CÓMO SACAR JUGO AL CÓMO SACAR JUGO AL CUADRADO DE OPOSICIONCUADRADO DE OPOSICION

Alejandro Herrera IbáñezAlejandro Herrera Ibáñez

aherr@filosoficas.unam.mxaherr@filosoficas.unam.mx

EL CUADRADOEL CUADRADO

sAp sEpsAp sEp

sIp sOp sIp sOp

PROPOSICIONES PROPOSICIONES CATEGORICASCATEGORICAS

sAp Todos los S son PsAp Todos los S son P

sEp Ningún S es PsEp Ningún S es P

sIp Algunos S son PsIp Algunos S son P

sOp Algunos S no son PsOp Algunos S no son P

QUE SE PUEDE ENSEÑARQUE SE PUEDE ENSEÑAR

Destreza en dobles negativos.Destreza en dobles negativos. Negación interna y externa.Negación interna y externa. Modus PonensModus Ponens y y Modus TollensModus Tollens.. Falacia de negación del antecedente.Falacia de negación del antecedente. Fal. de afirmación del consecuente.Fal. de afirmación del consecuente. Metodología de la ciencia.Metodología de la ciencia. Relación con varias lógicas.Relación con varias lógicas. Más allá del cuadrado: cubo de oposición. Más allá del cuadrado: cubo de oposición.

LA OBVERSIONLA OBVERSION

sAp = sE~psAp = sE~p

sEp = sA~psEp = sA~p

sIp = sO~psIp = sO~p

sOp = sI~psOp = sI~p

REGLAREGLA

(1) pasar a la letra (1) pasar a la letra (sub)contraria(sub)contraria

(2) negar la letra (2) negar la letra del predicadodel predicado

EQUIVALENCIASEQUIVALENCIAS

sAp = sE~p = ~pEs = ~pA~ssAp = sE~p = ~pEs = ~pA~s

sEp = sA~p = pEs = pA~ssEp = sA~p = pEs = pA~s

sIp = sO~p = pIs = pO~ssIp = sO~p = pIs = pO~s

sOp = sI~p = ~pIs = ~pO~ssOp = sI~p = ~pIs = ~pO~s

CUADRADO CON CUADRADO CON EQUIVALENCIASEQUIVALENCIAS

sApsAp sE~p sE~p sEpsEp sA~p sA~p

~pA~s ~pEs pEs pA~s~pA~s ~pEs pEs pA~s

sIpsIp sO~p sO~p sOpsOp sI~p sI~p

pIs pO~s ~pO~s ~pIs pIs pO~s ~pO~s ~pIs

NEGACIÓN DE LA NEGACIÓN DE LA CONTRADICTORIACONTRADICTORIA

~(sAp) = sOp~(sAp) = sOp

~(sEp) = sIp~(sEp) = sIp

~(sIp) = sEp~(sIp) = sEp

~(sOp) =sAp~(sOp) =sAp

No todos* = No todos* = Algunos noAlgunos no

No es cierto que No es cierto que ninguno = Algunosninguno = Algunos

No es cierto que No es cierto que algunos = Ningunoalgunos = Ninguno

No es cierto que No es cierto que algunos no = algunos no = TodosTodos

DOBLES NEGATIVOS 1DOBLES NEGATIVOS 1

~(sA~p) (no todos los hombres son ~(sA~p) (no todos los hombres son ininfieles) = sO~p (algunos hombres fieles) = sO~p (algunos hombres nono son son ininfieles) = sIp (algunos fieles) = sIp (algunos hombres son fieles).hombres son fieles).

~(sE~p) (no es cierto que ningún hijo ~(sE~p) (no es cierto que ningún hijo es es iningrato) = sI~p (algunos hijos son grato) = sI~p (algunos hijos son ingratos) = sOp.ingratos) = sOp.

DOBLES NEGATIVOS 2DOBLES NEGATIVOS 2

~(sI~p) (no es cierto que algunos ~(sI~p) (no es cierto que algunos gobernantes no roban) = sE~p (*ningún gobernantes no roban) = sE~p (*ningún gobernante no roba) = sAp (todos los gobernante no roba) = sAp (todos los gobernantes roban).gobernantes roban).

