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COMPARACION DE SOLICITACIONES EN LOSAS DE ENTREPISO S DE HORMIGON ARNADO SEGÚN MÉTODOS DE CÁLCULO

TRADICIONALES Y MODERNOS

BLANCA, Rafael Héctor

Ingeniero Civil [email protected]

Tucumán – Argentina

VALOY, José María Ingeniero Civil

[email protected] Tucumán – Argentina

COLETTI, Federico José Arquitecto

[email protected] Tucumán – Argentina.

RESUMEN Se analizan los valores de momentos flectores en losas bidireccionales apoyadas en vigas de diferentes rigideces, obteniendo los mismos por diferentes métodos de cálculo. Se particulariza para un sistema de tres vanos de 6,00m de luz en cada di-rección. Sobre este caso, se comparan solicitaciones obtenidas mediante métodos clásicos basados en uso de coeficientes tabulados que consideran bordes indefor-mables, frente a los métodos aproximados propuestos por el reglamento CIRSOC 201-2005, y a los obtenidos con el Método de los Elementos Finitos, considerando éste último como la solución más cercana al comportamiento real de la estructura. Se concluye que los Momentos Flectores de tramo obtenidos mediante uso de tablas clásicas son menores a los reales, incrementándose esa diferencia a medida que se reduce la relación de rigideces entre vigas y losas. En el caso de vigas rígidas, los momentos flectores calculados mediante el método de las franjas (CIRSOC 201-2005) son similares a los obtenidos en la hipótesis de bordes indeformables. Para el caso de vigas muy esbeltas los valores obtenidos por el método de las franjas, además de cercanos a los reales, son muy superiores a los proporcionados por los que considera bordes indeformables (métodos clásicos). Es decir que no es reco-mendable el uso de tablas clásicas que consideran b ordes indeformables al analizar entrepisos con vigas esbeltas y/o “vigas c hata”. ABSTRACT This paper analize the relationship between bending moments for two-way beam-supported slabs, with different stiffness beams. Those values was obtained by differ-ent design methods, varying beam and slabs stiffness ratios. A three spans slab-beams layout , with 6.00 m span dimension. In this case, bending moments obtained by classical tabulates coefficients are compared with approximate method proposed in CIRSOC 201-2005 Code, and with Finite Element Method applications. It has considered that FEM give the closest results by the exact structural behavior. It is concluded that bending slab spam moments obtained using coefficients are less than the actual (Finite elements) , increasing the difference where the stiffness beam-slab ratio is getting smaller. In case of rigid beams, bending moments calculated by the strips method (CIRSOC 201-2005) are similar to those obtained on the assumption undeformed edges. But in case of very slender beams the values obtained by the strip method, close to FEM,are higher to those provided by considering undeformed edges. (classical methods). In cases of slender beams is not recommended the use of coefficients that consider undeformables edges.

. 1.- INTRODUCCIÓN. El presente trabajo tiene por objeto analizar comparativamente los valores de momentos flectores en losas apoyadas en dos direcciones ortogonales, obtenidos por diferentes métodos de cálculo.

Se comparan los momentos flectores obtenidos mediante la aplicación de métodos tradicionales que utilizan coeficientes tabulados, frente a los métodos aproximados propuestos por el Reglamento CIRSOC 201-2005(1), y también con los hallados con el uso de software basado en el Método de los Elementos Finitos, en-tendida ésta, como la solución más cercana al comportamiento real de la estructura.

Adicionalmente se ha analizado los valores de momentos flectores en las lo-sas de la estructura propuesta para el caso de diferentes rigideces de las vigas en las que apoyan las losas, considerando vigas con esbelteces h = L/10 , hasta losas sin vigas, con dos casos de esbelteces intermedias.

Los métodos utilizados para la determinación de momentos flectores en lo-sas fueron :

� Método analítico clásico: mediante la utilización de tablas producidas por dife-rentes autores, en este caso se utilizaron las correspondientes al clásico tra-tado de Hormigón Armado de Benno Löser(2).

