Coleccion de problemas

Departamento de Matematica Aplicada III

5 de noviembre de 2002

1. Probabilidad basica (PRB).

PRB.01 Sean los sucesos A, B y Ai, i = 1, 2, ..., n. Demostrar las siguientes propiedades de la probabi-lidad:

a) acotacion: 0 P [A] 1;b) conjunto vaco: P [] = 0;c) isotona: A B P [A] P [B];d) complementario: P [A] = 1 P [A];e) diferencia: A B P [B A] = P [B] P [A];f) reunion: P [A B] = P [A] + P [B] P [A B];g) subaditividad: P [A B] P [A] + P [B];h) desigualdad de Boole: P [A B] 1 P [A] P [B];i) regla general de la reunion:

P [ni=1

Ai] =ni=1

P [Ai]

1i

PRB.04 Un alumno responde a un test de eleccion multiple. Para cada pregunta hay cinco respuestasposibles. Dada una pregunta, el alumno sabra la respuesta y la contestara correctamente o no lasabra y adivinara la respuesta. Pregunta: Suponiendo que el alumno ha contestado bien una pre-gunta, cual es la probabilidad de que el alumno supiese la respuesta? (Suponer que la probabilidadinicial de que sepa la respuesta es p, y discutir el resultado en funcion de los posibles valores de p).

PRB.05 (Examen final, 1994/95). Considerense dos sucesos A y B tales que P [A] = 0, 4 y P [B] = 0, 7.Determinar los valores que puede tomar P [A B], analizando todas las situaciones posibles.

PRB.06 (Segundo parcial, 1994/95). Sean A y B dos sucesos independientes y sea P [B] < 1. Calcu-lar P [Ac|Bc], donde Ac es el complementario de A y Bc el complementario de B. Interpretar elresultado.

PRB.07 (Convocatoria extraordinaria, 1994/95). Considerense dos sucesos A y B disjuntos. Determinarque condiciones deben cumplir para que sus complementarios, Ac y Bc, sean:

a) disjuntos,

b) disjuntos e independientes,

y dar un ejemplo en este ultimo caso.

PRB.08 Determinar la probabilidad de obtener, en la Lotera Primitiva, 6 aciertos, 5 aciertos y elcomplementario, o bien cuatro aciertos, jugando una sola combinacion de 6 numeros.

PRB.09 Con base en varios estudios, una compana ha clasificado, de acuerdo con la posibilidad dedescubrir petroleo, las formaciones geologicas en tres tipos. La compana pretende perforar un pozoen un determinado lugar, al que se asignan probabilidades de 0.35, 0.40, 0.25 para los tres tipos deformaciones respectivamente. De acuerdo con la experiencia, se sabe que el petroleo se encuentraen un 40% de formaciones de tipo I, en un 20% de tipo II y en un 30% de tipo III. Determnese:

a) calcular la probabilidad de hallar petroleo en el lugar de perforacion;

b) si la compana no descubre petroleo en ese lugar, cual es la probabilidad de que all existauna formacion de tipo II?

PRB.10 (Convocatoria extraordinaria, 1995/96) Un productor de cine, con un buen historial de nomi-naciones para los Oscar, ha seleccionado dos equipos de direccion A y B para su proxima pelcula.Basandose en resultados de ediciones anteriores, piensa que puede conseguir 0, 1, 2 o 3 Oscar segunlas siguientes probabilidades: si elige el equipo A, la probabilidad de 0, 1, 2 o 3 Oscar es 0.24; 0.42;0.24 y 0.10 respectivamente, mientras que si elige el equipo B las probabilidades correspondientesson 0.20; 0.40; 0.40 y 0.00. El productor piensa que por problemas de disponibilidad de los equiposla probabilidad de elegir A es 2/3 de la probabilidad de elegir B. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que la proxima pelcula del productor reciba exactamente un Oscar.

b) Si recibe exactamente un Oscar, calcular la probabilidad de que la haya dirigido el equipo A.

c) Un aficionado al cine ha odo que la pelcula ha recibido algun Oscar, pero no sabe cuantos nique equipo la ha dirigido. Calcular la probabilidad de que haya sido el equipo B.

PRB.11 Se tienen seis urnas con 12 bolas cada una (blancas y negras). Una urna tiene 8 bolas blancas.Dos urnas tienen 6 bolas blancas, y tres 4 bolas blancas. Al azar se escoge primero una urna y acontinuacion se extraen de ella tres bolas. De estas, dos resultan ser blancas y una negra. Determinarla probabilidad de que la urna escogida contenga 6 bolas blancas y 6 negras.

PRB.12 Un informe preliminar sobre la profunditat de la capa frea`tica en un cert lloc afirma que aquestaes troba entre 15 i 20 metres de profunditat amb una probabilitat del 70%. Per establir amb messeguretat la profunditat, es realitzen 10 sondejos ele`ctrics, que sols en 7 casos reafirmen que la capafrea`tica es troba exactament entre 15 i 20 metres. Ana`lisis experimentals sobre els errors comesosindiquen que la probabilitat que el sondeig detecti la capa frea`tica quan aquesta es troba entre 15i 20 metres de profunditat es 0.85, i que no la detecti quan aquesta no es troba realment es 0.80.Quina es la probabilitat que la capa frea`tica es trobi entre 15 i 20 metres despres de tenir en compte

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els resultats dels sondejos? Existeixen raons de pes per rebutjar linforme preliminar? Que` haguespassat en el cas de no haber obtingut en cap dels sondejos realitzats una profunditat entre 15 i 20metres?

PRB.13 Se considera el problema clasico de colocar n partculas en m casillas, m > n. Cual es laprobabilidad de hallar las n partculas en n casillas preseleccionadas, en las siguientes condiciones:

1. Las partculas son diferentes entre si y puede haber varias de ellas en cada casilla. (Estadsticade Maxwell-Boltzman)

2. Las partculas son iguales e indistinguibles y puede haber varias de ellas en cada casilla.(Estadstica de Bose-Einstein)

3. Las partculas son iguales e indistinguibles pero solo puede haber una en cada casilla. (Es-tadstica de Fermi-Dirac)

PRB.14 (Ley de Hardy-Weinberg) Los animales de una especie pueden tener tres pares de genes alterna-tivos que se denotan por AA, Aa y aa. La probabilidad (frecuencias geneticas) con que se presentanestos pares en una poblacion grande determinada son P00,P10 y P20 respectivamente. Denominamosa esta generacion de individuos por el subndice 0. Suponemos que los individuos de la generacion1 heredan su par de genes de dos individuos de la generacion 0; de cada uno de los progenitores elhijo adquiere un gen al azar. Supongamos que el proceso se repite de generacion en generacion. Sepide:

a) Hallar las frecuencias geneticas de AA, Aa y aa dadas por P01, P11 y P21 de la primerageneracion suponiendo:

a.1) P00 = 1/4, P10 = 1/2 y P20 = 1/4.a.2) P00 = 0,1, P10 = 0,05 y P20 = 0,85.

b) Hallar las frecuencias geneticas de la segunda generacion P02, P12 y P22 para los dos casos a.1)y a.2) anteriores.

c) Demostrar que para i = 1, 2, 3, ...

Pk,i+1 = Pk,i K = 0, 1, 2

PRB.15 Se considera un saco conteniendo 10 bolas de las cuales 5 son negras. Sea X una variablealeatoria que toma valores 1, 2, 3, 4, 5, 6 con igual probabilidad. Se sacan simultaneamente X bolasdel saco. Establecer la probabilidad de que las X bolas extradas sean negras.

PRB.18 (Convocatoria extraordinaria 1994/95). De acuerdo con los datos publicados por el InstitutoNacional de Empleo (INEM), en diciembre de l994 haba 6236 licenciados en Ciencias de la Infor-macion en paro. De los registros se desprende que el grueso de los parados corresponde a la franjade edad comprendida entre los 25 y los 34 anos, con el 62,5%, mientras que los menores de 25 anosconstituyen el l6% y los mayores de 35 anos el 21,5%. Si dentro de cada uno de estos tres gruposse distingue por sexos, tenemos que el 24,5% de los parados menores de 25 anos son hombres,porcentaje que asciende al 34,5% para los parados entre 25 y 35 anos y que se situa en el 60% paralos mayores de 35 anos. Se pide:

a) Hallar el porcentaje de parados que son mujeres.

b) Seleccionado un parado al azar de la poblacion analizada, si es mujer, calcular la probabilidadde que tenga entre 25 y 34 anos.

c) Razonar si los datos publicados permiten afirmar o rechazar la existencia de discriminacion enla contratacion laboral de licenciados/as en Ciencias de la Informacion.

PRB.19 Los animales de una especie pueden tener tres pares de genes (alelos) alternativos que sedenotan por AA, aa (ambos homozigotos) y Aa (heterozigotos). En una poblacion grande de estaespecie los machos tienen una frecuencia de 1/3 para cada par genetico (genotipo). En cambio en lashembras las frecuencias genotpicas son 1/4, 1/4 y 1/2 para los pares AA, aa y Aa respectivamente.Al reproducirse la especie, los hijos heredan al azar un gen del par del padre y otro del par de lamadre para formar su propio par AA, aa o Aa.

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a) Hallar la probabilidad de que un hijo, independientemente del sexo, tenga cada uno de lospares AA, aa o Aa.

b) Si un hijo tiene el par Aa, hallar la probabilidad de que el gen a provenga de la madre.

c) Si un hijo tiene el par Aa, determinar la probabilidad de que el padre tuviera el par AA y lamadre el par Aa.

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2. Variables aleatorias univariantes (VAU).

VAU.01 Sea X una variable aleatoria tal que puede tomar cualquier valor perteneciente al conjunto denumeros naturales. Si P[X = n] = 12n calcular E [X].

VAU.02 Sea X una variable aleatoria y g, g1, g2 funciones reales de variable real. Probar las siguientespropiedades:

a) E [c] = c, para cualquier constante c R.b) E [cg(X)] = c E [g(X)], para cualquier constante c R.c) E [c1g1(X) + c2g2(X)] = c1 E [g1(X)] + c2 E [g2(X)], para c1, c2 R constantes cualesquiera.d) E [g1(X)] E [g2(X)] si g1(x) g2(x) para todo x.e) Var [X] = E [(X E [X])2] = E [X2] ( E [X])2, supuesto que E [X2] existe.f) Var [aX + b] = a2 Var [X] para a, b R constantes cualesquiera.

VAU.03 Sea X una variable aleatoria y g una funcion no negativa de variable real. Probar que paracada constante k > 0 se cumple

P[g(X) k] E [g(X)]k

Deducir la desigualdad de Chebyshev: Si E [X] = X y Var [X] = 2X probar que para cadaconstante r > 0 se cumple

P[|X X | < rX ] 1 1r2.

VAU.04 Probar que si la distribucion es simetrica entonces el tercer momento central (tambien llamadomedida de asimetra) es igual a 0. Es cierto el recproco? Indicar una utilidad del cuarto momentocentral (tambien denominado medida de apuntamiento o curtosis).

VAU.05 Se lanza una moneda tres veces. Si X designa el numero de caras obtenidas, determinar lafuncion de densidad de probabilidad de X y su funcion de distribucion acumulada. Dibujarlas.

VAU.06 Se considera la variable aleatoria X cuya funcion de densidad de probabilidad es:

fX(x) ={(1 + x2), si 0 < x < 3;0, en otro caso.

Determinar:

a) El valor de y la funcion de distribucion FX .

b) La probabilidad de que X este comprendida entre 1 y 2;

c) La probabilidad de que X sea menor que 1;

d) Sabiendo que X es mayor que 1, probabilidad de que sea menor que 2.

