figura 5.25: Situacion fısica del problema de doblado-estirado, I doblado, IIestirado

Como se presenta contacto en las arrugas producidas por el doblado hastaniveles de alargamiento axial de 1,5, para evitar las dificultades adicionales dela modelacion del contacto sobre sı mismo, en primera instancia se opto por lasimulacion para un alargamiento alto, el ultimo de los ensayados (1,7), reali-zando el proceso de doblado y estirado simultaneamente para posteriormenteaplicar una presion interior.

5.6.2. Modelizacion numerica

El segmento de aorta ascendente se modelo geometricamente como untubo perfecto con forma de codo. La geometrıa fue obtenida durante el ex-perimento midiendo los diametros y longitudes interior y exterior del codo.Las caracterısticas geometricas del modelo son: tubo de seccion circular condiametro interior φ = 18 mm, espesor e = 1,3 mm, con una configuracioninicial en la que la directriz sigue un arco circular de 90o y radio R = 28,5mm.

La malla que se empleo, que puede observarse en la figura 5.26, esta for-mada por 1280 elementos hexaedricos de ocho nodos con un total de 2091nodos. El elemento utilizado es del tipo mixto para evitar problemas de blo-queo por la incompresibilidad del material.


Figura 5.26: Malla utilizada para el ensayo de doblado y presurizado

Como puede observarse en la figura 5.26 se considero solo la mitad de laarteria debido a la simetrıa que presenta el problema. La malla es mas finaen los extremos, donde se impusieron los desplazamientos y ademas por loobservado en el experimento, se esperan ahı los mayores gradientes de lasvariables.

Las condiciones de contorno que se emplearon para la modelizacion deeste problema se presentan esquematicamente en la figura 5.27. Durante todoel ensayo se considero impedido el desplazamiento en la zona inferior dela arteria, lo que en el laboratorio se logra fijandola mecanicamente y conadhesivo. El otro extremo de la arteria, zona A de la figura 5.27, se aplicaun desplazamiento u que hace que la cara A quede paralela a la base de laarteria. De esta forma se aplica el doblado y el alargamiento en la direccionaxial de la arteria tal que correponde a un alargamiento de 1,7, el mayorempleado en los experimentos. Una vez aplicado el desplazamiento u, la caraA se fija, es decir, u = 0, accion que en el experimento se logra con unasujecion mecanica y adhesivo. En ese momento se comienza a aplicar presionen el interior de la arteria desde 0 a 200 [mmHg]. Cabe destacar que estapresion se considera una carga seguidora durante todo el analisis lo que exigeun tratamiento no lineal de la carga.

El modelo constitutivo adoptado es el modelo de Demiray que ha sidoajustado de los ensayos de traccion realizados en probetas obtenidas de lamisma aorta del donante PH23 (ver cuadro 3.2). Las constantes ajustadasson a = 107,19 kPa y b = 1,40, y el detalle de los resultados de estos ensayosse muestran en el apendice D.


P t > to

u

u=0

A

A’

u=0

0< t < to

t>to

Figura 5.27: Condiciones de contorno utilizadas en la modelacion

5.6.3. Presentacion de los resultados

A continuacion se analiza la evolucion del diametro maximo en el cen-tro en funcion de la presion aplicada. Notese que la seccion transversal noes simetrica, debido al efecto del doblado, y por ello el diametro al que serefiere el analisis es la distancia o diametro maximo que fue medido con elextensometro optico en el experimento.

La figura 5.28 presenta la comparacion entre los datos obtenidos experi-mentalmente y los resultados de la simulacion. Si bien se presentan algunasdiscrepancias entre la simulacion numerica y los resultados experimentalesesta diferencia no supera el 6 % a lo largo de toda la curva.

Si se observa la figura 5.28 puede notarse que el diametro en el cual lacurva experimental comienza a rigidizarse es 30 [mm] o lo que es lo mismo aun alargamiento circunferencial del orden de 1,5 (aproximadamente λθ = 30

20),

levemente superior (un 11 %) a los valores del problema de inflado del vasoPH54 analizado en el apartado anterior.

En la figura 5.29 se presenta una comparacion cualitativa de las confi-guraciones geometricas entre la aorta ensayada y la simulacion numerica.En dicha figura puede observarse la similitud de la configuracion final de laarteria.

La figura 5.30 muestra la configuracion adoptada por la malla a medidaque esta se desdobla y estira (ver figura 5.30 a, b, c) y luego, ya desdoblada,se carga con una presion interna (ver figura 5.30 d, e, f).


0

25

50

75

100

125

150

175

200

20 22 24 26 28 30 32

Pre

sión

[mm

Hg]

Diámetro D [mm]

ExperimentalSimulación

Figura 5.28: Curva presion–diametro de la seccion central, ensayo doblado ypresurizacion

Figura 5.29: Fotografia de la configuracion deformada en el experimento (izquier-da) y la obtenida en la simulacion (derecha)


a b

c d

e f

Figura 5.30: Configuracion deformada de la arteria para diferentes pasos de carga


En la figura 5.31 se presenta la distribucion de la tension principal σ1.

III

III

II

Final del doblado Final del inflado

IV

A B

I

Figura 5.31: Distribucion de la tension principal maxima σ1 [Pa]

Puede observarse que en la zona derecha (punto I, ver figura 5.31B) dela arteria se encuentran sometida fundamentalmente a traccion y los valoresmaximos no sobrepasan la tension de rotura registrada en los ensayos detraccion en la direccion circunferencial.

Al finalizar la etapa de desdoblado (figura 5.31A), la zona central indi-cada por el punto II corresponde aproximadamente a la lınea neutra de laflexion. En esta parte del vaso el efecto de la accion de la presion interiores la principal responsable de las deformacion. En la zona central del vaso(punto II de la figura 5.31A) al finalizar el inflado a 200 mmHg el diametroy espesor medio es de 32 y 0,71 mm, respectivamente. Usando estos datos seevaluo la tension circunferencial con la ecuacion de tubos delgados, resultan-do un valor de 600 kPa. En la simulacion la tension circunferencial en estepunto alcanzo los 590 kPa, muy similar al calculo de pared delgada, pues esla accion del inflado la responsable del estado tensional de esta zona del vaso.

Es importante observar que en los extremos del vaso el efecto de la flexiones muy importante, comprimiendo y estirando las zonas III y IV respectiva-mente, ver figura 5.31B. Si se observa el detalle de la zona III de la figura5.31B, se aprecia la severa flexion a la que esta sometida la pared del vaso.

Cabe senalar que el modelo usado no es capaz, por ser isotropo, de captarel efecto de las direcciones de las fibras de colageno y ademas no incluye elefecto de las tensiones residuales presentes en la aorta.


5.7. Simulacion del cayado aortico

En esta seccion se presenta la simulacion numerica de un modelo com-pleto del cayado aortico. Este modelo permitira obtener, aunque de formacualitativa, algunas conclusiones para su interpretacion medica en casos rea-les.

El problema tiene un importante interes clınico, pues como se comento enel capıtulo 2 los criterios de deteccion de riesgo de fallo mecanico en la aortaascendente se basan fundamentalmente en el diametro del vaso. Con la simu-lacion numerica es posible obtener el estado mecanico de la pared arterial ycuantificar el riesgo de rotura bajo diferentes tipos de solicitaciones.

Hasta ahora han sido pocos los analisis numericos de la respuesta mecani-ca de la aorta ascendente. El mas importante que conocemos es el realizadopor Beller et al. [2005], que presenta un analisis del estado tensional delcayado aortico. Beller et al. consideran un modelo constitutivo que no tieneen cuenta la rigidizacion de la pared arterial con el aumento de la deforma-cion (usan un modelo elastico lineal) y desprecian los efectos mecanicos delligamento arterioso sobre el cayado (El ligamento arterioso es un tejido den-samente fibroso (Hardy et al. [2006]) que comunica la arteria pulmonar yla aorta, ver figura 1.2). No obstante, su modelo considera los desplazamien-tos que sufre la raız aortica durante el ciclo cardiaco y analizan sus efectossobre el resto del cayado. En su analisis revelan algunos aspectos importantesde la respuesta mecanica del cayado aortico.

Para lograr que la simulacion sea valida con mayor generalidad, es nece-sario que el modelo constitutivo del material sea lo mas parecido posible a larespuesta observada en la realidad, sobre todo cuando tratamos de intentarcuantificar el riesgo de rotura. En el presente trabajo se emplearon las cur-vas tension–alargamiento obtenidas en los ensayos uniaxiales (expuestos endetalle en el capıtulo 4), a las que se ajusto un modelo constitutivo y de losque se obtuvieron los alargamientos y las tensiones de rotura.

Asimismo, las condiciones de contorno deben representar las acciones delos organos que se conectan al cayado. Para ello se trabajo en conjunto con losmedicos del Hospital Puerta de Hierro (Burgos et al. [2008]) y se tuvieronen cuenta algunos trabajos publicados en los que se miden las acciones sobrela raız aortica (Beller et al. [2005]).

Existen otros autores que estudian el cayado aortico pero se limitan alanalisis del flujo sanguıneo a traves de este vaso de forma experimental y/ocon modelos numericos (Kilner et al. [1993]; Suo [2005]; Qiao y Liu[2008]).

