COLEGIO VILLA FLOR

GUÍA DE ESTUDIO # 2 DEL II SEMESTRE DE MATEMATICA

I. DATOS GENERALES

Disciplina: Matemática 10mo B

Nombre del Profesor: Ing. Roberto Vicente Lira Vílchez

Fecha de entrega a maestro: _______________

Datos de contacto: 88605345 (WhatsApp), rvicent_1971@yahoo.com

II. INTRODUCCION

Estimados padres y madres de familia, alumnos y alumnas reciban bendiciones y protección de

nuestro señor Jesucristo. A continuación, le presento la guía #2 del II semestre con los diferentes temas y

sus respectivos indicadores de logro, así como las actividades que responderán y entregarán de acuerdo a

la fecha que se estipule, con buena presentación, su nombre completo, grado, sección y las páginas

enumeradas. Es de vital importancia lea detenidamente, analice e interprete todo los aspectos teóricos-

prácticos y lo que se les orienta en las actividades propuestas, a fin de que obtenga el rendimiento esperado.

Sino comprende alguno de los contenidos consulte por WhatsApp en horario de 7 a 12 am.

III. DESARROLLO:

Unidad VI: Grafiquemos Funciones

Tema #1: Función racional

Función parte entera

Indicador de Logro:

Grafica las funciones racionales y raíz cuadrada determinando sus propiedades. Grafica funciones especiales de acuerdo a las características de cada una y sus propiedades.

Explicación #1

Una función racional está definida como el cociente de polinomios en los cuales el denominador tiene un

grado de por lo menos 1. En otras palabras, debe haber una variable en el denominador. Una función

racional, es una función de la forma: 𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) donde 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son funciones polinomiales, tales como

lineales, cuadrática, cúbicas, entre otras.

Ejemplo: 1. Grafica la Función 𝑓(𝑥) =

1

𝑥−2

X = 2 que será el eje de simetría Esta la podemos Tomamos el argumento de la función F(x) que es X-2 = 0 hacer mediante el método de tabulación:

x 0 1 2 3 4 y -1 -1/2 No existe 1 1/2

Función Parte Entera

La función parte entera está definida por 𝑓(𝑥) = [𝑥]. Esta función hace corresponder a cada número real “x” el

mayor entero menor o igual a “x”.

Ejemplo: 1. Tracemos la gráfica de esta función 𝑓(𝑥) = [𝑥].

Solución: Algunos puntos de la gráfica los podemos obtener de la siguiente tabla:

Una función definida a trozos o por partes, es en la que restringimos el dominio.

2. Grafique 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 para 𝑥 ∈ [¨ − 2; 1)

Solución: La gráfica de esta función es una parte de una parábola cuyo vértice es (0, -2). Utilicemos los valores de

la tabla para trazar la gráfica.

Propiedades:

1. El dominio de la

función es ℝ.

2. Tiene como

recorrido el

conjunto de los

números reales.

F (1) = 1/1-2 =1/-1 = -1

F (0) = 1/0-2 = -1/2

F (2) = 1/2-2 = 1 /0 = no está definida

F (3) = 1/3-2 =1/1 = 1

F (4) = 1/4-2 = 1/2

Propiedades: El recorrido de la función es el intervalo [−2; 2], la función es creciente en el intervalo (0; 1) y

decreciente en (-2; 0)

3. Trace la gráfica de 𝑓(𝑥) =1

2𝑥 + 1 con 1 ≤ 𝑥 < 8

Solución: Encontremos algunos valores de la función que estén entre 1 y 8 y ubiquemos en el plano cartesiano.

E Grafica la Función

1. 1. 𝑓(𝑥) =1

𝑥+32. 𝑓(𝑥) =

1

𝑥−13. 𝑓(𝑥) =

1

3𝑥 + 3 con 3 ≤ 𝑥 < 6

2. 𝑓(𝑥) = [𝑥] + 4 5. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 para 𝑥 ∈ [−1; 4)

Unidad VII: Introducción a la trigonometría

Tema #2: Funciones trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos

Teorema de Pitágoras

Indicador de Logro: Resuelve situaciones en diferentes contextos relacionadas con las funciones

trigonométricas de ángulos agudos en triángulos rectángulos, que le ayuden a fortalecer su autoestima.

Explicación #2

El teorema de Pitágoras se utiliza para triángulos rectángulos, es decir triángulos que tienen un ángulo de

90 °. El lado más largo se denomina hipotenusa (AB), el que esta opuesto al ángulo A cateto opuesto y un

tercer lado denominado cateto adyacente.

“Tienes poder sobre tu mente, no sobre eventos externos. Date cuenta de esto y

encontrarás fortaleza.” Marco Aurelio

Actividad 1

Formulas

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 Para la hipotenusa

Para los catetos

𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2 𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2

Ejemplo: Encuentre la longitud del lado desconocido en los siguientes triángulos rectángulos:

Solución

a) Los catetos tienen longitudes de 3 cm y 4 cm, como el

triángulo ABC es un triángulo rectángulo, por el

teorema de Pitágoras tenemos

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑥2 = 32 + 42

𝑥2 = 9 + 16𝑥2 = 25

√𝑥2 = √25𝑥 = 5

Por tanto, la longitud de la hipotenusa es 5 cm.

b) La hipotenusa mide 10 cm y

uno de los catetos 8 cm:

𝑦2 = 102 − 82

𝑦2 = 100 − 64𝑦2 = 36

√𝑦2 = √36Y = 6

Por tanto, la longitud del otro cateto

es 6 cm

(a) (b)

Activividad 2

Dado los siguientes triángulos rectángulos encuentre los lados que hacen falta aplicando el Teorema de Pitágoras.