VAU.07 Se lanzan dos dados equilibrados. Se considera la variable aleatoria X que tiene por valores lasuma de los resultados obtenidos. Calcular:

a) La funcion de probabilidad de X;

b) La funcion de distribucion de X;

c) La esperanza, la varianza y la desviacion tpica de X.

VAU.08 Se lanzan dos dados equilibrados. Se considera la variable aleatoria Y igual al valor absolutode la diferencia de los resultados obtenidos. Calcular:

a) La funcion de probabilidad de Y ;

b) La funcion de distribucion de Y ;

c) El valor esperado, la varianza y la desviacion tpica de Y .

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VAU.09 Se considera la variable aleatoria continua X cuya funcion de densidad esta dada por:

fX(x) = exI{0 x < +}.

Calcular la funcion de distribucion de X, su esperanza y su varianza.

VAU.10 Dada la funcionFX(x) = (1 pex)I{0 x < +}

siendo > 0, para que valores de p es FX funcion de distribucion acumulada?. Corresponde auna variable aleatoria de tipo mixto en todos los casos?. Representar FX para 1/ = 1; 1/ = 10y 1/ = 100.

VAU.11 Se considera la variable aleatoria X cuya funcion de distribucion esta dada por:

FX(x) = (1 pex)I{0 x < +}, (p, > 0).

Calcular la funcion de densidad de X, su esperanza y su varianza.

VAU.12 Comprobar que la funcion de densidad de una distribucion normal estandar

f(x) =12pi

exp(12x2), x IR,

es efectivamente una funcion de densidad.

VAU.13 Se define la funcion gamma mediante:

(t) = 0

xt1exdx, t > 0.

Comprobar que (t+ 1) = t(t) y deducir que si n es un numero natural (n+ 1) = n!.

VAU.14 La funcion beta se define mediante:

B(a, b) = 10

xa1(1 x)b1dx, a, b > 0.

Comprobar que B(a, b) =(a)(b)(a+ b)

y que si a, b N , entonces

B(a, b) =(a 1)!(b 1)!(a+ b 1)! .

VAU.15 La distribucion dada por

f(x; r, ) =

(r)(x)r1exI{0 x < +},

donde r > 0, > 0, se denomina distribucion gamma de parametros r y . Se pide:

a) Comprobar que f es efectivamente una densidad.

b) Hallar la esperanza, varianza y funcion generatriz.

c) Hallar la funcion de distribucion acumulada en el caso r N (distribucion de Erlang).VAU.16 La distribucion dada por

f(x; a, b) =1

B(a, b)xa1(1 x)b1I{0 < x < 1},

donde a > 0, b > 0, se denomina distribucion beta de parametros a y b. Se pide:

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a) Comprobar que f() es efectivamente una densidad.b) Hallar la esperanza y la varianza.

VAU.17 Se lanzan dos pelotas dentro de cuatro cajas de forma que la probabilidad de que una pelotacaiga en una caja determinada es identica. Sea X el numero de pelotas en la primera caja. Hallarla funcion de distribucion de probabilidad, la funcion de distribucion acumulada, la media y lavarianza.

VAU.18 Supuesto que el tiempo de espera T, en minutos, de cierto transporte publico tiene como funcionde distribucion:

FT (x) =

0, si x < 0;x2 , si 0 x < 1;(x), si 1 x < 2;x4 , si 2 x < 4;1, si 4 x;

se pide:

a) determinar (x);

b) calcular y dibujar la funcion de densidad;

c) calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea:

c.1) superior a tres minutos;c.2) inferior o igual a tres minutos;c.3) entre 1 y 3 minutos.

VAU.19 Un juego consiste en lanzar una moneda de forma que, si sale cara, se termina el juego, ysi sale cruz se sigue lanzando la moneda hasta conseguir cara. Sabiendo que la probabilidad deobtener cara es p, p (0, 1), determinar la funcion de distribucion de probabilidad de la variablealeatoria X = numero de tiradas necesarias para conseguir finalizar el juego. Comprobar que esuna funcion de distribucion de probabilidad.

VAU.20 Dada la funcionfX(x) = (x+

12)I{1 < x < 1}

para que valores del coeficiente sera fX una funcion de densidad?

VAU.21 En un cierto peaje de autopista, la probabilidad de que un coche no haya de esperar en colaes una funcion determinista (no aleatoria) p(H) de la hora del da H. Por otra parte, si un cocheha de esperar, la funcion de densidad del tiempo aleatorio de espera puede representarse comog(H) et, t 0, siendo g(H) una funcion determinista de la hora del da H. Con estos datos, sepide determinar

a) el valor maximo de g(H);

b) el significado de g(H);

c) dada una cierta hora H, el tiempo medio de espera de un coche cualquiera.

VAU.22 (Primer examen parcial, 1988/89) Un ingeniero afirma que los errores de medida del diametrode un cierto tipo de ejes se caracterizan por:

a) tienen media nula;

b) su desviacion tpica es = 0,04mm;

c) la probabilidad de que el error este comprendido entre 2 y +2 es 0.6.d) Aprobara este ingeniero la asignatura de estadstica en la Escuela de Caminos de Barcelona?

Que afirmaciones debera modificar para aprobarla?

VAU.23 Sea fX(x) una densidad de probabilidad simetrica respecto al origen y Z(x) una distribucionacumulada cuya densidad tambien es simetrica respecto al origen.

a) Demostrar que Z(x) = 1 Z(x).

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b) Demostrar que fY (y) = 2fX(y)Z(y) es una densidad de probabilidad.c) Se consideran dos valores aleatorios independientes U Unif(0, 1) y X con densidad fX . Se

construye la variable aleatoria:

y ={

X, si U Z(x)X, si U > Z(x)

Hallar la densidad de y.d) Tomando X N(0, 2X), Z N(0, 2Z), es decir,

fX(x) =1

X2pi

exp(12x2

2X)

y

fZ(x) =1

Z2pi

exp(12x2

2Z)

respectivamente. Representar las densidades de y con distintos pares 2X , 2Z . Se trata de la

llamada densidad Skew-normal (normal asimetrica).

VAU.24 (Segundo parcial, 1990/91) Un sistema se pone en funcionamiento en t = 0 y tarda un tiempoX en fallar. X tiene funcion de distribucion acumulada F (x). Si para dt > 0, suficientementepequeno, la probabilidad de que el sistema falle en el intervalo (t, t+ dt], dado que el sistema no hafallado antes del tiempo t, es (t)dt, se pide:

a) hallar la funcion de densidad f(x) que corresponde a F (x) si (t) = kt, k > 0, k constante.b) hallar la funcion de distribucion acumulada F (x) y la probabilidad de que X = T en el caso

de que (t) = c > 0 (constante) para 0 t < T y (t) = 0 si t > T .VAU.25 (Examen final, 1987/88). Una empresa constructora ha de realizar una obra en un tiempo

determinado. Sea X la diferencia entre el tiempo en que realmente se realiza la obra y el tiempoprevisto inicialmente. La variable aleatoria X tiene una funcion de distribucion acumulada dadapor

FX(x) =

{12e(x/50)2 , si x 0;

1 12e(x/50)2, si x > 0.

La empresa llega al siguiente pacto con el cliente: si acaba la obra con anterioridad al tiempoprevisto (X 0) obtiene unos beneficios adicionales B = X2. Si por el contrario se retrasa (X > 0)ha de pagar una multa M = 10X. Es este pacto beneficioso para la empresa?

VAU.26 Un bombardero vuela directamente sobre una va ferrea. Se supone que si una bomba cae comomaximo a 40 pies de la va, el dano ocasionado es suficiente para interrumpir el trafico ferroviario.Sea X la distancia perpendicular a la va a la que cae una bomba. Se supone que

fX(x) =100 x5000

, x [0, 100).

a) Hallar la probabilidad de que una bomba interrumpa el trafico.b) Si el bombardero lleva tres bombas y usa las tres, cual es la probabilidad de interrumpir el

trafico?

VAU.27 (Examen extraordinario plan 78, junio 99) Una empresa ha calculado que las ventas y costesunitarios estan relacionados con el Indice de Precios al Consumo (P ) a traves de las siguientesrelaciones: {

Costes : C=(P+2)/3V entas : V=(19-P)/3

El Indice de Precios al Consumo es una variable con funcion de densidad f(P ) = 2P/99, 1 P 10.a) Calcular las funciones de distribucion acumulada de los costes, de las ventas y del beneficio

unitario.b) Calcular la probabilidad de que el beneficio sea negativo.c) Calcular el beneficio medio.

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3. Variables aleatorias conjuntas (VAC).

VAC.01 Calcular la funcion de distribucion y la funcion de densidad del producto de tres variablesaleatorias independientes uniformemente distribuidas entre 0 y 1.

VAC.02 Dos estudiantes de la ETSECCPB quedan en encontrarse en el bar de la Escuela entre las5 y las 6. Cada uno esperara al otro no mas de 10 minutos. Calcular la probabilidad de que seencuentren:

a) Sabiendo que uno de ellos llega a las 5:30.

b) Llegando uno y otro en cualquier momento al azar.

VAC.03 (Primer examen parcial, 1995/96) Sea X una variable aleatoria cuya funcion de densidad f(x)es continua en (,+). Sea F (x) su funcion de distribucion acumulada. Se pide:a) calcular la esperanza y la varianza de Y = cos(pi2F (X));

b) determinar si la probabilidad de que Y < 4pi es menor o igual, o bien mayor o igual que12 .

VAC.04 (Primer examen parcial, 1995/96) En una cierta zona dos ingenieros han modelado de formaindependiente el comportamiento del oleaje maximo que debe soportar un dique mediante sendasvariables aleatorias, X e Y , ambas de tipo mixto. Para calcular el valor maximo esperado la ad-ministracion local pretende utilizar la informacion aportada por ambos, pero duda entre el valoresperado del maximo de ambas variables y el maximo de los dos valores esperados respectivos.Que opcion es la mas segura de cara a la prevencion de danos?

Demostrar que si X es una variable aleatoria de tipo mixto su esperanza, si existe, puede expresarsecomo

E [X] = +0

[1 FX(x)] 0

FX(x)dx

VAC.05 (Convocatoria extraordinaria, 1984/85). Los costes mensuales de reparacion de maquinaria enla construccion de un tunel se consideran funcion del coeficiente aleatorio 1, 0 1 2, querepresenta la calidad y mantenimiento de la maquinaria y la pericia de los obreros. El coste enpesetas es C = 107 21. El parametro 2 es aleatorio y representa las condiciones del terreno que seperfora; se supone uniformemente distribuido en el intervalo [1, 3]. Si se supone que 1 tiene funcionde densidad condicionada f(1|2) = (21)/

22 en el soporte de 1, se pide

a) hallar la funcion de densidad marginal de 1;

b) decidir si conviene o no contratar un seguro mensual que cubre todas las averas de maquinariay cuyo coste mensual es de 25 millones de pesetas.

VAC.06 (Primer examen parcial, 1994/95) Se lanzan tres monedas. Sea X el numero de caras obtenidasen las dos primeras e Y el numero de caras de las dos ultimas. Se pide:

a) hallar la funcion de densidad conjunta de X e Y ;

b) hallar E[Y |X = 1];c) hallar X,Y .

