Tema 3: Compacidad

(1) Sean (X, ) un espacio topologico Hausdorff y A X un subconjunto compacto.Probar que el conjunto de puntos de acumulacion de A es tambien compacto.

(2) Sea (X, ) un espacio topologico, y sean A1, . . . , An X subconjuntos com-pactos. Probar que nj=1Aj es compacto.

(3) Sean a, b dos elementos no contenidos en un conjunto infinito X. LlamemosY = X {a, b} y consideremos = P(X){Y }. Probar que es una topologaen Y, y que (Y, ) tiene dos subconjuntos compactos cuya interseccion es nocompacta.

(4) Si (X, ) es T2 y A,B X son subconjuntos compactos, probar que A B escompacto. Sera el resultado cierto si B fuese tan solo cerrado?.

(5) Si (X, ) es compacto, Hausdorff y con un unico punto de acumulacion x0, probarque los abiertos de X que contienen a x0 son justamente los subconjuntos concomplementario finito, que contienen a x0.

(6) Sea (X, ) un espacio topologico T2, y sea {Kn}nN una sucesion estrictamentedecreciente de compactos no vacios en X. Probar que

(i) K = n=1Kn es un compacto no vaco.(ii) Si O es un abierto conteniendo a K, entonces existe N N tal que Kn O

para todo n N.(7) Estudia la compacidad de los siguientes espacios, todos ellos dotados de la

topologa eucldea:

(i) {1/n | n N}(ii) {(x, sin(1/x)) | x R {0}} {(0, y) | y [1, 1]}.

(iii) {(0, y) | y [1, 1]}[nNB(( 1n , 0), 1n(n+1))

], donde B(p, r) representa la

bola eucldea de centro p R2 y radio r.(8) Encontrar un ejemplo de espacio topologico (X, ) y subconjunto A X tales

que A no es compacto y A s lo es.

(9) En el intervalo [0, 2) consideramos la topologa = {O [0, 2) | [0, 1] O} {}. Probar que A = [0, 1] es un subespacio compacto de ([0, 2), ), pero A nolo es.

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(10) En R se considera la topologa = {(a, b) | a < b}{(a, b)Q | a, b Q, a < b}.Demostrar que [0, 1] no es un subespacio compacto de (R, ).

(11) Sea f : (X1, 1) (X2, 2) una aplicacion entre espacios topologicos compactosy T2. Probar que f es continua si y solo si Graf(f) es un subespacio cerrado de(X1 X2, (1 2)).

(12) En el intervalo (0, 1) se considera la topologa = {(0, 1 1/n) | n N} {, (0, 1)}. Probar que A (0, 1) es compacto en ((0, 1), ) si y solo si supA < 1.

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