136 5.7. Simulacion del cayado aortico

5.7.1. Presentacion del problema

El primer problema que se presenta para realizar el analisis es la obtencionde una geometrıa representativa de la configuracion inicial postulada de uncayado aortico adulto in-vivo.

Una forma de obtener la geometrıa (CAD) de una arteria es a partir deimagenes obtenidas a traves de tecnicas clınicas in-vivo (TAC, angiografıas)para luego aplicar metodos de reconstruccion geometrica y obtener ası unmodelo real del vaso (Medina y Wicker [2003]; Sanmartın et al.[2006]). Hay que tener en cuenta que la geometrıa obtenida es medida a unadeterminada presion (normalmente la diastolica), es decir, dicha geometrıapresenta tensiones que son desconocidas a priori.

En este trabajo el problema de la reconstruccion geometrica no es abor-dado, pues se escapa de los objetivos del mismo. No obstante, se realizo unestudio anatomico del cayado aortico, buscando informacion geometrica, pa-ra poder reproducir adecuadamente el cayado de un paciente adulto. Paraello se obtuvieron datos de algunos artıculos y atlas de anatomıa (Rouvie-re [1976]; Putz y Pabst [2001]; Vilacosta [2003]; Beller et al.[2005]), otros dados por medicos del Hospital Puerta de Hierro (Burgoset al. [2008]) y ademas se dispuso de varios cayados de donantes humanos(cadaveres) en los que se midio directamente su geometrıa. La geometrıa ob-tenida a traves del estudio anatomico se considero como la correspondientea la presion diastolica (80 mmHg), es decir presenta tensiones, por lo que lasimulacion debera estimarlas y considerarlas. Esta misma metodologıa puedeser aplicada para la determinacion de las tensiones en una geometrıa proce-dente de una reconstruccion geometrica.

Un segundo problema relevante, es la determinacion de condiciones decontorno representativas del problema. Para ello se ha tenido en cuenta lasmediciones in-vivo realizadas por Beller et al. [2005] y se han incorpora-do sugerencias del equipo de medicos del Hospital Puerta de Hierro (Burgoset al. [2008]).

El tercer aspecto importante es tener un modelo constitutivo que repre-sente razonablemente el comportamiento mecanico de la aorta. Este modelofue obtenido con el analisis de los ensayos de traccion, presentados en de-talle en el capıtulo anterior. Ademas se tendran en cuenta algunos aspectosrelevantes referente a las condiciones de rotura de la pared de la aorta.

Los tres problemas aquı citados son desarrollados en los siguientes apar-tados.


Estudio anatomico

Como se comento en el capıtulo 1, la aorta se encuentra conectada alventrıculo izquierdo a traves de la raız aortica. La union con el ventrıculoizquierdo presenta algunos aspectos importantes. Este organo transmite susmovimientos y cargas a traves de la raız de la aorta.

En la figura 5.32 se muestra un corte del corazon y la aorta, en dichafigura se pueden ver los velos de la valvula aortica. Ademas, es importanteobservar que la aorta se conecta con el corazon formando un angulo definidoentre la seccion transversal de la raız aortica y el eje del ventrıculo izquierdo,como muestra la figura 5.32. Este angulo ha sido medido por algunos autoresy habitualmente se encuentra entorno a los 30o (Vilacosta [2003]; Belleret al. [2004]; Beller et al. [2005]).

30ºAscendente

Aorta

Ventrículo

Izquierdo

Raíz aórtica

A B

Figura 5.32: Situacion de la aorta con el corazon (Vilacosta [2003]). (A) cortedel corazon y la aorta. (B) Detalle de la raız aortica

Tambien se dispuso de varias muestras de cayado aortico de donantes sinantecedentes de patologıas cardiovasculares, uno de estos se muestra en lafigura 5.33. De estos trozos se midieron diametros y espesores de la aorta ysus salidas (tronco braqueocefalico, carotida comun y subclavia izquierda).

Algunos autores Rouviere [1976]; Putz y Pabst [2001] destacan quela gran mayorıa (70 %) de pacientes presenta una configuracion del cayadoaortico como la que se aprecia en la figura 5.33. Existen otras disposicio-nes de las arterias que salen del cayado que son posibles de encontrar enpacientes humanos. En la figura 5.34A se muestra la segunda configuracionmas importante que se presenta en un 13 % de los pacientes, diferenciando-se de la anterior por encontrarse muy pegadas la salida de la carotida y ladel tronco braqueocefalico, ver figura 5.34A. Una tercera disposicion consisteen que la carotida comun salga como una rama del tronco braqueocefalico,encontrandose en el 9 % de los pacientes Putz y Pabst [2001].


Subclavia

braqueocefálico

Tronco

Carótida común BA

Figura 5.33: Cayado aortico de un donante. A Vista lateral. B Vista superior

Aorta descendente

Arteria subclavia

Común

Aorta ascendente

braqueocefálico

Tronco

Carótida

B

LCCA:Arteria carótida común izquierda

A

LVA:Arteria vertebral izquierda

BT:Tronco braqueocefálico

LSCA:Arteria subclavia izquierda

RVA:Arteria vertebral derecha

Figura 5.34: Cayado aortico humano. (A) dispocion encontrada en un 13 % depacientes humanos (Putz y Pabst [2001]), (B) dispocion encontrada en un 2,4a un 5 % de pacientes obtenida in-vivo por resonancia magnetica (Al-Okaili ySchwartz [2007])

Existe otra configuracion menos frecuente aun, que se ha observado enun 2,4 a un 5 % de los pacientes (Putz y Pabst [2001]; Al-Okaili ySchwartz [2007]), y que se caracteriza en que la arteria vertebral izquierdanace directamente del cayado aortico. Algo aun menos comun encontraronAl-Okaili y Schwartz [2007], una disposicion como la que se muestra en


la figura 5.34B. Esta se distingue de la anterior configuracion, porque ademasla arteria vertebral derecha (RVA en la figura 5.34B) nace directamente desdeel cayado aortico.

Resumiendo existen varias disposiciones posibles de las arterias de salidadel arco aortico, pero la que se encontro en todos los cayados que se midierones la mostrada en la figura 5.33. Ademas, de acuerdo a la literatura, es laque con mayor frecuencia se presenta (70 %) y por esto fue la disposiciongeometrica utilizada en las simulaciones numericas.

Como ya se menciono anteriormente se dispuso de varios cayados aorticosen los que se midieron diametros y espesores. Los valores promedios obtenidosse resumen en el cuadro 5.9.

Cuadro 5.9: Diametros exteriores y espesores medios (en milımetros) del cayadoaortico y sus salidas

Vaso

braqueocefalico carotida subclavia aortaDiametro [mm] 12,0 ±0,34 10,1 ±0,25 11,2 ±0,31 24,4 ±0,45Espesor [mm] 2,06 ±0,11 1,89 ±0,21 2,1 ±0,08 1,95 ±0,15

Ademas se midio el radio de la directriz del arco aortico, encontrandoseun radio de 37 mm ±4,5, practicamente igual al utilizado por Beller et al.[2004].

La figura 5.35 resume la geometrıa considerada para el cayado aortico ysus salidas junto con sus dimensiones mas relevantes.

5.7.2. Construccion de la malla

Los datos geometricos recopilados en la seccion anterior, permitieron lageneracion de una geometrıa CAD del cayado aortico. Este se realizo utilizan-do el programa GID (CIMNE [2007]). En primera instancia se construye unesqueleto compuesto por las lıneas y puntos. En un segundo paso, se definiranlas superficies y finalmente los volumenes que forman el modelo.

Se tuvo especial cuidado en la generacion de las salidas, para ası definirlos volumenes unicamente por seis superficies, pues de esta manera es posibletener un mejor control en la generacion de la malla y a su vez poder utilizarelementos hexaedricos en la totalidad de la malla. En la figura 5.36 se mues-tra, como ejemplo, el detalle de la construccion de la union o bifurcacion dela arteria carotida comun con el arco aortico.

En la figura 5.36 puede observarse la division en volumenes de seis carasque conectan con la aorta. Tambien se construyo esta division de tal forma


R= 37 mm

Aorta descendente

común

Arteria subclavia

Tronco

Aorta ascendente

12

10

11

Braqueocefálico

Carótida

Espesor 2 mmD = 24.4

Figura 5.35: Cayado aortico del paciente tipo analizado y sus dimensiones masimportantes en mm

Figura 5.36: Detalle de la generacion de la geometrıa de la bifurcacion de lacarotida comun con el cayado aortico

que el numero de elementos empleados segun la direccion del espesor de lassalidas sea independiente del numero de elementos elegidos en el espesor del


cayado aortico.La malla utilizada se muestra en la figura 5.37 y consta de 28437 nodos,

22176 elementos hexahedricos de ocho nodos hıbridos con integracion reduci-da 4. Cabe senalar que se utilizaron cuatro elementos en el espesor de todo elcayado aortico y tres elementos en el espesor de la arteria subclavia, carotidacomun y del tronco braqueocefalico.

Figura 5.37: Malla del cayado aortico y sus salidas

5.7.3. Condiciones de contorno

Uno de los aspectos mas importantes a tener en cuenta son las condicionesde contorno. Estas tendran que representar adecuadamente el funcionamientode la aorta durante el ciclo cardiaco.