VAC.07 El area de un rectangulo se obtiene midiendo primero la longitud y la anchura y multiplicandoluego ambos valores. Sea X la longitud e Y la anchura medidas. Supongase que X e Y son variablesaleatorias con funcion de densidad conjunta

fX,Y (x, y) ={k , x [0, 9a; 1, 1a] , y [0, 8b; 1, 2b] ,0 , en caso contrario,

donde a y b son parametros que satisfacen a b > 0, y k es una constante que puede depender dea y b. Se pide:

a) hallar el valor esperado y la varianza del area;

b) hallar la funcion de densidad del area en el caso a = 10 y b = 5.

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VAC.08 Sea (X,Y ) una variable aleatoria continua bidimensional, cuya funcion de densidad conjuntaes

fX,Y (x, y) ={1/2, 0 < x < y, 0 < y < 20, en caso contrario

Se pide calcular:

a) las funciones de densidad marginales fX(x) y fY (y);

b) las funciones de distribucion acumulada conjunta y marginales, FX,Y (x, y), FX(x) y FY (y);

c) las funciones de densidad condicionadas fX|Y (x|y = 3/2) y fX|Y (x|y).VAC.09 Dadas dos variables aleatorias continuasX e Y , con funcion de densidad conjunta fX,Y (x, y) =

k(x2y xy2 + 1), x, y (0, 1), se pide calcular el valor de la constante k, la funcion de densidadmarginal fX(x) y la funcion de densidad condicionada fY |X(y|x). Son independientes X e Y ?

VAC.10 Considerese la funcion de densidad conjunta de la variable aleatoria tridimensional (X,Y, Z)definida por f(x, y, z) = exp((x+ y + z)), x > 0, y > 0, z > 0. Se pide:a) hallar la funcion de distribucion acumulada conjunta;

b) hallar la funcion de distribucion acumulada marginal de (X,Y );

c) estudiar la independencia de X, Y y Z.

VAC.11 Un programa de ordenador incluye el calculo de una integral. El tiempo necesario para calculardicha integral, T , es una variable aleatoria con funcion de densidad exponencial de parametro . Eltiempo total de calculo del programa es Y = (T 1)2 + 2. Determinar la funcion de densidad y lafuncion de distribucion acumulada de Y .

VAC.12 (Primer examen parcial, 1989/90) Se considera el triangulo isosceles que tiene los vertices enlos puntos (0, 0), (X,Y ), (2X, 0), donde las coordenadas X e Y son variables aleatorias con funcionde densidad conjunta

fXY (x, y) ={1 (1 2x)(1 2y) 0 x 1, 0 y 1;0 en caso contrario;

donde 1 1, siendo una constante.a) Pueden, en algun caso, no estar correlacionadas X e Y ?

b) Cual es el maximo valor posible (en valor absoluto) del coeficiente de correlacion entre X eY ?

c) Calcular el valor de que maximiza la esperanza del area del triangulo.

VAC.13 (Examen final, 1989/90) El tiempo total que un camion permanece en una estacion de descargaesta definido por una variable aleatoria X. Sea Y la variable aleatoria tiempo de espera en la colapara descargar, y Z el tiempo aleatorio de descarga (X = Y + Z). La distribucion conjunta de Xe Y es

fX,Y (x, y) =14ex/2, 0 y x

VAC.15 Realizamos el experimento de lanzar dos tetraedros (poliedros regulares de cuatro caras) eti-quetadas con un numero del 1 al 4. Consideremos las variables aleatorias siguientes:

Xi = puntos en la cara no vista del tetraedro i-esimo, i = 1, 2;

Y = maximo de los dos numeros resultantes.

a) Encontrar la funcion de distribucion acumulada conjunta de (X1, Y ).

b) Encontrar la funcion de densidad de probabilidad conjunta de (X1, Y ).

c) Encontrar las funciones de densidad marginales de X1, X2, Y .

d) Encontrar la funcion de densidad de Y condicionada a X1 = 2.

e) Encontrar el valor esperado de Y condicionado a X1 = 2.

f) Son X1 e Y variables aleatorias independientes?

VAC.16 Se considera la funcion f definida por: fX,Y (x, y) = k(x+ y)I{0 < x < 1}I{0 < y < 1}.a) Calcular k para que f sea una funcion de densidad conjunta. Calcular, en ese caso, P [0 < X

1/2; 0 < Y 1/4].b) Calcular las funciones de distribucion y de densidad marginales.

c) Calcular la funcion de distribucion conjunta.

d) Calcular los valores esperados y la varianza de cada una de las variables aleatorias X,Y .

e) Calcular las funciones de densidad y de distribucion condicionadas.

f) Estudiar la independencia de dichas variables aleatorias.

VAC.17 En la construccion de un tramo de autopista se dispone de 20 camiones para movimiento detierras, de los que 4 estan en buen estado, 11 en regular estado y el resto en mal estado. Se eligenal azar dos camiones, A y B, y se comprueba que A esta en mejor estado que B. Cual es laprobabilidad de que A este en buen estado? (Resolver con y sin restitucion).

VAC.18 Extraemos 12 cartas sin reemplazamiento de un juego de 52 cartas. Denotemos por

X1 = el numero de ases;X2 = el numero de doses;X3 = el numero de treses;X4 = el numero de cuatros;

a) Encontrar la funcion de densidad conjunta de estas variables.

b) Encontrar la funcion de densidad de (X2, X4) condicionada a (X1, X3).

VAC.19 Sea (X1, X2, . . . , Xn) una variable aleatoria n-dimensional discreta o continua. Probar las sigu-ientes propiedades:

a) Si g es una funcion tal que g(x1, x2, . . . , xn) = xi, entonces:

E [g(X1, X2, . . . , Xn)] = E [Xi] = i.

b) Si g es una funcion tal que g(x1, x2, . . . , xn) = (xi i)2, entonces:

E [g(X1, X2, . . . , Xn)] = E [(Xi i)2] = 2i .

c) Dado cualquier sistema de funciones g1, g2, . . . , gn y un conjunto de constantes c1, c2, . . . , cn,entonces:

E[

cigi(X1, X2, . . . , Xn)]=

ci E [gi(X1, X2, . . . , Xn)]

d) Suponiendo que X1, X2 son independientes probar que para cualquier par de funciones g1, g2se cumple

E [g1(X1)g2(X2)] = E [g1(X1)] E [g2(X2)]

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VAC.20 En una maquina de obra civil hay dos componentes cuya duracion interesa controlar. Sea X lavariable aleatoria que denota el tiempo de vida (meses) del primer componente e Y la que denotael tiempo de vida del segundo (tambien en meses). Se supone que estas variables aleatorias tienenuna funcion de densidad conjunta definida por:

fX,Y (x, y) = 0,02 exp(0,1x 0,2y)I{x 0}I{y 0}.

a) Verificar que, efectivamente, fX,Y es una funcion de densidad de probabilidad conjunta.

b) Calcular la probabilidad de que ambos fallen antes de los 10 meses de uso.

c) Calcular las funciones de densidad de probabilidad marginal.

d) Calcular la probabilidad de que el primer componente dure mas de 20 meses.

e) Calcular la esperanza de vida de cada uno de los dos componentes.

f) Calcular la probabilidad de que el primer componente dure mas de 15 meses, sabiendo que elsegundo ha durado menos de 10 meses.

VAC.21 Calcular la probabilidad de que tres puntos elegidos al azar sobre una circunferencia de radiounidad, pertenezcan a la misma semicircunferencia.

Nota: Puede utilizarse el teorema de la probabilidad total

P[A] = +

P[A|X = x]fX(x)dx,

donde X representa una variable aleatoria continua.

VAC.23 Si X,Y son variables aleatorias con varianza,son ciertas las afirmaciones siguientes?

a) ( E [XY ])2 E [X2] E [Y 2], (desigualdad de Cauchy-Schwartz).b) ( E [XY ])2 = E [X2] E [Y 2] si y solo si existen a, b IR tales que Y = a+ bX.c) Si (X,Y ) denota el coeficiente de correlacion de las variables X,Y , probar que: |(X,Y )| 1.

VAC.24 El tren X llega a una estacion en un instante al azar (igual probabilidad) del intervalo (0, T ),y pasa a minutos en la estacion. El tren Y llega independientemente del X en el mismo intervalode tiempo y pasa b, b a, minutos en la estacion. Calculese:a) la probabilidad de que el tren X llegue antes que el Y ;

b) la probabilidad de que ambos trenes coincidan en la estacion; y

c) sabiendo que se han encontrado en la estacion, la probabilidad de que el tren X haya llegadoantes que el Y .

VAC.25 Sobre el segmento [0, 1] se elige un punto X1 al azar. Hecho lo anterior se elige otro punto, X2,al azar en el intervalo [X1, 1]. Se pide:

a) hallar la funcion de densidad conjunta de X1 y X2 y la marginal de X2;

b) determinar la esperanza y varianza de la longitud del segmento [X1, X2] y la covarianza entreX1 y X2;

c) si se conoce el resultado de X1, hallar la esperanza y varianza de la longitud de [X1, X2].

VAC.26 Considerese el segmento AB de la figura. Se situa un punto C al azar, y el punto D al azar ala derecha del C. Calcular la probabilidad de que girando el segmento AC alrededor del punto C,y el segmento DB alrededor del punto D, pueda formarse un triangulo.

A C D B

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4. Transformacion de variables aleatorias (TVA).

TVA.01 Sea X una variable aleatoria de valores X = {0, 1, 2, 3, 4, 5} y cuya funcion de densidad es:fX(0) = 0,1; fX(1) = 0,1; fX(2) = 0,3; fX(3) = 0,3; fX(4) = 0,1; fX(5) = 0,1.

Si Y = g(X) = (X 2)2, calcular la funcion de densidad de Y .TVA.02 Sea X una variable aleatoria uniformemente distribuida sobre el intervalo ]0, 1[ y sea Y =

g(X) = X2. Calcular la funcion de densidad de Y .

TVA.03 Sea X una variable aleatoria distribuida segun una normal estandar y sea Y = g(X) = X2. Sepide:

a) Probar que Y se distribuye segun una gamma de parametros r = 1/2 y = 1/2.

b) Calcular la esperanza de Y de dos modos distintos.

TVA.04 Sea X una variable aleatoria que se distribuye segun una distribucion beta. Si Y = Ln X,calcular la distribucion de Y .

TVA.05 Sea X una variable aleatoria distribuida segun una distribucion beta de parametros a y b.

a) Probar que la variable aleatoria Y = +()X se distribuye segun una beta de parametrosa y b sobre el intervalo [, ].

b) Aplicacion: mediciones de la direccion del viento en el aeropuerto de Boston, muestran quesi Y indica dicha direccion medida en grados respecto al norte, se sabe que E [Y ] = 205o yVar [Y ] = (99,7o)2. Suponiendo que Y se distribuya segun una beta, calcular sus parametros.

TVA.06 Sean tres variables aleatorias tales que (X1, X2, X3) tiene una distribucion conjunta dada por:

fX1,X2,X3(0, 0, 0) =18 , fX1,X2,X3(0, 0, 1) =

38 ,

fX1,X2,X3(0, 1, 1) =18 , fX1,X2,X3(1, 0, 1) =

18 ,

fX1,X2,X3(1, 1, 0) =18 , fX1,X2,X3(1, 1, 1) =

18 .

Si se definen las variables: Y1 = X1 + X2 + X3, Y2 = |X3 X2|, calcular la funcion de densidadconjunta de las variables Y1, Y2.

TVA.07 Sean X1, X2 dos variables aleatorias independientes y uniformemente distribudas sobre el in-tervalo ]0, 1[. Se definen las variables aleatorias: Y1 = X1 +X2 y Y2 = X2 X1; calcular la funcionde densidad conjunta de estas variables.