~(sO~p) (No es cierto que algunos ~(sO~p) (No es cierto que algunos torturadores torturadores nono son son ininclementes) = sA~p clementes) = sA~p (todos los torturadores son inclementes) = (todos los torturadores son inclementes) = sEp (ningún torturador es clemente). sEp (ningún torturador es clemente).

NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN EXTERNA 1NEGACIÓN EXTERNA 1

~(sAp) ≠ sA~p. No todos ≠ todos no~(sAp) ≠ sA~p. No todos ≠ todos no ~(sEp) ≠ sE~p. No ning. ≠ ning. no~(sEp) ≠ sE~p. No ning. ≠ ning. no ~(sIp) ≠ sI~p. No alg. ≠ alg. no~(sIp) ≠ sI~p. No alg. ≠ alg. no ~(sOp)≠sO~p. No alg. no ≠ alg. No~(sOp)≠sO~p. No alg. no ≠ alg. No

No todos = algunos no.No todos = algunos no. No ninguno = algunos.No ninguno = algunos. No algunos = ninguno.No algunos = ninguno. No algunos no = Todos.No algunos no = Todos.

NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN EXTERNA 2NEGACIÓN EXTERNA 2

NoNo todos los que se adelanten serán todos los que se adelanten serán registrados = algunos que se registrados = algunos que se adelanten adelanten nono serán registrados. serán registrados.

O sea, ~(sAp) = sOp.O sea, ~(sAp) = sOp.

Todos los que se adelanten Todos los que se adelanten nono serán serán registrados = Ninguno que se registrados = Ninguno que se adelante será registrado.adelante será registrado.

O sea, sA~p = sEp.*O sea, sA~p = sEp.*

NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN EXTERNA 3NEGACIÓN EXTERNA 3

No es cierto que ningún soldado sea No es cierto que ningún soldado sea inteligente = algunos soldados son inteligente = algunos soldados son inteligentes.inteligentes.

O sea, ~(sEp) = sIp.O sea, ~(sEp) = sIp.

*Ningún soldado es no inteligente = *Ningún soldado es no inteligente = todos los soldados son inteligentes.todos los soldados son inteligentes.

O sea, sE~p = sAp. O sea, sE~p = sAp.

NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN EXTERNA 4NEGACIÓN EXTERNA 4

No es ciertoNo es cierto que algunos astronautas que algunos astronautas sean alcohólicos = ningún astronauta sean alcohólicos = ningún astronauta es alcohólico.es alcohólico.

O sea, ~(sIp) = sEp.O sea, ~(sIp) = sEp.

Algunos astronautas son no Algunos astronautas son no alcohólicos = Algunos astronautas no alcohólicos = Algunos astronautas no son alcohólicos.son alcohólicos.

O sea, sI~p = sOp.*O sea, sI~p = sOp.*

NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN INTERNA Y NEGACIÓN EXTERNA 5NEGACIÓN EXTERNA 5

No es cierto que algunos líderes no No es cierto que algunos líderes no son valientes = todos los líderes son son valientes = todos los líderes son valientes.valientes.

O sea, ~(sOp) = sAp.O sea, ~(sOp) = sAp.

*Algunos líderes *Algunos líderes nono son son nono valientes valientes = algunos líderes son valientes.= algunos líderes son valientes.

O sea, sO~p = sIp.*O sea, sO~p = sIp.*

RESUMIENDORESUMIENDO AL NEGAR AL NEGAR

EXTERNAMENTE, SE EXTERNAMENTE, SE OBTIENE LA OBTIENE LA CONTRADICTORIACONTRADICTORIA

AL NEGAR AL NEGAR INTERNAMENTE, SE INTERNAMENTE, SE OBTIENE LA OBTIENE LA (SUB)CONTRARIA(SUB)CONTRARIA

A A nono es es nono B = A es B B = A es B No(A es B)≠A no es BNo(A es B)≠A no es B A no es B =A es no B*A no es B =A es no B*

MODUS PONENSMODUS PONENS

sAp sAp → sIp, sAp / sIp.→ sIp, sAp / sIp.

Si todos los aquí presentes van, entonces Si todos los aquí presentes van, entonces algunos aquí presentes van, y es el caso que algunos aquí presentes van, y es el caso que todos los aquí presentes van. Por tanto, todos los aquí presentes van. Por tanto, algunos aquí presentes van.algunos aquí presentes van.

