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COLEGIO PARTICULAR MONTERREY

FÍSICA I

MODULO I

BABAHOYO – ECUADOR

Autor: Ing. Rosendo Gil Avilez

2

Dr. Gustavo Álvarez Gavilanes

CANCILLER

Dra. Oly Alvarez

VICE CANCILLER ACADÉMICA

Ing. Rosendo Gil Avilez

COMPILACIÓN

Prohibida la reproducción total o parcial de este modulo

Por cualquier medio, sin autorización del autor

DERECHO RESERVADO © 2006 - 2007

Física I

Primera Edición

2006


3

1. DATOS INFORMATIVOS.

ASIGNATURA

CURSO

ESPECIALIDAD

MEDIADOR

PERÍODO ACADÉMICO

:

:

:

:

:

FÍSICA

1º DIVERSIFICADO PROPEDÉUTICO

ING. ROSENDO GIL AVILEZ

2006 – 2007

2. INTRODUCCIÓN

No puedes disfrutar un juego si no conoces las reglas. Ya sea que se

trate de un juego de pelota, de computadora o simplemente de un

juego en una fiesta, si no conoces las reglas te aburrirías. No

entiendes lo que los demás disfrutan. Así como un músico escucha lo

que los oídos no capacitados no consiguen percibir, y del mismo

modo como un cocinero saborea en un platillo lo que otros no

identifican, la persona que conoce las reglas de la Naturaleza la

aprecia mejor.

Hay dos cosas que cualquier curso introductorio de física se debe

lograr, ya sea en su enfoque, su énfasis o lo que trate de obtener:

Impartir una compresión de los principios físicos fundamentales.

Capacitar a los estudiantes para resolver una diversidad de

problemas razonables en las áreas especificadas

correspondientemente.

Estos objetivos están enlazados. Una comprensión de los principios

físicos, es de uso limitado, si no capacita a los estudiantes para

resolver problemas. La física es una ciencia de solución de

problemas, y los estudiantes deben ser calificados a partir de su

capacidad para dar la respuesta correcta, en los exámenes finales.

Sin embargo, algunos pocos consideran que aprender a resolver

problemas mecánicamente, es lo mismo que aprender física. Saber y

hacer, introspección y capacidad deben ir de la mano.

3. OBJETIVO GENERAL

Impartir una comprensión de los principios físicos fundamentales y

capacitar a los estudiantes para resolver diversos problemas

razonables en las áreas especificadas, de tal manera que se tenga


4

un conocimiento completo de la naturaleza física y se aprecie mejor

los conocimientos adquiridos, para su aplicación y colaboración en

el desarrollo integral del profesional.

ARTICULACIÓN # 1

4. CONTENIDOS CIENTÍFICOS

Introducción a la Física

Objetivo: Describir y comprender los conceptos físicos

introductorios y aprender a utilizar las unidades de conversión

necesarias para la resolución de problemas.

Tiempo: Esta unidad está planificada para 10 horas.

1.1. La ciencia fundamental: la Física

La ciencia es lo equivalente actual de lo que se solía llamar

filosofía natural. La filosofía natural era la el estudio de las

preguntas sin respuestas acerca de la naturaleza. A medida

que se encontraban estas respuestas pasaban a formar

parte de lo que hoy se llama ciencia.

El estudio de las ciencias actuales se divide en el estudio de

los seres vivos y de los objetos que no tienen vida, es decir es

la ciencia de la vida y la ciencia Físicas. Nosotros en este

curso estudiaremos las ciencias Físicas.

La física es más que una rama de las ciencias físicas: es la

más fundamental de las ciencias. La física estudia la

naturaleza de cosas tan básicas como el movimiento, las

fuerzas, la energía, la materia, el calor, el sonido, la luz y la

composición de los átomos.

Esta definición a traído como consecuencia para facilitar el

estudio de la Física en dividirla por ramas, y que a

continuación detallaremos.

1.2. Ramas en que se divide la Física.

Para facilitar el estudio de una ciencia tan amplia como es

la ciencia física se la a dividido las siguientes ramas:


5

La Mecánica.- Rama de la física que estudia el movimiento

y que a su vez se subdivide en Cinemática: que es la que

estudia el movimiento pero sin importar que es lo que lo

causa. La Dinámica: que estudia el movimiento y las causas

que lo producen.

Termodinámica.- Es aquella rama de la física que se

encarga del estudio y comportamiento de los cuerpos con

el calor.

Acústica.- Es la rama que se encarga del estudio del sonido,

su origen, medios de trasmisión y rapidez.

Óptica.- Es aquella rama de la física que estudia el

comportamiento de la luz al interactuar con la materia.

Electricidad.- Es la rama de la física que se encarga del

estudio de los fenómenos eléctricos y electromagnéticos.

Física Atómica y Nuclear.- es la que estudia la estructuras

atómicas, la energía y la interacción atómica.

1. 3. Sistema de Unidades.

La física se ocupa casi exclusivamente de cantidades

mensurables. Por tanto es muy importante saber

exactamente qué es lo que se entiende por medida.

MAGNITUD.- es todo aquello que puede ser medido.

MEDIDA.- Es la comparación de una magnitud con otra de

la misma especie, que arbitrariamente se toma como

unidad. La magnitud de una cantidad física se expresa

mediante un número de veces de unidades medida.

En el estudio de la Física se distinguen dos tipos de

magnitudes: fundamentales y derivadas


6

Las Magnitudes Fundamentales no se definen en

términos de otras magnitudes y dependen del sistema

de unidades. En el sistema absoluto, las magnitudes

fundamentales son:

Magnitud Unidad Símbolo Dimensión

Longitud

Masa

Tiempo

Temperatura

Cantidad sustancia

Intensidad luminosa

Intensidad corriente

Metro

Kilogramo

Segundo

Kelvin

Mol

Candela

Amperio

m

Kg

s

ºk

mol

cd

A

L

M

T

Θ

N

I

Las Magnitudes Derivadas se forman mediante la

combinación de las magnitudes fundamentales.

Ejemplos:

Magnitud Unidad Símbolo Dimensión

Velocidad

Aceleración

Fuerza

Densidad

Energía

Metro/seg

Metro/seg2

Newton

Kilogramo/m3

joule

m/s

m/s2

N

Kg/m3

J

LT-1

LT-2

MLT-2

ML-3

ML2T-2

Sistemas de Unidades

El sistema absoluto esta formado por:

El sistema MKS (SI): metro, kilogramo, segundo.

El sistema CGS: Centímetro, gramo, segundo.

El sistema FPS: Pie, Libra, Segundo.

El sistema técnico está formado por:

El sistema MKS (europeo): Metro, Unidad técnica

de masa, segundo.

El sistema FPS (Inglés): Pie, slug, segundo.


7

Cuadro de Conversiones.

Unidades de longitud

mm cm m Km in ft yd mill

1mm =

1Cm =

1m =

1Km =

1 Plg(In) =

1 pie (ft) =

1 Yarda =

1milla =

1

10

1000

106

25.4

304.8

914.4

1.61x106

10-1

1

100

105

2.54

30.48

91.44

1.61x105

10-3

10-2

1

1000

0.0254

0.3048

0.9144

1609

10-6

10-5

10-3

1 2.54x10-5

3.05x10-4

9.14x10-4

1.609

0.03937

0.3937

39.37

39370

1

12

36

63346.3

3281x10-6

0.0328

3.281

3281

0.08333

1

3

5279.13

1094x10-6

0.01094

1.094

1094

0.02778

0.333

1

1760.4

6.2x10-7

6.2x10-6

6.2x10-4

0.6215 1.58x10-5

1.89x10-4

5.68x10-4 1

Unidades de Tiempo

Seg min h D

1 segundo =

1 minuto =

1 hora =

1 día =

1

60

3600

86400

16.66x10-3

1

60

1440

2.78x10-4

16.66x10-3

1

24

1.16x10-5

6.94x10-4

41.67x10-3

1

Unidades de Masa.

oz lb g Kg Utm

1 onza =

1 libra =

1 gramo =

1 Kilogramo =

1 Unidad técnica de masa =

1

16

0.03527

35.27

346

0.0625

1

0.002205

2.205

21.609

28.35

453.6

1

1000

9810

0.02835

0.4536

0.001

1

9.81

2.89x10-3

0.04628

1.02x10-4

0.102

1

Unidades de Fuerza y Peso.

