92. Si limz→z0

f (z) = A y limz→z0

g (z) = B, demostrar que

a) limz→z0

{2f (z)− 3ig(z)} = 2A− 3iB

Como limz→z0

f (z) = A , donde E > 0, existe ∂1 > 0 tal que

si 0 < |z − z0| < ∂1 , entonces

|f (z)−A| < E

4

Como limz→z0

g (z) = B , donde E > 0, existe ∂2 > 0 tal que

si 0 < |z − z0| < ∂2 , entonces

|g (z)−B| < E

6

As, sea ∂ = min {∂1, ∂2} , entonces si 0 < |z − z0| < ∂ se tiene

|[2f (z)− 3ig (z)]− [2A− 3iB]|

= |2 [f (z)−A] + 3i [B − g (z)]|

≤ |2| |f (z)−A|+ |3i| |B − g (z)|

= 2 |f (z)−A|+ 3 |g (z)−B|

<2E

4+

3E

6= E As,

limz→z0

[2f (z)− 3ig(z)] = 2A− 3iB

b) limx→x0

{pf (z) + qg(z)} = pA+ qB con p y q constantes arbitrarias.

Como limz→z0

f (z) = A , donde E > 0, existe ∂1 > 0 tal que

si 0 < |z − z0| < ∂1 , entonces

|f (z)−A| < E

2p

Como limz→z0

g (z) = B , donde E > 0, existe ∂2 > 0 tal que

si 0 < |z − z0| < ∂2 , entonces

|g (z)−B| < E

2q

As, sea ∂ = min {∂1, ∂2} , entonces si 0 < |z − z0| < ∂ se tiene

|[pf (z) + qg (z)]− [pA− qB]|

1

= |p [f (z)−A] + q [g (z)−B]|

≤ |p| |f (z)−A|+ |q| |g (z)−B|

= p |f (z)−A|+ q |g (z)−B|

<pE

2p+

qE

2q= E As,

limz→z0

[pf (z) + qg(z)] = pA+ qB

2