MODUS TOLLENSMODUS TOLLENS

sAp sAp → sIp, ~(sIp) / ~(sAp).→ sIp, ~(sIp) / ~(sAp).

~(sIp) = sEp, sEp → sOp, sOp = ~(sAp).~(sIp) = sEp, sEp → sOp, sOp = ~(sAp).

O también: Si I es falsa (~I), E es verdadera; y O también: Si I es falsa (~I), E es verdadera; y si E es verdadera, A es falsa (~A).si E es verdadera, A es falsa (~A).

FALACIA DE NEGACIÓN DEL FALACIA DE NEGACIÓN DEL ANTECEDENTEANTECEDENTE

sAp sAp → sIp, ~(sAp) / ~(sIp).→ sIp, ~(sAp) / ~(sIp).

~(sAp) = sOp=sI~p, y sI~p no implica ~(sIp).~(sAp) = sOp=sI~p, y sI~p no implica ~(sIp).

~(sIp)=sEp, y sEp no se obtiene ni de sIp ni de ~(sIp)=sEp, y sEp no se obtiene ni de sIp ni de sOp.sOp.

FALACIA DE AFIRMACIÓN DEL FALACIA DE AFIRMACIÓN DEL CONSECUENTECONSECUENTE

sAp sAp → sIp, sIp / sAp→ sIp, sIp / sAp..

sIp=~(sEp).sIp=~(sEp).

Cuando sIp es verdadera o sEp es Cuando sIp es verdadera o sEp es falsa, sAp es indeterminada. falsa, sAp es indeterminada.

METODOLOGÍA DE LA CIENCIA METODOLOGÍA DE LA CIENCIA CONFIRMACIONESCONFIRMACIONES

Para probar que todos los A son B, hay que Para probar que todos los A son B, hay que probar que cada miembro de A es B.probar que cada miembro de A es B.

Para probar que ningún A es B, hay que Para probar que ningún A es B, hay que probar que cada miembro de A no es B.probar que cada miembro de A no es B.

Para probar que algún A es B, basta Para probar que algún A es B, basta encontrar un caso de A que sea B.encontrar un caso de A que sea B.

Para probar que algún A no es B, basta Para probar que algún A no es B, basta probar que un caso de A no es B.probar que un caso de A no es B.

METODOLOGÍA DE LA CIENCIAMETODOLOGÍA DE LA CIENCIAREFUTACIONESREFUTACIONES

Para refutar que todos los A son B, basta Para refutar que todos los A son B, basta encontrar un caso de A que no sea B.encontrar un caso de A que no sea B.

Para refutar que ningún A es B, basta Para refutar que ningún A es B, basta encontrar un caso de A que sea B.encontrar un caso de A que sea B.

Para refutar que algunos A son B, hay que Para refutar que algunos A son B, hay que probar que ningún A es B.probar que ningún A es B.

Para refutar que algunos A no son B, hay Para refutar que algunos A no son B, hay que probar que todos los A son B.que probar que todos los A son B.

PRUEBAS Y REFUTACIONESPRUEBAS Y REFUTACIONES

Para probar las universales, hay que Para probar las universales, hay que ir caso por caso.ir caso por caso.

Para probar las particulares, basta un Para probar las particulares, basta un caso.caso.

Para refutar las universales, basta un Para refutar las universales, basta un caso. caso.

Para refutar las particulares, hay que Para refutar las particulares, hay que ir caso por caso.ir caso por caso.

RESUMIENDORESUMIENDO

Es más fácil probar las Es más fácil probar las particulares.particulares.

Es más fácil refutar las Es más fácil refutar las universales.universales.

Es más difícil refutar Es más difícil refutar las particulares.las particulares.

Es más difícil probar Es más difícil probar las universales.las universales.

