compendio de reglas de inferencia - lógica simbólica
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Compendio de reglas de inferencia de lógica simbólica en el curso Lógica Simbólica con el Cat. Lionel MoralesTRANSCRIPT
Compendio de Reglas de
Inferencia - Lógica Simbólica
William Cordón
Maria Andree Paz
Adolfo Zepeda
Lucia Perez
Reglas básicas de inferencia por
introducción
Introducción de conjunción
Si se tienen dos premisas
• Se sabe que ambas son ciertas
Entonces la conjunción de ambas es una
conclusión válida
Ejemplo:
P
Q
(P & Q)
Introducción de disyunciónSi se tiene una premisa
• Se sabe que es cierta
Entonces la disyunción de esa premisa con cualquier otra
es una conclusión válida.
En general:
• Introducción de disyunción a la derecha
• Introducción de disyunción a la izquierda
Introducción de condicionales
Se tiene una o más premisas
• Se sabe que son verdaderas
Se puede asumir una diferente como condición de las existentes
• Si la que se asume es falsa igual se tiene consecuente
verdadero
Ejemplo
P
Q
(N (P & Q))
Reglas básicas de inferencia por
eliminación
Eliminación de condicional
• Se tiene una implicación
• Se sabe que es verdadera
• Y se tiene como premisa el antecedente
• Entonces el consecuente es verdadero
• Ejemplo
(P Q)
P
Q
Eliminación de conjunción
Teniendo una conjunciónLos dos conyuntos son verdaderos
Cualquiera de los dos es una conclusión válida
EjemploT&M
T
O bienT &M
M
Eliminación de disyunción
Teniendo una disyunción.
Los dos disyuntos tiene que llegar a la misma conclusion.
Observar los ámbitos donde se asume.
Ejemplo:
Reglas indirectas
Introducción de Negación
Diagrama de Fitch
El símbolo
se llama Falsum
También le llamaremos absurdo
1. (P Q) Premisa
2. (P ~Q) Premisa
3. P Se asume 4. Q E: 1, 3
5. ~Q E: 2, 3 6. I: 4, 5
7. ~P ~I: 6
Eliminación de negación
Es la misma regla que la introducción
Comparación:
Eliminación de negación
Introducción de negación
a1. ~ φ Se asume … p1.
c. φ ~E: p1
a1. φ Se asume … p1.
c. ~φ ~I: p1
Doble negación Introducción
Eliminación
p1. φ
…
c. ~~φ DNI: p1
p1. ~~φ
…
c. φ DNE: p1
Reglas derivadas para
conjunciones y disyunciones
Conmutatividad El orden de los conyuntos no altera la conjunción.
El orden de los disyuntos no altera la disyunción.
p1. (φ & ψ)
…
c. (ψ & φ) Conm&: p1
p1. (φ v ψ)
…
c. (ψ v φ) Conmv: p1
Asociatividad Aplica solo a conjunciones y disyunciones.
Ejemplo:p1. ((φ & ψ) & ρ)
…
c. (φ & (ψ & ρ)) AsocR&: p1
p1. (φ & (ψ & ρ))
…
c. ((φ & ψ) & ρ) AsocL&: p1
p1. (φ v (ψ v ρ))
…
c. ((φ v ψ) v ρ) AsocLv: p1
p1. ((φ v ψ) v ρ)
…
c. (φ v (ψ v ρ)) AsocRv: p1
Idempotencia Aplicaciones repetidas de operaciones no cambia el resultado. Se
mantiene igual.
Idempotencia de conjunción.
Idempotencia de disyunción.
p1. φ
…
c. (φ & φ) Idem&I: p1
p1. (φ & φ)
…
c. φ Idem&E: p1
p1. φ
…
c. (φ v φ) IdemvI: p1
p1. (φ v φ)
…
c. φ IdemvE: p1
Distributividad Conjunción respecto de disyunción
Disyunción respecto de conjunción
p1. (φ & (ψ v ρ))
…
c. ((φ & ψ) v (φ & ρ)) Distr&: p1
p1. ((φ & ψ) v (φ & ρ))
…
c. (φ & (ψ v ρ)) Distr&C: p1
p1. (φ v (ψ & ρ))
…
c. ((φ v ψ) & (φ v ρ)) Distrv: p1
p1. ((φ v ψ) & (φ v ρ))
…
c. (φ v (ψ & ρ)) DistrvC: p1
Silogismo Disyuntivo Dada una disyunción
Sabiendo que un disyunto es falso
El otro debe ser verdadero
Silogismo: Argumento con exactamente 2 premisas
p1. (φ v ψ)
p2. ~φ
…
c. ψ DSR: p1, p2
p1. (φ v ψ)
p2. ~ψ
…
c. φ DSL: p1, p2
El Corte Se tienen dos disyunciones y un par de disyuntos en contradicción.
p1. (φ v ψ)
p2. (~φ v ρ)
…
c. (ψ v ρ) Corte: p1, p2
Leyes de Morgan La negación de una conjunción es la disyunción de las negaciones y
viceversa.
