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Artículo Revista de Aplicaciones de la Ingenieria Diciembre 2016 Vol.3 No.9 160-169

Comparación de la solución analítica y numérica de la ecuación de difusión de

calor unidimensional en estado transitorio aplicado a un muro

RUIZ, Francisco†*, HERNÁNDEZ, Enrique, AGUILAR, Karla y MACÍAS, Edgar.

Recibido Julio 11, 2016; Aceptado Agosto 12, 2016

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Resumen

La simulación numérica computacional es una herramienta

empleada para modelar un fenómeno físico mediante la

resolución de las ecuaciones gobernantes con el fin de obtener

una solución sin la necesidad de construir un modelo real. En

este estudio la transferencia de calor en régimen no estacionario

fue simulada analíticamente y posteriormente se comparó con

una solución numérica utilizando tres criterios: implícito,

explícito y Cranck-Nicholson. La muestra estudiada fue un

muro de mampostería común expuesto a 48 horas de

transferencia de calor por conducción y convección en una

dirección. La transferencia de calor fue resuelta mediante el

método de volumen finito. Para tal fin, un código numérico en

MATLAB fue desarrollado para discretizar el medio, definir las

ecuaciones de equilibrio en cada nodo de la malla y

posteriormente resolver las ecuaciones de equilibrio de

temperaturas usando una matriz tridiagonal y el Algoritmo de

Thomas. El uso de cada esquema de cálculo depende de la

magnitud del diferencial de espacio de la malla de estudio y del

diferencial de tiempo. Las diferencias promedio en los puntos

de interés fueron desde 4% hasta 10% dependiendo del paso de

tiempo y espacio.

Transferencia de calor, Algoritmo de Thomas, solución

numérica

Abstract

At present the methods of construction have been evolving and

one seeks to obtain new materials of construction of housings

and buildings looking that are more amicable with the

environment and affecting positively the consumer's pocket,

knowing that already there exist enough products that are in use

for the construction of housings and buildings and knowing that

not they all strike favorably to the environment and the

economy, we seek to create a product that expires with the

requirements of contributing favorably to the environment on

having used material that already is a waste and to recycle it to

create a sustainable partition that favors the economy of the

consumer to the being an insulating product, besides the fact

that this partition does not need to be burned in ovens that

generate a great pollution. These sustainable partitions are

realized by a cellulose mixture in and other amicable materials

by the environment and do not damage the ecosystems to the

moment to process this product. In this project technology was

in use thermography as parameter of thermal efficiency, on tests

having fulfilled him and to compare it with other similar

products that are in use in the region northwest of the country,

giving as result that the insulating sustainable partition I

present better results.

Heat Transfer, Thomas Algorithm, numerical solution

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Citación: RUIZ, Francisco, HERNÁNDEZ, Enrique, AGUILAR, Karla y MACÍAS, Edgar. Comparación de la solución

analítica y numérica de la ecuación de difusión de calor unidimensional en estado transitorio aplicado a un muro. Revista de

Aplicaciones de la Ingeniería 2016, 3-9: 160-169

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* Correspondencia al Autor (Correo Electrónico: [email protected])

† Investigador contribuyendo como primer autor.

© ECORFAN-Bolivia www.ecorfan.org/bolivia

ISSN-2410-3454

ECORFAN® Todos los derechos reservados

RUIZ, Francisco, HERNÁNDEZ, Enrique, AGUILAR, Karla y

MACÍAS, Edgar. Comparación de la solución analítica y numérica de

la ecuación de difusión de calor unidimensional en estado transitorio

aplicado a un muro. Revista de Aplicaciones de la Ingeniería 2016

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Introducción

Los muros de las edificaciones están expuestos a

los tres mecanismos de transferencia de calor:

conducción, debido a la diferencia de

temperaturas entre el interior y el exterior;

radiación, debido a la actividad solar; y

convección, debido al flujo de masas de aire

sobre las superficies del muro. Todos estos

mecanismos pueden ser representados por

modelos analíticos y numéricos para aproximar

y evaluar las diferentes variables del fenómeno.

Los métodos analíticos pretenden obtener

soluciones exactas de un experimento físico en

el cual la geometría es fácilmente descrita

usando un sistema de referencia. Este método

emplea la ecuación diferencial que describe el

problema y sus condiciones de frontera son

requeridas para solucionar el problema. Por el

otro lado, los métodos numéricos son requeridos

cuando la geometría del sistema es compleja, las

condiciones de frontera son dependientes del

tiempo y las propiedades del sistema son función

de la temperatura. Las diferencias entres estos

dos métodos en ocasiones son tan pequeñas que

no existen mayores implicaciones durante la

discusión de los resultados. Pero es necesario

asegurarse que todas las variables son

representadas de la manera adecuada en las

ecuaciones.