TVA.08 Sean X1, X2 dos variables aleatorias normales estandarizadas e independientes. Se definen lasvariables aleatorias: Y = X1 +X2 y Z = X1/X2; calcular la funcion de densidad conjunta de estasvariables y la funcion de densidad marginal de Z.

TVA.09 Sean X1, X2, , Xn, Y1, Y2 , Ym variables aleatorias. Probar que:a) E [X1 +X2 + +Xn] = E [X1] + E [X2] + + E [Xn].b) Var [X1 +X2 + +Xn] =

ni=1 Var [Xi] + 2

i

a) E [XY ] = E [X] E [Y ] + Cov [X,Y ].b) E [XY ] E [X]E [Y ] 1( E [Y ])2 Cov [X,Y ] + E [X]( E [Y ])3 Var [Y ].

TVA.13 Supongase que X e Y son dos variables aleatorias independientes uniformemente distribudassobre el intervalo ]0, 1[. Sean Z = XY y U = X/Y ; calcular las funciones de densidad de estasvariables.

TVA.14 (Primer examen parcial, 1995/96) Supongamos que X e Y son variables aleatorias indepen-dientes y uniformemente distribuidas sobre el intervalo (0, 1). Encontrar la distribucion de Z =X + 1Y .

TVA.15 Los coches que circulan por una cierta carretera lo hacen a velocidad V , uniformemente dis-tribuida entre 50 y 100 km/h. Durante un adelantamiento cualquiera, la probabilidad de accidentese ha modelado como

P =(Z 50)2

2500siendo Z la diferencia de velocidades entre los dos vehculos. Calcular la probabilidad de accidenteen un adelantamiento tipo. Especificar las hipotesis realizadas. Es logico este modelo? Justificarla respuesta.

TVA.16 Sea X1 una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [0, ], y sea X2 otravariable aleatoria con funcion de densidad

f2(x2) = senx2, 0 x2 pi2 .

Se supone que X1 y X2 son independientes. Calcular la funcion de densidad de la suma de ambasvariables para > pi/2 y para = pi/2.

TVA.17 En la ecuacion lineal AXB = 0, A y B son variables aleatorias independientes con funcionesde densidad respectivas

fA(a) = aeaa, a 0;fB(b) = bebb, b 0.

Calculese la probabilidad de que, dada una constante positiva M , la solucion de dicha ecuacion seamayor que M . Dibujese la relacion entre dicha probabilidad y M .

TVA.18 (Primer examen parcial, 1990/91) Una empresa de hormigones produce diariamente una canti-dadX de hormigon para satisfacer la demanda diaria. Se supone queX = 1, 7Y , siendo Y la deman-da diaria del principal cliente de la empresa. La demanda diaria de otros clientes es Z. Si se suponeque Y y Z son independientes y tienen distribucion normal conmY = 10, mZ = 5, Y = Z = 1,se pide:

a) Cual es la probabilidad de que la demanda supere la oferta diaria?

b) Cual es la esperanza condicionada E[X Y Z | X Y Z < 0]. (Dar la solucion en formaintegral pero explicitando el integrando).

TVA.19 (Primer examen parcial, 1990/91) Un topografo desea medir la distancia X entre dos puntosA y C de un plano. La distancia X no puede medirse directamente, por lo que opta por tomar unpunto de referencia B del mismo plano, de forma que la distancia AB es conocida (tomese estadistancia como la unidad). A continuacion mide los angulos BAC = y ABC = . Debido a loserrores de medida de los angulos, se considera que y son variables aleatorias independientesuniformemente distribuidas, de forma que

0 12 0 +12,

0 12 0 +12,

respectivamente (las medidas se realizan en grados sexagesimales). El triangulo ABC es acutangulo.Determnese:

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a) la funcion de densidad conjunta de y el angulo = ACB, considerado este ultimo comofuncion de y ;

b) la funcion de densidad marginal de ;

c) la funcion de densidad conjunta de Y = sen y la distancia X considerada como funcion delas variables aleatorias y .

TVA.21 Sea Y una variable aleatoria absolutamente continua. Calculese la funcion de densidad de Z,donde Z = FY (y), siendo FY la funcion de distribucion acumulada de Y .

TVA.22 (Segundo parcial, 1991/92) Debido al redondeo de decimales, al almacenar un numero real enun ordenador, ese numero puede ser considerado como una variable aleatoria. Considerense dosnumeros reales positivos, X e Y , almacenados en un ordenador, y se supondra que son variablesaleatorias independientes y uniformemente distribuidas en los intervalos [x0, x1], [y0, y1] respectiva-mente. Ademas se supondra que x1 x0 = y1 y0 = a, y1

a) La constante k.

b) Calcular P[(X + Y ) 3/2].c) Calcular P[Y aX] segun los valores de la constante a.d) Calcular las funciones de densidad marginales. Son independientes X e Y ?

TVA.27 (Examen final, 1984/85) Se pretende construir una central eolica constituida por un molinode eje horizontal dotado de un generador electrico. Para una velocidad del viento V , la potenciautil W se expresa como W = kV 3 (k constante dependiente del tipo de molino). Un observatoriometeorologico proporciona la siguiente informacion: velocidad media anual del viento mV ; curvat(v) = T0ev

2que expresa el tiempo que el viento supera la velocidad v(ms1) durante el tiempo

total de observacion T0. La constante es positiva y debe determinarse a partir de mV . Se pide:

a) establecer la funcion de distribucion acumulada y la funcion de densidad de V a partir de lacurva t(v) y en funcion de .

b) Calcular a partir de mV .

c) Hallar la funcion de densidad de W .

TVA.28 Un planeta gira alrededor del Sol describiendo una elipse de semiejes a, b(a b), de forma quesi s() es el area interior a la elipse comprendida en el angulo de tamano , entonces ds/dt = c(Leyes de Kepler). Supongamos que un astronomo situado en el Sol escoje un momento T , i unangulo , (0, 2pi) de forma aleatoria para observar el planeta.1. Encontrar la expresion del tiempo t necesario para que el planeta se situe en la posicion del

angulo . Encontrar el periodo del planeta en su orbita.

2. Suponiendo que la variable aleatoria T esta distribuida uniformemente entre 0 y , encontrarla densidad de probabilidad de observada.

3. Encontrar la probabilidad de que el observador encuentre el planeta en el angulo (/2, +/2).

4. Si consideramos tambien que la apertura es una variable aleatoria distribuida uniformementeentre pi/3 y pi/4 e independiente de , determinar nuevamente la probabilidad del apartado c).

Nota:Las Leyes de Kepler definen el angulo desde el Sol (uno de los focos de la elipse), peropara agilizar los calculos se supondra que el angulo esta definido desde el centro de la elipse, cosabastante aproximada por la poca excentricidad del sistema solar.

TVA.29 Dos sistemas de seguridad identicos e independientes tienen una probabilidad p de fallar en unda. Una vez han fallado, dejan de funcionar. Determinar:

1. La funcion de probabilidad del numero de das hasta el da de fallo (includo este) de cada unode los sistemas.

2. Su esperanza de vida en das.

3. La distribucion del cociente X1X1+X2 , siendo X1, X2 los das de funcionamiento correcto de lossistemas.

TVA.30 Dos variables aleatorias independientes tienen distribucion exponencial de parametro ambas.Hallar la distribucion conjunta de la suma y de la diferencia y sus marginales. Son independientesla suma y la diferencia anteriores?

TVA.31 Sea X una variable aleatoria normalmente distribuida, con media nula y desviacion tpicaunidad, y sea Y el valor absoluto de X. Determinar la media, la mediana y la moda de Y.

TVA.32 (Examen final, 1989/90). Un punto A se elige al azar sobre la circunferencia de radio r y centroen el origen de coordenadas. Calcular la funcion de distribucion acumulada de la abcisa de A.

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5. Modelos normales (MNR).

MNR.01 El diametro de las tuercas manufacturadas por una maquina es una variable aleatoria Xque puede aproximarse a una distribucion normal de media = 10cm. y varianza 2 = 0,12cm2.Para cumplir con un cierto encargo deben tener un diametro comprendido entre 9.9 y 10.2 cm.Que proporcion de tuercas con estas medidas fabricara esta maquina?

MNR.02 Un profesor supone que la puntuacion N final de un estudiante es el valor de una variablealeatoria distribuida normalmente con media y varianza 2. El profesor decide recompensar conel grado A si N > + , con el grado B si < N + , con el C si < N , con el Dsi 2 < N , y con el grado F si N 2. Cual es el tanto por ciento probable deestudiantes que se graduaran con el A?

MNR.03 Una moneda equilibrada se lanza 200 veces. Calcular:

a) Probabilidad de obtener un numero de caras comprendido entre 80 y 120 ambos inclusive.

b) Probabilidad de obtener menos de 85 caras o bien mas de 115.

MNR.04 (Primer examen parcial, 1994/95) Recientemente, la prensa ha publicado resultados de unestudio del Ayuntamiento de Barcelona segun el cual el suministro de agua para un bloque deviviendas por deposito resulta mas caro y mas incomodo que si la conexion es directa. Los argu-mentos mas importantes pueden resumirse como sigue:

en el suministro por deposito se paga una cantidad fija, correspondiente al aforo total con-tratado, el cual frecuentemente no se consume en su totalidad perdiendose el excedente;

el coste total se divide a partes iguales entre todas las viviendas, independientemente delconsumo de cada unidad;

con el cambio de habitos de la poblacion ocasionalmente el aforo contratado resulta insuficiente,quedando las viviendas sin agua.

MNR.05 En un edificio con tres viviendas las partes quieren considerar el cambio a suministro directo.Tienen contratado un aforo total de 14 hectolitros diarios para todo el edificio, y han determinadoque el consumo diario medio de cada vivienda es, respectivamente, de 3,5; 4 y 4,5 hectolitros diarios,con una varianza identica para las tres de (0,5 hectolitros)2. Supongase que el consumo diario decada vivienda se puede modelar mediante la distribucion normal. Se pide (indicar las hipotesisadicionales que sean necesarias):

a) la probabilidad de que en un da cualquiera el aforo contratado sea insuficiente;

b) la cantidad de agua que se pierde en media por da;

c) la probabilidad con que se pierde en un da por lo menos dicha cantidad;

d) que argumentos pueden darse a favor y en contra del cambio, suponiendo que el coste portrimestre correspondiente a un aforo de 14 hectolitros diarios es de 23.620,- ptas. y para elcambio a agua corriente se estima un coste de 150.000,- ptas. por vivienda.

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6. Modelos probabilsticos (MPR).

MPR.01 Consideramos una urna con M bolas de las que K son defectuosas y una variable aleatoria Xque representa el numero de bolas defectuosas en una muestra de tamano n.

a) Si realizamos muestreo con reemplazamiento demostrar que X sigue una distribucion binomialy encontrar la probabilidad de elegir exactamente x defectuosas.

b) Si realizamos muestreo sin reemplazamiento demostrar que X sigue una distribucion hiperge-ometrica y encontrar la probabilidad de elegir exactamente x defectuosas.

MPR.02 Una empresa dedicada a la fabricacion de componentes electronicos tiene dos plantas en uncierto pas; del volumen de produccion diario de cada una de ellas se sabe que el numero medio deunidades que pueden salir defectuosas es 4 en la primera y 6 en la segunda. Calcular:

a) probabilidad de que en un da determinado resulten mas de 4 unidades defectuosas en laprimera planta;

b) probabilidad de que en un da determinado resulten 4 o menos unidades defectuosas en lasegunda planta;

c) probabilidad de que en un da determinado resulten mas de 9 unidades defectuosas entre lasdos plantas.