N Kgf o Kp din Pound

1 Newton = 1 Kg.m/s2 =

1 Kgf = ! Kp =

1 dina =

1 poundals =

1

9.81

10-5

0.14

0.102

1

1.02x10-6

0.014

105

9.81x105

1

14000

7.14

71.43

7.14x10-5

1


8

1.6. Ejercicios de conversión de unidades.

La conversión de unidades juega un papel muy importante

para la resolución de ejercicios de Física, ya que nos permite

comparar y enlazar los diferentes sistemas de unidades.

Las unidades por su parte ayudaran a en la aplicación de las

formulas físicas ya que por ejemplo si deseamos calcular la

velocidad de un móvil sabiendo en que unidades esta dada

la velocidad, podemos evaluar si la fórmula que aplicamos

es la correcta ya que no solo el resultado numérico debe ser

el correcto sino que las unidades resultantes de la operación

deben también ser las adecuadas. Por ejemplo:

La velocidad siempre tendrá como unidad una unidad de

longitud sobre una unidad de tiempo ( m/s), (Km/h) etc.

Ejercicios:

Un vehículo que marcha por una carretera a 70 millas/hora

¿A Cuántos Km/h viajará dicho vehículo?

1.- las expresiones millas/horas se leen en física como millas

por hora, y Km/h se lee Kilómetros por hora.

2.- Debemos determinar de que unidad a que unidad vamos

a transformar. No se puede transformar unidades de longitud

en unidades de tiempo, solo podemos transformar unidades

del mismo genero pero de un sistema a otro.

3.- En el ejercicio tenemos que transformar las millas a

Kilómetros ya que las horas están en ambas magnitudes.

4.- Colocamos la primera magnitud y lo multiplicamos por el

factor de conversión correspondiente de tal manera que las

unidades iguales se simplifique y queden las unidades

resultantes como lo aremos a continuación:

70 mill/h x 1.609 km/1mill = 112.63 Km/h

Las 70 mill/h fueron transformadas y equivalen a 112.63 Km/h.

Esto se obtuvo transformando las millas a kilómetros usando


9

la equivalencia sacada del cuadro de unidades de longitud

en donde podemos observar que 1 milla que se encuentra

en el denominador para poderla simplificar con la milla que

se encuentra en el numerador es igual a 1.609 Km valor que

es multiplicado con el 70 para obtener el valor resultante.

Ejemplo # 2

Convertir 50 mill/h a metros/segundos

En este caso, a partir del cuadro de conversiones, 1mill =

1609 m y 1h = 3600 seg.

Estas relaciones se utilizan para cancelar las unidades que se

van a cambiar, dejando detrás las que se desean.

50 mill/h x 1609 m/mill x 1h/3600 s = 22 m/s

Note que se han cancelado las millas y las horas y quedan

los metros y segundos.

Ejercicios Propuestos:

1. ¿Cuántos metros hay en (a) 30 pies, (b) 5280 pies?

2. Haga las conversiones siguientes: (a) 25 m a pies, (b) 12

pulgadas a centímetros, (c) 14 días a segundos.

3. Un estudiante determinado medía 20 in de largo cuando

nació. Ahora tiene 5 ft 4 in y tiene 18 años de edad.

¿Cuántos centímetros creció, en promedio, por año?

3

4. Un equipo de baloncesto de los Estados Unidos tiene un

centro que tiene 6 pies 9 pulgada de alto y pesa 200

libras. Si el equipo participa en juegos de exhibición en

Europa ¿Cuáles serán las cifras listadas por el parlante

para los aficionados si se utiliza el sistema internacional de

unidades (SI)?

5. A un lado de una carretera hay un letrero que indica que

el límite de velocidad que debe de ir el conductor de un

auto es de un máximo 60 mill/h si el vehículo va a 80 km/h

¿excederá del límite de velocidad?.


10

6. En un ascensor de capacidad para 400 Kg. Se suben 6

personas de 120 lb, 145 lb, 160 lb, 180 lb, 150 lb y 170 lb.

¿Podrán subir todas estas personas en un solo viaje?.

¿Cuántos viajes deberán hacer?.

7. En un vehículo la velocidad que marca el velocímetro es

de 91.14 Ft/seg. (a) ¿a cuántos Km/h irá el vehículo? (b) y

¿A cuántas mill/h irá?.

8. Un cable sostiene un puente colgante y para ello requiere

realizar una tensión de 7500 N ¿cuántos (a) kgf, (b)

poundals requiere de fuerza para sostener el puente?

9. Un terreno de forma rectangular tiene 10.56 m de largo y

7.89 m de ancho ¿Cuál es el área del terreno expresado

en pie2?

10. Un balón de fútbol tiene de 11 a 11 1/4 pulg de diámetro

¿cuál es el área del balón cm2?. Nota el área de la esfera

es πd2 o 4πr2.

ARTICULACIÓN # 2

Mecánica. Cinemática Descripción del Movimiento.

Objetivo: desarrollar en el estudiante el interés por conocer lo

elemental del movimiento para su correcta aplicación y que sea

capaz de resolver problemas inherentes al tema como parte

integral de su proceso de aprendizaje.

Tiempo: Esta Unidad esta planificada para un total de 20 horas

2.1. Movimiento Lineal.

Hay movimiento para todas partes a nuestro alrededor. Lo

vemos en la actividad cotidiana de las personas de los

autos que pasan por la carretera etc.

Cuando hablamos de movimiento lineal nos referimos al

análisis que se hace del movimiento a lo largo de una

trayectoria recta.


11

En este análisis se puede determinar que el movimiento es

relativo. Por ejemplo un libro que está en reposo respecto a

la mesa sobre la cual se encuentra se mueve a unos 30

kilómetros por segundo en relación con el Sol, y aún más

aprisa respecto al centro de nuestra galaxia. Este ejemplo

nos define claramente lo que es movimiento relativo ya que

depende del punto de referencia para analizarlo.

2.2. Rapidez y Velocidad.

Un objeto en movimiento recorre una cierta distancia en un

tiempo determinado. Un auto por ejemplo, recorre un

cierto número de kilómetros en una hora. La rapidez es una

medida de qué tan aprisa se mueve un objeto. Es la razón

de cambio a la que se recorre la distancia. (Llámese razón

de cambio a la división de alguna cantidad entre el

tiempo). La rapidez se mide siempre en términos de una

unidad de distancia dividida entre una unidad de tiempo.

Rapidez Instantánea.- Un auto no se desplaza siempre con

la misma rapidez. Un auto puede recorrer una calle a 50

Km/h, reducir su rapidez a 0 Km/h en un semáforo y luego

aumentar a solo 30 Km/h a causa del tráfico. Se puede

saber la rapidez del vehículo en cualquier momento

mirando el velocímetro del mismo. La rapidez en cualquier

instante se conoce como rapidez instantánea.

Rapidez promedio.- Cuando alguien planea realizar un

viaje en un auto, a menudo le interesa saber cuánto

tiempo le tomará recorrer cierta distancia. Desde luego, el

auto no viajará con la misma rapidez durante todo el

recorrido. Al conductor le interesa sólo la rapidez promedio

para la totalidad del trayecto. La rapidez promedio se

define como sigue:

Distancia total recorrida

Rapidez Promedio = ------------------------------------------

Intervalo de tiempo

La rapidez promedio se calcula con facilidad. Por ejemplo,

si recorremos una distancia de 60 kilómetros por hora (60

km/h) o bien, si recorre 240 kilómetro en 4 horas veremos

que:


12

Distancia total recorrida 240 Km Rapidez promedio = ----------------------------- = --------- = 60 km/h Intervalo de tiempo 4 h

VELOCIDAD.- En el lenguaje cotidiano empleamos las

palabras rapidez y velocidad de manera indistinta. En física

hacemos una distinción entre ellas. De manera muy

sencilla, la diferencia es que la velocidad es una rapidez en

una dirección determinada. Cuando decimos que un auto

viaja a 60 km/h estamos indicando su rapidez. Pero si

decimos que un vehículo se desplaza a 60 km/h hacia el

norte estamos especificando su velocidad. La rapidez

describe que tan aprisa se desplaza un objeto; la velocidad

nos dice que tan aprisa lo hace y en que dirección.

