complemento de numeros

PREUNIVERSITARIO

Matemática 2014

NÚMEROS

Guía Teórico-Practica COMPLEMENTO DE NÚMERO S

PREUNIVERSITARIO PAIDAGOGOS – O’HIGGINS 1290 CONCEPCION – fono 3211858

1

Mate

máti

cas P

SU

Redondeo y Truncamiento, Aproximación

APROXIMACIONES DE NÚMEROS REALES

Si tenemos un número decimal con infinitas cifras decimales (caso de un decimal periódico o semiperiódico o de un número irracional) no es factible trabajar con todas ellas, de ahí que utilicemos aproximaciones para tales números.

Por ejemplo el número = 3,141592..., tan utilizado en cálculo de longitudes de circunferencias y áreas de círculos, es un número irracional con infinitas cifras no periódicas, hemos de utilizar aproximaciones a su valor real.

3,1 3,14 3,141 3,1416

Cada uno de los números anteriores responde a una aproximación del número (Pi).

Métodos de aproximación

Los métodos de aproximación que vamos a utilizar son:

Truncamiento. (aproximación por defecto) Al aproximar por truncamiento a la enésima cifra decimal, se eliminan, sin más, las cifras a partir de la cifra (n+1), independiente del valor de esta.

Ejemplos2,787 truncado a la segunda cifra decimal (centésima) es igual a 2,786,74 truncado a la primera cifra decimal (decima) es igual a 6,7

Redondeo. Al aproximar por redondeo a la enésima cifra se eliminan las cifras a partir de la posición (n+1), pero teniendo en cuenta que si la primera cifra eliminada es 5 o más de 5, a la última cifra decimal que se deja n se le añade uno.

Ejemplos2,787 redondeado a la segunda cifra decimal (centésima) es igual a 2,796,74 redondeado a la primera cifra decimal (decima) es igual a 6,7


2

Aproximación por exceso: Al aproximar de esta forma a la enésima cifra se eliminan las cifras a partir de la posición (n+1), y el decimal en la posición n se aumenta en una unidad.

Ejemplos

2,787 aproximado por exceso a la segunda cifra decimal (centésima) es igual a 2,79

6,74 aproximado por exceso a la primera cifra decimal (decima) es igual a 6,8

Ejercicios propuestos

Número Orden de aproximación

Aproximación por redondeo

Aproximación por

truncamiento

Aproximación por defecto

Aproximación por exceso

0,9876 milésima

12,5483 centésima

milésima

-0,999 decima

0,01199453 diezmilésima

-54,9128237 decima

diezmilésima

-4,99999 centésima


3

Ejercicios PSU

1. Al realizar la operación 20 ÷ 3 en una calculadora, ella da como resultado 6,666666667.¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La calculadora redondea a la novena cifra decimal.

II) La calculadora trunca a la novena cifra decimal.

III) es un número decimal periódico.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

Modelo de Prueba Matemática DEMRE (Proceso de admisión 2015)

2. El resultado de truncado a la décima es:A) 0,1B) 0,2C) 0,3D) 0,8E) 0,7



4

3. Sea q una aproximación por exceso a la centésima de y p una

aproximación por defecto a la centésima de . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. q=p

II.

III. q= -k , con k un número real positivo

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) Ninguna de ellas


4. Se define como “el valor de redondeado a la decima” con a y b números positivos. ¿Cual(es) de las siguientes expresiones da(n) como resultado 0,8?

I.

II.

III.

A) Solo IB) Solo IIC) Solo III


5

D) Solo II y IIIE) Ninguna de ellas

5. ¿Cuál de los siguientes números está más cerca de en la recta?

A)

B)

C)

D)

E)

6. Se defina T(a) como el valor de a truncado a la décima, ¿Cuál es el valor de

T +

A)

B)

C)

D)

E)


6

Orden de los irracionales ( Raíces y Logaritmos)

Raíces

• Para números reales positivos a y b cualesquiera y n un número natural

mayor que 1, se cumple que a < b ⇔ < . Luego, para ordenar raíces de igual índice y cantidades subradicales positivas, basta comparar las cantidades subradicales.

Ejemplo

Como 2<5 ,entonces , , ;……

• Para números naturales n y p mayores que 1 y a un número real mayor que

1, se cumple que n < p ⇔ < . Luego, para ordenar raíces de igual cantidad subradical e índices naturales , basta comparar los indices.

Ejemplo

Como 2<4<5, entonces ,

• Si se desea comparar raíces de distinto índice y distinta cantidad subradical, una posibilidad es elevar ambas raíces al m.c.m. de sus índices.

Ejemplo:

Para comparar y , se elevan ambas a 6 (m.c.m. entre 2 y 3).


7

Como ( )6 = 53 = 125 > ( )6 = 62 = 36, entonces > .