MPR.03 El problema de las cajas de fosforos de Banach. Un matematico lleva siempre una cajade fosforos en el bolsillo derecho y otra en el bolsillo izquierdo. Cuando quiere un fosforo seleccionaal azar uno de los bolsillos. Si cada caja contiene inicialmente N fosforos, calcular la probabilidadde que cuando una caja este vaca la otra contenga todava K fosforos.

MPR.04 Cual es la probabilidad de que en una empresa de 500 personas al menos haya k que cumplananos en el da de ano nuevo? Considerar ano no bisiesto y concretar el resultado para k = 5.

MPR.05 Una pareja decide tener hijos hasta el nacimiento de la primera nina. Calcular la probabilidadde que tengan mas de cuatro hijos. (Nota: tomar P[nino] = P[nina] = 0.5).

MPR.06 En un semaforo el carril para girar a la izquierda tiene capacidad para tres vehculos. Si hayun total de seis vehculos esperando en el semaforo y se estima que el 30% de los vehculos gira ala izquierda, calcular la probabilidad de que el carril de giro quede insuficiente.

MPR.07 (Primer examen parcial, 1994/95) Sea X una variable aletoria con funcion de distribucionexponencial de parametro tal que la probabilidad de que X sea menor o igual que 1 es igual a laprobabilidad de que X sea mayor que uno. Cuanto vale la varianza de X?

MPR.08 (Primer examen parcial, 1995/96) Estudios recientes han determinado que los productos qumi-cos utilizados habitualmente en agricultura e industria liberan toxinas que afectan directamente alciclo reproductor de los seres vivos que habitan los ros. Los estudios llevados a cabo han permitidoestablecer que la probabilidad de que un huevo de trucha se convierta en alevn en un ro afectadopor estos productos es p. Suponiendo independencia mutua de los huevos y que la probabilidadde que una trucha ponga n huevos en cada ciclo reproductor sigue una distribucion de Poisson deparametro , se pide:

a) hallar la probabilidad de que haya un total de k alevines supervivientes de una trucha en unciclo reproductor;

b) calcular la probabilidad de que se complete un ciclo reproductor sin que sobreviva ningunalevn.

MPR.09 (Primer examen parcial, 1995/96) Una manera de controlar las practicas de una cierta asig-natura es la siguiente: se extraen aleatoriamente practicas del monton (supuesto infinito) y secorrigen clasificandose en correctas e incorrectas; cada practica tiene una probabilidad p de sercorrecta. Sea N la variable aleatoria que cuenta el numero de practicas correctas antes de encontrarla quinta incorrecta. Se pide:

a) hallar la funcion de densidad de N ;

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b) suponiendo que en promedio habitualmente se corrigen un total de 8 practicas en cada control,determinar el valor de p;

c) si el valor de p hallado en (b) equivale a la proporcion de estudiantes que aprobaran (con todaseguridad) la asignatura, calcular la probabilidad de que apruebe el 70% (mas del 70%) deun total de 267 matriculados.

MPR.10 A tiene dos monedas y B una; se las juegan hasta que uno de ambos tiene las tres. En cadajugada ambos tienen la misma probabilidad de ganar. Sea X el numero de pruebas hasta que seacabe el juego. Hallar la funcion de distribucion de probabilidad de X y la probabilidad de quegane B.

MPR.11 (Examen final, 1989/90) Una compana aerea observa que, en promedio, el 12 por ciento delas plazas reservadas no se cubren. En consecuencia, decide aceptar reservas por un 10 por cientomas de las plazas disponibles en aviones de 450 plazas. Calcular la proporcion de vuelos en quealgun pasajero con reserva se queda sin plaza en el avion. Indicar las hipotesis que se realicen yjustificarlas.

MPR.12 (Primer examen parcial, 1994/95) Una centralita telefonica recibe en media 600 llamadas porhora en un perodo punta, y puede establecer un maximo de 20 conexiones por minuto. Se pide:

a) evaluar, utilizando un modelo adecuado, la probabilidad de que la centralita pueda estar sat-urada en un minuto cualquiera del perodo punta;

b) utilizando el mismo modelo, indicar cuantas conexiones por minuto son suficientes para que laprobabilidad de saturacion sea aproximadamente del 0,1 e interpretar los resultados.

MPR.13 (Examen final, 1994/95) Una noticia del diario El Pas del 22 de junio de 1995 dice lo siguiente:Mas de 130 incidentes recoge el Diario de Sesiones del Congreso durante la intervencion de NarcsSerra en la tarde del miercoles. El entonces vicepresidente del Gobierno se extendio mas de 60minutos para tratar de explicar el escandalo de las escuchas del Cesid. El resultado aproximado esde un incidente cada 30 segundos o, si se prefiere, una tension parlamentaria que podra cifrarse en120 gritos por hora. Utilizando un modelo adecuado para el numero de gritos por minuto, se pide:

a) determinar la probabilidad de que el vicepresidente haya podido hablar durante dos minutossin interrupcion;

b) calcular la probabilidad de que en un perodo cualquiera de 10 minutos, el numero de gritoshaya sido superior a 14.

MPR.15 (Examen final, curso 1987/88) Desde un buque se observa cada 3 das la altura de las olas yse valora si estas superan o no la altura de 1m. La probabilidad p de observar olas superiores a 1mes conocida. En estas observaciones se cometen errores de tal forma que existe una probabilidad p1de que, habiendo observado olas de mas de 1m, la altura real sea inferior a 1m. Y viceversa, existeuna probabilidad p2 de que se observen olas inferiores a 1m, siendo la altura real superior a 1m. Sepide:

a) Hallar la funcion de distribucion de probabilidad del numero N de veces que se observan olassuperiores a 1m en k observaciones, en funcion de la probabilidad p.

b) Calcular la probabilidad de que se supere realmente la altura de 1m, condicionada a que sehaya observado una altura de menos de 1m, en funcion de p, p1 y p2.

MPR.19 Una compana de transportes urbanos mantiene una reserva de n autobuses inmovilizados parasustituir los vehculos que pudieran resultar averiados durante el da. Un cierto da, resulta que enla reserva hay k autobuses articulados y n k normales.a) Suponiendo que deben sustituirse x autobuses y se toman al azar de la reserva, hallar la

probabilidad de que y de estos ultimos sean articulados.

b) Hallar la probabilidad de que el m-esimo autobus que se tome al azar de la reserva sea elprimero de los articulados.

c) Concretar los resultados para n = 10, k = 3, x = 3, y = 2, m = 3.

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MPR.20 (Primer examen parcial, 1985/86) Un embalse de abastecimiento de una cierta ciudad esta co-municado con ella mediante tres conductos. La probabilidad de que uno de los conductos este fuerade servicio debido a reparaciones una semana cualquiera es p (igual para los tres). Por otra parte,la probabilidad de que el embalse este a menos del 40% de su capacidad durante una semana es q.Se dice que el funcionamiento del sistema es bueno si los tres conductos estan en funcionamiento yel embalse a mas del 40% de su capacidad; el funcionamiento es malo si hay mas de un conductofuera de servicio, o bien si un conducto esta averiado y el embalse a menos del 40%. En los demascasos se dice que el funcionamiento es regular.

a) Calcular la probabilidad de funcionamiento bueno, regular y malo del sistema en una semanacualquiera.

b) Calcular la probabilidad de que el funcionamiento en una cierta semana sea regular debido aque el embalse esta a menos del 40% de su capacidad.

MPR.21 Un distribuidor vende repuestos en paquetes de 100 y garantiza que, a lo sumo, el 10 porcien son defectuosos. Un cliente controla cada paquete extrayendo 10 repuestos. Si esta muestra nocontiene repuestos defectuosos, acepta el paquete. En caso contrario lo rechaza. Suponiendo que enlos paquetes hay exactamente el 10 por cien de repuestos defectuosos, cual es la probabilidad derechazar el paquete cuando:

a) la muestra se extrae sin reemplazo,

b) la muestra se extrae con reemplazo.

MPR.22 Supongase que en un cierto lugar existe una probabilidad anual de 103 de sentir un terremotode nivel igual o superior a uno dado. Determinar el numero de anos preciso para que la probabilidadde observar ese tipo de terremoto, al menos una vez, sea del 70%. Determinar la probabilidad deque durante el tiempo equivalente a la decima parte del periodo de retorno se produzca, al menos,uno de esos terremotos.

MPR.23 (Primer examen parcial, 1989/90) Una compana petrolfera ha decidido perforar en 10 local-idades diferentes. La probabilidad de encontrar petroleo en una localidad es solo de 1/5, pero sise encuentra, el dinero que la compana ganara vendiendo el petroleo proveniente de esa localidades una variable aleatoria exponencialmente distribuida con media 5 millones de pesetas. Sea Y lavariable aleatoria que representa el numero de localidades en las que se encuentra petroleo, y seaZ la cantidad de dinero total que la compana ingresa por venta de petroleo. Calcular:

a) La esperanza matematica de Z.

b) La probabilidad de que Z sea mayor que 10 millones de pesetas, dado que Y = 1, y dado queY = 2.

c) Determinar si la probabilidad de que Z sea mayor que 10 millones es mayor que 1/2.

MPR.24 (Primer examen parcial, 1996/97) En la asignatura de Estadstica de la ETSECCPB el examende teora se plantea en base a 10 preguntas de respuesta multiple (tipo test), con 5 respuestasalternativas en cada caso, de las cuales solamente una es la correcta. La puntuacion de este examense calcula otorgando a cada pregunta: 2 puntos si la respuesta es correcta, 0 puntos si no se respondey -1/2 punto si la respuesta es incorrecta. El aprobado de esta parte del examen se obtiene con unapuntuacion igual o superior a 10 puntos. JK y LP son dos estudiantes que cursan esta asignatura,de los cuales LP suele preparar mejor los examenes. Concretamente para este examen JK no haestudiado nada, mientras que LP tiene una probabilidad de 0.6 de obtener la respuesta correcta encada pregunta.

a) Calcular la probabilidad que tiene JK de aprobar si responde al azar todas las preguntas delexamen. Idem si unicamente responde 8 preguntas.

b) Calcular la probabilidad que tiene LP de aprobar si responde todas las preguntas del examen.Idem si unicamente responde 8.

c) Calcular el numero optimo de preguntas que deben responder cada uno de los estudiantes paratener maxima probabilidad de aprobar.

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d) Si LP sabe positivamente que tiene 3 respuestas correctas, calcular la probabilidad de queapruebe si responde todas las preguntas del examen. En identicas condiciones, calcular elnumero mnimo de preguntas que debe responder para tener una probabilidad de aprobarmayor que de suspender esta parte del examen.

MPR.25 (Primer examen parcial, 1996/97) Un ingeniero esta estudiando como ingresan los conductoresa una autopista desde un acceso lateral. Cierta clase de conductores ingresan solo si el tiempo Xi,entre los vehculos que pasan, es al menos y segundos, dependiendo el valor de y de la clase deconductores que se estudian. Supongase que el trafico sigue un proceso de llegada de Poisson deparametro = 30 vehculos por minuto, y que un conductor necesita por lo menos y = 6 segundospara ingresar en la autopista. Se pide:

a) La probabilidad de que, despues de pasar 10 vehculos, el conductor no haya ingresado a laautopista.

b) La probabilidad de que el conductor haya tenido dos oportunidades de ingresar a la autopistaal pasar 10 vehculos.

c) La probabilidad de que el conductor haya tenido a lo sumo dos oportunidades de ingresar a laautopista al pasar 10 vehculos.