2.3. Movimiento Rectilíneo Uniforme (con velocidad constante)

Cuando se habla de movimiento rectilíneo uniforme se

puede analizar aquel que se produce con velocidad

constante o el que se produce con velocidad variada. El

primer movimiento que se analiza es el movimiento con

velocidad constante.

VELOCIDAD CONSTANTE.- De la definición de velocidad se

deduce que para tener una velocidad constante se

requiere que tanto la rapidez como la dirección sean

constantes. Rapidez constante significa que el movimiento

conserva la misma rapidez, es decir, el objeto no se mueve

ni más aprisa ni más lentamente. Dirección constante

significa que el movimiento sigue una línea recta. Por lo

tanto el movimiento a velocidad constante es un

movimiento en línea recta y con rapidez constante.

Otro de los conceptos importante de definir en esté

capitulo es el desplazamiento. Que es la distancia en línea

recta entre dos puntos, junto con la dirección de aquí que

al igual que la velocidad el desplazamiento es una

cantidad vectorial con magnitud y dirección.

Para entender lo de cantidad vectorial definamos

brevemente lo que es un vector y un escalar


13

VECTOR.- es aquella magnitud física que posee módulo,

unidad, dirección y sentido.

ESCALAR.- es aquella magnitud que solo tiene módulo y

unidad y con ello expresan todo lo necesario.

Una vez que hemos determinado la diferencia entre

cantidad vectorial y cantidad escalar, estamos en

condiciones de expresar matemáticamente el movimiento

rectilíneo.

En donde:

La velocidad en un movimiento rectilíneo se define como la

razón entre el desplazamiento y el tiempo

d

V = ---------

t

La unidad de velocidad siempre estará dada por una

unidad de longitud sobre una unidad de tiempo.

Ejemplo: m/s, km/h. pie/ seg. Etc.

Ejercicio ilustrativo

Un automóvil recorre 450 km en 6 hora. Calcule la

velocidad media en Km/h y en m/s.

El primer paso para resolver un ejercicio de física es

identificar los datos del problema que se encuentran en el

enunciado.

Datos:

d = 450 Km.

t = 6 h

Vm = ?

Luego de haber determinado los datos y saber cual es la

incógnita o la variable a encontrar, vemos la fórmula y la

aplicamos.


14

d 450 km

Vm = --------- = ---------- = 75 Km/h

t 6 h

Vm = 75 km/h

Luego realizamos la transformación de unidades para

llevarlo a m/s

Vm = 75 km/h x 1000 m/1km x 1h/3600 seg. = 20.83 m/s

Vm = 20.83 m/s.

Ejemplo # 2

Un motociclista maneja 125 km de una ciudad a otra como

indica la figura, en 2 horas, pero el viaje de regreso lo hace

en sólo 1.5 h ¿cuál es la rapidez promedio para (a) cada

mitad de viaje redondo y (b) el viaje total?

A B

125 Km

Al igual que el ejercicio anterior lo primero que debemos

hacer es clasificar los datos y las incógnitas.

Datos:

d = 125 Km

ti = 2 h.

tr = 1.5 h

Vm = ? (a) cada mitad de viaje redondo. (b) el viaje total.

Una vez que tenemos los datos plenamente identificado

aplicamos la fórmula.

d

Vm = -----------

t


15

Para lo cual vemos en los datos cual es la variable que se

debe calcular y de que forma hacerlo según el análisis del

enunciado.

Primero resolvemos el literal (a).

Entonces

125 Km

Vm = --------------- = 62.5 Km/h

2 h

Este resultado corresponde a la rapidez promedio de ida.

125 Km

Vm = --------------- = 83.33 km/h

1.5 h

Este resultado corresponde a la rapidez promedio de

regreso.

Para resolver el literal (b) demos considerar:

1. Que la distancia total recorrida es de 250 Km entre ida y

regreso.

2. Que el tiempo total del recorrido es de 3.5 h

Basándose en estos datos obtenidos sacamos la rapidez

promedio total.

250 Km

Vm = --------------- = 71.43 Km/h

3.5 h

Debe considerar que se supone que el motociclista va y

regresa inmediatamente.

Ejercicios propuestos:

1. Un aeroplano vuela en línea recta a una rapidez de 140

km/h ¿cuánto le toma volar 400 km?

2. Un autobús viaja por una carretera a una rapidez

promedio de 90 km/h. ¿Qué tan lejos viaja en 15 min en

promedio?


16

3. Un corredor da tres vueltas completas alrededor de una

pista de 1 km de largo en 13.3 min ¿Cuál es (a) su

rapidez promedio y (b) su velocidad promedio?

4. Un automóvil viaja uniformemente a lo largo de una

carretera recta cubriendo una distancia de 88 pies

cada segundo. (a) cuál es la rapidez del automóvil en

mill/h? (b) ¿Cuáles son la rapidez media y la velocidad

media en m/s?.

5. Se cubre una distancia de 1.50 km al hacer una vuelta

alrededor de una pista avalada para bicicletas. Si un

corredor que va con rapidez constante hace una vuelta

en 1.25 min, ¿cuál es la rapidez de la bicicleta y del

corredor en m/s.

6. Una pista circular tiene un diámetro de 0.50 km. Un

coche ligero con una rapidez constante de 7 m/s hace

dos vueltas completas alrededor de la pista, ¿cuánto

tiempo le toma completar las dos vueltas?

7. Un estudiante que conduce a su casa para pasar las

vacaciones parte a las 8:00 a.m. para hacer un viaje de

675 km, que es prácticamente todo por una carretera

no urbana. Si desea llegar a casa no más tarde de las

3:00 p.m., ¿cuál deberá ser su rapidez promedio

mínima? ¿Tendrá que exceder el limite de velocidad de

65 mi/h?

8. Dos conductores se aproximan uno al otro sobre una

pista recta; tienen velocidades constantes de +4.50 m/s

y -3.50 m/s, respectivamente, cuando están separados

por 100 metros ¿Cuánto le tomará encontrarse y en qué

posición ocurrirá?

9. Dos motociclistas corren contrarreloj en una ruta a través

del campo de 40 Km. El primero recorre la ruta con una

rapidez promedio de 55 km/h. el segundo parte 3.5 min

después del primero, pero cruza la línea final al mismo

tiempo. ¿Cuál es la rapidez promedio del segundo?


17

2.4. Aceleración.

La descripción básica de un movimiento comprende el

intervalo de tiempo de un cambio de posición, que puede

expresarse por la velocidad. El paso siguiente sería cómo

cambia la velocidad del cambio. Suponga que algo se

está moviendo a una velocidad constante y que la

velocidad cambia; esto es una aceleración. El pedal de la

gasolina de un automóvil se llama comúnmente

acelerador. Cuando usted presiona el acelerador, el carro

acelera; y cuando usted libera el acelerador, el automóvil

desacelera. Esto es, hay un cambio de velocidad con el

tiempo, o una aceleración. Específicamente, la

aceleración del cambio de velocidad en un intervalo de

tiempo.

Cambio de velocidad

Aceleración promedio = --------------------------------------------

Tiempo para hacer el cambio

Δv v - vo

O a = --------- = ---------------

Δt t - to

Esta expresión permite calcular la aceleración de un

objeto, de donde podemos determinar que como la

velocidad esta dada en unidad de longitud sobre unidad

de tiempo y esto sobre unidad de tiempo entonces:

m/s/s = m/s2.

En otras palabras la aceleración estará dada por una

unidad de longitud sobre una unidad de tiempo al

cuadrado.

2.5. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado

Este movimiento analiza los cambios de velocidades, ósea

las aceleraciones por lo tanto también se lo llama

movimiento uniformemente acelerado.


18

De donde:

v - vo

a = ------------

t

De esta expresión despejamos v que es la velocidad final.

Tenemos:

V = Vo + at (solo para aceleración constante).

También podemos encontrar la velocidad media en base a

la velocidad final (v) y velocidad inicial (vo).

v + vo

Vm = ------------

2

ECUACIONES CINEMÁTICAS.- la descripción del movimiento

en una dimensión con aceleración constante requiere sólo

de tres ecuaciones básicas. Las ecuaciones básicas en que

nos vamos a basar para el estudio del M.R.U.V. son:

La primera ecuación pertenece a situaciones de

movimiento con velocidad constante. Las otras dos

ecuaciones intervienen en casos que la aceleración es

constante.

