Capıtulo 5

Comportamiento dinamico:Estabilidad

5.1. Introduccion

En esta leccion estudiaremos la estabilidad de los sistemas lineales desde dos puntosde vista: estabilidad externa o estabilidad BIBO (Bounded-Input Bounded-Output) y laestabilidad interna o estabilidad para entrada cero.

5.2. Estabilidad Entrada/Salida

Consideremos el sistema lineal

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t),y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t), (5.1)

y recordemos que la siguiente formula expresa la relacion entre las entradas y salidas deun sistema cuando el estado inicial del sistema en t0 = 0 es 0 (vease (4.47)):

y(t) = ∫ t

0H(t, s)u(s)ds =

= ∫ t

0C(t)Φ(t, s)B(s)u(s)ds +D(t)u(t), (5.2)

113

114 Estabilidad

siendo H(t, s) la matriz de respuesta del sistema (5.1) a un impulso (vease (4.46))) yΦ(t, t0) la matriz de transicion de estados. Recordemos tambien que la suposicion generales que las funciones de entrada u(⋅) y de salida y(⋅) son funciones continuas a trozos; i.e.u(⋅) ∈ PC(R,Rm), y(⋅) ∈ PC(R,Rp).

Para estudiar la estabilidad (externa o interna) tendremos que hacer uso de normas.En esta seccion usaremos la norma `∞ para vectores y matrices (en este caso la normainfinito inducida): Si x ∈ Rn y A ∈ Rm×n

∥x∥∞ ∶= max1≤i≤n ∣xi∣

∥A∥∞ = max1≤i≤m

n∑j=1

∣aij ∣. (5.3)

Asimismo, para las funciones vectoriales (como u(⋅) o y(⋅)) usaremos la norma L∞:

∥u∥∞ = supt∈R ∥u(t)∥∞ = sup

t∈R max1≤j≤m ∣uj(t)∣

∥y∥∞ = supt∈R ∥y(t)∥∞ = sup

t∈R max1≤j≤p ∣yj(t)∣

(5.4)

Recordemos que una funcion pertenece al espacio L∞ si y solo si su norma L∞ es finita o,equivalentemente, la funcion es acotada1.

El concepto de estabilidad Entrada-Salida viene a significar que “cualquier entradaacotada u(⋅) produce una salida acotada y(⋅)”. Mas precisamente,

Definicion 5.1 Diremos que el sistema (5.1) es Estable Entrada-Salida (Estable E-S)si para cada numero positivo M existe un numero positivo N tal que para cada funcionde entrada u(⋅) que cumpla ∥u∥∞ <M , la correspondiente salida y(t) con estado inicial 0cumple ∥y∥∞ ≤ N .

Nuestro primer resultado es el siguiente:

Teorema 5.2 El sistema (5.1) es estable E-S si y solo si

supt∈R ∫

t

0∥H(t, s)∥ds <∞ (5.5)

donde la norma de H(t, s) es la norma inducida (5.3).

La condicion (5.5) es equivalente a que para cada (i, j), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ m,

∫ t

0∣hij(t, s)∣ds esta acotada en R. En efecto, basta tener en cuenta que para cada (i, j),

con las normas de (5.3),

∣hij(t, s)∣ ≤ ∥H(t, s)∥ ≤ p∑i=1

m∑j=1

∣hij(t, s)∣. (5.6)

1Rigurosamente hablando deberıamos decir “esencialmente acotada” y reemplazar sup por “supremoesencial”

5.2 Estabilidad Entrada/Salida 115

Demostracion.- Supongamos que se verifica (5.5) y pongamos

K ∶= supt∈R ∫

t

0∥H(t, s)∥ds.

Sea M > 0 es un numero real positivo y supongamos que ∥u∥∞ ≤ M . Haciendo uso delas propiedades elementales de las integrales de funciones continuas a trozos (consulteseel Apendice A.6 de [5]) y de las normas definidas en (5.3), obtenemos (suprimimos elsubındice ∞ en las normas de (5.3)) que para todo t ∈ R:

∥y(t)∥ = ∥∫ t

0H(t, s)u(s)ds∥ ≤ ∫ t

0∥H(t, s)u(s)∥ds ≤ ∫ t

0∥H(t, s)∥∥u(s)∥ds ≤

≤ (∫ t

0∥H(t, s)∥ds) ∥u∥∞ ≤K∥u∥∞, (5.7)

donde hemos usado, ademas, que para una norma de matriz inducida: ∥Ax∥ ≤ ∥A∥∥x∥ paratodo vector x y que para todo t ∈ R, ∥u(t)∥ ≤ ∥u∥∞. En consecuencia

∥y∥∞ = supt∈R ∥y(t)∥ ≤KM,

lo que prueba que el sistema es estable E-S.

Supongamos ahora que el sistema (5.1) es estable E-S. Fijemos M = 1. Por la definicionde estabilidad E-S, existe N > 0 tal que si ∥u∥∞ ≤ 1 entonces ∥y∥∞ ≤ N . Sea t ∈ R y elijamosun par de ındices (i, j), 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤m. Definamos u(s) ∈ Rm de la siguiente forma

uj(s) = sign(hij(t, s)) s ∈ [0, t]0 s > t

uk(s) = 0 k ≠ j, t ≥ 0

(5.8)

Entonces ∥u∥∞ ≤ 1 y consecuentemente, la salida del sistema (5.1) a esta entrada cumple∥y∥∞ ≤ N . Pero, por (5.2), la i-esima componente de la salida y(t) en t correspondiente ala entrada u(⋅) (teniendo en cuenta la definicion de u(⋅) en (5.8)) es

yi(t) = ∫ t

0hij(t, s)uj(s)ds = ∫ t

0∣hij(t, s)∣ds.

Como ∥y∥∞ ≤ N , de la definicion de ∥y∥∞ en (5.4), concluimos que ∫ t

0∣hij(t, s)∣ds esta

acotada. Como este razonamiento es valido para cualquier par de ındices (i, j), y teniendoen cuenta el comentario que hemos hecho tras el enunciado del Teorema 5.2, obtenemos

supt∈R ∫

t

0∥H(t, s)∥ds <∞, tal y como se deseaba demostrar.

Usando la expresion (5.2), tenemos el siguiente Corolario:

Corolario 5.3 Si en el sistema (5.1) la matriz D(⋅) esta acotada en R entonces el sistemaes estable E-S si y solo si

supt∈R ∫

t

0∥C(t)Φ(t, s)B(s)∥ds <∞. (5.9)

116 Estabilidad

Demostracion.- Supongamos que se verifica (5.9). Recordando la expresion de lamatriz de respuesta a un impulso (4.46)) y usando las desigualdades de (5.7) tenemos:

∥y(t)∥ = ∥∫ t

0H(t, s)u(s)ds∥ = ∥∫ t

0(C(t)Φ(t, s)B(s) +D(s)δ(t − s))u(s)ds∥

≤ ∥∫ t

0C(t)Φ(t, s)B(s)u(s)ds∥ + ∥∫ t

0D(s)δ(t − s))u(s)ds∥

= ∥∫ t

0(C(t)Φ(t, s)B(s)u(s)ds∥ + ∥D(t)u(t)∥

≤ (∫ t

0∥C(t)Φ(t, s)B(s)∥ds + ∥D(t)∥) ∥u∥∞

Teniendo en cuenta que D(t) y u(t) estan acotada en R y que se verifica (5.9), concluimosque y(t) esta acotada y el sistema es estable E-S.