La simulacion numerica realizada por Beller et al. [2004] consideraque todos los extremos de las arterias de salida estan completamente fijas,

4En el programa ABAQUS corresponden a la nomenclatura C3D8RH


inclusive el extremo de la aorta descendente. Pareciera ser que estas condicio-nes de contorno pudieran ser mejoradas, pues algunos movimientos no estancompletamente impedidos, tal como sucede con el aumento o disminucion deldiametro en los extremos del cayado aortico y sus arterias de salida duranteel ciclo cardiaco de funcionamiento (Burgos et al. [2008]).

Por otra parte, en el trabajo de Beller et al. [2004] se considera yse mide experimentalmente el desplazamiento de la raız aortica tal como semuestran en la figura 5.38. Se midio un desplazamiento de la raız aortica demagnitud 8,9 mm y un giro de 6o para los pacientes de control (”sanos”). Elmovimiento de la raız aortica en el cayado puede generar tensiones impor-tantes y por ello sera considerado en la simulacion.

Figura 5.38: Movimiento de la raız aortica (Beller et al. [2004])

Algunos autores (Richens et al. [2002]) comentan la influencia quetiene el ligamento arterioso en la respuesta mecanica del cayado, en esa zonase han encontrado roturas en casos de solicitacion extrema por condicionesde trauma o accidentes de trafico. Esto puede ser debido a que el ligamentoes muy fibroso y rıgido, sirviendo practicamente como punto de anclaje delcayado (Farreras y Rozman [1995]; Putz y Pabst [2001]; Richenset al. [2002]).

En el modelo desarrollado en este trabajo se considera la presencia deeste ligamento a traves de la incorporacion de elementos tipo muelle querepresentan la accion del ligamento en la aorta con una rigidez un orden demagnitud superior a la del cayado.


Las condiciones de contorno consideradas en el modelo de elementos fini-tos se resumen en el esquema de la figura 5.39. Como se aprecia en la figura,en el extremo de la aorta ascendente se permite solo el movimiento en supropio plano, plano a de la figura 5.39. De la misma manera, las salidas delas arterias subclavia, carotida y el tronco braqueocefalico, se mueven uni-camente en sus secciones transversales b, c y d respectivamente. Ademas, seaplica un desplazamiento u en la direccion normal a la seccion transversal dela raız aortica y de magnitud 8,9 mm, junto con un giro φ0 = 6o en el sentidoque se muestra en la figura 5.39. Se consideran elementos del tipo muelle pararepresentar el efecto de la presencia del ligamento arterioso, esquematizadostambien en la figura 5.39 con un muelle. El valor de la constante de los mue-lles es estimado considerando que estos son un orden de magnitud superiora la rigidez de la aorta.

b

c

d

a

φ0

u

Figura 5.39: Condiciones de contornos consideradas en las simulaciones numeri-cas


5.7.4. Geometrıa inicial considerando cargas y tensio-nes

La geometrıa real de una arteria puede ser obtenida con tecnicas de an-giografıa o TAC. Son tecnicas de imagenes medicas que se practican en elpaciente in-vivo y por ello se obtienen a una presion determinada, normal-mente la de diastole (al menos eso se supondra en este trabajo).

La geometrıa medida de esta manera se encuentra solicitada por la presionsanguınea que actua en su interior. Por ello se hace necesario que la geometrıaespecificada inicialmente este en equilibirio con la situacion de cargas (pre-sion diastolica) y tensiones iniciales. Por ende, es importante estimar bien elcampo de tensiones que posee la arteria en condiciones de presion diastolica.

Una forma de considerar este efecto es usando el metodo de analisis in-verso (Govindjee y Mihalic [1996]; Lu et al. [2007]). Normalmente losautores que utilizan un analisis inverso desprecian las tensiones residuales,tomando como configuracion libre de tensiones la correspondiente a presionnula, suposicion que no se corresponde del todo para los vasos sanguıneos.

A modo de ejemplo para observar la importancia del efecto de las ten-siones en la geometrıa inicial, se realizo una simulacion sin considerar dichastensiones. Los resultados muestran que la configuracion deformada se expan-de exageradamente (∆DA) tal como se muestra en la figura 5.40. Esto esdebido a que la rigidez del material a pequenos niveles de carga (inferioresa las del punto A, ver figura 5.41) es muy pequena y por ello incrementospequenos de presion producen grandes aumentos de diametro. Si se conside-ran las tensiones iniciales, el calculo comienza en A para finalizar en B (verfigura 5.41) y como se aprecia con un aumento de diametro bastante menor(∆DB).

En este trabajo se ha optado por estimar las tensiones iniciales presentesen una situacion de diastole, correspondiente a 80 mmHg. Para su estima-cion se utilizo la ecuacion de tubos delgados y se asumio que las tensionesson uniformes en el espesor de la pared, hipotesis que tiene en cuenta quela presencia de tensiones residuales uniformiza las tensiones en el espesor(Fung [1991]). Ademas, el campo de tensiones supuesto, debe cumplir quelos desplazamientos en la arteria sean razonablemente pequenos al aplicarla presion de 80 mmHg. Esta condicion se verifica realizando un calculo enque el programa ABAQUS en forma iterativa mantiene la tension y ajusta lageometrıa para el equilibrio, resolviendo un problema de tensiones iniciales,similar al del pretensado.

Cabe senalar que para la introduccion de las tensiones iniciales en el mo-delo de elementos finitos es necesario definir en cada punto las direccionescircunferencial, longitudinal y radial (un sistema cilındrico), pues los valo-


Aorta ascendente

Figura 5.40: Malla en la configuracion sin cargas (0 mmHg) y deformada (80mmHg), sin considerar tensiones iniciales

AB

D

PA

∆DA ∆DB

PB

P

Figura 5.41: Representacion esquematica del diagrama presion–diametro


res de las tensiones son estimados en este sistema de referencia. En un tuborecto dichas direcciones son constantes, pero en una arteria curvada es mascomplejo y varıan punto a punto. Para solucionar este problema se definio unsistema de referencia para cada vaso (aorta, tronco braqueocefalico, caroti-da comun y subclavia) dando en cada uno de ellos su directriz y el vectortangente a cada punto de la directriz, ver figura 5.42. Estas dos variablesson introducidas en el modelo a traves de un fichero que es leıdo por unasubrutina de usuario en ABAQUS (Hibbit et al. [1998]) en la cual se haimplementado el algoritmo que permite la definicion de las direcciones encuestion.

Sección

en A

Sección

en B

Y

X

O

Z

tA

tBB

A

Figura 5.42: Esquema de la directriz de la aorta y sus tangentes

En la figura 5.43 se muestran las direcciones asignadas con la subrutinaen la malla analizada. Puede observarse que dichas direcciones correspondena la triada buscada.

Utilizando la metodologıa antes descrita se analizo un caso sencillo. Paraello se modelo un trozo de arteria con forma de codo como el que se muestra enla figura 5.44. Como se ve solo se considero la mitad del codo y por ello se hanutilizado condiciones de simetrıa, ademas en los extremos del codo se impidenlos desplazamientos longitudinales. Usando la ecuacion de tubos de pareddelgada y considerando una presion de 80 mmHg, la tension circunferenciales de 22 kPa. Haciendo el equilibrio de fuerzas en la direccion axial resultauna tension longitudinal de 11 kPa. Estos valores fueron introducidos comotensiones iniciales, luego se aplico una presion en la superficie interior de 80mmHg. Los resultados de este calculo se muestran en la figura 5.44.


Radial

Circunferencial

Longitudinal

Figura 5.43: Orientaciones asignadas al cayado aortico. A trozo de la aorta as-cendente, B Detalle de las orientaciones asignadas

A B

Figura 5.44: Malla del codo considerando tensiones iniciales. A Configuraciondeformada e inicial. B Magnitud del desplazamiento en m


En la figura 5.44A se observa que los desplazamientos son muy pequenos yla malla deformada practicamente se superpone con la original. Esto tambiense confirma con los valores maximos alcanzados de desplazamiento, que llegana 0,12 mm en el radio interno del codo, ver figura 5.44B.

5.7.5. Modelo constitutivo y criterios de rotura

Se ha considerado para el analisis un modelo constitutivo del tipo hipe-relastico isotropo de Demiray. Las constantes del modelo provienen del ajusterealizado de los ensayos de traccion de tejidos de aorta ascendente sana quese exponen en el cuadro 5.6 del apartado 5.3.

Es conveniente establecer ındices que cuantifiquen el peligro de rotura delvaso. Algunos investigadores han analizado el problema de rotura de la aorta,pero solo concentrandose en la parte descendente de la aorta en presencia deaneurismas (Martino y Vorp [2003]; Li y Kleinstreuer [2005]; Vorp[2007]). Fundamentalmente, estos analisis plantean criterios basados en lastensiones maximas.

Algunos autores plantean criterios de rotura en tejidos blandos basadosen los alargamientos maximos (Mohan y Melvin [1982]; Lonescu et al.[2006]). De acuerdo a los parametros analizados en el capıtulo 4, consideramosque el alargamiento de rotura es un ındice adecuado para evaluar la cercanıaa la rotura del material. En este trabajo se utilizo como criterio de fallo elnivel de alargamiento maximo y para ello se calculara el siguiente ındice IF :

IF =λpmaxλrot

(5.14)

donde λrot y λpmax son los alargamientos de rotura y principal maximo,respectivamente. Si IF se halla cercano a la unidad, el material esta proximoa la rotura.