� Método analítico aproximado: mediante la utilización de los métodos reco-mendados en el “Proyecto de Reglamento CIRSOC 201-2005”, basados en la norma ACI 318.

� Método numérico exacto: mediante la utilización del método de los elementos finitos, implementado con el programa de evaluación libre “Slab analysis finite element method – SAFE v12” (3).

2.- GLOSARIO. αm : valor promedio de α para todas las vigas de borde de un panel de losa.

α : relación entre la rigidez a flexión de la sección de una viga y la rigidez a flexión de una franja de losa, limitada lateralmente por lo ejes de los paneles de las losas adyacentes (si las hubiera) a cada lado de la viga. Siendo :

scs

bcb

IEIE=α

β: relación entre luces libres, mayor y menor, de una losa armada en dos direc-ciones

fy: tensión de fluencia especificada de la armadura no tesa, en Mpa.

ln: luz libre en sentido lado mayor de losa armada en dos direcciones, en mm.

lllln: luz libre en dirección donde se determinaron los momentos, medida entre las

caras internas de los apoyos.

llll1: luz entre centros de apoyos, en dirección donde se determinan los momentos.

llll2: luz transversal a l1, medida entre los centros de apoyo. (ver 13.6.2.3 y

13.6.2.4 CIRSOC 201-2005)

Ecb : módulo de elasticidad del hormigón de vigas, en Mpa.

Ecs : módulo de elasticidad del hormigón de columnas, en Mpa.

Ib : momento de inercia respecto a eje baricéntrico de la sección total o bruta de una viga, como se define en art. 13.2.4 – CIRSOC 201-2005, en mm4.

Is: momento de inercia con respecto a eje baricéntrico de la sección total de la losa, en mm4, para ancho de franja definido según art. 13.2.1 y 13.2.2..- CIR-SOC 201-2005.

wu: carga mayorada total por unidad de área.

x: menor dimensión de una parte rectangular de la sección transversal de la viga ( al dividir la sección de la viga en 1 o más partes rectangulares simples).

y: mayor dimensión de una parte rectangular de la sección transversal de la viga ( al dividir la sección de la viga en 1 o más partes rectangulares simples).

3.- ESTRUCTURA ANALIZADA La estructura propuesta para el análisis comparativo es simple y regular, y ha sido configurada de manera que cumpla los requisitos para aplicar los métodos analíticos aproximados. En figura 1 se muestra croquis de la estructura propuesta. 3.1. Datos: Materiales: Hormigón : H-25 ( f´c=25 Mpa.)

Acero : ADN 420 ( fy=420 Mpa.)

Luces de tramos: l1 = l2 = l = 6,00 m.

Altura de losas: h = 0,15 m.

Dimensiones de vigas: b = 0,20m , hv = 0,60m. (todas las vigas)

Dimensiones de columnas: 0,30m x 0,30m.

Altura de columnas: Hcol = 4,00m.

Se considerará todos lo paños de losas con carga completa.

L1L1L1L1 L2L2L2L2 L1L1L1L1



2 2 2

11

1

Figura 1.

3.2. Verificación de altura de losa: (según art. 9.5.3.3 , CIRSOC 201-2005) En el caso presentado, teniendo en cuenta la figura 2, y siendo αm = α , por cuanto todas las vigas de borde son iguales.

scs

bcb

IEIE

=α , se considera Ecb = Ecs , por lo que resulta: s

b

II=α

Figura 2. Ib : para sección sombreada de la Fig. 2, resulta Ib= 70693x105 mm4 Is : para la sección rayada de la Fig.2, resulta :Is = 16875x105 mm4

s

b

II=α = 4,2 ; Para αm = α > 2 , debe ser : h ≥

β+

+

936

140080

yn

f,l

,

como mínimo h ≥ 90mm; con : ln = 6000 mm, fy = 420 Mpa, β = 1 resulta : h ≥ 147mm, → Verifica valor adoptado h = 0,15 m.