Recıprocamente, si el sistema es estable E-S y D(t) esta acotada en R entonces lafuncion y(t)−D(t)u(t) esta acotada para toda funcion u(t) acotada. Sustituyendo y(t) porz(t) = y(t)−D(t)u(t) en la segunda parte de la demostracion del Teorema 5.2 obtenemos(5.9).

Cuando el sistema (5.1) es invariante en el tiempo; es decir,

x(t) = Ax(t) +Bu(t)y(t) = Cx(t) +Du(t), (5.10)

la respuesta del sistema cuando el sistema en t = 0 se encuentra en reposo (x(0) = 0) vienedada por la expresion (ver (4.49))

y(t) = ∫ t

0H(t − s)u(s)ds, (5.11)

donde H(t) = CeAtB +Dδ(t). Para los sistemas lineales invariantes en el tiempo (vease(4.48))

∫ t

0∥H(t, s)∥ds = ∫ t

0∥H(t − s)∥ds = ∫ t

0∥H(s)∥ds.

Y teniendo en cuenta que la funcion ∥H(⋅)∥ es positiva en [0,∞) tenemos que

supt∈R ∫

t

0∥H(s)∥ds = ∫ ∞

0∥H(t)∥dt.

En consecuencia, teniendo en cuenta que D(t) = D es constante (y por lo tanto acotadaen todo R) podemos aplicar el Corolario 5.12 para concluir:

Corolario 5.4 El sistema lineal invariante en el tiempo (5.10) es estable E-S si y solo si

∫ ∞0

∥CeAtB∥dt <∞

5.2 Estabilidad Entrada/Salida 117

Hay una caracterizacion sencilla y util de la estabilidad E-S de los sistemas linealesinvariantes en el tiempo en terminos de la matriz de transferencia del sistema introducidade manera informal en las Lecciones 3 y 4 como la matriz que relaciona las transformadasde Laplace de las entradas y salidas del sistema (5.10) cuando el estado inicial del sistemaen t = 0 es 0. Formalmente si tomamos transformadas de Laplace en dichos sistemasobtenemos

sx(s) = Ax(s) +Bu(s)y(s) = Cx(s) +Du(s) ⇒ (sIn −A)x(s) = Bu(s)

y(s) = Cx(s) +Du(s) ⇒⇒ y(s) = (C(sIn −A)−1B +D)u(s).

Ası que la matriz de transferencia del sistema es

G(s) = C(sIn −A)−1B +D.Por el Corolarion 5.4 podemos suponer que D = 0. En este caso, la matriz de transfe-

rencia es G(s) = C(sIn −A)−1B y la matriz de respuesta a un impulso es H(t) = CeAtB.Veamos que la transformada de Laplace L(H)(s) = G(s). Sabemos que esto es cierto(vease (3.8)) para los sistemas de de una entrada y una salida. Para verlo para los siste-mas multivariables recurriremos a dicho resultado. En realidad, Si gij(s) y hij(t) son loselementos en la posicion (i, j) de G(s) y H(t) respectivamente, entonces gij(s) y hij(t)son las funciones de transferencia y de respuesta a un impulso del sistema monovariable:

xj(t) = Axj(t) + bjuj(t)yij(t) = cixj(t),

donde ci es la i-esima fila de C, bj es la j-esima columna de B y uj(t) es la j-esimacomponente del vector u(t). Tal y como se ha dicho mas arriba, se sigue de (3.8) queL(hij)(s) = gij(s) y, consecuentemente

L(H)(s) = G(s),tal y como se querıa demostrar. Cuando B = C = In tenemos en particular que L(eAt)(s) =(sIn −A)−1 Este resultado generaliza a matrices la transformada de Laplace de la funcionexponencial escalar.

Veamos la forma que tienen las entradas gij(s) de G(s) = C(sIn −A)−1B. Calculemosprimero

(sIn −A)−1 = N(s)det(sIn −A) .

Aquı N(s) es la matriz transpuesta de los menores de orden n − 1 de sIn − A con sucorrespondiente signo. Por lo tanto, N(s) es una matriz de polinomios de grado n − 1 alo mas mientras que det(sI −A) es un polinomio de grado n. Ası pues, los elementos de(sIn −A)−1 son cocientes de polinomios cuyos numeradores tiene grado menor que el delos correspondientes denominadores. Estos cocientes de polinomios se llaman funcionesracionales estrictamente propias. Ahora bien, los elementos de la matriz G(s) = C(sIn −

118 Estabilidad

A)−1B son sumas y productos de los elementos de C, B y (sIn−A)−1. Como las sumas defunciones racionales estrictamente propias son funciones racionales estrictamente propias,concluımos que los elementos de G(s) son cocientes de polinomios cuyos numeradorestienen grado menor que el de los correspondientes denominadores. Una vez suprimidos encada fraccion estrictamente propia los factores comunes, se definen los polos de G(s) comolas raıces del mınimo comun multiplo de los denominadores de G(s). Este mınimo comunmultiplo debe ser, necesariamente, un divisor de det(sIn −A) (polinomio caracterıstico deA), pero no tiene por que coincidir con el. En otras palabras, todos los polos de G(s) sonvalores propios de A (raıces de det(sIn −A)) pero puede ser que haya valores propios deA que no sean polos de G(s). Por ejemplo, si

C = [1 1 0] ,A =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣λ1 1 00 λ1 00 0 λ2

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦,B =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣110

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦entonces

eAt =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣eλ1t teλ1t 0

0 eλ1t 0

0 0 eλ2t

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦y

H(t) = CeAtB = (t + 2)eλ1t.

Como L(tkeλ0t) = k!(s − λ0)k+1,

L(H)(s) = L(teλ1t) +L(2eλ1t) = 1(s − λ1)2+ 2

s − λ1= 2s − 2λ1 + 1(s − λ1)2

.

Tambien

G(s) = C(sI3 −A)−1B = [1 1 0]⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

s − λ1

1(s − λ1)20

01

s − λ10

0 01

s − λ1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣110

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= [ 1

s − λ1

s − λ1 + 1(s − λ1)20]

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣110

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦= 2s − 2λ1 + 1(s − λ1)2

,

obteniendose el mismo resultado por ambos procedimientos. El sistema tiene un solo polo,λ1, de multiplicidad 2 mientras que los valores propios de A son 1 y 2.

Ahora podemos dar el resultado anunciado para caracterizar los sistema lineales inva-riantes en el tiempo que son estables E-S.