No obstante, la descripción del movimiento en algunos

casos requiere de aplicaciones múltiples de estas

ecuaciones, que en un principio parece no ser obvias. Sería

de gran ayuda si hubiera una forma de reducir el número

X = Vm.t

v + vo

Vm = -----------

2

v = vo + at

1

2

3


19

de operaciones al resolver problemas cinemáticos, y si hay:

la combinación algebraica de ecuaciones.

Por ejemplo, la combinación de las ecuaciones anteriores

requiere primero de la sustitución de vm de la ecuación 2

en la 1.

v + vo

X = vm.t = ( -------------) t

t

Luego, sustituyendo v en la ecuación 3, tenemos

V + vo (vo + at) + vo

X = ( -------------)t = {------------------------}.t

2 2

La simplificación nos da

Estas ecuaciones combinadas permiten calcular

directamente la distancia recorrida.

Otra posibilidad es utilizar la ecuación 3 para eliminar el

tiempo (t), en lugar de la velocidad final (v), escribiendo la

ecuación en la forma t = (v - vo) /a. Entonces, como antes,

al sustituir para vm en la ecuación 1 a partir de la 2

obtenemos.

v +vo

X = vm t = (----------).t

2

Pero si sustituimos t, obtenemos

v + vO v + vO v - vO

X = ( ------------ ).t = ( ----------- ) ( ------------ )

2 2 a

X = vot + 1/2 at2


20

La simplificación nos da

Ejemplo # 1

Un automóvil que viaja sobre un camino recto a 90 km/h

disminuye la velocidad a 40 km/h en 5 s ¿cuál es su

aceleración promedio?

Solución. En el problema tenemos los datos siguientes

[Como el movimiento es rectilíneo, suponemos que la

velocidades instantáneas tienen dirección positiva, y la

conversión a las unidades estándar (km/s a m/s) se hace

de inmediato pues el tiempo está dado en segundos. En

general, siempre se trabaja con la aceleración en unidades

estándar.]

Datos.

vo = 90 km/h x 1000 m/1 km x 1h/3600 s = 25 m/s

v = 40 km/h x 1000 m/1 km x 1h/3600 s = 11 m/s

t = 5 s

a = ?

Dados las velocidades inicial y final y el intervalo de

tiempo, la aceleración promedio se puede encontrar

utilizando la siguiente ecuación.

v - vo

a = -------------

t

11 m/s - 25 m/s

a = --------------------------- = - 2.8 m/s2

5 s

El signo menos indica la dirección de la aceleración

(vectorial). En este caso, la aceleración es opuesta a la

dirección del movimiento inicial (+vo), y hace más lento al

V2 = vo2 + 2 a x


21

automóvil. Una aceleración tal se llama algunas veces

desaceleración.

Una aceleración negativa no necesariamente significa que

un objeto en movimiento desacelera o que su velocidad

disminuye. Los signos + y - indican los sentidos vectoriales

con respecto al eje de referencia. Si la velocidad y la

aceleración tienen sentidos opuestos, un objeto en

movimiento desacelerará. No obstante, supongamos que

un carro que viaja en la dirección x negativa (-vo)

experimenta una aceleración en la dirección x positiva

(+a). El carro estaría desacelerando. Similarmente, si la

velocidad y la aceleración tienen la misma dirección, el

carro acelerará. Por ejemplo, si el carro viaja inicialmente

en la dirección x negativas (- vo), una aceleración negativa

(-a) lo acelerará en esa dirección.

Ejemplo # 2

Un bote de motor parte del reposo en un lago y acelera en

línea recta a una velocidad constante de 3 m/s2 durante 8

s. ¿Cuál es su velocidad final? y ¿Qué tan lejos viajó el bote

durante este tiempo?

Solución. Al leer el problema y resumir los datos dados y lo

que se busca, tenemos,

Datos:

vo = 0

a = 3 m/s2

t = 8 seg.

v = ?

x = ?

Lo primero que podemos observar es que todas las

unidades son estándar ósea que están en el mismo sistema

de unidades.

Mirando los datos del problema y analizando las fórmulas

podemos darnos cuenta que la ecuación adecuada para

calcular la velocidad final que adquiere el bote es:


22

v = vo + at

v = 0 + (3 m/s2) (8 s) = 24 m/s

Note que al multiplicar las unidades de aceleración con las

de tiempo se simplifican los segundos dando por resultado

la unidad de velocidad.

Finalmente la magnitud del desplazamiento o la distancia

recorrida es:

x = vot + 1/2 a t2

x = 0 + 1/2 (3 m/s2)(8 s)2 = 96 m.

Ejercicios propuestos

1. Un automóvil que viaja a 25 km/h a lo largo de un

camino recto acelera a 50 km/h en 5 seg. ¿Cuál es la

aceleración media?

2. Un automóvil que se mueve con una velocidad de 24

m/s en una calle de un solo sentido debe detenerse en

4 s. ¿Cuál es la aceleración media requerida?

3. Un carro acelera uniformemente del reposo a una

velocidad de 5.25 m/s2. ¿Qué tan lejos viaja en 7 s?

¿Cuál es la rapidez del carro en ese tiempo?

4. Un bote de motor que se mueve en línea recta

disminuye su velocidad uniformemente de 70 km/h a 35

km/h en una distancia de 50 m ¿Cuál es la

desaceleración?

5. Una bala viaja horizontalmente con una rapidez de 35

m/s choca contra una tabla perpendicular a la

superficie, la atraviesa y sale por el otro lado con una

velocidad de 21 m/s si la tabla es de 4 cm de grueso,

¿cuánto tiempo le tomó a la bala atravesarla?

6. Un avión recorre antes de despegar una distancia de

1800 m en 12 segundos, con una aceleración


23

constante calcular: (a) La aceleración, (b) la velocidad

en el momento del despegue.

7. La velocidad inicial de un proyectil es de 600 m/s.

sabiendo que la longitud del cañón es de 150 cm,

calcular la aceleración media del proyectil hasta el

momento de salir del cañón.

8. el conductor de un camión que va a 100 km/h aplica

los frenos, dando al camión una desaceleración

uniforme de 6.50 m/s2 conforme viaja 20 m (a) ¿Cuál es

la velocidad del camión en Km/h al final de esta

distancia? ¿Cuánto tiempo empleo?

9. El limite de velocidad en una zona escolar es de 40

Km/h (alrededor de 25 mill/h). Un conductor que viaja

a esa velocidad ve ha un niño que corre por el camino

17 m delante de su carro. Aplica los frenos y el carro se

desacelera uniformemente a 8 m/s2. si el tiempo de

reacción del conductor es de 0.25 s, ¿Se detendrá el

carro antes de atropellar al niño?

10. Un tren que viaja sobre rieles recta tiene una velocidad

de 45 km/h. Se aplica una aceleración uniforme de

1.50 m/s2 conforme el tren recorre 200 m. (a) Cuál es la

rapidez del tren al final de esta distancia? (b) ¿cuánto

tiempo le tomó al tren recorrer los 200 m?

2.6. Caída Libre.

Uno de los casos más familiares de aceleración constante

se debe a la gravedad cerca de la superficie de la tierra.

Cuando un objeto cae, su velocidad inicial es cero (en el

instante en que es liberado), pero un tiempo después

durante la caída tiene una velocidad que no es cero. Ha

habido un cambio en la velocidad y, por definición, una

aceleración. La aceleración debida a la gravedad (g) tiene

un valor aproximado (magnitud) de:

g = 9.80 m/s2 aceleración debido a la gravedad


24

o 980 cm/s2 y se dirige hacia abajo (hacia el centro de la

tierra). En unidades británicas, el valor g es alrededor de 32

pies/s2.

Los valores para g son sólo aproximados pues la

aceleración debida a la gravedad varía ligeramente en

diferentes lugares como resultado de las diferencias en la

elevación y la masa promedio regional de la tierra.

Se dice que los objetos en movimiento sólo bajo la

influencia de la gravedad, están en caída libre.