5.7.6. Presentacion de los resultados

Se han analizado tres casos:

1. En el primer caso se estudio la respuesta mecanica del cayado aorticoen condiciones fisologicas normales.

2. El segundo caso consistio en estudiar el comportamiento mecanico delcayado en condiciones de hipertension arterial.

3. En el tercer caso se ha analizado el cayado aortico en condiciones extre-mas de solicitacion, provocadas por un trauma o accidente de trafico.


Para todos los casos estudiados, el analisis se divide en dos fases. Enla primera fase se obtiene la configuracion inicial deformada a 80 mmHgpartiendo de las tensiones previamente estimadas e introducidas al modelo.Al final de la primera fase se comprueba que las deformaciones sean pequenas,para ello se evalua la variacion del diametro y los desplazamientos en todala malla, comprobando que estos sean inferiores al 5 %. Verificadas dichascondiciones, se procede a la segunda fase en la que se aplican las cargas parallegar a la presion final, que en condiciones normales corresponderıa a 120mmHg.

Como se explico anteriormente es necesaria la estimacion de las tensio-nes en la configuracion de 80 mmHg. En los casos estudiados se considero lamisma geometrıa y por tanto las tensiones resultan iguales en todos los casosanalizados. Dada la geometrıa para la presion de diastole de la figura 5.36y usando la ecuacion de tubos delgados, se calcularon las tensiones circun-ferenciales y longitudinales en cada uno de los vasos del cayado aortico. Losvalores de las tensiones introducidas en el modelo se resumen en el cuadro5.10.

Cuadro 5.10: Datos geometricos de las arterias a una presion de 80 mmHg y susrespectivas tensiones introducidas en el modelo

Vaso d [mm] h [mm] σθ [kPa] σz [kPa]Cayado aortico 24,4 2,0 65,1 32,6

Tronco braqueocefalico 12,0 2,0 32,0 16,0Carotida comun 10,0 2,0 26,7 13,4Arteria subclavia 11,0 2,0 26,7 13,4

Tal como se comento en el capıtulo 2, algunos autores han mostradoque las arterias poseen un alargamiento longitudinal in-vivo y en el casode las arterias de salida del cayado aortico (tronco braqueocefalico, carotidacomun y subclavia) se encuentran alargamientos (in-vivo) entre 1,15 a 1,25(Chuong y Fung [1986]). Por este motivo, para el calculo de las tensionesde dichos vasos, se considero un alargamiento longitudinal λz = 1,2.

5.7.6.1. Paciente sano joven en condiciones fisiologicas normales

El primer caso analizado corresponde al estudio de un paciente sano yjoven bajo condiciones fisiologicas normales de presion, es decir a presionesde 80 y 120 mmHg en diastole y sıstole, respectivamente.

En la primera fase del analisis, se obtuvo la geometrıa considerando sus


tensiones a 80 mmHg. El objeto de este primer paso es verificar que la geo-metrıa dada con las tensiones supuestas, no sufre grandes modificaciones.

Al final de la primera fase, se obtuvo la variacion porcentual del diametroexterior en funcion de la posicion angular de la seccion transversal (β) paratodo el cayado aortico, ver figura 5.45.

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

0 50 100 150 200 250

Var

iaci

ón d

el d

iám

etro

(D f−

Di)/

Di %

Posición angular de la sección transversal β [º]

β

Figura 5.45: Variacion porcentual del diametro en el cayado aortico en la configu-racion deformada a 80 mmHg para un paciente joven y sano. Las discontinuidadesde la curva corresponden a las arterias de salida del arco aortico

En la figura 5.45 se observa que el diametro aumento menos de un 2,2 %en todo el cayado. Por otra parte, los desplazamientos maximos en este pasono superaron los 2 mm y como puede apreciarce en la figura 5.46 la malladeformada resulto estar muy cercana a la malla inicial. Por tanto el campo detensiones supuestos en la geometrıa dada resulta ser adecuado y consistentepara el analisis.

En la segunda fase se aplican las cargas: se aumenta la presion hastallegar a 120 mmHg y simultaneamente se aplica el desplazamiento y giro dela raız aortica.


Figura 5.46: Malla original y deformada a 80 mmHg considerando tensionesiniciales

En la figura 5.47 se muestra el mapa de la magnitud de los desplazamien-tos en la configuracion deformada final a 120 mmHg.

La presion actuante en general, no provoca importantes desplazamientosen el arco aortico, sin embargo el desplazamiento y el giro aplicado en laraız causan deformaciones considerables, sobre todo en las regiones de laaorta ascendente, la base del tronco braqueocefalico y en menor medida enlas cercanıas del ligamento arterioso (ver figura 5.47). Los desplazamientosdisminuyen con la distancia a la raız aortica, llegando a valores de 3,5, 2,9 y2,8 mm en la base del tronco braqueocefalico, carotida comun y de la arteriasubclavia, respectivamente. A los 120 mmHg el diametro exterior y el espesorpromedio en la aorta ascendente alcanzaron un valor de 26,1 y 1,61 mm,respectivamente. Con los diametros en diastole y sıstole se puede obtener ladistensibilidad de la aorta ascendente usando la ecuacion (4.2) (capıtulo 4).


|u|

Figura 5.47: Mapa de la magnitud de los desplazamientos (en m) en la configu-racion deformada a 120 mmHg para un paciente joven y sano.

Remplazando los valores se tiene que la distensibilidad es 2,7×10−3 mmHg−1,bastante cerca a los 2,5 × 10−3 mmHg−1 medidos in-vivo por Koulliaset al. [2005] en pacientes sanos.

La tension y el alargamiento principal maximo en el arco aortico se dis-tribuyen como muestra la figura 5.48.

En la zona de la aorta ascendente los valores maximos de tension selocalizan a unos 30 mm de la raız aortica y por la zona interna del arco.La tension principal maxima y el alargamiento principal maximo en la aortaascendente son 143 kPa y 1,12, respectivamente (ver figura 5.48). En la figura5.48B se ve que el alargamiento maximo llega a 1,14 y se encuentra en la basedel tronco braqueocefalico, tambien se presentan valores altos en las cercanıasde la union de la carotida y la subclavia al arco aortico llegando a 1,11 y 1,10respectivamente. Otra region de valores importantes en el alargamiento seencuentra en la vecindad del ligamento arterioso, obteniendose valores delalargamiento cercanos a 1,10.


σpmax

λpmax

Figura 5.48: Configuracion deformada a 120 mmHg para un paciente joven ysano. A tensiones principales maximas en Pa, B alargamientos principal maximo

La figura 5.49 muestra el ındice de fallo en el cayado aortico. Las zonas demayor riesgo de rotura se encuentran en la union de las arterias de salida conel arco aortico y en las cercanıas del ligamento arterioso, pues estos actuancomo puntos de ’anclaje’ del cayado. No obstante, los niveles estan alejadosde la rotura (IFmax = 0,65).

5.7.6.2. Paciente sano joven y paciente sano mayor en condicionesde hipertension

En esta seccion se analiza el efecto de un aumento importante de la pre-sion (hipertension) arterial en la respuesta mecanica del cayado aortico dedos pacientes sanos de diferente edad (joven y mayor). La hipertension con-siderada eleva el nivel de la presion de sıstole a 160 mmHg (40 mmHg sobrelo considerado normal). Por otra parte, el desplazamiento y el giro de la raızaortica siguen siendo 8,9 mm y 6o, respectivamente. Se ha aplicado, al igual


IF =

λpmax

λrot

Figura 5.49: Indice de fallo en la configuracion deformada a 120 mmHg para unpaciente joven y sano

que el caso anterior, una primera fase de ajuste de la geometrıa con cargas ytensiones iniciales.

En la figura 5.50 se muestran las tensiones y alargamientos principalesmaximos en la configuracion deformada del arco aortico a 160 mmHg paralos dos pacientes analizados.

Como puede observarse en la figura 5.50, las tensiones y alargamientosprincipales maximos se situan principalmente en las cercanıas de la union delas tres arterias de salidas y en la vecindad del ligamento arterioso.

Para el analisis con el paciente joven (figura 5.50A-B) los valores de lastensiones y alargamientos principales maximos son 290 kPa y 1,6 respec-tivamente. Si dichos valores (λmax,σmax) se ubican en la curva de tension–alargamiento de este material, este estado de tension se encuentra en el codode la curva (λ1 = 1,7,σ1 = 300 kPa), lejos del punto de rotura y a un nivelde rigidizacion leve que le permite seguir amortiguando la onda de presion.


σpmax

λpmax

σpmax λpmax

Figura 5.50: Tensiones (en Pa) y alargamientos principales en la configuraciondeformada a 160 mmHg. A y B paciente joven sano, C yD paciente mayor sano


En el caso del paciente mayor (figura 5.50C-D), los valores de las tensionesy alargamientos maximos alcanzados son de 300 kPa y 1,33, respectivamen-te. Los alargamientos se reducen, observandose claramente una respuestamas rıgida que en el paciente joven. A estos niveles de tension el materialse encuentra funcionando en la parte posterior al codo (λ1 = 1,2,σ1 = 200kPa), la parte mas rıgida del material. La respuesta mas rıgida del cayadode la persona mayor provocara un empeoramiento de la funcion amortigua-dora de la onda de presion, entregando aguas abajo caudales y presionesmas irregulares. Esto ultimo se manifiesta en los valores de distensibilidadque disminuyen significativamente en el paciente mayor a 1,3, casi un 50 %menos que un paciente sano y cerca de los valores de pacientes patologicosencontrados en los ensayos in-vivo de Koullias et al. [2005].