Teorema 5.5 El sistema (5.10) es estable E-S si y solo si todos los polos de la matriz detransferencia del sistema, G(s) = C(sIn −A)−1B +D, tiene parte real negativa.

5.2 Estabilidad Entrada/Salida 119

Demostracion.- Usando el Corolario 5.4, hay que demostrar que ∫ ∞0

∥H(t)∥dt <∞si y solo si G(s) tiene todos sus polos con parte real negativa.

Supongamos en primer lugar que ∫ ∞0

∥H(t)∥dt <∞ entonces ∫ ∞0

H(t)e−stdt conver-

ge para todo s tal que Re s ≥ 0. En efecto, teniendo en cuenta que para t ≥ 0 y Re s ≥ 0se tiene ∣e−st∣ ≤ 1,

∣∫ ∞0

hij(t)e−stdt∣ ≤ ∫ ∞0

∣hij(t)∣dt <∞.Pero gij(s) = L(hij(t)) = ∫ ∞

0hij(t)e−stdt, de modo que G(s) esta bien definida para todo

s tal que Re s ≥ 0. En consecuencia, todos sus denominadores deben no anularse paratodo s tal que Re s ≥ 0. Esto implica que sus polos tienen parte real negativa.

Recıprocamente, supongamos que los polos de todos los elementos gij(s) de G(s)tienen parte real negativa. Sea hij(t) el elemento en la posicion (i, j) de H(t) = CeAtB.Por (4.31), eAt = TeJtT−1 siendo J la forma de Jordan de A y T una matriz no singulartal que T −1AT = J . Pero teniendo en cuenta la forma de eJt de (4.32), se concluye sindificultad que los elementos de H(t) = CeAtB = CTeJtT −1B son de la forma:

`∑k=1

pk(t)eλkt (5.12)

donde, para k = 1, . . . , `, pk(t) es un polinomio y λ1, . . . , λ` son algunos (quiza no todos)valores propios de A. De hecho, λ1, . . . , λ` son los polos de G(s). Ası, Re λk < 0, k = 1, . . . , `.Como los polinomios pk(t) crecen, cuando t → ∞, mas lentamente que la exponencialtenemos que

∀ε > 0 y k = 1, . . . , `,∃mk(ε) ≥ 0 tal que ∣pk(t)∣ ≤mk(ε)eεt ∀t ≥ 0.

Tomando µ = −max1≤k≤`Re λk > 0, ε ∈ (0, µ) y m(ε) = `∑

k=1

mk(ε) tenemos

∣hij(t)∣ = ∣ `∑k=1

pk(t)eλkt∣ ≤m(ε)e−(µ−ε)t, ∀t ≥ 0.

y µ − ε > 0. En consecuencia ∫ ∞0

∣hij(t)∣dt ≤m(ε)(µ − ε)−1 <∞.

El Teorema 5.5 confirma de manera rigurosa y generaliza los resultados vistos enla Leccion 4 acerca de la respuesta de un sistema lineal invariante en el tiempo a lostres tipos de entradas clasicos. Vimos allı que cuando los valores propios de la matrizde estados tienen parte real negativa la respuesta de estado estacionario bien convergıaa un valor que denotabamos como yee (en el caso de entradas impulso unidad o saltounidad) o era una salida sinusoidal (en el caso de entradas sinusoidales) con, posiblemente,distinta fase y amplitud que la entrada. En todos los casos se trata de entradas acotadaspara las que la respuesta del sistema tambien es acotada. En las Figuras 5.1 y 5.2 se

120 Estabilidad

Figura 5.1: Respuesta de un sistema cuya ma-triz de transferencia tiene polos −0,5, −1 y −2

a la entrada u(t) = 2 cos(3t) − 3 sen(2t)t32 + 1

.

Figura 5.2: Respuesta de un sistema cuya ma-triz de transferencia tiene polos 0,5, −1 y −2 a

la entrada u(t) = 2 cos(3t) − 3 sen(2t)t32 + 1

.

muestran las respuestas de dos sistemas lineales a una misma funcion acotada: u(t) =2 cos(3t) − 3 sen(2t)

t32 + 1

. En la primera, los polos de la matriz de transferencia tienen parte

real negativa; en la segunda, uno de los polos tiene parte real positiva. Se puede apreciarque la respuesta del primer sistema se mantiene acotada (de hecho tiende a 0). En lasegunda grafica se ha centrado la atencion en la respuesta transitoria por lo que se haelegido un intervalo de tiempo pequeno. Un intervalo de tiempo mayor permite apreciarque la funcion decae rapidamente.

5.3. Estabilidad interna

En esta seccion estudiaremos la estabilidad interna de los sistemas de control definidospor ecuaciones diferenciales. Por estabilidad interna debemos entender la estabilidad delos estados del sistema. Empezaremos definiendo lo que se entiende por estabilidad parasistemas no necesariamente lineales aunque posteriormente nos centraremos en los linealesque son los mas sencillos y de los que se pueden dar mas resultados generales. Dado que laestabilidad es un concepto local, en ciertas condiciones, la estabilidad de los sistemas nolineales a veces puede estudiarse a partir de los sistemas lineales que se obtienen al linea-rizar el sistema no lineal respecto de la trayectoria cuya estabilidad se quiere investigar.Deberemos concretar, entonces, lo que se debe entender por linealizacion de un sistemano lineal en torno a una trayectoria.

Intuitivamente la estabilidad es un concepto facil de entender: una trayectoria de unsistema es estable si todas las trayectorias que en un instante dado estan proximas aella se mantienen proximas en todo momento posterior. Para dar una definicion formalconsideremos un sistema de ecuaciones diferenciales

x(t) = f(t, x(t), u(t)), (5.13)

en el que supondremos que el control u(⋅) ∈ U ha sido fijado de una vez por todas. En

5.3 Estabilidad interna 121

realidad, entonces, los sistemas que estudiamos son de la forma x(t) = g(t, x(t)). Supon-gamos que se dan las condiciones de existencia y unicidad de soluciones para el problemade condiciones iniciales

x(t) = f(t, x(t), u(t))x(t0) = x0

(5.14)

Sea x(t) = ψ(t; t0, x0)la unica solucion de este sistema y sea Tt0,x0 el periodo de existenciade la misma (Seccion 4.2)(recordemos que u(⋅) es una funcion dada) . Supondremos deaquı en adelante que [t0,+∞) ⊆ Tt0,x0 . Los sistemas que cumplen esta condicion se llamancompletos ([11]) . El Corolario 2.1.20 de [11] da condiciones suficientes para que un sistemasea completos.

Observacion: Las normas que usaremos en esta seccion para Rn sera la normaeuclıdea y la de Rm×n la inducida por ella; es decir, la norma espectral.

Definicion 5.6 (i) La trayectoria x(t) es estable en t0 si para cada ε > 0 existe δ =δ(t0, ε) > 0 tal que si ∥z0−x0∥ < δ y z(t) = ψ(t; t0, z0) es la solucion del P.C.I. (5.14)con la condicion inicial z(t0) = z0 entonces ∥x(t) − z(t)∥ < ε para todo t ≥ t0.