En el movimiento de caída libre el desplazamiento lo

representaremos con la letra (y). Y como la aceleración

debida a la gravedad siempre es hacia abajo, está en

sentido negativo. -g = - 9.80 m/s2. No obstante la relación a

= - g se puede expresar explícitamente en las ecuaciones

para el movimiento lineal

Como se puede observar las ecuaciones para caída libre son

muy similares a las ecuaciones de movimiento horizontal con

la diferencia de la gravedad que se aplica en los cuerpos

que se mueven verticalmente.

Ejemplo.

Un niño que está sobre un puente tira verticalmente una

piedra hacia abajo con una velocidad inicial de 14.7 m/s. Si

la piedra choca con el agua 2 seg. Después, ¿cuál es la

altura del puente sobre el río?

y = vmt

v + vo

vm = ----------------

2

v = vo - gt

y = vot - 1/2gt2

v2 = vo2 - 2 gy

(6)

(2)

(7)

(8)

(9)


25

Solución. Como es usual, primero leemos el problema y

escribimos los datos que se nos dan y lo que debemos

encontrar.

Datos:

Vo = - 14.7 m/s (hacia abajo se toma como la dirección

negativa)

t = 2 s

g (= 9.80 m/s2)

y = ?

Observe que g ahora es sólo una cifra, dado que el signo

menos ya se ha puesto en las ecuaciones anteriores del

movimiento. Después de un tiempo, probablemente sólo

escribirá el símbolo g, dado que se habrá familiarizado con su

valor numérico. Esta vez, haga usted mismo el esquema para

ayudarse a analizar la situación.

Considerando qué ecuaciones nos darán la solución usando

los datos dados, es evidente que la distancia que la piedra

recorre en un tiempo t se da directamente por la ecuación 8

Y = vot - 1/2gt2 = (-14.7 m/s)(2 s) - 1/2(9.8 m/s2)(2 s)2

= -29.4 m - 19.6 m = -49.0 m

El signo menos indica que el desplazamiento es hacia abajo,

lo cual concuerda con lo que usted sabe de la formulación

de problema. (¿Podría encintrar cuánto le tomó a la piedra?)

Ejemplo # 2

Un trabajador está en un andamio frente a un anuncio y tira

una pelota en línea recta hacia arriba. La pelota tiene una

velocidad inicial de 11.2 m/s cuando deja la mano del

trabajador en el mismo nivel que indica la flecha. (a) ¿Cuál es


26

la altura máxima que alcanza la bola medida desde donde

indica la línea de puntos? (b) ¿Cuánto tiempo le toma

alcanzar esa altura? (c) ¿Cuál es la posición de la bola en t =

2 s?

Solución. Tal parece que todo lo que se ha dado en el

problema general es la velocidad inicial vo. A pesar de ello,

algunos otros datos están implícitamente "dados" pues se

conocen. Uno de ellos es la aceleración g, y el otro es la

velocidad cuando la pelota se detiene a la máxima altura.

Aquí, al cambiar la dirección, la velocidad de la pelota es

momentáneamente cero; así tenemos.

Datos:

vo = 11.2 m/s

g = 9.80 m/s2

v = 0 para (a)

t = 2 s (para la parte c)

(a) y(max) = (altura máxima)

(b) ta (tiempo hacia arriba )

(c) y (en t = 2 s)

(a) observe que nos referimos a la altura (y = 0) de la parte

donde se encuentra la línea de puntos. Para esta parte del

problema sólo debemos preocuparnos del movimiento hacia

arriba: la pelota se tira hacia arriba y se detiene a la altura

Y max Y = 0


27

máxima ymáx. Con v = 0 a esta altura, ymax se puede encontrar

directamente de la ecuación.

V2 = 0 = vo2 - 2 g ymax

Vo2

Y max = ----------

2g

(11.2 m/s)2

= --------------------- = 6.40 m

2(9.8 m/s2)

Con respecto a la parte superior del anuncio y = 0, ver figura).

(b) El tiempo que la pelota viaja hacia arriba se designa ta.

Este es el tiempo que le toma alcanzar ymax, en donde v = 0

entonces, conociendo vo y v, el tiempo ta se puede encontrar

directamente de la ecuación:

v = 0 = vo - gta

y

vo

ta = -----------

g

11.2 m/s

= -------------- = 1.14 s

9.8 m/s2

(c) La altura de la pelota en t = 2 s está dada directamente

en la ecuación:

y = vo t - 1/2 g t2

(11.2 m/s)(2 s) - 1/2 (9.8 m/s2) (2 s)2

22.4 m - 19.6 m = 2.8 m


28

Observe que esto es 2.8 m arriba, o medidos hacia arriba

desde el punto de referencia (y = 0). La pelota alcanzó su

altura máxima y está en su camino de regreso hacia abajo.

Si consideramos el problema desde otro punto de referencia,

sería como dejar caer la pelota desde una altura y max arroba

de la parte donde se encuentra la línea de puntos con vo = 0

y preguntarnos qué tan lejos caería en el tiempo t = 2 s - ta =

2 s - 1.14 s = 0.86 s. La respuesta es

y = vot - 1/2 g t2

= 0 - 1/2 (9.8 m/s2) (0.86 s)2 = - 3.6 m

Es la misma posición que obtuvimos antes, pero ahora se ha

medido con respecto a la altura máxima como punto de

referencia; esto es

y (máx.) -3.6 m = 6.4 m - 3.6 m = 2.8 m

Concejo para la solución de problemas

Cuando se trabaja con problemas de proyección vertical

que comprenden movimiento hacia arriba y hacia abajo,

con frecuencia es conveniente dividir el problema en dos

partes y considerar cada una en forma separada. Como se

vio en el ejemplo anterior, para la parte en la que el

movimiento se dirige hacia arriba, la velocidad es cero ala

altura máxima. Una cantidad cero simplifica los cálculos. En

forma similar, la parte en la que el movimiento se dirige hacia

abajo es análogo a la del objeto que se deja caer desde

determinada altura, en donde la velocidad inicial es cero.

Ejercicios propuestos

1. Un objeto se suelta desde la parte más alta de un

acantilado tarda 1.80 s para llegar al agua del lago hay

debajo. ¿Cuál es la altura del acantilado sobre el agua?

2. ¿Con qué rapidez hay que proyectar verticalmente hacia

arriba un objeto para que alcance una altura máxima de

12 m sobre un punto de partida?


29

3. Se tira verticalmente hacia abajo una piedra con una

velocidad inicial de 12.4 m/s desde una altura de 65 m

sobre el suelo. (a) ¿Qué tan lejos viaja la piedra en 2 s? (b)

¿Cuál es su velocidad cuando llega al suelo?

4. Una persona que está inclinada sobre el borde de un

edificio de 34 m de alto lanza una pelota hacia arriba con

una rapidez inicial de 6 m/s de modo que la pelota no

choque contra el edificio en el viaje de regreso. (a) ¿Qué

tan lejos sobre el suelo estará la pelota al final de 1 s.? (b)

¿cuál es la velocidad de la pelota en ese momento? (c)

¿Cuándo y con qué rapidez chocará la pelota en el

suelo?

5. Una pelota de béisbol lanzada verticalmente hacia arriba

se cacha a la misma altura 3.20 s después. ¿Cuáles son (a)

la velocidad inicial de la pelota y (b) su altura máxima

sobre el punto de partida?.

6. Cierta persona salta una distancia vertical de 0.85 m. (a)

¿Cuál es el tiempo total que la persona está fuera del

piso? (b) Con que velocidad llegará la persona al piso?

7. Al tirar verticalmente hacia arriba un objeto con una

velocidad de 7.25 m/s desde la parte superior de un

edificio alto, inclinado el lanzador sobre el borde de modo

que el objeto no choque con el edificio en su viaje de

regreso, (a) ¿cuál es la velocidad del objeto cuando ha

viajado una distancia total de 25 m (b) ¿Cuánto le toma

viajar esta distancia?

8. Un fotógrafo en un helicóptero que asciende

verticalmente a una rapidez constante de 1.75 m/s deja

caer accidentalmente una cámara cuando el helicóptero

está a 50 m arriba del suelo. (a) ¿Cuánto tiempo tardará la

cámara en llegar al suelo? (a) ¿cuánto tiempo tardará la

cámara en llegar al suelo? (b) ¿Cuál será su rapidez

cuando choque?.

