EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALES

EL CONJUNTO DE LOS NMEROS REALESLos nmeros reales R

Los nmeros Naturales (N)

Es un conjunto de nmeros enteros y es ordenado N = {1, 2, 3,, 9, 10, 11, 12,}

El cero, a veces, se excluye del conjunto delos nmeros naturales.Permiten realizar las 4 operaciones bsicas: suma, resta, multiplicacin y divisin, adems de operaciones que combinadas Los nmeros Naturales (N)

Cero: cantidad nulaConjunto de nmeros Primos: estos elementos pueden definirse como aquellos nmeros que no tienen mas divisores que ellos mismos y la unidad P= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,}Conjunto de nmeros compuestos: los nmeros compuestos son mltiplos de aquellos que son sus factores.C={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18}Los nmeros Naturales (N)

Conjunto de nmeros compuestos: ejemplo: 12 es un mltiplo de 2, 3, 4 y 6

12222222333344466Los nmeros Naturales (N)y sus operaciones AdicinLos trminos se llaman sumandos y el resultado suma a + b = c

SustraccinLos trminos de la resta son: Minuendo y Sustraendo. Al resultado se llama Diferencia. a - b = c

CLAUSURATIVA a + b NASOCIATIVA (a + b) + c = a + (b + c)CONMUTATIVA a + b = b + aMODULATIVA a + 0 = aEl resultado de restar dos nmeros naturales no siempre es otro nmero natural.No es Conmutativa: a - b b - a2 5 N5 2 2 5Los nmeros Naturales (N)y sus operaciones MULTIPLICACINLos trminos se llaman factoresy el resultado producto a b = c

DIVISION

CLAUSURATIVA a b NASOCIATIVA (a b) c = a (b c)CONMUTATIVA a b = b aMODULATIVA a 1 = aNo es Conmutativa: a b b a2 5 N5 2 2 5DISTRIBUTIVA a (b + c) = a b + a cEl resultado de dividir dos nmeros naturales no siempre es otro nmero natural.Cero dividido entre cualquier nmero da cero0 5 = 0Ejemplos de aplicacin de nmeros naturales.Se realiza un conteo de los alumnos que se inscribieron a la carrera de administracin en los ltimos 3 aos 2011 162012 312013 45Cuantos alumnos tenamos en total en el ao 2012?

Cuantos alumnos tenemos en total en el ao 2013?

Cual es el promedio de alumnos que se inscribieron por ao? 45 alumnos / 3 aos = 15

0 16 15 14 2011 2012 2013 0 + 16 + 15 = 31 2011 2012 2013 0 + 16 + 15 + 14 = 45 2011 2012 2013 Nmeros Enteros (Z)En el sistema de los nmeros naturales ecuaciones del tipo X + 1 = 0, no tienen solucin, as como otras situaciones de la vida real como, deudas, depresiones del terreno, nivel bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, que no es posible representarlas con tales nmeros. Surge as la necesidad de extender el sistema de los nmeros naturales a un nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sean posibles. En general los nmeros enteros es la unin de los nmeros enteros positivos y los nmeros enteros negativos:

Z = {,-11, -10,-9,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,,9, 10, 11,}

Adems de sumarse y multiplicarse en todos los casos, pueden restarse, por lo que esta estructura mejora a la de los naturales. Operaciones con nmeros enteros

Video de solucin de problemas http://www.youtube.com/watch?v=Sj9rThGLz9QEjemplos de aplicacin de nmeros enteros.Pedro es un estudiante desea reconocer los posibles gastos que va a realizar el siguiente mes, tomando en cuenta lo siguiente:$2500 inscripcin, $2000 mensualidad, pero el gana al mes $1700 y lleva solamente trabajado un mes, cuanto dinero tiene que conseguir para poder seguir estudiando1700 + X + ( 2500) + ( 2000) = 01700 2500 2000 + X = 0-2800 + X = 0X = 2800