(ii) x(t) es asintoticamente estable en t0 si es estable en t0 y existe γ = γ(t0, ε) > 0tal que si ∥x0 − z0∥ < γ entonces lım

t→∞ ∥x(t) − z(t)∥ = 0

(iii) Si x(t) no es estable se dice que es inestable.

Si la constante δ no depende de t0, x(t) se dice que es uniformemente estable. Ysi γ no depende de t0, entonces x(t) se dice que es uniformemente asintoticamenteestable.

En realidad el estudio de la estabilidad o estabilidad asintotica de una trayectoriade un sistema se puede reducir al estudio de los mismos conceptos para los estadosde equilibrio de un sistema ıntimamente relacionado. Para ver como se puede hacer,consideremos el P.C.I. (5.14) y sea x(t) = ψ(t; t0, x0) la trayectoria en estudio. Hagamosel cambio de variable z(t) = x(t) − x(t), que sustituıdo en (5.14) nos da:

z(t) = x(t) − ˙x(t) = f(t, z(t) + x(t), u(t)) − f(t, x(t), u(t))z(t0) = x(t0) − x(t0). (5.15)

Si definimos

g(t, z(t)) = f(t, z(t) + x(t), u(t)) − f(t, x(t), u(t)) y z0 = x(t0) − x(t0), (5.16)

entonces el sistema (5.15) queda

z(t) = g(t, z(t))z(t0) = z0.

(5.17)

Ahora bien, g(t,0) = 0. Esto quiere decir que ze(t) = 0 es una solucion de equilibrio delsistema z(t) = g(t, z(t)). Ademas, ∥x(t) − x(t)∥ = ∥z(t) − ze(t)∥. Es decir, las desviaciones

122 Estabilidad

Figura 5.3: Plano de fase de las soluciones.Las soluciones que en t = 0 esta suficiente-mente proximas a la solucion de equilibrioxe(t) = 0 se mantiene a la misma distanciapara todo t ≥ 0.

Figura 5.4: Grafica de la solucion de equili-brio (lınea continua) y de la solucion que ent = 0 vale x0 = 10−15 (lınea discontinua). Paratodo t > 0 los valores de la funcion se encuen-tran a una distancia a lo mas 10−15 de xe.

de las soluciones del sistema (5.14) de la trayectoria en estudio x(t) son las mismas quelas desviaciones de las soluciones del sistema (5.17) del estado de equilibrio ze(t) = 0.Por lo tanto, la trayectoria x(t) es estable (asintoticamente estable) si y solo si el estadode equilibrio ze(t) es estable (asintoticamente estable). En conclusion basta estudiar laestabilidad de los estados de equilibrio.

El siguiente ejemplo trata de ilustrar los conceptos de estabilidad, estabilidad asintoti-ca e inestabilidad de las soluciones de equilibrio de un sistema no lineal.

Ejemplo 5.7 1. Sistema estable pero no asintoticamente estable: Pendulo no lineal sinamortiguamiento (c = 0). Solucion de equilibrio xe(t) = 0.

x(t) + senx(t) + cx = 0⇔ x1(t) = x2(t)x2(t) = − senx1(t) − cx2(t) (5.18)

La Figura 5.3 muestra el plano de fase de las soluciones del sistema. Se observaque para todo t0 y ε > 0 las soluciones que en t0 estan a una distancia de xe = 0menos que ε se mantienen a la misma distancia para todo t ≥ t0. En la Figura 5.4se muestra la solucion de equilibrio xe = 0 y en trazo discontinuo la solucion delsistema con la condicion inicial x1(0) = 10−15, x2(0) = 0. Las dos soluciones son muydistintas mientras que la de equilibrio es constantemente 0 la otra es una sinusoidalque se corresponde con el balanceo del pendulo en ausencia de amortiguamiento. Simiramos con detenimiento el intervalo de variacion de la sinusoidal observaremosque los valores que toma la funcion estan en el intervalo [−10−15,10−15]. Es decir,∣x(t) − xe∣ ≤ 10−15. En realidad esto les pasa a todas las funciones suficientementeproximas a xe tal y como se ha dicho antes y se pone de manifiesto en la Figura 5.3.La solucion xe(t) = 0 es estable. Sin embargo no es asintoticamente estable porquelas soluciones proximas no convergen a 0: se mantienen acotadas y proximas, perooscilan permanentemente.

5.3 Estabilidad interna 123

Figura 5.5: Plano de fase de las soluciones.Hay soluciones que en t = 0 estan muy proxi-mas a la solucion de equilibrio xe = π y paraalgun t > 0 se alejan mucho de la solucion deequilibrio.

Figura 5.6: Grafica de la solucion de equili-brio (lınea continua) y de la solucion que ent = 0 vale x0 = π + 10−15 (lınea discontinua).Para t > 0 suficientemente grande la funcionse aleja mucho de xe.

Figura 5.7: Plano de fase de las soluciones.Las soluciones que en t = 0 esta suficientemen-te proximas a la solucion de equilibrio xe = 0convergen a 0.

Figura 5.8: Grafica de la solucion de equili-brio (lınea continua) y de la solucion que ent = 0 vale x0 = 10−15 (lınea discontinua). Con-verge a la solucion de equilibrio.

2. Sistema inestable: Pendulo no lineal sin amortiguamiento (c = 0). Solucion de equili-brio xe(t) = π. La Figura 5.6 muestra la solucion de equilibrio xe(t) = π y la soluciondel sistema (5.18) con la condicion inicial x1(0) = π+10−15 y x2(0) = 0. Debido a quela velocidad inicial del pendulo es 0, este se aleja de la solucion de equilibrio muypoco a poco. A medida que aumenta la velocidad, la solucion se aleja mas y masrapidamente de la solucion de equilibrio. En la Figura 5.5 se aprecia que en reali-dad todas las soluciones proximas a xe(t) = π se alejan de ella aunque no se puedeapreciar cuan rapidamente porque en el plano de fase solo se pone de manifiesto laevolucion de x1 respecto a x2 (y viceversa) pero no las de estas con el tiempo.

3. Sistema asintoticamente estable: Pendulo no lineal con amortiguamiento (c = 0,5).La Figura 5.8 muestra la solucion de equilibrio xe(t) = 0 y la solucion del sistema(5.18) con la condicion inicial x1(0) = 10−15 y x2(0) = 0. La solucion no solo perma-nece proxima a la solucion de equilibiro (notese que el intervalo de variacion de lafuncion es menor que [−10−15,10−15]) sino que, debido al amortiguamiento, despues

124 Estabilidad

de un tiempo de oscilaciones con amplitudes cada vez menores, termina convergiendoa la solucion de equilibrio. En la Figura 5.7 se expone el plano de fase con algunascurvas. Se aprecia que todas las funciones suficientemente proximas convergen axe(t) = 0.

