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Matemática Convênio

NÚMEROS COMPLEXOSProfessor: FORMA ALGÉBRICAWendel Rafael 

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Aula 01

NÚMEROS COMPLEXOS

Definição:  Chama-se conjunto dos números complexos erepresenta-se por ₵, o conjunto dos pares ordenados denúmeros reais para os quais serão definidas as seguintes

operações:

1. Igualdade de números complexos:

 

2. Adição de números complexos:

 

3. Multiplicação de números complexos:

   

Exemplos:a) (x ; y) = (8 ; 5) x = 8 ; y = 5

b) Seja Z1 = (4 ; 3) e Z2 = (2 ; 1)

Z1 + Z2 = (4 ; 3) + (2 ; 1) = (4 + 2 ; 3 + 1) = (6 ; 4)

c) Seja Z1 = (5 ;4) e Z2 = (1 ; 7), temos:Z1 . Z2 = (4 ; 3) . (1 ; 7) = ( 4.1  – 3.7 ; 4.7 + 3.1) = (-17 ; 24)

OBS1:  Concluímos que o conjunto dos Reais é umsubconjunto dos complexos.

FORMA ÁLGÉBRICA DO COMPLEXO

Sendo o par ordenado P(a ; b), temos que o arepresentação algébrica do complexo (Z) será representada daseguinte forma:

 1. Algumas notações:1.1. Unidade Imaginária: 1.2. a  e b  são números reais1.3. O número real a é chamado de parte real (Re(z)) de Z  e o

número real b é chamado de parte imaginária (Im(z)) de Z .

 A forma algébrica de Z   pode ter outras representaçõesespecíficas que serão enumeradas em dois casos;

CASO 1: Im(z) = 0

 Sendo a parte imaginária nula, temos que a forma

algébrica do complexo será representada pela parte real(Re(z)), logo reafirmando que todo número real é complexo.

CASO 2: Re(z) = 0  

Sendo a parte real nula, temos a forma algébricarepresentada pela parte imaginária (Im(z)), sendo assimchamado de imaginário puro.

IMPORTANTE: As potências de in i0 =1 ; i

1 = i ; i

2 =-1; i

3 = - i ; i

4 = 1 ; i

5 = i ; i

6 = - 1 ; i

7 = -i ...

Percebemos que a medida que n cresce, osresultados vão se repetindo sempre na sequência dessesvalores abaixo:

1, i, -1, e – iSendo assim, 4 o período de repetição pra cadaresultado.

Então para saber qualquer valor de in, basta dividir n por 4 eresto (r) da divisão será o expoente de i, logo:

in = ir  Exemplos:a) i

23 = i

3 = - i

b) i512

 =i0 = 1

c) i2015

 = i3 = - i

2. Definição com operações com Números Complexos naforma algébrica: 

Dado o número complexo Z1 = a + b.i e Z2 = c + d.i ,temos:

2.1. Igualdade:

2.2. Adição: 

 

2.3. Multiplicação: 

 

Exemplos:

a) seja Z1 = 2 + 3i e Z2 = x + yi, temos :

   

b) Para Z1 = 4 + i e Z2 = 3 + 4i:

 

c) Z1 = 2 + 2i; Z2 = i, temos:

   

2.4. Divisão (aplicação do conjugado) 

Dada a forma algébrica do número complexo z = a + bi ,denominamos o conjugado de z , sendo a parte real igual ade z e cuja a parte imaginária é oposto a de z.

 

Exemplos de conjugados:

a) z = 11 +3i   b)  

c)     d)      

Em uma divisão

  basta multiplicar tanto o dividendo z1 

quanto o divisor z2  pelo conjugado do divisor:

e)

 

f)

 

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Aula 01

Exercíci os

(UEPB) QUESTÃO 01

O valor da expressão

 é igual a:

a) 13 – 14i b) 14 + 13i c) 13 + 14i d) 14 – 13i e) i

(UNESP – SP) QUESTÃO 02

Se , então (conjugado de z), será dadopor:a) -3 – ib) 1 – 3ic) 3 – id) -3 + ie) 3 + i

(UFUMG) QUESTÃO 03

Sejam os complexos z = 2x - 3i e t = 2 +yi, onde x e y são

reais. Se z = t, então o produto entre é:

a) 6 b) 4 c) 3 d) -3 e) -6

(U.F. Maringá – PR) QUESTÃO 04

Sabendo que i =    e que n = i + i2 + i3 + ... + i78, então:a)  b)

 

c)

 

d)  e)  

(U. C. MG) QUESTÃO 05

O quociente

 é igual a:

a)  b)  c)  d)  e)  

(FATEC – SP) QUESTÃO 06

Se o número complexo z é

 

), então z2 é:

a) 1 b) – 1 c)

 

  d)

  e)

 

 

(UFPA) QUESTÃO 07

Qual é o valor de m, real, para que o produto  seja um imaginário puro?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 10

(FEI – SP) QUESTÃO 08

Se o número complexo Z  satisfaz à relação

, então:

a) 2z = 1 + 8ib) 2z = - 1 + ic) 2z = 2 - id) z = 2 – 8ie) z = - 8 – 4i

(VUNESP – SP) QUESTÃO 09

Considere o número complexo z = i, onde i   é a unidade

imaginária. O valor de

  é:

a) – 1 b) 0 c) 1 d) i e) - i

(UEPA) QUESTÃO 10

Um dos resultados importantes da produção deconhecimentos reside na possibilidade que temos de fazer ainteração de múltiplos saberes. O conceito de númerocomplexo é um bom exemplo dessa possibilidade exploratóriada produção científica, ao permitir relações com álgebra,geometria plana, geometria analítica, trigonometria, séries earitmética. Nesse sentido, considere os números complexosz1 = 2 + 2.i, z2 = 5  – 6.i, z3 = - 4 + 18.i e os números reais k1 ek2 tais que a soma dos números complexos k1z1 e k2z2 resultao complexo z3. Nessas condições, o valor de  

a) 9 b) 8 c) 1 d)

  e)

 

(FATEC – SP) QUESTÃO 11

Seja

, onde i

2 = -1, então z é igual a:

a)

 

b)

 

c)

 

d) 0e) 5i

(MACK - SP) QUESTÃO 12

Sejam os números complexos z1 e z2, onde z2 = 3i e z1z2 = - 9+ 6i. Então z1 + z2 vale:a) 2 + 6ib) 2 – 6ic) – 3 + 3id) – 3 – 3ie) 9i

(UNESP – SP) QUESTÃO 13

Para o complexo i , a soma , n natural, n > 1, ézero, se e somente se :a) n = 4b) n é múltiplo de 4

c) n > 4d) n = 4k, k = 1, 2, ...

e) n é par

(PUC  – PR) QUESTÃO 14 

Sabendo-se que o complexo z = a + bi satisfaz à expressão , então z2 é igual a:a) 16 – 9ib) 17 – 24ic) 25 – 24id) 25 + 24ie) 7 – 24i

GABARITO:

1) c 2) a 3) d 4) d 5) e 6) e 7) b 8) b9) e 10) e 11) a 12) a 13) b 14) e