-4500 = -2000 + -2500 0 1700 + X = 4500Nmeros Racionales (Q)En general los nmeros racionales son los que se pueden expresar como cociente de dos nmeros enteros. El conjunto de los nmeros racionales est compuesto por los nmeros enteros y por los fraccionarios. Se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo por cero) y el resultado de todas esas operaciones entre dos nmeros racionales es siempre otro nmero racional.Adems de que se puede aplicar el sistema decimal

http://www.youtube.com/watch?v=E5abcq22aE8Nmeros Racionales (Q) y sus operaciones

Ejemplos de aplicacin de nmeros racionales.2do paso realizar la suma de todos los elementosExamen 0 Tareas 3 3/10Participacin 2 2/10Exposicin 2_ 2/10Total 8.5 7/10

Nmeros Irracionales (I)Lo primero que se puede decir acerca de un nmero irracional es que no se puede expresar como una fraccin. Esta es la caracterstica que lo define como irracional. Como todo nmero racional tiene una expresin decimal que contiene, o bien un nmero finito de cifras decimales, o bien un nmero infinito de cifras formadas por la repeticin peridica de un nmero finito de cifras, se puede concluir que un nmero irracional tiene, en su expresin decimal, una cantidad infinita de cifras no peridicas. En otras palabras, todo nmero irracional tiene la caracterstica siguiente: Su expresin decimal no puede escribirse completa jams, porque jams se terminara de escribir una cantidad infinita de cifras decimales.Esto hace que sean nmeros realmente difciles de manejar si se quieren expresar con cierta exactitud. De hecho, con total exactitud no se les puede manipular en operaciones aritmticas por su misma naturaleza.

http://www.youtube.com/watch?v=YLuUvD_rVL8Nmeros Irracionales (I)Algunos nmeros irracionales son Muchas races cuadradas, cbicas, etc. tambin son irracionales. Ejemplos: 3 = 1,7320508075688772935274463415059 (etc.)99 = 9,9498743710661995473447982100121 (etc.)Pero 4 = 2, y 9 = 3, as que no todas las races son irracionales.Pi es un nmero irracional famoso. Se han calculado ms de un milln de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)eEl nmero e (el nmero de Euler) es otro nmero irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningn patrn. Los primeros decimales son: 2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)Ejemplos de aplicacin de nmeros irracionales.Se quiere conocer la longitud de la mitad de una circunferencia de radio de 20 m, para poder estimar la distancia que se recorrer en una carrera, sabiendo las siguientes equivalencias : SistemasDecimal Circular360 = 2 radY la formula para obtener la longitud de un arco es S= r = Angulo central en radianes

r= Radio S

Solucin: Si 360 = 2 rad=

S=()20m=62.831mrNmeros reales (R)El conjunto formado por todos los nmeros racionales y los irracionales es el de los nmeros reales, de modo que todos los nmeros Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales) son Reales. Estos nmeros ocupan la recta numrica punto a punto, por lo que se llama recta real. Entre los nmeros reales estn definidas las mismas operaciones que entre los racionales (suma, resta, multiplicacin y divisin, salvo por cero).RQZNLos nmeros Naturales (1,2,3,4)son un subconjunto de los nmeros enteros.

Los Enteros (-2, -1, 0, 1, 2,)son un subconjunto de los nmeros racionales.

Los nmeros racionales y los nmeros Irracionales I son un subconjunto de los nmeros reales , , ,, 1/2Nmeros imaginarios (I)Los Nmeros Imaginarios son las races pares de cantidades negativas. Por lo que la ecuacin X2= 1 no tiene solucin en el sistema de los nmeros reales, si se quiere dar un valor a la X, tal que X2= 1 , ste no puede ser un valor real, no tiene sentido matemtico sino tampoco en sentido tcnico. Por lo que se define un nuevo conjunto de nmeros (diferente del de los nmeros reales), el de los nmeros imaginarios.