9. La aceleración debida a la gravedad en la luna es un

sexto de la de la tierra. (a) si un objeto se dejará caer

desde misma altura en la luna y en la tierra, ¿cuánto más

tiempo le tomaría chocar con la superficie de la Luna? (b)


30

Para un proyectil con una velocidad inicial de 18 m/s

hacia arriba ¿Cuál sería la altura máxima que alcanzaría y

el tiempo total de vuelo sobre la luna y sobre la tierra?

10. Un estudiante que está en una ventana en el segundo piso

de un dormitorio ve ha su profesor de matemáticas venir

por la acera que corre al lado del edificio. Tira un globo

con agua desde 18 m arriba del suelo cuando el profesor

está a 1 m del punto directo debajo de la ventana. Si el

profesor tiene 170 cm de altura y camina a una velocidad

de 0.450 m/s, ¿le caerá el globo en la cabeza? ¿Le caerá

en alguna parte del cuerpo?

11. Un objeto que cae pasa por una ventana que tiene una

altura de 1.35 m durante 0.210 s ¿Desde qué altura sobre

la ventana se soltó el objeto?

ARTICULACIÓN # 3

Movimiento en dos dimensiones

Objetivo: Impartir una comprensión de los principios físicos

fundamentales y capacitar a los estudiantes para resolver diversos

problemas razonables en las áreas especificadas, de tal manera

que se tenga un conocimiento completo de la naturaleza física y

se aprecie mejor los conocimientos adquiridos, para su aplicación

y colaboración en el desarrollo integral del profesional.

Tiempo: Esta unidad Está planificada para 20 horas

3.1. Introducción.- ¿podría usted describir el movimiento de la

pelota pateada por un jugador de fútbol? Obviamente,

éste no es el caso de un movimiento en línea recta, o

rectilíneo, en una dimensión como los que consideramos la

unidad anterior. Aquí, tenemos movimiento en un plano; es

decir, en dos dimensiones.

Los componentes del movimiento se pueden representar

convenientemente con notación vectorial. Un vector

desplazamiento por ejemplo, tiene o está constituido de los

componentes de posición X y Y. En forma similar, un vector

de velocidad tiene los componentes de velocidad vx y vy;

Un vector de aceleración tiene los componentes de


31

aceleración ax y ay. En algunos casos, los aspectos del

movimiento se puede analizar sumando directamente

vectores. Debido a que todo vector tiene tanto magnitud

como dirección, la adición escalar de números, que usted

aprendió en la escuela primaria, no se aplica. En este

capítulo, usted aprenderá cómo sumar y restar vectores

operaciones que toman en cuenta la dirección.

3.2. Sistema de coordenadas en el plano

Coordenadas Rectangulares. Están formadas por dos ejes

numéricos perpendiculares entre sí. El punto de intersección

se considera como el origen de cada uno de los ejes

numéricos x e y. Este punto se llama origen de

coordenadas y se designa con la letra O.

Y (+)

2º cuadrante 1er cuadrante

(-) x (+)

o

3er cuadrante 4º cuadrante

(-)

El eje horizontal se denomina abscisa o eje de las x. Es

positiva a la derecha del origen, y negativa a la izquierda.

El eje vertical se denomina ordenada o eje de las y. Es

positiva hacia arriba del origen, y negativa hacia abaja.

Estos ejes numéricos perpendiculares dividen el plano en

cuatro cuadrantes ordenados.

La posición de un punto en el plano queda determinado

por un par de números ordenados (x,y), llamados


32

coordenadas rectangulares, que corresponden a la

intersección de una abscisa (x) y una ordenada(y).

Ejemplo:

Representar la posición de los siguientes puntos en el plano:

A(5,1)

B(-4,4)

C(2,-4)

D(-1,1)

E(-1,1)

F(7,-1)

Coordenadas polares.- Están formadas por el eje numérico

de referencia x, denominado eje polar. En un punto de

éste se halla el origen de coordenadas O, llamado origen o

polo

Ø

O

r

(r, Ø)

La posición de un punto en el plano queda determinada

por un par ordenado (r,Ø), donde r es el radio vector y

representa la distancia positiva del origen al punto; y Ø es

el ángulo polar, y representa la medida del ángulo desde

el eje polar hasta el radio vector, en sentido antihorario

Ejemplo:

A(50 Km, 120º)

B(20 Km, 330º)

C(40 Km, 45º)

D(30 Km, 220º)


33

Coordenadas Geográficas.- Están formadas por dos ejes

perpendiculares entre sí. El punto de intersección de los ejes

se considera como el origen de cada uno de ellos. Estos

ejes perpendiculares dividen al plano en los cuatros puntos

cardinales: Norte, Sur, Este y Oeste.

N

O E

S

El eje horizontal representa el Este (E) a la derecha del

origen, y el Oeste (O) a la izquierda del origen.

El eje vertical representa el Norte (N) hacia arriba del

origen, y el Sur, (S) hacia abajo del origen.

Ejemplo:

A(10 m, S40ºO)

B( 4 m, N30ºE)

C( 8 m, S20ºE)

D( 6 m, N60º)

3.3. Resolución de Triángulos Rectángulos.- Un triángulo

rectángulo está compuesto de seis elementos: tres lados,

dos ángulos agudos y un ángulo recto. La suma de los

ángulos es 90º

y

(x,y)

r

y

Ø

o

x


34

En la resolución de un triángulo es necesario conocer tres de

los seis elementos que lo componen, siempre que al menos

uno de ellos sea un lado.

Para la resolución de triángulos rectángulos se aplica:

a) El teorema de Pitágoras.

b) Las funciones trigonométricas de un ángulo agudo.

Teorema de Pitágoras.- en todo triángulo rectángulo, el

cuadrado de la medida de la hipotenusa, es igual a la suma

de los cuadrados de las medidas de los catetos:

R2 = x2 + y2

Principales funciones trigonométricas.- en todo triángulo

rectángulo las principales funciones trigonométricas de uin

ángulo agudo son:

El aprendizaje de la resolución de triángulos rectángulos es

importante para analizar el movimiento en dos dimensiones y

para la suma de vectores.

Ejercicio de aplicación

Resolver el siguiente triangulo rectángulo.

c = ?

a = 3

b = 5

Fu

nc

ión

Sím

bo

lo

Coordenadas

Rectangulares Triángulos rectángulo

Fó

rmu

la

Seno

Coseno

Tangente

Sen Ø

Cos Ø

Tan Ø

Ordenada / radio vector

Abscisa / Radio vector

Ordenada / abscisa

Cateto opuesto / hipotenusa

Cateto adyacente / hipotenusa.

Cateto opuesto / cateto adyacente

Y/r

X/r

Y / x


35

Del triangulo rectángulo dado no se conoce la hipotenusa ni

los ángulos agudos que lo forman.

Para encontrar la hipotenusa lo podemos hacer aplicando el

teorema de Pitágoras.

C2 = a2 + b2

C = 2b2a

De donde:

C = 22 43 = 5

C= 5

Luego para calcular los ángulos alfa y beta se aplica

funciones trigonométricas.

º87.36

75.0tan

75.04

3tan

b

a

ady

optan

1

º13.53

33333.1tan

33333.13

4tan

c

bsen

1

Al sumar estos ángulos debe de sumar 90º para cumplir con

la ley de los triángulos que sumado al ángulo recto dará

180º.


36

Ejercicios de aplicación

Resolver los siguientes triángulos rectángulos.

27

30 36 m

6

40

60

70

20

3.4. Componentes del Movimiento

En los capítulos anteriores se estudiaron objetos que se

mueven en línea recta o a lo largo del eje horizontal a lo

largo del eje vertical. El caso primero el movimiento

rectilíneo uniforme y el uniformemente variado, y para el

segundo caso caída libre.

Pero el movimiento no solo se manifiesta en estos dos

sentidos por separado sino que se necesita de ambos (x , y)

para describir el movimiento de un objeto que se mueve

diagonalmente.

y

(x , y)

d

y = vy t v

x

x = Vx t


37

22

22 )()(

yxd

vvv yx

Si se da el valor y dirección de la velocidad de un objeto

que se mueve diagonalmente se puede calcular las

componentes de la velocidad mediante:

Vx = v cos

Vy = v sen

Ejemplo # 1

Una pelota que se mueve diagonalmente y tienen una

velocidad de 0.50 m/s y un ángulo de 37º en relación con el

eje de las x, encuentre qué tan lejos viajará en 3 s; utilice los

componentes x , y.