4.- MOMENTOS FLECTORES EN LOSAS S/ MÉTODO ANALÍTICO CLÁSICO. 4.1. Cargas consideradas. peso propio losa: 3,6 kN/m2 carga útil: 1,4 kN/m2

sobrecarga: 2,0 kN/m2 Carga Total mayorada: wu = wd + wl = 9,2 kN/m2 4.2. Determinación de momentos flectores, mediante el uso de tablas de B.Löser(2) ,

nros. 92, 93, y 94 (8º edición en castellano).

-20,70 -18,40 -18,40 -20,70

7,498,92 8,92

-13,79 -13,80 -13,80 -13,79

5,946,55 6,55

MOMENTOS FLECTORES Mux y Xux (kNm )

-20,70-18,40 -18,40-20,70

7,498,92 8,92

Figura 3ª. 4.3. Distribución momentos flectores considerando CIRSOC 201-1982(3)

A los fines de comparar los momentos flectores calculados mediante el método analítico clásico (coeficientes de momentos tabulados) y otros métodos que proporcionan valores por franjas, se considerará lo prescripto en el Reglamento CIRSOC 201-1982, art. 20.1.6:

� Se permite (salvo verificación más precisa) disponer en las franjas paralelas a los bordes y de ancho 0,2 lMenor , el 50% de la armadura calculada. En con-secuencia se puede inferir que en las zonas de borde el momento flector vale como máximo el 50% del momento flector calculado.

� Para absorber momentos de empotramiento no considerados (caso de losas-

vigas de borde exterior), se deberá disponer como mínimo 1/3 de la armadura calculada para el tramo en la dirección correspondiente. Es decir, se puede inferir que el momento flector negativo en la losa, en correspondencia con las

vigas de borde exterior es como máximo igual a 1/3 del momento máximo de tramo.

Teniendo en cuenta estas prescripciones, los momentos flectores graficados en la Figura 3a, pueden redistribuirse como se muestra en la Figura 3b.

-20,70 -18,40 -18,40 -20,70

7,498,92 8,92

-13,79 -13,80 -13,80 -13,79

5,946,55 6,55

MOMENTOS FLECTORES Mux y XuxREDISTRIBUIDOS (kNm )

-10,35 -9,20 -9,20 -10,35

3,744,46 4,46

-10,35 -9,20 -9,20 -10,35

3,744,46 4,46

-1,49 -1,49

-2,97 -2,97

-2,18 -2,18

-1,49 -1,49

Figura 3b.

5.- MOMENTOS FLECTORES EN LOSAS S/ MÉTODO DE DISEÑO DIRECTO. Este método, especificado en art. 13.6. , CIRSOC 201-2005(1), consiste bási-camente en dividir las losas en “franjas” o “fajas” (Figura 4), calculando un “momen-to isostático” para cada uno de los tramos de una franja. Ese “momento isostático”, se distribuye mediante coeficientes sugeridos, entre momentos de tramo y de apoyo. La aplicación del método tiene las siguientes restricciones según al art. 13.6.1 CIRSOC 201-2005:

� La estructura debe tener en cada dirección, 3 tramos continuos como mínimo. (VERIFICA).

� Los paños de losa deben ser rectangulares con 2≤menor

mayor

l

l . (VERIFICA).

� Las longitudes de tramos sucesivos en cada dirección no debe diferir en más de un tercio de la luz mayor. (VERIFICA).

� Las columnas no deben estar desplazadas, con respecto a cualquier eje de columna, no más de 10% de la luz menor en la dirección del desplazamiento. (VERIFICA).

� Las cargas deben ser únicamente gravitatorias, uniformemente distribuidas y

la sobrecarga debe ser menor que 2 veces la carga permanente. (VERIFICA).

� La rigidez relativa de vigas, debe ser: 0,2 ≤ 2

12

2

21

l.

l.

αα

≤ 5 en nuestro caso es α1 =

α2 y l1 = l2 . (VERIFICA).

Figura 4.