La negación de una disyunción es la conjunción de las negaciones y
vicersa.
p1. ~(φ & ψ)
…
c. (~φ v ~ψ) DeM: p1
p1. ~(φ v ψ)
…
c. (~φ & ~ψ) DeM: p1
p1. (~φ v ~ψ)
…
c. ~(φ & ψ) DeM: p1
p1. (~φ & ~ψ)
…
c. ~(φ v ψ) DeM: p1
Reglas derivadas para
condicionales
Modus Tollens
Teniendo una condicional Se tiene la negación del consecuente
Se sabe que el consecuente es falso
Se concluye la falsedad del antecedente
Modus Tollens Silogismo que niega
p1. (φ ψ)
p2. ~ψ
c. ~φ MT: p1, p2
Transposición
Si se tiene un condicional
Se sabe que la negación del consecuente implica
la negación del antecedente
Conocido como silogismo hipotético.
Transitividad
p1. (φ ψ)
…
c. (~ψ ~φ) Trans: p1
p1. (φ ψ)
p2. (ψ ρ)
c. (φ ρ) HS: p1, p2
Exportar e importar
Exportar
Sacar de… (sacar del antecedente)
Importar
Traer a… (traer al antecedente)
p1. ((φ & ψ) ρ)
c. (φ (ψ ρ)) Expt: p1
p1. (φ (ψ ρ))
c. ((φ & ψ) ρ) Impt: p1
Definición de condicional
Un condicional es equivalente a
También la disyunción es equivalente a un
condicional
p1. (φ ψ)
c. (~φ v ψ) Def E: p1
p1. (~φ v ψ)
c. (φ ψ) Def I: p1
Condicional negado
El mismo caso que el anterior pero con el
condicional negado
p1. ~(φ ψ)
c. (φ & ~ψ) ~ E: p1
p1. (φ & ~ψ)
c. ~(φ ψ) ~ I: p1
Reglas derivadas para bicondicionales
Eliminación de Bicondicional
Izquierda
Derecha
p1. (φ ψ)
p2. ψ
c. φ EL: p1, p2
p1. (φ ψ)
p2. φ
c. Ψ ER: p1, p2
Introducción de bicondicional
Asumiendo antecedentes
Con dos premisas
a1. φ Se asume
…
p1. ψ
a2. ψ Se asume
…
p2. φ
c. (φ ψ) I: p1, p2
p1. φ
p2. ψ
c. (φ ψ) I: p1, p2
Eliminación de cuantificador
universal ( x)
Forma general
Ejemplo:
Introducción de cuantificador
existencial ( x)
• Forma general
• Ejemplo:
Eliminación de cuantificador
existencial ( x)• Forma general:
• Condiciones:
• es una variable
• no ocurre en φ
• no ocurre en ψ
• no ocurre “libre” en ninguna fórmula asumida de la que p2 dependa.
Ejemplo:
Introducción de cuantificador
universal ( x)
• Forma general
• Condiciones:
• es una variable
• no ocurre “libre” en ( υ)φ
• no ocurre “libre” en ninguna premisa o fórmula asumida de la
que p1 dependa
Ejemplo:
Reglas para cuantificadores
Replacement of Bound Variables
Reemplazo de Variables Atadas
1. Premisa
2. Premisa
3. RBV: 1
1. Premisa
2. Premisa
3. RBV: 1
( x)(P(x) & R(x))
(Q(w) S)
( z)(P(z) & R(z))
( x)(P(x) T(x))
( z)(P(z) & R(z))
( z)(P(z) T(z))
Definition of the Universal Quantifier
Definición del Cuantificador Universal
1. Premisa
2. DefE: 1
1. Premisa
2. DefI: 1
( x)(P(x) & R(x))
~( x)~(P(x) & R(x))
~( z)~(P(z) T(z))
( z)(P(z) T(z))
Definition of the Existential Quantifier
Definición del Cuantificador Existencial
1. Premisa
2. DefE: 1
1. Premisa
2. DefI: 1
( z)(P(z) v T(z))
~( z)~(P(z) v T(z))
~( y)~(T(y))
( y)(T(y))
Negated Universal
Universal Negado
1. Premisa
2.
Existentially Quantified Negation
Negación Cuantificada Existencialmente
1. Premisa
2.
