Como construir un ángulo trisecado con el uso exclusivo de la regla sin marcas y

el compás.

Rodolfo A. Nieves Rivas

fesol7luzley@gmail.com

RESUMEN

Realizar la construcción de un ángulo con el uso exclusivo de la regla sin marcas y el

compás y luego demostrar que este ángulo ha sido exactamente dividido en tres partes

iguales, es el objetivo de este trabajo de investigación. Todo esto nos conduce una vez

realizado el análisis y la demostración proponer ante la comunidad científica, tomar en

consideración los resultados obtenidos. Dado que los mismos están directamente

vinculados a la trisección del ángulo, uno de los tres problemas clásicos de la geometría

Griega. Problema considerado imposible de resolver y cuya aplicación principal es la

estructuración de la geometría elemental o euclidiana.

Palabras claves: Trisección del ángulo, demostración y análisis

1. Introducción

2. Se realiza una construcción con el propósito de ilustrar el desarrollo de un ejemplo,

utilizando exclusivamente la regla sin marcas y el compás, herramientas

euclidianas fundamentales e impuestas como condición única para abordar el

tema a tratar.

3. Se presenta el marco teórico y se establece un análisis de todos los elementos

obtenidos y pertenecientes a la figura 1, donde se expone el objetivo que nos

hemos planteado

4. Se presenta la demostración del objetivo planteado.

5. Se propone ante la comunidad científica a través de una discusión las bases

necesarias para el estudio relacionado al tema referente a la trisección del ángulo.

Concluyéndose en la aplicación de los resultados obtenidos en la resolución

definitiva del mismo.

6. Referencias.

2 Construcción de la figura 1

2.1 Método para construir un ángulo trisecado

Primer paso: Con la regla sin marcas y el compás, se construye una circunferencia con

centro O y diámetro CB.

Segundo paso: Se coloca el compás centrado en un punto P arbitrario en el segmento de

recta OC radio del círculo cuyo diámetro es el segmento de recta CB y con abertura PO

centrado el compás en el punto P se construye un arco de circunferencia PR siendo el

punto R intersección de este arco con la circunferencia.

Tercer paso: Con la regla se unen los puntos R y el punto P prolongando dicha

construcción hasta obtener el punto A en la circunferencia. Luego se une el punto A con el

punto O quedando de esta forma construido un ángulo central AOB. Luego se une el

punto R con el punto O y se prolonga hasta interceptar la circunferencia determinando el

punto T siendo el ángulo TOB el ángulo trisector del ángulo AOB.

Figura 1

3. Marco Teórico

Teorema principal: El punto de intercepción del lado común de dos ángulos centrales

suplementarios y el segmento de recta que une el punto medio de la cuerda de uno de

ellos con el punto medio del arco del otro, determina un ángulo trisector inscrito cuyo

vértice es el punto extremo del diámetro de la circunferencia circunscrita, cuyo radio es

igual a los lados del ángulo central trisecado.

Teorema: Las dos n-trices adyacentes al lado común de dos ángulos consecutivos,

determinan un ángulo igual a la suma de los dos ángulos consecutivos dividida entre n.

Lema: La suma de los cocientes es igual al cociente de la suma

Demostración: a/n + b/n = (a + b)/n

Dónde: a y b son los ángulos.

Teorema: Si dos ángulos suplementarios son trisecados entonces las dos trisectrices

adyacentes al lado común de estos dos ángulos suplementarios determinan un ángulo de

60º.

Teorema: Si dos ángulos suplementarios son bisecados entonces las dos bisectrices

adyacentes al lado común de estos dos ángulos suplementarios determinan un ángulo de

90º.

Corolario: Las bisectrices de ángulos suplementarios son perpendiculares.

3.1 Análisis de la figura 1

AO=OR (por radios iguales de un mismo círculo)

PR=PO (por ser radios iguales de un mismo círculo)

PAO=PRO (por oponerse a lados iguales AO=OR)

PRO=POR (por oponerse a lados iguales PR= PO)

POR=TOB (por ser ángulos opuestos al vértice O)

PAO=PRO=POR=TOB (por todo lo anterior)

2(PRO)=AOT (por ser PRO el ángulo inscrito correspondiente del

ángulo central AOT)2

PRO+PAO=AOT (por ser AOT el ángulo exterior del triángulo isósceles

ARO en el punto O y ser el ángulo suplementario del ángulo ROA)1

4. Demostración

Dado que: PRO+PAO =AOT (por lo anterior)1

Y: PRO+PRO =AOT (por ser PAO=PRO)

Dónde: 2(PRO) =AOT (por deducción de lo anterior)2

Si: 2(PRO)+PRO=AOT+PRO (se suma PRO en ambos lados)

Entonces: 3(PRO) = AOT+TOB (por deducción y ser PRO=TOB)

Por tanto: 3(PRO)=AOB (por deducción)

Y como: PRO=AOB/3 (por despeje)

Cuando: TOB=AOB/3 (por ser TOB=PRO)

Entonces: TOB=AOB/3 Q.E.D.

5. Discusión y conclusión

Cabe destacar que el análisis y los resultados obtenidos en esta investigación, resalta lo

referente al punto P en la figura 1 y el estudio sobre la obtención de dicho punto es

fundamental pues en él gira la efectividad de la construcción, lo que nos permite afirmar

que el ángulo AOB está realmente trisecado. Pero es de observar que dicho punto P no es

único y determinar el lugar geométrico al cual pertenece no es fácil pues dicho punto tienen

un comportamiento dinámico. El ejemplo que se ha presentado es un caso particular, dado

que existe un punto para cada ángulo a trisecar, pero que contiene las mismas

características y esto nos conduce a realizar un estudio que nos garantice o certifique su

determinación, motivado a que no es lo mismo trisecar un ángulo dado, que construir un

ángulo trisecado y es ahí la importancia de este estudio. Determinar este punto P es la

clave, pues logrado esto se podría realizar la construcción partiendo desde un ángulo dado y

confirmar de manera afirmativa y finalmente en la resolución de uno de los tres problemas

clásicos de la geometría Griega. Estudio que es un hecho completamente realizado y que

nos permite concluir que la trisección del ángulo es posible con las herramientas

euclidianas.

6. Referencias

[1] Alvis González, Victor S & R. Álvarez, Los trabajos de Gauss sobre la teoría de las paralelas, In: Victor S. Albis

(ed.), A C. F. Gauss (1983), Universidad Nacional de Colombia (departamento de Matemáticas y Estadística), Bogotá.

[2] Hemmerling. Edwin M. Geometría Elemental. México. Limusa, 1971. 498 p.

[3] Rich. Barnett. Geometría. México. Mc Grawhill, 1993. 395 p.

[4] Jurgensen, R.C., Donnelly, A. J. and Dolciani, M. P. Th. 42 in Modern Geometry: Structure and Method. Boston, MA:

Houghton-Mifflin, 1963.

[5] Pedoe, D. Circles: A Mathematical View, rev. ed. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. xxi-xxii, 1995.

[6] Erik Oberg, Franklin D. Jones, Holbrook L. Editores Erik Oberg, Franklin D. Jones, Edición 22, Ilustrada Editorial

Industria Press, 1966. Universidad de Michigan. 14 p. 79-80 pp.

[7] H.S.M. Coxeter, Fundamentos de Geometría, Ed. Limusa -Wyley, 1971.

[8] H.S.M. Coxeter & S.L. Greitzer, The Mathematical Association of America. New Mathematical Library. Nº 19. 1967.