En la figura 5.51 se muestra el mapa del ındice de fallo (ecuacion (5.14))para los dos pacientes estudiados. Se observa que los puntos mas crıticos sesituan en las cercanıas de las uniones de las arterias de salida y alrededor delligamento arterioso. Como es de esperar, en el caso del paciente joven (figura5.51A) los valores estan aun lejos de la condicion de rotura, llegando hasta0,73 como maximo. Para el paciente mayor el ındice de rotura es mas altollegando a valores maximos de 0,85, cercanos ya a la condicion de fallo.

Para observar mejor en ambos pacientes la distribucion de tensiones enla aorta ascendente, se corto una porcion de esta parte del modelo tal comose muestra en la figura 5.52.

Para el caso del paciente joven (ver figuras 5.52ABC) las tensiones ma-yores se localizan en la parte interna del arco aortico, alcanzando valores de250 kPa para las tensiones circunferenciales y practicamente la mitad (125kPa) para las longitudinales. Notese que los valores de la tension radial (σr)en la superficie interior se aproximan bastante bien a la presion aplicada (160mmHg = 21332 Pa).

En el caso del paciente mayor (figura 5.53) la situacion es similar al casoanterior. Las tensiones maximas tambien se ubican en la zona interna delarco aortico, llegando a valores de 200 kPa y 146 kPa para la tensionescircunferenciales y longitudinales respectivamente.

Para ambos casos, se observa bastante diferencia entre las tensiones cir-cunferenciales de la parte interior y exterior del arco del cayado.


IF =λpmax

λrot

Figura 5.51: Indice de fallo (IF ) en la configuracion deformada a 160 mmHg. APaciente joven y sano, B Paciente mayor y sano

5.7.6.3. Paciente sano joven y paciente sano mayor en condicionesde trauma o accidente

En este caso se analiza la respuesta del cayado aortico bajo condicionesextremas de solicitacion. Estas condiciones podrıan presentarse en situacionesexcepcionales como, por ejemplo, un accidente (una caıda o un accidente detrafico) o una alteracion nerviosa severa (Hardy et al. [2006]). Este tıpode accidentes, aparte de los danos de traumatologıa, para aortas dilatadas oenvejecidas puede suponer un riesgo adicional muy importante.

Algunos autores (Richens et al. [2002]; Richens et al. [2004];Richens et al. [2003]; Hardy et al. [2006]) han estudiado el problemaexperimentalmente, midiendo y analizando las acciones a las que es sometidala aorta en el caso de un trauma o un accidente.


σr σθ

σz

Figura 5.52: Corte longitudinal de la aorta ascendente en la configuracion defor-mada a 160 mmHg para un paciente joven y sano. A tensiones radiales en Pa, Btensiones circunferenciales en Pa, C tensiones longitudinales en Pa


Arco interior

Arcoexterior

σr σθ

σz

Figura 5.53: Corte longitudinal de la aorta ascendente en la configuracion defor-mada a 160 mmHg para un paciente mayor y sano. A tensiones radiales en Pa, Btensiones circunferenciales en Pa, C tensiones longitudinales en Pa


Richens et al. [2002] resumen las acciones principales en tres grupos.Primero las cargas por la presion que sufren un incremento severo en la aortaprovocado en parte por el sistema nervioso central sumado al efecto del golpede ariete, que se produce al obstruirse repentinamente la aorta descenden-te, al ser apretada por organos vecinos. Una segunda accion provocada porel desplazamiento de la raız aortica tanto en la direccion normal de funcio-namiento como en la direccion del golpe. Y finalmente, una tercera accionprovocada por un fuerte hundimiento del pecho que se transmite al corazony con ello al arco aortico, como un desplazamiento y giro excesivo de la raızaortica. Esta ultima accion se manifiesta como una torsion y estriccion severaen la aorta ascendente ver figura 5.54.

Subclavia

Válvula aórtica

Aorta descendente

Carótida común

Tronco braqueocefálico

Ligamento arterioso

Esfuerzos de torsión

Aorta ascendente

Golpe de ariete

Figura 5.54: Esquema de las acciones que actuan sobre la aorta en un trauma odiseccion (Richens et al. [2002])

Teniendo en cuenta estos aspectos en la simulacion se considero que lapresion sistolica se eleva a 180 mmHg y en la raız aortica se produce un des-plazamiento de 16 mm con un giro simultaneo diez veces superior al normal,es decir de 60o.

Es necesario hacer notar que este estudio tiene varias limitaciones entrelas que destacan la poca informacion cuantitativa de las acciones duranteel accidente y un modelo de material que no tiene en cuenta la velocidadde deformacion que puede producir efectos viscoelasticos. No obstante, coneste analisis es posible sacar algunas conclusiones referentes a la ubicacionde los puntos mas suceptibles a la rotura y la respuesta mecanica del vaso a


solicitaciones extremas.Al igual que en el caso anterior se ha estudiado la respuesta mecanica

para esta situacion en dos pacientes sanos pero de diferentes edades, uno deedad joven y otro mayor.

En la figura 5.55 se presenta el mapa de tensiones y alargamientos prin-cipales para un paciente joven. Para la mejor visualizacion de los mapas detensiones y alargamientos se realizo un corte por el plano medio/meridionaldel cayado, ver figuras 5.55C y D.

Las tensiones maximas alcanzadas se localizan en las uniones de las arte-rias de salida, en la parte interna de la aorta ascendente (ver figura 5.55) y enla proximidad al ligamento arterioso. La tension mas alta se ubica en la unional tronco braqueocefalico (600 kPa aproximadamente). En los alrededores delas uniones de las arterias carotida y subclavia las tensiones llegan a 550 kPay 510 kPa, respectivamente. La zona del ligamento arterioso se encuentra aniveles de tension de 520 kPa. En la aorta ascendente las tensiones princi-pales maximas se ubican en su arco interior y alcanzan valores de 570 kPay son fundamentalmente circuferenciales. Esto es provocado por la fuerte ro-tacion y desplazamiento que provocan una deformacion muy importante detorsion que, sumada a la accion de la presion, provocan estados de tensionimportantes en la aorta ascendente.

Al igual que las tensiones, los alargamientos maximos que sufre el cayado(ver figuras 5.55BD), se ubican en las uniones de las arterias de salida, en elarco interno de la aorta ascendente y en la vecindad del ligamento arterioso.El valor maximo del alargamiento principal fue de 1,82 y se encuentra en laaorta ascendente. En las uniones del cayado con el tronco braqueocefalico,la carotida y la subclavia los alargamientos son de 1,76, 1,70 y 1,66, respec-tivamente. En las proximidades del ligamento arterioso los alargamientos seelevan a 1,59. El efecto de la torsion parece ser el que mas afecta la respuestamecanica del cayado aortico.

En la figura 5.56 se muestran las tensiones y alargamientos principalespara el caso del paciente mayor.

Las tensiones maximas se localizan en la salida en la union con el li-gamento arterioso con valores de 450 kPa. Tambien se presentan tensionesimportantes en las bifurcaciones correspondientes al tronco braqueocefalico,carotida y subclavia, los valores que se alcanzan son 440 kPa, 386 kPa y 432kPa, respectivamente. En la aorta ascendente las tensiones se elevan a 400kPa. Las deformacion provocada por la torsion de la raız provoca que losalargamientos maximos principales se situen en la aorta ascendente y lleguena 1,46. En las cercanıas del ligamento arterioso el alargamiento es tambienconsiderable y alcanza el valor de 1,40. En tanto que en las uniones de lasarterias de salida el alargamiento ronda los 1,35.


σpmax

λpmax

σpmax λpmax

Figura 5.55: Tensiones (en Pa) y alargamientos principales en la configuraciondeformada, paciente joven


σpmax

λpmax

σpmax λpmax

Figura 5.56: Tensiones (en Pa) y alargamientos principales en la configuraciondeformada, paciente mayor


Los mapas de ındice de fallo para los dos pacientes (joven y mayor) semuestran en la figura 5.57.

IF =

λrot

λpmax

Figura 5.57: Indice de fallo (IF ) en la configuracion deformada. A: paciente jovensano, B: paciente mayor sano

Como era de esperar el peligro de fallo es mas alto en el cayado delpaciente mayor, tal como muestra la figura 5.57. En ambos casos, el mayorvalor del ındice de fallo se presenta en la zona de la aorta ascendente. Losvalores maximos de este ındice para el paciente joven y el paciente mayorson 0,84 y 0,94, respectivamente. El efecto del ligamento arterioso que actuacomo punto de anclaje de la estructura, provoca que esta region del cayadosea otra zona crıtica suceptible a disecciones espontaneas en un accidente.Otra zona crıtica es la de las bifurcaciones de las arterias de salida pues enella se concentran las tensiones.