MPR.26 (Primer examen parcial, 1996/97) En una region determinada el numero anual de semanaslluviosas sigue una distribucion de Poisson de parametro . La precipitacion producida en cualquiersemana lluviosa es independiente de las demas y se distribuye exponencialmente con una mediaigual a 1. Se pide:

a) la probabilidad de que la precipitacion total sea nula;

b) la funcion de densidad de la precipitacion total ocurrida en un ano;

c) el modelo conlleva implcitamente un error; indicar cual es.

MPR.27 (Examen final, 1996/97) Se tienen seis urnas Ui, 1 i 6, cada una de las cuales contiene2i2 bolas blancas y 122i bolas negras. Se lanza al aire un dado cubico no trucado y con el numeroresultante se acude a la urna iesima, de la cual se extraen dos bolas al azar sin reemplazamiento.Las dos bolas extradas as, se introducen en una nueva urna V , la cual contiene inicialmente 2bolas blancas y 3 bolas negras. Finalmente se saca una bola al azar de la urna V . Se pide:

a) probabilidad de que la bola extrada de V sea blanca;

b) sabiendo que la bola extrada de V resulto ser blanca, probabilidad de que la urna seleccionadapara el trasvase inicial fuera la U4.

MPR.28 (Primer parcial, 1998/99) En una cierta zona se considera que hay sequa cuando transcurren3 meses sin una precipitacion de intensidad superior a I0. Se supone que las precipitaciones deintensidad superior a I0 se comportan segun un proceso de Poisson de media lluvias/ano. Se pide:

a) periodo de retorno (en meses) de una precipitacion de intensidad superior a I0;

b) probabilidad de que durante el tiempo equivalente a la mitad del periodo de retorno se pro-duzca, al menos, una sequa;

c) probabilidad de que no haya sequa despues de que hayan ocurrido 5 precipitaciones de inten-sidad superior a I0;

d) probabilidad de que haya habido una sequa despues de que hayan ocurrido 5 precipitacionesde intensidad superior a I0.

MPR.32 Un comerciante sabe que, en promedio, vende 2 unidades de un cierto artculo A al da. Cualdebe ser su stock mnimo para que la probabilidad de no quedarse sin material en el almacen seamayor o igual que 0.95 en las ventas realizadas durante el perodo de un mes?

MPR.33 En una factora se construyen elementos prefabricados para la edificacion de viviendas. Elingeniero responsable de la planta, que cuenta con un gran numero de anos de experiencia, haestimado que el numero de elementos con defectos es del 0,5%. Si al trimestre se fabrican 5000elementos, calcular:

21

a) Probabilidad de fabricar cinco elementos defectuosos en un trimestre;

b) Probabilidad de fabricar menos de 20 elementos defectuosos en un trimestre.

c) Probabilidad de fabricar mas de 30 elementos defectuosos en un trimestre.

MPR.34 Un almacen de artculos de bricolage domestico tiene en la seccion de pinturas dos tipos sim-ilares de esmalte sintetico. El primero de ellos, de precio p1 pta/kg constituye el 65% del stockdisponible y el segundo, de precio p2 pta/kg, constituye el resto del stock. En una semana deter-minada se han vendido 3000 kg de esmalte sintetico; determinar la probabilidad de que al menos1000 correspondan al segundo tipo.

MPR.35 Una empresa dedicada a la fabricacion de componentes electronicos tiene dos plantas en uncierto pas; del volumen de produccion diario de cada una de ellas se sabe que pueden salir defectu-osas es 4 en la primera y 6 en la segunda. En el computo total de la produccion de las dos plantasen 90 das, determinar la probabilidad de fabricar:

a) Menos de 800 piezas defectuosas;

b) Entre 850 y 950 piezas defectuosas;

c) Mas de 1000 piezas defectuosas.

MPR.36 (Examen junio, 1992/93) Dos carriles de circulacion de automoviles confluyen en un solocarril. Los automoviles que llegan a la confluencia por los dos primeros carriles lo hacen segunsendos procesos de Poisson independientes entre si y con parametros y (automoviles/ hora)respectivamente. Se pide:

a) deducir la distribucion del numero de automoviles, Z, que circulan por el tercer carril, prove-nientes de los otros dos (X, Y ) durante tres horas (datos: = 100, = 500);

b) con los mismos datos que en a), calcular el coeficiente de correlacion entre Z y X;

c) con el mismo planteamiento que en a) y b), y fijando un origen de tiempos arbitrario, deter-minar el valor esperado y la desviacion tpica del tiempo necesario a partir del origen para quepase el decimo automovil por el tercer carril.

MPR.37 Supongase que un experimento aleatorio consiste en una serie de n ensayos y que se cumplenlas condiciones siguientes:

el resultado de cada ensayo se clasifica en una de r clases;

la probabilidad de que un ensayo genere un resultado en la clase i es constante e igual a pi entodos los ensayos (i = 1, 2, , r);los ensayos son independientes.

Sea Xi la variable aleatoria que denota el numero de ensayos cuyo resultado cae en la clase i, i =1, 2, , r. Probar que la funcion de densidad conjunta de las variables aleatorias X1, X2, , Xrviene dada por:

P [X1 = x1;X2 = x2; ;Xr = xr] = n!x1!x2! xr! p

x11 p

x22 pxrr ,

siendo x1 + x2 + + xr = n y p1 + p2 + + pr = 1. Determinar la distribucion marginal de cadauna de las variables Xi, i = 1, 2, , r.

MPR.38 Se lanzan 12 dados no trucados. Calcular la probabilidad de obtener exactamente cada una delas seis caras dos veces.

MPR.39 El tiempo de vida de un cierto tipo de bombillas se distribuye de acuerdo con una variablealeatoria exponencial de media 100 horas. Se instalan 10 de estas bombillas en una sala; calcularla distribucion de la vida de la bombilla que se funde antes y calcular la esperanza de vida de estabombilla (suponer independencia).

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MPR.40 (Primer examen parcial, 1996/97) Una ingeniera de estructuras utiliza tanto para el esfuerzode flexion S producido en ciertas barras de acero, como para el area A de la seccion de dichasbarras, como modelo una variable aleatoria lognormal. Sabe experimentalmente que la mediana deS es mS = 55 kg/cm2 y que la de A es mA = 1 cm2. Para poder utilizar el modelo, asume comovalor del parametro de la funcion de densidad en ambos casos el valor 0.1. Se pide:

a) hallar la funcion de densidad de la fuerza de flexion F = SA (indicar las hipotesis realizadas);

b) hallar la mediana, el valor esperado y la varianza de la fuerza de flexion F ;

c) calcular la probabilidad de que la fuerza de flexion sea superior a su valor esperado.

MPR.41 La distancia X alcanzada por un proyectil disparado por un canon en el vaco, con velocidadinicial constante e independiente del angulo de disparo , es funcion unicamente de dicho angulo dedisparo, de forma que X = a sen(2), a =constante. Calcular la funcion de densidad de X si sesitua al azar el angulo de disparo entre la horizontal y la vertical.

MPR.42 (Primer examen parcial, 1990/91) Una plaza de aparcamiento permanece desocupada un tiem-po X, que se supone distribuido exponencialmente con parametro . Cuando se ocupa por un au-tomovil, este permanece en el aparcamiento un tiempo Y , tambien distribuido exponencialmentepero con parametro , independiente del anterior. Hallese:

a) la funcion de distribucion acumulada del tiempo Z = X + Y , hasta que queda nuevamentedesocupada la plaza;

b) la media y la varianza de Z as como el coeficiente de correlacion entre Z e Y .

MPR.43 (Examen final (plan viejo, 1998/99) Una empresa de transporte de viajeros ha hecho un con-trato con un taxista de forma que los das que se llena el autocar de 40 plazas debe transportar ensu vehculo a los viajeros sobrantes. La funcion de probabilidad del numero de viajeros que viajanen un da cualquiera es

f(x) ={

1/15 30 x 44;0 alternativamente.

a) Determinar la probabilidad de que el taxista haga un viaje un da cualquiera.

b) Determinar la probabilidad de que el taxista haga al menos dos viajes en un mes de 30 das.

c) Determinar la probabilidad de que transcurran al menos dos das sin que el taxista tenga quehacer ningun transporte.

MPR.44 Se supone que el numero N de microfisuras por unidad de volumen en un cierto material estal que N 1 responde a una distribucion Poisson de parametro = 3. Cuando se somete estematerial a ciclos de carga, por cada microfisura previa aparecen Mi 1 microfisuras nuevas en elciclo i-esimo. Se supone que Mi 1, i = 1, 2, ... son variables aleatorias distribuidas binomialmente,de parametro 0,5 y valor maximo alcanzable igual a 3. Tambien se supone que Mi 1, i = 1, 2, ...son independientes de N .

1. Establecer un modelo de distribucion, condicionado a N > 0, para el numero total de mi-crofisuras por unidad de volumen despues del ciclo i = 20.

2. Encontrar el percentil 0,75 de esta distribucion condicionada para N = 3. Justificar todas lassuposiciones realizadas.

3. Calcular el valor esperado no condicionado del numero total de microfisuras por unidad devolumen despues de 20 ciclos de carga.

MPR.46 La variable aleatoria Y es el producto de 50 variables aleatorias independientes que tienen unadistribucion de Poisson trasladada:

P [xi = k] =k1e

(k 1)! , k = 1, 2, ...

1. Determinar aproximadamente la distribucion de Y cuando = 1,3.

2. Hallar la media y la varianza de Y .

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3. Determinar el percentil 0,75 de Y .

MPR.47 Un semaforo tiene un ciclo verde de duracion fija T . Cuando el semaforo se pone verde, sesupone que la cola de automobiles es lo suficientemente larga como para que no puedan pasar todosen un mismo ciclo. El tiempo que tarda en arrancar el primer automobil de la cola, al ponerse verdeel semaforo, sigue una distribucion exponencial de parametro =0.7s1. Los auomobiles sucesivostardan en arrancar, desde que se pone en marcha el anterior, tiempos que tambien se distribuyencon la misma exponencial. Se supone que esos tiempos de arranque son independientes entre si yque, una vez ha arrancado el coche, este supera el semaforo.

1. Si T = 20s, determinar la probabilidad de que el numero de automobiles N que supera elsemaforo en un ciclo de verde sea N = 8. Hallar tambien la esperanza y la varianza de N .

2. Determinar la duracion de un ciclo de verde T para que la probabilidad de que pasen menosde 8 automobiles en un ciclo de verde sea 0.09.

MPR.49 El sistema de la figura es tal que cada uno de sus componentes tiene una vida aleatoriaexponencialmente distribuida con parametro , y es independiente de todos los demas. Calcular ladistribucion de la vida del sistema. Puede generalizarse la solucion si se van anadiendo en seriegrupos de 4,5,...,n componentes en paralelo?

MPR.50 Dos puntos se colocan, aleatoria e independientemente, en el eje positivo de abcisas, de formaque su distancia al origen de coordenadas esta exponencialmente distribuida con parametro 1 enambos casos. Calcular la distancia entre ambos puntos.

MPR.51 Una empresa compra componentes electronicos. De cada partida, compuesta por un grannumero de ellos, se extrae una muestra de 100 unidades y la partida se rechaza al encontrar en esamuestra el segundo componente defectuoso. Determinar la probabilidad de rechazar una partidaque contiene el 1% de componentes defectuosos.

MPR.52 Considerese el siguiente juego entre dos jugadores: cada uno de ellos tira dos dados, y jueganalternativamente. Gana el juego el primero que obtenga un 7 en la suma de ambos dados. Si gana eljugador que juega primero, recibe del segundo una cantidad A. Si por el contrario gana el segundoen tirar, recibe del primero una cantidad B. Cual ha de ser la relacion entre A y B para que eljuego sea equitativo?