5.1. Momento mayorado total. M0 = 1/8 . wu . l2 . (ln)2 M0 = 1/8 . 9,2 . 6,00 . 5,702 = 224,18 kNm. 5.2. Distribución de momentos positivos y negativos. Según art. 13.6.3.2 y 13.6.3.3 CIRSOC 201-2005 Tramos interiores: Momento (-) = 0,65 M0 = -145,72 kNm Momento (+) = 0,35 M0 = 78,46 kNm Tramos exteriores: Momento (-) interno = 0,70 M0 = -156,93 kNm Momento (+) = 0,57 M0 = 127,78 kNm Momento (-) externo = 0,16 M0 = -35,87 kNm 5.3. Distribución de momentos flectores entre franja columna y franja intermedia. La distribución de momentos flectores entre la franja “columna” y la franja “in-termedia”, depende de:

� La relación entre las luces de tramos en las diferentes direcciones: l2/l1= 1.

� La rigidez relativa entre viga y losa, para la dirección analizada: α1 x l2/l1 = 4,2 (ver punto 3.2).

� El grado de restricción rotacional de las vigas transversales a la dirección ana-lizada, mediante el parámetro βt .

βt = scs

cb

IECE

2

siendo: C = Σ(1-0,63 x/y).x3.y/3 =166393 cm4 Is = 300 . 153 / 12 = 84375 cm4 Ecb = Ecs Resulta: βt = 0,98

Figura 5

Momentos flectores en Franja columna . (s/13.6.4.)(1)

Tramos interiores : Momento (-) = 0,75 .(-145,72) = -109,29 kNm Momento (+) = 0,75 .78,46 = 58,84 kNm Tramos exteriores : Momento (-) interno = 0,75 .(-156,93) = -117,69 kNm Momento (+) = 0,75 . 127,78 = 95,84 kNm Momento (-) externo = 0,90 .(-35,87) = -32,28 kNm

(el coef. 0,90 se obtiene por interpolación entre los va-

lores dados para βt = 0 y βt = 2,5 ). Momentos flectores en Franja intermedia . (s/13.6.6.)(1)

Tramos interiores : Momento (-) = 0,25 .(-145,72) = -36,43 kNm Momento (+) = 0,25 .78,46 = 19,62 kNm Tramos exteriores : Momento (-) interno = 0,25 .(-156,93) = -39,23 kNm Momento (+) = 0,25 . 127,78 = 31,95 kNm Momento (-) externo = 0,10 .(-35,87) = -3,58 kNm

5.4. Momentos flectores en losas. En las franjas de columnas, las vigas deben resistir el 85% de los momentos flectores calculados (s/13.6.5.)(1), por lo que en zonas de franja de columnas, las lo-sas deberán resistir el 15% de los momentos antes calculados. Dado que la franja columna externa toma 1,50m de ancho, la franja columna interna e intermedia, toma 3,00m de ancho. Los Momentos obtenidos son los totales para ese ancho, pudiendo resumir las solicitaciones por metro de ancho en losas de la manera siguiente: Momentos flectores de losas en la zona de Franja Columna Externa. Tramos interiores : Momento (-)= -109,29 . 0,15 / 1,50 = -10,93 kNm Momento (+) = 58,84 . 0,15 / 1,50 = 5,88 kNm Tramos exteriores : Momento (-) interno= -117,69 . 0,15/1,50 = -11,77 kNm Momento (+) = 95,84 . 0,15 / 1,50 = 9,58 kNm Momento (-) externo= -32,28 . 0,15 / 1,50 = -3,23 kNm Momentos flectores de losas en la zona de Franja Columna Interna. Tramos interiores : Momento (-)= -109,29 . 0,15 / 3,00 = -5,47 kNm Momento (+) = 58,84 . 0,15 / 3,00 = 2,94 kNm Tramos exteriores : Momento (-) interno= -117,69 . 0,15 / 3,00 = -5,88 kNm Momento (+) = 95,84 . 0,15 / 3,00 = 4,79 kNm Momento (-) externo= -32,28 . 0,15 / 3,00 = -1,61 kNm Momentos flectores de losas en la zona de Franja Intermedia. Advirtiendo que la franja intermedia tiene 3,00m de ancho. Tramos interiores : Momento (-)= -36,43 / 3,00 = -12,14 kNm Momento (+) = 19,62 / 3,00 = 6,54 kNm Tramos exteriores : Momento (-) interno= -39,23 / 3,00 = -13,08 kNm Momento (+) = 31,95 / 3,00 = 10,65 kNm Momento (-) externo= -3,58 / 3,00 = -1,19 kNm Todos estos valores se resumen en la Figura 6.