Logaritmos

• Para números reales positivos a y b cualesquiera y n un número real mayor

que 1, se cumple que a < b ⇔ .Luego, para ordenar logaritmos de igual base y argumentos positivos, basta comparar los argumentos.

Ejemplo:Como 4 < 7, entonces log 4 < log 7 ; log3 4 < log3 7 ; log8 4 < log8 7

• Para números reales positivos n y p mayores que 1 y a un número real mayor que 1, se cumple que n < p ⇔ logn a > logp a. Luego, para ordenar logaritmos de igual argumento y bases mayores que 1, basta comparar las bases.

Ejemplo:Como 3 < 5 < 6 … , entonces... log6 2 < log5 2 < log3 2

Si se desea comparar logaritmos de distinta base y distinto argumento, una posibilidad es cambiar las expresiones a una base común y aplicar propiedades. Recordar el cambio de base

⇒ , con a y m positivos distintos de 1 y b positivo.Ejemplo:

Para comparar log4 3 y log8 5 se cambian ambas expresiones a base 2. Luego,


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Al comparar los argumentos, se elevan las raíces a 6 (m.c.m. entre 2 y 3).

Como ( )6 = 33 = 27 > ( )6 = 52 = 25, entonces > , lo que significa

que: , y por ende que log4 3 > log8 5

Ejercicios

1. Si se ordenan de menor a mayor los siguientes números: , ,

y , entonces el término del medio es

A) B) C) D)

E)


2. Si x es un número real tal que , ¿cuál(es) de los siguientes valores podría(n) tomar x?

I

II


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III

A) Solo II D) Solo II y IIIB) Solo III E) I, II y IIIC) Solo I y II

3. Si p = , q = y r = , entonces el orden correcto entre ellos es

A) q < r < p D) q < p < rB) r < p < q E) p < r < qC) p < q < r

4. Si x es un número natural tal que log4 500 < x < log4 1.500, entonces el valor de x es

A) 3 D) 6B) 4 E) no se puede determinar.C) 5

5.¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) correcta(s)?

I) II) log7 5 < log8 5

III) log3 4 < log9 15

A) Solo I D) Solo I y IIIB) Solo II E) Solo II y IIIC) Solo I y II


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Aproximación de irracionales ( Raíces y Logaritmos)Para aproximar el valor de un número irracional a conociendo el valor aproximado de un número irracional b, es necesario expresar a en términos de b utilizando propiedades, y luego reemplazar el valor conocido.

Ejemplo:

Si es aproximadamente 2,236, entonces es, aproximadamente:

Si log 3 es aproximadamente 0,477, entonces log 90 es, aproximadamente:

log 90 = log (10 · 9) = log (10 · 32) = log 10 + log 32 = 1 + 2 · log 3 = 1 + 2 · 0,477 = 1,954

Ejercicio

1. Si es aproximadamente 1,7320, entonces aproximado por redondeo a la centésima es

A) 0,50 D) 0,05B) 0,51 E) ninguno de los valores anteriores.C) 0,52


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Ejercitación

1. La expresión redondeada a la décima es . Entonces, de

los siguientes valores, el más aproximado a esA) 2B) 2,5C) 3D) 3,5E) 4

2. Si log 70 es aproximadamente 1,845, entonces log 49 redondeado a la centésima es igual a

A) 0,37 D) 0,71B) 1,69 E) 1,29C) 1,43

3. Si log15 3 es aproximadamente , ¿cuál de los siguientes valores es el más cercano a log15 45?

A)

B)


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C) 6D) 3

E)

4. Sean p, q y r números mayores que 1. Si log5 p > log4 q > log3 (2r), entonces se cumple que

A) p > q > rB) r > p > qC) r > q > pD) q > p > rE) p > r > q5. Si x = log125 200, y = log25 40 y z = log5 6, ¿cuál de las siguientes desigualdades es correcta?

A) x < z < y D) z < x < yB) z < y < x E) y < x < zC) x < y < z

6. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones tiene(n)un valor que está entre 3 y 4?

I) log2 10II) log5 200III) log10 350

A) Solo II D) Solo I y IIIB) Solo III E) I, II y IIIC) Solo I y II

7. Si es aproximadamente 2,236, entonces aproximado por redondeo a la centésima es

A) 2,88 D) 2,90B) 2,89 E) 2,95C) 2,98


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8. Si es aproximadamente 3,79 redondeado a la centésima, entonces

aproximado por redondeo a la centésima es

A) 0,30 D) 0,91B) 0,32 E) 0,40C) 0,37

9. Para que la expresión b corresponda a un número racional, el valor de b puede ser

I)

II) 6 2

III)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) Solo II y III

10. Sabiendo que es aproximadamente 3,141592653… , entonces si m es igual a aproximado por exceso a la centésima, n es igual a aproximado por defecto a la centésima y p es igual a aproximado por redondeo a la centésima, entonces el orden correcto entre ellos es

A) m=n=pB) m p nC) p n mD) p m nE) n p m


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