5.3.1. Estabilidad de los sistemas lineales

La tecnica empleada para reducir el estudio de la estabilidad de una trayectoria a lade los estados de equilibrio es especialmente ilustrativa en el caso de los sistemas linea-les. Supongamos que tenemos el sistema lineal x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t). En este casof(t, x, u) = A(t)x +B(t)u y la funcion g(t, z(t)) de (5.16) quedarıa g(t, z(t)) = A(t)z(t).Es decir; la estabilidad (asintotica) de cualquier trayectoria de cualquier sistema x(t) =A(t)x(t) + B(t)u(t) se puede estudiar a partir de la estabilidad del estado de equilibrioze(t) = 0 del sistema lineal sin control z(t) = A(t)z(t). Por ello, abusando del lenguaje, sesuele hablar de sistemas lineales (asintoticamente) estables para referirse a que la solucioncero lo es.

Ası pues, en lo sucesivo consideraremos el siguiente sistema lineal libre de control:

x(t) = A(t)x(t). (5.19)

Recordemos (vease (4.21)) que la solucion de este sistema con la condicion inicial x(t0) = x0

esx(t) = ψ(t; t0, x0) = Φ(t, t0)x0

donde Φ(t, t0) es la matriz de transicion de estados. La estabilidad de (5.19) se puedeexperesar en terminos de esta matriz.

Teorema 5.8 Sea z1, z2, . . . , zn una base de Rn. Las siguientes condiciones son equi-valentes:

(i) El sistema (5.19) es estable en t0 (uniformemente estable).

(ii) Existe una constante M que puede depender de t0 (independiente de t0, respectiva-mente) tal que ∥Φ(t, t0)∥ ≤M para todo t ≥ t0.

(iii) Existe una constante M que puede depender de t0 (independiente de t0, respectiva-mente) tal que ∥Φ(t, t0)zi∥ ≤M para todo t ≥ t0 y para todo i = 1, . . . , n.

Demostracion.- (i)⇒ (ii). Supongamos que (5.19) es estable en t0 (respectivamente,uniformemente estable), y sea ε = 1. De la deficinion de estabilidad (Definicion 5.6 (i)) sesigue que existe δ > 0 (independiente de t0 en el caso de estabilidad uniforme) tal que paratodo x0 que cumpla ∥x0∥ < δ se sigue que ∥Φ(t, t0)x0∥ ≤ 1, para todo t ≥ t0.

Dado t ≥ t0, por definicion de norma inducida, existe un vector x1 ≠ 0 tal que∥Φ(t, t0)x1∥ = ∥Φ(t, t0)∥∥x1∥. Este vector se puede escoger de norma tan pequena como se

5.3 Estabilidad interna 125

quiera sin mas que dividir sus componentes por un numero suficientemente grande. Por lotanto, tomando M−1 ∶= ∥x1∥ < δ tenemos

1 ≥ ∥Φ(t, t0)x1∥ = ∥Φ(t, t0)∥∥x1∥ ⇒ ∥Φ(t, t0)∥ ≤M.

(ii)⇒ (iii). Es una simple consecuencia de la siguiente propiedad de las normas in-ducidas: ∥Φ(t, t0)zi∥ ≤ ∥Φ(t, t0)∥∥zi∥.

(iii)⇒ (i). Supongamos que se cumple la condicion (iii) y fijemos ε > 0. Sea x0 ∈ Rnun vector arbitrario. Como z1, z2, . . . , zn una base de Rn, podemos escribir x0 = n∑

i=1

ζizi

y haciendo uso de las propiedades de las normas y la condicion (iii)

∥Φ(t, t0)x0∥ = ∥Φ(t, t0) n∑i=1

ζizi∥ ≤ max

1≤i≤n ∣ζi∣n∑i=1

∥Φ(t, t0)zi∥ ≤ nM max1≤i≤n ∣ζi∣.

Ahora bien, si ∣ζk∣ = max1≤i≤n ∣ζi∣ existe un numero real a > 0 tal que ∥x0∥ ≥ a∣ζk∣ y ası

∥Φ(t, t0)x0∥ ≤ nMa−1∥x0∥.Tomando 0 < δ < ε

a−1nMconcluımos que si ∥x0∥ < δ entonces ∥Φ(t, t0)x0∥ < ε. Esto

demuestra (i).

Para la estabilidad asintotica tenemos un resultado similar.

Teorema 5.9 Sea z1, z2, . . . , zn una base de Rn. Las siguientes condiciones son equi-valentes:

(i) El sistema (5.19) es asintoticamente estable en t0 (uniformemente asintoticamenteestable).

(ii) lımt→∞ ∥Φ(t, t0)∥ = 0 (respectivamente, uniformemente en t0)

(iii) Para i = 1, . . . , n, lımt→∞ ∥Φ(t, t0)zi∥ = 0 (respectivamente, uniformemente en t0).

Demostracion.- Si (5.19) es asintoticamente estable en t0 (uniformemente asintotica-mente estable) existe γ tal que ∥x0∥ < γ ⇒ lım

t→∞ ∥Φ(t, t0)x0∥ = 0. Como en la demostracion

del Teorema 5.8, sea x1 ≠ 0 tal que ∥x1∥ < γ y ∥Φ(t, t0)x1∥ = ∥Φ(t, t0)∥∥x1∥. Entonceslımt→∞ ∥Φ(t, t0)x0∥ = 0 implica que lım

t→∞ ∥Φ(t, t0)∥ = 0.

La demostracion de (ii) ⇒ (iii) y (iii) ⇒ (ii) es como en el Teorema 5.8.

El siguiente resultado nos da una estimacion de la norma espectral de la matriz detransicion de estados. En su demostracion necesitaremos hacer uso del famoso Lema deGronwall:

126 Estabilidad

Lema 5.10 (Lema de Gronwall) Sea T un intervalo de la recta real, α ∈ R, β(⋅) unafuncion no negativa localmente integrable en T y ξ(⋅) una funcion continua en T tal que

ξ(t) ≤ α + ∫ t

aβ(s)ξ(s)ds, t ∈ T, t ≥ a.

Entonces

ξ(t) ≤ α exp(∫ t

aβ(s)ds) , t ∈ T, t ≥ a. (5.20)

Lema 5.11 Si Φ(t, t0) es la matriz de transicion de estados del sistema (5.19) entonces

∥Φ(t, t0)∥ ≤ e∫ tt0 ∥A(s)∥ds, ∥Φ(t0, t)∥ ≤ e∫ tt0 ∥A(s)∥ds

, t ≥ t0. (5.21)

Demostracion.- Utilizaremos en la demostracion de este lema las propiedades de la matrizde transicion de estados de los sistemas lineales vistas en la relacion de problemas de laLeccion 4. Dado que Φ(t, t0)−1 = Φ(t0, t), tenemos

∂

∂tΦ(t, t0) = A(t)Φ(t, t0), y

∂

∂tΦ(t0, t) = ∂

∂tΦ(t, t−1

0 ) = −Φ(t, t0)−1 ∂

∂tΦ(t, t0)Φ(t, t0)−1 =

= −Φ(t, t0)−1A(t)Φ(t, t0)Φ(t, t0)−1 = −Φ(t, t0)−1A(t) = −Φ(t0, t)A(t)para casi todo t > t0. Integrando entre t0 y t:

Φ(t, t0) − I = ∫ t

t0A(s)Φ(s, t0)ds, Φ(t0, t) − I = −∫ t

t0Φ(t0, s)A(s)ds, t ≥ t0.