“La felicidad es una bendición, pero por lo general no cae del cielo. Tienes

que luchar por ella”

Tema #3: Razones entre los lados de un triángulo rectángulo.

Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

Cálculo de los valores de dos funciones trigonométricas a partir del valor de otra.

Indicador de Logro:

Resuelve situaciones en diferentes contextos relacionadas con las funciones trigonométricas de ángulos

agudos en triángulos rectángulos, que le ayuden a fortalecer su autoestima.

Explicación #3

Ejemplo: Dado el triángulo de la figura, encuentre las razones: 𝑐𝑜

ℎ𝑖𝑝,

𝑐𝑎

ℎ𝑖𝑝,

𝑐𝑜

𝑐𝑎 respecto al ángullo marcado.

𝑐𝑜

ℎ𝑖𝑝=

4

6=

2

3

𝑐𝑎

ℎ𝑖𝑝=

5

6

𝑐𝑜

𝑐𝑎=

4

5

Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo ABC el valor de 𝑐𝑜

𝑐𝑎 respecto al ángulo A, no depende del tamaño sino solamente del

ángulo A. Este valor recibe el nombre de tangente del ángulo A y se denota por tan A.

Ejemplo:

Un niño de 1,2 m de estatura camina en línea recta delante de su papá, y proyecta una sombra de 2 m. Si la sombra

proyectada por el papá mide 3 m, ¿cuál será su estatura?

Razones entre los lados de un triángulo

rectángulo Sea el triángulo de la figura y el

ángulo A del mismo. Entonces, el lado 𝑎 se

llama cateto opuesto (co) a A, mientras que 𝑏

se le denomina cateto adyacente (ca) a A. Al

lado 𝑐 opuesto al ángulo recto se le llama

hipotenusa (hip).

AB=6Cm

AC =5cm

BC = 4 cm

Con la información proporcionada podemos formar la siguiente figura:

Por tanto el padre tiene una estatura de 1,8 m Y al final tenemos en el triángulo ABC que 𝑡𝑎𝑛𝐴 =𝐵𝐶

𝐴𝐶=

1,2

2= 0,6

Ejemplo: Encuentre las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente para el ángulo A del triángulo rectángulo.

Cálculo de los valores de dos funciones trigonométricas a partir del valor de otra.

Ejemplo 1 :Si A es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y 𝑠𝑒𝑛𝐴 =5

6, calcule los valores de 𝑐𝑜𝑠𝐴 y 𝑡𝑎𝑛𝐴.

Solución: De los datos brindados obtenemos en siguiente triángulo

𝑥

3=

1,2

2

𝑥

3= 0,6

𝑥 = (3)(0,6)

𝑥 = 1,8

𝑠𝑒𝑛𝐴 =3

5

𝑐𝑜𝑠𝐴 =4

5

𝑡𝑎𝑛𝐴 =3

4

Al aplicar el teorema de Pitágoras tenemos:

𝑐𝑎2 = 62 − 52

𝑐𝑎2 = 36 − 25

𝑐𝑎2 = 11

√𝑐𝑎2 = √11

𝑐𝑎 = √11Por tanto,

𝑐𝑜𝑠𝐴 =𝑐𝑎

ℎ𝑖𝑝=

√11

6𝑡𝑎𝑛𝐴 =

𝑐𝑜

𝑐𝑎=

5

√11

7

Ejemplo 2 Si A es un ángulo agudo de un triángulo rectángulo y 𝒕𝒂𝒏𝑨 =𝟑

𝟐, calcule los valores

de 𝒄𝒐𝒔𝑨 y 𝒔𝒆𝒏𝑨.

Solución: De los datos brindados obtenemos en siguiente triángulo

1. Dado el triángulo de la figura, encuentre

las razones: 𝑐𝑜

ℎ𝑖𝑝,

𝑐𝑎

ℎ𝑖𝑝,

𝑐𝑜

𝑐𝑎 respecto al

ángulo marcado

2. Dado el triángulo rectángulo de la figura, encuentre 𝑡𝑎𝑛𝐴 y 𝑡𝑎𝑛𝐵

Actividad 3

Al aplicar el teorema de Pitágoras tenemos:

ℎ𝑖𝑝2 = 32 + 22

ℎ𝑖𝑝2 = 9 + 4

ℎ𝑖𝑝2 = 13

√ℎ𝑖𝑝2 = √13

ℎ𝑖𝑝 = √13Por tanto,

𝑐𝑜𝑠𝐴 =𝑐𝑎

ℎ𝑖𝑝=

2

√13𝑠𝑒𝑛𝐴 =

𝑐𝑜

ℎ𝑖𝑝=

3

√13

8

3. Dados los triángulos rectángulos siguientes, encuentre 𝑠𝑒𝑛𝐴, 𝑐𝑜𝑠𝐴, 𝑡𝑎𝑛𝐴

4. RESUELVA:

IV. REFERENCIAS: Enlaces para observar los videos relacionados con los temas en

estudio en el canal Pitzukimath_RL