complemento 3

Universidad Tcnica Federico Santa MaraDepartamento de Matemticas

Coordinacin de Matemticas II (MAT022)2o Semestre de 2013

Lunes 7 al 11 de OctubreGua Semana 3, Complemento

1. Calcular las inversas de las siguientes matrices:

a)

0@ 2 0 00 3 00 0 4

1ARespuesta:

0@ 12 0 00 13 00 0 14

1Ab)

0@ 1 2 30 1 40 0 1

1ARespuesta:

0@ 1 2 50 1 40 0 1

1Ac)

0@ b 0 00 b 0a 0 b

1A1

Respuesta:

0@ 1b 0 00 1b 0 ab2 0 1b1A

d)

0@ 1 3 12 4 121 0 3

1A1

Respuesta:

0@ 24 18 1111 8 58 6 4

1A2. Calcular una matriz X tal que verique la igualdad AX = B, sabiendo que

A =

0@ 5 4 22 1 14 4 1

1A ; B =0@ 2 1 34 5 03 2 1

1AEsa matriz X, satisface XA = B?

3. Encuentre la solucin del sistema de ecuaciones utilizando solo matrices:

x+ y = 1

x z = 3t+ y + 2z = 1

x y z t = 3

Respueta: t = 32 ; x =52 ; y = 32 ; z = 12

MAT-022, Segundo Semestre de 2013 1


4. Resuelva el sistema utilizando solo matrices:

x+ y = 5

y + z = 8

z + u = 9

u+ v = 11

x+ v = 9

Respuesta: u = 4; v = 7; x = 2; y = 3; z = 5

5. Dado el sistema de ecuaciones:

(1 )x+ z = 1(1 ) y + z = ax+ (1 ) y = b

Determine los valores de ; a y b de modo que el sistema tenga solucin nica.

Respuesta: El sistema tiene solucin nica si 6= f0; 1g:

6. A travs de operaciones elementales, hallar A1; si A =

0@ 1 0 12 3 41 1 1

1ARespuesta:

0@ 72 12 321 0 1 52 12 32

1A7.

1 23 4

Respuesta: 10

8. Calcular el determinante de la matriz A =

0@ 1 0 22 3 14 3 1

1ARespuesta: 6

9. Calcular el determinante de la matriz:

A =

0@ 2 4 76 0 31 5 3

1ARespuesta: 120

10. det

0BB@5 1 2 41 0 2 31 1 6 11 0 0 4

1CCARespuesta: 34

11. Si

A =

0@ 1 1 23 1 40 2 5

1A y B =0@ 1 2 30 1 42 0 2

1AMAT-022, Segundo Semestre de 2013 2


Calcular:

a) det (AB) b) det (BA) c) det (A) b) det (B)

Respuesta: a) 128, b) 128, c) 8, d) 1612. Encuentre el valor de en la ecuacin: 3 102 5

= 0Respuesta: 7;5:

13. Compruebe que: 0BB@1 2 1 26 1 3 00 3 2 12 3 1 1

1CCA0BB@ 15 45 135 30 1 3 325

85 215 5

45

15 25 1

1CCA =0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCA14. Resolver el sistema de ecuaciones:

2x+ 4y + 6z = 18

4x+ 5y + 6z = 24

3x+ y 2z = 4

Respuesta: x = 246 = 4; y =126 = 2; z = 186 = 3

15. Resolver usando el mtodo e Cramer el sistema de ecuaciones:

7x+ 5y z = 83x 2y 2z = 84x+ 7y + 3z = 10

Respuesta: x = 4; y = 3; z = 5:16. Si:

A =

1 10 12

; B =

4 31 2

Calcular:

(AB)1

Respuesta:

25 25 15 65

17. Pruebe que:

1 a b+ c1 b c+ a1 c a+ b

= 018. Determinar el o los valores de m 2 R, de modo que las matrices

M =

0@ 1 2 12 4 mm 2 1

1A ; A =0@ 1 m 1m 1 m

0 m 1

1Ano tengan inversas.



19. Pruebe que: 1 1 1a b ca2 b2 c2

= (b a) (c a) (c b)20. Considere las matrices:

A =

0@ 2 1 13 1 10 2 2

1A ; B =0@ 2 1 54 3 80 1 0

1AVerique que: det (AB) = det (a) det (B)

21. Dada la matriz:

C =

0@ 1 a1 b10 1 00 0 1

1A 2 IM3 (R)determine una matriz X 2 IM3 (R) ; tal que:

C2X1

= I3

Respuesta: X =

0@ 1 2a1 2b10 1 00 0 1

1A22. Sea:

A =

0@ 1 + a b ca 1 + b ca b 1 + c

1ACalcular jAjRespuesta: a+ b+ c+ 1:

23. Demuestre que para todo nmero real , la matriz:0@ sin () cos () 0cos () sin () 00 0 1

1A1 =0@ sin () cos () 0cos () sin () 0

0 0 1

1A24. Determine la matriz X 2M22 (R) que sea solucin de la ecuacin matricial:

XC2 + 2BTA = (det (B)) I2

donde

A =

1 10 1

; B =

1 11 1

y C =

2 00 2

Respuesta:

0 1 12 12

25. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

x+ y + bz = 0

x+ by + z = 0

bx+ y + z = 1

para encontrar todos los valores a; b 2 R de modo que el sistema tenga solucin nica.Respuesta: b 6= f2; 1g :


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