~( z)(P(z) v T(z))
( z)~(P(z) v T(z)) ~ : 1
( z)~(P(z) v T(z))
~( z)(P(z) v T(z)) ~: 1
Negated Existential
Existencial Negado
1. Premisa
2.
Universally Quantified Negation
Negación Cuantificada Universalmente
1. Premisa
2.
~( x)(P(x) v T(x))
( x)~(P(x) v T(x)) ~ : 1
( x)~(P(x) v T(x))
~( x)(P(x) v T(x)) ~: 1
Universally Quantified Conjunction
Conjunción Cuantificada Universalmente
1. Premisa
2.
Conjunction of Universals
Conjunción de Universales
1. Premisa
2.
Existentially Quantified Conjunction
Conjunción Cuantificada Existencialmente
1. Premisa
2.
( x)(P(x) & R(x))
(( x)P(x) & ( x)R(x)) &: 1
(( x)(Q(x) v T(x)) & ( x)S(x))
( x)((Q(x) v T(x)) & S(x)) & : 1
( x)(P(x) & T(x))
(( x)P(x) & ( x)T(x)) &: 1
Disjunction of Universals
Disyunción de Universales
1. Premisa
2.
Disjunction of Existentials
Disyunción de Existenciales
1. Premisa
2.
Existentially Quantified Disjunction
Disyunción Cuantificada Existencialmente
1. Premisa
2.
(( x)P(x) v ( x)T(x))
( x)(P(x) v T(x)) v : 1
(( x)P(x) v ( x)T(x))
( x)(P(x) v T(x)) v : 1
( x)(A(x) v B(x))
(( x)A(x) v ( x)B(x)) v: 1
Universal Disjunctive Syllogism
Silogismo Disyuntivo Universalmente Cuantificado
1. Premisa
2. Premisa
3.
1. Premisa
2. Premisa
3.
( z)(T(z) v S(z))
( z)~T(z)
( z)S(z) DSR: 1, 2
( z)(T(z) v S(z))
( z)~S(z)
( z)T(z) DSL: 1, 2
Existential Disjunctive Syllogism
Silogismo Disyuntivo Existencialmente Cuantificado
1. Premisa
2. Premisa
3.
1. Premisa
2. Premisa
3.
( x)(T(x) v S(x))
( x)~T(x)
( x)S(x) DSR: 1, 2
( x)(T(x) v S(x))
( x)~S(x)
( x)T(x) DSL: 1, 2
Universally Quantified Conditional
Condicional Cuantificada Universalmente
1. Premisa
2.
Existential Quantifiers and the Conditional
Condicional y Cuantificador Existencial
1. Premisa
2.
1. Premisa
2.
( w)(Q(w) S(w))
(( w)Q(w) ( w)S(w)) : 1
( w)(Q(w) S(w))
(( w)Q(w) ( w)S(w)) : 1
( w)(Q(w) S(w))
(( w)Q(w) ( w)S(w)) : 1
Universal Hypothetical Syllogism
Silogismo Hipotético Universal
1. Premisa
2. Premisa
3.
Universal Modus Tollens
Modus Tollens Universal
1. Premisa
2. Premisa
3.
Contraposition
Contraposición
1. Premisa
2. Contra: 1
( w)(Q(w) S(w))
( w)(S(w) R(w))
( w)(Q(w) R(w)) HS: 1, 2
( w)(S(w) R(w))
( w)~R(w)
( w)~S(w) MT: 1, 2
( w)(S(w) R(w))
( w)(~R(w) ~S(w))
Universally Quantified Biconditional
Bicondicional Cuantificada Universalmente
1. Premisa
2.
Universal Replace Equivalents
Reemplazo de Equivalentes en Universal
1. Premisa
2. Premisa
3.
( x)((A(x) & B(x)) C(x))
(( x)(A(x) & B(x)) ( x)C(x)) : 1
( x)((A(x) & B(x)) C(x))
( x)(Q(x) & C(x))
( x)(Q(x) & (A(x) & B(x))) RE: 1, 2
Double Quantifiers
Cuantificadores Dobles
1. Premisa
2.
1. Premisa
2.
Existentially Quantified Universal
Universal Cuantificado Existencialmente
1. Premisa
2.
( x)( y)(Q(x) & C(y))
( y)( x)(Q(x) & C(y)) : 1
( x)( y)(P(x) Q(y))
( y)( x)(P(x) Q(y)) : 1
( x)( y)(P(x) Q(y))
( y)( x)(P(x) Q(y)) : 1
Ley de Identidad Todo individuo es idéntico a sí mismo
1.
2. a = a =I
Si dos individuos son idénticos
Cualquier cosa verdadera de uno es
verdadera para el otro
No Discernibilidad de Idénticos
1. P(s) Premisa
2. s = m Premisa
3. P(m) =E: 1, 2