Solución. Si organizamos los datos, tenemos

Datos:

V = 0.50 m/s

= 37º

t = 3 s

encontrar: d (distancia)

la distancia en términos de los componentes x e y está

dado por d = 22 yx . De modo que para encontrar x e y

primeros calculamos los componentes de la velocidad vx y

vy.

Vx = v cos 37º = (0.50 m/s)(0.80) = 0.40 m/s

Vy = v sen 37º = (0.50 m/s) (0.60) = 0.30 m/s

Entonces, las distancias componentes son

X = vxt = (0.40 m/s) (3 s) = 1.2 m

Y = vyt = (0.30 m/s) (3 s.) = 0.90 m

Y la distancia real de la trayectoria es


38

m5.1m90.0m2.1yxd2232

(Obsérvese que para este caso sencillo, la distancia

también se puede obtener directamente a partir de d = vt

d = (0.50m/s)(3 s) = 1.5 m. A pesar de ello, hemos resuelto

este ejemplo en una forma más general para ilustrar el uso

de los componentes del movimiento.

Ecuaciones cinemáticas para los componentes del

movimiento.

El ejemplo anterior trató sobre un movimiento bidimensional

en un plano. Con una velocidad constante (componentes

constantes vx y vy), el movimiento rectilíneo. El movimiento

también puede tener aceleración. Para el movimiento en

un plano con una aceleración constante que tiene los

componentes ax y ay, los componentes del desplazamiento

y la velocidad se dan en la ecuación cinemáticas para la

dirección x e y.

Ejemplo # 2

Suponga que una pelota tiene una velocidad inicial

de 1.50 m/s a lo largo del eje de las x, y al iniciar en t0

recibe una aceleración de 2.80 m/s2 en la dirección y

(a) ¿Cuál es la posición de la pelota 3 s después de t0?

(b) ¿cuál es la velocidad de la pelota en ese tiempo?

X = vx0 t + 1/2 ax t2

y = vy0 t + 1/2 ay t2

vx = vx0 + ax t

vy = vy0 + ay t


39

Vy3 = ay t3

v

y3 = 1/2 ay t32

vx

vx

t0 vx x2= vx t2

Dados:

Vx0 = vx = 1.50 m/s

Vy0 = 0

ax = 0

ay = 2.80 m/s2

t = 3 s

Encontrar: (a) x,y) coordenadas de posición

(b) v

(velocidad)

(a) 3 s después de t0 = 0, la pelota ha viajado las

distancias siguientes a partir del origen, en las

direcciones x e y:

x = vx0 t + 1/2 ax t2 = (1.50 m/s)(3 s) + 0 = 4.50 m

y = vy0 t + 1/2 ay t2 = 0 + 1/2(2.80 m/s2)(3 s)2 = 12.6 m


40

así su posición es (x , y) = (84.50m, 12.6 m). si usted

calcula la distancia d = 22 yx , ¿cuál podría ser?

(Observe que ésta no es la distancia real que la pelota

ha recorrido en 3 seg., sino la magnitud del

desplazamiento desde el origen hasta t = 3 s)

(b) el componente x de la velocidad está dado por

vx = vx0 + ax t = 1.50 m/s + 0 = 1.50 m/s

(Éste es constante dado que no hay aceleración en la

dirección x.) El componente de la velocidad es

vy = vy0 + ay t = 0 + (2.80 m/s2) (3 s)= 8.40 m/s

Por lo tanto la velocidad tiene una magnitud de

s/m53.8s/m40.8s/m50.1vvv222

y

2

x

y su dirección en relación con eje de las x es

º9.79s/m50.1

s/m40.8tan

v

vtan 1

x

y1

Ejercicios Propuestos.

1. Un objeto se mueve con una velocidad de 6 m/s a

un ángulo de 37º en relación con el eje de las x ¿

Cuál es la magnitud del componente x de la

velocidad?

2. Un bote de motor viaja con una rapidez de 40 km/h

en una trayectoria recta sobre un lago tranquilo. De

improviso, un fuerte viento uniforme empuja el bote

en dirección perpendicular a su trayectoria en línea

recta con una rapidez de 15 km/h durante 5 s. en

relación con su posición en el momento en que el

viento comenzó a soplar, ¿dónde estará localizada

el bote al final de este tiempo?.

3. Un objeto se mueve con una velocidad de 7.5 m/s a

un ángulo de 7.5º con el eje de las x. ¿cuáles son los

componentes x e y de la velocidad?


41

4. El componente y de una velocidad que tienen un

ángulo de 27º con el eje de las x tienen una

magnitud de 3.8 m/s. (a) ¿cuál es la magnitud de la

velocidad? (b) ¿cuál es la magnitud del

componente x de la velocidad?

5. Una pelota rueda con una velocidad constante de

2.40 m/s con un ángulo de 37º en relación con el eje

de las x del cuarto cuadrante. Si sabemos que la

pelota estaba en el origen en t = 0, ¿cuáles son las

coordenadas (x, y) 1.75 s más tarde?

6. Una partícula situada en el punto (4; -5)m se mueve

con velocidad constante hasta el punto (-2; 7)m en

12 s determinar: (a) La velocidad empleada. (b) El

desplazamiento realizado.

7. Un móvil con una rapidez constante de 32,4 km/h

parte del punto (45; 18)m y moviéndose

rectilíneamente llega al punto (-12; -31)m.

Determinar: a) El tiempo empleado. (b) El

desplazamiento realizado. (c) La distancia recorrida.

8. Una pelota que se mueve a lo largo del eje de las x

con una rapidez de 1.5 m/s, experimenta una

aceleración de 0.25 m/s2 con un ángulo de 37º con

el eje de las x, que inicia cuando la pelota está en el

origen (t = 0) y continúa sin interrupción. ¿Cuáles son

las coordenadas de la pelota en t = 3 s?

9. Una partícula parte del punto (-5;3) m y se mueve

con una velocidad constante de (4i + 7j) m/s durante

7 s. Determinar: (a) La posición alcanzada por la

partícula. (b) El desplazamiento realizado.

10. Un móvil que va por una carretera recta con una

velocidad constante de (-14i; -18j)m/s se encuentra

en el punto (5; -8)m en t = 15 s. Determinar: (a) La

posición que tuvo el móvil en t = 3 s. (b) El

desplazamiento realizado desde t1 = 3 s hasta t2 = 15

s.

3.5. Adición y sustracción de vectores

Muchas magnitudes físicas son vectores. Usted ya a

trabajado con algunas pocas relacionadas con el

movimiento (desplazamiento, velocidad y aceleración) y

encontrará más durante este curso. Una técnica my

importante en el análisis de muchas situaciones físicas es la


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adición (y la sustracción) de magnitudes vectoriales.

Mediante la suma o combinación de esas magnitudes

(adición de vectores), obtener el efecto neto o general; la

resultante, como llamamos a la suma de vectores.

Para lograr la suma de vectores podemos acudir a dos

métodos generales: Método Geométrico y Método

Matemático.

Dentro del método geométrico tenemos tres sub. divisiones

que son:

Método del Triángulo.- para sumar dos vectores por

ejemplo, para sumar B y A (esto es para encontrar A + B)

por el método del triángulo, primero se debe dibujar A en

una hoja de papel milimetrada con alguna escala y con el

ángulo de inclinación correspondiente. Por ejemplo, si A es

un desplazamiento en metros, una escala conveniente es 1

cm: 1 m, para que 1 cm de longitud vectorial en la gráfica

corresponda a 1 metro de desplazamiento; la dirección del

vector A está en un ángulo ( ) con respecto al eje de las

coordenadas, usualmente, el de las x.

Luego se dibuja B a partir de la punta de A. (así, este

método también e conoce como el método de punta con

cola). El vector que va de la cola de A a la punta de B es,

entonces, el vector suma, o sea, la resultante de los dos

vectores: R = A + B.

Si el vector se dibuja a escala, se puede encontrar la

magnitud de R midiendo su longitud y usando la escala. En

este método gráfico, el ángulo de dirección


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3.3c debe ser mucho más fácil de encontrar el teorema de Pitágoras

para la magnitud y mediante la función trigonométrica inversa para

encontrar el ángulo de la dirección (observe que en este caso R está

forma por los componentes x y e (A y B).)