Figura 6

6. MOMENTOS FLECTORES EN LOSAS S/ MÉTODO NUMÉRICO E XACTO. Se utiliza en este caso para la determinación de momentos flectores en losas el método de los Elementos Finitos , implementado mediante la versión libre del programa de computación “SAFE” (4).

A los fines de análisis, se han considerado cuatro dimensiones de vigas dife-rentes:

� Caso 1: vigas 20x60 cm.

� Caso 2: vigas 25x45 cm.

� Caso 3: vigas 70x20 cm. (vigas chatas)

� Caso 4: sin vigas.

Se adoptaron espesores de losa que verifiquen las prescripciones de CISOC 201-2005.

Caso 1 : Momentos Flectores en Losas para vigas 20x60. (hlosa=15cm) – Figura 7.

-18,98 -18,98

7,6113,44 13,44

MOMENTOS FLECTORES S/ SAFE (kNm/m )

-2,92 -2,92FRANJA INTERMEDIAINTERNA

-17,85 -17,85

5,0110,44 10,44

-2,86 -2,86

FRANJA COLUMNAINTERNA

-13,19

6,229,62 9,62

-3,38 -3,38

FRANJA COLUMNABORDE -13,19

-17,59 -17,59

5,0410,46 10,46

-4,25 -4,25

FRANJA INTERMEDIABORDE

Figura 7.

Caso 2: Momentos Flectores en Losas para vigas 25x45 (hlosa=15cm). – Figura 8.


VARIANTE VIGAS 25 x 45

-22,65 -22,65

6,9813,88 13,88

-4,44 -4,44

FRANJA INTERMEDIA-19,29 -19,29

8,3315,85 15,85

-2,65 -2,65


-7,07

7,0911,73 11,73

-3,77 -3,77

FRANJA COLUMNABORDE

-7,07

Figura 8.

Caso 3: Momentos Flectores en Losas c/vigas (chatas) 70x25 (hlosa=18cm).-Figura 9.

MOMENTOS FLECTORES S/ SAFE (kNm/m )VARIANTE VIGAS 70 x 25

-38,25 -38,25

13,3824,95 24,95

-8,98 -8,98


11,4924,07 24,07

-0,05 -0,05


-22,64

11,9120,88 20,88

-5,54 -5,54

FRANJA COLUMNABORDE

-22,64

Figura 9

Caso 4: Momentos Flectores en Losas sin vigas. – Figura 10.

Se adopta espesor losa h = 0,20m (s/art. 9.5.3.2.(1), tabla 9.5: hmin= ln /30=190 mm) Con el fin de poder compara resultados se ha mantenido la carga total de cálculo.


VARIANTE SIN VIGAS

-67,15 -67,15

21,0837,77 37,77

-14,67 -14,67


15,2633,25 33,25

3,69 3,69


-50,68

22,6136,57 36,57

-16,17 -16,17

FRANJA COLUMNABORDE

-50,68

Figura 10.

7.- TABLA RESUMEN. En Tabla 1 se resumen los valores de momento flector en losas calculados.