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7. Modelos asintoticos de extremos. (MAE)

MAE.1 (Primer examen parcial, 1994/95) La distancia recorrida por cada neumatico de un coche hastaque hay que sustituirlo por desgaste (prescindiendo de averas que admitan reparacion) se suponeque sigue una funcion de distribucion exponencial de parametro = 5 105 km1 igual paratodos. Un turista inicia sus vacaciones llevando, como es habitual, una unica rueda de repuesto ypretende hacer un recorrido total de 10,000 kilometros. Especificando las hipotesis adicionales quesean necesarias, se pide:

a) hallar la probabilidad de que tenga que utilizar la rueda de recambio durante sus vacaciones;

b) hallar la probabilidad de que tenga que adquirir durante sus vacaciones un neumatico nuevo;

c) extraer consecuencias de los resultados obtenidos en a) y b) cuando el recorrido se realiza poruna zona donde es difcil adquirir neumaticos.

MAE.03 El tiempo de vida de un cierto tipo de bombillas se distribuye de acuerdo con una variablealeatoria exponencial de media 100 horas. Se instalan 10 de estas bombillas en una sala; calcularla distribucion de la vida de la bombilla que se funde antes y calcular la esperanza de vida de estabombilla (suponer independencia).

MAE.04 (Examen de septiembre, 1992/93). Una zona es afectada por huracanes frecuentemente. Se diceque un ano ha sido catastrofico si el viento supero, al menos una vez, la velocidad de 120 km/hora.Se supone que la probabilidad de que un ano sea catastrofico es constante a lo largo del tiempo yes p = 0,1. La velocidad maxima del viento, X, en un ano catastrofico se ha modelado como unavariable aleatoria cuya funcion de densidad es

fX(x) =130 x

7200, 120 x 240.

a) Si definimos como periodo de retorno de anos catastroficos el valor esperado del numero de anosque tienen que transcurrir para que la velocidad del viento supere una determinada velocidad,cual es el periodo de retorno de anos catastroficos en que se supera la velocidad de viento de200 km/hora? Cual es la probabilidad de que en 40 anos al menos uno sea catastrofico conviento de velocidad maxima de mas de 200 km/hora?

b) Si a los anos no catastroficos se les asigna artificialmente una velocidad de viento maximade 100 km/hora, determinar la distribucion de la velocidad maxima del viento en 40 anos.Dibujar esquematicamente la grafica de la distribucion entre 80 y 250 km/hora. Dar el valorde la distribucion en los puntos de velocidad 110, 160 y 220 km/hora.

c) A efectos de prevision de catastrofes, un ingeniero quiere aproximar la distribucion del apartadob) por otra de uso frecuente. Que tipo de distribucion utilizara? Por que?

MAE.05 La altura de ola maxima anual que ha de soportar un cierto dique de escollera tiene distribucionde Gumbel (tipo I) con media = 2 y = 0, 5 (unidades en metros). Si en un ano la altura de olamaxima es mayor que 4 m y menor que 6 m, los costes de mantenimiento y reparacion del diqueson C ptas. Si la altura de ola maxima es mayor que 6 m los costes mencionados se elevan a 2C.Si esa altura es inferior a 4 m no se producen costes. Hallar la probabilidad de que en tres anos loscostes de reparacion sean 3C ptas.

MAE.06 (Primer examen parcial, 1995/96) Durante el mes de enero de 1996, en la ciudad de Mexicofue decretada la primera fase del Plan de Contingencias Atmosfericas (PCA). El ndice de contam-inacion haba rebasado el lmite considerado de emergencia ambiental (2,5 puntos IMECA/100),muy superior al maximo admitido internacionalmente y que equivale a 1 punto. El PCA reduce lasactividades industriales a casi la mitad. Supongamos que la funcion de densidad conjunta del ndicede contaminacion X, medido en unidades de puntos IMECA/100, y de la actividad industrial Y ,en ciertas unidades economicas, es la siguiente:

fX,Y (x, y) = 2e(x+y)I(0,y)(x)I(0,+)(y) .

Se pide:

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a) calcular el valor esperado del ndice de contaminacion y la probabilidad de que supere el lmitede emergencia ambiental;

b) suponiendo que en un da de aplicacion del PCA la actividad industrial Y vale 12E[Y ], calcularla probabilidad de que en ese da el ndice de contaminacion supere 1 punto IMECA/100;

c) de cara a previsiones futuras, y teniendo en cuenta que en los ultimos anos durante los das decontaminacion extrema el ndice medio fue de 2,55 puntos IMECA/100, con varianza 0,0121(puntos IMECA/100)2, ajustar una funcion de distribucion de extremos adecuada.

MAE.07 (Examen septiembre,1995/96) Una empresa ha obtenido un contrato para una obra situadaa una cierta distancia D de la sede. El tiempo (en horas) que tarda un camion de la empresa enrecorrer dicha distancia puede modelarse mediante una variable aleatoria X con funcion de densidad

f(x) ={0 si x < 3;e3x si x 3.

La empresa dispone de cuatro camiones. A efectos de planificacion de la obra, la empresa pretendeque ningun camion tarde mas de 5 horas y 30 minutos ni menos de 3 horas y 10 minutos en llegara la obra. Se pide:

a) Calcular la probabilidad de que el vehculo mas lento tarde mas de cinco horas y media, y deque el vehculo mas rapido tarde menos de tres horas y 10 minutos. Interpretar los resultadosen funcion de las necesidades de la empresa.

b) Si la empresa tuviera que garantizar suministros regulares a una obra importante con n vehcu-los (n grande), y solo le interesa el tiempo del vehculo mas lento, indicar que funcion dedistribucion debera utilizar para calcular la correspondiente probabilidad.

MAE.08 (Examen ordinario, enero 99) Se tiene una sucesion de variables aleatorias independientesX1, . . . , Xn con la misma funcion de densidad f(x) = 8e8xI{x 0}. Si se consideran 100 variables,calculese:

a) La probabilidad de que su suma sea menor o igual a diez.

b) La probabilidad de que la suma este comprendida entre 11 y 13.

c) La varianza del cuadrado de su suma.

d) Si se desea aproximar la probabilidad del maximo de n de estas variables para n suficientementegrande, que distribucion de extremos habra que utilizar? Por que?

MAE.09 Un fenomeno natural ocurre siguiendo un proceso de Poisson de parametro (sucesos porano). Cada suceso del fenomeno se caracteriza por una intensidad X que se supone distribuidaexponencialmente con parametro .

1. Hallar la distribucion acumulada del maximo anual, Y, de las intensidades Xi asociadas a lossucesos de Poisson durante el ano.

2. Por otra parte, el mismo maximo anual ha sido modelado por una distribucion asintotica demaximos tipo I (Gumbel) con parametros = , u = lg /. Determinar las diferencias entrela distribucion hallada en a) y la dada. Que diferencia se encontrara al hallar el periodo deretorno de maximos anuales para intensidades Y que superen el valor y0 > 0?

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8. Muestreo. Distribuciones de muestras (MDM).

MDM.01 Sea X1, X2, Xn una muestra aleatoria de una poblacion definida por una funcion de den-sidad f . Si M r =

1n

Xri , r = 1, 2, indica el r-esimo momento muestral y r indica el r-esimo

momento poblacional, probar que se cumplen las igualdades:

(1) E [M r] = r, si

r existe;

(2) Var[M r] =1n

(2r (r)2

), si 2r existe.

MDM.02 Sea X1, X2, Xn una muestra aleatoria de tamano n; se define la varianza muestral corregidaS2 de dicha muestra aleatoria mediante:

S2 =1

n 1ni=1

(Xi X)2, n > 1,

donde X = 1n

Xi es la media muestral. Probar que se cumple:

S2 =1

2n(n 1)ni=1

nj=1

(Xi Xj)2, n > 1.

MDM.03 Sea X1, X2, Xn una muestra aleatoria de una poblacion definida por una funcion de den-sidad f , de media y varianza 2.

a) Si S2 indica la varianza muestral corregida de dicha muestra aleatoria, probar que se cumpleE [S2] = 2.

b) Si se define la varianza muestral no corregida mediante S2D =1n

ni=1(Xi X)2, calcular su

esperanza.

MDM.04 Una poblacion sigue una distribucion de media desconocida y varianza 1. Calcular el tamanode muestra mnimo para que la probabilidad de que la media muestral Xn diste de no mas de0,5 unidades, sea al menos del 95 por ciento. Resolver por tres metodos distintos y discutir losresultados.

MDM.05 Sea X1, X2, Xn una muestra aleatoria de una poblacion Poisson-distribuida de parametro; calcular la distribucion de la media muestral Xn.

MDM.06 Si Xn denota la media muestral de una muestra aleatoria de tamano n tomada de unapoblacion normal-distribuda de media y varianza 2, probar que Xn se distribuye normalmentecon una media y una varianza 2/n.

MDM.07 SeanX1, X2, , Xr variables aleatorias normales e independientes de media i y varianza 2i ,i = 1, 2, , r. Sea la variable aleatoria definida por: U = ri=1 (Xiii )2 . Probar que U sedistribuye segun una chi-cuadrado de r grados de libertad.

MDM.08 Sea X una variable aleatoria F -distribuida de grados de libertad m y n. Probar que secumplen:

(1) E [X] = nn2 , (n > 2);

(2) Var[X] = 2n2(m+n2)

m(n2)2(n4) , (n > 4).

MDM.09 Sea X una variable aleatoria distribuda segun una t de Student de k grados de libertad.Probar que se cumplen:

(1) E [X] = 0, si k > 1;

(2) Var[X] = kk2 , si k > 2.

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MDM.10 (Examen final, 1994/95) Una ingeniera geologa quiere explorar un yacimiento cuya proyeccionsobre la superficie terrestre puede considerarse elptica, con semiejes a y b, a > b. Situado el origende coordenadas en el centro de la elipse y orientando adecuadamente los ejes, esta tiene ecuacionx2/a2 + y2/b2 = 1. La estrategia de muestreo exige situar puntos de muestreo sobre el terreno deforma que su densidad corresponda a una distribucion normal bivariante con parametros x = 0,y = 0, y coeficiente de correlacion poblacional xy = 0. Determinar una posible solucion para losvalores de 2x y

2y, de forma que la probabilidad de que un punto de muestreo caiga dentro de la

elipse sea igual a 0,90.

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9. Estimacion puntual de parametros (EPP).

EPP.01 Sea X1, X2, Xn una muestra aleatoria de una poblacion que sigue una distribucion de Poissonde parametro . Estimar el valor de dicho parametro aplicando el metodo de los momentos.

EPP.02 Sea X1, X2, Xn una muestra aleatoria de una poblacion que sigue una distribucion exponen-cial de parametro . Estimar el valor de dicho parametro aplicando el metodo de los momentos.

EPP.03 Una poblacion se halla uniformemente distribuida en un intervalo [a, b]. Aplicando el metodode los momentos, estimar el intervalo en cuestion a partir de una muestra aleatoria X1, X2, Xn.

EPP.04 Sea X1, X2, , Xn una muestra aleatoria de una poblacion que sigue una distribucion normalde media y varianza 2. Estimar dichos parametros aplicando el metodo de maxima verosimilitud.

EPP.05 Sea X1, X2, , Xn una muestra aleatoria de una poblacion que sigue una distribucion de media y varianza 2. Estudiar si la media muestral X y la varianza muestral S2 son, respectivamente,estimadores insesgados de y 2.