Método del paralelogramo.

Otro método grafico de adición de vectores similar al método del

triángulo es el método del paralelogramo. En la figura 3.4, A, y B se

dibujan cola con cola, y se forma un paralelogramo como se muestra.

La resultante R corre a lo largo de la diagonal del paralelogramo. Si el

diagrama se dibuja a escala con las orientaciones correctas, la

magnitud y la dirección de R se pueden medir directamente del

diagrama, como en el método del triángulo.

Observe que B se podría mover sobre el otro lado del paralelogramo

para formar el triángulo A + B. En general, un vector flecha se puede

mover en los métodos de adición e vectores. Mientras usted no cambie


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la longitud (magnitud) ni la dirección de un vector, no estará alternado

el vector. En la figura 3.4, este intercambio de las flechas de los vectores

muestra que A + B = B + A; es decir que los vectores se pueden sumar en

cualquier orden.

Método del Polígono

El método punta con cola se puede ampliar para incluir la adición de

cualquier numero de vectores. En este caso, el método se llama

método del polígono, pues la figura gráfica que resulta es el polígono.

Esto se ilustra para cuatro vectores en la figura 3.5, donde R = A + B + C +

D. Observe que esta adición equivale prácticamente a tres

aplicaciones del método del triangulo. La longitud de la dirección de la

resultante se podría encontrar analíticamente por aplicaciones

sucesivas de las leyes del seno y coseno, pero en la pagina siguiente se

describe un método analítico más sencillo, el método de las

componentes. Al igual que con el método del paralelogramo, los

cuatros vectores (o cualquier número de vectores) se pueden sumar en

cualquier orden.


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x

Componentes Vectoriales y el método analítico de componentes

Tal vez el método analítico que más se utiliza para la adición de

vectores es el método de los componentes. Lo utilizaremos una y otra

vez a lo largo del curso, de modo que la comprensión fundamental de

este método es indispensable. Estudie bien esta sección.

Adición de componentes rectangulares de vectores. Por componentes

rectangulares nos referimos a aquellos que están en ángulo recto (90º)

uno con el otro; por lo general se toman en la dirección de las

coordenadas rectangulares x e y. Usted ya pasó por una introducción a

la adición de estos componentes en la explicación de los componentes

de la velocidad del movimiento. Para casos generales suponga que A y

B, son dos vectores en ángulo recto, como se ilustra en la figura 3.7. el

ángulo recto facilita las cosas. La magnitud de C está dada por el

teorema de Pitágoras:

22 BAC (3.4ª)


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Procedimiento para la adición de vectores por el método de las

componentes.

1. Descomponga los vectores a sumarse en sus componentes x e y.

Utilice los ángulos agudos (menores de 90º) entre los vectores y el

eje de las x, e indique las direcciones de los componentes con los

signos más y menos. (vea la figura 3.11.)

2. sume vectorialmente todos los componentes x y todos los

componentes y para obtener los componentes x e y de la

resultante o vector suma. (esto se hace algebraicamente

utilizando los signos más o menos.)

3. Exprese el vector resultante utilizando:

a) la forma de componentes, por ejemplo C = Cx x + Cy y o

b) la forma magnitud – ángulo.

Para esta última, encuentre la magnitud de la resultante mediante los

componentes x y y sumados y la forma de Pitágoras.

22yx CCC

encuentre el ángulo de dirección (con respecto al eje de las x)

tomando la tangente al arco del valor absoluto de la relación de los

componentes y e x.

||tan 1

x

y

C

C

Designe el cuadrante en el cual quedará la resultante. Éste se obtiene

de los signos de los componentes sumados o de un dibujo de la adición


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mediante el método del triángulo (o del rectángulo) (vea la figura 3.11).

El ángulo el ángulo entre la resultante y el eje de las x en ese

cuadrante.

EJEMPLO 3.4. Aplicación del Método analítico de los componentes

Aplicamos los pasos del método de los componentes para la adición de

los vectores de la figura 3.10 b (que por conveniencia se reproduce

aquí). Los vectores con unidades en m/s representa velocidades.


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Las direcciones de los componentes se indican con signo (el signo + por

lo general se omite, pues se considera sobreentendido) y v2 no tiene

componentes x. Observe que, en general, para el método analítico de

los componentes x son funciones coseno y los componentes y son

funciones seno.


49

3. en la forma de componentes, el vector resultante es

v = (-4.6 m/s) x + (3.7 m/s) y

En la forma magnitud – ángulo, la velocidad resultante tiene una

magnitud de

smsmsmvvv yx /9.5)/7.3()/6.4(( 2222

Dado que el componente x es negativo y el componente y es

positivo, la resultante queda en el segundo cuadrante con el

ángulo de

º39)/6.4

/7.3(tan||tan 11

sm

sm

v

v

x

y

en relación con el eje negativo de las x

Problemas Propuestos

1) Sumar por el método del triángulo y método del

paralelogramo los siguientes sistemas de vectores.

A(38 m 175º)

B(43 m 63º)

A(150 m N 56º E)

B(48 m S 17º o)

A( 170 m/s, 280º)

B(70 m/s, 156º)

C(46 m/s, 37º) resolver este particularmente solo por el

método del paralelogramo.

2.) Sumar los siguientes vectores usando el método del polígono.

A(67 m N 18º E)

B(49 m S 56º O)

C(100m 175º)


50

A(30 m/s, 65º)

B(35 m/s, 150º)

C(15 m/s, 285º)

D( 20 m/s 180º)

A( 30 Km N 65º O)

B(65 Km S 25º E)

C(70 Km N 18º E)

D(50 Km S 80º O)

3.) Resolver los ejercicios 1y dos por el método de las

componentes.

5. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

5.1. Cuestionario

b) ¿Qué estudia la física?

c) ¿Cuáles son las ramas de la física?

d) ¿Qué es una magnitud física?

e) ¿A que se refiere el movimiento rectilíneo?

f) ¿Hay aceleración en un movimiento con velocidad

constante?

g) ¿Qué es una aceleración?

h) ¿Cuándo un cuerpo cae libremente conque aceleración

cae?

i) ¿Qué es un vector?

j) ¿Qué es un escalar?

k) Indique cual es el procedimiento para sumar vectores por el

método del polígono?

l) Explique el procedimiento para sumar vectores por el método

de los componentes.

5.2. Glosario de Términos

a) Acústica

b) Óptica

c) Térmica

d) Fenómeno

e) Prefijos

f) Conversión

g) Dimensiones

h) Dinámica

i) Rapidez


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j) Cinemática

k) Relatividad

5.3. Tarea de Análisis

Tomando un cronometro y un carrito experimental medir

sucesivamente los tiempos que este recorre una distancia

determinada y calcular la velocidad con la que lo hace.

5.4. Tarea Integradora

Mediante un trabajo grupal realice un mentefacto de la

clasificación de las ramas de la física.

Realice el análisis de un ejercicio en dos dimensiones del

movimiento (tiro parabólico.)

6. GUÍA DE ESTUDIO.

6.1. Se recomienda para contestar las preguntas del

cuestionario leer en su totalidad el módulo y poder

aplicar los principios dados aquí.

6.2. El glosario de termino podrá ser investigado en un

diccionario como por ejemplo el Océano Uno.

6.3. Se recomienda analizar paso a paso cada unidad y

desagregar las ideas significativas.

6.4. Para mejor síntesis y comprensión usar esquemas y

mentefactos así como mapas mentales.

7. EVALUACIÓN

Determinar la resultante del siguiente sistema de vectores

A (36 m N 48º E)

B (65 m S 67º O)

C (856 m, 256º)

D (35 m, 346º)

Encontrar la velocidad final con que llega un vehículo a cubrir

una distancia de 60 Km si parte con una velocidad inicial de 10

Km/h en un tiempo de 1.5 horas.


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Cual es la velocidad con que llega al agua una piedra que fue

soltada desde un puente a una altura de 20 m.

8. BIBLIOGRAFÍA

Física general segunda edición de Jerry D. Wilson

Física general de Schaum

Física Vectorial de Vallejo – Zambrano

Física Fundamental de Michael Valero.

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