Por lo tanto, para t ≥ t0∥Φ(t, t0)∥ ≤ 1 + ∫ t

t0∥A(s)∥Φ(s, t0)∥ds, ∥Φ(t0, t)∥ = 1 + ∫ t

t0∥Φ(t0, s)∥∥A(s)∥ds.

Usando el Lema de Gronwall 5.10 tenemos

∥Φ(t, t0)∥ ≤ e∫ tt0 ∥A(s)∥ds, ∥Φ(t0, t)∥ ≤ e∫ tt0 ∥A(s)∥ds

, t ≥ t0.Ası quedan probadas las desigualdades de (5.21)

Como consecuencia de los resultados previos tenemos:

Corolario 5.12 Supongamos que el sistema (5.19) esta definido en [t0,+∞). Si ∫ ∞t0

∥A(s)∥2ds <∞ entonces es uniformemente estable. Ademas es (asintoticamente) estable en t1 ≥ t0 si ysolo si es (asintoticamente) estable en t0.

5.3 Estabilidad interna 127

Demostracion.- Si ∫ ∞t0

∥A(s)∥ds converge entonces por (5.21) y la condicion (ii) del

Teorema 5.8, el sistema es uniformemente estable.

Para la segunda parte calculamos

∥Φ(t, t0)∥ ≤ ∥Φ(t, t1)∥∥Φ(t1, t0)∥, ∥Φ(t, t1)∥ ≤ ∥Φ(t, t0∥∥Φ(t0, t1)∥, t ≥ t1 ≥ t0 (5.22)

Teniendo en cuenta que, por (5.21), ambos ∥Φ(t1, t0∥ y ∥Φ(t0, t1∥ son menores o iguales

que e∫ t1t0 ∥A(s)∥ds, resulta que Φ(t, t0) esta acotado (∥Φ(t, t0)∥→ 0) si y solo si Φ(t, t1) esta

acotado (respectivamente, ∥Φ(t, t1)∥→ 0).

Hay un concepto mas fuerte de estabilidad: la estabilidad exponencial. El sistema(5.19) es (uniformemente) exponencial estable si para cada t0 existe una constante M > 0y una tasa de decaimiento ω < 0 que depende de t0 (respectivamente, indepenciente de t0)tal que ∥Φ(t, t0)∥ ≤Meω(t−t0), t ≥ t0 (5.23)

El siguiente resultado dice que para los sistemas lineales ser exponencialmente estableo asintoticamente estable es lo mismo. Esta propiedad no es verdad, en general, para lossistemas no lineales.

Teorema 5.13 El sistema (5.19) es uniformemente exponencialmente estable si y solo sies uniformemente asintoticamente estable.

Notemos que no se especifica el instante en el que el sistema es uniformemente estableporque hemos visto en el Corolario 5.12 que si un sistema es uniformemente estable en uninstante t lo es para todo τ ≥ t.

Demostracion.- Si es exponencialmente estable entonces, por (5.23), ∥Φ(t, t0)∥ →0 cuando t → ∞. El recıproco es mas difıcil de probar. Supongamos que el sistema esuniformemente asintoticamente estable. Por el Teorema 5.9, para todo t ≥ t0 existe τ talque ∥Φ(t + τ, t)∥ ≤ 1/2 (se deduce de que el sistema es asintoticamente estable para todot ≥ t0 y por lo tanto ∥Φ(t + τ, t)∥ es tan pequeno como se quiera para τ suficientementegrande) . Entonces, usando la propiedad de concatenacion de la matriz de transicion deestados (Φ(t1, t3) = Φ(t1, t2)Φ(t2, t3)) y la desigualdad triangular para la norma espectraldel producto de matrices (∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥)):

∥Φ(t0 + kτ, t0)∥ ≤ ∥Φ(t0 + kτ, t0 + (k − 1)τ)∥∥Φ(t0 + (k − 1)τ, t0 + (k − 2)τ)∥⋯⋯ ∣Φ(t0 + τ, t0)∥ ≤ 2−kSupongamos ahora t ≥ t0 y sea k ∈ N tal que t0 + kτ ≤ t < t0 + (k + 1)τ . Entonces

∥Φ(t, t0)∥ ≤ ∥Φ(t, t0 + kτ)∥∥Φ(t0 + kτ, t0) ≤ ∥Φ(t, t0 + kτ)∥2−k.Por el Teorema 5.8 existe M ′ > 0 tal que ∥Φ(t, t0 + kτ)∥ ≤M ′ para todo t ≥ t0 + kτ . Por lotanto, ∥Φ(t, t0)∥ ≤M ′2− t−t0τ , t ≥ t0.

128 Estabilidad

Si ponemos M = M ′ y ω = − ln 2

τobtenemos (5.23) demostrando que el sistema es expo-

nencialmente estable.

Pasamos ahora a estudiar finalmente la estabilidad de los sistemas lineales invariantesen el tiempo

x(t) = Ax(t). (5.24)

De manera obvia, todo lo dicho anteriormente para los sistemas lineales se mantiene valido,pero la forma especial de la matriz de transicion de estados de estos sistemas hace que laestabilidad pueda caracterizarse en terminos de los valores propios de A. Recordemos quepara estos sistemas

Φ(t, t0) = eA(t−t0), t ≥ t0.La forma de Jordan de A va a jugar un papel importante: Si A ∈ Fn×n (en lo que sigue

F = R o C) existe una matriz no singular T ∈ Cn×n tal que J = T−1AT es la forma deJordan de A; una matriz con la forma (4.30). Cada bloque se puede escribir en la formaJk = λkInk +Nk donde λk ∈ Λ(A), nk es una multiplicidad parcial de λk (un mismo valorpropio puede tener varias multipliciades parciales) y

Nk =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0 ⋯ 00 0 1 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋮0 0 ⋯ 0 10 0 ⋯ 0 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦∈ Cnk×nk .

