UNIVERSIDAD DE CONCEPCION

GUIA DE EJERCICIOS

1. Consideremos los vectores u = (1, -3, 2) y v = (2, -1, 1) en R3i) Escribir (1, 7, -4) como una combinacin lineal de u y x.

ii)Escribir (2, -5, 4) como una combinacin lineal de u y v.

iii) Para qu valor de k es (1, k, 5) una combinacin lineal de u y v?

iv) Hallar una condicin sobre a, b y c tal que (a, b, c) sea una combinacin lineal

de u y v.

2. Escribir u como una combinacin lineal de los polinomios

v = 2t2 + 3t - 4 y w = t2 - 2t - 3 donde

i) u = 3t2 + 8t - 5,

ii) u = 4t2 - 6t - 1

3. Escribir E como una combinacin lineal de A =

y C = de donde i) E = ii) E =

4. Mostrar que (1, 1, 1), (0, 1, 1) y (0, 1, -1) generan a R3, esto es que todo vector (a, b, c) es una combinacin lineal de los vectores dados.

5. Mostrar que el plano yz W = ((0, b, c)( en R3 es generado por,

i) (0, 1, 1) y (0, 2, -1); ii) (0, 1, 2);(0, 2, 3) y (0, 3, 1)

6. Mostrar que los nmeros complejos w = 2 + 3i y z = 1 - 2i generan el cuerpo complejo C como un espacio vectorial sobre el cuerpo real R.

7. Mostrar que los polinomios (l - t)3 , (1 - t)2 , l - t y l generan el espacio de los polinomios de grado ( 3.

8. Hallar un vector en R3 que genere la interseccin de U y W donde U es el plano xy:

U = ((a, b, o)( y W es el espacio generado por los vectores (1, 2, 3) y ( 1, -1, 1).

Determinar si u y v son linealmente dependientes donde:

9. i) u = (1, 2, 3, 4), v = (4, 3, 2, 1) ii) u = ( -1, 6, -12), v =

iii) u =

iv) u = t3 + t2 - 16,v = t3 - t2 + 8

10. Determinar si los siguientes vectores en R4 son linealmente dependientes o independientes:

i) (1, 3, -1, 4), (3, 9, -5, 7), (2, 0, 4, 23);

ii) (1, -2, 4, 1), (2, 1, 0, -3), (3, -6, 1, 4)

11. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado ( 3 sobre R. Determinar si u, v, w ( V son linealmente dependientes o independientes si:

i) u = t3 - 4t2 + 2t + 3, v = t3 + 2t2 + 4t - 1, w = 2t3 - t2 - 3t + 5

ii) u = t3 - 5t2 - 2t + 3, v = t3 - 4t2 - 3t + 4, w = 2t3 - 7t2 - 7t + 9

12. Sea V el espacio vectorial de las matrices 2 x 3 sobre R. Determinar si las matrices A, B, C ( V son linealmente dependientes o independientes si:

i) A = ,B = , C

ii) A = , B =

C =

13. Determinar si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores forma una base de R2

i) (1, 1), ( 3, 1)

iii) (0, 1) y (0, -3)

ii) (2,1) (1, -1) y (0, 2)

iv) (2, 1) y (-3, 87)

14. Determinar si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores forma una base de R3

i) (1, 2, -1, 3) y (0, 3, 1)

ii) (2, 4, -3), (0, 1, 1) y (0, 1, -1)

iii) (1, 5, -6), (2, 1, 8), (3, -1, 4) Y ( 2, 3, 1)

iv) (1, 3, -4), (1, 4, -3) y (2, 3, -11)

15. Hallar una base y la dimensin del subespacio W de R4 generado por

i) (1, 4, -1), (2, 1, -3, -1) y (0, 2, 1, -5)

ii) (1, -4, -2, 1), (1, -3, -1, 2) y (3, -8, -2, 7)

16. Sea V el espacio de las matrices 2 x 2 sobre R y sea W el subespacio generado por:

Hallar una base y la dimensin de W.

17. Sea W el espacio generado por los polinomios:

u = t3 + 2t2 - 2t + 1, v = t3 + 3t2 - t + 4 y w = 2t3 + t2 - 7t - 7

Hallar una base y la dimensin de W.

18. Sea V el espacio vectorial de los polinomios en t de grado ( n Determinar si cada uno de los siguientes conjuntos es una base de V.

i) (1, 1 + t, 1 + t + t2, 1 + t + t3 , ..., 1 + t + t2 +...+ tn-1 + t(ii) (1, + t, t + t2 , t2 + t3 , ... , tn-2 + tn-1 , tn-1 + tn (_1341236292.unknown

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