UNIDAD IMAGINARIALa "unidad" imaginaria (el equivalente al 1 de los nmeros reales) es el numero 1 (la raz cuadrada de menos uno) y se representa por la letra i. En matemticas se usa i (de imaginario) en conclusin 1=ihttp://www.youtube.com/watch?v=hoVEwhN-UPcNmeros imaginarios (I)Ejemplo -4 = 4 * -1 = 2i PROPIEDAD INTERESANTELa unidad imaginaria, i, tiene una propiedad interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas: i * i = -1, -1 * i = -i, -i * i = 1, 1 * i = iEXPRESION DE UN NMERO IMAGINARIOLa unidad imaginaria es -1= i, con este concepto y los nmeros reales se puede expresar un numero imaginario, como un numero real multiplicado por la unidad imaginaria.

RESPRESENTACION DE LOS NUMEROSIMAGINARIOSLos nmeros Imaginarios se pueden representar en un eje imaginario o ejes de la y (ordenada), que adems es perpendicular al eje real o de las x (abscisa).

ADICION Y SUSTRACCION DE NUMEROS IMAGINARIOS i

Ejemplo de potencias de la unidad imaginaria i:Hallar el valor de i30 primero se divide 30 entre 4 y se determina el residuo 30/4= 7.5 30-(7*4) 30-28=2 residuoPor lo tanto i30 = i2 = -1i21 = i1 = -1 i16 = i4 = -1 i19 = i3 = -i

POTENCIAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA iEstas son de gran utilidad, en Exponentes bsicos de i:i= -1 i2= - 1 i3= - ii4= - 1Para saber que valor corresponde a una potencia de i, se divide el exponente de la potencia dada por 4 y se determina el residuo. Luego a la i le aplicamos ese residuo como exponente y comparamos con los exponentes bsicos. Se explica en el siguiente ejemploMULTIPLICACIN DE NUMEROS IMAGINARIOS i

Para multiplicar nmeros imaginarios se reduce ala forma bi y se operan algebraicamente teniendo en cuenta las potencias de la Unidad Imaginaria.

Ejemplo para (-64) ( -100)

Solucin:1. De la forma bi-64 = 64( - 1) = 8i;- 100 = 100( - 1) = 10i

2. Se operan algebraicamente teniendo encuenta las potencias de la UnidadImaginaria.-64 x - 100 = 8i x 10i= 80i2 = 80(- 1) = -80

(-121)( -144)(4-4)( 5-16)-49 -1(2-4 + 5-9)(3-16)Nmeros complejos

Expresin de la forma a + bi, en donde a y b son nmeros reales e i es imaginario. Estos nmeros se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemticas. En fsica e ingeniera los nmeros complejos se utilizan para describir circuitos elctricos y ondas electromagnticas. Representacin Grafica de los Nmeros ComplejosLos nmeros complejos de la forma a + bise escriben como una pareja ordenada de la forma(a, b)y cada pareja ordenada representa un punto en el plano. Llamado Plano Complejo.El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. Los nmeros complejos se representan grficamente en dos formas:Mediante un puntoMediante un vector

REPRESENTACION MEDIANTE UN PUNTOPara representar un nmero complejo mediante un punto, se expresa el nmero en forma de pareja ordenada y se ubica en elplano complejo Ejemplo: Represente mediante un punto el numero complejo 3 + 4i en un Plano complejo

REPRESENTACIN MEDIANTE UN VECTOREs el segmento que se traza desde el origen del plano hasta el punto generado, se denomina Vector

1. Represente mediante un punto los siguientes nmeros complejos-2 6i3 + 2i5 7i2. Represente en forma vectorial los siguientes nmeros complejos7 + 6i-4 3iOperaciones con Nmeros Complejos

(5 + 2 i) (2 3 i)= 10 15i + 4i 6 i2 = 10 11i + 6 = 16 11ihttp://www.youtube.com/watch?v=rODxTOszPJsDivisin de nmeros complejos

Efectu las siguientes divisiones:a. (9 - 3i) (-5 4i)b. (3 + -16) (5 + -49)c. (-53 + 23i) (-411 + 53i)Gracias por su atencin.