5.8. Conclusiones

Los modelos de Demiray y Holzapfel se han implementado numericamen-te, siendo constrastados mediante su aplicacion a casos sencillos. En todosellos los valores numericos practicamente no tuvieron diferencias con los teori-cos. Con el ajuste de los parametros para el modelo de Demiray en el ensayode traccion uniaxial se ha realizado la simulacion del ensayo de presurizacionlogrando una respuesta numerica buena en comparacion con los valores ex-perimentales, reproduciendo satisfactoriamente las curvas presion diametro.

Para el ensayo de doblado y presurizacion se obtuvo una simulacionnumerica con una respuesta aceptable respecto de los experimentos, constrando-se el modelo utilizado en condiciones muy severas de solicitacion mecanica.

Se ha analizado la respuesta mecanica del cayado aortico en diferentescondiciones de solicitacion normal. Evaluando los niveles de tension y alar-gamientos alcanzados en las distintas partes del cayado. Tambien se analizo elcomportamiento del cayado en situacion de hipertension visualizando el in-cremento de los niveles de tension y peligrosidad a causa de esta sobrecargade la estructura. Ademas se ha estudiado el efecto de una solicitacion seve-ra en el cayado, similar a las que se producen en un accidente de trafico,observandose los puntos mas suceptibles a roturas o disecciones.

Finalmente, se puede concluir que la metodologıa numerica utilizada escapaz de simular correctamente todos los problemas estudiados, teniendoseası una herramienta util para el analisis del comportamiento mecanico y laprediccion de situaciones de peligrosidad de rotura en la aorta ascendente.

Capıtulo 6

Conclusiones, aportaciones ytrabajo futuro

En este capıtulo se presentan las conclusiones y aportaciones mas rele-vantes de la investigacion realizada junto a las lıneas futuras de trabajo.

6.1. Conclusiones

En el desarrollo del presente trabajo se ha estudiado, a traves de metodosexperimentales y numericos, el comportamiento mecanico de la pared de laaorta.

En particular se ha realizado un analisis experimental de la respuestamecanica de la aorta mediante ensayos de traccion, presurizacion, angulo deapertura y analisis histologico.

En los ensayos de traccion se obtuvieron parametros que permiten eva-luar el comportamiento mecanico y diferenciar el efecto del envejecimientoy las patologıas en el funcionamiento del vaso. Se obtuvieron valores de losparametros mecanicos mas relevantes y de los puntos de rotura de cada unode los grupos de tejidos, observandose que un buen criterio de rotura esconsiderar la deformacion o alargamiento maximo.

El envejecimiento de la arteria se manifiesta con un incremento de larigidez en el rango de funcionamiento fisiologico y una aproximacion peligrosaal punto de rotura del material, lo que indica el riesgo que con lleva la presionarterial alta en los pacientes mayores.

Se ha observado que, principalmente, las patologıas reducen la flexibilidaddel vaso, haciendo que el efecto de amortiguacion de la onda de presiondisminuya y perjudicando la funcion de la aorta.

El mal de Marfan es la patologıa que produce mas dano en la respuesta

167


mecanica del material. Reduce los niveles de rotura del vaso, altera fuerte-mente la estructura interna de la pared e incrementa la probabilidad de unaccidente cardiovascular en el paciente.

A traves de los ensayos de presurizacion se ha evaluado el comporta-miento del vaso en condiciones cercanas a las fisiologicas. Adicionalmente,los datos obtenidos han sido utilizados para contrastar la adecuacion de losmodelos de la pared arterial utilizados en la modelizacion numerica.

Con los ensayos de medida del angulo de apertura se cuantifico la influen-cia de las tensiones residuales y su evolucion con la edad y la patologıa.

Tambien se analizo la estructura de la pared arterial mediante analisishistologico, distinguiendose los elementos estructurales tıpicos de los vasossanguıneos. En funcion del estado del vaso se cuantifico la presencia de zonasdanadas, y la orientacion y configuracion de las fibras de elastina y colageno.

La implementacion de dos modelos constitutivos en el contexto del meto-do de elementos finitos ha sido satisfactoria y esta fue validada con resultadosanalıticos para varios estados de deformacion.

Ademas con la implementacion de un algoritmo de ajuste no lineal secaracterizaron los modelos de Demiray y Holzapfel para los diferentes gruposde pacientes investigados.

La validacion experimental de los resultados de la simulacion numericaha sido satisfactoria. La comparacion de la modelizacion con las medicio-nes experimentales fue aceptable, dentro de las dispersiones propias de laexperimentacion y de este tipo de materiales biologicos.

Con los datos obtenidos a partir de ensayos uniaxiales, se ha modelizadola respuesta completa de vasos sometidos a presion interior. Los resultadosmuestran una buena correlacion con los datos experimentales.

Finalmente se ha desarrollado un modelo completo del tramo de la aortaascendente en el cual se incorporaron los datos obtenidos del material enlos ensayos. En el desarrollo del modelo se han introducido procedimientosnovedosos para incorporar las tensiones existentes en una geometrıa in-vivo,ası como para considerar las condiciones de contorno. Este modelo se haaplicado a acciones fisiologicas normales e hipertensas, ası como acciones ex-traordinarias traumaticas. En los resultados se evalua su respuesta mecanicay la peligrosidad o cercanıa a estados de posible rotura. Este modelo constitu-ye una primera aproximacion que demuestra la viabilidad de esta simulacioncon datos realistas y que debera ser complementado en trabajos posteriorespara obtener resultados de mayor relevancia clınica.

Capıtulo 6. Conclusiones, aportaciones y trabajo futuro 169

6.2. Principales aportaciones

El trabajo realizado en esta tesis ofrece las siguientes contribuciones ori-ginales:

Se han medido las propiedades mecanicas de la pared de la aorta as-cendente evaluando la influencia de la edad y las patologıas mas im-portantes.

Se ha medido el estado de tensiones residuales en la pared arterial, ysu variacion con la edad y la patologıa, estimando su efecto sobre ladistribucion de tensiones en la pared.

Se ha estudiado el estado y la estructura interna de la pared arterial dis-tinguiendo los cambios producidos por las patologıas en sus elementosconstituyentes.

Se han implementado dos modelos constitutivos que permiten simularla respuesta mecanica del tejido de la pared arterial.

Se ha implementado un modelo de ajuste no lineal de parametros paraun modelo anisotropo de la pared arterial a traves de los ensayos detraccion realizados en este mismo trabajo.

Se ha validado las simulaciones numericas con ensayos realizados eneste mismo trabajo, analizando casos con deformaciones severas muypor encima de las habituales en el funcionamiento del vaso, de estamanera se ha puesto a prueba la robustez de la metodologıa seguida.

Se ha desarrolado una metodologıa para la simulacion numerica deuna aorta real incluyendo el problema de las tensiones presentes en lageometrıa obtenida en diastole a traves de metodos clınicos.

Con la metodologıa utilizada se ha analizado el funcionamiento de unaaorta ascendente bajo diferentes solicitaciones fisiologicas y condicionesmas severas de un accidente.

6.3. Limitaciones de este trabajo y lıneas fu-

turas de investigacion

El trabajo realizado es limitado, tanto desde un punto de vista de inves-tigacion teorica como experimental, y ha abierto un numero importante deinvestigaciones futuras a considerar:

170 6.3. Limitaciones de este trabajo y lıneas futuras de investigacion

Profundizar en el estudio del efecto de ciertas patologıas como el mal deMarfan y el efecto de la edad avanzada, sobre la respuesta mecanica dela pared aortica, enriqueciendo ası la poblacion de muestras existentesen esos grupos.

Analizar por separado la respuesta mecanica de cada una de las capasque forman la pared arterial (adventicia, media, ıntima).

A traves de medidas in-vivo en pacientes humanos con distintas pato-logıas y edades, caracterizar su respuesta mecanica y evaluar las dife-rencias con los datos obtenidos en ensayos in-vitro de esta tesis.

Realizar ensayos dinamicos para caracterizar la respuesta bajo cargasno estaticas evaluando los efectos viscosos en este tipo de materiales,ası como su posible deterioro.

Otro elemento que serıa interesante caracterizar es el efecto del creci-miento y su influencia en el comportamiento mecanico de la pared dela aorta ascendente.

Aplicar la metodologıa desarrollada en casos con un detalle mas realistade un paciente especıfico. Para ello sera necesario desarrollar tecnicasde tratamiento de imagen para trabajar con geometrıas reales de laaorta obtenidas directamente a traves de angiografıas o TACS e incluirlas condiciones de funcionamiento fisiologico registradas con medidasin-vivo. Los resultados de estos modelos pueden tener una relevanciaclınica directa en procesos de decision medica.