EPP.06 Sea un estimador del parametro desconocido . Si ECM() es el error cuadratico medio de

dicho estimador. probar que se cumple: ECM() = Var[] +( E []

)2. Deducir que ocurre si

es insesgado.

EPP.07 Sea X1, X2, , Xn una muestra aleatoria de una poblacion normal de media y varianza 2.Estudiar el sesgo y el error cuadratico medio de los estimadores Xn (media muestral) y S2 (varianzamuestral corregida).

EPP.08 Sea X1, X2, , Xn una muestra aleatoria tomada de una poblacion que sigue una distribucionde Bernoulli con parametro p. Se consideran los estadsticos:

1 = X1 +X2 +X3; 2 = X1 X2 +X3.Aplicando la definicion de estadstico suficiente, estudiar la suficiencia de dichos estadsticos.

EPP.09 Considerese un triangulo equilatero y n medidas independientes de su lado a. Cada medida ai,i = 1, 2, . . . , n, viene afectada por un error de medicion tal que ai = a+i. Se definen dos estimadoresdel area A =

34 a

2 del triangulo:

A1 =3

4n

ni=1

a2i ; A2 =3

4n2( ni=1

ai)2.

Suponiendo que el error sigue una distribucion normal de media 0 y varianza 2, se pide:

a) calcular el sesgo de A1 y A2;b) si son sesgados, comprobar si son asintoticamente insesgados;c) comprobar si A1 es consistente en ecm;d) definir un estimador insesgado de A;e) definir un estimador maximo verosmil de A.

EPP.10 (Segundo parcial, 1994/95) En una obra se han utilizado tres tipos de hormigon, indicados porH-I, H-II y H-III; la probabilidad de utilizar cada uno de los tipos es, respectivamente, (1 )2,2(1 ) y 2, siendo desconocido el valor del parametro . Para determinarlo, se tomaron 200muestras de hormigon y se obtuvieron: 20 muestras del hormigon tipo H-I, 75 muestras del H-II y el resto del tipo H-III. Estimar el valor del parametro utilizando un estimador de maximaverosimilitud.

EPP.11 (Segundo parcial, 1994/95) Disponemos de una muestra aleatoria X1, X2, . . . , Xn de una vari-able aleatoria X que tiene por funcion de densidad

f(x) =

(1 + x)+1, 0 <

EPP.12 Una planta de construccion de acropodos (bloques de hormigon utilizados en escolleras) producepiezas aceptables y piezas defectuosas. Se supone que la probabilidad p de producir un acropododefectuoso es constante. Determinar el estimador de p de maxima verosimilitud, su sesgo y suvarianza.

EPP.13 La Direccion de Obra de una carretera necesita controlar la ejecucion de la compactacion decada una de las tongadas con que se van construyendo las explanaciones. Para ello debe estimar laporosidad, n, del suelo. Sabiendo que n es una variable aleatoria con funcion de densidad

f(n) = n1, 0 < n 1,

se pide:

a) Encontrar el estimador maximo verosmil para .

b) Se define la varianza asintotica de un estimador como:

Var[] =

[

2 Ln L()2

]1.

Calcular la varianza asintotica del estimador maximo verosmil para .

c) Determinar un estimador suficiente para .

EPP.14 (Examen final, 1995/96) La probabilidad de que el primer elemento de un cierto sistema elec-tronico falle en un tiempo x (en das) viene dada por la siguiente ecuacion:

P [X = x] = k(

1 +

)x; x = 0, 1, 2, ...; 0.

Se pide:

a) determinar la constante k e identificar la distribucion de probabilidad;

b) hallar el estimador maximo verosmil de ;

c) hallar un estimador de por el metodo de los momentos.

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10. Estimacion por intervalo (EIN).

EIN.01 Una cierta poblacion sigue una distribucion normal de media y varianza 2. Se toma unamuestra aleatoria de tamano 10, tal que

xi = 41,

x2i = 229. Determinar el intervalo de

confianza del 80% para la varianza de esa poblacion:

a) si se desconoce ;

b) si se sabe que = 4.

EIN.02 En una obra son necesarias unas piezas metalicas de precision para el ajuste de la estructura,cuyo peso debe estar muy bien controlado. Se tomaron 16 muestras aleatorias de una partidasuministrada por un determinado fabricante y se obtuvieron los resultados siguientes (en gramos):505, 493, 496, 506, 502, 509, 496, 506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512, 514.

a) Si se supone que el peso sigue una distribucion normal de varianza 25g2, obtener los intervalosde confianza estimados del 90, 95 y 99% para la media del peso de estas piezas.

b) Obtener los mismos intervalos suponiendo que el peso de las piezas sigue una distribucionnormal de varianza desconocida.

EIN.03 Se lanza al aire 30 veces una moneda y se obtiene cara en 17 ocasiones. Estimar el valor p de laprobabilidad de obtener cara. Determinar un intervalo de confianza del 95% para el valor de p.

EIN.04 El tiempo de vida de una bombilla puede considerarse como una variable aleatoria exponencialde parametro . Una muestra aleatoria de 15 bombillas resulto tener una vida media de 16 meses.Encontrar un intervalo de confianza para el parametro con un nivel de confianza del 95%.

EIN.05 Un fabricante de tornillos asegura en los catalogos de los productos que fabrica, que el porcentajede tornillos defectuosos de las partidas que suministra no es superior al 5%. El departamento decompras de una compana realiza el siguiente experimento: selecciona al azar 200 unidades y lascomprueba, resultando 19 tornillos defectuosos. Discutir la veracidad de la afirmacion del fabricante.

EIN.06 Sea X1, X2, , Xn una muestra aleatoria de una poblacion que sigue una distribucion uniformede densidad f(x; ) = 1 I{0 < x < }. Aplicando el metodo de Neyman, estimar un intervalo deconfianza para .

EIN.07 Se realizan diversas medidas de la densidad de un cierto material. Se han obtenido los siguientesvalores: 5.3, 5.2, 5.3, 5.7, 5.8, 5.5, 5.6, 5.3, 5.4, 5.4. Se pide:

a) calcular la media y la varianza muestrales;

b) determinar un intervalo de confianza (1 = 0,9) aproximado sobre la media de la densidadsin suponer ninguna distribucion especfica;

c) suponiendo que las medidas de la densidad proceden de una poblacion normal, calcular laregion de confianza (1 = 0,9) conjunta para la media y la varianza,

d) asumiendo de nuevo normalidad, determinar un intervalo de confianza (1 = 0,9) sobre lamedia y otro sobre la varianza.

EIN.08 En un estudio sobre la liquidez de activos de una empresa se pretende establecer la probabilidad,p1, de que un cliente no pague en los plazos establecidos y la probabilidad, p2, de que un clienteno llegue a liquidar su deuda. Se ha examinado una muestra de N = 500 clientes, de los cualesx1 = 235 no pagaron en los plazos establecidos, y todos ellos liquidaron la deuda, es decir x2 = 0.Se pide:

a) deducir un intervalo de confianza (1 = 0,95) aproximado para p1, justificando las hipotesisy aproximaciones que se realicen;

b) hallar un intervalo de confianza (1 = 0,95) para p2 mediante el metodo geometrico deNeyman.

EIN.09 Se sabe que un distanciometro de alta precision proporciona lecturas de cierta longitud dis-tribuidas normalmente y de media igual a la longitud que se pretende medir. Aunque no seconoce la varianza, se sabe que esta no excede a 4 cm2 (2 4 cm2).

31

a) Cual es el numero mnimo de lecturas que habra que tomar para asegurarse de que el intervalode confianza simetrico sobre la media al nivel de confianza del 95% no tenga una longitudsuperior a 1,12 cm?

b) Supongamos que un topografo realizo el numero de lecturas adecuado (calculado en a)) yobtuvo como media muestral x = 350089,78 cm y como estimacion insesgada de la varianzas2 = 3,0 cm2. Cual sera su estima por intervalo de la longitud buscada?

c) Con los datos de b), determinar una region de confianza con un nivel aproximado del 90%para la media y la varianza.

d) Si el topografo hubiera obtenido como estimacion insesgada de la varianza muestral s2 =5,3 cm2, cual debera ser su actitud?

EIN.10 Se quiere estimar la profundidad a que se encuentra roca bajo una capa de arcilla utilizandocierto instrumento sonico. Cada lectura del mismo es una variable aleatoria normal, cuya mediateorica es la profundidad real (desconocida) y cuyo coeficiente de variacion vx se supone constante.Se toman n lecturas del instrumento y se calcula la media experimental x. Calcular un intervalo deconfianza al 90% de la profundidad a que se encuentra la roca si n = 16, vx = 0,2 y x = 31m .

EIN.11 (Segundo examen parcial, 1989/90) El caudal medio de un cierto ro puede considerarse unavariable aleatoria normalmente distribuida con desviacion tpica conocida e igual a 4m3s1. Losintervalos de confianza del 90% sobre el valor esperado del caudal medio durante cinco anos con-secutivos han resultado ser (7.66, 10.34), (6.66, 9.34), (6.10, 11.40), (7.55, 9.45) y (7.90, 10.10).Calcular el intervalo de confianza del 90% sobre el valor esperado del caudal medio del ro duranteestos cinco anos.

EIN.12 En un experimento se lanzo 49152 veces un dado, y en 25145 se obtuvo exito (salio un 4, un 5o un 6). Determinar un intervalo de confianza al 95% para la probabilidad de exito en cada tirada.

EIN.13 En un municipio, la probabilidad de que un cierto ano se supere la precipitacion A es p. Se hanobservado 150 anos de los que en 35 se supero dicha precipitacion.

a) Estimar p.

b) Calcular la media y la varianza de dicho estimador.

c) Dar un intervalo de confianza del 95% sobre p.

EIN.14 (Segundo parcial, 1996/97) Con el fn de regular un semaforo, se utiliza una variable aleatoriaX que vale: 1 si el semaforo esta en rojo, 0 si esta en ambar y 1 si esta en verde. Se sabe quela probabilidad de que el semaforo este en rojo es 3p/2, de que este en ambar es (2 7p)/2 y deque este en verde 2p, siendo desconocido el valor del paramero p ]0, 2/7[. Para determinarlo, seprocedio a anotar 200 posiciones del semaforo (se suponen independientes) y se obtuvo: n1 = 60posiciones en rojo, n2 = 60 posiciones en ambar y el resto en verde. Se pide:

a) Estimador maximo verosmil de p.

b) Estimar el valor de p por el metodo de los momentos.

c) A partir del estimador de p obtenido por el metodo de los momentos, calcular un intervalo deconfianza sobre p al 95%.

EIN.15 (Examen final, 1996/97) La nota de Estadstica de un estudiante elegido al azar tiene por funcionde densidad

f(x, ) ={

2x2 , 0 x 0, en caso contrario

En el grupo hay un total de 100 estudiantes. Se pide:

a) Determinar la funcion de densidad de la nota maxima de la clase;

b) Determinar un estimador maximo verosmil para ;

c) Determinar un intervalo de confianza para al 90% si se sabe que la nota maxima de la clasees 9,25.

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EIN.16 (Convocatoria extraordinaria, 1996/97) El ingeniero geologo responsable de prospeccion y explo-tacion de una empresa petrolfera admite como cierto, dada la informacion disponible inicialmente,que en una determinada zona A, la probabilidad de que al efectuar un sondeo se encuentre petroleoes 0,15 y que en otra zona B dicha probabilidad es 0,2. El coste de un sondeo es de 80 Mpta en lazona A y de 100 Mpta en la zona B. Los ingresos que se esperan por la venta del petroleo que seencuentre en cada pozo