Se han publicado muchas

comparaciones entre estas dos maneras de

obtener resultados, Wang et al, (2014) 1

determinó que las diferencias más grandes entre

ambos métodos se presentan durante el inicio

del experimento, pero que después de un

tiempo los modelos convergen a soluciones

similares.

También, fue determinado que las

diferencias son mayores cuando los valores de

las propiedades del sistema tienen una magnitud

elevada, caso análogo cuando las propiedades

son pequeñas. Missoum et al, (2013) 2 obtuvo

datos para ambos métodos, mostrando gran

diferencia entre ellos por no tener en cuenta

muchas variables en el método analítico, se

sugiere emplear una cámara caliente con guarda

con el fin de conocer que método es el más

preciso.

Antes de la construcción de cualquier

diseño experimental es necesario representar el

matemácio con el objetivo de tener el

conocimiento necesario para valorar los

resultados obtenidos mediante le trabajo

experimental y determinar cuáles son

los parámetros más sensibles para tener en

cuenta. El objetivo de éste estudio es

representar el diseño numérico y analítico de un

proceso de transferencia de calor en una

dirección, bajo condiciones no estacionarias, a

través de un muro con condiciones de frontera

de tercera clase en ambos lados del mismo.

Éste trabajo forma parte del diseño,

construcción y calibración de una Cámara

Caliente con Guarda que se emplea para

determinar los coeficientes de transferencia de

calor y masa en muros de edificios con el fin de

obtener la información necesaria para realizar

un diseño adecuado de los edificios.

Descripción del método numérico

Considérese una pared aislada en sus extremos

superior e inferior, como se muestra en el

Gráfico 1. Las otras dos caras de la pared se

encuentran a temperaturas diferentes.

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Propiedad Magnitud

Grosor, cm 10 Conductividad Térmica, W/ (m°C)

0.8

Calor específico, J/kg º C 900

Densidad, kg/m³ 1400

La temperatura exterior varía de forma

sinusoidal y la temperatura en la parte interior

permanece constante. Las fronteras en ambos

lados de la muestra son convectivas y las

fronteras restantes son adiabáticas. La

distribución inicial de temperaturas es uniforme

con el mismo valor que la temperatura interior.

El proceso de transferencia de calor en

régimen no estacionario se describe mediante la

ecuación diferencial:

= ( ) (1)

Las propiedades físicas de los materiales

que componen el muro se describen en la Tabla

1.

Grafico 1 Configuración del muro

Tabla 1 Propiedades físicas de la mampostería.

Gráfico 2 Condiciones de frontera.

La transferencia de calor se realiza en

una sóla dirección, horizontal; y bajo régimen

no estacionario. Las condiciones de frontera

que se presentan son en ambos lados de Tercera

Clase o de convección. En el Gráfico 2 se

presentan las condiciones de frontera a ambos

lados de la pared. Para la transferencia

de calor unidimensional en la dirección x, en

una placa de espesor L, las condiciones de

frontera sobre ambas superficies se pueden

expresar como:

Donde: h es el Coeficiente convectivo

operante en cada superficie expuesta y T∞ es

la Temperatura ambiente a cada lado del muro.

Para el lado interno del muro se

definen los parámetros iniciales mostrados en

la Tabla 2. Mientras que para el lado exterior

del muro, los parámetros iniciales son los

mostrados en la Tabla 3.

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Tabla 2 Condiciones interiores de temperatura

Tabla 3 Condiciones externas de temperatura.

Como la temperatura externa es

dependiente del tiempo, se tiene un proceso de

transferencia de calor en régimen transitorio.

La temperatura externa está definida por la

Ecuación (4), que define la temperatura

ambiente externa para un periodo de 24 horas.

