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7/28/2019 ¿Cómo aplicar la derivada de una función para obtener vigas de perfil rectangular a partir del tronco de un árbol

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¿Cómo aplicar la derivada de una función paraobtener vigas de perfil rectangular a partir del troncode un árbol?

Prof. Juan Ramírez

OBJETIVOS:

En esta práctica haremos uso de las aplicaciones de la calculadora CLASSPAD-330 para laresolución de problemas con aplicación de la derivada.

CONOCIMIENTOS PREVIOS:

Antes de realizar esta práctica es imprescindible comprender los conceptos de áreas de las figurasgeométricas, Teorema de Pitágoras, función, variable dependiente, variable independiente y

derivada dependiente y derivada de una función.

OBSERVACIONES:

Es importante señalar al estudiante que debe realizar las actividades propuestas siguiendocuidadosamente cada instrucción.

Las instrucciones y actividades están destacadas con los íconos , y en el margenizquierdo, para distinguirlas de la mera transmisión de información. El primer ícono indica que elestudiante debe ejecutar las instrucciones propuestas con la calculadora, el segundo indica elplanteamiento de una situación problemática y el último indica que debe reportar por escrito,

la respuesta a la situación problemática planteada.

PROBLEMA:

Se va a cortar una viga rectangular a partir de un tronco cilíndrico que tiene un radio de 10pulgadas:

a) Demuestre que la viga de área máxima de sección transversal es cuadrada.

b) Se van a cortar cuatro tablones rectangulares de las cuatro secciones del tronco que

quedan después de cortar la viga cuadrada. Determine las dimensiones de los tablonesque tendrán el área máxima de la sección transversal.



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Solución: Para resolver este problema, en primer lugar tenemos que definir una función paraexpresar el área del perfil de la viga que queremos obtener:

A = xy Luego, tenemos que definir el área en función de una sola variable, x o y ; y para ello nos valemosdel Teorema de Pitágoras, teniendo presente el hecho de que el radio del tronco es igual a diezpulgadas, entonces el diámetro del mismo es igual al doble, es decir, veinte pulgadas:

2

2 2

2 2 2

x 400 y

400 y x

20 y x

−=

=+

=+

Finalmente, obtenemos el área en función de la dimensión x , podemos obtener puntos críticos apartir de la primera derivada y conocer las dimensiones de nuestra viga rectangular de áreamáxima.

10” 10”

x

y

x

y



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(1) Encienda la calculadorapresionando la tecla o tocandosuavemente la pantalla con el lápiz.

(2) Seleccione la opción Principal.

(3) Defina la variable A que expresa elárea transversal de la viga, tal comose muestra a continuación:

(4) Presione la tecla :

A continuación definimos el área enfunción de la dimensión x .

(5) Defina la variable y , tal como semuestra a continuación:



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(7) Como hemos definido la variable yen función de x , a su vez la variable A quedará definida en función de x .Podemos verificarlo llamando lavariable A:


A continuación, aplicamos la primeraderivada a la función A en términos de

x , luego, igualaremos dicha expresióna cero, para conocer los puntoscríticos.

(9) Selección Acción. Luegoseleccione Ecuación/desigualdad.Escoja solve, escriba lo siguiente y

presione la tecla :



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De esta forma obtenemos ladimensión x = 14.14 pulgadas, la cual

maximiza el área transversal de laviga.

A continuación obtenemos ladimensión y .

(10) Escriba la siguiente y presione la

tecla :

Vemos entonces que la dimensión y es igual a la dimensión x , por lo que

queda demostrado que la figurageométrica que maximiza la seccióntransversal de la viga corresponde aun cuadrado.

A continuación, encontraremos lasdimensiones de las cuatro vigas quese obtienen del área residual entre elperfil circular del tronco y la seccióncuadrada de la viga obtenida conanterioridad.

(11) Seleccione Edit, luego Eliminar toda variable. Luego seleccioneAceptar .



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(12) Ahora defina nuevamente lavariable A como se muestra acontinuación:


De esta forma hemos definido lafunción del área de la seccióntransversal de las vigas menores.

Igual que para el caso de la viga

mayor, definimos a continuación elárea en función de la dimensión x .

(14) Defina la variable y , tal como semuestra a continuación:




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(16) Como hemos definido la variable yen función de x, a su vez la variable Aquedará definida en función de x.Podemos verificarlo llamando lavariable A:


A continuación, aplicamos la primeraderivada a la función A en términos de

x , luego, igualaremos dicha expresióna cero, para conocer los puntoscríticos.

(18) Escriba lo siguiente y presione la

tecla :



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Como la expresión resultante de laoperación anterior, resultaconveniente utilizar el módulo

para encontrar los puntoscríticos.

(19) Copie la expresión anterior y

seleccione :

(20) Seleccione :

(21) Pegue la expresión que contienela primera derivada de A e iguale acero como se muestra a continuación:



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(22) Presione la tecla virtual :

(23) Escriba lo siguiente y presione

:

De esta forma conocemos que ladimensión x de las vigas menores esigual a 8.48 pulgadas.

(24) Seleccione Aceptar :



10

(25) Copie el valor obtenido de x,

seleccione y escriba losiguiente:


De esta forma conocemos que laaltura de las vigas menores es igual a

3.97 pulgadas.



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Resuelva el siguiente problema y reporte su respuesta.

Se va a cortar una viga rectangular a partir de un tronco cilíndrico que tiene un radio de 10.Suponga que la resistencia de la viga rectangular es proporcional al producto de su ancho y al cuadrado de su altura. Encuentre las dimensiones de la viga más fuerte que se puede cortar a partir del tronco cilíndrico.



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FUENTES DE INFORMACION:

INTRODUCCIÓN:

Título: Calculus: concepts and contexts, single variableMathematics Series

Autor: James StewartEditor: Brooks/Cole, 1998ISBN: 053434450X, 9780534344504

N.º de páginas: 643 páginas

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