Con esta notacion, la matriz eJkt de (4.33) se puede escribir como sigue:

eJkt = eλkt (Ink + tNk + t22!N2k +⋯ + tnk−1

(nk − 1)!Nnk−1k ) . (5.25)

Por lo tanto, suponiendo t ≥ 0

∥eJkt∥ = ∣eλkt∣ ∥Ink + tNk + t22!N2k +⋯ + tnk−1

(nk − 1)!Nnk−1k ∥ ≤

≤ e(Reλk)t (1 + ∥Nk∥t + ∥Nk∥2 t2

2!+⋯ + ∥Nk∥nk−1 tnk−1

(nk − 1)!) ≤≤ eα(A)tp(t)

(5.26)

donde p(t) es un polinomio de grado m = max(n1, . . . , nr), siendo r el numero de bloquesde Jordan en J , y α(A) = maxRe λ ∶ λ ∈ Λ(A), siendo Λ(A) el conjunto de valorespropios no repetidos de A. Como ∥eJt∥ = max

1≤k≤r ∥eJkt∥ concluimos que

∥eJt∥ ≤ eα(A)tp(t). (5.27)

Lema 5.14 Sea A ∈ Rn×n y ω ∈ R. Si α(A) < ω entonces existe M ∈ R, dependiente deω, tal que ∥eAt∥ ≤Meωt, t ≥ 0. (5.28)

5.3 Estabilidad interna 129

Demostracion.- Sea J ∈ Cn×n la forma normal de Jordan de A y sea T ∈ Cn×n unamatriz invertible tal que A = TJT −1. Entonces

eAt = TeJtT−1

y, usando (5.27), ∥eAt∥ ≤ ∥T ∥∥T−1∥eα(A)tp(t);y tambien ∥e(A−ωIn)t∥ ≤ ∥T ∥∥T−1∥e(α(A)−ω)tp(t).Por hipotesis α(A) − ω < 0 y, consecuentemente lım

t→∞ e(α(A)−ω)tp(t) = 0. Por lo tanto,

∥eA−ωIn)t∥ → 0 cuando t → ∞ y ası existe un numero real M > 0 tal que ∥eAte−ωt∥ ≤ Mpara todo t ≥ 0. Esto demuestra (5.28).

La caracterizacion de la estabilidad asintotica de los sistemas lineales invariantes enel tiempo se sigue del Lema anterior:

Teorema 5.15 El sistema (5.24) es asintoticamente (o, equivalentemente, exponencial-mente) estable si y solo si Re λ < 0 para todo λ ∈ Λ(A).

Demostracion.- Por el Lema 5.14, si Re λ < 0 entonces existe ω < 0 y M > 0 talesque ∥eAt∥ ≤Meωt, t ≥ 0.

Esto implica que el sistema es exponencialmente estable. Recıprocamente, si existieraλ ∈ Λ(A) tal que Re λ > 0, tomando un vector propio, z, de A asociado a λ tendrıamos

∥eAtz∥ = ∥eλtz∥ = ∣eλt∣∥z∥ = eRe λt∥z∥, t ≥ 0,

y el sistema, por el Teorema 5.9, no serıa asintoticamente estable.

Finalmente, el siguiente resultado caracteriza la estabilidad de los sistemas linealesinvariantes en el tiempo.

Teorema 5.16 El sistema (5.24) es estable si y solo si las dos siguientes condiciones severifican simultaneamente:

(i) Re λ ≤ 0 para todo λ ∈ Λ(A), y

(ii) Si Re λ = 0 entonces las multiplicidades parciales de λ son todas iguales a 1 (i.e.; Aes diagonalizable).

Demostracion.- Ya se ha visto que si Re λ < 0 para todo λ ∈ Λ(A) entonces elsistema es asintoticamente estable y, en consecuencia estable. Supongamos que λ ∈ Λ(A)tiene parte real nula. De acuerdo con (5.26) si nk > 1 entonces ∥eJkt∥ →∞ cuando t →∞.Como ∥eAt∥ = ∥TeJtT−1∥ ≤ ∥T ∥∥T−1∥∥eJt∥ el sistema no serıa estable.

A modo de conclusion para esta seccion es destacable el siguiente resultado

130 Estabilidad

Corolario 5.17 Consideremos el sistema lineal invariante en el tiempo con control

x(t) = Ax(t) +Bu(t). (5.29)

Si el sistema x(t) = Ax(t) es asintoticamente estable entonces el sistema (5.29) es estableE-S.

Demostracion.- Por el Teorema 5.5 el sistema es estable si y solo si todos los polosde la matriz de transferencia T (s) = C(sIn −A)−1B +D tienen parte real negativa. Ahorabien, los polos de T (s) son algunas (quiza todas) las raıces de det(sIn−A); y estas son losvalores propios de A. Por lo tanto, si el sistema x(t) = Ax(t) es asintoticamente estableentonces todos los valores propios de A tienen parte real negativa y, consecuentemente, elsistema (5.29) es estable E-S.

El recıproco del Corolario 5.17 no es cierto en general. Veremos en la proxima leccionque para que lo sea hay que imponer ciertas restricciones al sistema (5.29).

5.4. Linealizacion y estabilidad de sistemas no lineales

Para estudiar la estabilidad de los estados de equilibrio xe de los sistemas no lineales

x(t) = f(t, x(t), u(t))y(t) = η(t, x(t), u(t)), t ∈ T (5.30)

hay que analizar el comportamiento de los estados x(t) “proximos” a xe. La nocion dediferencial de una funcion responde precisamente al objetivo de “aproximar localmente”una funcion no lineal por una lineal.

Comenzaremos dando sentido al concepto de linealizacion del sistema no lineal (5.30)para centrarnos posteriormente en la estabilidad de los estados de equilibrio de los sistemasde la forma x(t) = f(x(t)) (estabilidad interna) a partir de su linealizacion. Para ello,supondremos que el conjunto tiempo T ⊂ R es un intervalo abierto, que los espacios deestados y entradas son X ⊂ Rn y U ⊂ Rm son abiertos y que el espacios de salidas Y = Rp.Supondremos tambien que el conjunto de funciones de control U = C(T,U) es el de lasfunciones continuas y que f ∶ T × X × U → Rn y η ∶ T × X × U → Y son continuas ycontinuamente diferenciables con respecto a x y u en T ×X ×U .

Sea x(⋅) una trayectoria correspondiente a un control u(⋅) y supongamos dada unacondicion inicial (t0, x0) ∈ T × X. Por las hipotesis de diferenciabilidad de f y η, susderivadas parciales existen y son continuas en T ×X ×U ; ası que podemos considerar las

5.4 Linealizacion y estabilidad de sistemas no lineales 131

matrices Jacobianas de ambas funciones respecto de x y u en x(t) y u(t) para t ∈ T :

A(t) =Dxf(t, x(t), u(t)) = [ ∂fi∂xj

(t, x(t), u(t))]n×n

B(t) =Duf(t, x(t), u(t)) = [ ∂fi∂uj

(t, x(t), u(t))]n×m

C(t) =Dxη(t, x(t), u(t)) = [ ∂ηi∂xj

(t, x(t), u(t))]p×n

D(t) =Duη(t, x(t), u(t)) = [ ∂ηi∂uj

(t, x(t), u(t))]p×m

(5.31)

El sistema lineal

x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t)y(t) = C(t)x(t) +D(t)u(t) (5.32)

es la linealizacion de (5.30) en torno a la trayectoria x(⋅) respecto a u(⋅).Ejemplo 5.18 (Orbita geoestacionaria) Recordemos que las ecuaciones, en el modelo deespacio estado, que rigen el movimiento de un satelite orbitando alrededor de la Tierrason (Ejemplo 4.4):

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

x2(t)x1(t)(x4(t) +Ω)2 − GMT

x1(t)2+ Fr(t)

x4(t)−2x2(t)(x4(t) +Ω)

x1(t) + Fθ(t)x1(t)

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦.