RELACION CON VARIAS RELACION CON VARIAS LOGICASLOGICAS

Aristotélica. T , AAristotélica. T , A Cuantificacional. (X), ECuantificacional. (X), E Modal. □ , ◊Modal. □ , ◊ Deóntica. O , PDeóntica. O , P Temporal. S , VTemporal. S , V Probabilística. Probabilística. C C , , PP Epistémica. K , BEpistémica. K , B

CUADRADOS ISOMORFICOSCUADRADOS ISOMORFICOS

Arist.Arist. CuanCuantif.tif. Mod.Mod. DeónDeón

ttTempTemp Prob.Prob. Epist.Epist.

sApsAp (x)(x) □□pp OpOp SpSp CpCp aKpaKp

sEpsEp (x)~(x)~ □□~p~p O~pO~p S~pS~p CC~p~p aK~paK~p

sIpsIp ExEx ◊◊pp PpPp VpVp PpPp aBpaBp

sOpsOp Ex~Ex~ ◊◊~p~p P~pP~p V~pV~p PP~p~p aB~paB~p

REGLA DE EQUIVALENCIA DE REGLA DE EQUIVALENCIA DE OPERADORESOPERADORES

Sustitúyase el operador por su par.Sustitúyase el operador por su par.

Niéguese a la izquierda.Niéguese a la izquierda.

Niéguese a la derecha.Niéguese a la derecha.

Aplique doble negación, cuando sea Aplique doble negación, cuando sea el caso.el caso.

EQUIVALENCIAS ISOMORFICAS EQUIVALENCIAS ISOMORFICAS DE OPERADORESDE OPERADORES

T=T=

~A~~A~(x)=(x)=

~E~~E~□□==

~◊~~◊~O=O=

~P~~P~S=S=

~V~~V~C=C=

~P~~P~K=K=

~B~~B~

A=A=

~T~~T~E=E=~(x)~~(x)~

◊◊==

~□~~□~P=P=

~O~~O~V=V=

~S~~S~P=P=

~C~~C~B=B=

~K~~K~

~A=~A=

T~T~~(x)~(x)=E~=E~

~□=~□=

◊◊~~~O=~O=

P~P~~S=~S=

V~V~~P=~P=

C~C~~K=~K=

B~B~

~T=~T=

A~A~~E=~E=

(x)~(x)~~◊=~◊=

□□~~~P=~P=

O~O~~V=~V=

S~S~~C=~C=

P~P~~B=~B=

K~K~

UNIVERSAL NEGATIVA E UNIVERSAL NEGATIVA E ISOMORFICOSISOMORFICOS

T~ , todos no , T~ , todos no , ninguno, nadie, nadaninguno, nadie, nada

□□~ , necesario que no, ~ , necesario que no, imposibleimposible

O~ , obligatorio que no, O~ , obligatorio que no, prohibidoprohibido

Pero: Pero: K~, saber que no ≠ ignorar,K~, saber que no ≠ ignorar, pues pues ignorarignorar es es no saber: no saber: ~K.~K.

SOBRE EL CUADRADO SOBRE EL CUADRADO DEONTICODEONTICO

““LO QUE NO ESTÁ PROHIBIDO LO QUE NO ESTÁ PROHIBIDO

ESTÁ PERMITIDO”ESTÁ PERMITIDO”

Prohibido = Obligatorio que no = O~Prohibido = Obligatorio que no = O~

No prohibido = ~O~ = P = ¡permitido!No prohibido = ~O~ = P = ¡permitido!

REDUCCIÓN A UN OPERADOR REDUCCIÓN A UN OPERADOR POR CUADRADOPOR CUADRADO

Sea Sea O O cualquier operador isomórfico.cualquier operador isomórfico.

O O O~O~

~O~ ~O~ ~O ~O

DEL CUADRADO AL CUBO DE DEL CUADRADO AL CUBO DE OPOSICIÓNOPOSICIÓN

CUADRADO COMPLEMENTARIOCUADRADO COMPLEMENTARIO

~sA~p ~sE~p~sA~p ~sE~p

~sI~p ~sO~p~sI~p ~sO~p

EQUIVALENCIASEQUIVALENCIAS

~sA~p = ~sEp = pE~s = ~sA~p = ~sEp = pE~s = pAspAs

~sE~p~sE~p = ~sAp = ~pE~s = ~pAs = ~sAp = ~pE~s = ~pAs

~sI~p~sI~p = ~sOp = ~pI~s = ~pOs = ~sOp = ~pI~s = ~pOs

~sO~p = ~sIp = pI~s = ~sO~p = ~sIp = pI~s = pOspOs

EL CUBO DE OPOSICIÓNEL CUBO DE OPOSICIÓN

~sA~p ~sE~p~sA~p ~sE~p

sAp sEpsAp sEp

~sI~p ~sO~p~sI~p ~sO~p

sIp sOpsIp sOp