Se empleó el método del elemento finito

(MEF) para resolver el problema [3]. El MEF

es un método numérico para la resolución de

ecuaciones diferenciales, el cual se basa en

dividir el cuerpo, estructura o dominio (medio

continuo) sobre el que están definidas ciertas

ecuaciones integrales que caracterizan el

comportamiento físico del problema, en una

serie de subdominios no intersectantes entre sí

denominados elementos finitos. El conjunto de

elementos finitos forma una partición del

dominio también llamada discretización. Dentro

de cada elemento se distinguen una serie de

puntos representativos llamados nodos. El

conjunto de nodos considerando sus relaciones

de adyacencia se conoce como malla. De

acuerdo con estas relaciones de adyacencia o

conectividad se relaciona el valor de un

conjunto de variables incógnitas definidas en

cada nodo y denominadas grados de libertad.

El conjunto de relaciones entre el valor

de una determinada variable entre los nodos se

puede escribir en forma de sistema de

ecuaciones lineales, la matriz de dicho sistema

de ecuaciones se llama matriz de riguidez del

sistema. El número de ecuaciones de dicho

sistema es proporcional al número de nodos.

La solución numérica de una ecuación

diferencial de transferencia de calor consiste en

fijar un numéro de puntos del sistema del cual se

obtendrán valores de temperatura y se construirá

una distribución de temperaturas. Esta

distribución de temperaturas debe ser definida

mediante una discretiación del dominio físico en

el que se desarrolla la transferencia de calor en

subdominios que conformarán una malla de

nodos interconectados. Una discretización típica

del dominio se representa en el Gráfico 3.

Grafico 3 Discretización del medio físico.

Las ecuaciones de

discretización se citan a continuación:

La Ecuación (6) describe el

fenómeno físico mediante la ecuación de

equilibrio.

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Factor de peso

Para ciertos valores de factor de peso f, la

discretización de la ecuación se reduce a un

esquema de ecuaciones conocidas, las cuales se

describen a continuación:

Método explícito (f=0), asume que los

valores en el instante de tiempo anterior

prevalecen a lo largo del intervalo de tiempo de

análisis t+Δt.

Método implícito (f=1), postula que

en el tiempo t, Tp pasa de y

posteriormente permanece en durante

todo el intervalo de análisis, por lo que el

nuevo valor de tempertura está

caracterizado por 1

Método de Crank-Nicholson (f=0.5),

indica una variación lineal de Tp. A primera

vista, la variación lineal parecería más sensible

que los otros dos esquemas, por considerar por

igual valores adelantados y retrasados.

Con los coeficientes obtenidos con las

ecuaciones descritas anteriormente se procede a

construir una matriz tridiagonal, en la cual su

diagonal principal contiene los valores

relacionados al nodo P, la matriz inferior a la

diagonal contiene los coeficientes del nodo W y

la diagonal superior a la principal representa los

coeficientes del nodo E. En la Ecuación (12) se

muestran las matrices y vectores resultantes para

un mallado de 5 nodos. El vector de resultados

contiene las temperaturas en cada nodo

delmallado del sistema. La multiplicación de la

matriz de coeficientes por el vector de resultados

da como resultado el vector de constantes, para

el cual el primer valor y el último dependen de

las condiciones de frontera definidas, para el

caso de condiciones de tercera clase, se

considera el producto del coeficiente convectivo,

la conductividad térmica, el diferencial de

longitud y la temperatura ambiental de ese lado

de la frontera [4].

Descripción del método analítico

Considerando la pared descrita en el Gráfico 1

se plantea un modelo matemático bajo las

siguientes consideraciones:

- La distribución inicial de temperaturas y las

propiedades físicas de la pared son homogéneas.

- Los coeficientes convectivos y la temperatura ambiente son uniformes sobre

la muestra, es decir, no dependen de la posición.

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Con las consideraciones anteriores el problema

puede ser reducido a un modelo

unidimensional [5]. La ecuación gobernante

que rige el fenómeno es la siguiente:

Ecuación gobernante

Condiciones de frontera:

Mismas condiciones de frontera que en el

planteamiento del método analítico. Consultar

ecuaciones (2) y (3).

Variación transitoria de la temperatura

ambiente externa:

Solución del modelo matemático

Para la solución del modelo matemático se

sigue el siguiente procedimiento:

Paso 1 se realiza un cambio de variable para

reducir el número de fronteras no homogéneas

de la siguiente forma:

Paso 2.- Resolver para el problema auxiliar en

estado transitorio para una función con

excitación unitaria.

Paso 2.1- Resolver la parte permanente del

problema auxiliar.

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Paso 2.2- Solución de la parte transitoria del

problema auxiliar.