Apendice A

Calculo del tensor de tensionesy constitutivo

Para la implementacion computacional de los modelos constitutivos esnecesario definir los tensores de tension y constitutivo. En el presente trabajose han trabajado las funciones de energıa de deformacion de Mooney-Rivlinde tres parametros (de aquı en adelante llamada Mooney-Rivlin) , de Yeoh,Demiray y Holzapfel. En cada uno de estos modelos se determinara el segundotensor de tensiones de Piola-Kirchhoff S y el tensor constitutivo elasticoC. Como se observa en las ecuaciones 2.19 y 2.20 las funciones de energıade deformacion dependen solo de los invariantes del tensor C, los cuales sepueden expresar como:

I1 = tr(C) = Cii = λ21 + λ2

2 + λ23 (A.1)

I2 =1

2(I2

1 − tr(C2) = λ22λ

23 + λ2

3λ21 + λ2

1λ22 (A.2)

I3 = (det F)2 = λ21λ

22λ

23 (A.3)

Si se asume incompresibilidad total, la ecuacion A.3 se transforma en:

λ21λ

22λ

23 = 1 o bien λ1λ2λ3 = det F = 1 (A.4)

A partir de la relacion 2.8 y 2.11 se puede expresar el segundo tensor detensiones de Piola-Kirchhoff de la siguiente forma:

S = 2∂W

∂C(A.5)

171

172

donde ∂W/∂C se debe derivar en cadena de la siguiente forma:

∂W

∂C=∂W

∂I1

· ∂I1

∂C+∂W

∂I2

· ∂I2

∂C+∂W

∂I3

· ∂I3

∂C(A.6)

Las derivadas de los invariantes respecto del tensor C quedan expresadaspor:

∂I1

∂C=∂Cii∂Ckl

= δikδil = δkl (A.7)

∂I2

∂C=

1

2

∂(CiiCjj − CijCji)∂Ckl

=1

2(δikδilCjj + Ciiδjkδjl − Cjiδikδjl)− Cijδjkδil (A.8)

=1

2(δklI1 + I1δkl − 2Ckl)

= I1δkl − Ckl

∂I3

∂C= I3C

−1 = cofactor(Cij) =

A11 A12 A13

A22 A23

sim. A33

(A.9)

donde los coeficientes de esta matriz se definen como:

A11 = C22C23 − C223

A22 = C11C33 − C213

A12 = C13C23 − C12C33

A33 = C11C22 − C212 (A.10)

A13 = C12C23 − C13C22

A33 = C12C13 − C23C11

En lo que sigue se hara la hipotesis de que el material es incompresible,por lo que I3 = J2 = 1 y ∂W/∂I3 = 0. Bajo esta hipotesis el segundotensor de Piola-Kirchhoff, utilizando las ecuaciones A.5, A.6, A.7 y A.8, quedaexpresado por:

Sij = 2

(∂W

∂I1

δij +∂W

∂I2

(I1δij − Cij))

(A.11)

donde los valores de ∂W/∂Ii dependen de la funcion energıa de deformacionque se considere.

Apendice A. Calculo del tensor de tensiones y constitutivo 173

El tensor constitutivo elastico se define por:

C = 2∂S

∂C(A.12)

y sera determinado en particular para cada uno de los modelos estudiadosen este trabajo.

Mooney-Rivlin

A partir de la ecuacion 2.19, se pueden expresar los valores de ∂W/∂Ii de lasiguiente forma:

∂W

∂I1

= C10 + C11(I2 − 3) (A.13)

∂W

∂I2

= C01 + C11(I1 − 3) (A.14)

de ahora en adelante se denominara C10 = C1, C01 = C2 y C11 = C3, paraası simplificar la notacion. De esta forma, a partir de la ecuacion A.11 seexpresa el segundo tensor de Piola-Kirchhoff por:

Sij = 2(

(C1 + C3(I2 − 3))δij + (C2 + C3(I1 − 3))(I1δij − Cij))

(A.15)

Ahora, a partir de las ecuaciones A.12 y A.15 , se puede expresar el tensorconstitutivo elastico de la siguiente forma:

Cijkl = 4C2(δklδij−δikδjl)+4C3(2I1δklδij−Cklδij−Cijδkl+(I1−3)(δklδij−δikδjl))(A.16)

Yeoh

Al observar la funcion energıa de deformacion de Yeoh (2.20), se ve que solodepende de I1, por lo tanto se tiene que:

∂W

∂I1

= C10 + 2C20(I1 − 3) + 3C30(I1 − 3)2 (A.17)

donde de ahora en adelante, C10 = C1, C20 = C2 y C30 = C3. De esta forma,a partir de la ecuacion A.11 se expresa el segundo tensor de Piola-Kirchhoffpor:

Sij = 2(C1 + 2C2(I1 − 3) + 3C3(I1 − 3)2)δij

)(A.18)

174

Ahora a partir de la ecuacion A.12 y A.18 , se puede expresar el tensorconstitutivo elastico por:

Cijkl = 8C2δklδij + 24C3(I1 − 3)δklδij (A.19)

Demiray

Este modelo (2.21) solo depende de I1, por lo tanto se tiene que:

∂W

∂I1

=a

2exp

(b

2(I1 − 3)

)(A.20)

entonces el tensor S se expresa por:

Sij = a exp

[b

2(I1 − 3)

]δij (A.21)

Ahora a partir de la ecuacion A.12 y A.21 , se puede expresar el tensorconstitutivo elastico por:

Cijkl = a b exp

[b

2(I1 − 3)

]δklδij (A.22)

Apendice B

Calculo de la superficiecorporal

El area de la superficie corporal (BSA) es uno de los factores directamenterelacionados con el tamano (diametro) ”normal”de la aorta ascendente (Er-bel et al. [2001]; Erbel y Eggebrecht [2006]) junto con la edad delpaciente. Este parametro se utiliza para calcular un diametro de referenciacon el que comparar los valores medidos en el paciente y evaluar la dilataciondel vaso y el posible riesgo asociado.

Existen diferentes ecuaciones para el calculo de la BSA ajustadas a re-gistros experimentales. Todas ellas utilizan en una funcion del tipo, BSA =c0T

c1wc2 , en funcion de la talla (T ) y peso (w) del paciente Kouno et al.[2003].

La mas utilizada en los paıses occidentales es la propuesta por Duboisy Dubois [1916]1 dada por la siguiente expresion.

BSA = 0,20247T 0,725w0,425 (B.1)

donde el BSA se obtiene en m2, la talla (T ) esta en m y el peso (w) en kg.

1En paıses como Japon se han desarrollado ecuaciones ajustadas a su anatomıa (Kounoet al. [2003])

175

Apendice C

Determinacion de los puntos defuncionamiento fisiologico

En este apendice se explica la metodologıa utilizada para obtener lospuntos de funcionamiento de los vasos en condiciones fisiologicas (80-120mmHg).

En primer lugar, se ha calculado la tension circunferencial suponiendo queel vaso es de pared delgada y se encuentra sometido a un alargamiento axialλz = 1,2 (Humphrey [2001c]). La tension se ha calculado con la ecuacion(4.1) utilizando los diametros y espesores promedios medidos en el vaso encondiciones libres de cargas. Para cada unos de los grupos se ha evaluado latension circunferencial con las presiones de diastole (80 mmHg) y sıstole (120mmHg), con excepcion de los tejidos provenientes del grupo 1 de aortas conproblemas valvulares (estenosis), de los que no se dispuso de los diametros,al provenir de incisiones quirurgicas.

A modo de ejemplo se mostrara la metodologıa aplicada a los datos delgrupo de vasos de aortas ascendentes sanas y jovenes (grupo 0-A).

El procedimiento consistio en representar la curva de la ecuacion (4.1)para cada nivel de presion, y luego buscar el punto de interseccion con lacurva de tension–alargamiento del material en direccion circunferencial delvaso.

En la figura C.1 se muestra la curva de tension–alargamiento para pro-betas circunferenciales junto a la representacion de la ecuacion (4.1) para losdos niveles de presion (80 y 120 mmHg).

Los puntos de funcionamiento quedan definidos por la interseccion de cadacurva con la del ensayo de traccion del material en la direccion circunferencial.

177

178

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ

Ensayos circunferencialesEcuación 4.1 a Pi= 80 mmHg

Ecuación 4.1 a Pi= 120 mmHg

Punto de funcionamiento

a presión de 80 mmHg

a presión de 120 mmHg

Punto de funcionamiento

Figura C.1: Determinacion de los puntos de funcionamiento del vaso a traves dela interseccion de la ecuacion (4.1) pag. 55 con la curva de tension–alargamientodel ensayo de traccion uniaxial para tejidos de aorta ascendente de edad joven. Lasbarras corresponden al error estandar.

Apendice D

Ensayos de traccion en la aortadescendente (AD)

En este apendice se presentan los resultados de los ensayos de traccionuniaxial de los vasos de aorta descendente usados en el ensayo de presuriza-cion (apartado 4.3).

Todos los tejidos provienen de donantes libres de riesgos cardiovascularesy de edades comprendidas entre los 20 y los 60 anos. Tal como se hizo con lasaortas ascendentes las muestras fueron divididas en dos grupos de edades. Elprimero corresponde a los vasos mas jovenes con cuatro pacientes con edadesentre los 20 y los 34 anos (grupo A, cuadro 3.2, pag. 32). El segundo grupoesta formado por vasos provenientes de donantes de edad adulta con edadescomprendidas entre los 45 y 60 anos (grupo B, cuadro 3.3, pag. 33).

En la figura D.1 se presenta la curva de tension de Cauchy frente alalargamiento para aortas descendentes sanas de edad joven y adulta (gruposA y B), separando los resultados para la direccion axial (0o) y circunferencial(90o). Como referencia, los cırculos negros de cada grafica indican los puntosde funcionamiento del vaso.