TABLA 1 - MOMENTO FLECTORES EN LOSAS EN [kNm/m]

DENOMINACIÓN MOMENTO

Variante vigas 20x60 Calculados s/Método:

Calculados s/Método de Elementos Finitos

Coef. Löser CIRSOC 201-2005

Elementos Finitos

Variante Vigas 25x45

Variante Vigas (cha-ta) 70x25

Variante Sin Vigas

FRANJA COLUMNA BORDE

X1UXcol -1,49 ** -3,23 -3,38 -3,77 -5,54 -16,17

M1UXcol 4,46 ** 9,58 9,62 11,73 20,88 36,57

X1-2UXcol -9,78 ** -11,35* -13,19 -7,07 -22,64 -50,68

M2UXcol 3,74 ** 5,88 6,22 7,09 11,91 22,61

FRANJA INTERMEDIA BORDE

X1UX -2,97 -1,19 -4,25 -3.66 -0.94 +3.91

M1UX 8,92 10,65 10,46 15.49 23.01 32.84

X1-2UX -19,55* -12,61* -17,59 -16.76 -17.30 -19.75

M2UX 7,49 6,54 5,04 9.67 12.68 17.68

FRANJA COLUMNA INTERNA

X3UXcol -1,49 ** -1,61 -2,86 -4,44 -8,98 -14,67

M3UXcol 4,46 ** 4,79 10,44 13,88 24,95 37,77

X3-4UXcol -9,78 ** -5,67* -17,85 -22,65 -38,25 -67,15

M4UXcol 3,74 ** 2,94 5,01 6,98 13,38 21,08

FRANJA INTERMEDIA INTERNA

X3UX -2,18* -1,19 -2,92 -2,65 -0,05 +3,69

M3UX 6,55 10,65 13,44 15,85 24,07 33,25

X3-4UX -13,80* -12,61 * -18,98 -19,29 -23,01 -26,49

M4UX 5,94 6,54 7,61 8,33 11,49 15,26

* Valores de momento flector promedio para los tramos adyacentes. ** Valores deducidos aplicando art.20.1.6. de CIRSOC 201-1982.

8.- CONCLUSIONES. De la observación y análisis de los valores calculados, es posible arribar a las si-guientes conclusiones:

1. Cuando las losas apoyan en vigas suficientemente rígidas, como para consi-derarlas indeformables, los valores de momento flector en apoyos en zonas o franjas centrales de las losas (zonas denominadas “franja intermedia”) son del mismo orden de magnitud para cualquiera de los métodos de cálculo utiliza-dos.

2. La aplicación de los criterios de distribución de momentos flectores en losas, deducida a partir del art.20.1.6. de CIRSOC 201-1982, conduce a momentos flectores en zonas próximas a vigas (zonas denominadas “franja columna”), lejanos a los valores asumidos como reales y obtenidos por aplicación del método de elementos finitos.

3. Con la aplicación de métodos clásicos para el cálculo de momentos flectores, mediante coeficientes de momento tabulados, se obtiene valores cercanos a los reales para el caso de losas apoyadas en vigas lo suficientemente rígidas, pero cuando se diseñan vigas de apoyo esbeltas (h ≤ L /13), la aplicación de estos métodos conduce a valores lejanos e inferiores a los reales.

4. La aplicación del “Método de Diseño Directo” según el art. 13.6., CIRSOC 201-2005 conduce a valores de momento flector satisfactoriamente muy cer-canos a los reales, en el caso que las vigas de apoyo sean lo suficientemente rígidas como para considerarlas indeformables.

5. En general para vigas de altura h ≤ l /13 la utilización de métodos tradiciona-les de cálculo que consideran a las losas con apoyos de borde indeformables conduce a valores de momentos flectores lejanos a los reales, por lo que se sugiere para el caso de una resolución manual seguir los lineamientos del método simplificado propuesto por el CIRSOC 201-2005, o bien la utilización de software específico.

9.- BIBLIOGRAFÍA. (1) REGLAMENTO CIRSOC 201-2005 – Reglamento Argentino de estructuras de

hormigón armado – Edición 2005 – Instituto nacional de tecnología industrial.

(2) BENNO LÖSER – Hormigón Armado – Métodos de cálculo y dimensionamiento con tablas y ejemplos numéricos. 8va. Edición. El Ateneo.

(3) REGLAMENTO CIRSOC 201-1982 – Reglamento Argentino de estructuras de hormigón armado – Edición 1982 – Instituto nacional de tecnología industrial.

(4) Software SAFE v12 - Slab analysis finite element method – Versión de evaluación libre. (http://www.csiamerica.com/safe)

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