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Paso 3. Aplicando el teorema de Duhamel la

solución obtenida tiene la forma:

Resultados

Debido a la gran cantidad de resultados

obtenidos, se ha obtenido un promedio de las

temperaturas entre los tres esquemas numéricos

de cálculo y la diferencia promedio entre el

método numérico y el analítico en los tres puntos

de interés del muro de mampostería. El Gráfico

4 muestra el proceso de 48 horas para el esquema

explícito numérico, estableciendo un paso de

tiempo de 1 segundo y 7 nodos de análisis.

Mientras que en el Gráfico 5 se representan los

la comparación de los tres esquemas de cálculo

para un intervalor pequeño, en donde se muestra

que no hay variaciones significativas y se podría

considerar que para este caso de estudio los tres

esquemas proporcionan resultados iguales.

Por otra parte, los resultados obtenidos

mediante la simulación analítica se presentan en

el Grafico 6.

Gráfico 4 Resultado

Gráfico 5 Resultado para dt=30 y 7 nodos.

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Gráfico 6 Resultado método analítico

Gráfico 7 Diferencias entre método analítico y numérico.

El gráfico 6 muestra las diferencias

entre el promedio de temperaturas de los tres

esquemas numéricos en comparación con el

método analítico. Como se mustra, las

temperaturas tienden a varias en los primeros

momentos del análisis para después tomar

comportamientos relativamente estables.

Ambos métodos convergieron a una

solución muy aproximada entre sí, con valores

absolutos de diferencia de sólo 2.34 °C, lo cual

para los fines de cálculo que se pretenden

realizar se considera una incertidumbre

tolerable.

La Tabla 4 resume las diferencias

obtenidas entre los promedios de las

temperaturas obtenidas en el punto interno,

central y externo con respecto a los resultados

obtenidos en el método analítico. En éste caso

se presentan los resultados obtenidos para el

paso de tiempo de 1 segundo con las cantidades

de nodos de discretización del medio de 7, 11,

15, 19 y 23 nodos.

En éste estudio el paso de tiempo y

cantidad de nodos de la discretización del

medio no jugaron un papel trascendete como

para marcar fuerte diferencias de resultados.

Esto debido a que en sólo 2 simulaciones no se

cumplió la igualdad que requiere el esquema

explícito para poder calcular temperaturas,

mientras que en el resto de las

simulaciones, el valor que relaciona el paso

de tiempo y de espacio se encontró muy lejos

del valor crítico.

La Tabla 5 muestra las desviaciones

estándares de los promedios de diferencias

entre los esquemas del método numérico y el

método analítico

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Agradecimiento

Se agradece al CONACYT por el

financiamiento otorgado para el desarrollo de

este proyecto, y a la Universidad Juárez

Autónoma de Tabasco por las facilidades para

la ejcución del mismo.

Conclusiones

Los resultados obtenidos mediante la

simulación numérica en los tres esquemas

para las mismas magnitudes de paso de

tiempo y número de nodos difieren de manera

insignificativa entre sí, se cuantficaron

variaciones del orden de 0.003%. Por lo que, se

concluye que los tres esquemas de cálculo

proporcionan resultados prácticamente iguales.

Por otro lado, las diferencias entre

métodos analíticos y numéricos fueron

cuantificadas con valores promedio en el punto

interior de 4.45%, en el punto central de 6.96%

y en el nodo externo de 9.84%. Las notables

diferencias de variaciones de temperatura entre

los nodos analizados se atribuye a que en el

nodo externo, que es donde opera una

temperatura externa transitoria, se presentan

mayores rangos de temperatura máxima y

mínima.

Por lo tanto, estos resultados son mas

susceptibles de variar fuertemente, cosa que se

confirma con la desviación estándar de 3.85%

calculada en tal punto, mientras que en el nodo

interno fue únicamente de 1.54%.

Referencias

[1] Sushas V. Patankar . (1980). Numerical Heat

Transfer and Fluid Flow. Minesota: Hemisphere

Publishing Coorporation.

[2] A Missoum. (2013). Numerical Simulation

of Heat Transfer through a Double-walled

Facade Building in Arid Zone . Energy

Procedia, 36, 834-843.

[3] Sushas V. Patankar . (1980). Numerical Heat

Transfer and Fluid Flow. Minesota: Hemisphere

Publishing Coorporation.

[4] David Incropera. (2011). Fundamentals of

Heat and Mass Transfer. New Jersey: John

Wiley & Sons.

[5] David W. Hahn. (2012). Heat

Conduction. John Wiley & Sons: New

Jersey.

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