Y que un estado estacionario es xe = (R0,0,0,0) que corresponde a la orbita geoestaciona-

ria a distancia R0 = (GMt

Ω2) 1

3 ≈ 42164 km del centro de la Tierra y girando con la misma

velocidad angular que la Tierra: Ω = 7,27 × 10−5rad/seg.

El sistema linealizado en torno al estado de equilibrio xe respecto al control cero(ue(t) = (Fr(t), Fθ(t)) = (0,0)) se obtendrıa calculando las matrices Jacobianas de frespecto de x y u en (xe, ue):

Dxf(x,u) = ∂f∂x

=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0 0

(x4 +Ω)2 + 2GMT

x31

0 0 2x1(x4 +Ω)0 0 0 1

2x2(x4 +Ω)x2

1

− Fθx2

1

−2(x4 +Ω)x1

0 −2x2

x1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

Duf(x,u)∂f∂u

=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 01 00 0

01

x1

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

132 Estabilidad

que particularizando en x = (R0,0,0,0) y u = 0 produce el sistema x(t) = Ax(t) +Bu(t)con

A =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 1 0 0

3Ω2 0 0 2R0Ω0 0 0 1

0 −2Ω

R00 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦, B =

⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

0 01 00 0

01

R0

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦(5.33)

La ecuacion de salidas depende de lo que lo que se quiera medir. Si suponemos que elsatelite se mantiene siempre en la orbita estacionaria (r(t) = R0 para todo t en el intervalode tiempo en el que se hace la observacion) entonces la posicion del satelite quedarıadeterminada por el angulo respecto de una posicion de referencia. En tal caso, la ecuacionde salidas serıa:

y(t) = [0 0 1 0]x(t).Ahora bien, puede suceder que el satelite se desvıe de la orbita estacionaria por la accionde fuerzas externas, y se quiera tener una medida tanto de su posicion angular como radialpara corregir la trayectoria en caso de necesidad. En tal caso la ecuacion de salidas serıa

y(t) = [1 0 0 00 0 1 0

]x(t).

Para ver la relacion entre las soluciones de los dos sistemas (5.30) y (5.31), sea ξ0 ∈ Rn,u(⋅) ∈ U y para todo ε > 0 pequeno denotemos por x(t) = x(t, ε) la solucion de la ecuaciondiferencial de (5.30) correspondiente al control u(t, ε) = u(t) + εu(t) y la condicion inicialx(t0, ε) = x0+εξ0. Utilizando resultados sobre la depedencia de las soluciones de ecuacionesdiferenciales respecto de parametros y condiciones iniciales, se puede ver que x(t, ε) es

diferenciable respecto de ε en ε = 0 y la derivada ξ(t) = ∂x∂ε

(t,0) satisface la ecuacion

ξ(t) = A(t)ξ(t) +B(t)u(t), t ∈ T , t ≥ t0.Por lo tanto, si ξ(⋅) es la solucion de la ecuacion diferencial lineal en (5.32) correspon-diente al control u(⋅) y la condicion inicial ξ0 entonces, para ε > 0 pequeno, x(t) + εξ(t)es una aproximacion de primer orden a la solucion de la ecuacion diferencial en (5.13)correspondiente al control u(t) + εu(t) y a la condicion inicial x0 + εξ0. Ası pues el com-portamiento del sistema lineal (5.32) cerca del origen proporciona una imagen aproximadadel comportamiento del sistema no lineal (5.30) en un entorno suficientemente pequenode la trayectoria x(t). En la Figura 5.9 se muestra el plano de fase del sistema no lineallibre e invariante en el tiempo del Ejemplo 5.7

x = yy = − sen(x − π) − 0,5y

y de su linealizacionx = yy = x − 0,5y

5.4 Linealizacion y estabilidad de sistemas no lineales 133

Figura 5.9: Plano de fase de un sistema nolineal.

Figura 5.10: Plano de fase del sistema lneali-zado.

La trayectorias proximas a la solucion de equilibrio xe = 0 (punto de silla) se comportande forma similar. Sin embargo, a medida que nos alejamos del estado de equilibrio lastrayectorias de ambos sistemas son muy diferentes. Experimentos de este tipo hacen ra-zonable conjeturar que esto, en realidad, es un fenomeno general. Es decir, que en generalel comportamiento de las soluciones de los sistemas lineales proximas a las soluciones deequilibrio es analogo al de las soluciones del sistema linealizado en las proximidades dela solucion xe = 0. Antes de enunciar formalmente el correspondiente resultado, convienehacer otra observacion: las ecuaciones (5.32) muestran que el modelo linealizado, en ge-neral, varıa con el tiempo (no es invariante en el tiempo) incluso cuando el sistema nolineal sea invariante en el tiempo. Esta es una de las razones principales del estudio quehemos realizado en la seccion anterior -y que continuaremos en la siguiente leccion- de lossistemas lineales generales. No obstante, si se linealiza un sistema no lineal invariante enel tiempo en torno a un estado de equilibrio respecto de un control constante, el modelolinealizado es, de nuevo, invariante en el tiempo.

Para finalizar esta leccion enunciamos dos resultados sobre la estabilidad de las solu-ciones de equilibrio de sistemas no lineales de la forma

x(t) = f(x(t)), t ∈ R (5.34)

(invariantes en el tiempo) a partir de la estabilidad del correspondiente sistema linealizadoen torno a dicha solucion de equilibrio. Las demostraciones de estos dos resultados no sonsencillas y se omiten. Pueden encontrarse en [11, Sec 3.3], y la primera de ellas tambienen [9, Sec 7.4]. Esta ultima es mas facil de seguir.

Teorema 5.19 Supongamos que la funcion f (como funcion de x ∈ Rn) del sistema (5.34)es continuamente diferenciable en un conjunto abierto X ∈ Rn y sea xe ∈ X un puntode equilibrio. Sea x(t) = Ax(t) el sistema linealizado del sistema (5.34) respecto de xe.Entonces:

(i) si Re λ < 0 para todo λ ∈ Λ(A), el estado de equilibrio xe es asintoticamente establerespecto del sistema no lineal (5.34).

134 Estabilidad

(ii) si Re λ > 0 para algun λ ∈ Λ(A), el estado de equilibrio xe es inestable respecto delsistema no lineal (5.34).

Teorema 5.20 En las mismas condiciones que en el Teoream 5.19, el estado de equilibrioxe es exponencialmente estable para el sistema (5.34) si y solo si el sistema linealizado enxe es exponencialmente estable.

Un estudio pormenorizado de la estabilidad de los puntos de equilibrio de los sistemasno lineales esta mas alla de los objetivos de este curso. Suele ser tema central en los cursossobre sistemas dinamicos. El Tema 7 de [9] es muy recomendable para quien este interesadoen su estudio; la aproximacion es muy intuitiva y llena de detalles y ejemplos.