En la figura es posible distinguir dos zonas de diferente rigidez. Para elcaso de los ensayos longitudinales, la primera parte de la curva finaliza enalargamientos de λ ' 1,38 para los vasos jovenes y disminuye en los adultos aλ ' 1,25 . En las probetas circunferenciales esta primera zona es mas ampliafinalizando en alargamientos de λ ' 1,52 para los tejidos jovenes y para losadultos a niveles de alargamiento de λ ' 1,45, levemente inferior al de losjovenes.

En la parte final de la curva la pendiente aumenta rapidamente, parafinalmente llegar a la rotura.

179

180

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

3000

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ


Grupo A−JóvenesGrupo B−Adultos

0

300

600

900

1200

1500

1800

2100

2400

2700

3000

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ


Grupo A−JóvenesGrupo B−Adultos

A

B

Figura D.1: Tension en funcion del alargamiento para tejidos de aorta descenden-te de edad joven y adulta, las barras corresponden al error estandar. (A) probetasorientadas en direccion longitudinal (0o). (B) probetas orientadas en direccion cir-cunferencial (90o). Los puntos correspondientes al funcionamiento en el vaso seindican mediante cırculos negros.

Apendice D. Ensayos de traccion en la aorta descendente (AD) 181

En el cuadro D.1 se presentan los diametros exteriores (D) y espesores(H) de los vasos jovenes y adultos. Con estos datos se han obtenido los puntosde funcionamiento que se muestran en la figura D.1.

Cuadro D.1: Diametro (D) y espesor (H) de los vasos de aorta descendentesGrupo D [mm] ± error H[mm] ± error

Jovenes 18,22 ± 1,8 1,89 ± 0,2Adultos 18,15 ± 1,6 1,90 ± 0,2

Con los ensayos de traccion se han calculado los mismos parametrosmecanicos usados para el analisis de las aortas ascendentes, es decir: la pen-diente en la primera zona de la curva de traccion (E1), la pendiente de laultima parte (E2), los valores del alargamiento y la tension en el codo de lacurva (λ1, σ1) y el alargamiento y tension de rotura (λr, σr) (ver figura 4.1).

En los cuadros D.2 y D.3 se resumen los parametros mecanicos deriva-dos de los ensayos de traccion de probetas longitudinales y circunferencialesrespectivamente.

Cuadro D.2: Parametros mecanicos para probetas longitudinalesGrupo σr [kPa] λr σ1 [kPa] λ1 E1 [kPa] E2 [kPa]

Joven 1452 ± 179 2,03 ± 0,03 149 ± 11,0 1,59 ± 0,02 115 ± 5,3 3165 ± 317

Adulto 653 ± 166 1,65 ± 0,03 63 ± 4,1 1,37 ± 0,02 55 ± 6,8 2309 ± 279

Cuadro D.3: Parametros mecanicos para probetas circunferencialesGrupo σr [kPa] λr σ1 [kPa] λ1 E1 [kPa] E2 [kPa]

Joven 2266 ± 383 2,30 ± 0,06 286 ± 31,5 1,78 ± 0,04 135 ± 10,1 4625 ± 401

Adulto 1017 ± 122 1,96 ± 0,05 117 ± 11,9 1,54 ± 0,03 91 ± 6,3 2704 ± 242

En los cuadros D.2 y D.3 se observa que las tensiones de rotura disminuyenen los pacientes adultos. La misma tendencia se aprecia con los alargamientosde rotura que se reducen en un 15 %. La tension y el alargamiento en el codo(σ1, λ1) disminuyen en promedio con la edad.

Los valores de las pendientes en la dos zonas de la curva E1 y E2 sereducen con la edad, aunque en mayor proporcion en la primera parte (masde un 32 %).

182

En las figuras D.2, D.3 y D.4 se presentan los ensayos de traccion paralos vasos de aorta descendente de los que se realizo la simulacion numericadel ensayo de presurizacion presentados en los apartados 5.5 y 5.6.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ



Figura D.2: Tension en funcion del alargamiento para el vaso PH54 (aorta des-cendente), las barras corresponden al error estandar

Apendice D. Ensayos de traccion en la aorta descendente (AD) 183

0

500

1000

1500

2000

2500

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ

Circunferencial (θ)Demiray

Figura D.3: Tension en funcion del alargamiento para el vaso PH31 (aorta des-cendente), las barras corresponden al error estandar

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

TE

NS

IÓN

σ [k

Pa]

ALARGAMIENTO λ


Demiray

Figura D.4: Tension en funcion del alargamiento para el vaso PH23 (codo deaorta), las barras corresponden al error estandar

Apendice E

Analisis del efecto de lastensiones residuales

En este apendice se explica el procedimiento de calculo usado para evaluarel efecto de las tensiones residuales sobre la distribucion de tensiones en lapared del vaso. La metodologıa utilizada es la planteada por Ogden [2001]y tambien aplicada por otros autores como Rachev [2001].

Como referencia del problema se toma la configuracion libre de tensionesobtenida con el ensayo del angulo de apertura. En la figura E.1 se muestrala pared arterial en la configuracion de referencia (izquierda) y en la confi-guracion deformada (derecha). Los datos conocidos son el radio medio (R0),el angulo 2Θ0 y el espesor 2B en la configuracion libre de tensiones. Paraun alargamiento longitudinal determinado λ y cierta presion Pi, las incogni-tas del problema son el radio medio r0 y el espesor 2b de la configuraciondeformada.

R0

2Θ0

2B

RΘZ

r0

2b

rθz

Pi

A

A′

A

A′

Figura E.1: Esquema del problema

185

186

Se usa un sistema de coordenadas cilındricas (R,Θ,Z) en la configuracionde referencia (sin deformar) y (r,θ,z) en la deformada.

Por la simetrıa de la deformacion las variables en la configuracion defor-mada se escribiran como:

r = r(R) (E.1)

θ = πΘ

Θ0

(E.2)

z = λZ (E.3)

Si el material es incompresible se verifica que detF = 1, es decir:

detF =dr

dR

rπ

RΘ0

λ = 1 (E.4)

Integrado la ecuacion E.4 para un alargamiento λ fijo (como sucede enun ensayo de presurizacion), simplificando y dividiendo por R2

0 es posibleobtener r/R0 en funcion de Θ0/πλ, b/B, B/R0 y R/R0:

(r

R0

)2

=

(Θ0

πλ

B

b+b

B

B

R0

)2

+Θ0

πλ

[(R

R0

)2

−(

1 +B

R0

)2]

(E.5)

Por otra parte, los alargamientos principales λi son:

λ1 =dr

dR=

Θ0

πλ

R

r= λr (E.6)

λ2 =r

R

π

Θ0

= λθ (E.7)

λ3 = λ = λz (E.8)

De la definicion de un material hiperelastico incompresible sigue que lastensiones principales seran (Ogden [2001]):

σi = λi∂W

∂λi− p (E.9)

siendo W la funcion de densidad de energıa de deformacion y p un multipli-cador de Lagrange (determinado por las condiciones de contorno) utilizadopara imponer la condicion de incompresibilidad.

Apendice E. Analisis del efecto de las tensiones residuales 187

Considerando la ecuacion de equilibrio div σ = 0, las condiciones de con-torno σr = 0 en r = r0 + b y σr = −Pi en r = r0 − b, permiten escribir:

∫ r0+b

r0−bdσr = 0 + Pi =

∫ r0+b

r0−b(dσθ − dσr)dr

r=

∫ r0+b

r0−b

(λθ∂W

∂λθ− λr ∂W

∂λr

)dr

r(E.10)

Si la funcion de densidad de energıa W depende unicamente del primerinvariante (I1) del tensor C (como sucede con la funcion de Demiray 2.21).la derivada de W respecto a λθ y λr se puede dejar en funcion de la derivadarespecto al invariante I1 (W1 = ∂W

∂I1) quedando la ecuacion anterior como:

Pi =

∫ r0+b

r0−b2(λ2

θ − λ2r)W1

dr

r(E.11)

Usando las ecuaciones E.4 y E.5 la presion interior Pi finalmente se escribeen funcion de λ, Θ/π, b/B y B/R0, siendo todos datos conocidos excepto lavariable b.

Pi =

∫ 1+B/R0

1−B/R0

Θ0

πλRR0W12(λθ − λ2

r)(Θ0

πλBb

+ bBBR0

)2

+ Θ0

πλ

[(RR0

)2

−(

1 + BR0

)2] dRR0

(E.12)

Con la ecuacion E.12 se observa que es mas directo calcular la presioninterior Pi en funcion del espesor 2b, que al contrario. La integral se haaproximado numericamente con el metodo de Gauss con ocho puntos deintegracion.

Para calcular la tension σr en funcion de R/R0 se integra E.10 entre r yr0 + b, obteniendose la siguiente expresion.

σr = −∫ 1+B/R0

R/R0

Θ0

πλRR0W12(λθ − λ2

r)(Θ0

πλBb

+ bBBR0

)2

+ Θ0

πλ

[(RR0

)2

−(

1 + BR0

)2] dRR0

(E.13)

La tension circunferencial σθ y la tension longitudinal σz en funcion deR/R0 son:

σθ = 2λ2θW1 − p (E.14)

σz = 2λ2zW1 − p (E.15)

188

con p = p(r) calculado a partir de la ecuacion E.9:

p = 2λ2rW1 − σr (E.16)

Las ecuaciones anteriores resuelven facilmente el problema para cualquierfuncion W (I1) dada.

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